等差、等比数列性质类比

等差、等比数列性质类比（通用12篇）

等差、等比数列性质类比 篇1

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

2)

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

等差、等比数列性质类比 篇2

1. 本课是在学习了类比推理这一内容后的探究课, 学生在高一已经学习过等差数列与等比数列, 但是肯定会遗忘较多的内容。教师首先安排复习等差数列的定义及简单的性质, 使学生利用类比的方法来复习等比数列, 在这个过程中体会“差与比, 加与乘, 乘与乘方, 除与开方”的类比, 从而为后面的学习打下了基础。

2. 类比推理的方法对学生来说是比较难的, 很多学生不知道从何处去类比, 数列是一个比较好的题材, 通过有关问题的解决, 既加深了对等差数列与等比数列的认识, 又让学生对类比的方法、实质有所体验, 还可让学生体验“大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。

二、案例内容

1. 设置情境。

展示图片 (李四光的照片) , 回顾李四光发现大庆油田的过程:

中亚西亚与松辽平原有着极其相似的地质结构, 因为中亚西亚有大量的石油, 于是他推测松辽平原也有大量的石油。后来经过勘探, 发现了大庆油田。

提问:李四光这种思维方式蕴含了哪种推理方法?

学生:类比推理。

通过上述的情境设置, 很自然地引入本节课的课题, 又可以帮助学生更好地理解类比推理的概念。根据奥苏伯尔的有意义学习理论, 学生在概念学习时, 原有认知结构中是否有用来同化新知识的适当观念是决定数学概念能否顺利掌握的关键因素。如果学生头脑中没有适当的知识作为理解新概念的固定点, 那么原有认知结构的扩充和新概念结构的建立就不可能发生。经过情境设置展现了原有知识结构, 使学生对概念的认识更加深刻。

2. 复习回顾等差数列与等比数列 (设置如下表格)

在上述问题中, 可以先一起复习等差数列, 让学生利用类比的思想自行得出等比的相关概念。通过这一回顾, 使学生体会到等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。

3. 运用类比推理进行探究。

在认识了运用类比推理进行探究的方法之后, 教师设置了如下若干性质探究的问题供学生思考。

[问题1]在等差数列{an}中, 若a10=0, 则有a1+a2+…+a7=a1+a2+…+a12, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, 若b10=0, 则有__________。

问题1让学生来类比等比数列中相应的性质, 并加以证明。一方面从形式上可以帮助学生进一步体会等差与等比性质中“和与积”的类比, 另一方面, 从证明方法上也进行类比证明。这样的问题, 在学生理解性质后, 初步体验了发现问题并解决问题的“类比”方法。

接着, 进行如下变式练习:

等差数列{an}中, 若a10=0, 则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, 若b9=1, 则有__________。

启发引导学生如何通过类比得到正确结论, 使学生经历运用类比思想方法研究数列问题的过程。

[问题2]已知等差数列{an}的前n项和为, 用类比的方法, 写出等比数列{bn}的前n项积的表达式Tn=________。

[问题3]等差数列有如下性质:若数列{a n}为等差数列, 则当时, 数列{bn}也是等差数列;类比上述性质, 相应地, 若数列{cn}是正项等比数列, 当dn=_______时, 数列{dn}也是等比数列。

通过上述两个问题, 让学生进一步体会“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”的变换。

[问题4]若{a n}为等差数列, 则{an+1+a n}也成等差数列。由此经过类比, 若{b n}为等比数列你能得到什么结论?

在教学过程中发现, 有近85%的学生最初得到了{bn+1·bn}也为等比数列, 并能给予“证明”。看来学生对于“和”与“积”的类比已经掌握的比较好了, 但是个别学生得出{bn+1+bn}为等比数列。这时教室出现了两种不同的声音, 下面是一段课堂实录:

生1:我判断并证明了等比数列的和“{bn+1+bn}”仍然是等比数列, 且公比为数列{bn}的公比。

(师环视四周, 似乎每个人都投以赞同的目光, 并且频繁点头表示同意。)

生2:我有点不同意 (全班只有他一人有不同意见) , 我觉得, 对数列-1, 1, -1, 1, …这个数列来说, 其和不是等比数列。

(此时全班恍然。)

师:我们来看一下生1的证明过程 (投影仪) :

∴{an+1+an}是等比数列。你们看证明过程严密吗?

生3:当q=-1时, 他的第二步不成立。 (此时同学们又都给予肯定。)

师:答得好。本来我们不知道这一反例, 但在证明过程中发现了问题的存在, 由此找到了反例, 说明同学们在发现问题时, 能够进行大胆猜想、小心论证的严密的科学态度。

师:学到这里, 你有什么样的感受呢?

生4:在等差数列和等比数列的类比中, 我发现除了形式上存在着类比之外, 正确的要加以证明, 错误的可以举出反例。

生5:我感到就算是类比的结论在形式上未必一致, 但证明方法有相似之处。

这番交流的过程中, 学生的思维几经“冲浪”辗转, 他们的好奇心和探索热情已被唤起, 严谨的数学发现历程正在探索中内化着。

[问题5]若Sn是等差数列{an}的前n项和, 则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论?为什么?

由于上一个题的反例的启发, 学生可以找到反例从而得出Sk, S2k-Sk, S3k-S2k不成等比数列的结论, 也有同学得出成等比数列的结论, 这是受通项之间的类比的影响导致的。经过讨论, 对结论进行论证, 反驳, 同学们进一步指出“成等比数列”的说法虽然不对, 但在“类比——发现”的探究过程中也有不少新的收获, 教师顺势提出开放性的问题:如何改动使得结论能够成立 (用St构造一个等比数列) ?这个过程, 将“类比——发现——自悟”方式的核心——学生在思维上经过反复的类比、验证, 自我领悟并掌握类比的思想方法, 体现在了教学过程中。

三、案例反思

为将“类比——发现——自悟”的方式更加清晰地在教学中体现, 教师的教学设计应向更加注重思维方式转变。设计的数学问题关注一题多变、多题环环相扣的连锁关系, 同时体现思维“严密性”, 并且搭建脚手架, 帮助学生努力实现“发现——自悟”的过程。

在实施教学的过程中, 努力让学生体验:从形式上得到类比的特征, 从本质上体验思维的过程, 了解类比不仅是形式上的“相似”, 而是从相似中得到猜想, 再由论证使之成为正确的类比。这样的教学方式, 有利于激发学生的思维, 使学生在辩证思维中掌握类比的思想方法。

等差、等比数列性质类比 篇3

1.复习回顾（意在进一步掌握等差数列的相关知识，为学习等比数列做铺垫）

教师：在等差数列的学习中，我们学习了哪些内容？哪些方法？请填在下表第二列，

2.新课引入（意在引导学生类比联想，通过探讨发现特殊数列除了等差数列外，还应有等和数列、等积数列、等比数列）

教师：等差数列是指后项与前一项的差的运算，能否将差的运算替换为其它运算呢？请同学们思考，这样的数列是否存在，若存在，请举出具体的例子，5分钟后，

学生l：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等和数列，这个常数称为公和，这种数列很简单，比如首项为l，公和为3的等和数列为：1，4，1，4，1，4，......它的通项公式及前n项和公式都比较简单，

学生2：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的积都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等积数列，这个常数称为公积，这种数列也很简单，比如首项为l，公积为3的等积数列为：1，3，1，3，1，3，…，它的通项公式及前n和公式也都比较简单，

学生3：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的商（或比）都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等商（比）数列，这个常数称为公商（比），这种数列有点类似等差数列，但又不同，比如由定义，在等比数列中任意一项都不为0且公比也不为0，

笔者肯定了学生的想法，并指出：由于等和数列和等积数列比较简单，我们很容易利用定义根据它的首项、公和（或公积）给出它的通项公式和前”项和公式，因此教材中没有涉及，但在一些考卷中出现过，主要考查考生们的阅读理解能力和数学能力，从刚才同学们的回答我们已经解决了这两类数列的基本问题，而等比数列和等差数列很类似，但又有区别，下面我们类比等差数列的研究方法来学习研究等比数列，

3.新课探究（意在放手学生，让他们大胆猜想、探索）

教师：请同学们独立思考，类比第2列填写上表的第3列，要求先填写自己能独立解决的问题，然后以小组为单位，交流、思考、补充，

临近下课时，经过学生的共同努力，完成了除前”项和公式外的所有内容（见表格），教师表扬了同学们，并要求学生课后试着推导等比数列前”项和公式（要求如果直接讨论有难度的话，可以先讨论：

这3个练习的目的是：（1）判断是否为等比数列；（2）如果是等比数列，公比是否为l；（3）满足等比数列求和公式时，一定要注意求多少项的和；（4）独立思考：一个数列有等比数列的背景时，求和是否可考虑错位相减法；（5）理解错位相减法：步骤：列式、错位、相减，“错位”的目的是对其同类项，是为了后面计算不错，

4.课后反思

等差、等比数列性质类比 篇4

教学目标

（1）能准确叙述等差数列的定义；

（2）能用定义判断数列是否为等差数列；

（3）会求等差数列的公差及通项公式。

教学重点，难点等差数列的定义及等差数列的通项公式。

教学过程

一．问题情境

1．情境：观察下列数列：：

4，5，6，7，8，9，10，……；①

3，0，3，6，……，②

第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004③

某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,④

如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月，2个月，3个月，……12个月，所得的本利和依次为

100001000016.5,1000016.52,1000016.512，⑤

2．问题：上面这些数列有何共同特征？

二．学生活动

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1；

对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5；

规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

三．建构数学1．等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)．

思考：

（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？

（2）判断下列数列是否为等差数列：①1，1，1，1，1；②4，7，10，13，16；③3,2,1，1，2，3。

①②是等差数列，③不是等差数列。

（3）求出下列等差数列中的未知项：①3，a，5；② 3，b,c，9

（4）已知等差数列an：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项a100？

2．等差数列的通项公式：已知等差数列an的首项是a1，公差是d，求an．

由等差数列的定义：a2a1d，a3a2d，a4a3d，……

∴a2a1d，a3a2da12d，a4a13d，…… 所以，该等差数列的通项公式：ana1(n1)d．

另解：∵an是等差数列，∴当n2时，有a2a1d anan1d，将上面n1个等式的两边分别相加，得：ana1(n1)d ∴ana(n1)d，当n1时，上面的等式也成立。

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0 为递减数列。

四．数学运用

1．例题：

例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。

（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？

解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴an18964(n1)18924n(nN)（2）假设an2008,则假设an2050，205018924n无正整数解。答：所求的通项公式是an

18924n(nN)

*

*

2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会说明：由此例说明等差数列项的判断方法。

例2．在等差数列an中，已知a310，a928，求a12． 解：由题意可知：a12d

10



a18d28，解得a14∴a124(121)337

例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求。

解：用an表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得a115,a625 由通项公式得：a6a1(61)d，即25155d所以，a217，a319，a421，a523，答：中间四个滑轮的直径为17cm，19 cm，21 cm，23 cm。

例4．已知数列的通项公式为anpnq，其中p，q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。解：取数列an中的任意相邻两项an1与an（n2），anan1(pnq)[p(n1)q]p，∵p是一个与n无关的常数，故an是等差数列，且公差是p，所以，这个等差数列的首项是a1pq，公差是p． 例5．在1与7中间插入三个数a，b，c，使得这5个数成等差数列，求a，b，c．

解：用an表示这5个数所成的等差数列，由已知得：a57，∴71(51)d，所以，a1，b3，c5．

五．回顾小结：1．等差数列的定义：anan1d(n2)；2．等差数列的通项公式及其推导方法；3．等差数列中项的判断方法。

六．课外作业：补充：

1．已知等差数列an满足a3a712，a4a64，求数列an的通项公式；

2．在等差数列an中，已知a470（1）首项a1与公差d，并写出通项公式；（2）an中有多少项属于区间18,18？

第2课时等差数列的通项公式 教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；（4）掌握证明等差数列的方法。教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。教学过程一．问题情境

1．复习：等差数列的定义、通项公式 ；

2．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

（2）已知等差数列an的首项为a1公差为d。①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？

（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二．学生活动与学生一起讨论得出结论。三．建构数学

1．等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A2．等差数列的性质：

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d

anamnm



ab

2a，A，b成等差数列

A

ab2

．

(mn)；

（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanap

aq

四．数学运用1．例题：

例1．已知等差数列an的通项公式是an2n1，求首项a1和公差d。

解：a12111,a22213，∴da2a12或dan1an2(n1)1(2n1)2 等差数列an的通项公式是an2n1，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的 各点(n,an)均在直线y2x1上（如图）

例2（1）an是等差数列，证明kanb为等差数列。（2）在等差数列an中，是否一定有an（3）在数列an中，如果对于任意的正整数n(n2)，都有an

an1an

1(n2)？

an1an1，那么数列an一定是等差数列吗？

证明（1）设数列an公差为d，cnkanb，cn1cn

kan1b(kanb)k(an1an)kd∵kd是一个与n无关的常数∴kanb为等差数列。

（2）∵an是等差数列，所以an1ananan1，∴aan1an1

n

（3）在数列an中，如果对于任意的正整数n(n2)，都有aan1an1，n

则an1ananan1(n2)，这表明，这个数列从第二项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，∴数列an一定是等差数列。例3．在等差数列an中，若a410，a719，求a18．

解：（法一）设首项a1，公差为d，则a13d10∴d3 ∴a18117d52（法二）d



a16d19

a7a

41910



3，a18a711d52．

例4．①在等差数列an中，②在等差数列an中，a1a4a8a12a152，求a3a13的值。

解：①由条件：a6a9a7a8a2a133②：由条件：∵2a8a1a15a4a12∴a82 ∴a3a132a84． 例5．如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 解：设公差为d(d0)，BCx则ABxd,CDxd由题意得：(xd)x(xd)21

222

(xd)x(xd)179、解得：x

7

d4

或x

7

d4

（舍去）∴AB3(cm),BC7(cm),CD11(cm)

（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列an，∴a103(101)439，∴a102

391521(cm)

A

BC

D

所求正方形的面积是1521(cm)。

五．回顾小结：

1．等差中项的概念； 2．等差数列性质的应用；

3．掌握证明等差数列的方法。

六．课外作业：（1）数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若a3

21,a521，求a11；

（2）已知等差数列的第10项为23，第25项是-22，求通项公式；

（3）.等差数列中，a2+a3+a10+a11=48，求a6+a7的值

(4){an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13=-4(5)已知

等差等比数列学生版 篇5

1.等差数列的基本问题(1)定义：(2)通项公式：(3)等差中项(4)前n项和公式

2.等差数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)(2)(3)(4)

一、等差数列的基本运算

例1（1）设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1＝1,公差d＝2,Sk＋2－Sk＝24,则k＝()

（2）Sn为等差数列{an}的前n项和,S2＝S6,a4＝1,则a5＝________.练习：已知等差数列{an}满足a10＝20,a20＝10,＝求a30.例2(1)设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn＝324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n及a9＋a10;

Sn3n－1a8(2)等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且＝求的值.Tn2n＋3b8

a练习：已知数列{an}<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的a10

n的最大值为()A．11B．19C．20D．21

二、等差数列的定义

anan＋1例3已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.2

1(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.2Sn

练习：已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项公式为________． 等比数列基础梳理

1.等比数列的基本问题(1)定义：(2)通项公式：(3)等比中项(4)前n项和公式

2.等比数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)(2)(3)(4)

一、等比数列的基本运算

例1（1）等比数列{an}对一切正整数n都有Sn＝2an－1,Sn是{an}的前n项和,公比q的值为

(2)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n,则公比为()

11111练习：{an}是各项均为正数的等比数列,且a1＋a2＝2(3＋a4＋a5＝64(＋).a1a2a3a4a5

12(1)求{an}的通项公式;(2)设bn＝(an),求数列{bn}的前n项和Tn.an

例2已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a27＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于()

练习：（1）已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为()A．32B．64C．256D．±64

2）等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()项

二、等比数列的定义

例3设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.an(1)设bn＝an＋1－2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)证明数列{n}是等差数列.2练习:在本例条件下,设cn＝

巩固练习

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． 2

1(1)求证：数列S是等差数列；(2)求Sn和an.n

2.数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)．

灵活运用等差数列的性质 篇6

数列在函数和极限的学习过程中，起着承上启下的作用，一方面，数列是一种特殊的函数，能刻画函数的离散现象.另一方面，为进一步学习数列极限奠定了基础.

数列还是培养学生数学能力的良好素材，学习数列要经过观察、分析、归纳、猜想、验证的过程，这些都有助于学生能力的提高.

正是因为数列在数学中占有相当重要的位置，所以中职生掌握一定的数列知识是完全必要的，而学好数列知识的关键是正确而熟练地掌握数列的性质.灵活地运用数列的性质解题，常常会收到事半功倍的效果.

例如，我们由等差数列的定义可以得出如下结论：在等差数列中，若n, m是正整数，且n>m，则有：an=am+(n-m) d或am=an-(n-m) d.这个关系式揭示了等差数列中任意两项an, am之间的内在联系，有时在解题过程中应用这种关系会给问题的解决带来便利.

例：在等差数列{an}，已知a5=2, a10=12，求a20=?

解法一：∵an=a1+(n-1) d, a5=2, a10=12

解法二：由等差数列性质可得：

由于第二种方法运用了等差数列的性质，因此方便、快捷地解决了问题.

若三个数成等差数列，则常将这三个数设成a-d、a、a+d，这样设的好处是这三个数的和正好等于3a，很容易将a求出来.

例：在等差数列{an}中，已知s3=36，则a2=?

解法一：

又∵a3=a1+2d

∴a1+a1+2d=24

即a1+d=12

∴a2=12

解法二：∵a1=a2-d

a3=a2+d

∴ (a2-d) +a2+ (a2+d) =s3

即3a2=36

∴a2=12

两种解法一对照，我们会发现第二种方法既简便又好理解

在等差数列或等比数列的相关计算中，运用高斯的配对思想能使计算过程变得简洁明了.

高斯的配对思想是：在一个等差数列中，若m, n, k, l均为正整数，且有m+n=k+l，那么就一定有am+an=a+a1.

例：在等差数列{an}中，已知a2=2, a14=26，求s15=?

解法一：∵an=a1+(n-1) d, a2=2, a14=26

根据题意可得:

解得:

解法二：∵{an}为等差数列

显然解法二比解法一快捷，计算方便.

等差、等比数列性质类比 篇7

(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()

A-22B-24C60D64

(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()

A864B1176C1440D1536

(3)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()

A–4B–6C–8D–10

(4)设数列an是等差数列，且a26,a86,Sn是数列an的前n项和，则()

AS4>S3BS4=S2CS6

(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2

(6)若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003.a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是：()

A．4005B．4006C．4007D．4008

(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有an

Aq>1B0

a1(3n1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2

(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261, 求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设an是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1d；（Ⅱ）求公差d的值和数列an的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的 中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an

（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn41

(Ⅲ)若记bny4n41ynyn1yn2.2yn,nN;4y4n,nN,证明bn是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 19

等差数列专题 篇8

【方法总结1】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【方法总结2】

1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．

2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn

题过程．

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇ndn为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2n(a1an)结合在一起，采用整体思想，简化解

2【方法总结3】

1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】

一个推导：利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn

n(a1an)

.2

两个技巧：已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法：等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

热点一 等差数列基本量的计算

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（）

（A）6（B）4（C）2（D）2

2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22

a2________;Sn=________.5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知等差数列an的公差d=1，前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；

10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

(II)若S5a1a9，求a1的取值范围。

热点二 等差数列性质的综合应用

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列an中，若a1a2a3a430，则

a2a3．

12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列（）A．



1

的前100项和为

anan1

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m

2m

17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用

18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；

a

p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；

n

其中的真命题为（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为

f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3（）

的等差数列, 8

A．0

B．

 16

C．

D．

132

 16

20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（）．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

等差数列教案 篇9

等差数列的通项公式. 能力目标 明确等差数列的定义.

掌握等差数列的通项公式，并能运用其解决问题. 情感目标 培养学生的观察能力.

进一步提高学生的推理、归纳能力.

培养学生的应用意识. 教学重点 等差数列的定义的理解和掌握.

等差数列的通项公式的推导和应用. 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程 教学环节和教学内容 设计意图 【复习回顾】(2分钟)

数列的定义以及数列的通项公式和递推公式。

【引入】(3分钟)

某人要用彩灯装饰圣诞树，这个人做事喜欢按一定的规律去做，他在圣诞树的顶尖装上1个彩灯，在第一层装上4个，第二层装上7个，第三层装上10个，第四层装上13个。如果有第五层，你能猜得出他要装上多少个彩灯吗?他的规律是怎样的?

你能根据规律在( )内填上合适的数吗?

(1)1， 4， 7，10，13，( )

(2)21， 21.5， 22， ( )， 23， 23.5，…

(3)8，( )， 2， -1， -4， …

(4)-7， -11， -15， ( )， -23

共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这样的数列叫做等差数列。

【讲授新课】(16分钟)

一、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用符号表示：

教师活动：分析定义，强调关键的地方，帮助学生理解和掌握。

问题：1.数列(1)(2)(3)(4)的公差分别是多少?

2.(5)1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10

(6)5， 5， 5， 5， 5， 5 ……是等差数列吗?

3.求等差数列 1， 4， 7，10，13，16，…的第100项。

师生一起讨论回答。

二、等差数列的通项公式

如果等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：

即：

即：

即：

由此归纳等差数列的通项公式可得：

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项

思考：已知等差数列的第m项 和公差d，这个等差数列的通项公式是?答：

等差数列求和教案 篇10

教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点

教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.教学过程 一.新课引入

提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示）二.讲解新课

（板书）等差数列前 项和公式 1.公式推导（板书）

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：

上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.三.小结

1.推导等差数列前 项和公式的思路；

等差数列证明[推荐] 篇11

解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Sk

k(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22

(k1)(a1ak1)k(a1ak)

+ak+1

又Sk+1=Sk+ak+1，所以

将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1

(n1)(a1an1)n(a1an),Sn

所以anSnSn1

n(a1a2)(n1)(a1an1)

 22

(n1)(a1an1)n(a1an)

同理有an1

从而an1an

(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)

n(a1an)

等差数列课后反思 篇12

钢城四中苏慧兰

探究式教学走进课堂为学生的学习提供了多样化的活动方式，这里我充分利用多媒体手段，并采用了学生朗读，小组讨论合作交流并汇报成果，个别做答，集体做答，学生演板，学生说教师写等方法，感觉学生对定义和通项公式掌握不错，对一些基本问题，能按照要求利用等差数列的通项公式知三求一，体会方程的思想。在推导等差数列的通项公式时选用了不完全归纳法与叠加法，培养了学生的推理论证能力，强调了思维的严谨性。不过在教学中还是存在一些不足：

1在回答等差数列的特点时，有的同学会说“前一项与后一项的差为常数”，那么我们讲数列从函数的观点来看是当自变量从小到大的依次取值时，所对应的一列函数值，所以我们以从前往后发展的眼光来看用“后一项与前一项的差为常数”更为妥当。

2“如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项”。其实A也是b与a的等差中项，即b,A, a三个数成等差数列。

静下心来思考，在今后的教学中其实还应该注意：

1在证明等差数列时，学生往往用有限的几个连续两项的差为常数就得到此数列为等差数列的结论，其实这是一种不完全的归纳，是由特殊到一般，这种方法是不严密的。应该用等差数列的数学表达式来证明。怎样用等差数列的数学表达式来证明等差数列还需要利用课堂时间进行专门训练，因为在高考有关数列的考题中往往第一问就是用定义证明等差数列。