数列的极限教学设计

数列的极限教学设计（共8篇）

数列的极限教学设计 篇1

西南位育中学 肖添忆

一、教材分析

《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。

课本在内容展开时，以观察n时无穷等比数列an列anqn,(|q|1)与an1的发展趋势为出发点，结合数n21的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。在n由定义给出两个常用极限。但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。

二、学情分析

通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。

由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。这与数学中“极限”的含义相差甚远。在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。

三、教学目标与重难点 教学目标：

1、通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；

2、经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；

3、会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。教学重点：理解数列极限的概念

教学难点：正确理解数列极限的描述性定义

四、教学策略分析

在问题引入时着重突出“万世不竭”与“讲台可以走到”在认知上的矛盾，激发学生的学习兴趣与求知欲，并由此引出本节课的学习内容。在极限概念形成时，结合极限概念的发展史展开教学，让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的。数学的历史发展过程与学生的认知过程有着一定的相似性，学生在某些概念上的进展有时与数学史上的概念进展平行。比如部分学生的想法与许多古希腊的数学家一样，认为无限扩大的正多边形不会与圆周重合，它的周长始终小于其外接圆的周长。教师通过梳理极限发展史上的代表性观点，介绍概念的发展历程以及前人对此的一系列观点，能帮助学生发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。对数学发现的过程以认知角度加以分析，有助于学生学习数学家的思维方式，了解数学概念的发展，进而建构推理过程，使学生发生概念转变。在课堂练习诊断部分，不但要求回答问题，还需对选择原因进行辨析，进而强化概念的正确理解。

五、教学过程提纲与设计意图 1.问题引入

让一名学生从距离讲台一米处朝讲台走动，每次都移动距讲台距离的一半，在黑板上写出表示学生到讲台距离的数列。这名学生是否能走到讲台呢？类比“一尺之捶,日取其半,万世不竭”，庄子认为这样的过程是永远不会完结的，然而“讲台永远走不到”这一结果显然与事实不同，要回答这一矛盾，让我们看看历史上的数学家们是如何思考的。【设计意图】

改编自芝诺悖论的引入问题，与庄子的“一尺之捶”产生了认知冲突，激发学生的学习兴趣与求知欲，并引出本节课的学习内容

2.极限概念的发展与完善

极限概念的发展经历了三个阶段：从早期以“割圆术”“穷竭法”为代表的朴素极限思想，到极限概念被提出后因“无穷小量是否为0”的争论而引发的质疑，再经由柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作以及实数理论的形成，严格的极限理论至此才真正建立。【设计意图】

教师引导学生梳理极限发展史上的代表性观点，了解数学家们提出观点的时代背景，对照反思自己的想法，发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。教师在比较概念发展史上被否定的观点与现今数学界认可的观点时，会使学生产生认知冲突。从而可能使学生发生概念转变，抛弃不正确的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在数学教学中，结合数学史展开教学可以让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的，从而提升学生概念转变的动机。

3.数列极限的概念

极限思想的产生最早可追溯于中国古代。极限理论的完善出于社会实践的需要，不是哪一名数学家苦思冥想得出，而是几代人奋斗的结果。极限的严格定义经历了相当漫长的时期才得以完善，它是人类智慧高度文明的体现，反映了数学发展的辩证规律。今天的主题，极限的定义，援引的便是柯西对于极限的阐述。

定义：在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作limanA，读作“n趋向于

n无穷大时，an的极限等于A”。

在数列极限的定义中，可用|an-A|无限趋近于0来描述an无限趋近于A。

如前阐述，柯西版本的极限定义虽然不是最完美的，但作为摆脱几何直观的首次尝试，也是历史上一个较为成功的版本，在历史上的地位颇高。有时，我们也称其为数列极限的描述性定义。

【设计意图】

通过比较历史上不同观点下的极限定义，教师呈现数列极限的描述性定义，分析该定义的历史意义，让学生进一步明确数列极限的含义。4.课堂练习诊断

由数列极限的定义得到三个常用数列的极限:(1)limCC(C为常数)；

n(2)lim10(nN*)； nnnn(3)当|q|<1时，limq0.练习<1>判断下列数列是否存在极限，若存在求出其极限，若不存在请说明理由

20162016（1）an；

nsinn； n（3）1,1,1,1,,1（2）an（4）an4(1n1000)

4(n1001)11-，n为奇数（5）ann

 1，n为偶数注：

（1）、（2）考察三个常用极限

（3）考查学生是否能清楚认识到数列极限概念是基于无穷项数列的背景下探讨的。当项数无限增大时，数列的项若无限趋近于一个常数，则认为数列的极限存在。因此，数列极限可以看作是数列的一种趋于稳定的发展趋势。有穷数列的项数是有限的，因而并不存在极限这个概念。

（4）引用柯西的观点，解释此处无限趋近的含义，是指随着数列项数的增加，数列的项与某一常数要多接近就有多接近，由此得出结论：数列极限与前有限项无关且无穷常数数列存在极限的。

（5）扩充对三种趋近方式的理解：小于A趋近、大于A趋近和摆动趋近。本题中的数列没有呈现出以上三种方式的任意一种。避免学生将趋近误解为项数与常数间的差距不断缩小。练习<2>若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，则以下对A的描述正确的是_____.A、A是小于1的最大正数

B、A的精确值为1 C、A的近似值为1

选择此选项的原因是_________ ①由于A的小数位都是 9，找不到比A大但比1小的数；

②A是由无限多个正数的和组成，它们可以一直不断得加下去，但总小于 2；

③A表示的数是数列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的极限；

④1与A的差等于 0.00…01。

注：此题是为考查学生对于无穷小量和极限概念的理解。由极限概念的发展史可以看出，数学家们曾长时期陷入对无穷小概念理解的误区中，极大地阻碍了对极限概念的理解。学生学习极限概念时可能也会遇到类似的误区。

练习<3>顺次连接△ABC各边中点A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各边中点 A2、B2、C2并顺次连接又得到一个新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直进行下去，那么最终得到的图形是_________.A、一个点

B、一个三角形

C、不确定

选择此选项的原因是_________.①

无限次操作后所得三角形的面积无限趋近于 0 但不可能等于 0。②

当操作一定次数后，三角形的三点会重合。

③

该项操作可以无限多次进行下去，因而总能作出类似的三角形。

④

无限次操作后所得三角形的三个顶点会趋向于一点。

注：此题从无限观的角度考察学生对极限概念的的理解。学生容易忽视极限概念中的实无限，他们在视觉上采用无穷叠加的形式，但是会受最后一项的惯性思维，导致采用潜无限的思辨方式。所谓实无限是指把无限的整体本身作为一个现成的单位，是可以自我完成的过程或无穷整体。相对地，潜无限是指把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着不断产生出来的东西。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的。持有潜无限观点的学生在理解极限概念时，会将极限理解为是一个渐进过程，或是一个不可达到的极值。

通过习题，分析总结以下三个注意点：

（1）数列{an}有极限必须是一个无穷数列，但无穷数列不一定有极限存在；

1}可以说随着n的无限增大，n1数列的项与-1会越来越接近，但这种接近不是无限趋近，所以不能说lim1；

nn（2）“无限趋近”不能用“越来越接近”代替，例如数列{（3）数列{an}趋向极限A的过程可有多种呈现形式。

【设计意图】

通过例题与选项原因的分析，消除关于数列极限理解的三类误区：

第一类是将数列极限等同于如下的三种概念：渐近线、最大限度或是近似值。第二类是学生对于数列趋向于极限方式的错误认知。第三类是对于无限的错误认知。

5.课堂小结

极限的描述性定义与注意点 三个常用的极限

6.作业布置

1>任课老师布置的其他作业

2>学习魏尔斯特拉斯的数列极限定义，并用该定义证明习题<1>的第一第二小问 【设计意图】

数列的极限教学设计 篇2

教学设计是为了实现一定的教学目标, 依据课程内容主题、学生特征和环境条件, 运用教与学的原理, 为学生策划学习资源和学习活动的过程, 即教学设计是在现代教育理论指导下, 为了促进学生学习和发展而设计的解决教与学问题的一套系统化程序。

信息技术与数理类课程整合的优势在于:

1.模拟情境

数理类学科的知识、术语较为抽象, 例如数学中的“对称”“异面”等关系, 物理中的“力”“场”等概念, 化学中的“反应”“平衡”等过程都是抽象难懂的。信息技术的运用可帮助教师和学生解决这些重点、难点问题。

2.转换观察空间

尤其是对宏观世界和微观世界的研究更为突出。

3.转换变化速度

尤其对物理的运动过程和化学变化过程的研究, 能让学生观察得细致全面。

4.展现思维空间

数学教学是思维过程的教学, 但在传统教学中教师并不能把握每个学生的思维过程, 从而不能给予及时反馈。信息技术的交互功能则能很好地解决这个问题。以往运用传统的教学手段, 学生在练习纸上整理数据, 教师很难了解到学生整理数据的全过程, 教学的实效性很难把握。而网络环境的互动性, 大信息量传载功能正可以解决这个问题, 使师生及时掌握各小组整合的全过程, 有利于学生在自己的探索过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法, 同时获得广泛的数学活动经验。

数学课程教学设计的主要基本策略有:

1.激发学习动机

进行教学设计时, 教师要着力于研究学生的生活背景, 致力于捕捉生活背景与学习材料之间的内在联系, 帮助学生主动寻求新知识的生活原型。要提供新知识的生活背景, 使学生借助生活中的实际情景来学习数学、理解数学、感受数学, 为新知识的应用找到生长点, 从而激发学习的兴趣, 增强学好数学的信心。

2.培养应用意识和实践能力

教学设计要密切结合学生的生活经验, 从现实中寻找学生学习的素材, 从具体的问题到抽象的概念, 得到抽象化的知识后再把它们应用到现实情景中, 通过学生的亲身体验, 增强学生的应用意识。实践对于知识的理解、掌握和熟练应用起着极其重要的作用, 只有亲身体验过的知识才能更深刻地理解, 更熟练地运用。要学以致用, 使学生感受到学习知识、掌握知识的价值所在, 在知识的运用过程中, 促使学生把所学的知识掌握得更熟练、更透彻, 使学生的实践能力得到培养和提高。让学生在感受成功的同时, 也感受到自身价值的存在。因此应给学生创造条件, 鼓励他们把所学知识运用到生活中去, 为培养学生的实践能力提供广阔的空间, 使学生真正亲近数学, 让数学真正走进学生生活, 在实践与运用中实现学习数学的价值。

3.引导自主探索、合作交流

要设计教师活动的内容, 即如何帮助和引导学生, 如何设置交流、讨论、合作等, 发挥教师的引导、组织作用, 使所有学生都能在学习中获得成功感, 树立自信心, 增强克服困难的勇气和毅力。为了促进学生进行有效的合作交流, 教学设计要有利于学生主动参与, 对进行交流的小组要进行合理的设计, 目的是使学生在小组中从事学习活动, 借助于学生之间的互动, 有效地促进学生的共同发展。对于如何分组, 要根据学习内容、特点来设计、确定小组成员的人数, 明确分工, 一般应遵循“组内异质、组间同质”的原则, 以此来保证每个小组在大致相同的水平上展开合作学习, 设计中应明确提出合作目标与合作要求。

4.鼓励解决问题策略多样化教学

设计应注重思维多元化的训练, 鼓励学生充分利用知识的横向和纵向联系来提高一题多解的能力, 对所学的知识能做到融会贯通, 形成新的知识网络, 增强知识的系统性, 提高驾驭知识和综合运用知识的能力, 让学生思维真正活跃起来, 从而提高学生解决问题的能力。

5.教学方式和手段多样化

活动方式的多样化已进入了数学课程, 如综合活动、实践活动、数学实验、课题学习、数学建模、数学猜想与证明、信息处理技能、数学欣赏以及探究性课题等。教学手段也趋于多元, 如可以利用几何画板让学生做“数学实验”, 利用新型的教学模式取代主要靠老师讲授、板书的灌输式教学模式, 在教学过程中鼓励学生自己做实验等, 使学生通过计算机从“听数学”转变为“做数学”。

教学设计具有预设成分, 但它是动态的, 教学设计的对象是人, 其设计的主体也是人, 而人的活动是最复杂、最难以把握的, 加上影响教学过程其他因素的复杂性, 教学设计是一项复杂的工作。因此, 作为教师应该努力提升自己的专业知识, 提高驾驭新课堂的能力, 使新课程真正落到实处。

教学设计方案内容包括学习内容特征分析、学习者特征分析、任务分析、教学目标、设计思路或意图、教学过程、课堂小结 (含板书设计) 、自主性教学评价 (教学反思) 、教学资源链接等。

下面就结合《数列的极限》的教学设计来谈一谈。

数列的极限是初等数学与高等数学相互衔接的重要内容之一, 考虑到大专学生理解极限的严格定义 (ε-Ν定义) 有一定的难度, 教科书 (自学考试《高等数学 (一) —微积分》) 明确规定, 只从数列的变化趋势理解数列的极限概念, 即只对极限的定义进行直观描述, 以降低教与学的难度, 我在教学过程中把重点放在对数列极限概念意义的准确把握和理解上。为了更好地达到教学目标, 我一方面设计了形象、直观、准确的计算机演示程序, 分散了教学难点, 另一方面在教学过程的设计上也作了周到的考虑。

在课题引入上, 我让学生展示在课下利用网络信息资源, 查阅中国古代数学家刘徽及其“割圆术”的相关资料, 创设情景式教学。一方面, 上网是中学生津津乐道的一种时尚, 故投其所好, 让他感觉到在时尚娱乐中也能学到数学, 体验数学的美感, 从而提高学习数学的兴趣。另一方面, 根据刘徽的对世界数学的贡献及其“割圆术”所体现的中华民族的传统文化及古代文人学者对知识追求坚持不懈的精神, 渗透爱国主义教育, 增强学生的民族自豪感, 培养学生的主动探索精神与创新意识。

在新课的设计上, 由观察到分析、由定性到定量、由直观到抽象, 按照思维的发展规律, 我由浅入深地设计了四个不同的层次。首先, 在第一个层次, 让学生观察几个分别代表不同类型的无穷数列的具体实例:

从“由大到小、由小到大、大小交错、大小恒定”的数值变化趋势上;从一维数轴点“从右至左、从左至右、左右交错、原地踏步”的变化方向上以及差式|an-a|无限接近于0的三种变化趋势上, 归纳出这几个无穷数列当项数n无限增大时an的变化趋势与刘徽割圆所具有的共同特性。为了形象直观地描绘数列的发展趋势的动态效果, 我利用课件以动画的形式来展示当an随着n的不断增大从不同的方向“飞入”一维数轴, 并不断向常数靠拢的动态过程, 克服了极限概念描述的抽象性, 分散了教学难点。同时充分发挥学生的主体作用, 引导学生以合作、交流的形式讨论得出观察结果, 培养其合作意识, 体验集体的力量是无穷的态度价值观, 同时也锻炼了学生在个性中寻求共性的求同思维。

然后在第二个层次, 通过学生的相互补充与完善, 总结、抽象、概括出数列极限的严谨、科学、完整的描述性定义。同时, 教师补充强调定义中一些关键的要素, 如:无穷数列、无限增大、无限趋近、一个常数等。通过这样一个过程, 让学生通过相互讨论、独立思考、师生交流去亲身经历、参与整个概念的明晰过程, 体现了学生的主体作用。

在第三个层次, 任何概念的定义不光具备性质描述功能还应该具备判定功能, 通过学生对几个由浅及深、层层深入的例题的回答, 体会定义的判定功能, 加深对数列极限概念的正确认识, 增强学生学习的自信。

例题:求下列数列的极限

第四个层次通过对几个精心设计的几个问题的讨论, 纠正学生在对数列的描述性定义理解上可能出现的错误, 这不但使学生对数列极限定义的进一步探讨的必要性有了初步的认识, 也能够激发起学生的参与热情, 并锻炼了学生的同中求异的发散性思维。

问题1:无穷数列an=2n是否有极限?在问题1上, 学生可能会出现的错误是:忽视描述性定义中数列极限是一个常数的要求, 只从数列的变化趋势看, 认为数列an=2n有极限, 并且是+∞。于是我通过让学生对+∞与常数本质区别的讨论, 使学生了解+∞是一个动态但不确定的变量, 从而得出并不是所有的无穷数列都有极限的结论。

问题2:数列an=1n的极限是多少?那么猜想nli→m∞0.999n的极限呢?an=1n的极限为1是显然的, 学生有可能直觉地认为0.999很接近1, 因而也应该很接近1, 但通过科学计算器的计算0.9991000、0.9995000、0.99910000、0.99920000而是随n的增大, 0.999n越来越接近于0。这说明科学研究中光凭直觉是不可靠的。实验是获取真理的有效手段, 让学生通过科学计算器来验证猜想, 并总结当。

通过这两个问题, 能纠正学生在数列极限描述性定义理解上出现的常见错误, 逐步深刻理解数列极限概念, 并培养学生科学研究中严谨的学习态度。

最后在小结时重在对数列极限概念的本质进行总结和点拨, 以期引起学生对极限的更深入的思考, 同时与教学目标相呼应。

数学这门科学需要观察, 也需要实验。我所设计的这节课就是学生通过观察、实验, 探究新知的过程。

参考文献

[1]何克抗, 郑永柏, 谢幼如.教学系统设计[M].北京:北京师范大学出版社, 2003.

[2]孙杰远.信息技术与课程整合[M].北京:北京大学出版社, 2002.

谈数列极限定义的教学设计 篇3

【中图分类号】O171-4

极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。

一、无穷数列本质是整标函数

无穷数列 可以看作自变量只取正整数 的一类特殊函数，称为整标函数，即 ，其中 称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。

二、从几何问题到代数问题，引出极限思想

先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列 ，然后启发学生思考如何从数列 的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当 越来越大时， 越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列 ，主要研究当 无限增大时，数列 无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。

三、归纳给出数列极限的描述性定义

由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果 无限增大时，数列 无限接近于一个常数 ，则称 为该数列的极限，记作 或 。否则，称 发散。

四、将描述性定义转化为“ ”定义

一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列 为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当 无限增大时， 无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要 可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要 充分大，大到足以保证 小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的 ，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于 的正整数 ，即 ，使当 时的一切 都满足 。

由于 的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列 随 无限增大（记作 ）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用 的数量关系把“当 无限增大时， 无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用 的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义 。

五、几何解释

将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管 多么小，总能找到一个正整数 從 项开始后面的所有项 都落在点 的 邻域内，而此邻域外最多只有有限项 。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。

六、“ ”定义的进一步说明

为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。

（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。

（2） 具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画 无限接近于常数 的程度；二是固定性， 一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数 。三是表达式的多样性，定义中若取 、 、 也可。

（3） 的相应性。 依赖于 ，但并不唯一，因此也不是 的函数。事实上， 未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当 给定后，才能找到与之有关的 ，当 满足 时，才有 ，一般情况下寻找到 即可。

（4）不等号的推广。由 的多样性和 的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。

七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限

利用“ ”定义证明 ，关键是对于任意给定的正数 ，寻找一个与之有关的正整数 使得当 时恒有 。那么怎么寻找 呢？首先从这个关于 和 的不等式 出发，解出 的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取 即可。事实上，若取 或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。

以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] 同济大学数学系. 高等数学[M].上册.第六版.高等教育出版社，2007：26.

基金项目：陕西省教育厅科研计划项目（编号：2013JK1098）

数列求和教学设计 篇4

铜仁一中 吴 瑜

【教学目标】 1、知识与技能

掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围，进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。2、过程与方法

经历数列几种求和方法的探究过程、深化过程和应用过程，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。3、情感与价值观

通过数列几种求和法的归纳应用，激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。【教学重点】

本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、分组求和、错位相减求和的方法和形式，能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。【教学难点】

本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。【课堂设计】

一、知识回顾

1、等差数列通项公式ana1(n1)d，前n项和公式Snn(a1an)

2na(1q)1n1(q1)

2、等比数列通项公式ana1q，前n项和公式Sn1q

二、合作探究

1、倒序相加法：

例

1、求和：snsin21sin22sin23sin289 设计意图：应用倒序相加并感受此种方法的优越性——简洁美、对称美。

2、裂项相消法： 例

2、求数列 1111，,, 的前n项和。122334n(n1)一般化：1111()

n(nk)knnk设计意图：体验通分和裂项这对运算的互逆关系以及相消过程的简洁美、对称美。【变式1】已知数列{an}的通项公式为an2n1,求数列

1的前n项和。

anan1【变式2】求和：sn

3、分组求和法：

1111 1447710(3n2)(3n1)例

3、求和：sn123456(2n1)2n 【变式1】求和：sn

14、错位相减法：

例

4、求和：sn12222323n2n

三、归纳小结 数列求和常用的方法：

1、倒序相加法：数列an中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，求和时可把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

2、裂项相消法：设法将数列an的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和。

3、分组求和法：an，bn是等差数列或等比数列，求数列anbn的前n项和。

4、错位相减法：an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和。思考题：

1.求数列1,12,122,,122222n1111135(2n1)n 2482前n项的和。

等差数列教学设计 篇5

河北省卢龙职业技术教育中心

吕敬平

《等差数列》教学设计

一、教学内容分析

本节课是《中等职业教育改革国家规划新教材•数学》基础 模块第六章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

我所教学的学生是我校高考班的学生，虽然经过一年的学习，但大部分学生知识经验还不丰富，跟他们基础和素质有很大关系，基础较弱，素质不高，学习数学的兴趣也不很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想 1．教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2．学法

引导学生首先从简单浅显问题（数数问题）、概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

知识目标：通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

情感目标：在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

五、教学重点与难点

重点：

1、等差数列的概念。

2、通项公式的运用。

难点：

1、理解等差数列“等差”的特点及通项公式推导过程。

2、“数学建模”的思想方法。

六、突出重点 突破难点

1、等差数列的概念

由学生的总结自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

思考并交流对概念的理解，并总结： ①“从第二项起”满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：(n≥1)同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1）.9，8，7，6，5，4，„„；√ d=-1

2）.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74„„；√ d=0.01 3）.0，0，0，0，0，0，„„.;√ d=0 4）.1，2，3，2，3，4，„„；× 5）.1，0，1，0，1，„„×

其中第一个数列公差d<0, 第二个数列公差d>0,第三个数列公差d=0 由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

（1）若一等差数列{an}的首项是a1,公差是d，则据其定义可得： a2－a1=d 即：a2=a1+d a3－a2=d 即：a3=a2+d

„„

猜想: a49= a1+48d 进而归纳出等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d

设计思路：在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论的通项公式。通过总结的通项公式由学生猜想的通项公式，进而归纳出通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识，又化解了教学难点。

七、巩固新知应用例解

例１ 已知等差数列的首项为12，公差为−5，试写出这个数列的第2项到第5项．

例2 求等差数列

1,5,11,17,．．． 的第50项.例3 在等差数列an中,a10048,公差d,求首项a1.这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。

3八、反馈练习巩固新知

1、已知an为等差数列，a58，公差d2，试写出这个数列的第8项a8．

2、写出等差数列11,8,5,2,„的通项公式和第10项.3、求等差数列2,1, 8 ,„的通项公式与第15项．

55目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练和加强建模思想训练。

九、归纳小结、深化目标

1、等差数列的概念及数学表达式an－an-1=d(n≥1)。

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。

2、等差数列的通项公式会知三求一。

3、用“数学建模”思想方法解决实际问题。

十、布置作业

等比数列教学设计 篇6

南郑中学 张小文

一、教材分析：

1、内容简析：

本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。

2、教学目标设计

知识与技能（1）使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。

（2）正确认识使用的表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公比、项数及指定的项

过程与方法（1）培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。

（2）采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学

（3）发挥学生的主体作用，作好探究性活动

（4）密切联系实际，激发学生学习的积极性..情感、态度与价值观（1）培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。

（2）通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;

（3）通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.3、教学重难点设计

教学重点：教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用。

【设计依据】与等差数列一样，也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出的特性，这些是教学的重点.教学难点：教学难点 在于通项公式的推导和运用.【设计依据】虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.对等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.二、学生学情分析 从高二学生的学习特点来看

（1）知识基础方面.之前已经学习过“等差数列”的内容，对数列已经有了初步的认识，在此基础上研究讨论等比数列对后继学习产生积极影响.学生可以将等比数列相类比到等差数列中，理解等比数列的通项和其性质，为学生探索等比数列的性质提供了思维活动空间，进而掌握研究数列性质的一般方法，提升分析问题、解决问题的能力.但在如何求复杂等比数列或者隐含等比数列的通项有一定挑战难度。

（2）思维水平方面.学生已经学习了高中数学必修1-4，具有一定水平的思维，空间想象能力，对数字特征特点性质具有一定的观察概括能力，对于知识点之间的类比推理也有一定程度学习，对于学习等比数列的内容会比较容易。但在学习如何转变各种复杂公式求出通项的问题还是得具有一定的知识积累。（3）心理特点方面.。高中学生善于控制自己，学习意志力较高。能够控制和约束自己的行动，控制不需要的想法和情绪，使思想集中到学习上来。

（4）学习态度方面.要使学生积极而高效的掌握知识，必须在教学过程中关注学生的兴趣、动机、情感、气质、意志、品德等非智力因素所形成的学习态度.它们比学生的智力水平和知识本身更重要.适当的给予鼓励和评价，培养乐于探索、勇于探索的精神.三、教法选择与学法指导：

由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：

1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法

教法构思如下：提出问题归纳概括

得出结论

引发认知冲突

观察分析

总结提高。在教师的精心组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。

2、学法指导：

学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导： 把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的方法。其通项公式是以n为字变量的函数，可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。

注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。

四、教学过程设计：

1、创设情境，提出问题（阅读本章引言并打出幻灯片）情境1：本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，„„，（1）

于是发明者要求的麦粒总数是

情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，„„，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),10000,10000,„„

（2）

情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，„„各次取得的木棒长度依次为多少？„„

（3）

问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得

2、自主探究，找出规律：

学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母

表示，即。

如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r，点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。

3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题： 1，3，9，27，„„

„„

1，-2，4，-8，„„-1，-1，-1，-1，„„ 1，0，1，0，„„

思考：①公比能为0吗？为什么？首项能为0吗？ ②公比③是什么数列？ 数列递增吗？数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差

可以取任意实数，所以学生对公比往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比有防患意识，问题③是让学生明白

时等比数列的单调性不定，而

时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。备选题：已知则

„„，„„成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1：由定义知道

（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）方法2：迭代法

根据等比数列的定义有

„„

„„归纳得：等比数列的通项公式为：方法3：由递推关系式或定义写出：„„，通过观察发现„„„„

，即：

（此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用）

公式的特征及结构分析： 公式中有四个基本量：的下标与的上标之和，可“知三求一”，体现方程思想。，恰是的下标，即的指数比项数少1。

5、问题探究：通项公式的应用 例、已知数列是等比数列，求的值。

备选题：已知数列满足条件：，且。求的值

6、课堂演练：教材138页1、2题

备选题1：已知数列为等比数列，中，求

依次成等比数列，的值

备选题2：公差不为0的等差数列则公比等于

7、归纳总结：

（1）等比数列的定义，即

（2）等比数列的通项公式

8、课后作业：

及推导过程。

必作：教材138页练习4；习题1（2）（4）2、3、4、5

选作：

1、已知数列

2、已知数列

（1）求证：

（2）求 的通项为等比数列，且满足

数列的极限教学设计 篇7

一、分析产生难点的原因

数学中抽象的概念、牵涉面比较广比较复杂的问题、学生初次接触的新观点和新方法都是产生难点的因素;其次由于某些内容学生一时难以明白它的实际用途、而且与学生已有的旧知识又很少联系, 是产生难点的另一因素.对具体的教材, 教师都得从内容和学生接受能力这两方面加以认真分析, 深入寻找它的难点因素, 以便有计划、有目的地各个击破.

例如“极限”这个概念是难点, 这是由于: (1) 概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“趋向”、“无限逼近”等数学术语, 这些词语都比较抽象; (2) 对极限概念中“ε的任意性”“N对ε的相依性”“极限的存在与数列中有限项的值和数列中的项趋近方式无关”等辩证观点不易搞清, 容易引起思维的混乱; (3) 极限虽是高等数学中最重要的基本概念, 是学习微积分的基石, 但能直接与它联系的内容不多.

二、精心设计教学过程

一个难点的突破, 应当经历量变——质变——巩固三个阶段.

1.量变阶段

这一阶段的时间长, 主要是为认识上的飞跃 (质变) 作好数量上的准备, 增加有助于概念形成的感性材料.具体地说, 就是把产生难点的因素, 提前分散到它之前的内容中去.

例如在极限概念教学之前, 通过对函数图象性质的研究, 解析几何中曲线切线的定义、渐近线的特性的教学, 分析分母值趋近于零时分式值的变化情况, 讲述古代数学家祖冲之对圆周率π的研究等等, 使学生熟悉并正确理解“无穷大”、“任意小”、 “趋向”、“无限逼近”等概念术语, 以形成极限的朴素概念.在不等式内容的讲授中, 通过各种不同类型的题目, 加深对︱x-a︱<ε型不等式的理解, 为以后从朴素的极限定义过渡到精确的 (ε-Ν) 说法打好基础.

2.质变阶段

这个阶段是突破难点的关键.课堂教学的组织安排必须遵循由具体到抽象, 由特殊到一般的原则, 向学生介绍学习新内容的必要性, 引发起学生的求知欲.下面是极限概念教学过程示意图:

提出

实际

问题

引入

课题→启发、

引导、

得出极

限的朴

素观念→利用朴

素定义

判别一

些具体

数列极

限的存

在性并

利用数

轴和图

象直观

表示→ 从朴

素定

义逐

步过

渡到

(ε-Ν)

定义→结合实

例总结

极限的

本质属

性

3.巩固阶段

该阶段通常采用的方法是: (1) 反面引证、加深理解; (2) 新旧联系, 提高认识; (3) 加强练习, 灵活应用.

例如在讲了极限定义之后, 可从判别数列:$a{}_n=\{\begin{array}{l}1(n=2k)；\\ \frac{1}{n}(n=2k+1)\end{array}$的极限是否存在来加深理解定义中N的作用, 以及为什么要对n>N的一切自然数都成立︱an -A︱<ε.

通过用极限观点解释曲线切线和圆周长的确切定义及柱、锥、球体积公式的严格证明, 既提高了对旧有知识的认识, 又使学生对极限的作用确信不疑, 更进一步地激发学习的积极性.

三、充分发掘学生的智力潜力

难点的内容对学生来说并不是一无所知, 教师必须充分发掘学生已知的内容, 将它作为讲述未知的基础.只有由浅入深、由表及里、循序渐进, 将知识的内在规律逐步地揭示给学生, 才有可能发掘学生的智力使他们易懂难忘, 从而牢固掌握.在极限概念的教学中主要注意以下几个问题:

1.利用直观例子

在教学当中, 先由下面的问题谈起:有甲、乙二容器, 各有1公斤的某溶液 (如图1) , 今由乙器向甲器注入一半以后依次向甲器注入乙器内剩余的一半, 问:

(1) 这个过程会不会完结?

(2) 乙器的溶液会不会注尽, 每次注入后, 乙器中剩下的溶液是多少?

(3) 每次注入后甲器的溶液是多少?

上述问题可由学生口答, 并得出两个数列:

乙器:$\frac{1}{2}‚\frac{1}{4}‚\frac{1}{8}‚\cdots ‚\frac{1}{2{}^n}‚\cdots$

甲器:$\begin{array}{l}1+\frac{1}{2}‚1+\frac{1}{4}‚1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}‚\cdots ‚1+\\ \frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2{}^n}‚\cdots \end{array}$

通过该例学生感受到研究数列发展趋势的必要性, 同时也给出数列极限的朴素定义.

2.利用直观图示

极限这样一个重要概念, 光凭一个例子是无法揭示它的本质属性的, 因此紧接着利用已引出的朴素定义, 研究数列$a{}_n=\left\{\frac{1}{2{}^n}\right\}‚b{}_n=\left\{\frac{(-1){}^n}{2{}^n}\right\},c{}_n=\left\{2-\frac{1}{2{}^n}\right\},d{}_n=\left\{2-\frac{(-1){}^n}{2{}^n}\right\},e{}_n=\left\{2-\frac{1}{2{}^n}\right\}$的极限.并用直角坐标分别作出它们图象.

使学生进一步看清数列的发展趋势, 直观地理解数列中的项可以用不同的形式趋向于极限值.最后, 自然地将极限的朴素定义归纳为三点: (1) 随着数列中的项越来越靠后, an越来越接近于A; (2) 只要它的项充分地靠后, an可以与A任意地接近; (3) 存在这样一个时刻, an与A接近到某一程度, 数列中在这个时刻后的各项, 都不会突破这个程度.为定义的精确化打下了基础.

3.逐步引申, 层层深入

朴素的观念, 只是对极限的表面的认识, 但它是向纵深发展的基础.对照上述三条, 可逐步向学生指出: (1) 接近程度可用︱an -A︱的大小描述; (2) 可以任意接近, 我们选取一个可以任意地小的正数ε与︱an -A︱比较, 因此任意接近的意思就变为, 不论ε>0如何小, 总存在数列中的项, 使︱an -A︱比ε更小, 即一定存在n, 使不等式︱an -A︱<ε成立. (3) 这样的时刻, 就是找得到一个N.在这个时刻后即为n>N, 不能突破这个程度, 意为︱an -A︱<ε这一切对n>N的项都成立.最后总结出数列极限的 (ε-N) 定义.这样做由于分散了难点, 无形中起了化整为零的作用.同时由于紧密与上面朴素观念对照, 学生并不感到枯燥、无味、难懂.

4.结合具体实例, 进行总结归纳

在得出了极限的定义后, 结合上面所举的具体例子, 向学生总结归纳以下各点是必要的. (1) 定义中︱an -A︱<ε用来表达an的趋近程度; (2) 不等式︱an -A︱<ε不是数列{an}中的一切项都成立, 即不论ε>0如何小, 不满足不等式的项只能是有限项; (3) 在定义中, 先有ε, 它是任意给定的, N却依赖于ε, 一般来说ε越小, N越大.ε与N的作用是申述an与A的靠近情况, 我们用N之大来使︱an -A︱小得突破ε的限度.

5.采取讲、议、练相结合的教学形式

对等差数列的教学设计 篇8

一、问题设计

在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列：

我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：

0，5，_，_，_，_，。。。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼，如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：

18，_，_，_，_，5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息，按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金€？1+利率€状嫫？

例如，按活期存入1000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：

_，_，_，_，_。

问题：上面的数列有什么共同特点？你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？

二、建立模型

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an+1-an=d

问题：

如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫a，b的等差中项，你能用a，b表示A吗？

你能猜想出问题情境中的3个数列各自的通项公式嗎？

一般地，对于等差数列{an}，你能用基本量a1、d来表示其通项吗？

解法：（1）：归纳：a1=a1，a2=a1+d，a3=a1+2d，…

an=a1+（n—1）d

解法（2）：累加：a2—a1=d，a3—a2=d，…，an+1-an=d，各式相加

得an—a1=（n—1）d

∴an=a1+（n—1）d

〔思考〕

（1）这个通项公式有何特点？是关于n的几次式的形式？d可以等于0吗？

（2）此公式中有几个量？

〔结论〕

（1）等差数列通项公式是关于n的一次式的形式，n的系数为d。当d=0时，该数列为常数列。

（2）此公式中有四个量，即 n，d，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质上是四个量之间的关系。

三、解释应用

1、（1）求等差数列8，5，2，…的第20项。

（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？

2、某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？

解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元，所以，可建立一个等差数列{an}来计算车费。

令a1=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么，当出租车行至14km处时，n=11，此时须要支付车费a11=11.2+（11—1）€？.2=23.2（元）。

答：须要支付车费23.2元。

3、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看an-an-1（n>1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n>1），求差，得

an-an-1=（pn+q）-〔p（n-1）+q〕=pn+q-（pn-p+q）=p

四、拓展延伸

在直角坐标系中，画出通项公式为an=3n-5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点，该图像与y=3x-5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？

通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？

对于两个次数相同的等差数列{an}和{bn}，{an+bn}，{an·bn}·{}（bn=0）是否为等差数列？

总之，教师能否调动学生的积极性和能否真正培养学生能力，提高课堂效率，很大程度上取决于教师能否设计出既符合教材要求又符合学生的认知水平的问题，通过设计一些列问题，层层递进，使问题得到了全面解决，这样不仅锻炼了学生的思维，培养了能力，而且体现了新课程的理念。