第四章统计与概率

第四章统计与概率（共11篇）

第四章统计与概率 篇1

学习目标: 经历数据的收集、整理，描述与分析的过程，进一步发展统计意识和数据处理能力．通过具体情境，认识一些人为的数据及其表示方式可能给人造成一些误导，提高学生对数据的认识，判断和应用能力．

学习重点、难点: 把握统计图的特点，尤其是折线统计图，其为对应点的连线，数值与点有关，条形统计图两个比较时，单位长度要一致等，便可掌握本节的要求．扇形统计图只能知道各部分所占的比例． 学习方法: 活动——交流.学习过程:

一、例题分析：

【例1】 一文具店老板购进了一批不同价格的书包，它们的售价分别为10元、20元、30元、40元、50元；7天中各种规格书包的销售量依次为6个、17个、15个、9个、3个．这批书包售价的平均数、众数和中位数分别是多少？

【例2】 2002年8月，某书店各类图书销售情况如图1．（1）8月份书店售出各类图书的众数是

．

（2）这个月数学书与自然科学书销售量的比是多少？

（3）数学、自然科学、文化艺术、社会百科各类图书的频数大约是

．

二、课内练习：

课后练习:

作业：

小结： 教后记：

§4.2 哪种方式更合算

学习目标: 发展合作交流的意识和能力，体会如何评判某件事情是否合理，并学会利用它对现实生活中的一些现象进行评判．

学习重点: 学会对某些事情做出评判，这是学习概率的目的．学习是为了应用，帮助人们解决生活中的问题，这有很好的现实应用价值．在学习中注意从实验中积累经验，寻找方法，获得体验，从而提炼出数学上的理论解释． 学习难点：

理解掌握“转盘平均获益”的理论计算方法，对此也可以联想加权平均数的算法，转盘转出各种颜色的概率是可以直接得到的结论，而与对应的金额的乘积的和，与其获益，其不同概率的大小，可理解为权，金额为数据，计算平均数． 学习方法: 实验——引导法.学习过程:

一、例题分析：

【例1】 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图4-2-2），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．顾客每转动一次转盘可平均获利多少元？

【例2】 某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率应该是（）

150100151A．10000 B．10000

C．10000

D．10000

【例3】 某电视台综艺节目接到热线电话3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为 ．

【例4】 有一个屋的地面是用黑、白、红三种颜色的地转镶嵌而成，其中三种地砖镶嵌的面积比是7：25：1，现在屋内顶棚上有一鸟，随意飞行，若小鸟飞落在地面上，则落在每种地砖上的概率各是多少？

【例5】 某福利彩票中心发行200000张福利彩票，每张价值2元，其中特等奖1名，一等奖10名，二等奖100名，三等奖500名，小明购买了三张彩票，中奖的概率是多少？

二、课堂练习：

课后练习:

作业：

小结： 教后记：

§4.3 游戏公平吗

学习目标: 体会如何评判某件事情是否“合算”，并学会对一些游戏活动的公平性作出评判． 学习重点: 本节重点是不仅对一些游戏活动的公平性作出评判，还要会合理的设计得分规则，使游戏公平．在生活中我们不仅要会评判事件，还要做出决策，对事件进行合理的设计，因而有很好的实用价值，也是我们在概率学习内容中的一个重要方面．对此只要能计算出双方获胜的概率，合理设计分数即可． 学习难点：

本节中，游戏获胜的概率可通过列表方法求得，如何设计得分规则是本节的难点．只要计算出双方的概率，如双方获胜概率为n1mn2mn1m，n2m，则得分规则只需满足a=·b即可，即其获胜后的得分分别为a、b，则游戏公平．

学习方法: 实验——引导法.学习过程:

一、例题分析：

【例1】 某一家庭有两个孩子，请问这两个孩子是一个男孩一个女孩的概率是多少？你是怎样知道的．

【例2】 在掷骰子的游戏中，当两枚骰子的和为质数时，小明得1分，否则小刚得1分．你认为该游戏对谁有利？如果当两枚骰子的点数之和大于7时，小刚得1分，否则小明得1分呢？

【例3】 乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么在A、B两站之间需要安排 种不同的车票．

二、课内练习：

1．小东和小明设计了两个掷骰子的游戏，每个游戏每次都是掷两枚骰子． 游戏一：和为7或者8，则小东得1分；和是其他数字，小明得1分． 游戏二：和能够被3整除，小东得3分；和不能被3整除，小明得1分． 这两个游戏公平吗？说说你的理由；若不公平，你能将它们改为公平吗？ 2．小明和小芳用如下转盘图进行配紫色游戏，分别转动两个转盘，若配成紫色则小明得1分，否则小芳得1分，这个游戏对双方公平吗？如果你认为不公平，如何修改得分规则才能使游戏对双方公平？

课后练习:

作业：

第四章统计与概率 篇2

1.能根据具体的实际问题或者提供的资料, 运用统计的思想收集、整理和处理一些数据, 并从中发现有价值的信息, 在中考中多以图表阅读题的形式出现.

2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念, 并能进行有效的解答或计算.

3.能够对扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用, 并会根据实际情况对统计图表进行取舍.

4.在具体情境中了解概率的意义, 能够运用列举法 (包括列表、画树状图) 求简单事件发生的概率, 能够准确区分确定事件与不确定事件.

5.加强统计与概率之间的联系, 这方面的题型以综合题为主, 将逐渐成为新课标下中考的热点问题.

下面举例对本部分内容所涉及的概念进行辨析:

一、总体、个体、样本和样本容量的概念辨析

例1为了了解某地区初一年级7 000名学生的体重情况, 从中抽取了500名学生的体重, 就这个问题来说, 下面说法中正确的是 () .

A.7 000名学生是总体B.每个学生是个体

C.500名学生是所抽取的一个样本D.样本容量是500

【辨析】总体是考察的对象的全体, 个体是组成总体的每一个考察对象, 样本是从总体中抽取的一部分个体, 样本容量是样本中个体的数目, 主要关注“考察对象”, 本题应该选D.

二、平均数、中位数、众数的概念辨析

例2某班第二组男生参加体育测试, 引体向上成绩 (单位:个) 如下:4, 6, 9, 11, 13, 11, 7, 9, 8, 12, 这组男生成绩的平均数是_______, 中位数是_______, 众数是_______.

【辨析】相同点:都是为了描述一组数据的集中趋势.不同点:所有数的总和除以总个数是平均数 (所有数都参与计算) , 一组数据先按大小顺序排列, 中间位置上的那个数据 (如果中间有两个则求它们的平均数) 是中位数 (可能是原数据中的数, 也可能不是原数据中的数) , 众数是出现的次数最多的数据 (一组数据可以有不止一个众数, 也可以没有众数, 如果有众数, 一定是原数据中的数) .本题答案分别为9, 9, 9和11.

三、极差、方差、标准差的概念辨析

例3甲、乙两人各射靶5次, 已知甲所中环数是8、7、9、7、9, 乙所中的环数的平均数为8, 方差s乙2=0.4, 那么, 对甲、乙的射击成绩的正确判断是 () .

A.甲的射击成绩较稳定B.乙的射击成绩较稳定

概率、统计·事件与概率 篇3

1. 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为（ ）

A. ① B. ②

C. ③ D. ④

2. 在正方体的顶点中任选3个顶点连成的所有三角形中，所得的三角形是直角三角形但非等腰直角三角形的概率是（ ）

A.[17] B.[27]

C.[37] D.[47]

3. 某射手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则这名射手在一次射击中，击中的环数不够9环的概率是（ ）

A. 0.29 B. 0.71

C. 0.52 D. 0.48

4. 点[P]在边长为1的正方形[ABCD]内运动，则动点[P]到定点[A]的距离[|PA|<1]的概率为（ ）

A. [14] B. [12]

C. [π4] D. [π]

5. 一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机取出2个球，则取出的两个球不同色的概率是（ ）

A.[23] B.[13]

C.[12] D.[14]

6. 有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条， 所取3条线段可构成三角形的概率是（ ）

A. [35] B. [310]

C. [25] D. [710]

7. 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球. 那么取球次数恰为3次的概率是（ ）

A. [18125] B. [36125]

C. [44125] D. [81125]

8. 某学习小组有[3]名男生和[2]名女生，从中任取[2]人去参加演讲比赛，事件[A=]“至少一名男生”，[B=]“恰有一名女生”，[C=]“全是女生”，[D=]“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是（ ）

A. [A?B=B] B. [B?C=D]

C. [A?D=B] D. [A?D=C]

9. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目. 如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为[920]，那么参加这次联欢会的教师共有（ ）

A. 360人 B. 240人

C. 144人 D. 120人

10. 在区间[0，1]上任取三个数[a]，[b]，[c]，若点[M]在空间直角坐标系[Oxyz]中的坐标为[（a，b，c）]，则[|OM|<1]的概率是（ ）

A. [π24] B. [π12]

C. [3π32] D. [π6]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字. 若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .

12. 已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形[ABCD]内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入[△BCD]内的频率稳定在[25]附近，那么点[A]和点[C]到直线[BD]的距离之比约为 .

13. 在面积为1的正方形[ABCD]内部随机取一点[P]，则[△PAB]的面积大于等于[14]的概率是 .

14. 过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有的这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）一射击测试每人射击三次，甲每击中目标一次记10分，没有击中记分0分，每次击中目标的概率[23]. 乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为[13].

（1）求甲得20分的概率；

（2）求甲、乙两人得分相同的概率.

16. （10分）某班拟选派4人担任志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等.

（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？

（2）设至少有[n]名男同学当选的概率为[Pn]，当[Pn≥34]时，[n]的最小值？

17. （12分）已知实数[a，b∈{-2，-1，1}].

（1）求直线[y=ax+b]不经过第一象限的概率；

（2）求直线[y=ax+b]与圆[x2+y2=1]有公共点的概率.

18. （12分）设关于[x]的一元二次方程[x2+2ax+b2][=0].

（1）若[a]是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，[b]是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若[a]是从区间[0，3]上任取的一个数，[b]是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

统计与概率复习课 篇4

胡桂芬

一、教学目标

（一）知识与技能

让学生经历收集数据、整理数据、分析数据的活动，使他们在解决问题的整个过程中进一步巩固所学的统计知识，培养梳理知识结构的能力。

（二）过程与方法

通过整理、分类、制图、观察、比较、分析信息，形成统计观念，进而形成依据数据和事实来分析和解决问题的方法。

（三）情感态度和价值观

使学生进一步体会数学与生活的紧密联系，形成尊重事实、用数据说话的态度，形成科学的世界观与方法论。

二、教学重难点

能根据收集的数据制成合适的统计表和统计图。

三、教学准备 多媒体课件，作业纸。

四、教学过程

（一）谈话引入，复习旧知

教师：同学们，今天这节课，我们一起来复习统计与概率的知识。首先，请大家回忆一下，在小学阶段我们学过哪些统计与概率的知识？学生独立完成后，教师继续引导：同桌之间互相交流和补充，然后想一想，可以怎样对这些知识进行分类整理？

汇报讨论、交流结果，师板书。教师：谁能简要地说一说，怎样求平均数？ 预设：平均数=总数量÷总份数。

教师：这三种统计图各有什么特点？适合在什么情况下使用呢？ 预设：条形统计图便于直观了解数据的大小及不同数据的差异。折线统计图便于直观了解数据的变化趋势。扇形统计图能清楚地反映各部分与整体之间的关系。

【设计意图】通过“独立思考──互补交流──分类整理”的过程，让学生从整体上复习有关统计的知识，并借助树形图形成知识结构。

（二）整理数据，自主探究 1．收集整理数据，制作统计图表。

教师：同学们，这是你们上节课集体智慧设计的个人情况调查表，现在学校想了解咱们六（2）同学的整体情况，大家想想下面我们该怎么做？

预设：将调查表上的信息整理分类、统计制成统计图表。教师：同学们，你们课前已经填好了个人情况调查表，这是数学课代表将你们要整理的项目条收集起来了，请六个组长将你们组感兴趣的项目拿去，先整理分类，再用合适的统计图表进行统计。动手之前，请看学习要求。

学生开始按课前分好的小组收集项目条，教师巡视并帮助有困难的小组进行数据整理。

【设计意图】本环节中各小组都有各自的分工，便于学生经历数据收集和整理的过程，并利用统计表进行简单的分析。

说明：教学设计中接下来将选用教材提供的数据。在实际教学中，教师应充分利用学生实际调查所得的数据展开教学。

2．求统计量和分析。

教师：经过大家的共同努力，各小组的统计表和统计图已经整理好了，请负责统计身高情况和负责统计体重情况的小组到前面来展示你们的成果。

学生1：我们小组整理的是全班同学的身高情况，制成的统计表是这样的。

教师：观察这张统计表，你们有什么发现？ 预设：身高是1.52米的同学人数最多，身高是1.40米的人数最少。

学生2：我们小组整理的是全班同学的体重情况，从表中可以知道，体重是39千克的人数最多，体重是30千克的人数最少。

教师：现在请男生算出咱们班的平均身高，女生算出咱们班的平均体重。用什么数据能代表全班同学的身高、体重？

学生先独立练习，再小组讨论，教师指导小组合作学习。教师：哪个小组来交流一下你们的学习成果？

学生3：平均身高是1.50425米。我认为用平均数能代表全班同学的身高情况。

学生4：平均体重是39.6千克。我认为平均数可以代表全班同学的体重情况。

教师：同学们合作学习的效率非常高。老师这里还有个问题，你能很快解答吗？

如果把全班同学编号，随意抽取一名学生，该生体重在36千克及以下的可能性大？还是在39千克及以上的可能性大？

预设：在39千克及以上的可能性大。因为体重在39千克及以上的人数比体重在36千克及以下的人数更多。

教师：你能提出类似的问题让小组同学解答吗？

【设计意图】用统计表表示全班同学的身高和体重分布情况，然后完成三个任务：计算平均数；讨论用什么数据能代表全班同学的身高和体重情况；依据数据判断哪个现象出现的可能性大。整个过程以小组合作和交流汇报的形式展开，激发学生学习的积极性和主动性。

3．制作统计图并进行分析。教师：我们已经了解了咱们班身高和体重的情况，下面请负责统计咱们班男女生人数的小组展示你们的成果。

预设：我们先用统计表统计了男女生的人数，我们又想反映男女生人数分别占总人数的百分之几，所以又用扇形统计图进行了统计。

教师：你们真有自己的思想，能根据实际情况的需要选择合适的统计图进行统计，下面请用统计图统计你们小组负责的项目的组长来展示你们的成果。

学生5：为了反映男女生最喜欢的运动的人数的多少和人数的差别，我们小组将六（1）班同学最喜欢的运动项目做成了复式条形统计图（课件出示）。

教师：观察这个统计图，你得到了哪些信息？

预设：六（1）班同学最喜欢的运动项目中，男生喜欢足球的人数最多，女生喜欢跳绳的人数最多。学生6：为了反映同学们对自己一到六年级综合表现满意情况的变化趋势，选用的是折线统计图（课件出示）。

教师：从这张统计图中，你能获得怎样的信息？

预设：六（1）班同学对各年级综合表现满意情况总体呈现上升趋势。

教师追问：想一想，这说明了什么？

预设：说明随着年级的升高，同学们对自己各方面表现的评价也越来越好。

【设计意图】从教师提供的素材引入，让学生在讨论和交流的前提下，制作合适的统计图表示各组统计的数据，充分体现了这部分知识的应用价值。后续的分析紧紧围绕各种统计图的特点，体现尊重事实、用数据分析实际情况的思想。

（三）练习巩固，加深理解

1．学生独立完成练习二十一第1题。根据所要描述的情况，填写合适的统计图。

（1）描述六（2）班同学身高分组的分布情况，用___________。（2）描述从一年级到六年级的平均身高变化情况，用___________。（3）描述身高组别人数占全班人数的百分比情况，用___________。指名回答，集体订正。

2．完成练习二十一第2题。

下面是某汽车公司去年汽车生产量和销售量情况。

（1）该公司去年全年的生产和销量情况如何？（2）该公司的发展前景怎样？（3）你还能提出哪些问题？

四、课堂总结，小议收获

教师：这节课复习了什么内容？用平均数表示一组数据时要注意什么？怎样根据实际情况恰当地选择统计图？

五、课外作业，实践应用

《统计与概率》教学反思 篇5

教材选择了两个事例，一是某旅游景点“十一”长假期间的游客情况，用条形统计图和折线统计图表示出同一组数据的不同特征;二是某城市——的人口数量统计结果，要求用折线统计图表示出数据的基础上，对该城市的人口变化情况进行分析，并预测5年后该城市的人口数量。

本节课，在整个的教学过程中没有出现什么困难，学生的学习状态不错，教学效果也不错。在完成书上教学内容的基础上，我又增加了扇形统计图的教学，把三种统计图放在一起进行了比较，使学生能够更清楚地了解到三种统计图的特征，从而会有选择地应用。

《统计与概率》的教学反思 篇6

作为义务教育阶段学习的继续，初中阶段的数学学习将巩固，加深学生已形成的对数裾分析方法的理解，扩展学生已经获得的对不确定性和概率的经验。使学生通过从事数据处理的全过程，认识统计方法对制定决策的作用。

通过实验，理论分析等方法，逐步培养学生深入思考的习惯，体会运用概率思考问题的特点。基础教育阶段的概率统计，重要的不只是具体的知识，规律，法则，更是过程，思想和观念的学。目的是让学生体会概率统计的基本思想，以及在社会生活中的应用。在教学中提供现实的问题情景，使学生真实的参与，面对要解决的问题，主动的设计方案，收集数据，制定决策，为维护自己的观点而寻求论据，与他人进行讨论与交流，这些都将使他们终身收益。

“统计与概率”复习专题 篇7

1市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准;

2检测某地区空气质量;

3调查全市中学生一天的学习时间.

A. 1 2B. 1 3C. 2 3D. 1 2 3

2. 今年我市有近4万名考生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是().

A. 这1 000名考生是总体的一个样本B. 近4万名考生是总体

C. 每位考生的数学成绩是个体D. 1 000名学生是样本容量

3. 有甲、乙两个箱子,其中甲箱内有98颗球,分别标记号码1~98,且号码为不重复的整数,乙箱内没有球. 已知小育从甲箱内拿出49颗球放入乙箱后,乙箱内球的号码的中位数为40. 若此时甲箱内有a颗球的号码小于40,有b颗球的号码大于40,则关于a,b的值,下列正确的是().

A. a=16B. a=24C. b=24D. b=34

4. 某次射击训练中,一小组的成绩如表所示:已知该小组的平均成绩为8环,那么成绩为9环的人数是______.

5.“服务他人,提升自我”,七一学校积极开展志愿者服务活动,来自九年级的5名同学(3男2女)成立了“交通秩序维护”小分队,若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护,则恰好是一男一女的概率是 ______.

6. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试,6次跳远的成绩如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9(单位:m). 这六次成绩的平均数为7.8,方差为1/(60). 如果李刚再跳两次,成绩分别为7.7,7.9. 则李刚这8次跳远成绩的方差 ______.(填“变大”“不变”或“变小”)

7. 在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物. 为使课外读物满足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类),如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.

(第 7 题 )

请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:

(1)本次调查中,一共调查了 ______ 名同学;

(2)条形统计图中,m=______,n=______;

(3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 ______ 度;

(4)学校计划购买课外读物6 000册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比较合理?

8. 为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图表:

(1)请补全上述图表;(请直接在表中填空和补全折线图)

(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出?说明你的理由;

(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则?为什么?

参考答案

1. D 2. C 3. D 4. 3 5.3/56. 变小

7.(1)200 (2)40,60 (3)72 (4)900 册

8.(1)甲射击成绩的中位数:7,方差:4;乙射击成绩的平均数:7,中位数:7.5,方差:5.4;甲第8次命中环数为9环;

(2)由甲的方差小于乙的方差,甲比较稳定,故甲胜出;

概率与统计 篇8

一、 考纲要求

根据《2012年江苏省高考数学学科考试说明》，考纲给出的能级要求如下：

从表格中可以看出高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法。

1. 统计部分

了解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的方法及各自的适用范围，能读懂频率分布直方图，了解茎叶图，能根据公式计算样本数据的平均数和方差，了解方差的统计学意义。

2. 概率部分

通过学习，要能区分古典概型和几何概型的异同点，能通过枚举法计算简单的古典概型，而对于几何概型，只要掌握一维和二维图形的几何概型即可。

二、 难点疑点

1. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

2. 古典概型的适用条件：（1）试验结果的有限性，（2）所有结果的等可能性。

三、 经典练习回顾

--！> 1. 若k1，k2，…，k8的方差为3，则2（k1-3），2（k2-3），…，2（k8-3）的方差为 .

2. 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，至少出现一次6点向上的概率是.

3. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率.

4. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为.

四、 例题精析

【例1】 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：（1）两数和是3的倍数的概率；

（2）点数之和为质数的概率；

（3）点数之和不低于10的概率；

（4）概率最大时，点数之和.

解 （1）将骰子抛掷1次，它出现的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，对于每一种结果，第二次抛时又都有6种可能的结果，于是共有6×6=36种不同的结果.

记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A，则事件A的结果有12种.

两次向上点数之和是3的倍数的概率为： P（A）=1236=13.

（2）记“点数之和为质数”为事件B，则事件B的结果有15种.

点数之和为质数的概率为：P（B）=1536=512.

（3）记“两次向上点数之和不低于10”为事件C，则事件C的结果有6种，因此所求概率为：P（C）=636=16.

（4）点数之和为7时，概率最大，且概率为：636=16.

点拨 事件A概率的计算，关键是准确计算样本空间所含基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，因此，必须解决好下面三个方面的问题：（1）本实验是否等可能；（2）本实验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么，它包含多少个基本事件。另外，利用图表来研究概率问题，可以省略繁琐复杂的分析，清楚直观，简单明快。

【例2】 如图，∠AOB=60°，OA=2，OB=5.

（1）在线段OB上任取一点C，试求△AOC为钝角三角形的概率；

（2）过A点作一射线与直线BC交于M点，求△AOM为钝角三角形的概率.

解 （1）如图，由平面几何知识：当AD⊥OB时，OD=1；当OA⊥AE时，OE=4，BE=1.当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形，所以区域D为线段OD与线段EB，若记“△AOC为钝角三角形”为事件A，则P（A）=OD+EBOB=25.

（2）过A点作一射线与直线BC相交，由（1）可知当射线落在∠DAE中时为锐角，所以区域D为过A点的平角，区域d为∠DAE.若记“△AOM为钝角三角形”为事件B，则

P（B）=180°-60°180°=23.

点拨 认清题目的研究对象，几何区域分别是什么。第（1）问研究对象是C点，所以几何区域是线段；第（2）问研究对象是射线，所以几何区域是角。

【例3】 在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下

求：（1）至多有2个人排队的概率；

（2）至少有2个人排队的概率.

解 （1）设没有人排队为事件A，1个人排队为事件B，2个人排队为事件C，则P（A）=01，P（B）=016，P（C）=03，依题意知，事件A、B、C彼此互斥，所以至多有2个人排队的概率为P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）

=01+016+03=056

（2）设至少有2个人排队为事件D，则为至多1人排队，即=A+B，

因此P（D）=1-P（）=1-P（A+B）

=1-P（A）-P（B）=074.

点拨 解决此类问题，首先应结合互斥事件与对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式，不能乱套公式，导致出现错误，同时注意分类讨论与等价转化的数学思想。

31. 如图是电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 .2. 已知集合A={-9，-7，-5，-3，-1，0，2，4，6，8}，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x，y），其中x∈A，y∈A，且x≠y，计算：

（1）点M不在x轴上的概率；

（2）点M在第二象限的概率.

3. 若x∈[-2，2]，y∈[-2，2]，则点（x，y）在圆面x2+y2≤2内的概率是 .

4. 在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 .

5. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，则估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）为.

（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率.--！>

概率论与数理统计 篇9

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

考试要求

1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．

3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．

3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为

5．会求随机变量函数的分布．

三、多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求

1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．

4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会

运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．

2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考试要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)．

六、数理统计的基本概念

考试内容

总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩分布分布分布 分位数 正态总体的常用抽样分布

考试要求

1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性质，了解上侧 分位数的概念并会查表计算．

3．了解正态总体的常用抽样分布．

七、参数估计

考试内容

点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．

2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．

3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．

4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验

考试内容

显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

考试要求

1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．

2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．

数学大纲和去年相比变化之处

从拿到大纲的情况来说，今年的大纲和往年是没有什么变化，这一点和我前面所预测的是基本上一致的。当然大纲没有变化，对大家也有一个好处，也就是大家可以按照原先的计划，按步就班的走，不用考虑有一些计划

调整等等这样一类的东西。

2011年考试的难度是有一个怎样的趋势

至于难度，咱们要说2011年的难度，可以看一下这几年的难度水平。数一2008，2009年的难度水平基本上是一致的，2010年的考试难度有一定的上升，我认为2011年难度水平应该有所下降。大纲没有变，而考研是一个选拔性的考试，要求有一定的稳定性。所以，数一的同学，2011年的考试试题难度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。对数二和数三来说，水平应该和往年基本上是一致的。

2011年的考察重点会在哪个方面

由于今年考研大纲没有变化，我们可以根据考试的一些要求，还有历年考试真题的情况，咱们可以看一下历

年考试的重难点。

咱们看高等数学部分，高等数学部分第一部分函数、极限连续这一块，重点要求掌握两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换，这样一些东西，还有一些极限存在性问题，间断点的类型，这些东西在历年的考察中都比较高，而我上课的时候一直给大家强调，考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对

数三的同学，这儿可能出大题。

第二部分是一元函数微分学，这块大家主要处理这几个关系，连续性，可导性和可微性的关系，掌握各种函数的求导方法。比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。

一元函数微分学涉及面非常广，题型比较多，而且这一部分还有一个比较重点的内容，就是出证明题。咱们知道中值定理是历年经常考的一个考点，所用的主要方式就是构造辅助函数的方法进行证明。当然，这里还包含

一部分等式和不等式的证明，零点问题，以及极值和凹凸性。

多元函数微分学，这一块内容实际上也是按照一元函数微分学的形式进行考察的，比如咱们求偏导数，先固定一个变量，给另一个变量求导数，归根到底还是考察一元函数微分学。对多元函数微分学，大家还有一个内容

要掌握，连续性、偏导性和可微性，特别是抽象函数求二阶导数和二阶混合偏导这一类的题。

当然，还有一个问题，多元函数微分学的应用，主要牵扯两方面，一个是条件极值，一个是最值问题。这两

块。

积分学包含两块，也就是一元函数积分学和多元函数积分学，对于一元函数积分学一个是不定积分和定积分的计算，对不定积分一定要非常熟练掌握基本运算，对于定积分除了掌握用不定积分计算的方式，还要注意用定

积分的性质，比如定积分的奇偶性，周期性，单调性等等。

还有一块，定积分应用，主要考察面积问题，体积问题，或者说这块和微积分的结合等等。对于数一的同学来说，咱们还牵扯到一块，三重积分，曲线和曲面积分这两块，对于三重积分来说，大家主要掌握一些基本的，比如对球体、锥体、圆柱的积分，对于曲线和曲面积分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二类曲线积分转化成二重积分，利用高斯公式把曲面积分转化成三重积分进行运算，这里有一个比较常考的知识点，曲

线积分与路径无关，这个要作为一个主要的知识点进行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有两个重点，一个是一元线性微分方程，第二个是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程，对第一部分，大家掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说，大家要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征

方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。

对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方

程是相似的，学习的时候要注意这一点。

第五个，级数问题，主要针对数一和数三，有两个重点，一个是常数项级数的性质，包括敛散性。

第二块，牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一

个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。

关于线性代数这一块，有这样几个重点的内容，一个是逆矩阵和矩阵的秩。第二个，向量的线性相关性和向量的线性表示。向量组合的相关性，这一块极有可能考的类似于计算的证明题。比如让咱们证明几个向量线性无关。第三块是方程组的解的讨论，其中还包括有待定参数的解的讨论，这块的问题，往年也考得比较多。

第四块特征值和特征向量的性质，以及矩阵的对角化。

第五块，正定二次型的判断。大家在学线代的时候，还要注意一个方向，就是线性代数各个章节的连贯性是比较强的，我们在复习总结的时候，特别是后期，对于这一块内容要自己有一个总结，然后还可以看一看比如咱

们的复习全书或者复习指南这之类的书，在脑海中对线性参数的知识点要形成一个知识性框架。

概率统计这块（数二不考），概率统计要注重这几块内容，一个是概率的性质与概率的公式，这一块要求咱们非常熟练的掌握，比方说加法公式，减法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，这块要非常熟悉的掌握。

还有一部分，古典概率和几何概率，这块大家掌握中等难度的题就可以了。

第二块，一维随机变量函数的分布，这个要重点掌握连续性变量的这一块。这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。

第三块，多维随机变量的联合分布和边缘分布还有条件分布，多维随机变量的独立性，这块是考试的重点，当然也是一个难点。这块还有一个问题要求大家掌握的，随机变量的和函数和最值函数的分布。

第四块，随机变量的数字特征，这块很重要，要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独性考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。

第五块，参数估计这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的同学，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。数一的同学，咱们特别强调一点，考这个矩估计

高中数学复习讲座 概率与统计 篇10

高考要求

概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容   要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法

重难点归纳

本章内容分为概率初步和随机变量两部分   第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验   第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差

涉及的思维方法   观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化

主要思维形式有   逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维

典型题例示范讲解

例1有一容量为50的.样本，数据的分组及各组的频率数如下

［10，15］4  ［30，35 9  ［15，20 5  ［35，40 8

［20，25 10  ［40，45 3  ［25，30 11

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；

统计与概率考点与题型分析 篇11

一、随机抽样

考纲要求

（1）理解随机抽样的必要性和重要性.

（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样.

基本考点与题型

1. 简单的随机抽样

例1. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

答案 B.

解析 设这批米内夹谷的个数为x，则由题意并结合简单随机抽样可知，=，解得x≈169，故应选B.

评注 本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，难度不大.在高考中，考查简单的随机抽样的题目往往比较简单.

2. 系统抽样

例2.（2015·湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.

答案 4.

解析 35÷7=5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人.

评注 本题将系统抽样与茎叶图综合在一起考查，难度不大.对于系统抽样问题，我们要掌握两点：（1）分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本；（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了.

3. 分层抽样

例3. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取学生________名.

答案 40.

解析 抽样比为=，∴A，B专业共抽取38+42=80名，

故C专业抽取120-80=40名.

评注 分层抽样是三种抽样方法中最重要的一种抽样方法，也是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度：一是计算某一层应抽取的样本数；二是求样本容量.

二、用样本估计总体

考纲要求

（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.

（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准差），并给出合理解释.

（4）会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.

（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

基本考点与题型

1. 频率分布直方图

例4.（2016·北京）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

答案 （1）3；（2）10.5元.

解析 （1）由用水量的频率分布直方图知：

该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.

依题意，w至少定为3.

（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5元.

评注 本题主要考查频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：（1）×组距=频率；（2）=频率，此关系式的变形为=样本容量，样本容量×频率=频数.

2. 茎叶图

例5. 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

①分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

②分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；

③根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.

答案 ①75，67. ②0.1，0.16. ③ 对甲部门评价较高.

解析 ①由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为=67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.

②由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.

③由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.

评注 在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.

3. 样本的数字特征

例6.（2015·广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图.

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？

答案 （1）0.0075.（2）230，224.（3）5.

解析 （1）由（0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025）×20=1得x=0.0075，

∴直方图中x的值为0.0075.

（2）月平均用电量的众数是=230.

∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45<0.5，

∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则：

（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位数为224.

（3）月平均用电量在[220，240）的用户有0.0125×20×100=25户，

同理可求月平均用电量为[240，260），[260，280），[280，300）的用户分别有15户、10户、5户，

故抽取比例为=，

∴从月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户.

评注 样本的数字特征是每年高考的热点，且常与频率分布直方图、茎叶图等知识相综合考查.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：（1）最高的矩形的中点即众数；（2）中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

三、变量间的相关关系

考纲要求

（1）会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系.

（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程.

基本考点与题型

1. 相关关系的判断

例7. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图（x轴、y轴的单位长度相同），用回归直线方程=bx+a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）

A. 线性相关关系较强，b的值为1.25

B. 线性相关关系较强，b的值为0.83

C. 线性相关关系较强，b的值为-0.87

D. 线性相关关系较弱，无研究价值

答案 B.

解析 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y=x的斜率要小一些，综上可知应选B.

评注 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性.

2. 线性回归方程

例8.（2014·重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（ ）

A. =0.4x+2.3 B. =2x-2.4

C. =-2x+9.5 D. =-0.3x+4.4

答案 A.

解析 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.

且直线必过点（3，3.5）代入A，B，得A正确.

评注 回归直线方程 = x+必过样本点中心（，）.

四、随机事件的概率

考纲要求

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别.

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.

基本考点与题型

1. 随机事件概率的求法

例9. 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；

（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

解析 （1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为=.

（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等）.这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.

评注 本题主要考查随机事件的概率与频率的关系和随机事件概率的求法：（1）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.（2）利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

2. 互斥事件与对立事件的概率

例10. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）

答案 A.

解析 不输包括和棋与获胜两种情形，故甲不输概率为+=.

评注 运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法，本题属于简单题.

五、古典概型

考纲要求

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率

基本考点与题型

1. 简单的古典概型

例11. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）

答案 C.

解析 开机密码的可能有：

（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种可能，

所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是.

评注 作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.

2. 复杂的古典概型

例12. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3. 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.

因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.

评注 此类问题一般以解答题的形式出现，基本方法有：（1）将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解.（2）先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.

3. 古典概率与统计的综合

例13. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.

B地区用户满意度评分的频数分布表

（1）在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.

解析 （1）如图所示：

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.

（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.

由直方图得P（CA）的估计值为（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，

P（CB）的估计值为（0.005+0.02）×10=0.25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

评注 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点.概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.

六、几何概型

考纲要求

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

（2）了解几何概型的意义.

基本考点与题型

1. 与长度有关的几何概型

例14. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）

答案 B.

解析 因为红灯持续时间为40秒.

所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.

评注 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法，本题的测度为长度，是高考中经常出现的一类几何概型送分题.

2. 与面积有关的几何概型

例15. 从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）

答案 C.

解析 利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为==，所以π=.

评注 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

3. 与其它知识交汇的几何概型

例16. 在区间[0，1]x+y≤上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则（ ）

答案 D.

解析 如图，满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x+y≤”对应的图形为阴影△ODE，其面积为××=，故p1=<.

事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，

故p2>，则p1<评注 与其它知识交汇的几何概型以测度为面积的居多，解决这类问题的关键是根据题意画出图形，并计算相关面积.这类问题综合性较强，有一定的难度.

变式训练

1. 某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（ ）

8. 某单位为了了解用电量y（度）与当天平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如下表），运用最小二乘法得线性回归方程为=-2x+a，则a=________.

9. 某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y1）因书写不清楚，只记得y1是[0，3]上的一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________.（残差=真实值-预测值）

10. 已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点. 在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为________.

11. 某网站针对“2016年法定节假日调休安排”展开的问卷调查，提出了A，B，C三种放假方案，调查结果如下：

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持A方案”的人中抽取了6人，求n的值；

（2）在“支持B方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率.

12. 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人.

（1）求该班学生中“立定跳远”科目的成绩为A的人数；

（2）已知该班学生中恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率.

变式训练参考答案与解析

1. B. 2. D. 3. A. 4. C. 5. D. 6. C. 7. C. 8. 60. 9. . 10. +. 11. （1）n=40；（2）. 12.（1）3；（2）.

1. 系统抽样的抽取间隔为=6，设抽到的最小编号为x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，解得x=3.

2. 根据茎叶图，得乙组的中位数是33，甲组的中位数也是33，即m=3，又甲=（27+39+33）=33，所以乙=（20+n+32+34+38）=33，解得n=8，所以=.

3. 分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05，故其人数为×0.05=10人.

12.（1）因为“铅球”科目的成绩等级为E的学生有8人，所以该班有8÷0.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目的成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（2）由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A.

设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω={（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，一共有6个基本事件.