高中数学教学论文 导数及其应用教学反思

高中数学教学论文 导数及其应用教学反思（精选14篇）

高中数学教学论文 导数及其应用教学反思 篇1

1.反思“变化率问题”课堂教学的新课引入

导数的几何意义就是切线的斜率，因此贯穿“导数及其应用”的主线是切线的斜率。下面通过比较“变化率问题”的两节课，就新课的引入谈点想法。

这节课的核心问题就是“变化率问题”，它是学习导数的基础，是理解导数概念的根本。如果这节课能在把握整章教材的核心问题——“导数概念”的基础上，把握这节课的核心问题——“变化率问题”，恰到好处地给出瞬时变化率和切线的斜率，那么，自然水到渠成。

新课导入是整个课堂教学活动中的热身活动，目的是让学生在最短的时间内进入课堂学习的最佳状态。在这种教学环境和师生关系极为特殊，而且缺乏平常教学中的师生默契的情况下，如何以简洁、生动的教学案例来消除师生之间的陌生感，从而创设和谐的课堂气氛？如何以新颖的方法把教学内容自然地呈现在学生的面前？如何在上课伊始的几分钟内吸引学生的注意力，激发学生的求知欲？如何使新旧知识有机地结合起来，并溶入导入活动之中？等等，都是教师应深入思考的问题。

2.反思“变化率问题”课堂教学的课堂语言 “令”。这里的“令”，应该说成“习惯上用

表示，即

”。

关于气球膨胀率问题，应该补充说明：“我们把气球近似地看成球体”.这一点，两位教师都没有说明。

应该补充例题：“已知两点求经过两点的直线的斜率，在函数的图像上，”。因为它是联系平均变化率和导数概念的枢纽，同时，还有利于学生在亲身体验数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化中理解平均变化率的概念、切线斜率的概念和导数的概念等。

3.反思“变化率问题”课堂教学中对计算问题的处理

在课堂教学中，对计算问题的处理，要注意避免两种极端：过分强调学生的计算；以计算机代替学生的计算。

高中数学教学论文 导数及其应用教学反思 篇2

一、高中学生学习数学的思维特点

高中学生在进行数学学习的过程中通过对问题进行深入分析,明确问题之后提出更加深入内容的假设,通过针对假设提出的相关方案,运用所掌握的知识和查阅到的相关资料在对方案进行佐证的这个过程中,寻找出解决相关问题的办法,从而达到对数学课程的相关学习任务.在这个学习过程中的那个体现出学生发现问题的预见性,对问题进行分析之后提出的正确的假设性,通过思维灵活运用的过程中所表现出的内省性,以及在学习过程中所表现出的差异性等都是学生学习的特性.

在学习的过程中,有的学生能够根据教材的顺序对问题进行深入的研究探讨,有的则是需要老师对问题进行讲解,然后才能找到问题的答案,也有的学生是能全面地思考问题,由浅入深,由实到虚地对问题进行研究,那么也有的学生无法进行这种思考,他们的学习方式就是单纯的获得知识,并且只能将所得到的知识进行简单的运用,并不能深入了解知识的内涵.有的学生能够通过图表和相关数据进行深入的处理,从而进行分析比对,也有的学生对于图表数据之流束手无策,从而无法解决问题.一般情况下,学生初中阶段形象思维是发展得比较好的,但是到了高中阶段,特别是高一的时候,其形象思维发展减弱,而学生的逻辑思维反而开始增长,这就导致了大部分学生在高一阶段对于数学的学习十分困难.不过经过高一一年的学习之后,高二的学生对于数学学习就更加适应,并且其逻辑性思维也在不断地加强,到了高三的时候,学生的逻辑思维已经逐渐完善并且趋向于成熟.

二、高中导数教学内容

课堂教学并不是教师单向性地向学生传输知识,传统的教学活动中,只有老师一个人唱独角戏,课堂气氛低迷,效率低下.为了能吸引学生的注意力,激发学生的好奇心从而促使学生具有良好的学习兴趣,人教社在编写教材的时候根据内容的具体情况加上了“阅读思考”“实习作业”等项目,通过对这些内容的学习,使学生具有主动探究的意识,养成具有科学性的思维方式,通过对资料的收集和整理,深刻体会导数学习的价值,并在实际情况中运用学到的知识.

通过数形结合,使抽象的知识以具体的方式呈现出来,导数的学习过程本身就是一种数形结合的学习方式.在教学过程中,深刻贯彻对数据和图形的应用,通过这种有机结合的方式,在将繁复的推导过程简单化的同时,也可以让学生更好地对导数进行认识.教师通过这种方式给枯燥复杂的数学注入活力,降低数学学习的难度,提高学生的学习兴趣.

三、高中导数教学策略

教师在对导数的教学过程中,根据学生的实际情况对教学顺序、教学活动等问题进行全面透彻的思考,从主观条件和客观因素出发,完成原有的教学课程,达到教学目的,这就是教学策略的含义.通过教学活动中实际的经历、问卷结果等不同的教学方式的组合,寻找最适合学生的教学方式,科学地为学生解决在导数学习中遇到的各种困难,鼓励学生通过自己的努力和深入的研究学习跨越导数这个阻拦其学习的障碍.通过开展学习小组,将学生们进行合理的分配组合,以确保每名学生的长处都能在学习过程中发挥出来.使学生对合作性的乐趣产生深刻的体会,并合理地引导其在合作学习的过程中创造性思维的发展.另外,还要对总体教学和学习小组的时间进行合理的安排,使学习小组的相关活动在不影响整体教学的情况下展开.

结束语

对导数教学内容进行深入的研究,针对“导数及其应用”在学生学习过程中的衔接进行思考,使用科学合理的教学方式引导学生更好地进行高中导数的学习.导数具有在生活中广泛应用的特性,这就奠定了导数在数学学习过程中的重要地位,通过对学生个体差异和学习习惯等方面的考量,针对学生的接受能力和认知能力进行合理的教学改革,以适应目前大环境下的整体基础教育课程的改革潮流.

参考文献

[1]闫伟.高中数学“导数及其应用”教学研究[D].长春:东北师范大学,2015.

[2]许梦日,任传贤.“导数及其应用”部分教学高校与高中衔接问题探究[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2014(03):84-87.

论《导数及其应用部分》的教学 篇3

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02

高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。

课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。

一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述

大纲版教科书是这样定义的：

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）；极大值与极小值统称为极值。

课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？

二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？

在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。

近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。

我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02

高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。

课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。

一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述

大纲版教科书是这样定义的：

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）；极大值与极小值统称为极值。

课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？

二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？

在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。

近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。

我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02

高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。

课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。

一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述

大纲版教科书是这样定义的：

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）；极大值与极小值统称为极值。

课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？

二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？

在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。

近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。

我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。

高中数学教学论文 导数及其应用教学反思 篇4

观点：从学生实际出发，抓准得分点，让学生得到该得的分数。

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在求曲线的切线方程、讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、证明不等式等方面有着广泛的应用。导数的应用一直是高考试题的重点和热点。历年来导数的应用在高考约占17分（其中选择或填空题1题5分，解答题一题12分），根据本班学生的实际情况，我们得分定位在10分左右。因此教学重点内容确定为：

1、求曲线的切线方程，2、讨论函数的单调性，3、求函数的极值和最值。

反思：

一、收获

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用（解答题的第2、第3个问）往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的10分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点（a,f(a)）的曲线方程，2、求曲线y=f(x)过点（a,f(a)）的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

5、得到特级教师黄一宁及同行的老师们的指导，我收获极大。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，黄梅红同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。

高三数学题导数及其应用 篇5

导数及其应用

一、填空题

1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)

①在[x0，x1]上的平均变化率;

②在x0处的变化率;

③在x1处的变化率;

④以上都不对.

2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数的增量Δy=______________.

3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx，f(1+Δx))，则ΔyΔx=________.

4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是______________.

5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.

6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为________.

7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.

8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.

二、解答题

9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.

10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx，1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

能力提升

11.

甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?

12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.

参考答案

1.①

2.f(x0+Δx)-f(x0)

3.4+2Δx

解析Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2，

∴ΔyΔx=4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx.

4.s(t+Δt)-s(t)Δt

解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.

所以v=ΔsΔt=s(t+Δt)-s(t)Δt.

5.-1

解析ΔyΔx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.

6.0.41

7.1

解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.

8.4.1

解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由ΔsΔt求得，即v=ΔsΔt=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.

9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：

f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)

=[(-1)2-2×(-1)]-[(-3)2-2×(-3)]2=-6.

函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：

f(4)-f(2)4-2=(42-2×4)-(22-2×2)2=4.

10.解∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1

=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3，

∴割线PQ的斜率

ΔyΔx=(Δx)3+3(Δx)2+3ΔxΔx=(Δx)2+3Δx+3.

当Δx=0.1时，割线PQ的斜率为k，

则k=ΔyΔx=(0.1)2+3×0.1+3=3.31.

∴当Δx=0.1时割线的斜率为3.31.

11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.

12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为

f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.

函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为

g(3)-g(2)3-2=(2×3-3)-(2×2-3)1=2.

∵a+2=2×2，∴a=2.

谈谈高考中如何做好数学选择题

做题前的准备工作：扎实的数学基础

做好题的前题是你能读懂题，知道这个题需要你做什么，心里有个大概的思路。

其实在这一步就会滤掉很多人。

以前，我也不知道看不懂题，心里完全没有思路，稀里糊涂的感觉是怎么样的。

直到我读大学，很多课没认真学，临到期末突击一下，上考场才体会到那种感觉。

如果我们连基础的概念和公式都不会，那就先安静下来，先把基础的知识概念公式看一遍，

不要好高骛远，先不做题。

基础知识不扎实的同学可以先模仿我的专栏里的学习数学的方法，把知识梳理一遍

一、观察

在做题之前，先读题，观察我们要处理的数学语句和数学对象。

二、学会一些二级公式

三、学会利用选项

选择题为什么是选择题，就是因为有选项。

这本质上是一个“which”的问题，而不是一个“why”的问题

有时候我们根据选项也可以获取到一些信息

四、特殊值

高中数学教学论文 导数及其应用教学反思 篇6

导数、微分及其应用

一、导数、偏导数和微分的定义

对于一元函数

对于多元函数

对于函数微分

注：注意左、右导数的定义和记号。

二、导数、偏导数和微分的计算：

1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；

2）隐函数、参数方程的导数

3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式的运用。

例1：求函数在处的阶导数。

解：，所以有

（1）

利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得

当时，由此可得

例2：求的阶导数。

解：

设

其中，则有

注：计算时注意一阶微分不变性的应用。

4）方向导数与梯度

三、导数、偏导数及微分的应用

1）达布定理：设在上可导，若则对介于的一切值，必有，使得。

证明：在上可导，则在上一定有最大值和最小值。

1、如果异号，无妨设，由于，由极

限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有，这就说明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马

定理可得。

2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函

数，则有异号，由前

面的证明可得，存在有，即。

2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，这里在与之间的某个值。

3）一元函数的单调性及极值、最值

4）一元函数的凹凸性：

在区间上凹：和，若，则；

在区间上凸：和，若，则；

性质：1、如果在区间上是凹的，则和，若，一定有；

2、如果在区间上是凸的，则和，若，一定有

证明：因为

其中，所以用数学归纳法可证明以上结论。

例3：证明：若，则有

证明：考虑函数，因为

所以时，是凹函数。因此对于由性质有

5）多元函数几何应用

6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

例4：设在上连续，在上可导。又在上连续，证明：至少存在一点使得。

证明：因为在上连续，所以在上存在原函数，即有。

考虑函数，则有，由罗尔中值定理可得至少存在一点使得

因此至少存在一点使得。

例5：设函数在上连续，在上可导，（1）如果，证明：至少存在一点，使得。

（2）如果，且对一切有，证明：至少存在一点，使得。

证明：（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有。下面设不是常数，此种情形下存在使得，无妨设，取，因为，所以存在，当时有

因此我们有，由此我们可得在上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得

(2)因为，由夹逼准则得

考虑函数，则有在上连续，在上可导，并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得。

例6：设函数在区间上可微，是个正数，且，证明：存在使得

证明：利用介值定理，存在使得，无妨我们设，对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之间使得

因此我们有

例7：设在上可导，证明：。

证明：1）设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，特别是；

2）设在上有，设设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有。

例8：设在上有二阶导数，证明：存在，使得

证明：设，将在点处展成三阶泰勒公式

当时，（1）

当时，(2)

得

因为在可导，且在之间，由达布定理可得，存在使得，此时即有

例9：设在上二阶可导，证明：对于，存在使得

证明：构造函数，则有，利用罗尔中值定理，存在有，再利用一次罗尔中值定，存在使得，又因为

由此可得

即有

例10：设函数在连续，在内可微，且。证明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

证明：（1）考虑函数，因为，由零点定理，存在使得；

（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，存在使得，即有。

例11：设在上无穷次可微，并且满足：存在，使得，；且，求证：在上。

四、练习题

1）求函数的阶导数。

2）设在上有阶导数，且，证明：存在，使得。

3）设在上有二阶导数，且存在使得证明：存在，使得。

4）设在区间上三次可微，证明：存在，使得

5）设函数在上是导数连续的有界函数，证明：

高中数学导数计算的应用分析 篇7

高中数学中导数能够使很多棘手的问题明朗化, 是解决函数的单调性、求极值、求切线方程等许多问题的重要手段. 而且利用导数求单调性、求极值等已经成为高考中必定会考的题型. 然而, 导数在做题以及应用过程中经常会出现一些易错现象, 所以也有很多需要注意的地方.

二、导数的应用

1. 应用导数求函数单调性

对于刚刚学习导数的学生来说学习导数是有一定难度的, 所以首先要弄清导数的定义及其性质, 然后让学生慢慢地将其运用到实际解题中去, 这样能让学生对导数有更加透彻的理解.

函数单调性问题的解题步骤:

( 1) 求函数的导函数, 即F' ( x) .

( 2) 求单调区间, 使F' ( x) >0的区间则为增区间, 使F' ( x) < 0的区间为减区间.

例求函数的单调增区间.

分析这道题目经过观察后会发现, 若是直接运用函数图像去观察函数的单调区间是非常困难的, 但是由于其是可导的, 所以如果运用导数的性质很容易就能求解.

2. 利用导数求函数的极值

在高中数学中经常会出现, 求函数在某个区间的取值范围, 或者求最大值与最小值等类似的问题. 通过对导数的性质可以知道, 对于函数的导数在区间内如果两侧的符号不同, 那么这个函数在这个区间上就存在着极值. 这类问题都有通用的解决方法与步骤.

函数求极值时解题步骤如下:

第一步: 确定函数的定义域;

第二步: 求导数;

第三步: 在定义域内求出所有的驻点, 即求方程的所有实根;

第四步: 检查在驻点左边和右边的符号, 若是左正右负, 则F ( x) 在这个根处取得极大值; 若是左负右正, 则F ( x) 在这个根处取得极小值.

例用长度为18 cm的钢条围成一个长方体状的框架, 要求长方体的长、宽之比为2∶1, 问该长方体的实际长、宽、高分别为多少时, 其体积应该为最大值? 其最大体积又是多少?

解设长方体的实际宽度为x, 实际长度为2x, 则实际高度h =4.5 -3x. 因为长方体的高大于0, 所以得到变量x的取值范围为0

长方体的体积V ( x) =2x2 ( 4.5 -3x) =9x2- 6x3.

由V' ( x) =18x -18x2= 0, 解得x1= 0, x2= 1, 显然在x =1处取得最大值, 此时Vmax= 3 cm3.

分析这道题是函数最值问题的简单应用, 通过对本题的分析, 笔者想告诉读者的是利用导数知识, 可以使目前很多数学题简单化.

3. 应用导数求切线

求函数的切线方程, 或者是通过切线方程求得导函数, 继而利用导函数的性质, 求函数单调区间或者极值是常见的形式.

切线问题的解题步骤如下:

第一步: 设f' ( x) 为函数f ( x) 的导函数, 然后对原函数进行求导;

第二步: 将切点横坐标代入导函数f' ( x) , 求得斜率k;

第三步: 利用点斜式可以求得直线方程.

例求函数f ( x) = x3+ 2x + 1在点P ( 0, 1) 处的切线方程.

解 f' ( x) =3x2+ 2, f' ( 0) = 2.

设切线方程式: y =2x +b, 又因这个切线过点 ( 0, 1) , 所以切线方程式为y =2x +1.

分析类似上述的题, 经过变换后难度也许会加大, 但其解题的过程与步骤基本不变.

4. 应用导数解决不等式恒成立问题

函数与不等式的结合是比较常见的问题, 这种题型起初解决起来会比较困难, 但运用导数解题就相对简单很多.

三、总 结

导数因其能让很多枯燥的数学有了乐趣, 也让原本复杂的数学变得容易, 是数学中不可多得的数学学习方法. 所以, 导数在高中数学中起着至关重要的作用, 在高考中的地位也是不可撼动的. 时代在不断进步, 高中阶段的导数也在不断的发生改变. 作为教育工作者, 应该在教学实践过程中不断思考、总结、积累经验, 与时俱进, 让学生更轻松地学习数学, 爱上数学.

摘要：导数是学习高中数学的必备基础, 可以说是初等数学与高等数学的桥梁, 也是高考热门题型.我根据自己在对导数进行教学当中的经验, 结合实际对其进行归纳和分析, 希望在导数教学中起到一定的作用.

高等数学中导数的求法及其应用 篇8

【关键词】 高等数学;导数;求法;应用

中图分类号: G633.66

高等数学是一门专业基础课, 也是一门方法学科,学好高等数学对其它科目的学习具有十分重要的意义。而导数在高等数学基本概念中占有重要位置,是高等数学的重要根基, 所以,导数学习的重要性是显而易见的。但很多同学对导数并不重视,也不懂得如何应用导数来解决相关的问题。现笔者通过自己的学习和理解,列举出了几种导数的求法及其它在解题和实际中的应用。

1 导数的求法

1.1 利用导数的定义

例1 设f(x)=|x-a|(x),其中(x)在x=a点连续,

试问在什么条件下,f(x)在x=a处可导。

[分析]:先去掉绝对值符号,

再利用f(x)在x=a处可导f'-(a)=f'+(a).

[求解]:f(x)=[JB({](x-a)(x),xa(x-a)(x),x>a[JB)]

f(a)=|a-a|(a)=0

f'-(a)[WB]=lim[DD(X]xa-[DD)][SX(]f(x)-f(a)[]x-a[SX)]

[DW]=lim[DD(X]xa-[DD)][SX(](a-x)(x)[]x-a[SX)]

[DW]=-(a)

f'+(a)[WB]=lim[DD(X]xa+[DD)][SX(]f(x)-f(a)[]x-a[SX)]

[DW]=lim[DD(X]xa+[DD)][SX(](a-x)(x)[]x-a[SX)]

[DW]=(a)

f'(a)存在的充要条件是:f'-(a)=f'+(a),若要f'(a)存在,必须-(a)=(a)即(a)=0,此时f'(a)=0。

1.2根据公式求导数

例2 设y=2[KF(]x[KF)]sin x+cos x•in x,求导数y?

[求解]:y=(2[KF(]x[KF)]sin x)+(cosx•1n x)

=(2[KF(]x[KF)])•sin x+2[KF(]x[KF)]•(sin x)+(cos x)•1n x+(cos x)•(1n x)

=[SX(]1[][KF(]x[KF)][SX)]•sin x+2[KF(]x[KF)]•cos x-sin x•1n x+(cos x)•[SX(]1[]x[SX)]

=[JB((][SX(]1[][KF(]x[KF)][SX)]-1n x[JB))]sin x+[JB((]2[KF(]x[KF)]+[SX(]1[]x[SX)][JB))]cos x

1.3 简化求导

在求形如[SX(]1[](x)[SX)]的函数导数时,用复合函数求导法则计算[SX(]1[](x)[SX)]更简便。 

例3 设y=[SX(]1[][KF(]3x+1[KF)][SX)],求y.

[解一]:直接求导y=(-1)×[SX(]1[]2[SX)](3x+1)-[SX(]1[]2[SX)]•3/3x+1=-[SX(]3[]2[SX)](3x+1)-[SX(]3[]2[SX)]

[解二]: y=(3x+1)-[SX(]1[]2[SX)]

则y=-[SX(]1[]3[SX)](3x+1)-[SX(]3[]2[SX)]•3=-[SX(]3[]2[SX)](3x+1)-[SX(]3[]2[SX)]

对比两个解法,不难看出对简化求导运算的作用。

1.4 利用隐函数求导数

例4 设xy2-exy+2=0,求由方程确定的隐函数的导数y。

[求解]:两端同时对x求导

y2+2xyyx-exy(y+xyx)=0

解出[SX(]dy[]dx[SX)]=[SX(]y(exy-y)[]x(2y-exy)[SX)]

2 導数的应用

2.1 最值点的判别

例5 求函数f(x)=[SX(]2[]3[SX)]x-(x-1)[SX(]2[]3[SX)]的极值。

解:定义域D=R,f(x)=[SX(]2[]3[SX)][SX(][KF(S]3[]x-1[KF)]-1[][KF(S]3[]x-1[KF)][SX)],

令f(x),得驻点x=2当时x=1,f(x)不存在。列表得:

[BG(!][BHDFG1*2,FK4,K4*1。5F]

x[](-∞,1)[]1[](1,2)[]2[](2,)∞

[BHDG2]f(x)[]+[]不存在[]-[]0[]+

[BH]f(x)[][]极大值[SX(]2[]3[SX)][][]极小值[SX(]1[]3[SX)][]

在例5中,虽然x=1时,f(x)不存在,但根据极值判别法Ⅰ, f(x)在x=1两侧的符号由“+”变为“-”,可知为极值点,且为极大值点。所以,连续不可导点可能是极值点。

2.2 实际应用

例6 设某厂每月生产的产品固定成本为1000元,生产x个单位产品的可变成本为0.01x2+10x元,如果每单位产品的销售为30元,试求:总成本函数,总收入函数,总利润函数,边际成本,边际收入及边际利润为零时的产量.

[求解]:总成本为可变成本与固定成本之和,依题意:

总成本函数C(x)=0.01x2+10x+1000

总收入函数R(x)=px=30x

总利润函数I(x)[WB]=R(x)-C(x)

[DW]=30x-0.01x2-10x-1000

[DW]=-0.01x2+20x-1000

边际成本C(x)=0.02x+10

边际收入R(x)=30

边际利润I(x)=-0.02x+20

令I(x)=0得-0.02x+20=0,x=1000。即每月产量为1000个单位时,边际利润为零。这说明,当月产量为1000个单位时,再多生产一个单位产品不会增加利润。

导数对今后高等数学其他章节的学习非常重要,我们不仅要对导数的定义有很深的了解,还要善于运用,掌握好各种求法,并应用到各种类型的问题和实际中去。本文从实践知识认识为前提,提出了对高等数学导数的各种求法及其应用,希望对大家有所帮助。

 参考文献:

王海舟, 一阶导数在函数中的应用——单调区间、极值点与最值点的判别王海舟.[J] 科技资讯 2009.06.

耿立华, 浅谈高等数学中导数概念的教学.[J] 中国校外教育下旬刊 2008.04.

李建考, 从导数的应用谈高等数学中的数学建模问题.[J] 职教与成教 2008.06.

导数与函数的单调性的教学反思 篇9

第一、教学上应突出数学思想方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂的主体，必须把课堂时间交给学生。本节课通过复习二次函数的单调性，让学生动手发现探究原函数的单调性与其导数符号的关系，最后归纳出结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。

2)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的。

优点：

1、从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前学过的确定函数单调性的方法，使知识学习有连贯性。

2、由不熟悉的三次函数单调性的确定问题，使学生体会到，用定义法太麻烦，而图像又不清楚，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性。

3、从简单的、熟悉的二次函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。再用代数法求出导数进行验证。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般，同时体会数形结合的思想方法。

4、学生分组探讨，用导数的几何意义和代数法两种方法探讨，每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来，从而抽象概括一般性的结论。这个过程充分体现了学生的合作学习、自主学习、探究学习。

第二、例题和变式练习体现层次性、思想性。例题设计的两重用意：一是利用已知的二次函数的知识再次体验归纳结论的正确性，前面得到的是通过归纳得到的结论，没有严格的证明，这样处理有利于培养学生严谨的数学思想;二是对于二次以下的多项式函数，不仅可以通过用导数求单调性，也可以用图像法和定义法，都比较简单，也为了突出再求三次、三次以上的多项式函数或图像比较难画时的函数的单调性，应用导数的优越性。

1.通过例题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤，体会算法思想。

2、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

3、时刻注意学生基本功，学生的计算能力一直是薄弱点，每节课刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间。

第三、教学中让学生“形成知识还是形成思想?”数学思想方法是以知识为载体，依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐形知识体系，但具体教学知识的教学不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法将零散、具体的数学知识串起来，优化知识结构、、迅速构建学生的认知结构，从而对学生的数学思维产生深刻而持久的影响。相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的。因此，方法的掌握、思想的形成，才能使知识转化为能力，才是数学教学教育的最终目标。

高中数学教学论文 导数及其应用教学反思 篇10

————一元二次不等式及其解法

一、教学内容分析

一元二次不等式的解法是高中重要的基本功，也是初中与高中的衔接点，进一步熟悉不等式的性质的体现，通过学习，让学生了解一元二次不等式的本质，学会一元二次不等式的一般解法思路，理解一元二次不等式的解与对应的一元二次方程根的关系。

二、学生学习情况分析

学生在初中接触过一元二次方程求根，也会解答简单的一元二次不等式。但学生在初中学习的方法比较杂，需要规范一下一般的解答思路。

三、设计思想

由具体的一元二次不等式入手，通过学生的解答，使学生体会利用图像的直观性准确的把握一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，并由此解答相关的问题。

四、教学目标

【读一读学习要求，目标更明确】 1．会解简单的一元二次不等式．

2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系． 【看一看学法指导，学习更灵活】

1．利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关系，牢固地记忆相关结论． 2．解一元二次不等式关键是熟练掌握一元二次不等式解集的结构特征，“对号入座”即可快速地写出其解集．

五、教学重点与难点: 教学重点

1.一元二次不等式的解法与对应方程的根及对应函数的图像的关系。2.含参不等式的处理方法 教学难点: 一元二次不等式的解法与对应方程的根及对应函数的图像的关系的应用。

六、教学过程设计 【设计思路】

（一）解答实例、得出联系

一、问题探究一 三个“二次”之间的联系

问题 下图是函数y＝x2－x－6的图，对应值表： x 3 －2 －1 0 1 2 3 4

y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6

则方程x2－x－6＝0的解集为； 不等式x2－x－6>0的解集为； 不等式x2－x－6<0的解集为．

通过上面的例子，我们可以得出以下结论：(1)从函数的观点来看：

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在 部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在部分的点的横坐标x的集合．(2)从方程的观点来看：

一元二次方程的根是二次函数的图象与的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是的实数的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是的实数的集合． 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值． 问题探究二 一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及二次函数的图象之间的关系

二次函数 的图像

一元二次方程 的根的解集的解集

【设计意图】 由特殊到一般，使学生自己探索一元二次不等式的解与一元二次函数的图像及一元二次方程根的关系。让学生自己建构知识体系。

（二）理解关系、解决问题 求下列不等式的解集：

(1)2x2－3x－2≥0；

(2)－3x2＋6x>2.小结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．

【设计意图】 通过解答两个小题，使学生总结一下解一元二次不等式的解答步骤。

（三）教师引导、深化认识 例1：不等式的解集为，求与 变式1：不等式的解集为求的解集

变式2：若不等式的解集为，求关于x的不等式的解集． 小结 利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．

例

2、解关于x的一元二次不等式：ax2＋(a－1)x－1>0.小结 解ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论． 【设计意图】

使学生进一步理解一元二次不等式的解与对应一元二次方程的根的关系

七、教学反思

1．本课借助于“POWERPOINT课件”，尽量使全体学生参与活动，使原来枯燥单一知识变得直观，便于想象，使学生觉得简单易懂，同时，运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。

2．利用两个例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生思维能力,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法.循序渐进的让学生把握这类问题的解法，虽然从表面上看，我这一堂课的教学容量不大，但事实上，学生们的思维运动量并不会小。

导数在高中数学解题中的应用分析 篇11

关键词：导数；高中数学；数学解题；不等式

G633.6

导数是微分的初步知识，同时也是新教材的新增内容，是研究函数、解决实际问题的有力工具，在近年的高考中已占有突出的地位，是高考和各地模拟考试的热点。近几年全国各地高考试卷中均有与导数有关的综合问题，经常是导数与不等式、方程、解析几何、数列、函数等其他知识的交汇进行命题，从不同的角度灵活考查了综合利用所学知识解决数学问题的能力。因此，在复习时要增强运用导数知识解决数学问题的意识。

一、导数在求函数极值中的应用

函数的最值问题是高中数学中的一个重点，也是一个难点，在导数引入高中课本以前，求函数最值的方法有很多种，但是导数引入高中课本后，对很多求最值类型的题目不仅多了一种解题的方法与思路，而且更是解决问题的简便方法之一。由于最值问题中二次函数的最值比较典型，本文就以导数在求二次函数最值中的应用为例。在大部分高考题目中，二次函数的区间最值是指二次函数在某个特定区间上的最大（小）值，这类题往往含有参数，是高考的热点与难点。如果用数形结合的思想和方法来解答，则十分麻烦，但利用导数来解答，则简洁明了。导数的作用主要是判断函数在此区间上的单调性与函数的极值点，解题的关键在于考察二次函数的极值点与区间的相对位置关系。

例1： 已知函数f（ x） = x2 （ x + 1） ，求函数f（ x） 在R上的极值。

其相应的求解的过程如下：

解： f '（ x） = 2x（ x + 1） + x2 = 3x2 + 2x，令f '（ x） = 0，得到x1 =0，x2 =- 。

当x∈（ -∞，- ） 时，f '（ x） > 0，即f（ x） 为单调递增；

当x∈（- ，0） 时，即f '（ x） < 0，即f（ x） 为单调递减；

当x∈（ 0，+ ∞） 时，f '（ x） > 0，即f（ x） 單调递增。

所以当x = - 时，f（ x） 取得相应的极大值f（- ） = ，

当x = 0 时，f（ x）取得相应的极小值f（ 0） = 0。

二、利用导数判断函数的单调性

在导数被引进高中数学课本以前，判断函数的单调性最常规的方法就是定义法，但是定义法一般常常用来判断一些简单函数的单调性，遇到稍微复杂一点的函数，在利用定义法判断的时候比较繁琐。导数引进以后就可以尝试用导数来判断函数的单调性了。利用导数判断函数单调性的基本原理就是，针对一个函数f（x），如果它的导数f′（x）在区间[a，b]上大于0，则函数f（x）在区间[a，b]上是单调递增的，否则则是单调递减。

例2：已知函数f（x）=x2eax（a≤0），讨论f（x）的单调性。

解：f′（x）=x（ax+2）eax.

当a=0时，令f′（x）=0，得x=0，

若x>0，则f′（x）>0，则f（x）在（0，+∞）单调递增；

若x<0，则f′（x）<0，则f（x）在（-∞，0）单调递减。

当a<0时，令f′（x）=0，得x=0或x=-2/a，

若x<0，则f′（x）<0，则f（x）在（-∞，0）单调递减；

若00，则f（x）在（0，-2/a）上单调递增；

若x>-2/a时，则f′（x）<0，则f（x）在（0，+∞）单调递减。

三、利用导数证明不等式

函数与不等式的结合是高中数学中比较典型的题目，尤其是近年来在命题宗旨越来越趋向综合化的命题指导思想模式下，函数与不等式的结合愈加紧密。根据以往很多省份的高考试题研究结果，很多不等式的证明几乎都可以利用导数来解决。

例3：已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中0

证明：首先求f（x）的导数，得：

f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab

由f（x）在x=s和x=t取到极值，知：s，t是二次方程f′（x）=0的两实根，

又f′（0）=ab>0

f′（a）=a2-ab=a（a-b）<0 f′（b）=b2-ab=b（b-a）>0

即f′（x）在区间（0，a），（a，b）内分别各有一个实根，

由s以上是用导数将二次函数“降次”转化为研究二次方程在（0，a）与（a，b）存在实根的问题，结合实根分布理论，运用数形结合的思想，实现了不等式的证明。当然，还有很多利用导数证明不等式的时候，需要利用函数的单调性。

四、利用导数来解决切线问题

我们知道，函数f（x）在点x=x0处的导数f′（x0）的几何意义就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，其切线方程可以表示为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）。近几年来，随着高考对导数知识考查力度的不断加大，关于高次曲线、分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的切线问题逐渐进入高考试卷，成为高考试卷中一道亮丽的风景线。导数的几何意义为这些用传统方法难以求解的切线问题提供了新思路、新方法、新途径，拓宽了高考的命题空间。下面结合某些高考题或高考模拟题，介绍导数在解决高中切线问题的基本方法与思路。

由于篇幅限制，关于导数在分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的应用在此就不再累述，但是基本的原理与思路都是相同的。

本文重点探讨了导数在求函数极值，在证明不等式，在求函数单调性以及在切线问题中的应用，事实上，导数的应用范围还远远不止这么多，例如在向量中的应用，在解析几何与立体几何中都具有重要的应用。关键是由于导数内容是安排在高中数学的最后一册，而平时很多学生在解答题目的时候已经习惯用比较常规的定势思维来解决这些问题，尤其是在考试那种氛围下更是难想到用导数的方法来解题，这就需要在平时中多加训练。

参考文献：

[1]范运灵.高中导数的交汇问题[J].考试，2007，（3）.

探究导数在高中数学解题中的应用 篇12

导数是在微积分领域较重要的基本概念, 是函数概念的局部,具有函数的基本性质.当函数y=f(x)中自变量X在某一个点X0上时就会出现一个增量X, 这时函数输出的增量y与自变增量ΔX的比值在向0无限靠近时如果存在极限a,a就是X0这一点的导数.许多问题通过运用导数求解,会更加方便、准确[1].

二、导数在数学解题中的应用

(一 )利 用导 数 判 断 函 数 的 单 调性

所谓函数的单调性问题,其实就是在某一特定区间内,随着自变量的增减,因变量也会随之产生变化.例如在减函数区域内, 就只有自变量不断增大而因变量随之变小这一单一的情况,如果随着自变量变大因变量同时变大,则是出在增函数区域内.在没有进行导数的相关教学之前,一般是通过定义判断函数的单调性的,在简单的单调函数的判断中,这种做法尚且可取,但是如果遇到比较复杂的函数,再通过运用定义判断,过程就会极其繁琐费时,而且容易出错.学习引入导数概念后,就可以根据导数的概念轻松地判断了.如果要判断函数f(x)在 [m,n]这一区间 内的单调 性 ,就可以利用 导数 ,在区间内求导,如果导数值大于零,则证明函数f(x)在[m,n]区间内为单调递增函数,如果导数值小于零,则相反.如果是要求某段函数上的单调函数区间, 就要对求证的区间范围做明确的说明[2].

(二 )利 用导 数 求 证 不 等 式

通过对近年来高考试题的分析,发现经常将导数与不等式结合起来考察.利用导数解决不等式问题,解题方式往往会更简便明了, 而且通过使用导数求证不等式还可以使学生更深入地了解不同类型的题目之间的内在联系, 使学科的学习更系统化、网络化.利用导数解决不等式问题通常是将两个不等式转换为函数问题,就是判断两个函数大小的问题,通过构建新的辅助函数,判断函数在某一区间的单调性情况,这样就可以通过判断函数的大小判断不等式是否成立.

(三 )利 用 导 数 求 函 数 最 值

在高考考察范围内, 求函数的最大值问题一直是作为难点考察的.关于函数最值的求解方式也很多.在部分题目求解时,采用导数的方法,会产生新的解题思考方式与解题技巧.最经典的是在二次函数中求解最值,二期函数求最值,本来就是在某一特定的区间内求出最大值或者是最小值, 提供了一定的参数.如果使用传统的其他解题方式,一般是要将数形结合起来,解答过程中要不断参考数据与图形,二者要同时兼顾,如果在哪一点疏漏了,就会出现错误,得不偿失.而采用导数的方法, 就可以对区间内函数的单调性作出迅速准确的判断,只要将求解的最值与区间相对应就可以了.如果遇到复合函数求最值问题,只要能确定定义域,就能很快求出最值[3].

(四 )利 用 导 数 解决 切 线 问 题

随着素质教育的观念深入人心及教育改革对数学提出的要求,近年来,对于特殊曲线的切线问题的探究也越来越多.例如对指数函数的曲线切线、三角曲线的切线等此类问题的研究,这些切线问题用传统的方法求值,不仅绘图过程繁琐,还容易出错.导数从本质上来讲,是函数的一部分,也就是任意曲线上某一点的斜率.就是这一实质,使得将导数运用到切线问题中时,解题思路和方法就会变得十分清晰简单,能够更高效准确地求出正确答案. 切线问题在高考中的比重变得越来越大,值得引起各位教师和学生的注意.

(五 )利 用导 数 解决 数 列 问 题

数列同样是高考考察的重要部分, 也是中学阶段需要学生掌握的一个重要的教学内容,关于数列有很多的解决方案,其实也可以把数列问题运用到导数进行解答, 把数列整体看做是自变量为整数的特殊函数, 这样将数列问题转化为函数问题,然后就可以运用导数求解了[4].

结语

导数及其应用_知识点总结 篇13

1、函数{ EMBED Equation.DSMT4 |fx从到的平均变化率：

2、导数定义：在点处的导数记作；．

3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦；⑧

5、导数运算法则：；

；

．

6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；

若，则函数在这个区间内单调递减．

7、求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；（2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数的极值的方法是：解方程．当时：

如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)

（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：

求函数在内的极值；

高中数学教学论文 导数及其应用教学反思 篇14

作为一名高中数学教师来说不仅要上好每一堂课，还要对教材进行加工，对教学过程以及教学的结果进行反思。因为数学教育不仅仅关注学生的学习结果,更为关注结果是如何发生,发展的。

一、为什么要进行教学反思

1、什么是教学反思呢?教学反思是指“教师以自己的教学活动为思考对象，对自己所做出的行为、决策以及由此产生的结果进行审视和分析的过程。”反思性教学是西方一些发达国家的师范教育领域里兴起并迅速向普教领域延伸的新的教学实践和理论。也是近年来国外盛行的教学方法之一。现代教育最重要的特征就是张扬人的主体性，提倡个性的发展，充分发挥每个人的主观能动性及特长，以期取得最大的效益和最高的发展。因此社会、学校对教师提出了更高的要求。这种要求不仅体现在对教师专业知识的追求上，更重要的体现在对教师的综合素质，教学效益的要求上。

2、教学反思的意义：教学反思是一种非常有益的思维活动，它一方面是对自己在教学中的正确行为予以肯定，不断地积累经验;另一方面又是自己同自己“过不去”挑自己的刺，找出在教学实践中与教学新理念不相吻合的甚至和教学新理念相违背的做法，进行自我批评，并且予以改正，通过不断完善自己的教学行为使自己以后的教学方法更加完美。一个教师要想成为一名优秀教师，除了具备一定的教学经验外，还必须具备不断反思的意识。一个教师不论其教学能力起点有多高，都有必要通过多种途径对自己的教学进行反思，这样做有利于提高教师的自我教学意识，增强自我评价、自我纠错的能力，然后再回到实践进行新的一轮反思，不断循环，螺旋上升。另一方面通过对反思的探索，构建理论与实践的桥梁，对反思基本理念进行确认，将理论回归实际。这样才能使自己与时俱进;才能对自己提出更高更远的.目标，向教学艺术的殿堂迈进。

二、对数学概念的反思——学会数学的思考

对于学生来说,学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考,用数学的眼光去看世界。而对于教师来说,他还要从“教”的角度去看数学,他不仅要能“做”,还应当能够教会别人去“做”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的，历史的,关系的等方面去展开。

以数列为例：从逻辑的角度看,数列的概念包含它的定义，表示方法，通向公式，分类，以及几个特殊的数列，结合之前学习过的函数来说，它在某种程度上说，数列也是一类函数，当然也具有函数的相关性质，但不是全部。

从关系的角度来看,不仅数列的主要内容之间存在着种种实质性的联系,数列与其他中学数学内容也有着密切的联系.数列也就是定义在自然数集合上的函数。

三、对学数学的反思

对于在数学课堂每一位学生来说，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受。教师不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。应该怎样对学生进行教学,教师会说要因材施教.

可实际教学中,又用一样的标准去衡量每一位学生,要求每一位学生都应该掌握哪些知识,要求每一位学生完成同样难度的作业等等.每一位学生固有的素质,学习态度,学习能力都不一样,对学习有余力的学生要帮助他们向更高层次迈进.平时布置作业时,让优生做完书上的习题后,再加上两三道有难度的题目,让学生多多思考,提高思含量.对于学习有困难的学生,则要降低学习要求,努力达到基本要求。布置作业时,让学困生,尽量完成书上的习题,课后习题不在家做,对于书上个别特别难的题目可以不做练习。

四、遵循教学反思的四个视角

第一是将自己的经历融入教学过程之中。在教学过程之中,我们常常把自己学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要参照,我们每一个人都做过学生,我们每一个人都学过数学,在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐,紧张,痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪.当然,我们已有的数学学习经历还不够给自己提供更多,更有价值,可用作反思的素材,那么我们可以“重新做一次学生”以学习者的身份从事一些探索性的活动,并有意识的对活动过程的有关行为做出反思。

第二是从学生的角度出发，将教学行为的本质在于使学生受益,教得好是为了促进学得好。在新课程实验中,学习分段函数时,让学生去了解出租汽车的出租费用,或家长工资中的扣税标准,并写出调查报告。在讲习题时,当我们向学生介绍一些精巧奇妙的解法时,特别是一些奇思妙解时,学生表面上听懂了,但当他自己解题时却茫然失措.我们教师在备课时把要讲的问题设计的十分精巧,连板书都设计好了,表面上看天衣无缝,其实,任何人都会遭遇失败,教师把自己思维过程中失败的部分隐瞒了,最有意义,最有启发的东西抽掉了,学生除了赞叹我们教师的高超的解题能力以外,又有什么收获呢?所以贝尔纳说“构成我们学习上最大障碍的是已知的东西,而不是未知的东西”。

第三就是要多与同事交流因为同事之间长期相处,彼此之间形成了可以讨论教学问题的共同语言,沟通方式和宽松氛围,便于展开有意义的讨论。由于所处的教学环境相似,所面对的教学对象知识和能力水平相近,因此容易找到共同关注的教学问题展开对彼此都有成效的交流。交流的方式很多,比如:共同设计教学活动,相互听课,做课后分析等等.交流的话题包括:我觉得这堂课的地方是……,我觉得这堂课糟糕的地方是……;这个地方的处理不知道怎么样如果是你会怎么处理我本想在这里“放一放”学生,但怕收不回来,你觉得该怎么做我最怕遇到这种“意外”情况,但今天感觉处理得还可以,你觉得怎样合作解决问题——共同从事教学设计,从设计的依据,出发点,到教学重心,基本教学过程,甚至富有创意的素材或问题.更为重要的是这样的设计要为其后的教学反思留下空间.