极限的计算、证明

极限的计算、证明（共12篇）

极限的计算、证明 篇1

1、用数列极限定义证明：limn20 nn27

n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn

2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n[]，故取N=max{7, 2

44[]}。这样当n>N时，有n>7，n[]。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1

|不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。n27n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．

2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n40 nn2n

1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n

22不等号（1）成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时，上面的不等式都成例

2、用数列极限定义证明：lim

立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2n1n

2n2n1n

nnn22

n(n1)2n

1(1)n

例

3、已知an，证明数列an的极限是零。2(n1)

(1)n1(1)1(2)

证明：0(设01)，欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1

11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n1

1数n都是成立的，因此取N[1]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式

和不等式均成立，所以当n>N时，|an0|。

在上面的证明中，设定01，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N[1]就有1



可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01，这样就能保证N是正整数了。

那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an0|＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立：

|an0|＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的．．．

极限的计算、证明 篇2

一、辨析概念, 夯实基础

极限思想作为研究函数最基本的方法, 早在古代就有比较清楚的描述。中国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”, 就是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。在19世纪, 柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究, 并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法;曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。极限思想在高中数学函数中的应用越来越大。

众所周知, 常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法, 而是把多种方法加以综合运用。前人在对求函数极限的方法大多是单一的, 没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点, 本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结, 希望对初学者有所帮助。

二、重点总结

笔者通过查阅资料总结出各种求函数极限的计算技巧, 然后结合具体的例子给出这些计算技巧的具体应用, 最后对内容进行整合。常见的求极限的方法有定义法、利用极限四则运算、利用夹逼性定理求极限、利用两个重要极限求极限、用洛必达法则、用定积分求极限、利用无穷小量性质和无穷小量与无穷小量之间的关系、利用变量替换等等方法求极限。此外, 数学归纳法也是常见的方法之一。

(一) 定义: (各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材, 这里不一一叙述) 。

说明: (1) 一些最简单的数列或函数的极限 (极限值可以观察得到) 都可以用上面的极限严格定义证明, 例如:

(2) 在后面求极限时, (1) 中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。

(二) 极限运算法则

定理1已知limf (x) , limg (x) 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有

说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。

(三) 两个重要极限

说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式,

(四) 等价无穷小

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小 (即极限是0) 。

定理3当x→0时, 下列函数都是无穷小 (即极限是0) , 且相互等价, 即有:

说明:当上面每个函数中的自变量x换成g (x) 时 (g (x) →0) , 仍有上面的等价关系成立, 例如:

三、举例解析

极限在高中数学中的应用十分常见, 本文现拟从以下几个例题来探讨求函数极限的方法。

(一) 分类讨论求极限

分两种情况讨论;

说明:先化简, 再求极限是求极限经常用到的方法, 该题考查了数列的基础知识、恒等变形的能力, 分类讨论的数学思想方法和求极限的方法。

(二) 自变量趋向无穷时函数的极限

例求下列极限:

分析:第 (1) 题中, 当x→∞时, 分子、分母都趋于无穷大, 属于“∞/∞”型, 变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂, 再应用极限的运算法则.

说明:“∞/∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法。

(三) 无穷减无穷型极限求解

例求极限:

分析:含根式的函数求极限, 一般要先进行变形, 进行分子、分母有理化, 再求极限。

(四) 利用运算法则求极限

说明:该题计算时, 要先求和, 再求所得代数式的极限, 不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则, 照搬到无限个数列的加、减、乘、除。

(五) 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限

说明:要注意p是与n无关的正整数, 不是无限项, 对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形, 使之成为便于求极限的形式, 以利问题的解决, 经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等。

(六) 零乘无穷型转化为无穷除无穷型

说明:对于这种含有根号的0·∞型的极限, 可采取分子有理化或分母有理化来实现.如本题是通过分子有理化, 从而化为, 即为∞/∞型, 也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即, 完成极限的计算.

(七) 零比零型的极限

(八) 利用数学归纳法求极限

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法。

(1) 不完全归纳法:根据事物的部分 (而不是全部) 特殊事例得出一般结论的推理方法。

(2) 完全归纳法:根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法。

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用, 用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论。

说明:数学归纳法步骤如下

(1) 验证当取第一个时结论成立;

(2) 由假设当 () 时, 结论成立, 证明当时, 结论成立;

根据 (1) (2) 对一切自然数时, 都成立。

四、总结

在学习数学的过程中, 敢于探索, 善于总结, 是我们学习数学必须具备的素质。本文只是举例说明了在极限中证明中常用的几种方法的运用, 另外还有很多其它方法可以灵活综合的解决问题, 这需要我们平时多观察和总结。同时, 我们需要在解题时能举一反三, 从概念出发深入分析极限与函数在数学中的应用。

浅谈极限的计算方法与技巧 篇3

【关键词】极限；计算；两个重要极限；等价无穷小；洛必达法则

1 引言

极限概念是深入研究函数变化性态的一个最基本概念，极限方法是数学中最重要的一种思想方法，是微积分学的基础。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如，魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》中利用割圆术，用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率。随着微积分学的诞生，极限作为高等数学中的一个概念被明确提出。但最初提出的这一概念是比较含糊的，因此在数学界引起不少争论。直到19世纪，由柯西、魏尔斯特拉斯等人才将其置于严密的理论基础之上，从而得到了世界的公认。

2 极限的几种计算方法

2.1 利用无穷小量的性质和等价无穷小的代换求极限

2.1.1 无穷小量有下列重要性质：

2.1.1.1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；

2.1.1.2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；

2.1.1.3 常量与无穷小量的乘积为无穷小量；

2.1.1.4 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。

当 时，有下列常见等价无穷小：

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（为非零常数）。

2.1.2 利用等价无穷小代换求极限时应注意以下问题：

2.1.2.1 等价无穷小代换只能对分子或分母中的因式进行代换.

2.1.2.2 在乘除运算中才可以将无穷小用其简单的等价无穷小去替换.

例1：求极限

解：因为当时，x为无穷小量，且，即为有界变量，

由性质（4）得=0.

例2：求极限

解：原式=

例3：求极限

解： 原式

2.2利用极限的四则运算法则求极限

定理1：设，则

①；

②；

③.

也就是说，如果两个函数的极限都存在，那么这两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为分母的函数的极限不能为0）.

由上述定理可以得到下面的推论

推论：设，

①若C为常数， 则；

②若n为正整数，则.

上述法则及推论对于，等情形均成立.

例1：求极限

解：原式==8

在应用极限的四则运算法则时，通常需要先对函数做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比较最高次幂法等。

例2：求极限

解： 原式=

例3 求极限

解：原式=

=

例4：求极限

解：原式=

==

例5：求極限

解：原式=

对于此极限，我们有一个一般的结果，用数学式子可表示为：

（l、m为正整数；al， ……，a0，bm， ……b0为常数且al·bm≠0）.

2.3利用两个重要极限求极限

2.3.1

该重要极限在极限计算中有重要作用，它在形式上有以下特点：

①它是型未定式.

②它可以写成（（ ）代表同样的变量或同样的表达式）.

例1：求极限.

解： 原式=

例2：求极限

解： 原式=

2.3.2

该重要极限在形式上有以下特点：

①它是型未定式.

②它可写成或.

例1：求极限

解：原式=

例2：求极限

解：原式=

2.4 利用洛必达法则求极限

2.4.1 型未定式

定理1：洛必达法则Ⅰ：若函数f （x）与g（x）满足条件

①；

②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；

③存在（或无穷大）.

则=

上述法则对时的型未定式同样适用.

例1 求

解： 原式=

2.4.2 型未定式

定理2：洛必达法则Ⅱ：若函数f （x）与g（x）满足条件

①；②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；③存在（或无穷大）.

则=

上述法则对时的型未定式同样适用.

例2：求

解：原式=

注：利用洛必达法则不仅可以解决型和型未定式的极限问题，还可以解决0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型等类型的未定式极限问题，解决这些类型未定式的方法，就是经过适当的变换，将它们化为 型或型未定式的极限。

3 结论

极限的计算方法灵活多样，根据题目的特点，合理选择运算方法是关键，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，1978.

[3]数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1995.

[4]陈传璋，金福临编.数学分析（上下册）第二版[M]，高等教育出版社，2006： 123-146.

极限平均值的证明 篇4

证明：因为limanA，所以对任意的0，存在N0，当nN时，有 n

|anA|，于是

|a1a2anaa2aNaN1anA||1A| nn

a1a2aNaN1annA| n

a1a2aNNAaan(nN)A||N1| nn

a1a2aNNA1|[|aN1A||anA|] nn|||

|a1a2aNNAnN| nn

因为lim|a1a2aNNA|0（注意分子为常数），所以存在N1N，当nn

aa2aNNAnN1时，有|1|，于是当nN1时，有 n

aa2aNNAnNa1a2anA||1|2，nnn|

有极限的定义有lima1a2anA。nn

n

2、设limanA且an0,A0，证明：lim12nA。n

证明：因为a1a2ana1a2an，n

a1a2ann111aa2an1111，a1a2anna1a2ana1a2an，n所以111a1a2an

111aa2an1111lim，又因为lim，利用第1题结论，有lim1

nnananAAnn

所以limn

111a1a2annA，同理lima1a2anlimanA，由夹逼定理nnn得

lima1a2anA。n

极限 定义证明 篇5

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于

2这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),则x>sinx^2/ξ^2,∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)

注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)

同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)

取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

所以a/M<=^(1/n)

对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;

令x趋于正无穷，a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;

注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令M趋于正无穷，b趋于a;

有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;

这表明limg(x)=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，故极限可以放进去。

2一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

证明二重极限不存在 篇6

若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，Y。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。)时，f(x，Y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，Y)不存在，这一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，Y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’Iogx，Yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。

当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时，极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次极限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

极限的计算、证明 篇7

定义 如果曲线上的动点沿着曲线趋于无穷远时, 动点与某直线的距离趋于零, 那么称此直线为曲线的渐近线.

在什么情况下有渐近线?如果有渐近线, 怎样求它们?下面就是问题的答案.

1.水平渐近线

如果undefined (或者undefined, 那么直线y=b是曲线y=f (x) 的一条水平渐近线 (x→+∞方向或者x→-∞方向) .

2.铅直渐近线

如果y=f (x) 在点C处间断, 且undefined (或undefined, 那么直线x=C是曲线y=f (x) 的一条铅直渐近线 (从左侧渐进或者从右侧渐进) .

3.斜渐近线

如果undefined, 且undefined, 那么直线y=ax+b是曲线y=f (x) 的一条斜渐近线.

根据曲线渐近线的分类和双曲线的方程, 我们知道双曲线的渐近线属于曲线的斜渐近线, 下面我们从斜渐近线的定义出发证明双曲线undefined有渐近线undefined

证明 由双曲线undefined可以得到undefined, 我们不妨选择undefined进行证明.

undefined

根据斜渐近线的定义知道, 双曲线的一条渐进线方程式为undefined.同理可得双曲线的另外一条渐进线方程式为undefined.至此, 我们已经证明对于undefined, 当x→+∞有两条渐近线undefined.同理可得对于undefined, 当x→-∞也有两条渐近线undefined.整理得到undefined.证毕.

参考文献

极限的计算、证明 篇8

近日，复旦大学传来好消息，该校计算机学院大三学生郭泽宇关于“最小曼哈顿网络”问题的论文被美国heM学会主办的第25届计算几何国际会议录用，文章同时作为最佳论文之一被邀请投稿到会议特刊DCG。这意味着这一计算几何领域十余年来未决的重要猜想被这位年仅20岁的中国本科生成功解决。

据介绍，计算几何国际会议是世界计算几何领域最高级别的会议，而“最小曼哈顿网络”问题困扰国际计算几何已久，而这一问题在城市规划、网络路由、大规模集成电路设计以及计算生物学等众多领域应用广泛。2008年6月，郭泽宇申请了复旦大学本科生学术研究资助计划中的“著政学者”项目，并大胆地选择了这一问题作为项目攻克对象。基于鼓励本科生创新和支持年轻人“闯劲”的考虑，郭泽宇最终得到了“若政学者”的资助。经过2 00多个日夜的思考和探索，这一十年未决的难题终于被他所破解。在项目结题书中，评审专家们这样写道：该项目达到了“著政学者”资助项目中非常高的水平。

据了解，1998年，在著名学者李政道倡导和设立的“著政基金”支持下，复旦大学开始开展资助优秀本科学生尽早接触学术研究的计划。从1998年到至2008年，共有1556位学生获得资助开展研究，其项目学科涵盖了医学、工学、理学、文学、教育学等多个领域。另据不完全统计，在2 008年，参加复旦大学本科生学术研究资助计划资助项目的大学生们在国内外期刊发表论文30篇，其中第一作者文章20篇。

回音定位系统可助盲人导航

近日西班牙研究人员研制出了一套类似于蝙蝠声波定位系统的教学方式，该方法能够让盲人通过发声并且接收回音的方式，来熟悉周围的环境。

科学家们发现，夜间蝙蝠在洞穴内飞行时，它的导航方式是通过自身独特的嘀哒声以及口哨声来制造一个四周环境的声纳图像，这种通过声波定位的方式被称为回声定位法。西班牙研究人员认为，借鉴蝙蝠的方法，他们已经找到一种方法，能够帮助盲人以回声定位法实现自身导航。

研究人员在《声学学报》上发表文章称，他们已经发现了一系列能够被人类所使用的声波。同时他们还制定了一套训练体制，能够帮助盲人以回波的方式来实现周围环境的视觉化效果。值得一提的是，这些研究人员认为，在这套训练系统中，产生回音最有效的发音方式是通过以舌头拍打口腔顶部来实现的。

据悉，已经有部分失明残疾人参加了这种定位方法的培训。其中有一位名叫丹尼尔·基什的美国人，已经将这套回声定位法掌握得非常好。他成为第一位获准担任盲人导游工作的失明人士。

极限的计算、证明 篇9

证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 当n=k+1时，2+4+6+…+2k+（k+1）

所以n=k+1时，等式也成立．

根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立． 生甲：证明过程正确．

生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．

师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．

（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）

（二）讲授新课

师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．（板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx． 师：首先验证n=2时的情况．

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．

高等数学中的极限计算 篇10

1.利用极限四则运算法则和函数连续性理论计算极限

极限四则运算法则和函数连续性理论是极限计算的基础, 简单的极限计算可利用四则运算法则和函数连续性理论直接求得.

2.恒等变换法

对不满足极限四则运算法则条件的函数, 可通过恒等变换, 使其符合条件后再利用极限四则运算法则求之.主要的变换方法包括分解因式、约分和通分、分子分母有理化、三角变换等.

例1 求极限undefined

undefined

3.运用两个重要极限求极限

两个重要极限:

undefined

例2 求undefined

解undefined,

令undefined,

则undefined

4.利用等价无穷小的替换求极限

例3 求undefined

undefined

undefined

注意 只有对所求极限式中相乘或相除的因式可以用等价无穷小的替换, 而极限式中相加或相减部分不能随意替换.

5.利用洛必达法则求极限

洛必达法则是计算未定式极限的基本方法.undefined和undefined型的未定式可直接利用洛必达法则求极限, 而其他类型的未定式都可设法转化为undefined或undefined型的未定式.

undefined

6.利用麦克劳林公式求极限

例5 求极限undefined

分析 本题若直接用洛必达法则也能计算, 但必须要用六次洛必达法则, 而且导数越求越复杂.用公式就会方便得多.

undefined

7.计算极限的其他方法

(1) 利用无穷小的性质; (2) 夹逼准则; (3) 利用定积分的定义计算极限; (4) 利用级数收敛计算极限; (5) 利用单调有界定理计算极限.

注意对于n项求和的数列极限问题, 一般考虑用夹逼准则或定积分定义计算, 本题应用了夹逼准则.

求极限时, 要根据所求极限表达式的特点选用相应的方法, 对于较复杂的极限要尽量先化简, 常用的化简方法主要有:部分乘积因式的极限为非零常数时立即运用极限乘法法则提出, 等价无穷小的替换.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社, 2002.

[2]彭辉.高等数学同步辅导 (同济5版) .新华出版社, 2004.

浅谈函数极限计算的常用求法 篇11

1 利用极限的四则运算法则求解

利用商的极限法则

2 利用无穷大与无穷小的关系求解

利用无穷小与无穷大的关系

3 利用无穷小的性质求解

性质有界函数与无穷小量的乘积是无穷小

4 利用两个重要极限求解

4.1 第一个重要极限

4.2 第二个重要极限

利用这个重要公式求这类函数极限, 关键在于将所给函数凑成公式的形式, 然后再利用极限公式求出函数的极限

要给学5利用函数连续性求解

解:利用对数的性质, 并由复合函数的极限法则

5利用洛必达法则求解

注意: (1) 在用此方法求极限之前需先检验函数的极限是否为未定型。

(2) 洛必达法则可以多次使用, 每用一次法则之后, 要注意化简并分析所得式子, 直到所求函数不再是未定型为止。

6 利用等价无穷小的代换求解

注意:在利用等价无穷小代换求极限时, 只能对函数的因子或整体进行无穷小的代换。在分子或分母为和式时, 通常不能将和式中的某一项或若干项以其等价无穷小代换。

7 利用左右极限讨论分段函数在其分段点处的极限

以上8种方法是求函数极限的常用方法, 有些题目可能有多种解法, 只有不断地总结和摸索, 才能领悟各种方法的精髓, 为今后的高等数学的学习奠定良好的基础。

摘要：本文介绍了高等数学中极限计算的常用方法 , 并通过典型实例进行分析归纳, 针对其中需要注意的细节和技巧加以说明, 希望对高职院校的学生在高等数学的学习过程中有一定的指导意义。

关键词：函数,极限,无穷小,洛必达法则

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社.

[2]吴赣昌.高等数学[M].4版.北京:中国人民大学出版社.

极限的计算、证明 篇12

智能化是电网发展的最终目标,而柔性化是智能化电网发展的必要手段。目前,电力系统的柔性应用还不广泛,大部分应用主要集中在柔性交流输电(FACTS)方面。柔性交流输电系统[1],也称为灵活交流输电系统,是指应用于交流输电系统的电力电子装置,其中“柔性”是指电力系统利用电力电子装置对电压、电流的可控性。随着现代电网智能化、柔性化的发展,基于电力电子技术的柔性化电力技术已很难满足电力系统灵活性的需要,电力系统的柔性更多的是体现在系统参数变化情况下系统的可控性和响应能力,特别是间歇性能源的开发和利用对电力系统的灵活性提出了更高的要求。

风力发电是目前技术最为成熟的可再生能源发电方式,随着风电机组单机容量和风电场规模的增大,大型风电场并网运行对电力系统的影响也越来越明显[2]。为了能在系统正常运行的前提下,尽可能地利用风能,确定一个风电场的穿透功率极限及其影响因素成为了规划设计风电场时迫切需要解决的问题[3]。

由于风电场对系统的影响涉及到许多方面,分析计算十分复杂,因此至今尚没有统一的求解风电场穿透极限功率的方法。时域仿真法是首先设想一个风电功率,然后选取几种典型的系统运行方式,通过动态仿真检验系统在该水平的风电容量冲击下是否会失去安全性和稳定性[4,5],然后对风电容量进行修正,通过比较各组数据确定穿透率极限。实际上这是一种验证性的间接计算方法,可以检验风电接入后系统的动态性能,但要准确地确定一个给定系统的最大装机容量,需要进行大量的仿真计算。

文献[6-8]从电网静态运行安全角度出发,把风电穿透功率极限的计算归结为各种约束下的风电功率最大化,采用确定性分析方法计算了风电穿透功率极限。但由于风电的随机性很强,在优化过程中将风电功率作为确定性变量将会对优化结果的可行性造成影响。

文献[9]将风电穿透功率极限看作是在满足网络和设备约束前提下系统允许的风电场最大装机容量,并基于此提出了一种基于机会约束规划的风电穿透功率极限计算方法。文献[10]采用相关机会规划理论,在保证系统安全运行的前提下,引入了风电的发电能力约束,并考虑了风电场减出力控制措施的影响,建立了计算风电并网容量的优化分析模型。但两者都利用了人为近似假设:风电场的风速满足Weibull分布,求解模型没有充分反映出风电出力随机性强的特点。

大量的研究结果表明[11],在计算风电穿透功率极限时考虑风电出力的随机性十分重要,但现有的求解方法都不能有效地处理此类问题。对此,本文把电力系统柔性概念引入到风电穿透功率极限的研究中,提出了基于电力系统柔性评价的风电穿透功率极限计算方法。该方法充分考虑了风电出力随机性给风电场穿透功率计算带来的影响,通过IEEE 30节点系统对比分析,证明了该方法的有效性。

1 电力系统的柔性

1.1 柔性概念

广义的柔性是指系统对不确定信息的响应能力。最初的柔性分析,是针对过程系统的实用性、可操作性而展开的研究工作[12,13,14]。所谓过程系统中的柔性,Grossmann和Morari定义为系统在从一种操作状态过渡到另一种操作状态的情况下,能够调节到满足工艺要求的能力[15]。电力系统的柔性与过程系统中的柔性概念有相同之处,都是指系统在结构确定的情况下针对参数变化时的适应能力和可控性。

在电力系统中,不确定参数y的变化范围(即柔性)可以描述为:

其中,δ为柔性参数,决定了参数变化的范围和柔性的大小;ε-、ε+分别表示参数变化范围的下界和上界,是δ的函数。当ε-、ε+是δ的线性函数时,电力系统的柔性被称为“线性柔性”;当ε-、ε+是δ的非线性函数时,则被称为“非线性柔性”。对于电力系统中的“线性柔性”,参数y的柔性还可以描述成一个以固定值y0为中心,正负偏差大小分别为Δy+和Δy-(事先人为给定或按y的概率分布给定)的超矩形:

1.2 电力系统的柔性评价

一般电力系统的规模较大、覆盖面较广,电力系统中参数的变化和不确定性是多种多样的。在含不确定参数的条件下,电力系统优化问题的约束条件可以由下式表示:

其中,x是状态变量;u是控制变量;y是不确定参数,其柔性可以由式(1)表示;I表示不等式约束集,包括节点电压约束、线路潮流约束以及发电机出力约束等;J表示等式约束集,主要为功率平衡方程。

对式(3)作如下简化:

由式(1)可知,柔性参数δ的大小确定了不确定参数y的变化范围。控制变量u的作用就是在确保不确定参数y在超矩形内任意变化时,能够通过u的适当调节,也即存在确定的u,使得满足约束式(3)。因此,对尽可能大的T(δ)空间,柔性约束条件可表示为:

其中,表示选取不等式约束中最大的一个;表示通过调整控制变量u来尽可能地改善电力系统的安全性和可靠性;表示通过调整参数来描述最恶劣情况下电力系统的安全性和可靠性。

对于确定的柔性参数δ,不确定参数y的变化范围是确定的,因此电力系统柔性评价问题可以描述为:

也可描述为:

其中,χ(δ)表示电力系统的安全性和可靠性,是柔性参数δ的函数,只有χ(δ)≤0时才说明电力系统的安全性和可靠性满足要求。

上述模型的物理意义是,对于确定的δ和给定范围内任意的y,是否存在可调的u,满足电网安全、可靠运行的要求。

电力系统柔性评价表明了参数在给定范围内变化时系统的适应能力和可控性。当柔性参数δ不确定时,可以定义如下的可变柔性指数:

上述模型的最优解F(δ*)代表了电网的柔性评价指标,即柔性指数,柔性指数的大小反映了电力系统安全、可靠运行的裕度。柔性指数越大,电力系统对不确定参数变化的适应性越强。

值得说明的是,柔性评价分析是传统确定性分析方法向不确定领域的延伸,其实质是一种面向不确定性信息的确定性分析方法。与传统确定性分析法[16]相比,该方法可以有效地处理规划过程中的不确定信息,使得规划方案灵活性更强、适应性更好;与不确定性分析法(如随机规划[17]、模糊规划[17]等)相比,该方法可以消除不确定分析法对不确定信息的分布类型存在人为近似假设的缺陷,因为其对不确定信息进行建模时,并不需要事先预知不确定信息的分布类型。

2 风电的极限穿透功率

2.1 风电功率的柔性化表示

风电机组是不可控机组,其输出功率特性可由式(9)所示的分段函数近似表示[9]:

其中,PN为风机额定输出功率;v为风机轮毂高度处的风速;vci为切入风速,当风速高于此设定值时,自动装置动作把风机并入电网;vco为切出风速,当风速高于此值时,风机停止发电从电力系统中解列出来;vN为额定风速,当风速大于或等于此值而小于切出风速时,风机出力为额定值。

由式(9)可知,风电输出功率并不是一个确定的量,而在一个范围内波动,其功率水平值很大程度上取决于当时的风速条件。虽然基于风速预测可对风电输出功率特性进行模拟研究[18,19],但是风电功率预测误差往往大于风速预测误差,这主要是由于风速与风力发电功率的对应关系所致。在经过功率特性曲线转换后,不是很强的风速规律性被进一步破坏,得到的风力发电功率规律性更加微弱,表现出非常强的随机性。因此,不确定分析方法(需预知不确定信息的分布规律)很难有效处理风电功率不确定性的问题,更不可把风电功率作为确定性变量参与决策优化。由电力系统柔性概念可知,柔性参数δ的定义为解决这类问题提供了可能,因为其对风电输出功率的不确定性进行建模时,并不需要事先预知其分布类型。风电功率柔性属于“线性柔性”范畴,其参数的变化范围可描述如下:

其中,PwN为风电功率波动中心,ΔPw-和ΔPw+分别为风电功率负向和正向波动偏差。风电功率的随机性主要表现为风电功率在一个范围内波动。因此,只要根据实际情况确定合适的波动中心PwN以及互相匹配的正、负向波动偏差ΔPw+和ΔPw-,式(10)就可以准确地模拟风电功率的随机波动,实现对风电功率的随机性建模。

研究表明,风电输出功率一般在0~PN之间随机波动,因此风电功率随机波动的上、下限是确定的。由电力系统柔性约束条件χ(δ)的物理意义可知,只要在给定的δ值下,PN满足电力系统安全性和可靠性约束,那么在相同的δ值下,其他的风电输出功率Pw也肯定满足安全性和可靠性约束,式(10)可简写为:

简化后,式(11)消除了负向波动偏差的影响,使得柔性指数模型(式(8))被简化为关于柔性参数δ的一维求极大值的优化问题,而波动中心PwN和正向偏差ΔPw+仅作为δ的常系数参与优化,对计算结果无影响,所以可以任意选取(ΔPw+≠0)。

2.2 数学模型

基于风电功率的柔性化表示,当把风电功率定义为参数变量y时,式(8)中柔性指数的最优值F(δ*)即代表风电最大并网容量,则风电穿透功率极限计算模型可描述如下:

其中,Plmax为线路潮流限值组成的向量;Umax和Umin为节点电压上、下限组成的向量;PGTmax和QGTmax为常规能源发电的有功和无功功率上限组成的向量,PGTmin和QGTmin为两者下限组成的向量;Pwi、PGTi、Qwi、QGTi分别为风力发电和常规能源发电的有功和无功功率;PLi、QLi为系统节点有功和无功负荷;PNwi为风电场有功功率波动中心,ΔP+wi为风电场有功功率正向波动偏差;i=1,2,…,N。

上述模型的物理意义在于,调整常规发电机组出力,在保证电力系统静态安全性的前提下,确定风电功率的最大变化范围,即风电穿透功率极限。

3 求解方法

如式(8)所示的柔性指数求解是一个多目标优化问题,可将柔性指数模型分解成2个子问题。

子问题1:

子问题2:

在子问题1中,柔性参数δ是常数,所以有:

对于子问题2,当v的最大值为临界值0时,变化为:

通过对上述2个子问题(式(15)和(16))交叉迭代求解就可以得到原问题的解。本文采用序列线性化的方法计算求解。

对式(15)线性化:

由等式约束可得:

代入不等式约束中,有:

求解上述线性规划问题,可得控制变量的修正量Δu,令:

代入式(16)中,并进行线性化:

由等式约束得:

代入不等式约束中,得到:

计算上述问题,得到Δy,并按下式进行修正:

代入式(15)中,替换y0,并进行潮流计算,更新状态变量x。上述2个子问题交替求解,当Δy≈0,Δu≈0时迭代结束,最终的F(δ*)等于式(16)确定的δ*。特别地,当等式约束和不等式约束都是参数y的线性函数时,在式(16)中不需要对y进行线性化。

4 算例分析

本文采用IEEE 30节点测试系统,对上述计算模型和求解算法进行了验证。系统中常规机组出力上、下限如表1所示(均为标幺值)。

为了验证本文所提出的计算模型的有效性以及揭示风电出力的随机性对风电穿透功率极限计算的影响,分别选取7、10、14、17、24作为风电并网节点,采用传统确定性分析方法以及本文提出的柔性评价分析方法,分别求解风电穿透功率极限,计算结果见表2(均为标幺值)。

表2的计算结果表明,在负荷既定的情况下,风电场从不同的网络节点并网,电网所能承受风电功率随机波动的柔性范围是不同的。换言之,系统的网络结构是影响风电穿透功率极限的一个重要因素。另外,随着对风电出力随机性考虑的全面性,对大部分节点而言,系统可接受的风电穿透功率水平显著降低,原因在于,在一定的系统机组出力调节裕度下,传统确定性分析方法仅寻求一组最优的机组调度方案,在满足系统安全、可靠性运行的要求下,得到全局最优解,若直接把该最优解作为风电场最大装机容量并考虑风电出力的随机性,当风电功率在该功率限额下波动时,就有可能存在某个或多个风电功率水平值,在同一机组出力调节裕度下,不满足系统安全、可靠运行的要求,造成系统存在越限危险。而柔性评价分析方法恰恰弥补了这一缺陷,它通过降低风电场最大装机容量,剔除造成系统越限的病态风电功率水平值,使得风电功率在其最优解限额下波动时的任一功率水平值,在同一机组出力调节裕度下,都能满足系统安全、可靠性运行的要求,避免因初期风电功率随机性考虑不足、风电并网容量规划过大而造成的系统越限危险,使得风电穿透功率极限计算更加合理。特别地,当系统机组出力调节裕度可以有效抑制风电出力随机性对风电穿透功率极限计算的影响时,两者所得最优解将相等,如节点24。

增加常规机组的功率调节裕度,分别将有功出力上限上调10%,下限下调10%,仍选取上述节点作为并网点,计算结果见表3(均为标幺值)。

表2和表3的计算结果表明,随着系统机组出力调节裕度的提高,系统可以接受的风电装机容量水平有较为明显的提高,但仍有部分节点的功率水平变化不大,如节点14。这说明此时网络结构起决定作用。

5 结论

本文把电力系统柔性概念引入到风电穿透功率极限的研究中,提出了基于电力系统柔性评价的风电穿透功率极限计算方法,并采用IEEE 30节点系统算例进行了对比验证。研究结果表明,风电功率的柔性化表示完全反映出了风电出力随机性强的特点,柔性评价分析实现了传统确定性分析方法向不确定领域的延伸,是一种面向不确定信息的确定性分析方法。