高一数学正弦定理

高一数学正弦定理（共10篇）

高一数学正弦定理 篇1

（三）【教学目标】

知识目标：运用正弦定理及其变形形式解决简单的实际问题． 能力目标：在问题解决中，培养学生的运用知识解决问题的能力．

情感目标：通过用数学知识解决现实问题,以引起学生兴趣,在数学活动中获得对数学良好的感性认识． 【教学过程】 一．复习回顾

正弦定理：

正弦定理的变形形式：

二．数学运用

例1：已知在ABC中，c22，ab，C4，tanAtanB6，试求a，b及三角形的面积．

变题训练：把例题中的条件“ab”改为“ab”，再求a，b及三角形的面积．

例2：某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65，求山的高度(精确到1米)．

资料由大小学习网收集

资料由大小学习网收集 练习：为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B，要测算出A，B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC100m，B60，C45，试计算AB的长．

例3：在ABC中，AD是BAC的平分线，用正弦定理证明：

ABACA

B

C

BDDC．

探索：在ABC中，AD是BAC的外角平分线，D为外角平分线与BC的延长线的交点，此时ABACBDDC成立吗？

三．回顾小结：

【教后反思】

高一数学正弦定理 篇2

1.教材分析

三角形是贯穿义务教育和高中教育的几何课程内容,三角形知识和几何思维水平都是螺旋上升的。在学生初中学习过解直角三角形知识,高中学习过三角变换知识的基础上,正弦定理探索任意三角形的边长和角度之间的定量联系。之后,随着三角函数图像和性质的继续研究,可以处理三角形中的范围与最值问题。可见,正弦定理承前启后,是对初中三角形和圆的知识的又一次应用,也是坐标法作用的一次体现。其实,利用三角变换知识,可以证明正弦定理和余弦定理是等价的。正弦定理和余弦定理作为三角形边角关系的代数表达,沟通了代数和几何这两大数学分支的联系,给我们带来了极大的计算优势,尽享不作或少作辅助线之便捷。它既是对初中解直角三角形内容的延伸,也是解决测量、航行、几何及工业问题的重要工具,具有广泛的应用价值。正弦定理的实质是揭示了三角形对边和对角正弦的数量关系。正弦定理是解三角形基本的、有力的工具,也是几何计算的基础。

沪教版教材中正弦定理的证明主要有作高法、等面积法和外接圆法,囿于教材编写的顺序,向量方法不可用。

2.学情分析

我所任教班级的大多数学生对数学的兴趣较高,数学基础较好,有一定的推理能力和创新能力。从教育价值角度看,实验归纳和逻辑推理都重要,让学生经历“直观感知、特例猜想、操作确认、思辨论证”的理性认识事物的过程是可能的,也是必须的。正弦定理的学习必须让学生参与结论生成的全过程,加强学生推理论证能力的培养。

[问题提出]

本文拟结合沪教版高一年级第二学期数学教材中《正弦定理(1)》的教学设计,谈如何培养学生的几何思维能力。

[教学设计]

(一)教学目标

1.掌握用两边夹角表示三角形面积的公式,懂得三角形任一边与其对角正弦比值的几何意义,初步运用正弦定理解决一些简单的问题。

2.经历观察、猜想、证明的过程,掌握推导正弦定理的方法。

3.感受几何、三角、代数的多样统一,欣赏正弦定理的对称、美好、和谐,体验分类讨论、数形结合的思想。

(二)重点和难点

教学重点:正弦定理的发现与证明,正弦定理的简单应用。

教学难点:正弦定理的猜想和求证;已知两边和其中一边的对角求其他角时,解的个数的确定。

(三)教学过程

正弦定理教学的流程为:从实际问题懂得引进正弦定理的必要性→抽象概括出解三角形问题内涵及符号表征→猜想三角形边角关系的正弦定理→证明正弦定理→欣赏正弦定理→典型问题求解→反思总结,形成体系。在教学设计前,教师需要关注学生已经知道了什么?还需要知道什么?需要教师提供什么样的帮助?教师准备给学生哪些观点?培养学生哪些几何思维能力?正弦定理的教学始于观察,基于试验,成于逻辑推理,升华于数学审美。

活动1:创设情景,激发兴趣,引入课题

上海市浦东新区的滴水湖是圆形人工湖,为测量该湖的半径,测量小组的学生沿湖边依次选取A、B、C三根标杆,测得AB=200m,并用测角仪测得∠BAC=5°,∠BCA=4°,不作辅助线,请你帮他们求出:(1) AC;(2)滴水湖的直径(精确到1m)。测量滴水湖的直径问题,可以引导学生进入一个新天地。

设计意图:通过创设情景,让学生在情景中获取经历和体验,激发学习动机,引起探究的欲望。强调不作辅助线,原有解直角三角形的知识不够用了,自然需要寻找新的工具。

为了研究方便,抽象出数学模型,在ΔABC中,AB=200,∠BAC=5°,∠BCA=4°,求:(1)AC;(2)ΔABC的外接圆的直径2R。

设计意图:一切思维都是从问题开始的。你没办法教人思考,你只能教那些供人思考的东西。问题引领,思维就有方向了。

一般化:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形的边与角的三角比有什么关系?

a与A——对应,比过去的BC与∠A的对应更为方便、精确、简便,并且在思想上、时间上或论述的篇幅上都更为经济。

我们把三角形的三边和它们的对角叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图:三角形作为平面几何最基本图形,可以放手让学生去抽象概括。在繁杂和简约之间,我们选择简约,作图标量简洁。符号化、形式化,这部分细小的教学内容具有丰富的求简思想。

提问:填写左下表,请你提出三角形任一条边及该边对角三角比关系的一个新结论。(说明:表格中的数据来源于课本70页的例1。)

设计意图:寻找一种能够自然地发现正弦定理的方法是困难的,过度引导和过度放手都不可取。我选择上述有一点测量误差的表格数据,只限于加减乘除运算和角的正弦,从简单到复杂,循序渐进,让学生去体验、去经历、去猜测、去交流,再去验证。学生想知道的不仅仅是已知的标准结果。教师若把猜想的部分隐瞒了,其实是把最有意义、最有启发的东西抽掉了。

活动2:特例引路,大胆猜想,“画板”支撑

提问:我们遇到一般问题时,是怎样处理的?

先从特殊事例入手,寻求答案或发现解法。先特殊、后一般是数学研究,也几乎是所有科学研究的规律,也是公民的重要素养之一。研究数学问题的程序是从简单到复杂。

从直角三角形入手分析,我借助《几何画板》进行动态数学实验(略)。设计意图:通过动态的几何图形演示,眼见为实,心悦诚服。在测量误差的范围内,让学生直观感受、、的不变性,延伸了有效的学习活动;让学生的思维保持积极探究的状态,丰富了学习方式,用较少的时间达到了相信猜想成立的效果。

活动3:言必有据,小心求证,滴水不漏

预案1:作高法

回归初中,从高入手,化“斜”为“直”,“高算”两次,分类讨论直角三角形、锐角三角形和钝角三角形,各个击破。这是学生最容易想到的方法。

预案2:等面积法

提问:如果不用三角形的高,还能表示三角形的面积吗?

在预案1中稍作变化,即得三角形面积公式。传统方法证明也需分类讨论。

在现实生活中,角和距离比较容易直接测量,借助笛卡尔坐标来计算比较方便。把三角形置于平面直角坐标系里去研究,面积公式证明有统一的坐标法(坐标法来源于三角比的坐标定义,不受三角形形状的限制,可作为普遍方法去掌握)。在教学中,教师应特别关注学生去想这个事情了没有。学生想出来更好,想不出来只要经历了、做过了也行。自然生成这一方法,需要复习任意角的概念,需要回忆研究方法的变化——放在平面直角坐标系下研究,选用几何代数化的方法。思维的起点是坐标,借助坐标表示高和面积,是对简洁美的追求。坐标法是一种几何意识,考虑角度不同,统一而灵活。学生想不出来,教师可直接给出坐标法。这是建构这一正弦定理和余弦定理坐标法推导的统一模型。多年教学实践表明,此时的学生们几何知识结构单一,虽然已经学了很多三角知识，但往往受困于三角公式繁多,想不到用坐标法统一证明三角形面积公式,需要教师采用讲授法为主的教学方式。

预案3:外接圆法

圆是最完美的平面图形。把三角形放到它的外接圆内来考察,三角形的边长成了弦长,三角形的内角转化成了圆周角,探究三角形的边角关系成了探索三角形外接圆中弦长与圆周角的关系,不难得出,并且也需分类讨论;揭示了两者比值不仅相等,而且为2R,指出了正弦定理为什么不取这一更简洁形式的原因。

提问:如何命名这一定理?

设计意图:如果学生能真正理解正弦定理及证明方法,就掌握了三角形边角转化的方法,形成了扩充和扩展自己几何、代数、三角知识结构的能力。在这里多花一些教学时间是值得的。

活动4:欣赏定理,运用定理,升华认识

文字语言:三角形中的任意一条边长与对角正弦的比值为常数2R。

符号语言:。

图形语言:略。

有边又有角,要么边化角,要么角化边。边角转换借半径,正弦定理的有用变形如下。

品味三角形各边与其对角的正弦严格对应,上下对称,体现了对称美、和谐美。正弦定理的建构,既是审美的过程,也是塑造美的过程。

设计意图:正弦定理体现了混乱中见有序,复杂中见简洁,多样中见统一的美感。边与角是辩证统一的,让学生感受到三角形边角关系的和谐性、统一性,欣赏正弦定理成了一种享受。

课堂练习:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1).若∠A=45°,∠B=75°,b=8,求a;(2)若BC=12,∠A=60°,∠B=45。,求AC;(3)若a=3,,∠A=60。,求∠B。

由,知:①在已知两角(可知三个角）一边的情况下必选择正弦定理:②在已知两边及一边的对角的情况下,可选择正弦定理,再根据角A的范围或A+B+C=π确定角A;③。

活动5:学生先交流学习心得,教师后传授治学经验

今天我们研究了三角形中一类边角等量关系。

我们是如何研究的?

研究结果有什么用?

还有其他的变式关系吗?

一个定理,两种应用,三种证法。

正弦定理角边齐,角边转换借半径。

两角一边用正弦,两角对边慎处理。

体验:几何法化斜为直,分类作高法——辛苦;解析法事半功倍,统一坐标法——美妙。

设计意图:作为数学教师,课上要时刻关注学生的行为、思想、感情,锤炼学生喜爱的教学语言。亲其师,信其道,这是最重要的。

[自我反思]

今天认识正弦定理的一小步是明天提升几何思维能力的一大步,况且这一小步包含了众多的方法论内涵。“教学有法,而无定法”是由教学方法既有科学性,又有艺术性这一双重特性所决定的。每次教学正弦定理,我都或多或少、或明或暗有新的感悟。本课借用滴水湖问题宣情泄绪,效果较好。面对课堂教学实际,猜测这个正弦定理结论的开放度还不够高。现代教学的本质特征是探究与建构,表现为一系列有效的教学活动,让学生获得理性思维和情感体验。教师最重要的是在教学过程中确立学生的主体地位以及在教学中对学生情感、态度的关注和过程评价。巧妙创设情景,加强与信息技术的融合,关注科学性、思想性、艺术性、实效性,始终是课堂教学的内在要求。

[专家点评]

基于对教材内容的理解和研究,曹东辉老师撰写的教学设计有着比较丰厚的理论支撑,教学结构具有相当强的逻辑关系,教学过程以学生思维为主线,层分缕析、抽丝剥茧,充分体现出了体验与感悟。

三角形是数学学科中的基本图形,对三角形边角关系的研究纵贯初中和高中数学教学,横穿代数几何,既是核心概念知识,也是数学思想方法的重要载体。这一课例以“在高中数学教学中培养学生的几何思维能力”为标题,将教学的关注点聚焦于思维能力的培养,既有“以小见大”的立意,也有“从小到大”的发展。

高一数学正弦定理 篇3

关键词：高中数学;案例描述;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.设置情境。利用投影展示：如图，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出问题。师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（1）船应开往B处还是C处？（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？（3）船从A到B、C的距离分别是多少？（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：船从A开往B的情况，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ。

生：船从A开往C的情况，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

……

3.解决问题。师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1.三角形的面积不变;2.三角形同一边上的高不变;3.三角形外接圆直径不变。

师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

……

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

二、教学反思

在本课的教学中，教师立足于高效课堂模式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

高中数学《正弦定理》说课稿 篇4

1、教材地位和作用

在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系;同时在必修4，学生也学习了三角函数、平面向量等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，本节内容同时又是学生学习解三角形，几何计算等后续知识的基础，而且在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。依据教材的上述地位和作用，我确定如下教学目标和重难点

2、教学目标

(1)知识目标：

①引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法;

②简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。

(2)能力目标：

①通过对直角三角形边角数量关系的研究，发现正弦定理，体验用特殊到一般的思想方法发现数学规律的过程。

②在利用正弦定理来解三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。

(3)情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与双边交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度。

3、教学的重、难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用; 教学难点：正弦定理的探索及证明;

教学中为了达到上述目标，突破上述重难点，我将采用如下的教学方法与手段

二、教学方法与手段

1、教学方法

教学过程中以教师为主导，学生为主体，创设和谐、愉悦教学环境。根据本节课内容和学生认知水平，我主要采用启导法、感性体验法、多媒体辅助教学。

2、学法指导

学情调动：学生在初中已获得了直角三角形边角关系的初步知识，正因如此学生在心理上会提出如何解决斜三角形边角关系的疑问。

学法指导：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，让学生在问题情景中学习，再通过对实例进行具体分析，进而观察归纳、演练巩固，由具体到抽象，逐步实现对新知识的理解深化。

3、教学手段

利用多媒体展示图片，极大的吸引学生的注意力，活跃课堂气氛，调动学生参与解决问题的积极性。为了提高课堂效率，便于学生动手练习，我把本节课的例题、课堂练习制作成一张习题纸，课前发给学生。

下面我讲解如何运用上述教学方法和手段开展教学过程

三、教学过程设计

教学流程：

引出课题

引出新知

归纳方法

巩固新知

布置作业

四、总结分析：

现代教育心理学的研究认为，有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了： ㈠在学生已有知识结构和新性质概念间寻找“最近发展区”， ㈡引导学生通过同化，顺应掌握新概念。

㈢设法走出“性质概念一带而过，演习作业铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。

我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则;注重对学生思维的发展;贯彻教师对本节内容的理解;体现“学思结合﹑学用结合”原则。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.

设计意图：我的板书设计的指导原则：简明直观，重点突出。本节课的板书教学重点放在黑板的正中间，为了能加深学生对正弦定理以及其应用的认识，把例题放在中间，以期全班同学都能看得到。

高三上学期数学正弦定理教学计划 篇5

讲授新课前，做一份完美的教学计划，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性，数学网为老师们整理了高三上学期数学教学计划，希望给老师的教学带来帮助。

一、内容及其解析

1.内容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4(包括三角函数与平面向量)之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的`的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

二、目标及其解析

目标：(1)正弦定理的发现;

(2)证明正弦定理的几何法和向量法;

(3)正弦定理的简单应用。 解析：先通过直角三角形找出三边与三角的关系，再依次对锐角三角形与钝角三角形进行探讨，归纳总结出正弦定理，并能进行简单的应用。

三、教学问题诊断分析

正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

四、教学支持条件分析

学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识和有关任意三角形的一些知识， 学生在高中已学过必修4(包括三角函数与平面向量)，学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型完成教学目标，是切实可行的。

五、教学过程

(一)教学基本流程

(一)创设情境，引出课题

①在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系? 学生容易想到三角函数式子：(可能还有余弦、正

a切的式子) bc sinC?1sinA?sinB?c b c

②这三个式子中都含有哪个边长? c学生马上看到，是c边，因为 sinC?1?B C a c③那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法?

abcsinAsinBsinC

④得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系?

(各边和它所对角的正弦的比相等)

⑥此关系式能不能推广到任意三角形?

设计意图: 以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程.

(二)探究正弦定理 abc?

?猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即： sinAsinBsinC

设计意图:鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.

三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式?

设计意图:及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识

①那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证? ——可以构造直角三角形

②如何构造直角三角形?

——作高线(例如：作CD⊥AB，则出现两个直角三角形) ab?③将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明， sinAsinB那么如何将A、B、a、b联系起来?

——在两个直角三角形Rt△BCD与Rt△ACD中，CD是公共边：

在Rt△BCD中，CD= a sin B ， 在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab ??asinB?bsinA? sinAsinBbcsinB ? sinC?

——作高线AE⊥BC，同理可证.

设计意图:把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.

高一数学正弦定理 篇6

卢龙县木井中学 贺永辉

尊敬的各位专家、评委：

大家好！

我是卢龙县木井中学数学教师贺永辉，我今天说课的题目是：人教A版普通高中课程标准实验教科书 数学必修5第一章第一节的第一课时《正弦定理》，依据新课程标准对教材的要求，结合我对教材的理解，我将从以下几个方面说明我的设计和构思。

一、教材分析

“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。这部分内容从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方法上看，也可以归属于向量应用的一方面。从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。而本课“正弦定理”，作为单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），通过这一部分内容的学习，让学生从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模过程中，体验 “观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时在解决问题的过程中，感受数学的力量，进一步培养学生对数学的学习兴趣和“用数学”的意识。

二、学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三、教学目标

1、知识和技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。

过程与方法：学生参与解题方案的探索，尝试应用观察——猜想——证明——应用”等思想方法，寻求最佳解决方案，从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。

情感、态度、价值观：培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。同时，通过实际问题的探讨、解决，让学生体验学习成就感，增强数学学习兴趣和主动性，锻炼探究精神。树立“数学与我有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学”的理念。

2、教学重点、难点

教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理证明及应用。

四、教学方法与手段

为了更好的达成上面的教学目标，促进学习方式的转变，本节课我准备采用“问题教学法”，即由教师以问题为主线组织教学，利用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发兴趣、突出重点，突破难点，提高课堂效率，并引导学生采取自主探究与相互合作相结合的学习方式参与到问题解决的过程中去，从中体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。

五、教学过程

为了很好地完成我所确定的教学目标，顺利地解决重点，突破难点，同时本着贴近生活、贴近学生、贴近时代的原则，我设计了这样的教学过程：

（一）创设情景，揭示课题 问题1：宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢？

1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为 385400km，你知道他们当时是怎样测出这个距离的吗？

问题2：在现在的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必要亲自去量，只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是为什么吗？还有，交通警察是怎样测出正在公路上行驶的汽车的速度呢？要想解决这些问题，其实并不难，只要你学好本章内容即可掌握其原理。（板书课题《解三角形》）

[设计说明]引用教材本章引言，制造知识与问题的冲突，激发学生学习本章知识的兴趣。

（二）特殊入手，发现规律

问题3：在初中，我们已经学习了《锐角三角函数和解直角三角形》这一章，老师想试试你的实力，请你根据初中知识，解决这样一个问题。在Rt⊿ABC中sinA=，sinB= ,sinC= ,由此，你能把这个直角三角形中的所有的边和角用一个表达式表示出来吗？ 引导启发学生发现特殊情形下的正弦定理

（三）类比归纳，严格证明 问题4：本题属于初中问题，而且比较简单，不够刺激，现在如果我为难为难你，让你也当一回老师，如果有个学生把条件中的Rt⊿ABC不小心写成了锐角⊿ABC，其它没有变，你说这个结论还成立吗？

[设计说明]此时放手让学生自己完成，如果感觉自己解决有困难，学生也可以前后桌或同桌结组研究，鼓励学生用不同的方法证明这个结论，在巡视的过程中让不同方法的学生上黑板展示，如果没有用向量的学生，教师引导提示学生能否用向量完成证明。

问题5：好根据刚才我们的研究，说明这一结论在直角三角形和锐角三角形中都成立，于是，我们是否有了更为大胆的猜想，把条件中的锐角⊿ABC改为角钝角⊿ABC，其它不变，这个结论仍然成立？我们光说成立不行，必须有能力进行严格的理论证明，你有这个能力吗？下面我希望你能用实力告诉我，开始。（启发引导学生用多种方法加以研究证明，尤其是向量法，在下节余弦定理的证明中还要用，因此务必启发学生用向量法完成证明。）

[设计说明]

放手给学生实践的机会和时间，使学生真正的参与到问题解决的过程中去，让学生在学数学的实践中去感悟和提高数学的思维方法和思维习惯。同时，考虑到有部分同学基础较差，考个人或小组可能无法完成探究任务，教师在学生动手的同时，通过巡查，让提前证明出结论的同学上黑板完成，这样做一方面肯定了先完成的同学的先进性，锻炼了上黑板同学的解题过程的书写规范性，同时，也让从无从下手的同学有个参考，不至于闲呆着浪费时间。

问题6：由此，你能否得到一个更一般的结论？你能用比较精炼的语言把它概括一下吗？好，这就是我们这节课研究的主要内容，大名鼎鼎的正弦定理（此时板书课题并用红色粉笔标示出正弦定理内容）

教师讲解：告诉大家，其实这个大名鼎鼎的正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔─威发﹝940-998﹞首先发现与证明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝973-1048﹞给三角形的正弦定理作出了一个证明。也有说正弦定理的证明是13世纪的阿塞拜疆人纳速拉丁在系统整理前人成就的基础上得出的。不管怎样，我们说在1000年以前，人们就发现了这个充满着数学美的结论，不能不说也是人类数学史上的一个奇迹。老师希望21世纪的你能在今后的学习中也研究出一个被后人景仰的某某定理来，到那时我也就成了数学家的老师了。当然，老师的希望能否变成现实，就要看大家的了。

[设计说明] 通过本段内容的讲解，渗透一些数学史的内容，对学生不仅有数学美得熏陶，更能激发学生学习科学文化知识的热情。

（四）强化理解，简单应用

下面请大家看我们的教材2-3页到例题1上边，并自学解三角形定义。[设计说明] 让学生看看书，放慢节奏，有利于学生消化和吸收刚才的内容，同时教师可以利用这段时间对个别学困生进行辅导，以减少掉队的同学数量，同时培养学生养成自觉看书的好习惯。

我们学习了正弦定理之后，你觉得它有什么应用？在三角形中他能解决那些问题呢？ 我们先小试牛刀，来一个简单的问题：

问题7:(教材例题1)⊿ABC中，已知A=30º，B=75º，a=40cm，解三角形。

（本题简单，找两位同学上黑板完成，其他同学在底下练习本上完成，同学可以小声音讨论，完成后教师根据学生实践中发现的问题给予必要的讲评）

[设计说明] 充分给学生自己动手的时间和机会，由于本题是唯一解，为将来学生感悟什么情况下三角形有唯一解创造条件。

强化练习

让全体同学限时完成教材4页练习第一题，找两位同学上黑板。问题8：（教材例题2）在⊿ABC中a=20cm，b=28cm,A=30º，解三角形。

[设计说明]例题2较难，目的是使学生明确，利用正弦定理有两种可能，同时，引导学生对比例题1研究，在什么情况下解三角形有唯一解？为什么？对学有余力的同学鼓励他们自学探究与发现教材8页得内容：《解三角形的进一步讨论》

（五）小结归纳，深化拓展

1、正弦定理

2、正弦定理的证明方法

3、正弦定理的应用

4、涉及的数学思想和方法。

[设计说明] 师生共同总结本节课的收获的同时，引导学生学会自己总结，让学生进一步回顾和体会知识的形成、发展、完善的过程。

（六）布置作业，巩固提高

1、教材10页习题1.1A组第1题。

2、学有余力的同学探究10页B组第1题，体会正弦定理的其他证明方法。

证明：设三角形外接圆的半径是R，则a=2RsinA,b=2RsinB, c=2RsinC

[设计说明] 对不同水平的学生设计不同梯度的作业，尊重学生的个性差异，有利于因材施教的教学原则的贯彻。

正弦定理证明的探究及教学建议 篇7

一、定理引出

利用直角三角形中的边角关系引出正弦定理.

二、定理的证明

正弦定理的证明方法很多, 本文仅就锐角三角形从传统几何证法和向量证法两方面进行探讨.

1.传统几何证法

证法一:利用三角形的高进行证明.

点评:这种证法体现了解决问题的一般思路, 将未知转化为已知, 即将非直角三角形问题转化为直角三角形问题解决, 关键是利用边角关系表示CD并变形.

证法二:利用三角形的面积证明.

点评:这种证法建立在三角形面积用两边及其夹角正弦乘积的一半表示基础上, 否则就要以证法一为基础.

证法三:利用三角形的外接圆证明.

点评:这种证法就是利用同弦所对的圆周角相等, 将问题向直角三角形转化, 同时建立起比值与外接圆直径的关系, 这是一种很好的关系, 有利于正弦定理的变形应用.

证法四:利用余弦定理证明.

又由海伦公式知

点评:正、余弦定理都是阐述三角形边角关系的定理, 本证法说明他们相互之间是有联系的, 同时建立起比值与三角形三边乘积及其面积的关系, 但计算量大, 不适于课堂教学.

证法五:利用角平分线定理和锐角三角函数定义证明.

点评:这种证法将正弦定理中的比例关系与角平分线定理中的比例关系建立联系, 再用直角三角形中的三角函数进行转化, 完成定理的证明.

2.向量证法

证法六:利用向量投影证明.

点评:向量投影在教材上只作了简单的介绍, 没有说明它的应用, 实际上向量投影的用处是很大的, 突出应用于立体几何中.本证法实质上与证法一相同.

证法七:利用向量数量积证明.

如图2, 在△ABC中, AAAC+CAAB=AAAB, 两边同取与向量CAAD的数量积运算, 得到CAAD· (AAAC+CAAB) =CAAD·AAAB,

点评:正弦定理表达了三角形中的边角关系, 而向量中的数量积则涉及边角关系, 从而考虑用数量积证明.为了同时达到消元的目的, 构造与三角形的一边垂直的向量, 自然选用图2中的向量CAAD, 当然也可以构造其他向量.

证法八:利用向量坐标运算证明.

如图5, 以AB所在直线为x轴, 以点A为原点建立直角坐标系, 作AAAD=BAAC, 则有A (0, 0) , B (c, 0) , C (bcos A, bsin A) , D (acos (π-B) , asin (π-B) , 则:

点评:这种证法通过建立直角坐标系, 确定点坐标, 由向量的坐标运算及向量相等来证明.关键是找到一对相等向量.

证法九:利用三角形外接圆和向量知识证明.

点评:比值与外接圆直径的关系也可以利用向量证明.

证法十:利用向量知识和余弦定理证明.

点评:在a2+b2-2abcos C=4R2sin2C中, 用c=2Rsin C代换, 即得余弦定理, 所以正、余弦定理也可以说是等价的.

3.现行教材中的证法比较

笔者翻阅了六套高中数学教材, 在人教大纲版教材中, 正弦定理在第五章“平面向量”中出现, 在湘教课标版教材中, 正弦定理在必修四中出现, 在其余四套课标教材 (人教课标A版和B版、北师大课标版、苏教课标版) 中, 正弦定理均在必修五中出现.除湘教版外, 其余五套教材均利用直角三角形中的锐角三角函数关系引出正弦定理, 但证法各不相同.

人教大纲版利用向量数量积证明, 但没有利用证法七中的向量C D, 而是过A作了垂直于AB的单位向量j来证明 (如图7) , 也没有探讨比值与外接圆直径的关系.这样的处理不是很自然, 不易想到, 较难接受.不探讨比值与外接圆直径的关系, 对正弦定理的变形应用有一定影响.

人教课标A、B版教材采用证法一, 比值与外接圆直径的关系在习题1.1B组中以习题形式出现, “证明:设△ABC的外接圆半径是R, 则a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.”

北师大课标版教材首先说明正弦定理在等边三角形中成立, 然后利用向量投影证明, 但没有采用证法六, 而是在直角坐标系中给出钝角三角形ABC (如图8) , 利用A C、B C在y轴上的投影相同证明.并利用证法三探讨了比值与外接圆直径的关系.这种处理没有发挥坐标系的作用, 建立坐标系自然会想到点坐标, 但在证明过程中没有用到坐标.

各版本教材的证明各有特色, 人教课标A、B版, 证法简单, 最容易被学生接受.苏教课标版的处理思路清晰自然, 既考虑最佳方法, 又兼顾向量方法;既巩固向量知识, 突出向量的工具性, 又开启学生的思维, 将学习延伸到课后.人教大纲版和北师大课标版的证法不是很理想.笔者赞同将正弦定理的比值与外接圆直径的关系纳入课堂教学, 这个关系的探讨不太难, 学生易接受, 体现了数学的和谐、神奇, 既是一次正弦定理的深入理解和变形应用, 也是一次对学生进行数学美、数学精神教育的机会.特别指出的是湘教课标版的教材体系不同于其余四套课标教材体系, 更接近人教大纲版教材体系, 以向量为主线, 以“问题解决”为驱动, 揭示数学知识的内在联系和数学知识中隐藏的思想、方法, 正弦定理的处理突出重点知识, 内容展开简洁明快, 易教易学, 容易实现课堂的高效化.

正弦定理的多种证法 篇8

这个定理的证法十分丰富.为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明.直角三角形的情形非常简单,钝角三角形的情形与锐角三角形类似.

1.三角形高法

asinB,bsinA是△ABC的边c上的高;asinC,csinA是△ABC的边b上的高;且bsinC,csinB是△ABC的边a上的高.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD,则CD=asinB=bsinA.

所以asinA=bsinB，同理bsinB=csinC.

因此asinA=bsinB=csinC.

2.三角形外接圆法

asinA,bsinB,csinC都等于△ABC的外接圆直径.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

过点C作锐角三角形ABC的外接圆直径CD,连结DB.根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角,得∠A=∠D,∠DBC=90°,CD=2R(R为△ABC的外接圆半径).

所以sinA=sinD=CBCD=a2R.所以asinA=2R.

同理bsinB=2R,csinC=2R.

因此asinA=bsinB=csinC=2R.

3.三角形面积法

12absinC,12bcsinA,12acsinB都等于△ABC的面积.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD，则CD=asinB.所以三角形ABC的面积S=12AB•CD=12acsinB.

同理S=12absinC,S=12bcsinA,

所以12bcsinA=12acsinB=12absinC,

同除以12abc,再取倒数,有asinA=bsinB=

csinC.

4.向量数量积法

把asinB,bsinA分别变形为acosπ2-B,bcosπ2-A,在锐角三角形ABC中,作高CD,则a|CD|cosπ2-B,b|CD|cosπ2-A分别是向量CB,CA与向量CD的数量积.

利用这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD.

因为AB=CB-CA，所以0=AB•CD=(CB-CA)•CD,

所以CB•CD=CA•CD,

所以a|CD|cosπ2-B=b|CD|cosπ2-A,

即asinB=bsinA.所以asinA=bsinB.

同理bsinB=csinC.

因此asinA=bsinB=csinC.

应当注意,以上的四种证法仅仅证明了在锐角三角形ABC中，有asinA=bsinB=csinC.用以上的四种证法证明正弦定理都必须分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况进行讨论.

5.如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法.

证明如下:

以C为原点,以射线CA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,且使点B落在x轴的上方,则AC边上的高即为B点的纵坐标.根据三角函数的定义,B点的纵坐标h=asinC.

所以三角形ABC的面积S=12bh=12absinC,

同理S=12acsinB,S=12bcsinA,

所以12bcsinA=12acsinB=12absinC，

同除以12abc,再取倒数，

有asinA=bsinB=csinC.

这种证法之所以避开了分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义；前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们仅仅利用了锐角三角函数的定义.这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.

高一数学正弦免费课件 篇9

教学目标：

1.让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

2.通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

3.通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

4.培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点与难点

教学重点：正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理的猜想提出过程。

教学准备：制作多媒体，学生准备计算器，直尺，量角器。

教学过程：

(一)结合实例，激发动机

师生活动：

师：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗?

生：当然熟悉。

师：那大家知道科技楼有多高吗?

学生不知道。激起学生兴趣!

师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗?

学生思考片刻，教师引导。

生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。

师：方法可行吗?

生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。

师：你有什么想法?

生2：可以再取一个观测点D.

师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置?

生2：向前或向后

师：好，模型如图(2)：我们设 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ,CD=10,那么我们能计算出AB吗?

生3：由 正弦定理教学设计 求出AB。

师：很好，我们可否换个角度，在 正弦定理教学设计 中，能求出AD,也就求出了AB。在 正弦定理教学设计 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD，就需要我们来研究三角形中的边角关系。

师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手!

生4：直角三角形。

师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系?

生5：思考交流得出，如图4，在Rt正弦定理教学设计 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

则有 正弦定理教学设计，正弦定理教学设计，又正弦定理教学设计,

则正弦定理教学设计，

从而在直角三角形ABC中，正弦定理教学设计。

(三)证明猜想，得出定理

师生活动：

教师：那么，在斜三角形中也成立吗?

用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证!

但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪?前面探索过程对我们有没有启发?

学生分组讨论，每组派一个代表总结。(以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述)

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理?

学生要思考一下。

师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关?

生7： 向量的数量积

师：那向量的数量积的表达式是什么?

生8： 正弦定理教学设计

师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦。

生：利用诱导公式。

师：式子变形为： 正弦定理教学设计 ,再

师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试!

学生讨论合作，就可以解决这个问题

教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索。

设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

(三)利用定理，解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生：马上得出

在 正弦定理教学设计 中， 正弦定理教学设计

正弦定理教学设计

(四)了解解三角形概念

设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

教师：一般地，把三角形的三个角 正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 和它们的`对边 正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

(五)运用定理，解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如 正弦定理教学设计 ;

②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如 正弦定理教学设计 。

师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

例1：在 正弦定理教学设计 中，已知 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为 正弦定理教学设计 求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例2：在 正弦定理教学设计 中，已知 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ，解三角形。

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

(七)尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

(1)正弦定理的内容( 正弦定理教学设计 )及其证明思想方法。

(2)正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素;②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

(3)分类讨论的数学思想。

正弦定理和余弦定理2 篇10

第一章

解三角形

§1.1.2正弦定理和余弦定理

班级

姓名

学号

得分

一、选择题

1．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于……………….（）

A．221 B．6

C．221或6

D．21563

2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于…..()

A．15° B．30°

C．45°

D．60°

3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…（）

A．135° B．90°

C．120°

D．150°

4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于………………….()

A．90° B．120°

C．60°

D．120°或60°

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...()

A．sinA＝sinB＋sinC＋2sinBsinCcos(B＋C)

B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)

C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC

D．sin(A＋B)＝sinA＋sinB-2sinBsinCcos(A＋B)6*．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则ABBC的值为……………………()

A．79

二、填空题

7．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．

13222222 B．69

C．5

D．-5 8．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

abac＝________． 9．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则bc9 10*．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝10，则BC＝________．

三、解答题

11．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

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A12．在△ABC中，cos2 bc2c910，c＝5，求△ABC的内切圆半径．

13．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．

14*．已知a、b、c为△ABC的三边，且a-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

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§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

A D C D D D

二、填空题

17．57

8．-7

9．1 10．4或

5三、解答题

11．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(33)2＋22-2·23·2·(-2)＝49．

∴ b＝7，1113

S△＝2acsinB＝2×33×2×2＝2bc93．

12．解：∵ c＝5，2cA210，∴ b＝4

b1cosA22 又cos222bc2cbca2bc222 ∴ cosA＝c 又cosA＝

bca

∴ 2bcb2222222c∴ b＋c-a＝2b∴ a＋b＝c

∴ △ABC是以角C为直角的三角形．a＝cb＝3

∴ △ABC的内切圆半径r＝2(b＋a-c)＝1．

112222

13．解：∵ S＝a-(b-c)又S＝2bcsinA∴ 2bcsinA＝a-(b-c)

bca222

∴ 2bc114(4-sinA)∴ cosA＝4(4-sinA)∴ sinA＝4(1-cosA)

2tanAcosA28sin2A22AA ∴ 2sin22∴ tan214∴ sinA＝

1tanA24812171()4

21大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

SS41712bCsinA(bc)424176417bc64∴ c＝b＝4时，S最大为17

14．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0

由上述两式相加，相减可得

c＝4(a2＋3)，b＝4(a-3)(a＋1)1

∴ c-b＝2(a＋3)

∵ a＋3＞0，∴ c＞b

c-a＝4(a2＋3)-a＝4(a2-4a＋3)＝4(a-3)(a-1)1

∵ b＝4(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3 1

∴ 4(a-3)(a-1)＞0

∴ c＞a

∴ c边最大，C为最大角

abc222

∴ cosC＝a22ab2

2116(a3)(a1)2a14116(a3)2212(a3)(a1)

∴ △ABC的最大角C为120°