高中数学新课程创新教学设计案例50篇__24_点到直线的距离

高中数学新课程创新教学设计案例50篇__24_点到直线的距离（通用3篇）

高中数学新课程创新教学设计案例50篇__24_点到直线的距离 篇1

教材分析

点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．

这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到直线的距离公式的推导．

教学目标

1.通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力． 2.理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力．

任务分析

这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．

教学设计

一、问题情境 1.某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？

这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？

2.在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由

解得即m与l的交点

由两点间的距离公式，得

故要完成任务，至少需要9km长的电线．

（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（一点M（0，－），易让向量

＝（，0）．在直线l上任取）与向量n＝（3，－4）垂直．

设向量知 与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易

（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0． 设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，①

又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），即3（xo－15）－4（yo－20）＝45．

②

把等式①和等式②两边相加，得 25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，3.教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．

二、建立模型

设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．

我们来寻求点到直线l距离的算法．

作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为

B（x－x1）－A（y－y1）＝0． 由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．① 由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，即C＝－Ax0－By0．

所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．② 把等式①和②两边平方后相加，整理可得

（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝

容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：

归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：（1）给出点的坐标x1和y1赋值．（2）给A，B，C赋值．

（3）计算

注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．

（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．

三、解释应用 ［例 题］

1.求点P（－1，2）到下列直线的距离： l1：2x＋y＝5，l2：3x＝2． 注意：规范解题格式．

2.求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离． 分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．

解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d＝

3.建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．

不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：即bx－ay＋ab＝0；

直线BC：∴点B（a，0）．，即bx＋ay－ab＝0，在线段AB上任取一点D（m，0），则－a≤m≤a．

∴d1＋d2＝的高．

［练习］，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上1.求下列点到直线的距离．

（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．

（2）A（1，0），l2：

x＋y－＝0．

（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．

2.求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．

3.（1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．

（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．

（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．

（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．

四、拓展延伸

1.点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？ 2.点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．（1）如图，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离． 不妨设A≠0，B≠0，这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0），作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．

由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得

易证A＝0或B＝0，公式也成立．

（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：

①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．

不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．

如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．

∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，∴向量n＝（A，B），与向量直．

②求点P0到直线l的距离d．

＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂由数量积的定义，如果向量

与向量n的夹角为θ，那么

易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．

点 评

高中数学新课程创新教学设计案例50篇__24_点到直线的距离 篇2

教材分析

这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式

（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．

教学目标

1.让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．

2.理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式

（一），并能初步应用它们解决一些问题．

3.通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．

任务分析

在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数．定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数．定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：

这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义．对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式

（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力．

教学设计

一、情景设置 了当α

初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究是一个任意角时的三角函数的定义．

在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而

即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．

二、建立模型

一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：

那么，OP＝，记作r，（r＞0）． 对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为

称之为α

对于定义，思考如下问题：

1.当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？

2.利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？

三、解释应用 ［例 题］

1.已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值． 思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六个三角函数值．

注：强化定义． ［练习］

1.已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.计 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸

1.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．

2.根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．

3.计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、应用与深化 ［例 题］

1.确定下列三角函数值的符号．

2.求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．

必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0． 从而结论成立． ［练习］

1.设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan取负值？为什么？

中，哪些三角函数可能2.函数的值域是 ____________ ．

点 评

这节课在设计上特别注意了以下几点：①前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲“0°～360°”的情况逐渐过渡到“任意角”的情况，讲清了推广的必要性及意义．②注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公式

（一）．这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．③注意了跟踪练习的设计．

例题典型，练习有层次和变化，巩固知识到位．

高中数学新课程创新教学设计案例50篇__24_点到直线的距离 篇3

教材分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．

教学目标

1.通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．

2.理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．

教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：

1.在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．

2.既有大小又有方向的量应如何表示？

二、建立模型 1.学生分析讨论

学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……

引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教师明晰

人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．

在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如就是向量的长度（模），记作，向量的大小.长度等于

.长度为零的向量叫零向量，记作0或1的向量叫作单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”． 3.提出问题，组织学生讨论

（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？

（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？

（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．

三、解释应用 ［例 题］

如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与线的向量，以及单位向量．

相等、平行和共

解：都是单位向量．

［练习］

1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．

2.如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？

3.设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．

5.选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量

四、拓展延伸 1.如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？

2.数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？

向量的概念

教材分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．

教学目标

1.通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．

2.理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．

任务分析

在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．

教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：

1.在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．

2.既有大小又有方向的量应如何表示？

二、建立模型 1.学生分析讨论

学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……

引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教师明晰

人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．

在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如就是向量的长度（模），记作，向量的大小.长度等于

.长度为零的向量叫零向量，记作0或1的向量叫作单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定． 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”． 3.提出问题，组织学生讨论

（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？

（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？

（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．

三、解释应用 ［例 题］

如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与线的向量，以及单位向量．

相等、平行和共

解：都是单位向量．

［练习］

1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．

2.如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？

3.设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．

5.选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？

2.数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？

向量加法运算及其几何意义

教材分析

引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．

教学目标

1.通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．

2.理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．

3.理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．

4.通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．

任务分析

这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．

教学设计

一、问题情境

1.如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移点的位移结果相同．，的结果，与A点直接到C

2.如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．

位移认为：与合成为

等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，F分别是位移位移、力的合成可看作数学上的向量加法．

2.在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义

已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝

＋

＝a，＝

.＝b，再作

求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．

3.提出问题，组织学生讨论

（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？

强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．

（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b． 注：要求写出作法，规范解题格式．

2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．

［练习］

1.如图，已知a，b，画图表示a＋b．

2.已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．

3.在△ABC中，求证.4.在n边形A1A2…An中，计算

四、拓展延伸

1.对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件． 2.在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？

平面向量的基本定理

教材分析

平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．

向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．

平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．

教学目标

1.了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．

2.通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力． 3.通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．

任务分析

这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．

教学设计

一、问题情景

1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2.给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.学生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知

2.师生总结

以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．

任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教师启发，通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．

4.教师明晰

如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．

在平面内任取一点O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有

平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或减法运算进行．

2.如图38-4，不共线，＝t（t∈R），用，表示． 解：∵

［练习］

1.已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2．

3.已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，．

＝ｂ，试用a，b表示向量6.已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有

.四、拓展延伸

平面向量的正交分解与坐标运算

教材分析

这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．

教学目标

1.理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识． 2.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．

3.增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个„路标‟，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．

任务分析

1.有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．

2.可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：

（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．

（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a＝（x，y）．

3.在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．

教学设计

一、问题情景

1.光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．

一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．

2.在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？

二、建立模型

1.如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．

显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．

若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝xi＋yj，则，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．

2.学生思考讨论

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？ ∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．

同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．

上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．

解：如图39-3，AB→＝－

＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．

总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？

平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．

2.已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．

（1）求－的坐标．

（2）求ABCD中D点的坐标．

放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．

（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）．

（2）解法1：设D（x，y），∴x＝y＝2，D（2，2）．

＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）

3.在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量方向和长度．

＋的解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．

设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．

由两点的距离公式，得

设相对x轴正向的转角为α，则

查表或使用计算器，得α＝80°32′．

答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于

．，向量的方向偏离x轴正向约为116°34′，长度等于2［练习］ 1.已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐标． 2.设a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

3.已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），试以ａ，ｂ为基底来表示ｃ．

解：设c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），四、拓展延伸

1.在直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求线段AB中点的坐标．

解：设点M（x，y）是线段AB的中点（如图39-5），则＝（＋）．

将上式换为向量的坐标，得

（x，y）＝［（x1，y1）＋（x2，y2）］．

即.这里得到的公式叫作线段中点的坐标计算公式，简称中点公式．

2.对于向量a，b，c，若存在不全为0的实数k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，则称a，b，c三个向量线性相关，试研究三个向量3，－4）是否线性相关．

＝（3，5），＝（0，－1），＝（－解法1：显然有＋＋＝0，∴三者线性相关．

解法2：由k1＋k2＋k3

＝0，即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），取k1＝k2＝k3＝1，则