谈谈反证法（通用9篇）
谈谈反证法 篇1
一、写作背景和意义
（一）写作背景
本文是列宁《哲学笔记》中的一篇短文，写于1915年。1914年第一次世界大战爆发后，第二国际机会主义者为了替他们的沙文主义立场辩解，公然用诡辩论冒充辩证法，列宁为了批判第二国际社会沙文主义者的诡辩论，为了解决社会主义革命所面对的新问题，潜心研究辩证法，做了大量的笔记，并在此基础上写了《谈谈辩证法问题》一文。《谈谈辩证法问题》和《辩证法的要素》是列宁专门论述辩证法学说的上下篇。上篇即《辩证法的要素》是讲构成辩证法本身的基本内容，列宁在概括十六要素的实质时指出：“可以把辩证法简要的确定为关于对立面的统一的学说，这样就抓住了辩证法的核心，可是这需要说明和发挥的”。作为下篇《谈谈辩证法问题》就是对这个核心的说明和发挥。该文即是阐发马克思主义唯物辩证法的理论要求，也是当时俄国革命运动的实践要求。马克思和恩格斯虽然奠定了辩证法的唯物主义基础，但是没有完成系统阐述辩证法理论的夙愿。列宁通过一系列哲学著作特别是黑格尔哲学的研读，准确的把握了古希腊朴素辩证法、黑格尔唯心辩证法以及马克思恩格斯唯物辩证法的实质，在此基础上，对辩证法进行了深刻而系统的阐述，该文就是这一理论努力的成果之一。
（二）意义
在本文中，列宁第一次在马克思主义哲学发展史上说明和发挥了对立统一规律在唯物辩证法中的核心地位。首次阐发了对立面斗争的绝对性和对立面统一的相对性的辩证关系，提出了是否承认对立统一是两种发展观的根本对立的关键，并提出阐发了辩证法就是马克思主义认识论，深刻的揭示了唯心主义产生的认识论根源。这篇文章文字虽然不多，但却是列宁辩证法思想的纲要和精华，因而在马克思主义哲学著作中占有极其重要的地位。
二、内容简介 共分为四个部分
（一）对立统一规律的内容及其在辩证法中的地位
1、对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心。
统一物之分为两个部分以及对它的矛盾着的部分的认识是辩证法的实质。这里既包括统一物分解为对立面的客观法则，又包括反映这些矛盾的认识法则，强调客观意义的辩证法实质上同时也是马克思主义的认识论。
2、对立统一规律的客观性和普遍性。
对立统一规律不是“实例的总和”，而是客观世界的规律和认识的规律。列宁认为为了通俗化而举例说明对立统一规律存在的普遍性是必要的，但是不能像普列汉诺夫那样举例来替代论证，甚至举例来代替对规律的揭示。
3、对立统一规律的内容。
对立面的统一就是承认自然界的一切现象和过程具有矛盾着的相互排斥的对立的倾向。这就是说任何事物的内部都具有联系，相互依存和相互排斥相互斗争的两个方面，二者又统一又斗争构成矛盾运动，推动着事物的不断发展。
4、是否承认对立统一规律是两种发展观根本对立的关键。
对立统一的内涵即统一的过程或现象具有两个相互排斥的对立面，正是这两个方面的统一和斗争才导致事物的发展，两种发展观的对立。是否承认矛盾两个方面既对立又统一的关系是事物自己运动的源泉和动力，是唯物辩证的发展和形而上学的发展观的根本区别。
5、两种根本对立的发展观
列宁认为，两种发展观的对立首先就在于辩证法发展观认为发展是对立面的统一，而形而上学发展观则否定对立面的统一，而把发展看成简单的量的增减。由于这一根本对立导致了第二个对立。辩证法将发展看成是事物的“自己运动”，即认为事物运动发展的泉源在于事物的内在矛盾，而形而上学将事物运动变化的原因放到事物的外部，主张外因论，因为物质世界之外的原因只能到神或主体那里去寻找。由于这个队里又产生了第三个对立。辩证法把发展理解为旧东西的消灭和新东西的产生。而形而上学的发展观是死板的，贫乏的，认为是同类事物的简单的重复，实质上否认事物的发展，列宁在这里指出只有从对立面的斗争和转化出发才能理解事物的发展何以经历否定之否定的道路，才能理解事物何以由量变转化为质变。辩证法的发展观和形而上学发展观的根本对立焦点在于是否承认发展是对立面的统一，即是否承认事物的内部矛盾是事物运动的真正动力或内在源泉，由于这一根本对立，便产生了其他方面的对立。
6、对立面的统一是相对的，对立面的斗争是绝对的。
辩证法认为相对的和绝对的区别也是相对的，诡辩论则只承认相对而排斥绝对。由此引申的理论问题是：辩证法和相对主义、诡辩论的划界等问题。矛盾两方面同一性的相对性和斗争性的绝对性就构成了运动的绝对性和静止的相对性。列宁不仅第一次提出了对立面的统一和对立面的斗争的关系式相对和绝对的关系，而且还进一步指出辩证法和诡辩论在绝对和相对的关系上是根本对立的。列宁指出唯物辩证法认为相对和绝对的差别也是相对的，相对中有绝对。
列宁系统的论述了对立统一规律的内容，并把此规律概括为辩证法的实质和核心，这是列宁对辩证法理论的贡献，它不同于黑格尔把否定之否定规律作为辩证法核心的思想。
（二）辩证法也就是马克思主义的认识论
辩证法是客观世界发展的逻辑而是人类历史认识发展的逻辑，辩证法与认识论是一致的。
1、分析矛盾的方法是认识事物的根本方法。
列宁以马克思的《资本论》为例，说明马克思以商品的内在矛盾的发展为核心，采用从抽象到具体的方法构建的资本论的逻辑，既揭示了资本主义辩证转化的规律，也反映了人类对资本主义认识的辩证发展规律，因而作为客观意义的辩证法也就是马克思主义的认识论。所以马克思认识资本主义社会的方法就是辩证的分析矛盾的方法。
2、任何事物、命题都有个别和一般的辩证法。
世界上的任何事物都是个别和一般的统一体，人们对客体事物的认识是从个别到一般的认识过程。
A．个别和一般是同一的。个别与一般是相互联系的，一般只能在个别中存在，个别也一定是与一般联系而存在，一般和个别相互连结，不可分割。
B．个别和一般是对立有差别的。个别和一般之间存在着对立的关系，每个个别的特性并不完全的包含在一般之中，个别比一般要丰富。
C.个别和一般反映了事物之间的普遍联系。
D．个别和一般的关系中包含着偶然和必然、现象和本质的关系。
3、辩证法和认识论是一致的。
认识离不开辩证法，辩证法就是认识论。正是在辩证法这个本质的为题上，普列汉诺夫没有注意到这一方面，因为他不懂辩证法就是马克思主义认识论，不懂对立统一规律也是认识的规律，不懂矛盾分析的方法就是马克思主义的认识方法。
（三）认识是螺旋式发展的过程
1、黑格尔和福尔克曼都把人类的认识看作是一串圆圈。
由于外部世界是无限广大的，因而人对世界的认识只能是一个圆圈一个圆圈的进行。在圆圈的往复过程中，认识越来越深入，越来越精确。
2、哲学思想的螺旋式上升运动。三个时期，四个圆圈，十三位代表性哲学家。
A． 第一个圆圈是从古希腊的德谟克利特开始，经过柏拉图到赫拉克利特。
德谟克利特：原子论。
柏拉图：理念世界，否定了德谟克利特的哲学。赫拉克利特：火本原说。B． 第二个圆圈是文艺复兴是到的笛卡尔、伽桑迪和斯宾诺莎。C．近代，列宁认为有两个圆圈，一个是从霍尔巴赫经过贝克莱、休谟、康德、到黑格尔。第二个圆圈是黑格尔、费尔巴哈和马克思的哲学思想构成了近代哲学思想的发展。
3、列宁指出，由于把辩证法引入认识论，从而使认识获得了由低级到高级，由简单到复杂，由单调到丰富的发展，形而上学唯物主义认识论的缺陷在于没有在实践的基础上将辩证法引入认识论。
（四）唯心主义产生的根源。
1、认识论根源。
在认识过程中，由于人的认识不是沿着直线进行的，而是无限的近似于一串圆圈，这就存在产生唯心主义的可能性，而使这种可能性转化为现实性的条件是思想方法上的直线性和片面性。由于思想方法上的直线性就会把无限曲折前进辩证发展的螺旋式认识过程中的任何一小段抽取出来，就会人为的把曲线变为直线，只见树木不见森林，并加以扩大使其脱离物质自然界，变成超然于客观世界之外而独立存在的东西，而陷入唯心主义。
2、阶级根源。
剥削阶级为了维护他们的反动统治，不仅依靠暴力镇压而且还从精神方面进行欺骗，他们是利用唯心主义和宗教作为精神武器，竭力支持它，吹捧它，雇佣和收买一批反动文人宣扬它。
列宁在这里说“唯心主义时人类认识这棵树上的一朵无实花”。这段话表明，第一，唯心主义时有根基的，有他产生的认识论和阶级根源，他不是偶然的产物，从人类社会产生那天起就存在着唯物主义和唯心主义的斗争。唯心主义这朵无实花适合唯物主义这朵结果实的花生长在同样这棵人类认识之树上，也就是说唯物主义和唯心主义总是想比较而存在的，相斗争而发展的。第二，唯心主义这一朵不结果实的花是一种华而不实的欺人之谈，对于人类的认识和实践不仅无益而且极端有害，它阻碍着人们去正确认识世界和改造世界，必须加以批判。
思考题：
1、列宁在《谈谈辩证法问题》中是怎样论述对立统一规律是唯物辩证法的实质的？
2、列宁在《谈谈辩证法问题》中是怎样论述辩证法就是马克思主义认识论的？
3、列宁在《谈谈辩证法问题》中是怎样论述个别和一般的辩证关系的？
4、列宁在《谈谈辩证法问题》中是怎样分析唯心主义的认识论根源和阶级根源？
5、如何正确理解对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心？
6、简述唯物辩证法发展观和形而上学发展观的区别？
7、如何正确理解和运用马克思主义的矛盾分析法？
8、为什么说辩证法也就是马克思主义的认识论？
谈谈反证法 篇2
在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一, 但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍, 学生在运用上又不如直接证法那样顺理成章, 而且在归谬过程中学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力, 对在怎样的情况下才可采用反证法, 学生又不容易判断, 所以对反证法的理解和在恰当地应用上都存在不少的问题, 因此本文就反证法做一些介绍和探讨。
二、反证法的作用及概念
1. 反证法的作用。
牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯 (前460年左右) , 在欧几里得的《几何原本》中也有不少用反证法的范例。我国在五世纪时《张邱建算经》中已有运用[1]。反证法是数学证明中的一种重要方法, 当正面不容易或者不能证明时, 我们可以从命题的反面来思考问题, 若能恰当使用, 往往可以收到较好的效果.特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法, 因此认识和掌握反证法就显得十分重要。
2. 反证法的概念。
(1) 什么是反证法。反证法属于间接证法, 法国数学家阿达玛在其所著《初等数学教程》中作了最准确、最简明的描述:“反证法在于表明, 若肯定定理的假设而否定其结论, 就会导致矛盾”。具体地讲, 就是由否定命题结论的正确性出发, 根据题设条件、定义、法则、公理、定理, 进行一系列正确的逻辑推理, 最后得到一个矛盾的结果。即就是结论的反面不能成立, 从而肯定命题结论的正确性, 这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法。
(2) 反证法的分类。根据命题结论的否定情况, 把反证法分为归谬法和穷举归谬法。
当命题的结论只有一种情况时, 只要驳倒其反面就可以, 这种证法叫做归谬法。
当命题的结论不止一种情况时, 就必须把命题结论反面的所有情况一一驳倒, 才能肯定原结论成立, 这种证法叫做穷举归谬法。
三、反证法的科学性及证明方法
1. 反证法的科学性。
(1) 反证法的理论依据。反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑的基本规律中的“矛盾律”和“排中律”。
其基本内容是:在同一论证过程中, 对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断, 不能同时都为真, 至少有一个是假的, 这就是“矛盾律”。如对姨2这个对象, “姨2是有理数”和“姨2是无理数”的两个判断中至少有一个是假的。
在同一论证过程中, 对同一对象的肯定判断和否定判断, 这两个相矛盾的判断必有一个是真的, 这就是“排中律”。如要证明“姨2是无理数”, 只要证明“姨2是有理数”不真就够了。因为“姨2是有理数”和“姨2不是有理数”, 是对象姨2的两个相矛盾的判断, 依据排中律, 其中必有一个判断是真的。如能证明“姨2不是有理数”不真, 就可以证明“姨2是无理数”为真。
(2) 反证法的可信性。反证法在其证明过程中, 根据“矛盾律”, 对“原结论”和“否定的原结论”来说, 这两个相矛盾的判断不能同时都为真, 必有一假, 而已知条件、已知公理、定理、法则或者已证明为正确的命题都是真的, 所以“否定的原结论”必为假。再根据“排中律”, “原结论”与“否定的原结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假, 必有一个是真, 而“否定的原结论”为假, 于是我们得到“原结论”必为真。综上, 我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据, 通过逻辑推理, 得出令人信服的正确结论。反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应用。
2. 反证法的证明方法。
(1) 提出假设。在否定命题的结论之前, 首先要弄清命题的结论是什么。当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的, 但当命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时, 就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲, 在提出“假设”后, 再回过头来看看“假设”的对立面是否恰好是命题的结论, 要做到完全彻底的否定, 不得有遗漏。
(2) 推出矛盾。在这一步骤中, 从“否定的结论” (补充的假设条件) 和已知条件出发, 进行一系列有限次的推导, 进而产生矛盾, 整个推理过程必须准确无误, 这样导致的矛盾才是有效的。
(3) 肯定结论。由于推理正确, 而又产生矛盾, 其原因是“否定原结论”导致的结果, 依据前面的分析, 我们可以肯定“否定的原结论”必定是错误的, 从而肯定原命题是正确的。
四、反证法应用举例
由于反证法的应用多种多样, 以下仅就推理中出现的不同矛盾形式举例说明。
1. 与公理抵触。
例1在同一平面内, 平行于同一直线的两条不同直线必定平行。
已知:如图直线a, b, c中, a∥c, b∥c.求证:a∥b.
证明:假设a不平行b, 那么a, b必相交于一点, 设为P.
因为a∥c, b∥c, 那么过P点有a, b两条直线同时平行于c, 这与平行公理矛盾。
2. 与定理矛盾。
例2垂直于同一条直线的两条直线不能相交。
已知:两条直线a、b同时垂直于直线c, 求证:a、b不能相交。
证明:假设a、b相交, 设交点为C, 则通过同一点C有两条直线垂直于直线c, 这就同定理“过一点只能引一条直线于已知直线垂直”矛盾。
3. 与定义不符。
例3姨2不是有理数
已知:姨2是2的算术平方根, 求证:姨2不是有理数。
证明:设是姨2有理数, 则姨2等于一个既约分数q/p, 即姨2=q/p,
列宁《谈谈辩证法心得》读后感 篇3
让我们试着按照马克思的方法去找一些其他领域里的“细胞”或“种子”性质的东西。
1、在学校的教育方面
在学校的教育方面，我认为具有这种“细胞”性质的东西就是学校中的“教学活动”。因为从学校教育这个事物中，我们发现最简单、最普通、最常见、最平凡、碰到过亿万次的关系正是师生之间的教学活动。离开了师生的教学活动，学校的存在就失去了意义。从分析教师与学生的矛盾出发可以发现学校教育的一切问题的本质和这些问题的线索。
2、在人生意义方面
在人生意义方面，我认为具有这种“细胞”性质的东西就是在人的生命过程中“生与死”的关系（“对死亡意义的思考”）。因为在人的一生中，人们始终会不知不觉地在内心思考和追问生命的意义和生活的价值这样的问题，而对这个问题解答迫使人们不断地去思考“死是什么意思？”的问题。一个人如果把“死”的问题想得透彻了，他才能把人生的意义搞清楚。一个人在搞清楚了死的问题和生的意义后，只要活一天，他都会活的很充实和很明白。所以，像李天命这样聪明的学者才会在步入中年后的学术鼎盛时期，把大量的精力投入到人的生与死问题的思考研究上面，这也解释了为什么历史上所有的思想家都要把生与死的问题作为自己思考对象的原因。生与死是一个矛盾统一体，生就意味着走想死亡，死亡就意味着一种新生。任何人的一生都绕不开这个问题。在社会现实中，我们完全可以从一个人实际上是怎样的活法看出该人对死亡意义的理解；同样当一个人对死亡意义的观念和理解发生改变时候，我们就会看到该人活法的改变。
我个人认为学习一种方法最好的办法就是把这种方法用于实际生活与工作之中，理论的价值在于应用、在于指导人生实践。对于一种正确的理论用不用是一个态度问题，用的好不好是水平问题。态度决定一切！
[一般辩证法的阐述（以及研究）方法也应当如此（因为资产阶级社会的辩证法在马克思看来只是辩证法的局部情况）。从最简单、最普通、最常见的等等东西开始；从任何一个命题开始，如树叶是绿的，伊万是人，茹奇卡是狗[303]等等。在这里（正如黑格尔天才地指出过的）就已经有辩证法：个别就是一般（参看亚里士多德《形而上学》，施韦格勒译，第2卷第40页，第3篇第4章第8—9节：“因为当然不能设想：在个别的房屋之外还存在着一般房屋。”）。这就是说，对立面（个别跟一般相对立）是同一的：个别一定与一般相联而存在。一般只能在个别中存在，只能通过个别而存在。任何个别（不论怎样）都是一般。任何一般都是个别的（一部分，或一方面，或本质）。任何一般只是大致地包括一切个别事物。任何个别都不能完全地包括在一般之中，如此等等。任何个别经过千万次的过渡而与另一类的个别（事物、现象、过程）相联系，如此等等。这里已经有自然界的必然性、客观联系等概念的因素、胚芽了。这里已经有偶然和必然、现象和本质，因为我们在说伊万是人，茹奇卡是狗，这是树叶等等时，就把许多特征作为偶然的东西抛掉，把本质和现象分开，并把二者对立起来。可见，在任何一个命题中，很像在一个“单位”（“细胞”）中一样，都可以（而且应当）发现辩证法一切要素的胚芽，这就表明辩证法本来是人类的全部认识所固有的。而自然科学则向我们揭明（这又是要用任何极简单的实例来揭明）客观自然界也具有同样的性质，揭明个别向一般的转变，偶然向必然的转变，对立面的过渡、转化、相互联系。辩证法也就是（黑格尔和）马克思主义的认识论：正是问题的这一“方面”（这不是问题的一个“方面”，而是问题的实质）普列汉诺夫没有注意到，至于其他的马克思主义者就更不用说了。]
上面的段落比较长，但这里所阐述的观点却很值得注意。列宁在这里谈到了一般与个别的关系、谈到了偶然与必然的关系以及现象与本质的关系等重要的问题。
在形式逻辑里，人们只承认一般只是一般，个别只是个别；偶然就是偶然，必然就是必然；现象就是现象，本质就是本质。形式逻辑不承认一般与个别的联系和转换，也不承认偶然与必然的转换，也不承认现象与本质的联系和转换。形式逻辑只承认上述概念或范畴的对立而否认它们之间的同一。
我们可以通过一些生活中的例子来具体探讨上述概念间的关系。2008年在北京举办奥运会是偶然的还是必然的？有些人说在2001年7月13日晚上22点10分之前是偶然的，之后就是必然的。这种说法好象是在说选举的时间成为这个事件是偶然和必然的界限了。我认为，关于2008年奥运会的举办国是谁的问题上确实有一个由偶然到必然的转换过程，但决定这个转换的关键因素绝不是2001年7月13日晚上的那个时间，而是由其他多种因素综合作用的结果。我认为一个事件的发生是偶然的还是必然的取决于事物是否发生。日常生活中人么是这样看待偶然与必然的关系。当人们没有找到该事件全部发生的条件时，它的发生人们就认为是偶然的；当人们找到了该时间发生的全部条件时，它的发生人们就认为是必然的了。其实，我们说一个事件一旦发生了，它就是必然的。也就是说当人们找到了某件事情发生的全部条件时，该事件没有发生，那么没有发生这件事情就成为必然的了。所以，偶然性与必然性的问题在本质上还是思维与存在关系的问题。
我们再来看现象与本质的关系方面。我认为本质一定存在于现象之中，也就是说离开现象的本质是不存在的，离开现象的本质也是不存在的，但现象一定不会都是本质。由于事物总是处于变化和运动中的，所以在一个事物的运动过程中决定事物本质（同时也是现象的一个部分）的因素也是会变化的。比如，一个人的健康因受流感病毒侵袭而患病毒性感冒，这时流感病毒就是威胁该人健康的本质因素；但是随着治疗时间的推移，流感病毒被清除了，但这个人的肾脏又出现了衰竭的情况，这时问题的本质因素就由流感病毒转换成肾衰了，而且这个肾衰可能恰恰是由于治疗流感的药物所致。
从上面的例子我们可以看出唯物辩证法并不否定和排斥形式逻辑，但形式逻辑也确实存在着它在认识事物本质（运动与普遍联系）方面的局限性，同时我们也看到唯物辨证法实质上是人的思维洞察到了事物自身的运动而进入到思维的高级状态，唯物辩证法绝不是人为的抽象和想象。正是事物自己的运动导致个别向一般的转换，现象向本质的转换以及偶然向必然的转换，只不过人的高级思维能够把握到这种客观事物自身的运动，并且能够正确地反映它罢了。
[辩证法是活生生的、多方面的（方面的数目永远增加着的）认识，其中包含着无数的各式各样观察现实、接近现实的成分（包含着从每个成分发展成整体的哲学体系），——这就是它比起“形而上学的”唯物主义来所具有的无比丰富的内容，而形而上学的唯物主义的根本缺陷就是不能把辩证法应用于反映论，应用于认识的过程和发展。]
列宁谈到辨证法是活生生的、多方面的认识。因为辩证法是对客观事实和客观真理的正确反映，由于客观事实和客观真理本身就是活生生的，在方面的数目上也是永远增加着的，所以对它们的正确反映当然也必然是活生生的和多方面的。在认识事物的变化及其本质方面，形而上学的方法论以及形式逻辑的局限性就非常明显。所以列宁说形而上学的唯物主义的根本缺陷就是不能把辩证法应用于反映论，应用于认识的过程和发展。
人们在处理日常的一些简单的事情、一些变化较慢以及比较稳定的事情时，形而上学的方法论和形式逻辑还是可以接近于事物自身性质的。比如，我们每天的作息时间的安排和日常工作计划和执行等。但是，人们在现实生活中必然会遇到一些复杂的事情、一些变化较快的事情以及一些不稳定的（突发事件的发生等）事情。在这种情况下，采用形而上学和形式逻辑的方法就不能很好地解决问题，甚至会给人们帮倒忙。比如，人们在处理像去年下半年出现的国际金融危机这样的事情，就不能按照形而上学的方法和形式逻辑的方法来处理，而必须运用唯物主义辩证法和历史唯物主义的方法来处理。
如果人们按照形而上学和形式逻辑的方法来处理这次经济危机，那就会比较简单。首先是要找出造成这次经济危机的表面原因——美国的次级债；其次，给已经出现重大问题的美国参与次级债的金融机构注资或核销坏账；第三，让一部分金融机构破产。问题是这样简单的措施能够解决这样复杂和快速演变的问题吗？经过近一年的时间，由次级债引发的国际金融危机不但没有消除，甚至有愈演愈烈的趋势。为什么会这样，原因当然是多方面的，其中，在解决这次金融危机问题上，西方国家（主要是美国）采用的方法过于简单和基于表象是一个重要的因素。像他们这样采用的头疼医疼、脚疼医脚的办法，如果处理简单的经济问题或许能够奏效，但处理像这样一次经过多年积累所造成的复杂的经济问题就完全无能为力了。最近，由于欧盟组织没有用正确的方法预计到危机对他们的影响，也遭受到沉重的打击，教训不可谓不深刻。
如果人们运用历史唯物主义和唯物辩证法的方法来解决这样的问题应该怎么办？首先，要用唯物辨证法和历史唯物主义的方法详细分析导致这次金融危机的个种因素，并最终找到其最根本的原因，包括形成这次危机的初始原因以及演化的方式（这个原因是多方面和多层次的，并且这些方面的因素还在继续增加着）；其次，要在上述原因正确分析的基础上对这次危机的未来演化方向和发展趋势有一个非常清晰和正确的判断（影响这个趋势的方面仍然是多方面的和多层次的）；第三，在上面分析的基础上要及时制订出解决这次危机的措施和执行这些措施的方法和步骤；第四，要认真总结这次危机的历史教训，为人们以后的经济行为提供警示。
目前全世界都在关注这次金融危机的发展趋势问题，世界各国领导人也开始集体研究和重视这个问题，并在全球的发展角度和国家利益的多个角度上开始思考这个复杂的、世界性的问题，并开始采取前所未有的一致的行动来解决这个问题。通过这次危机可以使人们再一次看到解决问题的方法论的重要性，我们将拭目以待这个问题的解决方式。
[从粗陋的、简单的、形而上学的唯物主义的观点看来，哲学唯心主义不过是胡说。相反地，从辩证唯物主义的观点看来，哲学唯心主义是把认识的某一特征、某一方面、某一侧面，片面地、夸大地、überschwengliches（狄慈根）[305]发展（膨胀、扩大）为脱离了物质、脱离了自然的、神化了的绝对。唯心主义就是僧侣主义。这是对的。但（“更确切些”和“除此而外”）哲学唯心主义是经过人的无限复杂的（辩证的）认识的一个成分而通向僧侣主义的道路。
人的认识不是直线（也就是说，不是沿着直线进行的），而是无限地近似于一串圆圈、近似于螺旋的曲线。这一曲线的任何一个片断、碎片、小段都能被变成（被片面地变成）独立的完整的直线，而这条直线能把人们（如果只见树木不见森林的话）引到泥坑里去，引到僧侣主义那里去（在那里统治阶级的阶级利益就会把它巩固起来）。直线性和片面性，死板和僵化，主观主义和主观盲目性就是唯心主义的认识论根源。而僧侣主义（＝哲学唯心主义）当然有认识论的根源，它不是没有根基的，它无疑是一朵无实花，然而却是生长在活生生的、结果实的、真实的、强大的、全能的、客观的、绝对的人类认识这棵活树上的一朵无实花。]
列宁在最后的两个自然段里从形而上学唯物主义和辨证唯物主义对唯心主义的评价来进行比较的角度阐述了唯心主义的实质，对于我们理解什么是形而上学的唯物主义和什么是哲学唯心主义有了更深刻的认识，这些话是相当具有启发性的。
列宁的话使我深刻地领悟到哲学唯心主义的认识来源与辨证唯物主义的来源是一样的，即被列宁形象地描述为活生生的、结果实的、真实的、强大的、全能的、客观的、绝对的人类认识之树。但哲学唯心主义却犯了一个大的错误，这个错误的实质就是它把来自于正确认识源泉的部分性质主观地认定为全部，它把来自于正确认识源泉的某一属性主观片面地夸大了，从而使自己的认识偏离了客观事物自身。形而上学唯物主义所犯的错误则在于它只看到了事物的静止的一面或只承认事物的简单机械运动，完全没有看到或否认事物的复杂变化、转换和普遍联系的一面，从而使自己也远离了客观事实。唯物辩证法之所以成为人类惟一正确认识事物、事物运动及其规律的方法，就是因为它始终要求与客观事物、事物运动及其规律保持一致性，它要求人们主观的反映永远要服从于客观事实。虽然这样做会使人们认识的路线曲折一些和需要一个过程（有时可能需要反复多次或需要很长的时间），即使这些正确的认识甚至会暂时不符合人们的主观想象和主观愿望和短期的利益，也要按照事物自身的性质来如实地反映它，辨证唯物主义的革命性也就在于此。
学习列宁关于唯物辩证法的思想对于我们正确地运用马克思主义的方法论来分析问题和解决问题具有重要的理论价值和使用价值。
《谈谈辩证法问题》的心得体会
列宁认为，对于客观事物分为矛盾对立和联系统一的两部分的认识是马克思主义辩证法的实质。
这个科学的命题可以由科学的经验事实来予以证明。他列举了客观自然界和人类社会的典型例证进一步说明了这一点。
列宁指出，所谓对立面的统一，就是说自然界、人类社会、思维精神领域的一切现象和过程都既具有相互排斥、相互反对的倾向，又具有相互联系、相互和谐的特征。客观事物内部和客观事物之间都具有既对立又统一的特性。
针对哲学界对于发展（进化）的两种不同认识，列宁阐述了他的认识。他指出，一种认识认为发展只有量的积累和变化，只是量的增加或者减少。另一种认识认为，发展（进化）是由客观存在的矛盾对立统一的运动驱动的。旧东西的死亡和新事物的诞生就充分说明了事物的发展不仅会表现出量的增加或者减少，而且还呈现出质的规定性。
客观事物的统一是需要前提条件的、短暂的、特殊的；而客观事物的对立是无条件的、永恒的、一般的。换句话说，客观事物的静止是相对的、有条件的、暂时的；而客观事物的运动却是绝对的、永恒的、无条件的。
马克思在《资本论》中重点分析了资本主义社会的最一般现象，即商品交换现象。商品交换现象是资本主义社会的一切矛盾的萌芽。
科学的辩证法就应该像马克思一样从最简单、最一般、最本源的东西开始。因为最简单、最本源的个别会折射出一般，即与一般相联系而存在的具体不一的个别叠加抽象的结果就是一般；一般具体反映在每一个个别之中。个别和个别之间也是相互联系的。个别总是一般的一部分，因而不能完全反应一般。由此可见，现象（个别）和本质（一般）是又相互联系又相互对立的。
所以，自然界、人类社会、思维领域都普遍存在着辩证法。这种对立统一的辩证法就是马克思主义的认识论。这一运动的、联系的、全面的辩证法规律并没有被包括普列汉诺夫在内的（列宁以前的）马克思主义者所发现。形而上学的唯物主义仅仅停留在自然界，而不能看到人类社会以及人的思维本身也具有辩证法的本质特性。因为他们未能看到认识本身是不断发展、不断地去观察客观存在、不断地去接近客观存在，主观和客观无限趋近的过程。在辨证唯物主义者看来，哲学上的唯心主义者是将认识的某一方面无限夸大，以致于到了脱离物质现实的程度，绝对神话了事物某一方面的特征。从这种意义上说，唯心主义者都是和尚或者尼姑。因为他们都无一例外地迷信客观事物的某一方面或者某一特性，而看不到它另一对立的方面或特征。
同时，列宁指出，也必须承认哲学唯心主义的历史作用，正是哲学唯心主义的认识活动使唯物主义者认识到了通往辨证认识客观事物对立与统一两个方面的正确道路。因为人的认识活动从宏观总体上看，是曲折前进和螺旋上升的。可是具体到每一微观的细小方面，却又是直线可分的。认识活动的这种总体是曲线，具体是直线的特征很容易诱导人们走上僧侣式的绝对、片面、静止之歧路。
用反证法证明不等式 篇4
一、反证法的含义
反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”这种证明的方法，叫做反证法．
二、反证法的严密性
数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．
既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的．
三、反证法证题的步骤
用反证法证题一般分为三个步骤：
1、假设命题的结论不成立；
2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；
3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．
四、反证法的分类
反证法中有归谬法和穷举法两种．
原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法．
五、反证法中常见的矛盾形式
（1）与已知条件即题设矛盾；
（2）与假设即反设矛盾；
（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`
（4）自相矛盾．
六、反证法的适用范围
（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；
（2）命题的结论以否定形式出现时；
（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；
（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；
（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；
（6）关于存在性命题；
（7）某些定理的逆定理．
总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．
反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．
七、用反证法证明不等式举例
例 已知、、、，且
.求证：、、、中至少有一个是负数.选题意图：本题考查利用反证法证明不等式.证明：假设、、、都是非负数，∵
∴
又
∴
这与已知
谈谈反证法 篇5
数学组 刘荣格
【教学目标】
1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.【教学重点】：反证法证题的步骤.【教学难点】理解反证法的推理依据及方法.【教学方法】讲练结合教学.【教学过程】 提问：
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？ 生：共分三步：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知
a2 +b2 ＝c2
二、探究 问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。探究：
假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知
例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 证明：假设，∠B ＝ ∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例2 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
例4．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）
已知： ； 求证： ；
证明：假设，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。
∴。
三、课堂练习：课本
四、课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。
五、课后作业：课本
六、板书设计
§29.2 反证法
1.反证法证明命题的步骤。2.反证法应用：例题。小结：
七、教学反思：
“反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会： 1.分清所证命题的条件和结论
如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是指教”其中条件是“一个三角形”（）结论是“不能有两个角是直角”（）熟记步骤
第一步:假设即假设命题的结论的反面为正确的.如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设 ” 第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知 发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。抓住重点，突破难点
反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如： 的反面是，易错写成 ；又如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面应包括以下三种情况：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。注重规范
在用反证法证明的命题中 经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。
不用反证法也行得通 篇6
证法1由 (1-a) b, (1-b) c, (1-c) a是轮换对称, 故可设a是三个数中的最大者, 当然有a≥b, 下面考察 (1-a) b,
证法2设a是三个数中的最小者, 当然有a≤c, 下面考察 (1-c) a.
在上面的证明中也可以这样写
上面的方法没有用反证法, 而且很简单.
证明 (p-ai) ai+1 (i=1, 2, …, n) 是轮换对称, 可设a1是n个数中的最大者, 当然有a1≥a2, 下面考察 (p-a1) a2.
谈谈反证法 篇7
（一）【学习目标】
1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】
1.什么是反证法？
2.反证法证明不等式的理论依据是什么？
3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？
【自主检测】
1.实数a，b，c不全为0的条件为（）
A.a,b,c均不为有B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0
2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求证：方程的两根的绝对值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证：a,b,c,d中至少有一个是 负数.【典型例题】
ama.例1.利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则 bmb
例2.若x, y > 0，且x + y >2，则
例3.设a3b32，求证ab2.例4.设0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c,(2 b)a,(2 c)b不可能同时大于1
【课堂检测】
1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()
A．有一个解B．有两个解
C.至少有三个解D．至少有两个解
2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求证：a,b,c＞0.1y1x和中至少有一个小于2.xy
3.设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1.2
4.设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a,不可能同时大1于 4
【总结提升】
1.前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
2.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
3.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步作出与所证不等式相反的假定；
第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
谈谈反证法 篇8
分论点写作是很多考生最为头疼的事情，而实际阅卷中，逻辑清晰，论据充实的分论点往往是取得高分的必胜法宝。那么，掌握核心的论证方法就显得很是关键。今天我们就来学习一下简单有效的例证法与理证法。
一、例证法
例证法，顾名思义，就是引用例子来进行论证。写作基本构成就是分论点加例证，最后加总结观点。在实际写作过程中，大家要切忌出现只例不证的情况，同时例子的选取要与分论点观点相吻合，确保逻辑清晰。
以2017年地市作文题目为例：
向水学习，体会包容以升华情操。(分论点)海纳百川体现的是一种包容，江海之大，源于他的不拒小流。不积小流无以成江海，这是体现的水的包容，学习水的包容，能让我们成为一个豁达的人。战国时期，管仲与鲍叔牙是很好的朋友。管仲二十来岁时就结识了鲍叔牙，起初二人合伙做点买卖，管仲出资少，鲍叔牙出资多。生意做的还不错，管仲用挣的钱先还了自已欠的一些债，到年底分红时，鲍叔牙分给他一半的红利，他也接受。有人对鲍叔牙说，他出资少，年底还照样和您平分效益，显然他是个十分贪财的人。鲍叔牙却说管仲家境贫寒，应该多拿钱。鲍叔牙对于管仲的包容就是一种豁达的情操。(例证)因此，向水学习能够升华情操。(总结观点)向水学习，静下心来方心无旁骛。(分论点)以静谧自怡的态度向水学习。水正是有一种的静谧的特性，安静的同时也能激起波澜。我们应学习水的安静。王守仁即王阳明，他以诸葛亮自喻。王守仁做了三年兵部主事，突患肺病，以病告归，结庐于会稽山龙瑞宫旁之阳明洞。故世称阳明先生。正是他在阳明洞的安静学习，才写出《传习录》，最终形成了很有影响力的阳明心学。(例证)只有静下心来学习，才能更真切感受到水的品质和品格，更好地学习水的包容，适度中庸，和变化，以提高我们的智慧和情操。(总结观点)
二、理证法
理证法，也就是道理论证，通过分析原因、影响等进行论证的一种写作方法。以15年地市作文为例：
中学数学教学中的反证法 篇9
一、反证法的基本概念
1. 反证法的定义
法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括:“若肯定定理的假设而否定其结论, 就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难, 但是否定则比较简单的题目, 在高中数学中的应用较为广泛, 在解决一些较难问题的时候, 反证法能体现其优越性.
2. 反证法的基本思想
反证法的基本思想就是否定之否定, 这种基本思想可以用下面的公式表示:
“否定→推理→矛盾→肯定”, 即从否定结论开始, 经过正确无误的推理导致逻辑矛盾, 达到新的否定.
3. 反证法的逻辑依据
通过以上三个步骤, 为什么能肯定原命题正确呢?其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律:“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中, 两个互相矛盾的判断不能同时都为真, 至少有一个是假的, 这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假, 简单地说“A或者非A”, 这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中, 得到矛盾的判断, 根据“矛盾律”, 这些矛盾的判断不能同时为真, 必有一假, 而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的, 所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”, 结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假, 必有一真, 于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的, 反证法是可信的.
二、反证法的步骤
用反证法证题一般分为三个步骤:
1. 反设.假设原命题的结论不成立;
2. 归谬.从这个结论出发, 经过推理论证, 得出矛盾;
3. 结论.由矛盾判定假设不成立, 从而肯定原命题的结论正确.
即:否定结论→推导出矛盾→结论成立.
三、反证法的种类
1. 归谬反证.结论的反面只有一种情形, 只要把它驳倒, 就能达到证题目的.
2. 穷举反证.结论的反面不止一种情形, 必须将它们逐一驳倒, 才能达到证题目的.
四、反证法的典型例题
例1:已知:AB, CD是圆内非直径的俩弦 (如图) , 求证:AB与CD不能互相平分.
证明:假设AB与CD互相平分与点M, 则由已知条件AB, CD均非圆O直径, 可以判定M不是圆心O, 联结OA, OB, OM.
因为OA=OB, M是AB中点, 所以OM⊥AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边) .同理可得:OM⊥CD, 从而过点M有两条直线AB, CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.
五、反证法的使用条件
任何方法都有它成立的条件, 也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误, 同样, 问题解决也就没有那么容易.因此, 我们应该学会正确使用反证法解题.
虽然用反证法证明, 逻辑推理严谨而清晰, 论证自然流畅, 可谓是干净利落, 快速而可行, 是一种很积极的证明方法, 而且用反证法证题还有很多优点:如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.
例2:如果对任何正数p, 二次方程ax2+bx+c+p=0的两个根是正实数, 则系数a=0, 试证之.
分析:看了本题的证明过程似乎很合理, 但其实第三步, 即肯定原结论成立的论证错了.因为, 本题的题设条件为对任意正数p, y=0有两个正实数根, 结论是a=0, 但本题的题设条件与结论是矛盾的;当a=0时, 二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0, 此一次方程在b≠0时, 对于任何正数p, 它只有一个根;在b=0时, 仅当p=-c>0的条件下, 它有无数个根, 否则无根, 但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此, 本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p, 只存在正实根, 则系数a=0”, 就能用反证法证明.
因此, 对于下列命题, 较适用反证法解决.
(1) 至多至少型命题; (2) 唯一性命题; (3) 否定型命题; (4) 明显型命题; (5) 此前无定理可以引用的命题.
例3:设a, b都是正数, 求证: (a-b) /a≤ln (a/b) ≤ (a-b) /b.
证明:反设ln (a/b) ≤ (a-b) /b不成立, 便有ln (a/b) ≥ (a-b) b, 由对称性知:ln (b/a) ≥ (b-a) /a, 相加得:ln (a/b) +ln (b/a) > (a-b) /b+ (b-a) /a
即:0> (a-b) 2/a≥0这一矛盾说明ln (a/b) ≤ (a-b) /b
即:ln (b/a) ≥ (a-b) /b
交换位置:ln (a/b) ≥ (a-b) /b
合并得: (a-b) /a≤ln (a/b) ≤ (a-b) /b
反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说:“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发, 通过正确的逻辑定理推理导出矛盾, 从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件, 多一个条件, 这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题, 改变其思维方向, 通过逆向思维, 从结论入手进行反面思考, 问题就能迎刃而解.在现代数学中, 反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.
摘要：反证法是在中学数学中常用到的一种非常重要的证明方法.文章介绍了反证法的基本概念、步骤、典型例题和使用条件.
关键词：中学数学教学,反证法,使用条件
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