初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》优秀教学设计

初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》优秀教学设计（通用3篇）

初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》优秀教学设计 篇1

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

4.理解锐角三角函数的意义.

(二)能力训练要求

1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.

(三)情感与价值观要求

1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯

教学重点

1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

教学难点

用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

教学方法

探索——交流法.

教具准备

多媒体演示.

教学过程

Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课

[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.

现在我们提出两个问题：

[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?

[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?

Ⅱ.讲授新课

1.正弦、余弦及三角函数的定义

多媒体演示如下内容：

想一想：如图

(1)直角三角形AB1C1

和直角三角形AB2C2有

什么关系?

(2) 有什么

关系? 呢?

(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?

(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?

请同学们讨论后回答.

[生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，

∴A1C1//A2C2.

∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.

(相似三角形对应边成比例).

由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B上的位置，上述结论仍成立.

由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角

的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.

[生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.

[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?

[生]函数关系.

[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)

在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即

sinA=

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即

cosA=

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometricfunction).

[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数”呢?

[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°

2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系

[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?

[生]如图所示，AB=A1B1，

在Rt△ABC中，sinA= ，在

Rt△A1B1C中，sinA1= .

∵ < ,

即sinA

所以梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.

[生]同样道理cosA= cosA1= ,

∵AB=A1B1 > 即cosA>cosA1，

所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.

[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.

3.例题讲解

多媒体演示.

[例1]如图，在Rt△ABC

中，∠B=90°，AC=

200.sinA=0.6，求BC

的长.

分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA=0.6， =0.6.

解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200.

sinA=0.6，即= 0.6，BC=AC×0.6=200×0.6=120.

思考：(1)cosA=?

(2)sinC=? cosC=?

(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?

解：根据勾股定理，得

AB= =160.

在Rt△ABC中，CB=90°.

cosA= =0.8，

sinC= =0.8，

cosC= =0.6，

由上面的计算可知

sinA=cosC=O.6，

cosA=sinC=0.8.

因为∠A+∠C=90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.

[例2]做一做：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，AC=10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的.结论吗?请用一般式表达.

分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)=cosA，cos

(90°-A)=sinA.

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，cosA= ，cosA= ,

∴AB= ,

sinB=

根据勾股定理，得

BC2=AB2-AC2=( )2-102=

∴BC= .

∴cosB= ,[

sinA=

可以得出同例1一样的结论.

∵∠A+∠B=90°，

∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA=cos(90°-A);

cosA=sinB=sin(90°-A)，即cosA=sin(90°-A).

Ⅲ.随堂练习

多媒体演示

1.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

分析：要求sinB，cosB，tanB，先要构造∠B所在的直角三角形.根据等腰三角形“三

线合一”的性质，可过A作AD⊥BC，D为垂足.

解：过A作AD⊥BC，D为垂足.

∴AB=AC，∴BD=DC= BC=3.

在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，

∴AD=4.

sinB= cosB= ,

tanB= .

2.在△ABC中，∠ C=90°，sinA= ，BC=20，求△ABC的周长和面积.

解：sinA= ，∵sinA= ，BC=20，

∴AB= ==25.

在Rt△BC中，AC= =15，

∴ABC的周长=AB+AC+BC=25+15+20=60，

△ABC的面积： AC×BC= ×15×20=150

3.(2003年陕西)(补充练习)

在△ABC中.∠C=90°，若tanA= ，

则sinA= .

解：如图，tanA= = .

设BC=x，AC=2x，根据勾股定理，得

AB= .

∴sinA= .

Ⅳ.课时小结

本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°;三个比值是因变量.当∠A确定时，三个比值分别唯一确定;当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.

Ⅴ.课后作业

习题1、2第1、2、3、4题

Ⅵ.活动与探究

已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2=ABBD.(用正弦、余弦函数的定义证明)

[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得cosB= ，cosB= .

[结果]在Rt△ABC中，cosB=

又∵CD⊥AB.

∴在Rt△CDB中，cosB=

∴ = BC2=ABBD.

板书设计

§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)

1.正弦、余弦的定义在Kt△ABC中，如果锐角A确定.

sinA= [

cosA=

2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?

sinA的值越大，梯子越陡

cosA的值越小，梯子越陡

3.例题讲解

初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》优秀教学设计 篇2

要在初中数学教学中结合进行德育, 并取得实效, 我认为可充分展示三个魅力:教师个人的魅力、数学文化的魅力、训练过程的魅力.

一、教师个人的魅力

教师个人的魅力是教师道德素养与专业素养的综合体现, 因此, 数学教师不断提高自己的德识素养, 是吸引学生喜欢数学学习的一个主要因素. 所谓“亲其师, 则信其道”就是这个道理. 教师对学生有爱心, 有责任心, 才能真正全面关心学生的身心健康, 关心学生的全面发展, 赢得学生尊重, 并影响到学生的个性发展.

例如, 在学习“函数”概念时, 学生往往对判断一种对应关系是不是函数关系感到困难. 为把这个复杂问题简单化, 我打了一个比方:函数关系好比母子关系. “一一对应”如同一个孩子只有一个母亲, “多对一的对应”则如几个孩子有同一个母亲; 从血缘上讲一个孩子不可能有多个生身母亲, 所以“一对多”的关系不是函数关系. 学生很快就理解了函数对应关系, 并能在运算中作出正确判断.

再如, 学习“不等式组的解集”时, 我编了一个顺口溜让学生记忆理解:“大大取大, 小小取小, 大小小大取中间, 大大小小一场空. ”有效地帮助学生确定不等式组的解集.

不少学生在他们写的学习感悟中写道:“老师, 您的课很生动. 我觉得老师讲课都应该生动, 这样上课才会有趣. ”“我发现我喜欢上了数学……”

二、数学文化的魅力

有一名学生曾对我说:“我图画画得不好, 但不影响我欣赏美术;我唱歌唱得不好, 但不影响我欣赏音乐. ”这句大实话, 对我触动很大. 欣赏艺术并不要求欣赏者有艺术家的水平, 那么, 数学作为人类文化的一部分, 为什么不能引起大众对它的欣赏呢? 因此, 在教学中我自觉地结合教学内容渗透数学发展史的知识, 有意识地引导学生将所学的知识与生活实际联系起来, 经常性地介绍学生读一些数学普及读物, 从而向学生展示数学文化的魅力. 我希望我的学生热爱数学, 哪怕他数学学得不好, 也能欣赏数学的美, 能感受到数学的力量.

在学习“整数”一节时, 我向学生介绍了数字的起源. 我告诉学生, 正整数之所以是人类最早认识的数, 是因为容易用它来计数;原始人最早有了1和2的概念, 认识1是人类自我意识的觉醒, 认识到2的抽象含义是因为人类有着同样数目的手、脚、眼睛和耳朵. 随着部落财富的增加, 人类开始学会计数, 在五千多年前就创造出计数的符号. 这一番讲解让学生明白了, 数学从根本上就源于生产生活实际. 在学习“负数”概念时 , 我介绍了负数在文艺复兴时期给欧洲数学家带来的恐慌, 让学生理解, 哪怕是数学家在接受新的知识时都会有困惑. 在学习“无理数”时, 我讲述了无理数的发现者不惜被沉湖处死以捍卫真理的故事, 让学生体会数学科学的魅力.

三、训练过程的魅力

任何学科知识的学习都不能停留在兴趣上, 必须投身其中、体会甘苦、有所发现之后, 才能获得成就感, 才能保持兴趣. 数学作为一门科学, 学习并运用它离不开科学的训练. 我认为, 数学学习过程的魅力, 就在于引导学生在“训练”中不断体验成功的乐趣.

初中数学学习过程中的训练有两个层次:第一个层次是基本功训练, 第二个层次是探究能力训练. 传统的教学更多地偏重于第一个层次, 容易造成机械、重复的训练, 导致学生的思维定式和心理厌倦.

我和备课组的同事们还在作业评价方面做了一些尝试:建立后进生的学习档案, 及时收集他们在作业中暴露的问题, 针对他们学习中薄弱的知识点, 进行及时的辅导, 辅导过后让学生写“自我评价”. 同时也要求其他学生学着建立自己的“学习小档案”, 勤做作业中错误类型的归类和反思. 这样做, 扭转了往常练习一刀切、错了就订正、缺少针对性、全无反思、难以提高的局面, 减少了重复操练, 提高了训练的效果.组织第二个层次探究能力的训练, 我注重在课堂教学中因势利导, 启发、引导学生提炼出学习过程中发现的问题, 指导他们展开探究, 在探究过程中, 注重计算机信息手段的使用.

例如, 在“三角形重心”一节的教学中, 我就尝试过从深入分析例题入手, 引导学生展开探究. 例题:G点为△ABC的重心, D, E, F分别为△ABC三边的中点. 求证:G为△DEF的重心. 我引导学生思考:“改变例题的条件, 如果D, E, F不是△ABC三边的中点, 那么G还是△DEF的重心吗?”从而引发探究. 学生最终利用几何画板软件, 作出了符合条件的图形, 解决了问题. 他们还由此联想, 推广到解决类似的一些问题.

在探究作图的过程中, 有的学生想到了建立平面直角坐标系, 在沿△ABC的三边拖动D, E, F中的某个点时, 通过度量△ABC与△DEF的重心坐标来判断重心重合, 显露出了原始的解析几何的意识. 我想, 当这名学生到高中接触到解析几何时, 他是不会觉得陌生的. 探究训练培养了学生自主学习数学的意识, 也培养了他们研究数学的能力. 这样的训练, 对学生的一生发展有深远的意义, 其魅力不可小觑.

在学生学习数学的每一个阶段, 数学教师都有责任培养学生对数学的科学认识观. 教师要站在传承数学文化的高度上来上好每一堂数学课, 组织好每一次数学训练, 为学生的一生发展奠基. 我想, 这一点应该是德育融入数学学科教学中的起点.

摘要：数学是一门研究数量关系和空间形式的科学, 在培养学生正确的科学观、严谨的理性思维中起着重要的作用.因此, 在初中数学的教学中, 教师会尤其重视知识和技能的训练, 而较少关注或思考德育在学科教学中对学生人文素养的培育所起到的作用.

初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》优秀教学设计 篇3

关键词 正切 自主探究 转化思想 概念教学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0016-03

“第四届新世纪杯全国初中数学优质课评比活动”在济南举行，笔者有幸参加了这次评比活动，并且凭借《北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时获得了说课组一等奖的荣誉，特别是本节课的自创“旗杆”引例和“三个层次的探究问题”的设计，得到了专家们的一致好评。现呈现这节课的教学片断与分析，并引发对概念探究课教学的几点感悟。

一、教学片断分析

1.创设情境，引入新课

（多媒体演示生活中的一个具体问题）

有一个旗杆AB，在地面上旗杆AB的左侧找到一点C，测量出BC的长度为8米，同时测量出∠ACB等于55埃隳芮蟪銎旄薃B的高度么？

【设计意图】创设生活中一个简单具体的问题情境，拉近了研究的问题与学生间的距离，同时也使学生对所研究的问题有了丰富的感性认识，为深入研究奠定基础。

2.探索新知，理解概念

探究一：（1）如图，一把梯子斜靠在墙上。滑动前（图中AB）与滑动后（图中A′B′）的位置的梯子，哪一个更陡些？（2）你是根据什么判断的？如何描述梯子在两个不同位置的具体的倾斜程度呢？

探究发现一：倾斜角越大，梯子越陡。

探究二：①在图1中，梯子AB和梯子EF哪个更陡，你是怎样判断的？你有几种判断方法？

[生1]（如图1-1）我们可以把AB向右平移，把两个梯子放在同一个墙上，通过比较倾斜角的大小来比较两个梯子哪个更陡。过点E作AB的平行线交于点G，所以∠ABC=∠EGD，那么我们要看这两个梯子谁陡，就是要看∠EGD和∠EFD谁大。因为△ABC≌△EGD，所以GD=BC=2.5m>DF，即点G在DF的延长线上，那么∠EFD是△EGF的外角，外角大于任何一个与它不相邻的内角，所以∠EFD>∠EGD，即EF更陡。

②在图2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

[生2]（如图2-1）和刚才的方法类似，过点F作AB的平行线交于点G，所以∠ABC=∠GFD，而∠EFD>∠GFD，所以梯子EF更陡。

③那么在下图3中，梯子AB和EF哪个更陡？你又是怎样判断的？

[师]我们观察图3发现两个梯子的铅直高度和水平宽度都不相同，而且两个梯子的倾斜角度也很接近，要判断哪个梯子更陡就比较困难了。下面，请同学们先独立思考，再分小组讨论，最后请每个小组派一名代表阐述你们组的解决方法。

[生3] （如图3-1）在AC上截取CG=DE，过点G作GH平行于AB，则△CGH∽△CAB，由相似的性质可求出CH的长，将CH与DF的长度进行比较，就转化到问题一，从而可求。

[师]这位同学巧用相似形，将问题转化为比较水平宽度，非常好掌声送给他！同学们再来观察这些图中所给的数据，这些数据中蕴含的规律对你有什么启示？

[生4] 我发现在图1中>，所以EF更陡；在图2中>，所以EF更陡； 在图3中>，同样我们验证了EF更陡。所以铅直高度与水平宽度的比值越大，梯子越陡。

[师]太棒了，这位同学运用类比归纳的方法，发现了规律。所以我们可以通过计算铅直高度与水平宽度的比值来比较梯子的倾斜程度。而这种方法也简单易行。

④那么在图4中，梯子AB和EF哪个更陡呢？[生5]因为==2，所以两个梯子一样陡。于是得到：铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡。

（多媒体演示，梯子上升变陡的动画） 探究发现二：铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡。

[师]“倾斜角”以及“铅直高度与水平宽度的比值”既然都能用来判断梯子的倾斜程度，那么它们两者之间是否存在着某种固定的关系呢？我们继续探究。

探究三：如图，若小明不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离了B1C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么好办法？

[生6]将梯子的长度测量出来，再将梯子下端到墙角的距离测量出来，用勾股定理求出铅直高度，再用铅直高度与水平宽度的比来刻画。[师]这种方法可行，还有没有其他的办法？

[生7]找一适当的位置，使人的头顶刚好处在梯子上，另一同学测出他的身高及脚到梯子下端的距离，用铅垂高度与水平宽度的比来刻画该梯子的倾斜程度。

[师]这位同学的做法可以么？下面我们把这一问题抽象成几何问题。

提出问题：（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？（2）和有什么关系？（3）若改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？

[生8]由图可知，B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2//B1C1，所以Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2。由相似三角形的性质可得出：=。[师]如果改变B2在梯子上的位置，上面的两问还成立么？由此你能得出什么结论。（多媒体演示B2在梯子上的不同位置时的情况）

[师] B2在变化的过程中，∠A和始终没变，在∠A所在的直角三角形中，B2C2叫∠A的对边，AC2叫∠A的邻边，当∠A确定时，∠A的对边与邻边的比值也随之确定，也就是说，这一比值只与∠A有关，而与∠A所在的直角三角形的大小无关。

探究发现三：当倾斜角确定时，它的对边与邻边的比值也唯一确定。

【设计意图】理解正切的数学含义是本节的重点，因此我在引出正切概念这部分设计了三个探究活动，从三个层次逐步阐明了正切的数学含义。探究一：感受倾斜角能刻画梯子的倾斜程度。探究二：感受铅直高度与水平宽度之比能刻画梯子倾斜程度，这是本节课的难点。为了突破难点，我设计了四个环环相扣的问题，然后通过多媒体动画演示，加深学生对这一结论的理解。探究三：感受倾斜角和铅直高度与水平宽度之比的关系，从而建立正切的概念。

在灵活运用，延伸拓展这一环节，只设计了一个例题和两个练习，例题不但巩固了正切的定义，而且自然地引入了坡度的概念，起到了承上启下的作用。两个练习帮助学生充分理解坡度的概念，同时培养了学生构造直角三角形的意识。

最后通过本节所学的知识解决了引例中提出的问题，做到前后呼应，从问题的提出到问题的解决，体现了数学来源于生活又服务于生活的思想。

二、关于概念探究课教学的几点感悟

本节课经过多次打磨后，我体会到要上好一节概念课，需要注意以下几点：

1.概念探究课的问题引入要贴近现实且能突出主题

《课标（2011年版）》指出，素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映教学本质的前提下，尽可能地贴近学生的现实以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。因此在引课环节，我设计了一个简单有趣的生活中求旗杆高度的问题，不但让学生体会到本章知识是在学习了直角三形边之间的关系和角之间的关系的基础之上的继续，而且拉近学习内容与学生之间的距离，这样的设计即体现了数学来源于生活又服务于生活的思想，又自然的体现了本章的主题，充分调动了学生的学习积极性。

2.概念探究课应注重概念的形成过程

概念形成是概念学习历程中非常重要的一部分，也是思维过程中最复杂的部分，如何把握好这部分教学，让学生真正理解概念，我认为要做到以下几点：

（1）设计逐层递进的探究活动

《课标（2011年版）》指出，教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。本节课设计的三个层层递进的探究活动，让学生逐步掌握重点内容，突破了难点。同时学生的积极性被充分的调动了起来，达到了预设的目标。

（2）课堂练习不宜过多过难

我在磨课的过程中体会到：只有把概念讲清讲透学生充分理解了，课堂上只讲基础题，学生照样会做难题，这样的课就成功了。最终我在灵活运用延伸拓展这个环节只设计了一个例题和两个练习，主要考察学生对知识的直接应用，而把重点放在了经历概念发生发展过程的三个探究活动上，从学生的作业情况看，效果非常好，学生真正理解了概念，灵活运用的题目也做得得心应手。在后续的习题课中，可以再有针对性的进行提高。

总之，数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容。学生数学素养差别的关键是在对数学概念理解，应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学是提高初中数学质量的带有根本性意义的一环。教学过程中应充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的素养。

参考文献：

[1] 义务教育数学课程标准修订组.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.