直线的点斜式方程学案

直线的点斜式方程学案（通用3篇）

直线的点斜式方程学案 篇1

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y?y0?k(x?x0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y?kx?b.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x?x0?0，或x?x0. 4. 注意：

y?y0

?k与y?y0?k(x?x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点x?x0

P0(x0,y0)，后者才是整条直线.

¤例题精讲：

【例1】写出下列点斜式直线方程：

（1）经过点A(2,5)，斜率是4； （2）经过点B(3,?1)，倾斜角是30.

【例2】已知直线y?kx?3k?1.（1）求直线恒经过的定点；（2）当?3?x?3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l经过点P(?5,?4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

¤知识要点：

1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

y?y1x?x1

?， y2?y1x2?x1

2. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为?

xay

?1. b

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

4. 线段P1P2中点坐标公式(¤例题精讲：

【例1】已知△ABC顶点为A(2,8),B(?4,0),C(6,0)，求过点B且

将△ABC面积平分的直线方程.

摭谈直线的点斜式方程的基础性 篇2

1 从确定直线的条件看其基础性

首先，确定一条直线的条件是至少要已知直线上的一个点；其次，可以再确定直线上一个点，或直线的方向.而对前一种情况，也就是已知直线上确定的两个点，其实也就是确定了直线的方向.于是，确定一条直线的条件可以用“直线上一点与直线的方向”来表述.

直线的方向可以用直线的斜率刻画，也可以用直线的倾斜角刻画.在直线的方程形式中一般都是用斜率（垂直于x轴的直线除外），这是由斜率可用倾斜角的正切表示的缘故（倾斜角为直角除外）.

综上，确定直线的基础性条件为“直线上一点+直线的斜率”.

2 从直线方程的形式看其基础性

从某种角度看，直线方程的斜截式、两点式、截距式都可以看成是直线点斜式方程的推论，或都可以看成由直线的点斜式方程得到的.教材的逻辑结构已经充分说明了这一点.另一方面，直线的点斜式方程

从形式上很好地体现了确定直线的基础性条件：从方程可以直接“读”出直线上一点和直线的方向.

3 从运用（选择）直线方程的形式解决问题的过程看其基础性

对于求直线方程、运用直线方程解决相关问题等题型，可以根据问题的特点灵活选择直线方程的形式，不过有一点可以肯定的是，这些问题几乎都可以通过设出直线的点斜式方程加以解决（当直线斜率存在时）.

例1

如图1，一条直线l过点P(1, 4)，分别交x轴、y轴正半轴于A， B两点，O为坐标原点.

（1） 若APPB=23，

求直线l的方程.

（2） 求△AOB的面积为8时直线l的方程.

分析

（1） 由题意知，直线l与坐标轴不垂直，故其斜率存在且不为0，设为k.直线l的方程即为y-4=k(x-1).则点A1-4k, 0

， B（0， 4-k）.由APPB=23可得k=-6.

（2） 因为A， B分别在x轴、y轴的正半轴上，所以1－4k>0,4－k>0.即k<0.

又由S△AOB=121-4k

（4-k）=8，解得k=-4.当△AOB的面积为8时直线l的方程y-4=-4(x-1)，即4x+y-8=0.

以后我们还会看到，在处理有关直线与圆、圆锥曲线的相关问题时，通常运用点斜式（或其特例：斜截式）设出直线方程.

*4 点斜式方程的基础性在高等数学的思想方法中也得到充分体现

不久的将来，我们将学习微积分的相关知识，而微积分中有一个基本概念就是用来刻画变量在某一点处变化的快慢：导数，其几何意义就是曲线（函数图象）在该点处切线的斜率，于是曲线的切线方程即可由该点坐标及导数以点斜式的形式给出.在微积分理论中，直线方程部分的k=ΔyΔx又是基础中的基础.

如果我们将“相切”的概念推广到两条曲线的情形，那么直线点斜式方程又有了更加强大的用武之地.其中，“曲线理论”中的“曲线族的包络”(如图2)，不仅是数学中非常有价值的内容，在机械设计等领域也有着广泛的应用.

例2

请用几何画板作图，观察当参数θ变化时，动直线（直线族）xcosθ+ysinθ=1绘出怎样的图形？（说明：今后我们会在必修4中学到三角函数cosθ， sinθ中θ的范围推广到任意角的情形，并在学过角的弧度制表示方法后，角θ可以用实数表示）

用几何画板可以作出图3.其中心部分是由直线族构造的一个“包络”：单位圆x2+y2=1.对于每个确定的实数θ，直线xcosθ+ysinθ=1与圆相切于点（cosθ， sinθ）.这个圆就是由这些切点形成的轨迹.我们可以用直线y=xtanθ与直线xcosθ+ysinθ=1的交点轨迹加以验证（感兴趣的同学可以一试），其中y=xtanθ就是对xcosθ+ysinθ=1关于θ求偏导数得到的.至于为什么会形成这样的曲线？为什么求曲线族的包络的方程时用偏导数及上述方法处理？偏导数又是什么？在微积分相关内容中都有介绍，其运用的思想方法与我们的ΔyΔx也有着一定的联系噢！感兴趣的同学可参阅参考文献1和2.

直线族的包络可以形成曲线，这再次说明直线作为曲线体系中的一员，其基础性特征之所在.而直线方程是用解析法研究直线的基本形式，直线的点斜式方程又是直线方程的基础形式，于是，直线点斜式方程对于曲线论的基础意义就不言自明了.

综上所述，直线的点斜式方程从初等数学到高等数学都显示出其作为“基础”的重要价值.事实上，我们不能小看了在中学阶段学习的数学知识，正因为它们“基础”，才显示了其更为“本质”的属性，因为最原始的、最初始的审美影像正是数学观念的最深层次的、最有价值的特征与内涵所在！

直线点斜式方程公开课教案 篇3

备课人：曾文龙

一、教学目标 知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式公式求直线方程。

过程与方法：（1）在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；（2）学生通过探究直线点斜式方程形成过程，锻炼严谨的数学思维。

情感态度价值观：进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重难点

重点：理解并掌握直线的点斜式方程形式特点和适用范围。难点：能正确利用直线的点斜式方程求直线方程

三、教学过程 Ⅰ 问题提出

1.已知直线上两点P能否求出直线的斜率？特别的什么样的直线 1(x1,y1)，P2(x2,y2)，没有斜率？

ky2y(x1x2)

x2x1直线垂直于x轴(即倾斜角为90°)时斜率不存在

2.在平面直角坐标系中，已知直线的斜率能否确定其位置？ 3.如果不能,再附加一个什么条件，直线的位置就确定了？

已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以唯一确定一条直线。

4.既然直线上一点P0(x0,y0)和其斜率k可以唯一确定一条直线，那么能否用它们来 表示这条直线的方程？ Ⅱ新知探究

直线的点斜式方程

引例

已知直线l过点P0(3,2)且斜率为3，点P(x,y)是l上不同于P0的一点，则x、y 满足怎样的关系式？

y23 x3归纳

已知直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k，设点P(x,y)是直线l上不同于P0的任 意一点，那么x、y应该满足什么关系式？

yy0yyk(xx)k00xx0OyPP0x问题1

直线l上点P(x,y)满足kyy0，即yy0k(xx0)，那么直线l上每一

xx0个点的坐标都满足这个方程吗？

问题2

满足方程yy0k(xx0)的点是否都在直线l上？为什么？

知识生成：我们把方程yy0k(xx0)为叫做直线的点斜式方程，它表示经过点

P0(x0,y0)，斜率为k的一条直线。

点斜式

yy0k(xx0)公式特点：同类坐标之差，k与横坐标相乘 几何特点：点P0和斜率k确定直线

适用范围：已知点和斜率，求直线方程，斜率不存在时不能用。练一练：①求经过点P(1,2)，斜率为3的直线点斜式方程。

解

将点P(1,2)，斜率k3代入点斜式方程得

y23(x1)所以直线方程为：y23x3

②求过点P(2,4)，且倾斜角为45的直线点斜式方程。

解 斜率ktan451，将点P(2,4)代入点斜式方程得

y4x2

③已知直线方程为y33(x4)，则这条直线经过的已知点及倾斜角分别是

A(4,3);60° B(-3,-4);30° C(4,3);30° D(-4,-3);60°

④ 方程yk(x2)表示一条什么样的直线？

经过点(2,0)且不垂直x轴的直线

想一想：经过点P0(3,2)，且与x轴平行的直线方程是什么？

分析：此时直线倾斜角为0，ktan00，所以直线方程为y20，即y2，归纳

当直线l与y轴垂直时，直线的方程是什么？

y

yy00或yy0 问题3

x轴所在的直线方程是什么？

y0

想一想：经过点P0(3,2)，且与y轴平行的直线方程是什么？

OP0x

分析：此时直线倾斜角为90，直线斜率不存在，方程不能用点斜式来表示，直线方程

y 为 x3

归纳

当直线l与x轴垂直时，直线的方程是什么？

P 0

xx00或xx0 问题4

y轴所在的直线方程是什么？

x0

问题5 所有直线是否都可以用点斜式表示？哪些直线不行？

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示

Ⅲ 例题讲解

例1 直线l经过点P1(2,3)，P2(1,6)，求直线方程？

例2 求下列直线的方程

(1)经过点A(2,5)，且与直线y2x7平行的直线方程(2)经过点B(1,1)，且与x轴平行的直线方程(3)经过点C(1,1)，且与x轴垂直的直线方程

练习：教材P95页 1,2 作业：教材P100页习题3.2 A组(1)、(2)、(4)，5, 10 Ⅳ小结

1.本节课我们学习了哪些知识点？

2.直线点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？

点斜式：

O x yy0k(xx0)