数列极限的证明例题

2024-07-19

数列极限的证明例题（共6篇）

数列极限的证明例题篇1

(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:

当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定

11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.定义

如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna,或xna(n).n如果数列没有极限, 就说数列是发散的.注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:

a2axN2x2x1xN1ax3x

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证

注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要

11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n11”的详细推理

（2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有

n1见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是：任给0, 不妨取01，若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得

1成nn(1)n11111< ,只要 n,所以, 取 N[], 则当nN时, 由于xn1=nn1111NN1，所以当nN时一定成立nN1，即得成立.也就

n是成立

n(1)n111.xn1=

nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N.例3证明limq0, 其中q1.nn证

任给0(要求ε<1)若q0, 则limqlim00;

nnn若0q1, xn0q, nlnqln，nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.n0, q1,q1,, n

说明：当作公式利用：limq

数列极限的证明例题篇2

一、辨析概念, 夯实基础

极限思想作为研究函数最基本的方法, 早在古代就有比较清楚的描述。中国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”, 就是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。在19世纪, 柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究, 并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法;曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。极限思想在高中数学函数中的应用越来越大。

众所周知, 常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法, 而是把多种方法加以综合运用。前人在对求函数极限的方法大多是单一的, 没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点, 本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结, 希望对初学者有所帮助。

二、重点总结

笔者通过查阅资料总结出各种求函数极限的计算技巧, 然后结合具体的例子给出这些计算技巧的具体应用, 最后对内容进行整合。常见的求极限的方法有定义法、利用极限四则运算、利用夹逼性定理求极限、利用两个重要极限求极限、用洛必达法则、用定积分求极限、利用无穷小量性质和无穷小量与无穷小量之间的关系、利用变量替换等等方法求极限。此外, 数学归纳法也是常见的方法之一。

(一) 定义: (各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材, 这里不一一叙述) 。

说明: (1) 一些最简单的数列或函数的极限 (极限值可以观察得到) 都可以用上面的极限严格定义证明, 例如:

(2) 在后面求极限时, (1) 中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。

(二) 极限运算法则

定理1已知limf (x) , limg (x) 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有

说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。

(三) 两个重要极限

说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式,

(四) 等价无穷小

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小 (即极限是0) 。

定理3当x→0时, 下列函数都是无穷小 (即极限是0) , 且相互等价, 即有:

说明:当上面每个函数中的自变量x换成g (x) 时 (g (x) →0) , 仍有上面的等价关系成立, 例如:

三、举例解析

极限在高中数学中的应用十分常见, 本文现拟从以下几个例题来探讨求函数极限的方法。

(一) 分类讨论求极限

分两种情况讨论;

说明:先化简, 再求极限是求极限经常用到的方法, 该题考查了数列的基础知识、恒等变形的能力, 分类讨论的数学思想方法和求极限的方法。

(二) 自变量趋向无穷时函数的极限

例求下列极限:

分析:第 (1) 题中, 当x→∞时, 分子、分母都趋于无穷大, 属于“∞/∞”型, 变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂, 再应用极限的运算法则.

说明:“∞/∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法。

(三) 无穷减无穷型极限求解

例求极限:

分析:含根式的函数求极限, 一般要先进行变形, 进行分子、分母有理化, 再求极限。

(四) 利用运算法则求极限

说明:该题计算时, 要先求和, 再求所得代数式的极限, 不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则, 照搬到无限个数列的加、减、乘、除。

(五) 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限

说明:要注意p是与n无关的正整数, 不是无限项, 对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形, 使之成为便于求极限的形式, 以利问题的解决, 经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等。

(六) 零乘无穷型转化为无穷除无穷型

说明:对于这种含有根号的0·∞型的极限, 可采取分子有理化或分母有理化来实现.如本题是通过分子有理化, 从而化为, 即为∞/∞型, 也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即, 完成极限的计算.

(七) 零比零型的极限

(八) 利用数学归纳法求极限

归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法。

(1) 不完全归纳法:根据事物的部分 (而不是全部) 特殊事例得出一般结论的推理方法。

(2) 完全归纳法:根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法。

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用, 用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论。

说明:数学归纳法步骤如下

(1) 验证当取第一个时结论成立;

(2) 由假设当 () 时, 结论成立, 证明当时, 结论成立;

根据 (1) (2) 对一切自然数时, 都成立。

四、总结

在学习数学的过程中, 敢于探索, 善于总结, 是我们学习数学必须具备的素质。本文只是举例说明了在极限中证明中常用的几种方法的运用, 另外还有很多其它方法可以灵活综合的解决问题, 这需要我们平时多观察和总结。同时, 我们需要在解题时能举一反三, 从概念出发深入分析极限与函数在数学中的应用。

一道数列极限证明题的应用与推广篇3

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一道数列极限证明题的应用与推广

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摘要：参政文献【Ｉ】的一道教列极限证明题！鳃√吖＋吼“＋„＋％”一ｍａｘ｛口ｌ，口２，„％｝引入。将她命题推广到函数极限上，用其结论将玩牛拳

一些名援乃熏奎蛋寿夔考研名麓轻松辫决，井ｌｌ八了ｌ；‘下庀令令惹；

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关键词：数列极限考拼应用

中图分类号ｊ０２４２

文献标识码｝Ａ

文章编謦。１６７４一０９８ｘ（２００８）０３（ｅ）一０１３２一０２

１艨题垂现：（《数学分斩》（牮东师大第兰舨）ｐ３４）

溉厅ｉ丽＝一｛口１，咚，„‟｝。

２轻松解题

命题一：设ｄ１，口２，口３，„„，口。是ｍ个正数，证明：

解：南命题二有：熙瓣。｛２：：：：要ｊ芝鬈：：

穰５、竣函数，Ｏ）＝鞋瓣叠＋｜∥，„„„„２００５年全阑繇摇高 ’７㈣’’’数

一、数＝３．２辩推广到函数裔以下结论：

证明：设Ａ一趟ａ】【｛口１，拉２，„％｝，由于：∥≤ｑ”＋啦”＋„÷‟８≤删”烫Ｈ知；鎏厅瓦丽＝＿＝ｍ勰‟啦，„口擗｝。

究嫩入学试题。

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命题三：设ＺＯ），正Ｏ），„，六Ｏ）是ｍ个函数，并且满慰条件（１）

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【馕２】求下歹｝ｌ极限：爨冬”＋扩＋ｃ“罗◇≥魏６≥ｏ＇ｃ≥ｏ）。„„２０００第巾辩院试蘧。

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解：由命题一有：擞０”＋扩＋矿歹＝㈣｛口，６，ｃ｝?

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取口引ｎ麒｛口Ｉ，吃，鸭，„％｝，则有：∑＠一￡，ｙ≤∑ｚ。Ｏ）≤∑＠＋ｅ，ｙ融＝蕊霸敦，￡２，￡，„￡。｝，羹《蠢：

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命题二：设ＺＯ）＇正Ｏ），„，＾Ｏ）是ｍ个函数，并麒满足条件（１）

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万方数据

学术论纭

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Ｑ一￡罗铆ｓ如一￡。罗雌≤∑ｒ社’Ｏ）兰搬０＋￡罗仁’ 手惹；◇一￡罗㈣≤瓴一￡，罗∽≤∑斧鳓冬）≤辨◇＋￡罗ｍ，Ｍ

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出版，２００５．。

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《上揍ｌ３１页》

。，和落实科学发展魂和藏确的政绩麓。都是为了解决发展什么和怎样发展得更好的问解决自身发展审存在的突嬲矛盾和闻籁。一

定要大力弘扬求真务实精神，大兴求真务实之风，按客观规橼办事，不盲翻攀比，不搞旄架予，不急功逅禊，笈一切王传经霉起实践豹捡狻，历史的捻验和群众静徐验。领导予都要

分考虑誊物联系的广滋性，在发展巾注重解决存在的突出矛盾和悯题，实现城乡、区域，经济巷会．Ａ与自然等不霾方嚣的良牲互动。同时，妥善处理好各种誊ｌ益关系，充分调动

一切积极因素。特别要高度重视和关心农民，城市低收入居民和其他困难群众的利益，楚金捺入民赣蔫熬颡富裕购蠢囊稳步兹迸。；

题，都是掇高党的领导水平和执政水平，提蹇全党潮志特爨是备缀领导干部瓣执致

能力静雨簌要求。实践｝正明，一个映乏正

确的政绩观的干部，往往同时也缺笺科学

以自己的示范和带动作用，使科学发展观深入

人心，成为广火干部群众的自觉行动，更好地毙全面建设小壤社会豹伟大攀韭不断攘巍翦

发展观，瓶违背科学发展现的所谓政绩，只毙建发袋陷入富区秘溪区。当翦瓣立正确静改绩畿。遥韬需要落实好囊巾央，国务院提出的带能减排政绩一票否决制，维护好人民的生存，发展空间。总之，贯彻落实辩学发展现，领搏手部

逡？，不断夺取众瑟建设冬藤社会事鼗的新鞋

刹，早日实现寓强，民主，文明，和谐的社

２．３坚持以人为本以人为本是科学发展观的本质和核心，俸境了我们党的执政宗旨。坚持以入

秀本，虢楚要蹙实税、维护稻发襞入民静根本利箍作为一切■作的出发点和落脚点，在经济发展的基础上。不断掇高人民群众的物赁文化生活水平，为充分发挥人的衾主义现代化国家奋斗融标。

楚关键，纛锈导予舒领导拳平豹撵麓又有赖于加强凳的执政能力建设。在党的“十七大”召开之后的相当长的时期内，领导干部树立和落实科学发展观，既是～个重黎甏考麓镄造良舞豹繇凌，提褰久懿整裕素质，促进入的全面发展，要保障人民的经济，政治、文化权箍，切实做副发展为了人民；发展依靠人民、发展成果幽入民共大懿理论瀑遂，又是一磺艰巨懿实羧任务，既要有紧迫感和责任感，又要看到解决发展不平衡问题的艰巨憔，复杂性和长期性。还应当看到，坚持以人为本，努力满足

享，在经济茬会事务管瑾中蓦薰入、关心

入。人的全面发展怒一个长期的渐进的过程，只有随着社会财富的不断增加和社会入涎群众黢雳要霸促进入懿垒瑟发瓣，是

一个不断发展和透步静过程，只有随着社会财富的不断增加和社会文明的持续进文明的持续进步，才能逐步得以实现。因

筵，我嬲必矮麸办簿翔豹辜猿激越，把以太

步，这个翻标才能愈蕊充分地得剿实现。巍这个过程孛，不毙要求过急，｛委期过褰。我国入瑟多，底子薄，幅爨广，差异太，在领导工作中，各地、各部门一定要结禽自己的实际情况，因地制宜，因时制宜地把科学发鼹筏豹要求贯穿手各方蕊戆工作，麸办攥刭的事情骰起，袄追纫需要解决的事请舔鹣，蕾鸯

为本的耩神体现嚣我们的各项置作中去。

树崴正确的政绩ｊ昵。政绩观是发展现在领导业绩上的具体体现，直接反映领导手部默政的份值取淘。辩学发鬏缆翻正确酶致绩躐既耜互医鄹，又密韬联系。褥立ｊ斡｜壬支创掰导报ｓｃｉｅｎｃｅ

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万方数据

一道数列极限证明题的应用与推广

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：赵建红丽江师范高等专学校,云南丽江,674100 科技创新导报 SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD 2008，“"(9)1次

参考文献(8条)1.华东师范大学数学系数学分析 200? 2.薛嘉庆历届考研数学真题解析大全 2006 3.钱吉林数学分析题解精粹 2003 4.董义琳数学分析的范例与习作 1996 5.薛嘉庆高等数学题库精编(理工类)2001 6.G.波利亚数学与猜想(合情推理模式)7.范培华.李永 2006年考研数学全书 8.教育部 2006年全国研究生入学考试数学考试大纲 2005

相似文献(1条)1.期刊论文张华珍用定积分法巧求数列极限-安徽文学（文教研究）2006,”"(12)

本文结合历届考研试题及考研系列习题介绍求极限的一种非常实用的方法--定积分法:利用定积分定义将一类极限问题转化为定积分问题.引证文献(1条)1.余宏杰广义幂平均值函数的极限性质及其应用[期刊论文]-科技创新导报 2009(7)

关于数列极限定义教学的思考篇4

一、“破俗立新”式的导入

学生在学习高等数学前对数列极限定义的认识都是建立在高中教材里对数列极限“通俗直观”定义的基础上的。数列极限的“通俗定义”:当n无限增大时, xn无限趋于常数A。这个基于直观的极限概念看起来好像很清楚, 也便于理解, 为什么需要另外建立严格的、精确的极限概念呢?我们可以从两个方面加以分析, 破除学生的“旧俗”观念。

1. 基本直观作出的判断实际上是一种“有限归纳”

有限归纳很难判断无穷的变化过程, 因为无论计算数列的多少项都不知道在这以后会发生什么情形, 正如克莱因所说, “因为发现苹果是红的, 就断定所有的苹果都是红的, 这就是有限归纳推理, 在数学上是不可靠的”[1]。我们可以用下面的例子验证。

例1令 (n为正整数) , 计算前100项得到x1=9550, x2=4356, x3=2069, x4=1170, x5=743, …x96=0.5642, x97=0.04379, x98=0.3186, x99=0.02061, x100=0.09999。如果仅仅观察前100项, 可能误以为这个数列的极限等于零, 但是实际上数列极限等于1。

再看下面这个例子:

例令 (n为正整数) , 通过计算前100项, 又发现该数列中的每一项随着n的增大, 数列中的数越来越小, 不断靠近零。学生从高中知识体系中易得出该数列的极限为零。一正一反的例子开始让学生感到困惑, 自然地引出了要给数列极限精确定义的另一个原因。

2. 直觉往往是靠不住的

我们用以下例子说明这个问题:

例3[2]某公司招聘新职员, 甲种岗位底薪是1000元/月, 每月加薪200元;乙种岗位底薪是600元/月, 每半月加薪60元, 两种岗位都是每半月发一次薪水。

可能很多人会很直观地选择甲岗位, 甲岗位真的就要比乙岗位的收益增长快吗?我们以列表来说明

从下表数据来看, 到了第22次发薪水时, 乙岗位的薪酬就超过了甲岗位。所以说我们的直觉是靠不住的。

“欲穷千里目, 更上一层楼。”学生自然开始动摇在以前概念基础上建立的思维方式, 进而开始关注新概念的学习。

二、“精俗并用”的教学过程

我们的目的是给学生介绍数列极限的精确定义, 前面的例子让学生对高中的通俗定义产生怀疑, 由于学生已在高中阶段形成固有的思维方式和认知习惯, 往往对通俗直观的教学方法容易接受, 所以在高等数学教学中我们依然要“精俗并用”。

现在我们来看看高等数学教材中关于数列极限的精确定义。

定义[3]:设为一数列, 如果存在常数A对于任意给定的正数ε (无论它多么小) , 总存在正整数N, 使当n>N时, 不等式|xn-A|<ε都成立, 那么就称常数A是数列的极限, 或者称数列收敛于A。记为

数列极限的这个定义有以下几个特点:

1. 用常量描述变量

极限是变量的一种特定的变化趋势, 但是在这个概念中使用的方法是用常量描述变量的变化趋势, 其中ε和N式两个相对的常量, 用ε和N两个常量以及关于它们的不等式|xn-A|<ε (n>N) 就能确定数列通项无限趋近A的事实。

2. 颠倒自变量与因变量的因果关系

数列可以看成以自然数n为自变量的函数, 即f (n) =xn, n∈N。描述通项xn无限接近A的方法不是紧盯因变量xn的变化趋势, 而是对数列通项提出要求|xn-A|<ε (n>N) 。然后寻找使得这个不等式成立的N。这是一种颠倒因果关系、“以静制动”的处理方法。

3. 概念直观性强

极限概念可以给出一个非常直观的解释:对于任意正数ε, 以点A为中心作任意开区间 (A-ε, A+ε) 。总存在一个正整数N, 当n超过N时, xn就会进入这个区间, 并且一旦进入就不再离开, 于是至多有N个数在开区间外, 于是我们看到一种无限追求和“义无反顾”的精神。

要使初学者很快地感到“ε-N”方法的思维方式和美学意境, 抓住定义中的三个重要因素“ε”“N”以及“|xn-A|<ε”, 并辅助性地赋予直观的、感性的称谓, 便能达到事半功倍的效果。

首先, 从“|xn-A|<ε”说起, 显然“|xn-A|<εA-ε

有了对以上三个重要因素直观、形象的称呼, 那么比较难以理解的数列极限的精确定义就显得通俗易懂了。实际上, 我们无法在数轴上准确地量化出数列中的数, 随着n的增大, 无限靠近数A。于是从另一个角度来刻画这个变化的过程, 即在数轴上, 任意给定一个以A为中心, ε为半径的邻域后, 它都能包含这个数列xn中某项后的无穷多个数, 也就是数列xn中有无穷多个数会密密麻麻地分布在A的周围, 哪怕这个邻域再小也是如此。有了以上的体会, 我们就可以把数列极限定义通俗形象地描述成:数列xn的极限为A, 也就是任意给定一个装有数A的半径口非常非常小的口袋 (即邻域U (A, ε) ) , 总可以找到一个与之对应的阀门 (即存在正整数“N”) , 过了这个阀门 (即当n>N) , 所有的数xn都装在这个“口袋”之中。口袋的大小是可以任意小的, 即便如此, 该数列中始终有无穷无尽的数会落进口袋。 (如图1所示)

这样的描述, 能加深对数列极限的理解, 从而能更好地运用该定义证明相关问题。下面通过使用以上对极限定义的描述, 补充说明高等数学教材中有关于数列极限唯一的证明。

性质1[4]如果数列xn收敛, 那么它的极限唯一。

分析:反证法, 假设同时有xn→a及xn→b且a

那么按照对数列极限定义的通俗描述, 对于“xn→a”, 则给定一个装有a的具有一定大小的“口袋”U (a, ε1) , 一定能找到与之对应的阀门N (ε1) , 过了此阀门N (ε1) , 数列中后面的所有项全部装进该口袋中。同时对于“xn→b”, 也给定一个装有b的具有一定大小的“口袋”U (b, ε2) , 一定能找到与之对应的阀门N (ε2) , 过了此阀门N (ε2) , 数列中后面的所有项全部装进该口袋中。只要我们想办法构造两个不同的“口袋”, 那么数列中的分别装到口袋1与口袋2共同的数就不应该同时在两个不同的口袋里。于是有如下证明 (如图2所示) :

取故ƎN1, 当n>N1时, 不等式成立。 (1)

同理, 因为, 故ƎN2, 当n>N2时, 不等式成立。 (2)

取, 则当n>N时, (1) 与 (2) 都成立。

由 (1) 式有, 由 (2) 式有, 这是不可能成立的矛盾。

三、“理性升华”提升自主学习能力

反复回味数列极限“形象”描述, 便可以不断升华对概念的理解, 进而达到对此概念的学以致用, 下面通过数列极限保号性的证明和分析加以说明。

性质2[5]:如果, 且a>0, 那么存在正整数N>0, 当n>N时, 都有xn>0。

很多初学者对教材证明中为什么可以取感到困惑。若深刻理解数列极限定义后, 不难发现要完成证明, 只需找到合适的口袋, 过了相应的阀门N后, 数列中所有的数都装在此口袋中。只不过这时口袋需要放在数轴原点的右边, 结合数轴可以看到, 因为a>0, 只需取口袋半径小于的数即可, 通常取便完成证明。

“ε-N”方法是一种寓意深刻且丰富的思维方式, 它以科学的方式陈述了数列极限的概念, 从而对于变量的变化趋势作出了定量的、可以观测的表述, 能够将以后教材中导数和积分等基本概念置于科学的基础上。介于它的重要性, 教师有必要采取适当的教学方法帮助初学者深入地理解数列极限的定义, 使其达到期望的教学目标。

摘要：本文阐述了在教学实践中如何引入对数列极限形象直观描述的教学方法, 丰富高等数学教学中的教学手段, 以帮助学生深刻理解数列极限的精确定义。

关键词：数列极限,邻域,口袋,阀门

参考文献

[1][2]克莱因.数学与知识的探求[M].刘志勇译.上海:复旦大学出版社, 2005.

数列极限求解的几种常用方法篇5

关键词：数列极限,求解,方法

数列极限是学习微积分理论的基础,它的求解方法也是后续学习函数极限理论的先决条件。数列极限的求法有很多种,我们不能一一列举,而数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的,这里我们总结几种数列极限求解的常用方法,希望对大家在学习数列极限乃至日后学习函数极限的过程有所帮助。

一、利用定义法求数列极限

二、利用基本定理求数列极限

这种方法是根据部分已知数列极限,通过进行四则运算来求解数列极限的。

三、利用极限存在的准则求数列极限

证明:因为

四、利用重要极限求数列极限

五、利用微分中值定理求数列极限

Lagrange中值定理是微分学中重要的基本定理,其应用特别广泛,这里我们举例说明如何利用它来求解数列极限。

以上对求解数列极限的方法进行了简单的总结,在实际学习中很多题是多种方法综合运用加以求解的。例如求解数列极限时,首先应该观察数列的形式,进而选择适当的方法进行求解,只有方法得当,才能准确、快速、灵活地求解极限。

参考文献

数列极限的证明例题篇6

高一年级苏教版教材必修5第52页上有这样一道例题:某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房, 月利率3.375‰, 按复利计算, 每月等额还贷一次, 并从贷款后的次月开始还贷.如果10年还清, 那么每月应还贷多少钱?

课本上的解法是根据银行对分期付款的两个规定: (1) 分期付款为复利计息, 每期付款相同, 且期末付清; (2) 到最后一次付款时, 各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.得到分期付款的数学表达式:

x[ (1+r) n-1+ (1+r) n-2+ (1+r) n-3+…+ (1+r) +1]=a (1+r) n (其中某商品一次性付款的款额为a, 分期付款的形式等额地分成n次付清, 每期期末所付款额是x元, 期利率为r) , 化简得到分期付款的数学模型 $x = \frac{a r (1 + r)^{n}}{(1 + r)^{n} - 1} .$