离散数学归纳（通用8篇）
离散数学归纳 篇1
关键词： 离散数学;逻辑;可视化方法
引言
随着社会信息化的发展，《离散数学》逐渐成为信息学科的一门专业基础课。《离散数学》是现代数学的一个重要分支，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素。离散数学已经在数据结构、算法设计与分析、操作系统、编译系统、人工智能、软件工程、网络与分布式计算、计算机图形学、人机交互、数据库等领域都得到了广泛的应用。除了作为多门课程必须的数学基础之外，离散数学中所体现的现代数学思想对加强学生的素质教育，培养学生的抽象思维和逻辑表达能力，提高发现问题，分析问题，解决问题，也有着不可替代的作用[1]。
但是通过近几年的教学实践，人们对《离散数学》的课程设置和教学效果还不是很满意[2]。主要存在于教学内容取舍上和教学方法的应用上。如果教学内容的选取不当或是教学方法的使用不当，都会使学生对学习《离散数学》产生畏惧或是抵触的情绪，以至不了解学习的目的。如何提高学生对《离散数学》这一课程的认识，并学会用科学的思维方式思考问题，解决问题，进而提高自身的科学修养，这是我们每一个教育工作者应该关注的问题。本文基于笔者自身的教学经历和调查研究，对教学与学习《离散数学》的内容和方法中存在的一些问题加以分析，并且提出了一些相应的解决方案。
1 不同专业课程内容的设置
经典的离散数学内容一般包括数理逻辑、集合理论、图论基础、代数结构这四部分内容。随着信息科学的发展《组合数学》这一学科也逐步的被添加到离散数学的课程之内。但是因为不同专业培养学生的目标各异，所以对离散数学的课程要求也不一样，相应的课时分配亦不尽相同。大多数为36课时，54课时或72课时。对授课内容来说，也因为专业和课时的不同而有所差异，例如对信息与计算科学专业来说，在我校是54课时，又因为代数结构已作为一门单独的课程开设，所以在授课过程中我们主要教授其它几部分内容。而对我校的物理专业的信息课程来说，只有36课时，如何在如此少的课时讲授完四部分内容，确实是一种挑战，经过实践，我们决定讲与练结合起来，就是在课堂讲授主要部分，剩下的作为习题布置给学生，这样的好处是锻炼了学生的读书与自学能力，另外又因为数理逻辑，图论等内容与其电路设计等一些实际应用有关，所以我们加强这一方面的实际应用内容。信息管理类的开课则是54课时，在这一方面，因为学生的数学修养没有理科的好，所以我们则注重与其专业有关的内容，比如实际应用领域比较多的图论等。通过几年的授课，我们觉得，对数学基础比较好的专业，完全可以将《离散数学》分为基本不同的课程进行讲授，这样的好处是可以加深相应部分内容的理论基础以及扩展其应用的知识量，学生通过理论和应用的相互关联，加深了对本门课的认识和理解。对数学基础比较薄弱的专业，我们还是以应用为主，理论为辅。
与其他课程的联系也体现在不同专业需求上。就图论这一内容来说，在我校信息与计算数学专业与《离散数学》同时开课的有《数据结构》，而这两门课程在图的一章里面有内容的重叠，其不同点在于，《离散数学》注重的是理论的研究，而《数据结构》注重的是程序的设计。对于物理类的信息专业，其后续课程有《电路设计》，所以在课堂上，我们会举出一些与其相关的内容，使同学加以理解。
2 注重课堂授课过程的可视化方法
现在计算机辅助教学已经深入到了每一门课程中，《离散数学》也不例外。我们在讲授过程中，对于计算机的辅助教学，主要体现在如下的两个方面：一个是多媒体课件，一个是利用数学软件进行辅助计算。这是因为当学生接触到了《离散数学》这一门课程时，已经完成了从中学逻辑思维到大学逻辑思维的转换，因此，可以借用matlab这一类的辅助计算工具以加深同学们的理解。例如，在关系这一部分中有对极限定义的解释，我们先是应用课件对其进行可视化理解。具体是先复习绝对值“■”是一维坐标轴上两点的距离这一几何意义。那么对于函数极限的标准定义：“对于?坌?着>0，?埚?啄>0，当0
3 带有问题启发式的教与学
带有启发式的教与学主要体现在以下两个方面，一是对学生逻辑思维的培养，一是对所学知识在实际生活中的应用。逻辑思维主要体现在对同学的各种数学语言的理解和应用上，例如反证法一直是一种重要的逻辑思维方法，但是有的学生很难理解其内在本质，于是在数理逻辑这一部分，我们通过逻辑运算，给出这一方法的数学语言的表述。还有，对1=0.■这一在中学已接触到的知识，我们在函数这一部分应用极限的概念给予说明。很多学生在学完这些内容后纷纷表示对以前只知道机械运用的数学语言有了一个更加深刻的认识和理解。在教学生《离散数学》之前，我们通常会做一个小型的调查。最终的结果是很多学生都会问离散数学的应用。对于这一问题我们早有准备，授课过程中，尽量做到理论联系实际，而不是老生常谈式的对同学们解释，大学数学是伴随实际的应用而发展起来的，学习他可以提高学生的逻辑分析能力和处理问题的能力等等。例如，在讲授数理逻辑这一部分，我们会给学生解释，如果把一个人的所有特点都归结为前因，那么通过逻辑推理，可以得到这个人的命运结果。思维活跃的学生对这一解释很感兴趣，当场就算了起来。以致后来选择了逻辑推理作为自己的博士方向，以至于毕业留校。在讲授函数关系的时候，我们会以数据库access软件来说明。
4 结束语
通过讲授和与学生交流，我们深刻地认识到了《离散数学》开设的必要性和重要性。对如何在教学实践中进一步完善这将是我们今后重要的研究课题之一。
参考文献：
[1]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].清华大学出版社，.
[2]肖红，王辉，潘俊辉.案例教学在“离散数学”课程中的应用[J].价值工程，(6)：271-272.
[3]石茂，张若为.数学在培养经济类文科生逻辑思维中的作用[J].价值工程，(18)：247-248.
[4]赵军云，张璐璐，朱国春.离散数学课程教学中的探索与思考[J].电脑开发与应用，(10).
[5]文海英，廖瑞华，魏大宽.离散数学课程教学改革探索与实践[J].计算机教育，2010(06).
离散数学归纳 篇2
1 离散数学简介
离散数学正式形成于20世纪70年代初期,主要包含五部分的内容:数理逻辑、集合论、代数系统、图论、形式语言和自动机。组成离散数学的五部分内容都有一定的发展历史。随着计算机学科不断的发展,离散数学也在不断的改革和变化。离散数学当前发展主要是沿着两个发展方向:一个是演算、另一个是算法。这两个方向平行发展。这几年由于人工智能的快速发展,促进了形式推理和代数结构的演算研究,同时在演算过程中强调算法的技巧。算法是计算机解决实际问题的主要手段。在计算机学科中占有非常重要的地位。所以在以后的离散数学中将加强自动机理论体系,并独立对算法进行研究。由于算法的发展,随之和算法相关的可计算性理论、不可计算性问题、算法分析与复杂性等理论也会迅速发展。因此离散数学进一步发展的内容,应该成为“理论计算机科学”的基础。
2 学习离散数学的重要性
2.1 离散数学在计算机学科中的地位
计算机学科中普遍采用了离散数学的基本概念、基本思想和基本方法,并把离散数学作为自己的理论基础和重要的数学工具。离散数学能够培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、归纳构造能力、创新能力、分析问题和解决问题能力。离散数学与计算机学科中的后续课程数据结构、操作系统、编译原理、算法分析、逻辑设计、机器定理证明等联系紧密,为它们提供了必要的数学基础,所以离散数学在计算机学科中占有非常重要的地位。
2.2 离散数学与编程的关系
计算理论与算法是计算机程序设计的灵魂。程序设计者都需要一定的数学修养。严格的说,一个离散数学基础不扎实的程序员不能算一个合格的程序员。如果离散数学和算法设计技术没有学好的话,这样的程序员基本上只能算是背程序的机器,只能停留在写写简单的classes或用SQL语句实现查询等基础的编程工作,对于一些需要用到离散数学知识的编程的工作就无能为力。为什么这样说呢,大家可以了解一下计算机解决实际问题的一个过程:“分析问题→建立数学模型→选择数据结构→设计算法→翻译成计算机语言”的过程。从在这个过程中,大家可以看出来最后一步才是通常所说的编程序。所以,学会C编程语言或者会用一两种开发工具只不过学会了最后一步,而前面的四步不学会的话,想用计算机解决实际问题的能力是非常有限的,除非是特别简单的问题。但是前面四步的掌握都与离散数学学习有关。所以要想成为一名合格的程序员,必须提高离散数学修养。
2.3 离散数学应用举例
数学的源泉在于应用。离散数学的应用主要是通过一些数学模型与学科的联系来实现的。这里以表格形式列出离散数学与计算机科学实际应用的一些结合点[4],如表1所示:
这样的“结合点”还很多很多,由上表同学们就可以看出离散数学在计算机科学中是最基础的学科了。学好离散数学是学好计算机的基础,这就是为什么计算机专业的研究生考试,离散数学都采用最难试题的缘由。
3 离散数学学习方法
3.1 了解离散数学与一般数学的区别
离散数学是计算机科学的数学,和一般的工程数学,计算数学都有一定的区别。传统的数学系一般开的主干课程有数学分析、微分方程、复变函数、泛函分析等。讨论的对象基本是连续的变量,关心的比较多的是解的存在性,唯一性,稳定性和收敛性等等。而离散数学作为计算机学科的基础数学,主要研究的对象是离散的量,比如说自然数、整数、有限个结点,{真,假},等等。离散数学涉及的结构类似于图、树、排列和组合这样的结构。并不热心于解的存在性等的讨论。比较注意的是概念的描述和能行性问题。离散数学的论证方法也和传统数学所采用的分析方法不一样.离散数学除了采用一般分析课程的分析方法外,最主要的论证方法是数学归纳法,构造法,反证法等。尤其是构造性证明方法体现了计算机科学的特性。程序员采用编程语言写代码解决实际问题的过程,其实就是程序员构造代码的过程。集合论中康托尔的对角线论证是构造性论证的范例,在图论当中好多定理的证明都采用的构造性证明的方法,所以学习离散数学可以很好的培养学生的构造性思想。同学们要充分了解离散数学与一般数学的区别,掌握离散数学的学习方法。
2.3 充分了解离散数学的特点、难点有针对性的学习
离散数学的特点是:内容散,概念多和好理解;难点是:离散数学概念多易忘。头几次离散数学上课一般都没有问题,容易给同学造成错觉,认为该课程简单,听不听都能学好,正如学习语言,一天记20个单词没有问题,天天记20个单词且保证以前记的不忘就太难了。当学生一旦忘记前面的概念,就会影响相关知识的学习,如果不及时补救就会形成连锁反应,所以并不是聪明的人才能学好离散数学,而是能够坚持的人才能学好。所以建议同学:除了认真听课,认真做作业,有问题及时解决外,能和同学做到每天讨论几分钟离散数学,加强概念的记忆。
2.4 学习离散数学的本质
在知识大爆炸的今天,学会知识的意义是有限的,学会学习的技能才是最重要的,学数学就是要做数学,学习离散数学也不例外,学习数学不仅限于学习数学知识,更重要的是学习数学思维。在平时学习中要善于总结和归纳。计算机系的学生对数学的要求跟数学系是不同的,跟物理的差别就更大。所以计算机系学生学习离散数学一定要先了解学习离散数学的主要目的是什么,学习这门课的主要目的是将理论再应用于实践,培养和训练自己的推理能力,这也是学习离散数学的本质。所以在做离散习题的时候不仅要掌握题目的解题方法,更要掌握解题的思路。对于定理的学习不能像学高等数学一样只记住结论,强调套用公式计算而不去深究它的由来。定理证明的过程恰巧是训练思维能力的过程。所以对定理证明过程的学习对于计算机系学生来说是非常重要的。
4 结论
总之,绪论课教学作为教师与学生的第一次接触,在整个学科教学中具有特殊的教学地位和重要意义,搞好离散数学绪论课的教学可以起到”抛砖引玉”的作用。此绪论课使学生充分认识到学习《离散数学》的重要性和必要性。并了解离散数学的学习方法,从而对本门课程的学习产生浓厚的学习兴趣,为学习好这门课奠定了基础。
摘要：离散数学是计算机专业的核心基础课,在教学中具有特殊的地位和作用。第一堂课是学好离散数学的关键。该文通过三个方面就如何上好离散数学绪论课做了探讨。
关键词：离散数学,绪论课,教学
参考文献
[1]Kenneth H.Rosen.离散数学及其应用[M].袁崇义,等译.北京:机械工业出版社,2006.
[2]杨卓娟,杨晓东.关于高校课程绪论教学的思考[J].中国大学教学,2011(12):39-41.
[3]黄震.《离散数学》课程在计算机科学中的作用及其应用[J].赤峰学院学报:自然科学版,2011.
离散数学归纳 篇3
关键词 离散数学；关系；笛卡尔积
中图分类号：G642.4 文献标识码：B 文章编号：1671—489X（2012）30—0094—02
离散数学是信息学科尤其是计算机学科的一门重要的专业基础课程，它的主要研究对象是离散结构及其应用，为计算机理论和应用提供必不可少的数学基础及思维方法。其理论和方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中，同时也为计算机应用提供必要的数学工具。
然而，该学科的知识点分散、概念抽象，给学生学习和理解带来很大困难。如何学好这门课，对计算机学科的学生来说显得特别重要；如何教好离散数学，从而提高教学质量，是有关教师应该努力探讨和研究的。
本文主要探讨离散数学中关系的教学方法，期望对类似的问题能有参考意义。
1 关系的重要性
关系是离散数学中用来刻画事物之间联系的一个重要的概念，在计算机科学与技术领域中有着广泛的应用。关系数据库模型就是以关系及其运算作为理论基础的[1]。图论中的一个图，实际上也就是相关对象集合上的一个关系。正确理解关系的概念以及關系模型，对于利用关系模型来进行数学建模尤其重要。
2 关系的定义及集合表示
定义1：（二元关系）假设A和B是两个集合，A与B的笛卡尔积A×B的一个子集合，叫做一个A到B的二元关系[2]。
定义2：（多元关系）假设A1，A2，…An是n个集合，它们的笛卡尔积A1×A2×…×An的一个子集合，叫做一个A1，A2，…An间的一个n元关系[3]。
以上的两个定义分别是二元关系和多元关系的定义，但无论是哪个定义，都似乎跟实际中的关系有很大距离，学生很难想象如何将实际中的关系跟这些个抽象的定义联系起来，他们必然要问：为什么要这样定义关系？
现实中的关系一般指事物之间或者对象之间的某种或者某些联系，这些对象之间的关系，也同样可以说是集合的元素之间的关系，以下是一些实际关系的例子。
【例1】四支球队a、b、c及d队，他们之间进行了一些比赛，以下一张表格记录了他们之间的比赛结果——胜负关系：a胜b、b胜c、c胜a、d胜a、d胜b、d又胜了c。为了简单起见，用（a，b）来表示a胜b，于是可以将所有胜负重新记录表示成{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}。这就是一张胜负表，该表清楚地表现了这四个队a、b、c、d之间的胜负关系，它就是这四个队之间的一个关系——比赛胜负关系。
当用集合S表示4个队时，S={a，b，c，d}，那么胜负关系表{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}就是S与S的笛卡尔积S×S的一个子集。也就是说用这个子集合表示了这四个队之间的某轮比赛的胜负关系。
【例2】一个电话号码簿，它里面记录了很多单位或个人的一些电话号码。不难理解，一个号码本就是一个集合。这个号码本也就是这个集合表示了人和单位跟一些电话号码之间的一种关系，它是一个实实在在的关系。如果用A表示所有有关的单位和人的集合，用B表示所有相关的电话号码的集合，简单地用（a，b）表示a的电话号码是b，其中a∈A，b∈B分别表示A中的一个元素（单位或者人）和B中的一个号码。那么所有这些有关的序对（a，b）就构成电话号码本，就构成这个号码集合。可以看出这个集合正好是A与B的笛卡尔积A×B的一个子集。当有人或有单位的号码发生变化，这个号码本也相应地发生变化，变成另外一个号码本，也就是另外一个集合，另外一个子集合，但仍然是A×B的一个子集。
【例3】（学生、课程、成绩之间的关系）假设用集合A表示某大学计算机学院的所有学生，B集合表示计算机学院的所有课程，C集合表示不大于100的非负整数的集合，那么学生张三的离散数学考试成绩是95分，就可以表示成（张三，离散数学，95）。将计算机学院所有学生所有课程的这样的记录放在一起，就是一张成绩表，也就是教务管理中的成绩库。那么这个成绩库就是一个集合，这个集合表示的是计算机学院学生，课程和成绩三者之间的一个关系。而这个集合恰好是集合A、B、C的笛卡尔积A×B×C的一个子集。
以上三个例子都说明了同一个问题：无论是一个集合内部元素之间的关系，还是不同集合的元素之间的关系，还是多个集合元素之间的关系，都可以表示成相关集合的笛卡尔积的子集。把笛卡尔积的子集当成一个数学模型，那就可以用这个数学模型来表示关系，包括二元关系和多元关系[4]。
3 抽象关系的具体解释
设集合A={a，b，c，d}，S={（a，b），（c，d）}，显然，那么根据定义1，S是A集合到A集合自身的一个二元关系。这个关系看似是抽象的，但当给a、b、c、d赋予具体的含义，分别表示成张三、李四、王五和赵六4个人，而（x，y）表示为x与y是朋友，那么二元关系S就表示成4个人之间具有的一个朋友关系。其中，张三跟李四是朋友，王五跟赵六也是朋友，但其他人之间都不是朋友。即便是空集，即空关系，在这里可以理解为集合A的人之间没有人有朋友关系。
当然根据不同的情况，也可以给出另外的含义和解释。比如说a=5、b=10、c=3、d=9，那么上面的关系S可以解释为集合A={5，10，3，9}中元素间的整除关系。
这个例子说明，一些集合的笛卡尔积的任何一个子集，也即任一个关系，都可以在某些场合中解释对应为实际的关系。
4 结论
综合上面所述，任何一个现实中的具体的关系，都可以用一个笛卡尔积的子集这个数学模型表示出来；任一个抽象的关系，在给集合的元素赋予具体的含义后，都可以对应地解释为一个实际问题中的具体关系。这样就建立起来笛卡尔积子集跟关系之间的联系，学生再来理解关系的概念也就不再有难度了。通过这样讲解后，也能给学生如何利用数学模型、数学工具表示实际问题的体会。
5 教学中的几点建议
1）离散数学概念繁多，而且抽象。教学时，最好多讲一些相关的应用背景知识，提高学生的学习兴趣和积极性。然后多举一些实际的例子，讲解从具体实例抽象到数学模型、数学概念的演绎过程，对学生学习理解抽象的数学概念，提高抽象思维能力是很有帮助的，同时对于学生以后学习数学建模也是很有用的。
2）鼓励学生自己举例，能够加深对知识的理解，同时提高学生应用知识的能力。
参考文献
[1]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].2版.北京：清华大学出版社，2009.
[2]Rosen K H. Discrete mathematics and Its Applications[M].4版.北京：机械工业出版社，2007.
[3]洪凡.离散数学基础[M].3版.武汉：华中科技大学出版社，2008.
离散数学课程总结 篇4
计科系10级 计本
一、对课程的理解
个人认为离散数学是一门综合性非常强的学科。本书分为六个部分。为数理
逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论。其中由于课时紧凑我们忽略了部分学习内容。感觉它是一门集理论思维与抽象思维于一身的学科。
开始学习大家可能会觉得很简单，学得很轻松，第一部分的数理逻辑在高中时也
有所接触，只是现在在高中的基础上更深层次的加入一些元素。第二部分集合论
高中也学过一点基本的，多了二元关系之类。据课本介绍，其中的偏序关系广泛
用于实际问题中，调度问题就是典型的实例。第三部分的代数结构是完全新的学习内容，开始带有抽象的色彩。接下来就学习了图论，是个很有意思的部分，不
像之前那么枯燥，可以有图形与关系之间的转换。
搜集有关资料得知《离散数学》的特点是：
1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑
推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都
会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。
2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从
而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解
上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直
接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但
是《离散数学》证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。
同时要善于总结。
通过以上特点介绍使我对离散数学有了不一样的认识。我们是学计算机专
业的学生，离散数学的学习给了我们很多的帮助，虽然这门每个部分的联系不是
很紧密。今年我们开设的专业课有《数据库》，其中二元关系这部分与之就有了
很大的联系，听过离散数学后，数据库中这些关系的理解起来就不必那么费事了。
还有专业课《数据结构与算法》，这部分联系的就多了，主要是图论这部分。使
在学习数据结构时节省了不少时间，老师说起来也轻松。
二、对课程的建议
《离散数学》这本书中我们只学了四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论．这四部分内容中每一个部分都可以是一门独立的课程，它们分别作为《离
散数学》课程的一部分，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾，使教
学过程具有很大的难度．这几部分的内容我们只是选择性的部分详细讲解，我觉
得在教学过程中对讲授内容的设置上应当有所侧重，比如学生对集合论基础的很
多内容在中学数学中已经有所了解，所以这部分内容只需要简要介绍一下，重点放在用集合论的方法解决实际应用问题上．对于二元关系这部分，侧重点是加强对与二元关系的几个性质相关问题的论证方法的训练．在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力．图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法．代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲．另外，现行大多数教材，主要是集中在从纯数学理论角度教授基本内容，这也是不利于学生的理解学习的．如果选择了这种教材，在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习．这将有利于学生理解理论知识，又为后续课程的学习奠定基础．
三、对老师的建议
《离散数学》课程总结 篇5
转眼之间，这学期要结束了。我们的离散数学，这门课程的学习也即将接近尾声。下面就是我对这门课一些认识及自己的学习心得。
首先我们这门课程离散数学到底包含了哪几大部分？每部分具体又有什么内？这门课程在计算机科学中有什么地位？这门课程在我们以后的学习生活中，以及在将来的工作中有什么帮助？下面我将以上几个方面具体谈一谈并将总结一下自己本人在这门课程学习过程中遇到的一些问题和心得体会。
这门课程有数理逻辑，集合论，代数系统和图论四部分。这四大部分通常被称为离散数学的四大体系。其中每一部分都是一个独立的学科，内容丰富。而我们离散数学中的内容是其中最基本，最重要且和计算机科学最密切相关的内容吸收到离散数学中来，并使它们前后贯通，形成一个有机整体。这门课的主要内容有命题逻辑、谓词逻辑，属于数理逻辑部分，集合论中有集合、二元关系、函数，代数系统包含代数系统基础、群、环、域以及格和布尔代数的知识（这部分我们没有涉及）。
那么这门课程在计算机科学中有着什么样的地位呢，这门课程是计算机科学专业中重要的专业基础课程，核心课程，可以这么说，离散数学，既是一门专业基础课，是一门工具性学科。这门课讲授的内容，与后续专学习业密切相关。在这门课里我们讲授了大量的计算机学科专业必要的基本概念，基本理论和基本方法。为我们以后的学习，工作打下良好基础。在算法设计，人工智能，计算机网络，神经网络，智能计算等学科中有着重要的作用。在计算机科学中有着广泛的应用。通过这门课可以对我们计算机算法的理解和逻辑思维得到提高。
那么我们具体学了什么内容呢？
（一）首先集合论是整个数学的基础，（不管是离散数学还是连续数学）如果没有专门学过，那么出现在离散数学中还是很合适的。至于由集合论引出的二元关系，函数的内容，也是理所应当的。
数理逻辑是一个让人眼前一亮的东西。我第一次发现，原来有些复杂的推理问题是可以通过“计算”的方法解决的。
数理逻辑，又叫符号逻辑。就是依靠专门的数学符号去推导过程对的科学。在推导过程中，我们探索出一套完整的规则。这个规格就是我们的推理规则。竟然为了确保这套规则的，准确性。防止二义性，以至于可以将公理理论公式化，依据各项规则，证得论证的有效性。
这一章里，我们首先学习了，命题逻辑的基本概念。并和一些逻辑连接词。包括真值连接词的否定，真值连接词合取，析取。我们可以用，符号形式写出各种命题，并利用真值表来判断命题的真假。用真值表来判断，命题是十分有效方便的。所以，对于真值表的记忆是十分重要的。命题公式的表示，也是用符号话的需要来给出的。随后我们学习了永真式和永假式，对于永真式和永假式的证明，用制表技术可以方便的给出。对于永真式，因为原子命题变元，不论表示什么命题，是真的还是假的，它总是真的。所以它反映的是命题逻辑的逻辑规律。所以我们着重研究永真式。下面，在一个公式中，如果用另外的是替换其中某个或某些原子命题变元，就会得到全新的公式，这个全新的公式，和原公式什么关系呢？进而引出了我们的代入规则和替换规则。为了更方便的证明各种命题，我们学习了，等价和蕴涵的各种定理，还有范式和范式的判定问题，其中主要是主析取范式和合取范式的概念，定理，证明。证明过程我们在课上都已经证明过了。在这一章还学习了三段式的证明，此证明方法在以后的学习过程中经常使用。
谓词逻辑就是对命题和推理做深一步的研究的学习。在谓词演算中，原子命题分为谓词和个体两部分。谓词逻辑就是将命题的内涵，通过个体和谓词中的表现出来，把同一类命题，用命题函数表示，增强其表达能力。在这里要注意的是，命题还是不是命题，因为其没有确定的真假异议，但是可以将一个命题函数转化为问题，方法有二，（1）用个体域中的特定个体去替换个体变元；（2）这个体域上，将命题函数量化。所谓量化，就是用量词的命题函数中的个体变元进行约束，由此引入了量词的概念。量词分为全称，量词与存在量词，量词反映了个体域与量词间的真假关系。此外，在谓词逻辑中，个体的个体域也是很重要的。将一个命题用谓词，逻辑符号化时，通常经以下步骤（1）确定特性谓词及其他谓词。（2）确定量词。（3）量词与逻辑连接词的搭配。有了量词的概念后，谓词逻辑表达能力就让广泛了，它所刻画的语句也也更为普遍，更为深刻。
代数系统，在计算机科学中也非常重要。在计算机科学中带出系统科，用作研究，抽象数据结构的性能及操作，也是程序设计语言的理论基础。
图论这一章里，我们学习的图并不是几何学中的图形。而是客观世界中某些事物具体联系的一个数学抽象。用点代表事物，用边表示各事物间的二元关系。这一章刚开始学的概念很多，让我感觉有些乱。所以在课后要自己多下功夫了。
然后就是我在学习中出现的一些问题及解决方法了，今天，在学习数理逻辑的时候，觉得离散数学这门课程很简单。但是随着学习的进一步深入，我发现我的想法是错误的。对于后面的一些推理论证，自己缺乏思路。虽然，老师在课上也教给了我们推理的方法，但是，还是忍不住去看书上的证明。这一点在随后的学习中，我一般尽量克服，也是在老师的帮助下，在证明时尽量自己想，憋自己一下，让自己的思维得到训练，自己的推理论证能力得到提高。进而使综合素质，都要提高。
再说一下李勇老师的讲课吧，讲的非常棒。首先它会对每一部分的内容，及，基本概念给大家进行讲解。然后就是强调自己的推理能力。每节课都会让我们自己推理，验证定理。从基础出发，从小定理验证到大定理，由特殊推广到一般。一般都会让我们从两三个开始验证，逐步得到结论，发现规律。一次，李勇老师对，课堂教学有着自己深刻的理解，对这门课的教学方法，教学模式有着独特的看法。还有就是李勇老师，朋辈式的教学方法，在教学过程中，我们共同进步，教学相长，这样是非常好的。
离散数学习题 篇6
1.A={,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。2.A={1,2,3,4,5}, R={(x,y)|x 4.A={a,b,c},R= IA ∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的等价类。 5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。 ①如果A∪BC，则AC或者BC。②如果A×B=A×C且A，则B=C。 27.如果R是A上的等价关系，R,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。 8.已知A∩CB∩C,A-CB-C,证明：AB。9.证明：AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC)10.证明：P(A)∪P(B)P(A∪B)-111.证明：R[sym] iff R=R -1212.证明：r(R)=R∪IA,S(R)=R∪R,t(R)=R∪R∪...13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。 15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I上的等价关系。 16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，R={< 19.f:AB，R是B上的等价关系，令S={ 20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。 21.P和Q都是集合A上的划分，请问P∪Q，P-Q是否是A上的划分，22.RAXA,R[irref]且R[tra],证明：r(R)是A上的偏序关系。 23.画出{1,2,3,4,6}上整除关系的哈斯图，求{2,3,6}的4种元素。 24.A={a,b,c,d,e,f,g},R={(a,c),(a,e),(b,d),(b,f),(d,e),(d,f)},S=tr(R),画出S的哈斯图并求{b,c,d,f}的极大元等8种元素。 25.f:A→B,g:B→C都是单（满）射，证明：复合映射gof一定是单（满）射。 26.f:A→B,g:B→C，gof是单射，请问f和g是否一定是单射？请证明或举出反例。27.R是实数集，f:R×RR×R,f( 代数系统 1. 2.求 3.R是实数集，在R上定义运算*为x*y=x+y+xy,问： 5.R是实数集，R上的6运算定义如下：对R中元素x,y，f1( 6. 7.证明：如果群G中每个元素的逆元素都是它自已，则G是交换群。 8.循环群一定是交换群。 9.证明：阶为素数的群一定是循环群。 -110. 11.整数集Z上定义运算*：对任意整数x和y,x*y=x+y-4,其中+，-为普通加减法。证明： 12.证明：如果群G中至少有两个元素，则群中没有零元。13.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划分 14. 15.H，K都是群G的子群，请问H∩K,H∪K,H-K是否一定是G的子群？ 16.H，K是G的两个子群，aG, 试证：aHaK当且仅当HK。17.G={1,3,4,5,9},*是模11的乘法(即x*y=xy mod 11)，请问(G,*)是否构成群？ n18. 19.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划分 20.G是群，证明：S={aG|xG(ax=xa)},则S是G的子群。21. ++23.R为实数集，R为正实数集， 1.如何判断二部图？完全图、完全二部图的边数。2.如何求E回路？ 3.Petersen图是否为E图或H图。 4.哪些完全图是H图？哪些完全图是E图？ 5.n为何值时轮图为H图？ 6.如何求最小生成树。 7.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。8.证明：如果G是欧拉图，则其边图L(G)也是欧拉图。9.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。10.G是平面图，G有m条边，n个顶点，证明：m3n-6。并由此证明K5不是平面图。 11.证明：有6个顶点的简单无向图G和它的补图中至少有一个三角形。 12.证明：在至少有两个顶点的无向树中，至少有2个一度顶点。 13.G是无向简单连通图，G有n个顶点，则G最少有几条边，最多有几条边？ 14.证明：简单无向图G和它的补图中至少有一个是连通图。15.证明：无向图中奇度点（度数为奇数的点）有偶数个。16.证明：n个顶点的无向连通图至少有n-1条边。17.G是H图，V是G的顶点集，证明：对任意顶点集S，SV，都有ω（G-S）≤|S|。其中ω（G-S）表示G-S的分图数目。18.一棵无向树有3个3次点，1个顶点次数为2，其余顶点次数为1，问它有几个次数为1的顶点？写出求解过程。19.证明：每个简单平面图都包含一个次至多为5的顶点。20.连通平面图G有n个顶点，m条边和f个面，证明：n-m+f=2。21.如果图G的最大顶点次数≤ρ，证明：G是ρ+1可点着色的。 22.G是无向简单连通图，G有n个顶点，则G最少有几条边，最多有几条边？ 23.如果一个简单图G和它的补图同构，则称G是自补图，求所有4个顶点自补图。 24.G是平面图，G有m条边，n个顶点，证明：m3n-6。如果G中无三角形，则m2n-4。数理逻辑 1.如果今天是星期一，则要进行英语或数理逻辑考试。 没有不犯错误的人。整数都是有理数。有的有理数不是整数。 不存在最大的整数。有且只有一个偶数是素数。2.求真值表及范式：P(┓QR)、(┓QR)(PR)3.推理： p(qr)，┓s∨p，q ├ sr pr，qs，p∨q ├ r∨s p∨q，p┓r，st，┓sr，┓t ├ q p(┓(r∧s)┓q),p,┓s ├ ┓q 4.如果小王是理科学生，他一定会学好数学。如果小王不是文科学生，他一定是理科学生。小王没学好数学。所以小王是文科学生。 离散数学课程形成于20世纪70年代, 是比较新兴的学科.近年来随着信息技术的飞速发展, 离散数学课程的经典内容已不适应实际应用的需要, 很多学校电子和信息类专业研究生入学考试课程中, 将过去单一的离散数学考试改为结合计算机编程等多种内容结合的考试.离散数学课程内容多, 分散繁杂, 学生做习题普遍感到难以下手.目前学生学习离散数学课程感觉理论脱离实践, 所以兴趣不大. 我们应该改革教学内容, 使教学内容适应当前信息及电子类专业的需要, 适应相应专业考研的需要.修订《离散数学》教材和教学大纲, 实现教材内容与教学大纲的统一.探讨离散数学练习题中的“母题”, 编写《离散数学要点及题解》, 便于学生举一反三, 帮助学生自学和做练习题.探讨离散数学知识在实际问题中的典型应用, 编制使用离散数学知识解决实际问题的计算机语言程序, 让学生学习期间感觉到理论与实践的结合. 二、研究离散数学练习题中的母题 离散数学课程内容多, 分散繁杂, 学生做习题普遍感到难以下手.若搞题海战术, 学生时间紧, 又要顾及其他课程, 所以往往采取应付回避的态度, 做题能力很差.我们应该仔细研究各部分的练习题, 探讨各种题型, 分析练习题之间的联系以及与知识点之间的关系, 选择和编制出有代表性的“母题”, 尽量使学生做了这些题以后, 能够举一反三, 事半功倍. 我们编写了《离散数学要点及题解》, 内容包括集合论、数理逻辑、图论和代数系统等四个部分的基本知识点、重点与难点、典型题解析、自我检测题.集合论部分包括集合的概念和集合的运算、二元关系、映射;数理逻辑部分包括命题逻辑和谓词逻辑;图论部分包括图论基本概念和一些特殊图;代数系统部分包括群、环、域, 格、与布尔代数等内容. 各章节的“基本知识点”分为基本概念、基本理论和基本计算;“典型题解析”选择具有代表性的例题进行详细分析, 并给出标准解题步骤, 对于有些题目还给出一题多解, 或对相应的知识点和难点加注, 指出容易犯的错误及犯错误的原因;各章最后一节是“自我检测题”, 这些题中尽量避免近似程度很高的题;附录部分提供近年来的研究生入学考试题中的离散数学部分及其解答.作为离散数学教材的教辅材料, 书中尽量避免偏题怪题, 围绕基本知识点和基本要求, 分析典型题例, 从易到难, 循序渐进, 帮助学生轻松掌握基本内容. 三、介绍编程软件, 编写结合课程内容的算法语言小程序 离散数学虽是一门比较抽象的课程, 但和其他数学分支有明显的不同, 它是20世纪一门新兴的学科, 是将计算机和信息行业需要的数学知识收集在一起形成的一门课程.一方面它有自己的应用背景, 另一方面, 又有数学的抽象性和严密的科学性.在讲解概念和定理的同时, 如何将所学知识与实践相结合, 如何与编写程序相结合, 应该进行这种探索和尝试. 例如, 离散数学课程中关于集合的交、并等运算, 在很多计算机语言中都有直接实现的语句.例如, Pascal语言、Matlab软件、SEQ语言等. 例如, 离散数学中函数的递归定义在常用算法语言中都有直接实现方法. 例如, 在离散数学中, n个集合A1, A2, …, An的笛卡儿叉积的任一子集B称为一个n元关系, B中每一个元素 (a1, a2, …, an) 称为一个n元组.关系数据库中的关系、元组 (或记录) 的概念正是从这里得来的. 例如, 离散数学中数理逻辑部分, 利用已有的规则进行推理, 可用人工智能语言实现.人工智能 (AI) 语言是一类适应于人工智能和知识工程领域的、具有符号处理和逻辑推理能力的计算机程序设计语言, 能够用它来编写程序求解非数值计算、知识处理、推理、规划、决策等具有智能的各种复杂问题.典型的人工智能语言主要有LISP, Prolog, Smalltalk等. 例如, 离散数学中的树、二叉树、图是数据的逻辑结构的重要类型, 只有将树的遍历、图的遍历原理搞清楚, 才能编写较复杂的算法.例如, 最短路算法, 最小生成树算法, 中国邮路问题算法, Huffman最优树算法等.可利用C语言编写相应的程序, 实现算法功能. 例如, 离散数学中的代数系统、群环域、布尔代数在编码学、信息安全中有重要应用, 应该寻找这方面的实例, 将主要部分拿来, 深入浅出地介绍给学生, 提高学生的学习积极性. 多媒体课件在教学中的作用越来越明显, 尤其与计算机相关的课程中更是如此. 四、改革成果的推广 离散数学课程教学方法和手段的改革模式可推广到信息专业和数学专业相似课程中去, 例如组合优化、数值分析、运筹学等.另外课程内容的改革、多媒体课件、教材、要点及题解等都可以在同类课程的自学和实践中推广. 参考文献 [1]王忠义等.离散数学.西安:陕西科学技术出版社, 2001. 摘要：《离散数学》是计算机和信息专业的重要基础课。离散数学的传统考核方法是试卷考试。试卷考试能比较全面地考核学生掌握数学课程的情况，但是，不能充分发挥学生的主观能动性，不能更好地启发学生的创造性思维。针对此课程的特点，我们进行了考核方法的改革尝试，提高了学生的学习热情和积极性，培养了学生的创新能力，收到了较好的教学效果。 关键词：离散数学；考核方法；改革尝试 离散数学是现代数学的一个重要分支，近几十年来，在计算机科学的推动下，它已成为计算机基础理论的核心课程，是整个计算机学科教学体系中十分重要的环节。因此，也被称为是“计算机数学”。离散数学的内容十分广泛，凡是以离散量为研究对象的数学，均是离散数学。这门课程的内容繁杂，覆盖面广，教学时数又不太多，而且，概念多，理论性强，高度抽象。所以，如何使学生能真正学好这门课，并能学以致用，不断提高创新能力，就成为《离散数学》教学中应该研究和探讨的问题。尤其是对普通本科(工科)的离散数学教学更是如此。这也是我国21世纪应用型普通本科高校离散数学课程改革的研讨内容 根据应用型普通本科(工科)的培养目标和计划学时数，我们的离散数学课程不可能像重点大学那样要求。但是，离散数学又是计算机专业的重要基础课，所以，还必须要给学生打下坚实的基础，同时，还要在离散数学的教学中培养学生的学习能力、创新能力。因此，就必须要研究如何在课时不多的情况下，充分发挥教师的教学能力，充分调动学生学习的主观能动性，做好离散数学的教学。 北华大学在这方面做了一些探讨和专项研究，经过几年来的实践，探索了一条比较适合应用型普通本科(工科)的离散数学的教学路子，并收到了较好的教学效果，离散数学课程被评为校级优秀课。 一、《离散数学》考核方法的改革尝试 本校在计算机专业和信息专业都开设了《离散数学》课程。在课时有限的情况下，基于要充分调动学生学习的主观能动性，变被动学习为主动学习，真正学好这门课，并培养学生的学习能力、应用能力和创新能力的想法，从2002届起，在信息专业结合教学，对《离散数学》课程的考核方法做了改革尝试，具体内容如下： (一)针对课程特点，改进教学方法 考核方法的改革，须要做好教法上的改革。21世纪的学生更实际、更理性，他们对知识的掌握和渴求更有时代的鲜明特点，他们不单是为了学习而学习，更是为将来能更好地适应社会的发展而学习。而传统的数学课讲法是按照数学的体系来讲，数学的严谨性和公理化体系已经成为数学教师的习惯。从定义到定理，再基本计算和基本技巧的训练，使得学生们感觉数学枯燥、难学，不利于调动学生学习的兴趣和积极性，为此，我们做了教法上的改革。 1紧密联系实际，调动学生学习的积极性。《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等计算机专业课程中；同时，《离散数学》课程本身对提高学生的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力、应用能力和创新能力等，也是十分有益的。所以，我们在教学中，一直注意提高学生对这门课程的认识，把不断树立学生对这门课程重要性的认识作为一个教学主线来抓。并且，在教学中随时联系具体内容，介绍在专业课中的相关应用。例如，图论中的平面图、树的研究对集成电路的布线、网络线路的铺设、网络信息流量的分析有极大的使用价值。利用布尔代数研究开关电路从而建立起一门完整的数字逻辑的理论，对计算机的逻辑设计起了很大的作用。我们的习题就有和学生专业课中相同的习题。在离散数学的教学中适当穿插一些其在计算机学科和信息学科中的一些小应用，就使学生产生了很大的兴趣和对离散数学课程的重视。有的学生甚至说：把离散数学都当成是专业课了。从而，在教学中，能不断地调动学生的学习积极性，让学生变被动学习为主动学习，充分发挥学生的主观能动性。 2离散数学的教学也是数学思想的教学。离散数学充分体现了近代数学思想，也是近代数学思想的产物。离散数学的教学，除了要教给学生离散数学知识外，更重要的是要通过训练，逐步实现学生思维方式的数字化。 我们在进行离散数学的教学中，反复结合实例，介绍离散数学的思想，训练学生看到实际问题能想到如何进行数字化。例如，关系的概念，就是非常简单非常典型的数字化的方法。整个离散数学处处体现着数字化的思想。只要我们在教学中不断注意启发提醒学生，自然就能让学生在这样的反复揭示中，逐渐实现思维方式的数字化。 3改善教与学的方法，提高学生知识类化的能力。由于离散数学概念多，概念抽象，而且是多门课程的组合，知识点繁杂。所以，在教学中，我们就注意使用知识类化的方法，使知识经验在应用过程中达到举一反三、触类旁通的效果。而教与学方法的改进，有利于知识的类化。为了使学生在解决问题时能更多地利用已经获得的知识、技能和方法对学习新知识的影响，教师应该使学生已有的知识与典型事例之间形成一定的“连结”，通过联想和对比，使学生将新知识、新概念，纳入到有意义的联想认识里，能够把新观念思想。原理在有秩序的体系中加以整理，以促进知识的积累和巩固。例如，在集合中，笛卡尔积是一个基本概念，A×B={(a，b)/a∈A，b∈B}，在关系概念中的关系是一个有序偶的集合，它是A×B的一个子集。在图论中有向图的边，等等，这些都是与笛卡尔积相连的概念。注意在教学中把相关的概念不断地相连结，就能使繁杂的内容形成有关联的联想，使知识形成一个统一的整体，把知识学活。 (二)离散数学考核方法的改革 传统的考核方法就是试卷考试，考察学生的基本知识和基本技能，以及解难题的能力。我们在有些班级尝试做了一些考核方法的改革，把原来的试卷考试和平时的考核两部分，改成了三部分成绩的统一，即添加了一个新的内容：写离散数学的论文。把这个成绩的评定结果作为平时成绩的一个大部分。对离散数学考察课的班级，后来在成绩的比重中所占的比例更大些，甚至达到过50％。 离散数学的论文要求是：题目由老师给个大的范围，让学生在这个范围里选择要写的题目，字数3000字左右。要求有摘要、关键词，观点明确，主题鲜明，论述严谨。我们出的论文，都是一个具体的小问题，并不是很难，目的就是要训练学生自己去研究去创新。 开始的时候，学生叫苦连天，说不会写论文。我们给学生作了一些论文的写作指导，在课程陆续讲完的过程中，我们是逐步把论文题目给出来的。由学生们自己来抽选题目，给了学生比较充分的时间。 经过老师的鼓励和学生们的努力，并且因为和成绩相联，所以，交上来的论文大多数基本符合要求，有的写得还比较好。学生们说：写这个论文要看很多书，要比平时学习课程内容投入的精力还要大，对所写内容的理解上也深入了许多，尤其是在查阅资料上，知道了很多教科书上没介绍的内容。而且，还感到了创造的快乐，不论是从能力上还是知识上都是很有收获的。自从2002级以来，我们连续几年在信息专业做了这样的离散数学课程考核方法的改革尝试，收到了比较好的效果。 二、结语 通过教学改革实践和考核方法的改革尝试，提高了学生学习《离散数学》的积极性和学习热情，提高了学生们分析问题和解决问题的能力，增强了学生们的创新意识和能力。但是，这样的考核方法，增加了教师的工作量，需要教师付出更多的责任心和精力。我们希望能在不断地尝试和探索中，总结经验和教训，不断完善我们的改革尝试。离散数学课程教学改革探讨 篇7
离散数学归纳 篇8