数列的应用教案

数列的应用教案（通用13篇）

数列的应用教案 篇1

教材：数列的应用

目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处

理“共项” 问题。

过程：

一、例题：

1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设

在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则

Sa(12k1)0[12(nk)]

a[k(n1)kn2n

2]

当n为奇数时，取kn

1S达到最小值

当n为偶数时，取kn2或n

2S达到最大值

2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解：不妨设an3n,bm4m1(m,nN*)，则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列(1000≤cp≤2000)

∵an = bm ,即：3n=4m+1令n=3 , 则m=2∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p1)(pN*)

由1000≤cn≤2000解得：83

712p1661112

∴p取84、85、„„、166共83项。

3．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人

口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、„„2000年住房面积总数成AP

a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、„„2000年人口数成GP

b1 = 500 , q = 1% ,b9105001.015001.0937546.8

∴2000年底该城市人均住房面积为：

3270

.8

5.98m2546 4．（精编P175例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1

kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 kg ,a2=1×0.2 kg ,a3=(1)222×0.2 kg

由此可见：an=(12)n1×0.2 kg ,a5=(11

2)51×0.2=(2)4×0.2=0.0125 kg

2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2 ,q=

1Sa(1q6)0.2(11

616)1q

0.3937kg11

50.40.393750.00625

0.0062520.003125

二、作业：《教学与测试》P94练习3、4、5、6、7

数列的应用教案 篇2

一、数列与向量的综合应用

作为代数和几何纽带的平面向量, 具有几何和代数的双重属性, 是中学数学知识网络的一个交汇点, 它与数列的交汇融合能充分考查学生多方面的能力与水平.

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若M, N, P三点共线, O为坐标原点, 且 (直线MP不过原点) , 则S32=____.

解析∵M, N, P三点共线能, 根据向量的知识可知:a31+a2=1, 又数列{an}为等差数列, ∴a1+a32=1, 易求s32=16.

2.已知点A (1, 0) , B (0, 1) 和P1, P2, P3, …, Pn, …, 且为互不相同的点, 满足 (n∈N*) , 其中{an}为等差数列, {bn}为等比数列, O为坐标原点, 若p1是线段AB的中点. (1) 求a1, b1的值.

(2) 点P1, P2, P3, …, Pn, …能否在同一条直线上?请证明你的结论.

解 (1) 由P1是线段AB的中点, 不共线, 由平面向量基本定理, 知a1=a2=1/2.

(2) 由, 设{an}的公差为d, {bn}的公比为q, 则由于P1, P2, P3, …, Pn, …互不相同, 所以d=0, q=1不同时成立.

当d=0时, 则, P1, P2, P3, …, Pn, …都在直线x=1/2上;

当q=1时, 则bn=1/2为常数列, P1, P2, P3, …, Pn, …都在直线y=1/2上;

当d≠0且q≠1时, 不共线, 即点P1, P2, P3, …, Pn, …不能在同一条直线上.

二、数列与三角的综合

三角函数不仅具有比较完备的函数性质, 而且具有独特的周期性和对称性等性质.这些特点使得三角函数常与数列等内容交汇综合应用.

3.数列{an}的通项, 其前n项和为Sn, 则S30为__-.

解析由于, 此数列是以3为周期的数列

4.设函数f (x) =2x-cosx, {an}是公差为π8的等差数列, f (a1) +f (a2) +…+f (a5) =5π, 则

解∵数列{an}是公差为π8的等差数列, 且f (a1) +f (a2) +…+f (a5) =5π,

本题难度较大, 综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用, 需考生加强知识系统、网络化学习.另外, (cosa1+cosa2+…+cosa5) =0, 隐蔽性较强, 需要考生具备一定的观察能力.

三、数列与解析几何的综合应用

数列与解析几何有机地结合在一起是二者之间的知识交汇点处设计的试题题型之一, 也体现了数列问题的综合性强、立意新、难度大的特点, 解决数列与解析几何的综合题须要充分利用数列、解析几何的基本概念、性质并结合图形来解决.

5.已知数列{an}的前n项和为Sn, a1=2, a2=1, 且点 (Sn, Sn+1) 在直线y=kx+2上.

(1) 求k的值; (2) 求证{an}是等比数列;

6.设函数f (x) =x2, 过点C1 (1, 0) 作x轴的垂线l1交函数f (x) 的图像于点A1, 以A1为切点作函数f (x) 图像的切线交x轴于点C2, 再过C2作x轴的垂线l2交函数f (x) 图像于点A2, …, 以此类推得点An, 记An的横坐标为an, n∈N*.证明数列{an}为等比数列并求出其通项公式;

解 (1) 证明:以点An-1 (an-1, a2n-1) (n≥2) 为切点的切线方程为y-a2n-1=2an-1 (x-an-1) .当y=0时, 得.又∵a1=1, ∴数列{an}是以1为首项, 1/2为公比的等比数列.

∴通项公式为.

对于数列与几何图形相结合的问题, 通常利用几何知识, 结合图形, 得出关于数列相邻项an与an+1之间的关系.根据这个关系和所求内容变形, 得出通项公式或其他所求结论.

四、数列与函数

数列是一种特殊的函数, 以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点命题的特点, 能很好地培养逻辑推理能力和运算求解能力.

7.已知, 各项均为正数的数列{an}满足a1=1, an+2=f (an) , 若a2010=a2012, 则a20+a11的值是___.

解据题, 并且an+2=f (an) , 得到, 解得: (负值舍去) .依次往前推得到

本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件an+2=f (an) 是解决问题的关键, 本题综合性强, 运算量较大.

8.等比数列{an}的前n项和为, 已知对任意的n∈N, 点 (n, Sn) 均在函数y=bx+r (b>0, b≠1, b, r均为常数) 的图像上, 则r的值为___.

解因为对任意的n∈N+, 点 (n, Sn) , 均在函数y=bx+r (b>0且b≠1, b, r均为常数的图像上.所以得Sn=bn+r, 当n=1时, a1=S1=b+r,

当n≥2时, an=Sn-Sn-1=bn+r- (bn-1+r) =bn-bn-1= (b-1) bn-1, 又因为{an}为等比数列, 所以r=-1, 公比为b, an= (b-1) bn-1.

五、数列与不等式

以数列为背景的不等式问题综合性强, 须灵活地应用相关的数列性质和不等式的方法去解决相关, 这类题型能很好地培养思维能力和灵活处理知识的能力.

9.设数列{bn}满足:b1=1/2, bn+1=b2n+bn, (1) 求证:

(2) 若, 对任意的正整数n, 3Tn-log2m-5>0恒成立.求m的取值范围.

∴对任意的n∈N*, bn>0.

数列在生活中的应用 篇3

求解数列应用题的三个步骤：

（1）建模，首先要认真审题，理解出题背景，明确问题属于哪类应用问题,弄清题目中的主要已知事项,明确所求的结论是什么,把应用问题抽象为数学中的数列问题；

（2）解模，利用所学的数列知识，将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式（函数关系式、或方程、不等式）,解决数列模型中的相关问题，主要是求和、最值、范围等问题；

（3）回归模型，把已解决的数列模型中的问题返回实际中去，与实际问题相对应，确定问题的结果，注意答案要符合题设中实际问题的需要.

解决数列应用问题的思路框图为：

[具体问题][数列模型][实际问题][应用数列知识求解]

1. 与等差数列相关的应用题型

例1 假设某市2011年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，该市历年所建中低价层的累计面积（以2011年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？

分析 此类问题先要分析数列是等差数列模型、或是等比数列模型、还是综合型数列模型，具体做法可以先算出前几年结果，由特殊到一般，逐步探讨.

解 设中低价房面积形成数列[{an}]，由题意可知[{an}]是等差数列.

其中[a1]=250，[d=50]，

则[Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n.]

令[25n2+225n≥4750,]

即[n2+9n-190≥0,]而[n]是正整数,[∴n≥10.]

∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

点拨 涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后应用其通项公式与前[n]项和公式，并借助不等式的性质解决问题.

2. 与等比数列相关的应用题型

例2 某市2011年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2012年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

（1）该市在2018年应该投入多少辆电力型公交车？

（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的[13]？

分析 准确理解电力型公交车每年的投入比上一年增加50%是解决此题的关键，本质是构成了一个等比数列模型.

解 （1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列[{ an}]，其中[a1=128,  q=1.5,]则在2018年应该投入的电力型公交车为[a7=a1⋅q6][=128×1.56][=1458]（辆）.

（2）记[Sn=a1+a2+⋯+an]，依据题意得，

[Sn10000+Sn>13].

于是[Sn=128(1-1.5n)1-1.5>5000]（辆），

即[1.5n>65732]，则有[n≈7.5.]因此[n≥8].

所以，到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的[13].

点拨 本题是以生活问题作为背景，构造一个等比数列模型，训练求等比数列通项和求和公式.属于中等难度题.

3. 综合型数列应用题型

例3 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备[M]，[M]的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初[M]的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初[M]的价值为上年初的75%.

（1）求第[n]年，初[M]的价值[an]的表达式;

（2）设[An=a1+a2+⋯+ann]，若[An]大于80万元，则[M]继续使用，否则须在第[n]年初对[M]更新.证明：必须在第9年初对[M]更新.

分析 本题属于等差与数列等比数列综合型题目，综合考查学生分析问题能力.（1）根据题意{[an]} 构成一个分段数列，当[n]≤6时，构成等差数列；当[n]≥7时，构成等比数列. （2）分段数列的求和必须对[n]进行分类讨论再求和，并且利用数列的单调性求最值.

解 （1）当[n]≤6时，数列{[an]} 是首项为120，公差为-10的等差数列，[an]=120-10([n-1])=130-10[n].

当[n]≥7时，数列{[an]}中从[a6]开始的项构成以[a6]为首项，公比为[34]的等比数列，又[a6]=70，所以[an]=70×[34n-6]. 因此，第[n]年初，[M]的价值[an]的表达式为[an]=[130-10n，n≤6,70×34n-6,n≥7.]

(2)设[Sn]表示数列[an]的前[n]项和，由等差及等比数列的求和公式得，

当[1≤n≤6]时，

[Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n.]

当[n≥7]时，由于[S6=570,]

[故Sn＝S6+(a7+a8+⋯+an)]

[=570+70×34×4×[1-34n-6]]

[=780-210×34n-6,]

[An=780-210×34n-6n].

因为[an]是递减数列，所以[{An}]是递减数列，

又[A8＝780-210×3428≈82.734>80,]

[A9＝780-210×3439≈76.823<80]，

所以必须在第9年初对M更新.

点拨 本题应认真审题，理解实际背景，理清数学关系，特别要注意分段数列的求和方法，本题属于难度较大题目.

1. 某台商到一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设[f(n)]表示前[n]年的纯收入.[(f(n)]=前[n]年的总收入-前[n]年的总支出-投资额)

（1）从第几年开始获取纯利润？

（2）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？

2. 某家用电器，现价2000元/件，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)

3. 某地区森林原有木材存量为[a]，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为[b]，设为年后该地区森林木材的存量[an]，

（1）求[an]的表达式；

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于[79a], 如果[b=1972a],那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：[lg2=0.30]）

1. （1）从第三年开始获利 （2）第①种方案

2. 每期应付款176元

3. （1）[an=(54)na-4[(54)n-1]b]

数列的应用教案 篇4

一、教学内容：举一反三P39--P43

二、教学目标：等差数列三个公式及其应用

1、求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2

2、项数公式：项数＝（末项－首项）×公差＋1

3、通项公式：第N项＝首项＋（项数－1）×公差

三、教学难点：根据已知量和未知量，确定使用公式。

四、教学设计：

1、复习上节课内容。

2、由高斯小故事引入新课

【P41例题3】有这样一个数列： 1、2、3、4…99、100，请求出这个数列所有项的和。

【分析】：如果我们把1、2、3、4…99、100与列100、99…3、2、1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 总结：上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

那么我们来看看，什么叫数列，什么又是等差数列？【P39】

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，（即任意相邻两个数的差是一定的），后项与前项的差称为公差。

关于等差数列求和的问题，我们需要记住三个公式，即求和公式、通项公式和项数公式。这也是我们这节课的重点。

前面我们得出的是求和公式。练习：疯狂操练3：（1）、（2）

3、接下来我们来学习另外两个公式：“通项公式”和“项数公式”。

I、项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题1】有一个数列：4、10、16、22…52，这个数列共有多少项？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是6，所以这是一个以4为首项，以公差为6的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。

由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习：疯狂操练1(1)、(2)、(3)

II、通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

【例题2】有一等差数列：3，7，11，15…这个等差数列的第100项是多少？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于4，所以这是一个以3为首项，以公差为4的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答。

由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得，第100项=3+4×（100－1）=399.练习：疯狂操练2(1)、(2)总结：在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这四个量中的三个，就可以利用三个公式求出第四个。

4、综合练习。

【例题4】求等差数列2，4，6…48，50的和。

【分析】仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。

因为首项是2，末项是50，公差是,2，所以,项数=（50－2）÷2+1=25。再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出

2+4+6+8+…+50=(2+50)×25÷2=650。

练习：疯狂操练4(1)、(2)总结：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

5、能力升级。

【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

【分析】方法一：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。

被减数的项数=(100-2)÷2+1=50，所以被减数的总和=(2+100)×50÷2=2550;减数的项数=(99-1)÷2+1=50,所以减数的总和=(1+99)×50÷2=2500。所以原式=2550-2500=50。

方法二：进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1 =50 练习：疯狂操练5(1)

6、作业：

P42疯狂操练4（2）P42疯狂操练4（3）

等比数列的教学教案 篇5

老师：同学们，上节课我们是对等差数列的相关知识点进行了复习，那么现在我们来复习一下高中数列的学习中另一类重要的数列，是什么数列呢？ 学生：等比数列

老师：下面我们这节课来复习等比数列（板书），这一章我是重点讲过的，现在大家思考下列几个问题：（看看你们下去是否看过书）1，等比数列的定义（一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列）

2，等比数列的通项公式，前n项和公式

3，等比中项的概念（与等差中项的概念类似，如果在a和b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项）

4，等比数列最基本性质（现在我们来讨论一下等比数列中所具备的最基本的性质）

学生A：回答问题1，如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的“商”是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做这个等比数列的公比，记为q.（也就是等比数列的公比）老师：还有没有

学生：

1、数列是从第二项起

2、“商”不能为0，也就是数列的每一项都不能为0（“商表示什么？老师提问，这里是让学生把“商”和公比联系起来）

3、同一个常数（什么意思，请B同学讲解一下A同学同一个常数是什么意思）（后一项比上前一项是一个常数，我们可以用式子表示为a4/a3=a6/a5)老师：常数是等比数列吗？

学生A：不对，非零常数数列才能等比数列，也可以是等差数列。而零数列只能算是等差数列。

对学生B：回答问题2，等比数列的通项公式为？

等比数列的求和公式Sn= 老师：看一下等比数列的求和公式有什么需要注意的。（我看你眼神里面有想法 B同学说一下）在应用等比数列前n项和公式时一定要注意公比得1与不得1两种情况.老师：我们请C同学回答问题3 学生C：若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，老师：好，这里我们就要注意了，等比中项他是可能存在两个的，为什么？b2=ac 这与等差数列的等差中项是不同的。学生D：回答问题4，等比数列有如下性质：

1.若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则am·an=ap·aq.2.若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列.3.下标成等差数列的项构成等比数列.老师：几位同学都答的很好啊，下面我们来做几个小题目来巩固一下刚刚学到的知识。

1、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则ac的值为

（）xy（A）

（B）2

（C）2

（D）不确定 2．等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于（）

(A)．b8/a7(B)．(a/b)9 12(C).b9/a8(D)．(b/a)10 3.在等比数列｛an｝中，若a3,a7是方程x²-4x+3=0的两个根，则a5=

4.在等比数列｛an｝中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．

小学生等差数列的教案 篇6

2、使学生进一步地熟练地掌握等差(比)数列的通项公式及推导公式;

3、使学生较灵活地应用等差(比)数列的定义及性质解决一些相关问题。

教学重点：等差(比)数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

教学难点：灵活应用等差(比)数列的定义及性质解决一些相关的问题。

教学准备：利用自习将思考题(一)(二)发放给学生，让他们先思考，教师解答学生在思考过程中出现的问题。

课 型：专题复习课。

时间安排：45’×2

教学过程：

第一课时

一、回顾等差数列的有关基础知识

教 法：1、指名学生回答等差数列的概念，等差中顷，通项公式，前几项求和公式。

2、教师点评，师生达成共识。

二、领悟“思考题(一)”

教 法：1、以拖火车的形式指名学生回答思考题(一)的4个问题。

2、教师点评，师生达成共识。

⑴由思考1还可以得到这样的结论，在等差数列{an}中，

m+n

若 =k，则am+an=2ak(m,n,k∈N_)与性质：

在等差数列{an}中m+n=p+q→am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N_)是一致的)。

⑵由思考题2还可以得到这样的变式:①an=am+(n—m)d或am=an+(m—n)d

an—a1

②d=

n—1

⑶由思考题3、4可以得到这样的性质：若数列{an}为等差数列，其前几项和为Sn，则有如下性质：Sn，S2n—Sn，S3n—S2n……也成等差数列，公差为nd2。

三、学生操练

教 法：1、指名学生板演，其余学生思考，教师巡回指导，着重关注学困生。

2、教师点评，师生达成共识：巧妙地应用等差数列的性质(或通项公式的变形式)求解，能简化解题过程。

四、布置作业：1、第6、7题。 2、思考题(二)

第二课时

一、回顾等比数列的.有关基础知识

教 法：1、指名学生回答“等比数列的概念，等比中项，通项公式，前n项求和公式”。

函数思想在数列中的应用 篇7

一、用函数的图像解决数列问题

用图像解决数学问题即数形结合是常用的数学思想方法.等差数列的通项公式是关于n的一次函数, 所以其图像是一直线上的离散点;前n项和是关于n的二次函数, 且常数项为0, 所以其图像是一抛物线上的离散点.等比数列的通项公式及前n项和公式的结构都类似于指数函数, 所以其图像是指数函数图像上的离散点.在解题过程中利用这一特点会使问题简单化.

例1等差数列{an}的首项a1>0, 前n项和为sn, 若sl=sk (l≠k) , 问n为何值时, sn最大?

解由题意不妨设即:此函数为以n为自变量的二次函数.

又∵a1>0, sl=sk (l≠k) , ∴d<0.

故此二次函数图像为开口向下的抛物线.

∴当时, f (n) 最大, 但f (n) 中n∈N*.

∴当l+k为偶数时, 时, sn最大.当l+k为奇数时, 时, sn最大.

点评本题利用函数图像直观简便, 省去烦琐的计算和推理.

二、用函数性质解决数列问题

周期性、单调性和最值、值域是函数的重要性质, 利用函数的性质分析和解决数列问题可以大大简化解题过程, 收到较好的解题效果.

1. 利用函数周期性解决数列问题

例2 (2005湖南理) 设f0 (x) =sinx, f1 (x) =f'0 (x) , f2 (x) =f'1 (x) , …, fn+1 (x) =f'n (x) , n∈N, 则f2005 (x) = () .

A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

解析f1 (x) =f'0 (x) =cosx, f2 (x) =f'1 (x) =-sinx, f3 (x) =f'2 (x) =-cosx, f4 (x) =f'3 (x) =sinx, f5 (x) =f'4 (x) =cosx, 即f1 (x) , f2 (x) , …, fn (x) 是周期为4的数列, 所以, f2005 (x) =f501×4+1 (x) =f1 (x) =cosx.即选C.

2. 利用函数单调性解决数列问题

例3已知数列{an}中, , 求数列{an}中的最大项与最小项, 并说明理由.

解对于函数当x>3.5时, y>0, y'<0, 在 (3.5, +∞) 上为减函数;而函数y=1x-3.5在x<3.5时, y<0, y'<0, 在 (-∞, 3.5) 上也为减函数.故当n=3时, 1取得最大值3.

点评本题意在求数列的最值, 单调性是解决数列最值问题的一个常用的方法.

3. 利用函数的最值、值域解决数列问题

例4已知等差数列的通项公式an=2n-14, 当n为何值时, sn有最小值?

解由等差数列前n项和公式得

因为n∈N*, 所以, 当n=6或7时, sn有最小值.

点评本题为关于n的二次函数, 故可用配方法求解, 但应注意的是:sn的定义域是自然数集, 而不是全体实数.

例5已知数列{an}的前n项和为sn, 设an是sn与2的等差中项, 数列{bn}中b1=1, 点P (bn, bn+1) 在直线y=x+2上.

(1) 求an, bn;

(2) 令是否存在正整数M, 使得Tn

解 (1) 易得an=2n, bn=2n-1.

所以, 易证Tn单调递增, 所以

故要使Tn

点评本题是一个恒成立问题, 恒成立问题常转化为最值或值域的问题.要使Tn

三、通过函数变换转化数列问题

构造函数是函数思想的重要体现, 而构造法在求数列通项公式中是一种常见的方法.在遇到非等差、等比数列时, 我们通常会想方设法把它们转化成等差、等比数列, 进而使问题简单化.

例6数列{an}中, an+1=3an+3n+1, a1=3, 求an.

解因为an+1=3an+3n+1, 所以

所以数列是公差为1的等差数列.

所以an=n×3n.

点评本题是经过函数变换, 将原问题转化为等差数列问题后再来求解.

例7数列{an}中, a1=1

解由已知得 (n+4) an+1=3nan, 从而有

(n+4) (n+3) (n+2) (n+1) an+1=3 (n+3) (n+2) (n+1) nan.

记bn= (n+3) (n+2) (n+1) nan, 则bn+1=3bn, 且b1=24, 可见{bn}是首项为24, 公比为3的等比数列, 因此bn=24×3n-1, 从而

点评本题是经过函数变换, 将原问题转化为等比数列问题后再求解.

一个常见数列公式应用的三重境界 篇8

关键词： 境界 公式应用 过程

数列中公式是研究数列通项和前n项和关系的一个重要公式.笔者在高三复习中对这个公式的应用进行了总结，从而联想到了佛家的人生三重境界的说法，认为要想真正掌握这个公式需要经历三重境界.即人生的第一重境界是“看山是山，看水是水”；第二重境界是“看山不是山，看水不是水”；第三重境界是“看山还是山，看水还是水”.那么这个公式的应用到底要经历怎样的三重境界呢？下面笔者结合自身的教学实际谈谈看法.

1.公式应用的第一重界即佛家的人生第一重境界：“看山是山，看水是水.”指的是山就是山，水就是水，看到的就是实物，也不去深想，所以就相信事物就是自己看到的样子.然而如果我们对这个世界的认识仅停留在表面，终究是看不透其中奥秘的，最终会在现实里处处碰壁，从而对现实与世界产生了怀疑.前文中提到的数列公式，无论在高一刚学，还是在高三一轮复习中，教师更多强调的是由S求a的作用.

2.公式应用的第二重境界即佛家的人生第二重界：“看山不是山，看水不是水”.在虚伪的面具背后隐藏着太多的潜规则，看到的并不一定是真实的，一切如雾里看花，似真似幻，似真还假，山不是山，水不是水，很容易地我们在现实里迷失了方向，随之而来的是迷惑、彷徨、痛苦与挣扎，有的人就此沉沦在迷失的世界里，我们开始用心体会这个世界，对一切都多了一份理性与现实的思考.山不再是单纯意义上的山，水也不是单纯意义上的水了.经历了公式的第一重境界后，学生对公式已经有了一定的了解.此时教师应该进一步提升公式应用的境界.笔者在实际教学中設计了相应的例题.

3.公式应用的第三重境界即佛家的人生第三重界：“看山还是山，看水还是水”.这是一种洞察世事后的返璞归真，但不是每个人都能达到这一境界.人生的经历积累到一定程度，不断反省，对世事、对自己的追求有了清晰的认识，认识到“世事一场大梦，人生几度秋凉”，知道自己追求的是什么，要放弃的是什么，这时，看山还是山，水还是水，只是这山这水，看在眼里，已有另一种内涵在内了.经历了公式应用的第二重境界后，学生对这个数列公式的认知又上升了一个高度，但这个公式的本质到底是什么？笔者为了让学生了解公式的本质，又设计了相应的例题.

参考文献：

[1]普通高中.数学课程标准.

[2]教会学生思维.

数列教案 篇9

教材分析

1.地位作用

数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列的极限作了铺垫。最后，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。

2.教材编写特点

数列从知识上看较为简单易学，这样可借助于其知识联系面广的特点对初中所学内容起到复习和深化的作用；（如：解方程、一次函数、二次函数、等比性质等）

数列本身是一种特殊函数，让它紧接在第二章“函数”之后，有助于加深对函数概念的理解。

学情分析

数列这一章是学生初次进行全方面的学习，但学生们在之前的生活学习中对数列已经有了一定的认识与了解，所以如果从具体的事例入手，相信学生不会感到太过陌生或困惑，数列与函数也有着密切的联系，而学生对函数已经可以说非常熟练了，所以前期教学主要从这两方面进行，使学生更加容易理解与记忆。另外数列与我们的生活有着密切的联系，尤其是与自然界中的许多植物，从这些可以引发学生的兴趣与激情。

教学目标

1)专业知识：引入数列这一概念，使学生初步认识数列的项、通项公式、递推公式及等差数列。

2)情感思想：通过引入自然界的有趣的数字排列，增加学生对奇妙自然界的认识，从而激发学生对数字的兴趣。

教学重点及难点：

1)重点：数列的项、通项公式、递推公式 2)难点：通项公式、递推公式

3)解决方法：首先通过引入生活中的数字排列激发学生对数列的兴趣和敏感，使学生认为数列很简单，就是找数字间的规律，从而很好的掌握通项公式、递推公式。

教学过程

1)通过鲁滨逊漂流记的一段电影视频引入课题；（ppt）问：从视频中有何发现与收获？ 2)引入数列的定义（ppt）

3)从斐波那契数列引入生活中的数列（ppt）

播放相关图片，通过自然界中的花卉、动植物来了解斐波那契数列 4)具体事例（ppt）

问：发现何种规律或结论？ 答：„„„„„„„„ 总结：

5)通过快寄编号引入数列项的概念（ppt）6)递推公式和通项公式（ppt）7)数列的简单分类（ppt）

板书设计

1)数列定义 2)数列的项的概念

等差数列教案 篇10

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教学环节 情境设计和学习任务 学生活动 设计意图 创设情景 在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。

这个问题该怎样解决呢? 倾听 课堂引入 探索研究 由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，…

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5 观察分析，发表各自的意见 引向课题 发现规律 思考：同学们观察一下上面的这两个数列：

0，5，10，15，20，…… ①

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ②

看这些数列有什么共同特点呢? 观察分析并得出答案：

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ;

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ;

由学生归纳和概括出，以上两个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。 总结提高 [等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。 学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。 通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。 提问：如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条件? 由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A

所以就有 让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q

则 深入探究，得到更一般化的结论 引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。 总结提高 [等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。

专题四 数列及其应用（1） 篇11

1.设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S3=9]，[S6=36]，则[a7+a8+a9=]（ ）

A.63 B.45 C.36 D.27

2. 等差数列[an]中，[an≠0，]若[m>1]，且[S2m-1][=38]， [am-1+am+1-a2m=0]，则[m]的值为（ ）

A. 38 B. 20 C. 10 D. 9

3.设等比数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[8a2+a5=0]，则下列式子中数值不能确定的是（ ）

A. [a5a3] B. [S5S3]

C. [an+1an] D. [Sn+1Sn]

4. 已知等比数列[an]满足：[a1+a2+a3+a4+a5=3]，[a21+a22+a23+a24+a25=12]，则[a1-a2+a3-a4+a5]的值是（ ）

A.9 B.[14] C.2 D.4

5. 数列[an]的通项公式为[an=n2+（k-1）n+k]，且数列[an]是递增数列，则实数[k]的取值范围为（ ）

A.[k≥1] B.[k≥-1]

C.[k>-2] D.[k>-1]

6.某人从2013年起，每年1月1日到银行新存入[a]元（一年定期），若年利率为[r]保持不变，每年到期存款（本息和）自动转为新的一年定期，到2017年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（单位为元）（ ）

A. [a（1+r）5] B. [ar[（1+r）5-（1+r）]]

C. [a（1+r）6] D. [ar[（1+r）6-（1+r）]]

7.已知数列[an]的前[n]项和为[Sn=32n2-1232n]，则[a1+a2+…+a30]等于（ ）

A.445 B.765

C.1080 D.3105

8.在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列[an]的首项为[a1]，公差为[d]，根据等差数列的定义，可以得到[a2-a1=d]，[a3-a2=d]，…，[an-an-1=d]，将以上[n-1]个式子相加，即可得到[an=a1+（n-1）d].“斐波那契”数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列[an]中，[a1=1]，[a2=1]，[an+2=an+1+an]（[n∈N*]），令[a2015=m]，根据上述方法可得斐波那契数列[an]的前2013项的和是（ ）

A.[2013m] B.[m-1]

C.[m-2] D.[m+1]

9. 若不等式[（-1）na<2+（-1）n+1n]对任意正整数[n]恒成立，则实数[a]的取值范围是（ ）

A.[（-2，32）] B.[ [-2，32）]

C. [[-3，32]] D. [（-3，32）]

10.如果有穷数列[a1，a2，…，an（n∈N*）]，满足条件：[a1=an，a2=an-1，…，an=a1，]即[ai=an-i+1（i=][1，2，…，n）]，我们称其为“对称数列”.例如：数列[1，2，3，4，3，2，1]就是“对称数列”. 已知数列[bn]是项数为不超过[2m（m>1，m∈N*）]的“对称数列”，并使得[1，2，22，…，2m-1]依次为该数列中前连续的[m]项，则数列[bn]的前[2013]项和[S2013]可以是①[22013-1]；②[2（22013-1）]；③[3?2m-1-22m-2014-1]；④[2m+1-22m-2013]-1. 其中正确命题的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知等差数列[an]，[bn]的前[n]项和分别为[Sn]，[Tn]满足[SnTn=3n+12n+3，n∈N*]，则[2a2+a6+a142b1+b5+b17]= .

12.设数列[an]的前[n]项和为[Sn]，[a1=2]，[an+1=2Sn+1]（[n∈N*]），则数列[an]的通项公式是 .

13.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款 元.

14.设[an]是公比为[q]的等比数列，其前[n]项的和为[Sn]，前[n]项的积为[Tn]，并且满足：[01]； ②[T2013>1]；③[S2012?a20131]成立的最小自然数[n]的值为4025. 其中正确的结论的序号为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15.为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会，计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第[x]层楼房每平方米的建筑费用为（[kx+800]）元（其中[k]为常数）.经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元（每平方米平均综合费用=[购地费用+所有建筑费用所有建筑面积]）.

（1）求[k]的值；

（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

16. 已知[Sn]为数列[an]的前[n]项和，且[Sn=2an+n2-3n-2（n∈N*）].

（1）求证：数列[{an-2n}]为等比数列；

（2）设[bn=an?cosnπ]，求数列[bn]的前[n]项和[Pn].

17. 设数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且[Sn=n2-4n+4].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）设[bn=an2n]，数列[bn]的前[n]项和为[Tn]，求证：[14≤Tn<1].

18. 设数列[an]是公差为[d]的等差数列，其前[n]项和为[Sn].

（1）已知[a1=1]，[d=2]，

①求当[n∈][N*]时，[Sn+64n]的最小值；

②当[n∈][N*]时，求证：[2S1S3+3S2S4+…+][n+1SnSn+2<516].

（2）是否存在实数[a1]，使得对任意正整数[n]，关于[m]的不等式[am≥n]的最小正整数解为[3n-2]？若存在，则求[a1]的取值范围；若不存在，则说明理由.

一个数列极限的几种求法及其应用 篇12

关键词：数列极限,单调有界,级数,递推数列

本文给出该命题的四种证法, 之后给出该命题的应用.

一、四种证法

证法2:由证法1知存在且x≥0.若x≠0, 则

证法3:设y>x>0, 记u=y-x.由伯努利不等式

(1+x) α≥1+αx, α≥0, x>-1.

如果γ和δ都是大于1的整数, 则

这个不等式对于大于三个数1中最大者的一切实数γ, δ都成立.

在上式中, 依次取:

x=a, a+d, a+2d, …, a+nd;y=b, b+d, b+2d, …, b+nd, 则可得到一系列不等式:

由题意知, 证明无穷乘积收敛于零即可.因为部分乘积是正的, 且递减, 所以只需证明它的收敛即可, 令pn=1+αn, 则

二、应用实例

证明:易见

所以结论成立.

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[2]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社, 2005.

[3]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析 (上) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

等差数列求和教案 篇13

教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点

教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.教学过程 一.新课引入

提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示）二.讲解新课

（板书）等差数列前 项和公式 1.公式推导（板书）

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：

上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.三.小结

1.推导等差数列前 项和公式的思路；