高一数学考点（共8篇）
高一数学考点 篇1
1.集合(元素特性、表示法)；2.子集（真子集、个数）;
3.补集、交集、并集的运算;4.逻辑连结词（或且非）;
7.四种命题（原、逆、否、逆否）;8.充要条件（等价转化）.二、函数
1.映射（像的唯
一、对应法则）;2.函数（表示法、分段、三要素的求法）;
3.函数的性质（单调、奇偶、周期、最值、极值）;
4.初等函数（指数、对数、幂函数）
5.函数的应用举例（零点、二分法、恒成立）.三、数列
1.数列（递推）;2.等差、等比数列（通项、前n项和）;
3.数列性质（增减性、通项、求和、最值）;
4.推理与证明（综合法、分析法、反正法、数学归纳法）;
四、三角函数
1.角的概念（象限、终边）;2.弧度制（与角度转化、扇形、弧长）;
3.任意角的三角函数（特殊角、常用三角函数的图像、变换）;
4.三角函数的性质（奇偶性、周期性、最值）5,单位圆中的三角函数线;
6.三角函数关系（基本关系式、诱导公式、和差化积、二倍角）;
7.解三角形（正弦、余弦定理、面积）
五、平面向量
1.向量（零向量、单位向量、平移、坐标）2.向量的运算（加减、数乘、数量积）；
3.线段的定比分点（坐标运算）；4.向量的应用（相等、共线、垂直、夹角）
六、不等式
1.不等式的解法（整、分式，绝对值，含参，恒成立）；
2.不等式的证明（作差，作商、反证、特殊值）；
3.不等式的基本性质（基本不等式、均值关系）；
高一数学考点 篇2
考点1 分类加法计数原理
在利用分类加法计数原理解题时, 首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准, 标准要统一, 不能遗漏;其次要确保每类做法中每一种方法都能完成这件事情, 类与类之间是独立的.
例1 有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学, 在数学检测时要求每位教师不能在本班监考, 则监考的方法有 ( ) .
(A) 8种 (B) 9种
(C) 10种 (D) 11种
解析:设四位监考教师分别为A, B, C, D, 所教班级分别为a, b, c, d.假设A监考b, 则余下三人监考剩下的三个班级, 共有3种不同方法.同理, 当A监考c, d时, 也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理知, 监考方法共有3+3+3=9种.故选B.
考点2 分步乘法计数原理
在利用分步乘法计数原理解题时, 首先要明确题目中的“完成这件事”是什么, 然后将完成这件事划分成几个步骤来完成, 每步都是独立的, 且各步骤之间有一定的连续性, 只有当所有步骤都完成了, 整个事件才算完成, 这是分步的基础, 也是关键.
例2 一个乒乓球队里有5名男队员, 4名女队员, 从中选出男、女队员各1名组成混合双打, 共有___种不同的选法.
解析:“完成这件事”需选出男、女队员各1名, 可分两步进行:第一步选1 名男队员, 有5种选法;第二步选1名女队员, 有4种选法.所以共有5×4=20种选法.
考点3 两个计数原理的综合应用
在考题中, 两个计数原理一般是联合在一起来考查的, 经常是先分类再分步.常见的题型有: (1) 与数字有关的问题; (2) 涂色问题; (3) 方程解的个数问题.
例3 有一个圆被两相交弦分成四块, 现在用5种不同颜料给这四块涂色, 要求共边两块颜色互异, 每块只涂一色, 共有多少种涂色方法?
解析:如图所示, 分别用a, b, c, d表示这四块区域, a与c可同色也可不同色, 可先考虑给a, c两块涂色, 需分两类:
(1) 给a, c涂同种颜色共5种涂法, 再给b涂色有4种涂法, 最后给d涂色也有4种涂法.由分步乘法计数原理知, 此时共有5×4×4种涂法.
(2) 给a, c涂不同颜色共有5×4=20种涂法, 再给b涂色有3种涂法, 最后给d涂色也有3种涂法, 此时共有20×3×3种涂法.
故由分类加法计数原理知, 共有5×4×4+20×3×3=260种涂法.
考点4 排列
解决有限制条件的排列问题的主要方法有:“在”与“不在”问题的原则是谁“特殊”谁优先, 既可以从元素入手, 也可以从位置入手.相邻问题的解决方法是“捆绑法”, 但要注意捆绑元素的内部排列.不相邻问题的解决方法是“插空法”.定序问题可以先不考虑顺序限制, 排列后, 再除以定序元素的全排列.有些问题从正面考虑比较复杂, 可采用“间接法”, 从其反面入手解决问题.
例4 将A, B, C, D, E排成一列, 要求A, B, C在排列中顺序为“A, B, C”或“C, B, A” (可以不相邻) , 这样的排列共有 ( ) .
(A) 12种 (B) 20种
(C) 40种 (D) 60种
解析:五个元素没有限制时的全排列数为A55, 由于要求A, B, C的次序一定 (按A, B, C或C, B, A) , 因此除以这三个元素的全排列数A33, 可得满足题意的排列共有种.故选C.
考点5 组合问题
组合问题中典型的问题有: (1) “含”与“不含”的问题.若“含”, 则先将这些元素取出, 再取另外的元素;若“不含”, 则先将这些元素剔除, 再从剩下的元素中去选取. (2) 对于“至少”“最多”的问题可以用直接法或间接法来求解, 但是用直接法分类复杂时, 可用间接法减少计算量.
例5 某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2 个项目作为本年度要启动的项目, 则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是 ( ) .
(A) 15 (B) 45
(C) 60 (D) 75
解析:从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目, 所有的选法种数是C42×C62=90.
重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C32×C52=30, 因此重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90-30=60.故选C.
考点6 排列与组合的综合应用
解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素 (位置) 的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说, 解排列组合问题常以元素 (位置) 为主体, 需先满足特殊元素 (位置) , 再考虑其他元素 (位置) .
例6 将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张, 其中标号为1, 2的卡片放入同一信封, 则不同的放法共有_____种.
解析:先放1, 2的卡片有C31种放法, 再将3, 4, 5, 6的卡片平均分成两组再放置, 有种放法, 故共有C31·C42=18种放法.
考点7 二项展开式问题
常见的二项展开式问题有: (1) 求二项展开式中的第n项, 则可依据二项展开式的通项公式直接求出第n项. (2) 求二项展开式中的特定项, 则可依据条件写出第 (r+1) 项, 再由特定项的特点求出r值即可. (3) 已知二项展开式的某项, 求特定项的系数, 则可由某项得出参数项, 再由通项公式写出第 (r+1) 项, 由特定项得出r值, 最后求出参数值.
例7的展开式中x2y2的系数为_____ (用数字作答) .
解析:二项展开式的通项, 由此可知要求x2y2的系数, 需满足, 解得r=4.所以x2y2的系数为 (-1) 4C48=70.
考点8 二项式系数或展开式各项系数之和
“赋值法”普遍适用于恒等式, 是一种重要的方法, 对形如 (ax+b) n, (ax2+bx+c) m (a, b∈R) 的式子, 求其展开式的各项系数之和, 常要用到赋值法, 只需令x=1即可;对形如 (ax+by) n (a, b∈R) 的式子求其展开式的各项系数之和, 只需令x=y=1即可.
例8 若展开式的各项系数的绝对值之和为1024, 则展开式中x的一次项的系数为_____.
因为展开式的各项系数的绝对值之和为Cn0+| (-3) 1Cn1|+ (-3) 2Cn2+| (-3) 3Cn3|+…+| (-3) nCnn|=1 024,
所以 (1+3) n=1 024, 解得n=5.
令, 解得r=1.
所以展开式中x的一次项的系数为 (-3) 1C51=-15.
考点9 展开式中系数的最值问题
若求二项式系数最大的项, 根据二项式系数的性质可知, 当n为奇数时中间两项的二项式系数最大, 当n为偶数时中间一项的二项式系数最大.但是注意求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的, 求解时需注意各项系数的正、负变化情况, 一般采用列不等式、解不等式的方法求得.
例9 设m为正整数, (x+y) 2m的展开式中二项式系数的最大值为a, (x+y) 2m+1的展开式中二项式系数的最大值为b, 若13a=7b, 则m= ( ) .
(A) 5 (B) 6
(C) 7 (D) 8
解析:已知m为正整数, 由题意及二项式系数的性质可知, a, 所以1, 即, 则13· (m+1) =7 (2m+1) , 解得m=6.故选B.
考点10 整除问题
利用二项式定理解决整除问题时, 求解的关键是对二项式进行合理地变形构造, 应注意:要证明一个式子能被另一个式子整除, 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.求余数问题时, 应明确被除式f (x) 与除式g (x) (g (x) ≠0) , 商式q (x) 与余式的关系及余式的范围.
例10 设a∈Z, 且0≤a≤13, 若512016+a能被13整除, 则a=_____.
解析:由题意, 得512016+a= (1-13×4) 2016+a=a+1-C12016×13×4+C22016× (13×4) 2+…+ (13×4) 2016, 显然当a+1=13k (k∈Z) 时, 512016+a的各项都是13 的倍数, 因此能被13整除.所以此时a=13k-1 (k∈Z) .又0≤a≤13, 所以当k=1时, a=12.
配套练习:
1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数” (如2 013是“六合数”) , 则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 ( ) .
(A) 18个 (B) 15个
(C) 12个 (D) 9个
2.从2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数, 则可以组成不同对数值的个数为 ( ) .
(A) 56 (B) 54
(C) 53 (D) 52
3.若自然数n使得作竖式加法n+ (n+1) + (n+2) 均不产生进位现象, 则称n为“良数”.例如:32是“良数”, 因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”, 因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000 的 “良数”的个数为 ( ) .
(A) 27 (B) 36
(C) 39 (D) 48
4.数列{an}共有12项, 其中a1=0, a5=2, a12=5, 且|ak+1-ak|=1, k=1, 2, 3, …, 11, 则满足这种条件的不同数列的个数为 ( ) .
(A) 84 (B) 168
(C) 76 (D) 152
5.由1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的六位数, 要求奇数不相邻, 且4不在第四位, 则这样的六位数共有_______个.
6.全国运动会举行期间, 某校4名大学生申请当A, B, C三个比赛项目的志愿者, 组委会接受了他们的申请, 每个比赛项目至少分配一人, 每人只能服务一个比赛项目, 若甲要求不去服务A比赛项目, 则不同的安排方案共有_____种.
7.若二项式 (2x-a/x) 7的展开式中1/x3的系数是84, 则实数a=.
8.若的展开式中各项系数的和为2, 则该展开式中的常数项为_____.
9.设的展开式的各项系数的和为P, 所有二项式系数的和为S, 若P+S=272, 则n=______.
10.32n+2-8n-9 (n∈N*) 被64除的余数是.
练习答案:
1.B. 2.D. 3.D.
4.A.因为|ak+1-ak|=1, k=1, 2, 3, …, 11, 所以前一项总比后一项大1或小1.易知a1到a5有3次增加1, 1次减少1, 从a5到a12有5次增加1, 2次减少1, 所以满足题意的数列有C41·C72=84个.
5.120. 6.24. 7.1.
8.40.令x=1, 即可得到 (x+a/x) (2x-1/x) 5的展开式中各项系数的和为1+a=2, 所以a=1.因此 (x+a/x) (2x-1/x) 5= (x+1/x) (2x-1/x) 5, 要找其展开式中的常数项, 需要找 (2x-1/x) 5的展开式中含x和1/x的项. (2x-1/x) 5的展开式的通项是Tr+1=Cr5 (2x) 5-r (-1/x) r= (-1) r·25-r·Cr5x5-2r.令5-2r=1, 得r=2;令5-2r=-1, 得r=3.所以有80x和- (40) /x项, 将其分别与1/x和x相乘, 再相加, 即得该展开式中的常数项为80-40=40.
9.4.
(安徽余其权)
十、统计及统计案例部分
考点1 简单随机抽样
简单随机抽样是一种不放回抽样, 是等概率抽样, 抽签法适用于总体中个体数较少的情况, 随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
例1 对于简单随机抽样, 下列说法中正确的命题为_____ (填序号) .
(1) 它要求被抽取样本的总体的个数有限, 以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析; (2) 它是从总体中逐个地进行抽取, 以便在抽取实践中进行操作; (3) 它是一种不放回抽样; (4) 它是一种等概率抽样, 不仅每次从总体中抽取一个个体时, 各个个体被抽取的概率相等, 而且在整个抽样过程中, 各个个体被抽取的概率也相等, 从而保证了抽样的公平性.
解析: (1) (2) (3) (4) .
考点2系统抽样
在系统抽样的过程中, 要注意分段间隔, 需要抽取几个个体, 样本就需要分成几个组.
例2 某校高一、高二、高三的学生人数分别为495, 493, 482, 现采用系统抽样方法, 抽取49人做问卷调查, 将高一、高二、高三学生依次随机按1, 2, 3, …, 1470编号, 若第1组由简单随机抽样方法抽取的号码为23, 则高二应抽取的学生人数为 ( ) .
(A) 15 (B) 16
(C) 17 (D) 18
解析:由系统抽样方法知, 按编号依次每30个编号作为一组, 共分49组, 高二学生的编号为496到988, 在第17组到第33组内, 第17组抽取的编号为16×30+23=503, 为高二学生, 第33组抽取的编号为32×30+23=983, 为高二学生, 因此抽取高二学生的人数为33-16=17.故选C.
考点3 分层抽样
分层抽样一般有三个步骤:首先, 将总体进行分层.其次, 确定每个分层在总体上的比例.利用这个比例, 可计算出样本中每层应抽取的个数.最后, 用简单随机抽样从每层中抽取样本.
例3 某校有教师200 人, 男学生1200人, 女学生1000人, 用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本, 已知女学生抽取的人数为80, 则n的值为______.
解析:根据分层抽样的意义, , 解得n=192.
考点4 频率分布直方图的绘制与应用
解决频率分布直方图的有关问题时要抓住以下几点: (1) 直方图中各小长方形的面积之和为1. (2) 直方图中纵轴表示因此每组样本的频率为, 即矩形的面积. (3) 直方图中每组样本的频数为频率×总体数.
例4 样本容量为1000的频率分布直方图如图1所示.根据样本的频率分布直方图计算, x的值为_____, 样本数据落在[6, 14) 内的频数为_______.
解析:由0.02+0.08+x+2×0.03=1/4, 得x=0.09, 样本数据落在[6, 14) 内的频数为 (0.08+0.09) ×4×1000=680.
考点5 茎叶图的画法及其应用
平均数反映了数据取值的平均水平.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小:标准差、方差越大, 数据的离散程度就越大, 越不稳定;标准差、方差越小, 数据的离散程度越小, 越稳定.
例5 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训, 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次, 记录如下:
(1) 用茎叶图表示这两组数据.
(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛, 从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
解析: (1) 作出茎叶图如图2.
(2) 派甲参赛比较合适, 理由如下:
因为, s2甲<s乙2, 所以甲的成绩较稳定, 派甲参赛比较合适.
考点6 用样本的数字特征估计总体的数字特征
同学们要理解“众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系”, 众数:取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数;中位数:在频率分布直方图中, 把频率分布直方图分成左、右面积相等的两部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.平均数:平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
例6 某校100名学生期中考试的语文成绩的频率分布直方图如图3所示, 其中成绩的分组区间是[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100].
(1) 求图中a的值;
(2) 根据频率分布直方图, 估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3) 若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数 (x) 与数学成绩在相应分数段的人数 (y) 之比如下表所示, 求数学成绩在[50, 90) 之外的人数.
解析: (1) 由频率分布直方图可知, (2a+0.04+0.03+0.02) ×10=1, 解得a=0.005.
(2) 由频率分布直方图估计这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73 (分) .
(3) 由频率分布直方图及表中数据, 得
故数学成绩在[50, 90) 外的人数是100-5-20-40-25=10.
考点7 相关关系的判断
判定两个变量正、负相关性的方法:
(1) 画散点图:点的分布从左下角到右上角, 两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角, 两个变量负相关. (2) 相关系数:当r>0时, 两个变量正相关;当r<0时, 两个变量负相关. (3) 线性回归系数^b:当^b>0时, 两个变量正相关;当^b<0时, 两个变量负相关.
例7 四名同学根据各自的样本数据研究变量x, y之间的相关关系, 并求得相应的回归直线方程, 现得到以下四个结论:
其中一定的结论的序号是 () .
(A) (1) (2) (B) (2) (3)
(C) (3) (4) (D) (1) (4)
解析:在 (1) 中, y与x不是负相关, (1) 一定不正确;同理 (4) 也一定不正确.故选D.
考点8 线性回归方程
求回归方程的关键在于正确求出参数由于的计算量大, 计算时应仔细谨慎, 避免因计算而产生错误.另外, 在根据回归方程进行预报时, 得出的仅是一个预报值, 而不是真实发生的值.
例8 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据:
(2) 预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从 (1) 中的关系, 且该产品的成本是4元/件, 为使工厂获得最大利润, 该产品的单价应定为多少元? (利润=销售收入-成本)
(2) 设工厂获得的利润为L元, 依题意, 得L=x (-20x+250) -4 (-20x+250) =-20x2+330x-1000=-20 (x-8.25) 2+361.25.当且仅当x=8.25时, L取得最大值.
故当单价定为8.25元时, 工厂可获得最大利润.
考点9独立性检验
独立性检验的关键是根据2×2列联表准确计算出K2的观测值k.若2×2列联表没有列出来, 则要先列出此表.
例9某研究小组为了研究中学生的身体发育情况, 在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生, 将他们的身高和体重制成如下所示的2×2的列联表, 根据列联表的数据, 可以有______%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
附:
解析:由表中数据得K2的观测值.
所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
配套练习:
1.总体由编号为01, 02, …, 19, 20的20个个体组成, 利用下面的随机数表选取5个个体, 选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第5个个体的编号为 () .
(A) 08 (B) 07
(C) 02 (D) 01
2.将参加夏令营的600名学生编号为001, 002, …, 600, 现采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本, 且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区, 从001到300在第Ⅰ营区, 从301到495在第Ⅱ营区, 从496到600在第Ⅲ营区, 三个营区被抽中的人数依次为 () .
(A) 26, 16, 8 (B) 25, 17, 8
(C) 25, 16, 9 (D) 24, 17, 9
3.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人, 其中高三学生是高一学生的两倍, 高二学生比高一学生多300人, 现在按1/ (100) 的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本, 则高一学生应抽取的人数为 () .
(A) 8 (B) 11
(C) 16 (D) 10
4.根据如下样本数据
得到的回归方程为, 则 () .
(A) ^a>0, ^b>0 (B) ^a>0, ^b<0
(C) ^a<0, ^b>0 (D) ^a<0, ^b<0
5.春节期间, “厉行节约, 反对浪费”之风悄然吹开, 某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动, 得到如下的列联表:
附:
参照附表, 得到的正确结论是 () .
(A) 在犯错误的概率不超过1%的前提下, 认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
(B) 在犯错误的概率不超过1%的前提下, 认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
(C) 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
(D) 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
6.为了解本市的交通状况, 某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三组, 从13点到18点, 分别对三个路口的机动车通过情况进行了实际调查, 并绘制了频率分布直方图 (如图1) .若定义“总体平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和”, 则甲、乙、丙三组所调查数据的总体平均数的估计值的大小关系为_______.
7.从某校随机抽取100名学生, 获得了他们一周课外阅读时间 (单位:小时) 的数据, 整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如下:
(1) 从该校随机选取一名学生, 试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2) 求频率分布直方图中的a, b的值;
(3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写出结论) .
8.已知某单位有50名职工, 现要从中抽取10名职工, 将全体职工随机按1~50编号, 并按编号顺序平均分成10组, 按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样.
(1) 若第5组抽出的号码为22, 写出所有被抽出职工的号码;
(2) 分别统计这10名职工的体重 (单位:公斤) , 获得体重数据的茎叶图如图3所示, 求该样本的方差;
(3) 在 (2) 的条件下, 从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤 (≥73公斤) 的职工, 求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.
9.某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:
(1) 利用所给数据求年需求量 (y) 与年份 (x) 之间的线性回归方程;
(2) 利用 (1) 中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量.
练习答案:
1.D.2.B.3.A.4.B.5.C.
7. (1) 根据频数分布表, 100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名, 所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.
所以从该校随机选取一名学生, 估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2) 课外阅读时间落在组[4, 6) 内的有17人, 频率为0.17, 所以.
课外阅读时间落在组[8, 10) 内的有25人, 频率为0.25, 所以.
(3) 样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
8. (1) 由题意, 第5组抽出的号码为22.因为k+5× (5-1) =22, 所以第1组抽出的号码应该为2.所以抽出的10名职工的号码分别为2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47.
(3) 从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工, 共有10种不同的取法: (73, 76) , (73, 78) , (73, 79) , (73, 81) , (76, 78) , (76, 79) , (76, 81) , (78, 79) , (78, 81) , (79, 81) .记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A, 它包括的事件有 (73, 76) , (76, 78) , (76, 79) , (76, 81) , 共4个.故所求概率为.
9. (1) 由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升的, 下面来求线性回归方程, 先将数据处理如下:
由表中数据容易算得
所以所求线性回归方程为.
(2) 利用所求得的线性回归方程, 可预测2016年的粮食需求量大约为6.5× (2016-2010) +260.2=6.5×6+260.2=299.2 (万吨) .
(安徽余其权)
十一、概率、离散型随机变量及其分布部分
考点1 随机事件的关系
互斥事件是不能同时发生的, 而对立事件除了不能同时发生外, 其并事件应为必然事件, 这些可类比集合进行理解, 具体应用时, 可把所有试验结果写出来, 看所求事件包含哪些试验结果, 从而断定所给事件的关系.
例1 给出下列命题: (1) 将一枚硬币抛两次, 设事件M:“两次出现正面”, 事件N:“只有一次出现反面”, 则事件M与N互为对立事件; (2) 若事件A与B互为对立事件, 则事件A与B为互斥事件; (3) 若事件A与B为互斥事件, 则事件A与B互为对立事件; (4) 若事件A与B互为对立事件, 则事件A∪B为必然事件.其中, 真命题是 ( ) .
(A) (1) (2) (4) (B) (2) (4)
(C) (3) (4) (D) (1) (2)
解析:对于 (1) , 一枚硬币抛两次, 共出现{正, 正}, {正, 反}, {反, 正}, {反, 反}四种结果, 则事件M与N是互斥事件, 但不是对立事件, 因此 (1) 错.对于 (2) , 对立事件首先是互斥事件, 因此 (2) 正确.对于 (3) , 互斥事件不一定是对立事件, 如 (1) 中两个事件, 因此 (3) 错.对于 (4) , 若事件A, B互为对立事件, 则一次试验中A, B一定有一个要发生, 因此 (4) 正确.故选B.
考点2 随机事件的频率与概率
频率是个不确定的数, 在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性的大小, 却无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小, 但从大量重复试验中发现, 随着试验次数的增多, 事件发生的频率就会稳定于某一固定的值, 该值就是概率.
例2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球, 目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示:
(1) 计算表中乒乓球优等品的频率;
(2) 从这批乒乓球产品中任取一个, 质量检查为优等品的概率是多少 (结果保留到小数点后三位) ?
解析: (1) 依据公式f=m/n, 计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900, 0.920, 0.970, 0.940, 0.954, 0.951.
(2) 由 (1) 知, 抽取的球数n不同, 计算得到的频率值不同, 但随着抽取球数的增多, 频率在常数0.950的附近摆动, 所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
考点3 互斥事件、对立事件的概率
求解某些较复杂的概率问题, 通常有两种方法:一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和, 然后利用概率加法公式求其值;二是求此事件A的对立事件的概率, 然后利用可得解.
例3 某工厂的产品分为合格品和次品两类, 而合格品又分为一级品、二级品、三级品三档, 在正常生产的条件下, 出现“一级品”的概率为0.5, 出现“二级品或三级品”的概率为0.45, 求出现次品的概率.
解析:设A={出现一级品}, B={出现二级品或三级品}, C={出现合格品}, D={出现次品}.
故出现次品的概率为0.05.
考点4古典概型的求法
解答有关古典概型的概率问题, 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数, 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.
例4 一个三位自然数百位, 十位, 个位上的数字依次为a, b, c, 当且仅当a>b, b<c时称其为“凹数” (如213, 312等) , 若a, b, c∈{1, 2, 3, 4}, 且a, b, c互不相同, 则这个三位数为“凹数”的概率是______.
解析:由1, 2, 3组成的三位自然数为123, 132, 213, 231, 312, 321, 共6个;同理, 由1, 2, 4组成的三位自然数共6个;由1, 3, 4组成的三位自然数也是6个;由2, 3, 4组成的三位自然数也是6个.所以共有6+6+6+6=24个三位自然数.
当b=1时, 有214, 213, 312, 314, 412, 413, 共6个“凹数”.当b=2时, 有324, 423, 共2个“凹数”.所以三位数为“凹数”的概率.
考点5 与长度有关的几何概型
解答关于长度的几何概型问题, 只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度, 即可利用几何概型的概率计算公式求解.此处的“长度”可以是线段的长短, 也可以是时间的长短等.
例5在区间[-π/2, π/2]上随机取一个数x, 则cos x的值介于0到1/2之间的概率为_______-.
解析:当-π/2≤x≤π/2时, 由0≤cos x≤1/2, 得.由几何概型概率公式, 得所求概率为1/3.
考点6 与面积有关的几何概型
当题目中的基本事件与二维数组有关时, 可以将问题转化为与面积有关的几何概型的概率问题.
例6 P为圆C1:x2+y2=9上任意一点, Q为圆C2:x2+y2=25 上任意一点, PQ的中点组成的区域为M , 在C2内部任取一点, 则该点落在区域M上的概率为________.
解析:设Q (x0, y0) , 中点M (x, y) , 则将P (2x-x0, 2y-y0) 代入x2+y2=9, 得 (2x-x0) 2+ (2y-y0) 2=9, 化简, 得.又x02+y20=25表示以原点为圆心、半径为5的圆, 易知M的轨迹是以为圆心、以3/2为半径的圆绕原点一周所形成的图形, 即以原点为圆心、宽度为3的圆环带, 应有x2+y2=r2 (1≤r≤4) .故在C2内部任取一点落在M内的概率为.
考点7 与体积有关的几何概型
对于与体积有关的几何概型问题, 求解的关键是计算问题的总体积 (总空间) 以及事件的体积 (事件空间) , 对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
例7 已知正四面体ABCD的体积为V, P是正四面体ABCD内部的点.
(1) 设 “VP-ABC≥ (1/4) V”的事件为X, 求概率P (X) ;
(2) 设的事件为Y, 求概率P (Y) .
解析: (1) 分别取DA, DB, DC上的点E, F, G, 并使DE=3EA, DF=3FB, DG=3GC, 连结EF, FG, GE, 则平面EFG∥平面ABC.
当P在正四面体DEFG内部运动时, 满足.
(2) 在AB上取点H, 使AH=3 HB, 在AC上取点I, 使AI=3IC, 在AD上取点J, 使AJ=3JD, 则P在正四面体AHIJ内部运动时, 满足.结合 (1) , 当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动, 即P在正四面体EMNJ内部运动时, 同时满足, 于是.
考点8 离散型随机变量的分布列的性质
在解题中, 常需利用分布列中各概率之和为1求有关参数的值, 此时要注意检验, 以保证每个概率值均为非负;另外, 若ξ为随机变量, 则2ξ+1, |ξ-1|等仍然为随机变量, 求它们的分布列时, 可先求出相应的随机变量的值, 再根据对应的概率写出分布列.
例8 设离散型随机变量X的分布列为
求: (1) 2 X+1的分布列;
(2) |X-1|的分布列.
解析:由分布列的性质知, 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 所以m=0.3.
首先列表为
从而由上表及题意可得所求两个分布列如下:
(1) 2 X+1的分布列为
(2) |X-1|的分布列为
考点9 求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量X的分布列的步骤: (1) 理解X的意义, 写出X可能取的全部值; (2) 求X取每个值的概率; (3) 写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率, 在求解时, 要注意应用计数原理、古典概型等知识.
例9 某校校庆, 各届校友纷至沓来, 某班共来了n位校友 (n>8且n∈N*) , 其中女校友6位, 组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单, 现随机从中选出2位校友代表, 若选出的2位校友是一男一女, 则称为“最佳组合”.
(1) 若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1/2, 求n的最大值;
(2) 当n=12时, 设选出的2位校友代表中女校友人数为X, 求X的分布列.
解析: (1) 由题意可知, 所选2人为“最佳组合”的概率为, 化简, 得n2-25n+144≤0, 解得9≤n≤16.
故n的最大值为16.
(2) 由题意, 得X的可能取值为0, 1, 2, 则.
所以X的分布列为
考点10 超几何分布
超几何分布描述的是不放回抽样问题, 随机变量为抽到的某类个体的个数, 随机变量取值的概率实质上是古典概型.
例10 在15个村庄中有7个村庄交通不方便, 现从中任意选10个村庄, 用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数, 则下列概率中等于的是 ( ) .
(A) P (X=2) (B) P (X≤2)
(C) P (X=4) (D) P (X≤4)
解析:X服从超几何分布, , 则k=4.故选C.
考点11 条件概率
求条件概率, 一般有两种方法:一是对于古典概型类题目, 可采用缩减基本事件总数的办法来计算, 二是根据条件概率公式求解.
例11 将三个骰子各掷一次, 设事件A为“三个骰子掷出的点数都不同”, 事件B为“至少有一个骰子掷出3点”, 则条件概率P (A|B) 是 ( ) .
解法一:“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有6×6×6-5×5×5=91种, “三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有C31×5×4=60种, 所以P (A|B) = (91) / (60) .故选A.
解法二:.由条件概率公式可得.故选A.
考点12 相互独立事件的概率
求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: (1) 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2) 正面计算较繁琐或难以入手时, 可从其对立事件入手计算.
例12 某企业有甲、乙两个研发小组, 他们研发新产品成功的概率分别为2/3和3/5.现安排甲组研发新产品A, 乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率.
(2) 若新产品A研发成功, 预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功, 预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
解析:记E={甲组研发新产品成功}, F={乙组研发新产品成功}.由题设知P (E) =2/3, , 且事件E与F, E与与F, 都相互独立.
(1) 记H = {至少有一种新产品研发成功}, 则.
故所求的概率为.
(2) 设企业可获利润为X万元, 则X的可能取值为0, 100, 120, 220.
所以所求的分布列为
考点13 独立重复试验与二项分布
独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.二项分布满足的条件: (1) 每次试验中, 事件发生的概率是相同的. (2) 各次试验中的事件是相互独立的. (3) 每次试验只有两种结果:事件要么发生, 要么不发生. (4) 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
例13 已知一个口袋中装有n个红球 (n≥1且n∈N*) 和2个白球, 从中有放回地连续摸三次, 每次摸出两个球, 若两个球的颜色不同则为中奖, 否则不中奖.
(1) 当n=3时, 设三次摸球中 (每次摸球后放回) 中奖的次数为X, 求X的分布列;
(2) 记三次摸球中 (每次摸球后放回) 恰有两次中奖的概率为P′, 当n取多少时, P′最大?
解析: (1) 当n=3时, 每次摸出两个球, 中奖的概率.
由题意知, X的可能取值为0, 1, 2, 3.
所以X的分布列为
(2) 设每次摸球中奖的概率为p, 则三次摸球 (每次摸球后放回) 恰有两次中奖的概率为P (X=2) =C32·p2· (1-p) = -3p3+3p2, 0<p<1.
令f (p) =-3p3+3p2, 0<p<1, 则f′ (p) =-9p2+6p= -3p (3p-2) , 可知在 (0, 2/3) 上, f (p) 为增函数, 在 (2/3, 1) 上, f (p) 为减函数.所以当p=2/3时, P′取得最大值.
所以当n=1或n=2时, P′最大.
配套练习:
1.从某校高二年级的所有学生中, 随机抽取20人, 测得他们的身高 (单位:cm) 分别为:162, 153, 148, 154, 165, 168, 172, 171, 173, 150, 151, 152, 160, 165, 164, 179, 149, 158, 159, 175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理, 在该校高二年级的所有学生中任抽一人, 估计该生的身高在155.5cm~170.5cm之间的概率约为 ( ) .
2.如图1, △ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形, 且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内, 用M表示事件“豆子落在△ABC内”, N表示事件 “豆子落在△DEF内”, 则P (N|M) = ( ) .
3.10件产品中有7件正品, 3件次品, 从中任取4 件, 则恰好取到1 件次品的概率是_____.
4.已知一只蚂蚁在边长分别为5, 12, 13的三角形的边上随机爬行, 则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为_______.
5.在长为1的线段上任取两点, 则这两点之间的距离小于1/2的概率为____-.
6.如图2, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 有一动点在此长方体内随机运动, 则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为______.
7.随机变量X的分布列如下:
其中a, b, c成等差数列, 则P (|X|=1) =_____, 公差d的取值范围是________.
8.根据以往统计资料, 某地车主购买甲种保险的概率为0.5, 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2) 求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
9.某射手射击一次所得环数X的分布列如下:
现该射手进行两次射击, 以两次射击中最高环数作为他的成绩, 记为ξ.
(1) 求ξ>7的概率;
(2) 求ξ的分布列.
10.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1) 求所选3人中恰有1名男生的概率;
(2) 求所选3人中男生人数X的分布列.
11.某次飞镖比赛中, 规定每人至多发射三镖.在M处每射中一镖得3分, 在N处每射中一镖得2分, 如果前两次得分之和超过3分即停止发射, 否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1=0.25, 在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖, 以后都在N处发射, 用X表示该选手比赛结束后所得的总分, 其分布列为
(1) 求随机变量X的分布列;
(2) 试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.
12.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收看情况, 随机抽取了100名观众进行调查.图3是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”, 将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中, 采用随机抽样方法每次抽取1 名观众, 抽取3次, 记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的, 求X的分布列、期望E (X) 和方差D (X) .
练习答案:
8.记A表示事件“该车主购买甲种保险”, B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”, C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”, D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”.
(1) 由题意, 得P (A) =0.5, P (B) =0.3.
又C=A∪B,
所以P (C) =P (A∪B) =P (A) +P (B) =0.5+0.3=0.8.
(2) 因为D与C是对立事件, 所以P (D) =1-P (C) =1-0.8=0.2.
9. (1) P (ξ>7) =1-P (ξ=7) =1-0.1×0.1=0.99.
(2) ξ的可能取值为7, 8, 9, 10.P (ξ=7) =0.12=0.01, P (ξ=8) =2×0.1×0.4+0.42=0.24, P (ξ=9) =2×0.1×0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39, P (ξ=10) =2×0.1×0.2+2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36.
所以ξ的分布列为
10. (1) 所选3人中恰有1名男生的概率.
(2) X的可能取值为0, 1, 2, 3.
所以X的分布列为
11. (1) 设“该选手在M处射中”为事件A, “该选手在N处射中”为事件B, 则事件A, B相互独立, 且.
根据分布列知, 当X=0时, ,
所以1-q2=0.2, q2=0.8.
所以随机变量X的分布列为
(2) 该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为.
所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大.
12.由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25, 将频率视为概率, 即从观众中抽取1名“体育迷”的概率为1/4.
由题意, 得X~B (3, 1/4) , 从而X的分布列为
(安徽余其权)
十二、算法、程序框图以及推理与证明部分
考点1 顺序结构和条件结构
顺序结构是最简单的算法结构, 语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.利用条件结构解决算法问题时, 重点是分析判断框, 判断框内的条件不同, 对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化.
例1 如图1 所示, 程序框图的输出结果是 ( ) .
(A) 3 (B) 4
(C) 5 (D) 8
解析:由图1知, x≤4, 所以y=4.故选B.
考点2循环结构
利用循环结构表示算法时, 要注意以下三方面:第一要先确定是利用当型循环结构, 还是利用直到型循环结构;第二要选择准确的累计变量;第三要注意在哪一步开始循环, 满足什么条件不再执行循环体.
例2 图2 给出的是计算的值的一个程序框图, 则图中判断框内的 (1) 处和执行框中的 (2) 处应填的语句是 ( ) .
(A) i>100, n=n+1
(B) i>100, n=n+2
(C) i>50, n=n+2
(D) i≤50, n=n+2
解析:因为共50个数, 所以程序框图应运行50次, 所以变量i应满足i>50.因为是求偶数的和, 所以应使变量n满足n=n+2.故选C.
考点3 归纳推理
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类.在利用归纳推理解决问题时, 应从特殊情况入手, 通过观察、分析、概括, 进而猜想出一般性结论.
例3已知, 经计算得, 则当n≥2, n∈N*时, 有一般性的结论_____.
考点4类比推理
常见的类比推理有类比定义型、类比性质型和类比方法型.类比推理的一般步骤是:先找出两类对象之间可以确切表达的相似性 (一致性) ;再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质, 从而得出一个猜想;最后验证猜想, 但类比推理的结论不一定正确.
例4已知双曲正弦函数和双曲余弦函数.我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质, 请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式, 写出双曲正弦函数或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_____.
考点5 演绎推理
演绎推理一般是以三段论的形式进行的, 在证明问题时, 首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提, 但是在证明的过程中, 往往大前提不写出来.
例5 数列{an}的前n项和记为Sn, 已知a1=1, .证明:
(1) 数列{}是等比数列;
(2) Sn+1=4an.
证明: (1) 因为an+1=Sn+1-Sn, ,
故{}是以1 为首项, 2 为公比的等比数列.
又因为a2=3S1=3, S2=a1+a2=1+3=4=4a1,
所以对于任意正整数n, 都有Sn+1=4an.
考点6直接证明
直接证明有两种基本的方法———分析法和综合法.我们常用分析法寻找解决问题的突破口, 然后用综合法来写出证明过程, 有时候, 分析法和综合法交替使用.
例6已知a, b, m为非零实数, 且a2+b2+2-m=0, .
(2) 求证:m≥7/2.
证明: (1) (分析法) 要证成立, 只需证, 即证, 即证.根据基本不等式, 有成立, 所以原不等式成立.
(2) (综合法) 已知a2+b2+2-m=0, , 由 (1) 知, (m-2) (2m-1) ≥9, 即2m2-5m-7≥0, 解得m≤-1或m≥7/2.
又a2+b2=m-2>0, 则m>2.所以m≤-1舍去.故m≥7/2.
考点7 间接证明
很多数学问题若用直接法证明难以下手, 常常采用间接法证明.反证法就是间接法中的一种基本方法.反证法的基本步骤是: (1) 写出与求证结论相反的假设; (2) 将反设作为条件, 并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; (3) 说明假设不成立, 从而肯定原命题成立.
例7 已知△ABC的三边为a, b, c, 且C=90°, 求证:.
证明:假设.因为△ABC是直角三角形, 且C=90°, 所以c2=a2+b2, 即.又由假设可知, , 则有 (a+b) 2>2 (a2+b2) , 得a2+2ab+b2>2 (a2+b2) , 化简, 得a2-2ab+b2<0, 即 (a-b) 2<0, 显然不成立.故假设错误, 原命题得证.
考点8 数学归纳法
数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题, 但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法来证明.在使用数学归纳法证明问题时, 在归纳假设后, 归纳假设就是证明n=k+1时的已知条件, 把归纳假设当已知条件证明后续结论时, 可以使用综合法、分析法、反证法等.
例8 设数列{an}的前n和为Sn, Sn=2nan+1-3n2-4n, n∈N*, 且S3=15.
(1) 求a1, a2, a3的值;
(2) 求数列{an}的通项公式.
解: (1) 易得a1=3, a2=5, a3=7.
(2) 由 (1) 猜想an=2n+1, 以下用数学归纳法来证明:
(1) 由 (1) 知, 当n=1时, a1=3=2×1+1, 结论成立.
(2) 假设当n=k时, 结论成立, 即ak=2k+1.
当n=k+1 时, 将ak+1和Sk代入Sk=2kak+1-3k2-4k, 得k (k+2) =2kak+1-3k2-4k, 化简, 得2ak+1=4k+6, 则ak+1=2 (k+1) +1.由此可知, 当n=k+1时, 结论成立.
从而由 (1) (2) 可知, 对一切n∈N*, an=2n+1.
配套练习:
1.图1 所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法, 若输入m=2010, n=1541, 则输出的m的值为 ( ) .
(A) 2010
(B) 1541
(C) 134
(D) 67
2.用火柴棒摆“金鱼”, 如图2所示:
按照上面的规律, 第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为______.
3.定义“等和数列”:在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5, 则
(1) a18=______;
(2) 该数列的前n项和Sn=_________.
4.数列A:a1, a2, a3, …, an (n≥3, n∈N*) 中, 令TA={x|x=ai·aj, 1≤i<j≤n, i, j∈N*}, card (TA) 表示集合TA中的元素的个数.若 (c为常数, 且|c|>1, 1≤i≤n-1) , 则card (TA) =_________.
5.△ABC的三个内角A, B, C成等差数列, A, B, C的对边分别为a, b, c.
6.求证:方程2x+x=6 有且只有一个实根2.
7.已知点Pn (an, bn) 满足an+1=an·bn+1, (n∈N*) , 且点P1的坐标为 (1, -1) .
(1) 求过点P1, P2的直线l的方程;
(2) 试用数学归纳法证明:对于任意n∈N*, 点Pn都在 (1) 中的直线l上.
练习答案:
1.D. 2.6n+2.
4.2n-3. 5.证明略.
6.先证存在性:显然x=2是方程2x+x=6的根.
再证唯一性:假设方程2x+x=6有一个非2的实根y, 则有2y+y=6, 将其与2x+x=6相减, 得2y-2x=x-y.因为x≠y, 所以x>y或x<y.当x>y时, 2y-2x<0, 而x-y>0, 相矛盾.当x<y时, 2y-2x>0, 而x-y<0, 也矛盾.
因此假设方程有一个非2 的实根是错误的.所以不存在非2的实根y, 即方程仅有唯一实根2.
(2) (1) 当n=1时, 2a1+b1=2×1+ (-1) =1成立.
(2) 假设当n=k (k≥1且k∈N*) 时, 2ak+bk=1成立, 则, 所以当n=k+1时, 2ak+1+bk+1=1也成立.
由 (1) (2) 知, 对于任意n∈N*, 都有2an+bn=1, 即点Pn在直线l上.
(安徽余其权)
十三、复数部分
从近年高考试题的命题情况来看, 复数是每年高考的必考点, 主要考查对复数概念的理解及复数的四则运算, 且试题多位于前三题, 属于简单题.本部分有如下常见考点:
考点1 对复数有关概念的考查
高考中对复数概念的考查, 一般涉及复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等, 在解题时, 一定要先看复数是否为a+bi (a, b∈R) 的形式, 以确定其实部和虚部, 然后再进行后续的计算.
例1已知a∈R, 复数z1=2+ai, z2=1-2i, 若为纯虚数, 则复数的虚部为 () .
(A) 1 (B) i
(C) 2/5 (D) 0
解析:已知是纯虚数, 由此可得a=1, 此时, 其虚部为1.故选A.
考点2 对复数几何意义的考查
由复数的定义可知, 复数与复平面内的点一一对应, 复数与以原点为起点的向量一一对应.此外, 复数的几何意义常与复数的模相结合, 它们结合起来可以构建点的轨迹问题.
例2 已知复数x2-6x+5+ (x-2) i在复平面内对应的点在第三象限, 则实数x的取值范围是_____.
解析:因为x为实数, 所以x2-6x+5和x-2都是实数.由题意, 得即1<x<2.故实数x的取值范围是 (1, 2) .
考点3 对复数计算的考查
复数的计算是高考考查的重点内容, 主要考查对复数定义的理解及运算能力, 在解答过程中除要正确运用复数的运算法则之外, 还要多观察所给式子的特点, 灵活变形, 恰当利用一些常见结论, 以提高解题的准确率和速度.
例3 已知, 则复数z= ( ) .
(A) 1+i (B) 1-i
(C) -1+i (D) -1-i
解析:由题意, 得.故选D.
考点4 对复数的模的考查
高考中的求模问题多与轨迹、最值问题相联系, 除了考虑模的代数表示式外, 要多结合模的几何意义来分析问题.
例4若复数z满足, 则|z|=________.
考点5 对复数与其共轭复数关系的考查
复数z=a+bi与其共轭复数有许多性质, 如等, 恰当利用这些性质能够为解题带来很大的便利.
例5 已知复数是z的共轭复数, 则=_______.
配套练习:
1.若复数z= (x2-1) + (x-1) i为纯虚数, 则实数x的值为 ( ) .
(A) -1 (B) 0
(C) 1 (D) -1或1
2.已知0<a<2, 复数z的实部为a, 虚部为1, 则|z|的取值范围是 ( ) .
(A) (1, 5) (B) (1, 3)
3.复数的共轭复数是 () .
(C) -i (D) i
4.已知f (x) =x2, i是虚数单位, 则在复平面中复数对应的点在 ( ) .
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
5.设复数z满足i (z+1) = -3+2i, 则z的实部是______.
6.复数 (3+i) m- (2+i) 对应的点在第三象限内, 则实数m的取值范围是_________.
7.已知复数z1满足 (z1-2) (1+i) =1-i, 复数z2的虚部为2, 且z1·z2是实数, 求z2.
8.已知复数, 若是实数, 求实数a的值.
练习答案:
1.A.2.C.3.C.4.A.
5.1.6.m<2/3.
7.由 (z1-2) (1+i) =1-i, 得z1=2-i.设z2=a+2i, a∈R, 则z1·z2= (2-i) (a+2i) = (2a+2) + (4-a) i.因为z1·z2∈R, 所以a=4.所以z2=4+2i.
故a=3.
(河南胡银伟)
十四、选修4部分
选修4模块是每年课标高考的必考内容, 高考中对选修4-1 (几何证明选讲) , 选修4-4 (坐标系与参数方程) , 选修4-5 (不等式选讲) 分别命题为第22 题, 第23 题, 第24 题, 三选一, 均为10分, 属于送分题.本部分有如下常见考点:
考点1 对三角形与圆的综合应用的考查
解决几何证明问题需要用到各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论, 要熟悉各种图形的特征, 要会利用平行、垂直、相似、全等的关系, 并会适当添加辅助线和辅助图形, 这些都有利于问题的解决.另外, 解题时需注意: (1) 证明等积式时, 通常转化为证明比例式, 再证明四条线段所在的三角形相似, 此外也可利用平行线分线段成比例定理来证明; (2) 圆内接四边形的性质要熟练掌握, 利用这些性质可得到角相等, 进而为三角形的相似创造条件.
例1 如图1, D, E分别为 △ABC边AB, AC的中点, 直线DE交△ABC的外接圆于F, G两点.若CF∥AB, 证明:
(1) CD=BC;
(2) △BCD∽△GBD.
证明: (1) 因为D, E分别为AB, AC的中点, 所以DE∥BC.
又已知CF∥AB, 所以四边形BCFD是平行四边形.所以CF=BD=AD.
而CF∥AD, 如图1, 连结AF, 所以四边形ADCF是平行四边形.所以CD=AF.
因为CF∥AB, 所以BC=AF
故CD=BC.
(2) 因为FG∥BC, 所以GB=CF.
由 (1) 可知BD=CF, 所以GB=BD.所以∠BGD=∠BDG.
由BC=CD知, ∠CBD=∠CDB.
又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,
所以△BCD∽△GBD.
考点2 对极坐标与参数方程的综合应用的考查
对于参数方程和极坐标方程的综合题, 其求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后再求解.另外, 解题时需注意: (1) 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ2=x2+y2来转化, 但有时需要作适当的变化, 如将式子的两边同时平方, 两边同时乘以ρ等; (2) 将参数方程化为普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等.
例2 已知曲线C1的参数方程为
以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1) 把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2) 求C1与C2交点的极坐标 (ρ≥0, 0≤θ<2π) .
所以 (x-4) 2+ (y-5) 2=25 (cos2t+sin2t) =25, 即C1的直角坐标方程为 (x-4) 2+ (y-5) 2=25.
把x=ρcosθ, y=ρsinθ代入 (x-4) 2+ (y-5) 2=25,
化简, 得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
(2) C2的直角坐标方程为x2+y2=2y.
所以C1与C2交点的直角坐标为 (1, 1) , (0, 2) .
所以C1与C2交点的极坐标为.
考点3 对解含参的绝对值的不等式的考查
解绝对值不等式的基本方法: (1) 利用绝对值的定义, 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2) 当不等式两端均为正号时, 可通过两边平方的方法, 转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3) 利用绝对值的几何意义, 通过数形结合来求解.
例3 已知函数f (x) =|2x-1|+|2x+a|, g (x) =x+3.
(1) 当a=-2时, 求不等式f (x) <g (x) 的解集;
(2) 设a> -1, 且当时, f (x) ≤g (x) , 求a的取值范围.
解: (1) 当a=-2时, 不等式f (x) <g (x) 化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.
其图象如图2所示, 由图象可知, 当且仅当x∈ (0, 2) 时, y<0,
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
所以a的取值范围为 (-1, 4/3].
考点4对不等式证明的考查
证明不等式的方法灵活多样, 我们要根据试题条件的具体情况选择证明方法.如作差比较法适用的主要类型是多项式、分式、对数式、三角式, 作商比较法适用的主要类型是高次幂乘积结构;用综合法证明不等式是“由因导果”, 用分析法证明不等式是“执果索因”, 它们是思路截然相反的两种证明方法, 在实际应用时, 往往用分析法找思路, 用综合法写步骤.
例4设a, b, c均为正数, 且a+b+c=1.
证明: (1) ab+bc+ac≤1/3;
证明: (1) 由a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac, 得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
由题设, 得 (a+b+c) 2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.
所以3 (ab+bc+ac) ≤1, 即ab+bc+ac≤1/3.
配套练习:
1.如图1, 已知△ABC中, AB =AC, D是△ABC外接圆劣弧上的点 (不与点A, C重合) , 延长BD至E.
(1) 求证:AD的延长线DF平分∠CDE;
(2) 若∠BAC=30°, △ABC中BC边上的高为, 求△ABC外接圆的面积.
2.如图2, ⊙O和⊙O′相交于A, B两点, 过A作两圆的切线分别交两圆于C, D两点, 连结DB并延长交⊙O于点E.证明:
(1) AC·BD=AD·AB;
(2) AC=AE.
3.已知曲线C的参数方程为
曲线D的极坐标方程为.
(1) 将曲线C的参数方程化为普通方程.
(2) 曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由.
4.在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知点A的极坐标为, 直线l的极坐标方程为, 且点A在直线l上.
(1) 求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2) 圆C的参数方程为
试判断直线l与圆C的位置关系.
5.已知函数f (x) =|x-a|.
(1) 若不等式f (x) ≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 求实数a的值;
(2) 在 (1) 的条件下, 若f (x) +f (x+5) ≥m对一切实数x恒成立, 求实数m的取值范围.
6.设a, b, c>0, 且ab+bc+ca=1.
练习答案:
1. (1) 如图, 因为A, B, C, D四点共圆, 所以∠CDF=∠ABC.
又AB = AC, 所以∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB.
所以∠ADB=∠CDF.
又由对顶角相等, 得∠EDF= ∠ADB.所以∠EDF= ∠CDF, 即AD的延长线DF平分∠CDE.
(2) 设O为外接圆圆心, 连结AO并延长交BC于H , 如图, 则AH⊥BC, 连结OC.
由题意, 得∠OAC=∠OCA=15°, ∠ACB=75°, 所以∠OCH=60°.
设圆的半径为r, 则, 解得r=2.所以外接圆的面积为4π.
2. (1) 由AC与⊙O′相切于A, 得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB.所以△ACB∽△DAB.从而, 即AC·BD=AD·AB.
(2) 由AD与⊙O相切于A, 得∠AED=∠BAD.又∠ADE = ∠BDA, 得 △EAD ∽△ABD, 从而, 即AE·BD=AD·AB.结合 (1) 的结论知, AC=AE.
(2) 由, 得曲线D的普通方程为x+y+2=0.
故曲线C与曲线D无公共点.
4. (1) 由点在直线ρcos (θ-π/4) =a上, 可得.
所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2, 从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2) 由已知, 得圆C的直角坐标方程为 (x-1) 2+y2=1.
所以圆C的圆心为 (1, 0) , 半径r=1.
因为圆心C到直线l的距离, 所以直线l与圆C相交.
5. (1) 由f (x) ≤3, 得|x-a|≤3, 解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f (x) ≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以解得a=2.
(2) 法一:当a=2时, f (x) =|x-2|.
设g (x) =f (x) +f (x+5) ,
所以当x<-3时, g (x) >5;当-3≤x≤2时, g (x) =5;当x>2时, g (x) >5.
综上可得, g (x) 的最小值为5.
从而, 若f (x) +f (x+5) ≥m, 即g (x) ≥m对一切实数x恒成立, 则实数m的取值范围为 (-∞, 5].
法二:当a=2时, f (x) =|x-2|.
由|x-2|+|x+3|≥| (x-2) - (x+3) |=5 (当且仅当-3≤x≤2时等号成立) , 得g (x) 的最小值为5.
从而, 若f (x) +f (x+5) ≥m, 即g (x) ≥m对一切实数x恒成立, 则实数m的取值范围为 (-∞, 5].
6. (1) 由于a, b, c>0, 要证, 因此只需证明 (a+b+c) 2≥3, 即证a2+b2+c2+2 (ab+bc+ca) ≥3.而ab+bc+ca=1, 故需证明a2+b2+c2+2 (ab+bc+ca) ≥3 (ab+bc+ca) , 即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
又 (当且仅当时, 等号成立) , 所以原不等式成立.
在 (1) 中已证, 因此要证原不等式成立, 只需证明, 即证, 即证.
所以原不等式成立.
小学数学毕业考试考点分析 篇3
考点1：数的读写、数的改写及求近似数
重点考查同学们对数的读写、数的改写及求近似数的方法的掌握情况。
例1根据我国第五次人口普查统计，全国总人口为1295330000人，这个数读作（）人，省略“亿”后面的尾数约为（）人。
分析和解答读数时从高位往低位一级一级地读，读完亿级加读一个“亿”字，读完万级加读一个“万”0000，读作十二亿九千五百三十三万。求近似数采用“四舍五入法”，省略“亿”后面的尾数，看千万位，千万位是9，向前一位进1，所以1295330000人≈13亿人。
练一练1：我国目前土地沙化面积达到一百六十八万九千平方千米，这个数写作（）平方千米，改写成用“万”作单位的数是（）平方千米。
考点2：数位顺序表和计数单位
重点考查同学们对数位顺序表的掌握情况和对计数单位的理解情况。
例2一个数的百位和百分数都是6，其余各位上都是0，这个数写作（）。
分析和解答这个数的最高位是百位，最低位是百分数，这两个数位上的数都是６，其余各位就是十位、个位、十分位，这些数位上的数都是0，所以这个数写作600.06。
练一练2：一个数是由8个亿、5个百万、2个万和9个千组成的，这个数写作（）。
考点3：数的大小比较
重点考查同学们对整数、小数、分数、百分数大小比较的方法及小数、分数、百分数的互化方法的掌握情重点考查同学们对倍数和因数这一单元相关概念的理解与运用。
例5从最小的自然数、最小的素数、最小的合数、最小的奇数中选三个数组成同时是2、5、3的倍数的最大三位数是（），最小三位数是（）。
分析和解答最小的自然数是0，最小的素数是2，最小的合数是4，最小的奇数是1，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数，各位上数的和是3的倍数的数都是3的倍数。同时是2、5、3的倍数的数，个位上一定是0，则最大的三位数是420，最小的三位数是120。
练一练5：一个数，既是40的因数，又是5的倍数。这个数可能是（）。
考点6：最大公因数与最小公倍数
重点考查同学们对求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法的掌握情况。
例6已知m＝5n（m和n都是不为0的自然数），则m与n的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
分析和解答如果两个数存在倍数关系，那么这两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。根据m＝5n可知，m是n的5倍，则m与n的最大公因数是n，最小公倍数是m。
高一必修一地理知识考点 篇4
形成：台风是形成于热带或副热带海区，强烈发展的热带气旋
主要灾害：强风，特大暴雨，风暴潮
主要影响地区：亚洲东部，亚洲南部，北美洲东海岸，其中西北太平洋是全球台风发生次数最多，强度最大的海区
发生季节：夏秋季节
监测和防御：主要是利用气象卫星监测，到近海后，还可以用雷达监测
(2)暴雨洪涝
形成条件：源源不断的水汽供应;强烈的上升运动;形成降水的天气系统持续时间长
主要影响地区：亚洲最多
防御措施：利用气象卫星，提高暴雨预报的准确率;工程措施(修筑堤坝，整治河道，修建水库，修建分洪区)和非工程措施防御(洪泛区的土地管理，建立洪水预报警报系统，拟定居民的应急撤离计划，实施防洪保险)
(3)干旱
(4)寒潮
原因：由强冷空气迅速入侵造成得大范围得剧烈降温，并伴随有大风，雨雪，冻害等现象，寒潮是我国冬半年主要的气象灾害，尤以秋季和春季的寒潮对农作物危害最大。
五：地质灾害
(1)地震
分布：环太平洋地震带和地中海-喜马拉雅山地震带
能量大小：用震级表示，震级每增加一级，能量约增加30倍，3级以下为微震，5级以上为破坏性地震
要素：震中，震源，震中距，震级，烈度。
(2)火山喷发
火山构造：火山锥，火山口，火山通道
类型：死火山，活火山，休眠火山
(3)滑坡和泥石流
(4)地质灾害得关联性
①地质灾害在成因上得关联性：一个地域内得地质灾害可能有若干种，他们在成因上关联的，例如，我国的川、滇、黔接壤地带，形成了地震、滑坡和泥石流为主的灾害
②由一种原发性的主灾诱发其他灾害，例如地震可能诱发火灾、海啸、滑坡、泥石流、瘟疫蔓延等
③人类活动及其对自然环境施加的影响可能诱发地质灾害，例如，人为的破坏地表植被，造成了泥石流;人为大规模的工程活动，造成滑坡等灾害。
高一政治必修二重点知识考点梳理 篇5
(1)必要性：是市场运行规律的必然要求;也加强社会主义精神文明建设的题中之义;是保证市场交易活动有秩序，按规则进行的基本条件;对规范经营者和消费者的交易活动和行为，使市场交易健康，正常，有序地运行，具有至关重要的作用。
(2)基本内容：①自愿原则。自愿是市场交易的基本原则;②平等原则。这既是市场经济的一般特征，也是市场交易的一条重要原则。③公平原则。公平就是公平交易，明码标价，童叟无欺;公平原则是市场交易的灵魂，是衡量市场交易活动是否有序、是否规范的试金石。④诚实信用原则。它是现代市场交易活动的基本精神。
(3)违背市场交易原则的危害性：损害消费者利益;浪费社会财富;造成社会矛盾;破坏社会主义市场经济秩序。
2.生产与消费的关系：(1)生产决定消费。一是生产为消费提供对象。二是生产决定消费水平。三是生产决定消费方式。四是生产为消费创造动力。(2)消费反作用于生产。首先，消费是社会生产四个环节中的最后一环，其次，消费是生产的动力。一个新的消费热点的出现，往往能带动一个产业甚至几个相关产业的出现和成长。第三、消费为生产创造出新的劳动力。第四、消费是生产的目的。
3.社会主义生产目的。不断满足人们日益增长的物质文化生活需要。
4.依法保护消费者的合法权益
(1)保护消费者权利的重要性：①是市场经济健康发展的客观要求;②有利于实现资源的优化配置。③不仅有利于消费者个人，也以生产经营者和市场经济的发展有利。
(2)消费者依法享有的主要权利：
①安全权。②知情权。③自主选择权。④公平交易权。⑤求偿权。⑥人格尊严和民族风俗习惯尊重权。
高一数学考点 篇6
shouldn’t have done表示“本来不应该做而做了”。
-Sorry, Professor Smith. I didn’t finish the assignment yesterday.
-Oh, you ______ have done it as yesterday was the deadline. (上海)
A. must B. mustn’t C. should D. shouldn’t
【点拨】 选C。题意为“对不起，史密斯教授，我昨天没有完成功课。”“噢，你应该完成的，因为昨天是最后的期限。”should have done符合题意。
2. I can well remember that there was a time when a deep blue sky, the song of the birds, moonlight and flowers could never have kept me spellbound. (P2)
【考点】 keep sb. / sth. done表示“让某人/某事处于被……”，do与sb. / sth. 之间是被动关系。
【考例】 Lucy has a great sense of humor and always keeps her colleagues ______ with her stories. (上海 2010)
A. amused B. amusing C. to amuse D. to be amused
【点拨】 选A。amuse与her colleagues之间是被动关系，故A项正确。
3. ...; it was the first time in a year and a half that I’d seen the night face to face ... (P2)
【考点】 It / This / That is / was the first / second / third / ... time (that) ... 意为“这/那是某人第一/二/三/……次……”。如果主句中的谓语动词是is，则that从句中的谓语动词用现在完成时;如果主句中的谓语动词是was，则从句中的谓语动词用过去完成时。
【考例】 This is the first time we ______ a film in the cinema together as a family. (陕西)
A. see B. had seen C. saw D. have seen
【点拨】 选D。由主句中的is可知，从句时态应用现在完成时。
4. British Betty: Would you like to see my flat?
American Amy: Yes. I’d like to come up to your apartment.
[考点] would like / love to 想要，愿意。它的肯定回答是：Yes, I’d like / love to;否定回答是：I’d like / love to, but ... 或者I’m afraid not。
[考例1] -Would you like to join me for a quick lunch before class?
-______, but I promised Nancy to go out with her. (全国卷I)
A. I’d like to B. I like itC. I don’t D. I will
[点拨] 选A。I’d like to 相当于I’d like to join you for a quick lunch before class。本句的句意为：我很乐意去，但是我答应Nancy要和她一块儿出去。
[考例2] -Would you like to join us in the game?
-______, for I have something important to attend to. (福建 2008)
A. I will B. I’d love to C. I won’t D. I’m afraid not
高一数学学法指导 篇7
一、高中数学不同于初中数学的几个方面
1. 数学语言突然高度抽象。
初中的数学语言比较通俗易懂, 非常生活化。很多的定理定义都很直观化, 主要是合情推理, 不需要太多的证明和推理, 主要是观察、测量、类比和归纳, 非常好理解, 学生学起来也没有多少障碍。这是与初中学生的身心发展相适应的, 随着学生年龄的增长, 学生的身心得到了长足的发展, 所以高中数学就比较抽象, 开始培养学生的严谨性思维, 培养学生独立思考的能力。尤其刚开始学习的集合函数等概念, 比起初中的概念要抽象的多, 集合只有描述性的定义, 函数的概念是建立在集合基础上的, 特别长的一段文字, 学生从内心产生了抵触情绪, 理解起来就很困难。
2. 理性思维的要求越来越高。
小学初中的数学相对来说简单, 让学生感受起来简单的一个重要原因是, 数学知识离生活比较近, 特别容易感受和感知, 此外由于内容相对简单, 老师们经过大量的摸索总结了很多行之有效的解题模式, 以及解题步骤, 学生只要把题目读懂, 按照解题模式去走, 就八九不离十。高中数学特别强调严谨性, 一个题目往往要涉及很多的知识点, 综合性要求非常高, 没有特别严谨的思维和大量的知识储备是很难解决的, 而这一点是和初中数学有着区别的一个地方, 初中数学知识点比较单一, 而初中有时九年义务教育, 知识考察的难度比较小, 而高中的高考承担着为高校选拔人才的任务, 所以客观上难度加大。
3. 知识内容比初中增加了很多。
初中数学一节课讲一个知识点, 或者一个定理, 由于知识点比较少, 所以有大量的课时去训练、讨论和理解, 时间长了, 知识的理解就比较深刻。而高中数学内容非常多, 课时非常近, 一般而言, 两年就把高中内容学完, 高三复习。这就必然导致进度比较快, 课堂上的知识点比较多, 单位时间内接受的知识量是初中的好多倍, 思维量更是大了很多。比如必修一第一章, 我们具备了现代数学的基本语言集合以及函数的概念, 还有研究函数性质的一般方法, 研究特殊函数的图像, 进而得到一类函数的性质, 如单调性和奇偶性;在第二章学了指数函数, 那就要研究函数的图像, 定义域, 值域, 单调性, 奇偶性, 等等, 前面一个月学到的知识在一个题中就包含了, 值域专练中的第9题就是定义域单调区间值域糅合在一起的一道题目, 后面的对数、函数及幂函数都是按照前面的方法学习的。这样, 学习的知识就要扎扎实实, 前面学的内容会对后学内容造成显著的影响, 这和初中有很大不同。
二、不好的学习状态
1. 因为依赖心理致使优秀的学习习惯没有建立起来。
由于上小学和初中时, 学生年龄尚小, 很多学生都没有养成良好的学习习惯, 主要是靠家长和老师的督促, 长此以往, 有些学生的依赖心理非常强, 表现的特别突出, 没有老师和家长的督促, 就特别放纵, 导致每天的知识点都不能按时消化理解, 久而久之, 差距就很大, 当差距拉到一定程度时, 就丧失了信心, 导致数学学习的失败。这个问题, 在初中表现不是特别突出, 即使落下了, 家长辅导一下, 或者找个老师辅导一下也不费事, 很快就能追上来。有些学生也形成了错误的认识, 认为即使玩玩不学也不怕, 大不了找家教辅导。没想到的是, 知识点太多, 再加上没有多少时间可以支配, 上家教没有时间!我们学校是寄宿制学校, 家长不在身边没法辅导, 即便是家长在身边, 也不一定能辅导得了。
2. 思想懈怠, 想当然。
有些同学其实学习习惯很不好, 基础也很不牢靠, 初一、初二玩了两年, 但是中考前用功了一阵子, 加上比较好的运气, 就到了高中, 甚至到了名牌高中甚至实验班, 就有些飘了, 极度的自信, 认为自己很聪明, 随便学学, 自己学一个月顶别人学一年甚至两年的错误认识。在这种错误的思想下, 学生就变得非常懈怠, 于是乎开始想当然, 高中不过就是比初中高了个学段而已, 经验主义, 认为自己就是玩个一年、两年也没事, 高三一努力就上来了, 冥冥之中有神仙相助, 到时候还不照样上哪个名牌大学。
3. 学习方法欠妥。
老师精心备课, 为的就是让同学能很清楚的学习新知识或者把新知识转化为旧知识, 降低学习的难度, 为此老师都要设置很多的情景, 或者复习旧知识去铺垫。有些同学不注意听, 觉得自己都会, 思想开小差, 等回过神来, 老师早已转折到新知识上去了, 而他自己又开始纠缠为什么, 一急就慌, 心浮气躁, 一节课上得很郁闷。有些同学一直在认真听, 可是面对老师讲的易错点疑难点不做笔记, 认为自己会了, 其实还是浮在面上, 再次遇见又错了。面对老师布置的作业, 不认真去做, 或者做了, 老师改过后发下的作业上的错题不认真修改, 导致学习始终不深入, 难以取得理想的成绩。
4. 好高骛远, 轻视基础。
有一些同学自我感觉良好, 好高骛远, 不重视基本知识, 认为太小儿科, 自己都会, 忽视数学基本技能和基本方法的学习, 总认为是自己马虎了, 粗心了, 下次自己小心点, 就没有问题。实际上, 不是这么回事, 很多的问题理解不到位, 似是而非。把大量的精力和时间用来搞不适合自己的高难度的题目, 收效甚微。
5. 知识断档, 阻碍了进一步的学习。
知识结构不完整, 漏洞太多, 思维水平不够, 使得进一步学习的能力欠缺。尤其面对内容多难度大的高中数学, 只能望题兴叹!
三、学习要有科学的方法
不管做什么, 光想做是不行的, 那也注定做不好, 变“想做”为“要做”好, 兵马未动, 粮草先行。首先, 要有一个良好的心态, 对学习上面对的困难要有足够的认识, 要有足够的抗打击能力。此外, 还要按照规律办事, 科学的学习。
1. 培养优秀的学习习惯。
特别熟悉的一句话“没有好的习惯, 想成功很难, 有了好习惯, 想失败都很难”, 很多同学都能说上来。可见, 优秀的习惯很重要。什么是优秀的学习习惯?优秀的学习习惯无非就是课前预习, 上课认真听讲, 作业认真完成, 错题及时整理, 定期复习巩固。 (1) 由于高中数学知识量大, 课堂节奏快, 为了能够抓住重点, 确保有效的学习, 课前预习就显得格外重要, 尤其对那些数学接受能力比较弱的同学而言。通过预习, 知道本节课老师要讲的内容, 不至于太被动, 而且容易抓住自己不会的东西, 确保学会。 (2) 上课认真听讲, 这是从小学甚至幼儿园就开始要求的, 它的重要性是不言而喻的。 (3) 作业不仅仅是用来检验学习效果和引导学生深入思考的, 还用来帮助同学深入理解所学的定义定理以及公式。光听课, 不做作业, 只能是停留在低水平阶段, 很难提升, 更不用说取得好成绩了。 (4) 错题是一面镜子, 很清楚、很真实地反应了知识上的漏洞以及思维上的漏洞, 等等, 通过认真改错, 深刻细致地了解知识之间的差异和知识的本质。长期的坚持改错, 能力就能得到很大的提升。在学习的道路上, 不怕犯错误, 就怕一而再, 再而三的犯错误。 (5) 大多数人都不可能一次性的把知识记住, 做到过目不忘, 所以需要定期复习巩固, 查漏补缺, 加深理解。
2. 一步一个脚印。
学习是一个慢功夫, 需要长期的积累。不要寄希望于一口吃个胖子。学习需要静下心来认真钻研, 认真揣摩, 真正把握知识的精髓。从一点一滴做起, 一步一个脚印, 一个知识点一个知识点的学习, 不急躁, 假以时日, 就会得到很大的提升, 欲速则不达就是这个道理。
3. 寻找最适合自己的数学学习方法。
每一门学科都有它自己的学科特点, 必须按照学科点来学习。此外, 还要注意哪种学习方法适合自己, 把自己的爱好、特长和数学学习的特点紧密联系起来。
4. 把握课堂。
把握课堂40分钟, 是获得成功的关键, 如何提高听课效率呢? (1) 要做好准备工作。做好心理上的准备, 就是要轻装上阵, 精神饱满地快速进入“角色”, 这是搞好课堂学习的内因;做好知识的准备, 主要是通过对旧知识的复习、回顾来完成;做好物质上的准备, 如, 课本、笔记、参考书籍和其他学习用具等都要准备到位。 (2) 要集中精力听课。首先要克服注意力分散的毛病, 防止“分心”和“开小差”的现象。其次, 听课要抓住重点、难点、疑点。老师的“开场白”往往是对前一节课的小结, 或者是易错点的再认识, 或是对本节课提出的要求, 有承上启下的作用。对预习时遇到的不理解的问题和有疑惑的地方, 应高度集中注意力听老师如何破解这些疑问, 以激发灵感、产生顿悟。 (3) 要大胆地发言和质疑。有的同学上课很少提出问题, 也很少发言, 这种胆怯心理若不尽快克服, 会影响学习效果。因为有问题不提出来解决, 你的思维能力就得不到发展, 能回答的问题而不积极发言, 你学习的主动性也就没有充分发挥, 语言表达能力得不到提高, 也就更感受不到成功的喜悦。可见, 上课积极发言、大胆质疑是十分重要的。 (4) 要记好课堂笔记。在听课过程中, 要记下本节课的知识点、你感到有疑惑的问题以及老师在处理某个问题时所用的巧妙方法等, 记下最“闪光”的东西, 课后稍加整理, 便成为课堂笔记。有的同学把实用价值不大的内容记了一大堆, 这样会影响听课, 得不偿失, 这种事倍功半的做法, 是不可取的。 (5) 规范训练。学习数学, 容不得半点马虎。从听课到做作业, 每一个环节都要认真对待, 哪怕是一个字母、一个符号都不能敷衍了事, 尤其填空题。要按时、独立地完成老师布置的作业。作业要认真书写, 切忌潦草。解题前认真审题, 解题后仔细检验, 解题步骤条理要清晰, 格式要规范。尤其定义域值域单调区间等都有很多的规范要求, 还有解不等式, 最后的结果书写形式都很重要。对作业或试卷中出现的错误要及时纠正, 不懂的要不惜一切代价搞清楚, 不学会不罢休, 不要不好意思, 问题积攒的太多了, 想学都学不动了, 时间长了, 只能听天书了。此外建立好错题本, 以备日后复习总结, 对于错题要经常看, 反复做, 只有这样才能真正进步。总之, 平日里要注意规范训练, 考试时就不会吃苦头。
高一数学考点 篇8
关键词：高考；理科；数学；函数
对于高考考生来讲，大学的选择取决于高考成绩分数的高低，三年高中生涯的拼搏，只为高考的两天做准备，因此，在学习过程中提高对知识的理解至关重要。而在高中课程中，由于文、理分科的出现，导致数学教科书不同，相对于理科而言，数学属于程度较难的学科，函数更是数学教学中最重要的知识点，同时也是最难的部分，因此，学好数学就应加强函数知识掌握能力。
一、函数知识点在高考试卷中的比分
对于高考试卷有各省试卷之分，但是无论是全国卷、北京卷、山东卷等，在理科数学试卷中都有函数相关知识，并在整张试卷中占有一半以上的分数，因此，提高数学函数知识水平至关重要，以下是对函数在试卷中各种题型所占比例的具体分析：
第一，选择题。在选择题中，所展现的都是学生对基础知识的掌握能力，通过简单的检测，判断学生对知识的理解水平。在全国卷、山东卷等试卷中，选择题共十二道，而函数知识占据整个选择题的三分之一左右，其他所有知识点占据三分之二；在北京卷、天津卷等试卷中，选择题共八道，而函数知识占两道；在浙江卷、福建卷等试卷中，选择题共十道，函数知识平均占有四道，可见函数知识在数学课程中占据的地位，无论在何种试卷中，都有对函数知识的考查。
第二，填空题。填空题是对高考考生学习的知识点进行基础、简单的考核，利用计算的方式对学生进行检测。在全国各省市不同试卷中，填空题设置的题数也各不相同，对学生各种数学知识点的考核，而对函数知识考查的题数一般是一道，有时可能会出现两道，或是不以单独的考题形式出现，利用其它知识点的考查工作，将函数知识加入其中。
第三，综合应用题。相较于选择题、填空题来说，综合应用题的考查难度有所加大，考查内容也相对较为广阔，甚至在某些试卷中出现选做题，根据高考考生对知识的理解程度，自行选择。在选做题除外的情况下，综合应用题一般在六道左右，而对函数知识点的考查试题占据两道，有时会以一道试题出现，但其分支占据整个综合应用题的三分之一。
二、对具体的考查函数知识点进行探究
在如今的高考理科数学试卷中，对知识的覆盖率已经不占有首要位置，有时高考考试试卷更侧重于某一部分的知识点的考查工作，无论高考试卷知识的更改，都有函数知识点的出现，而对函数的形式各不相同，难度不等，因此，充分理解函数知识点，对于高考考生来说是必不可少的一项学习任务。
第一，在选择题和填空题对函数知识点的考查工作。这一部分大致考核高考考生对函数知识点的概念、性质、及简单解析结果，难度程度较低，这部分的函数知识点的考核过于广泛，覆盖面积较为广阔。大致对函数知识点的考查分为下面几个方面：首先，对函数知识点的概念及性质进行检测，例如试卷中三角函数的出现，利用三角函数之间的对应关系，所求结果；对一些基本函数换算过程；对于复合函数的求其导数，这些都是对函数知识点的概念进行检测的题型。其次，对于函数性质的检测工作是函数考查工作的重点部分，利用函数的单调性、奇偶性求其函数运动周期，在考查函数性质过程中，试卷中并未对函数表示相关明确的表达式，因此，函数性质考查过程对于相关高考考生来说较为费时，知识点考核程度较难。
第二，在综合应用题中对函数知识点的考查工作。对于综合应用题对函数的检测类型与选择题、填空题几乎无任何差别，但是综合应用题是以函数整体形势出现，是对高考考生的整体函数检验工作的考核，常见的类型有三角函数、函数综合运用，及以实际生活为例对考生函数知识点进行检测。例如，在进行三角函数检测过程中，对三角形的边角进行求解工作；判断三角形的形状问题；对三角形的面积求解；三角形正边，斜边的使用；函数以不等式或等式的形式进行出题，需要对函数进行推导，进而求出所需结果。
三、新课标教学模式下对于函数知识点考查的影响
对于函数知识点考查的影响大致可以分为以下几个方面：
第一，函数考查由原来的单一形式的考核逐渐变的全面化，在一道试题中对函数多个知识点实行考核，例如，在对函数性质进行检测过程中同时对函数运算法则及其充分条件、必要条件都有考查。
第二，在现在高考理科试卷越发重视学生的综合能力检测工作，高考数学考试题型也越发的具有创新意义，在考查过程中，出现了一些拓展性函数知识点，这种类型题只有在大学学习课程中才能遇到，在考试书卷内给予考生相应的定义及公式，通过学生自行探讨、研究，以推理的形式对函数知识点进行计算，甚至在一些情况下问题的答案不是固定的，因此，这就需要学生对函数知识有全面的了解，具有对未知函数问题解答能力。
四、结语
本文对近五年来高考数学函数内容进行分析，阐述高考函数考试大致范围，高考考生应对该部分函数进行详细学习，进而提高高考数学成绩。虽然函数知识仅仅是整个数学学科的一小部分，但因其覆盖面积较广，对于函数的考察范围成为高考考试试卷的整体运用趋势，随着数学教科书的更改，但从未改变函数知识在数学中的有利地位，因此，应提高函数教学实践，提高函数知识的理解能力，从而增加高考数学成绩。
参考文献
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