圆与直线的关系中考题

2024-07-08

圆与直线的关系中考题（通用5篇）

圆与直线的关系中考题篇1

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．

(二)能力训练点

通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．

(三)学科渗透点

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．

二、教材分析

1．重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题)；(2)圆系方程应用．

(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题；(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程．)2．难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明．(解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明．)

三、活动设计

归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习．

四、教学过程(一)知识准备

我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识．

1．点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r(2)d=r(3)d＜r 点M在圆外；点M在圆上；点M在圆内．

2．直线与圆的位置关系

设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，判别式为△，则有：(1)d＜r(2)d=r(3)d＜r 直线与圆相交；直线与圆相切；

直线与圆相离，即几何特征；

直线与圆相交；或(1)△＞0(2)△=0(3)△＜0 直线与圆相切；

直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系

设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：

(1)d=k+r(2)d=k-r(3)d＞k+r(4)d＜k+r 两圆外切；两圆内切；两圆外离；两圆内含；

两圆相交．

(5)k-r＜d＜k+r 4．其他

(1)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．

(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：

设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．

(3)圆系方程：

①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．

②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．

(二)应用举例

和切点坐标．

分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．该例题由学生演板完成．

∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，把这两个切线方程写成

注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，例

2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长．

分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．

证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=

∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q．

例

3求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．

解法一：

相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．

∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25．解法二：

设所求圆的方程为：

x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)

∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．小结：

解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练．

(三)巩固练习

1．已知圆的方程是x2+y2=1，求：

(1)斜率为1的切线方程；

2．(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是

(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是______．(内切)由学生口答．

3．未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．

分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程．由两个同学演板给出两种解法：

解法一：

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0． ∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，解法二：

设过交点的圆系方程为：

x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．

五、布置作业

2．求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切． 3．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．

4．由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求：

(1)切线长；

(2)AB中点P的轨迹方程．作业答案：

2．证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3．x2+y2-x+7y-32=0

用“圆与直线的位置关系”解题篇2

一、方程问题

例1（2013年湖北省高考题）设实数x，y，z∈R，满足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

分析将问题视为在直角坐标系xOy下：

圆M：x2+y2=1-z2与直线l：x+2y+（3z-14）=0有交点时，求z的值.

解由圆心O到直线l的距离不大于圆的半径，有|3z-14|5≤1-z2，即（14z-3）2≤0得z=31414；于是得x=1414，y=21414；所以x+y+z=3147.

二、平面几何问题

例2（第三届世界数学锦标赛）某直角三角形中，斜边长为4x-2，一条直角边长为415-3x，求另一条直角边长的范围.

分析设另一条直角边长为r（r>0），依勾股定理，只需求r2=x-2-15-3x中r的范围.

令x-2=Y5-x=X，则问题转化为：

在直角坐标系XOY下圆弧M：X2+Y2=3（Y>3X>0）与直线l：Y=3X+r2有交点时，

求r的范围.

图1

解如图1，显然直线l只有从直线Y=3X起向上平移至点B（0，3）之间时才与圆弧M有交点，所以得：0

三、解析几何问题

椭圆与圆是一对孪生兄妹，它们存在着很多相似的性质，而且可以相互转化！

图2

例3（2013年湖南4市高考模拟题）如图2，已知椭圆C：x25+y23=m22（m>0），经过C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆于N，当ON=OA+OB时，求k的值.

圆与圆的位置关系教学设计篇3

一、教学目标：

（一）知识目标

1、利用计算机制作动画（让学观察两圆相对运动的过程）培养学生以运动变化的观点来观察问题（观察出确定“两圆位置关系”的关键两圆交点的个数）分析问题、解决问题的能力。

2、用计算机制作动画让学生从静止的角度探索出“两圆半径与圆心距之间的数量关系”与“两圆位置”的联系，培养学生认识事物都是相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点。

（二）过程与方法

在经历“观察猜测探索验证应用”的过程，渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、思维能力。实现了感性到理性的升华。

（三）情感目标

1、通过合作交流、自主评价，改进学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。

2、让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。

二、教学重难点

重点：圆与圆位置关系的发现及确定方法

难点：圆与圆位置关系的数量关系的发现。

三、教学设备：计算机课件

四、教学过程：

（一）复习提问

1、如何确定点与圆的位置关系？

2、确定直线与圆的位置关系的方法是什么？

（二）创设情景

1、欣赏生活中圆与圆位置关系的图片，同时学生举例。

2、用微机制作出有“日食”现象的动画，提问这种现象是怎么产生的呢？

3、当学生说出其现象的成因后，动画演示“日食”形成的过成。

（三）探求新知

1、如果把月亮与太阳看成两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢？请同学们在练习本中画出并将其命名。

探究发现

1、将学生的发现展示给大家后，教师让学生相互分析点评。老师进行点拔。

2、老师用微机将两圆位置关系的动画与学生的发现进行对比。（教师给予恰当的点评）

3、用微机将两圆的五种位置关系进行分类，并让学生思考分类标准。从而引导学生确定两圆位置关系的一种方法（交点个数）。

4、提问：两圆“相切、相离”所指的图形是什么？

5、在给出图形的前提下可识别出两圆的位置关系，如果没有图形能识别出两圆的位置关系么？（让学生分小组讨论）

6、学生讨论完后教师给予点评，并利用微机动画与学生一起探索确定两圆位置关系的另一种方法。（对学生讨论结果教师给予适当点拨或点评）

7、例1:如图,⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm，若⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径是多少？（见课件）

8、例

2、如图，等圆⊙M和⊙N相交于A、B两点，⊙M经过⊙N的圆心N，求∠MAB的度？（见课件）

9、当堂达标：填空题：1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm、4cm，设d=O1O2 ：（1）当d=8cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________.（2）当d=7cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________.（3）当d=5cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________.（4）当d=1cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________.（5）当d=0.5cm时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________.（6）当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________.五、课堂小结

《圆与圆的位置关系》公开课教案篇4

《圆与圆的位置关系》公开课教案

教学目标： 1、知识目标：了解两圆相交、外离、内含的概念；掌握两圆的五种位置关系及判定方法。 2、能力目标：a）使学生学会判定两圆的五种位置位置关系 b）通过学生的观察、练习、思考、表达来培养他们的观察、分析、比较、概括、抽象等能力；并进一步培养他们的发现、分析、解决、深化问题的能力。 3、情感目标：a）通过多媒体演示，让学生体会图形中的动态美、统一美、和谐美。 b)在研究两圆的位置关系和例题教学过程中，让学生了解用运动的观点去观察事物，了解事物之间的从一般到特殊，从特殊到一般的辩证关系；学会利用分类、类比、化归、数形结合等数学思想处理问题。教学重点：两圆的位置关系的判别方法和性质；教学难点：各种位置关系在计算中的运用。教学方法：类比发现法、启发诱导法教学手段：多媒体教学过程：一、类比引入：上一节我们学习了直线和圆的位置关系，请说出直线和圆的位置关系有哪几种？（多媒体动态演示）直线和圆相离<=>d>r 直线和圆相切<=>d=r 直线和圆相交<=>dr),圆心距为d ，那么： (1)两圆外离 d>R+r (2)两圆外切 d=R+r (3)两圆相交 R-rr),圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。七、分层作业 1. 必做题几何课本第36页 1 、2、3 2.选做题定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm,(1)设⊙P和⊙0相外切,那么点P与点O的距离是多少?点P可以在什么样的线上运动?(2)设⊙P和⊙O相内切,情况又怎样？教案说明：本节课是在学习了圆的轴对称、圆心角定理、直线和圆的位置关系以及两圆相切的基础上进行的，是初中教材中最后一节研究图形间的位置关系的内容。它把直线形与曲线形交织在一起，是对前面知识的综合，同时也是高中阶段学习解析几何等知识的重要基础。另外，本节课在由直线与圆位置关系类比看研究两圆位置关系时，渗透类比思想、分类思想，培养观察、分析、比较、迁移的数学能力，在研究两圆的五种位置关系的判定和性质时，渗透数形结合思想，培养概括、抽象的数学能力。因此，这节课无论在学习数学知识，还是对学生数学思想的运用、能力的培养上，都起着十分重要的作用。

圆与直线的关系中考题篇5

乐山七中

王东英

教学目标：

1、使学生掌握两圆的五种位置关系的定义、性质、判断。

2、使学生初步掌握相切两圆和相交两圆的性质。

3、通过两圆位置关系的探究，培养学生用运动变化的观点来发现问题、分析问题、解决问题的能力；让学生体验数学活动充满探索和创造；让学生体验探索的乐趣。

4、通过教学和应用，让学生充分体验分类讨论思想。教学重难点：

五种位置及其对应数量关系的探究和应用教学过程：

一、复习

我们已经学习了与圆有关的位置关系有哪些？对应的数量关系怎样？（生答，师重点强调直线与圆的位置关系有两种判定，其中一种判定是直线与圆的公共点个数来确定位置关系）那么两个圆的公共点的情况怎样呢？我们一起动手来观察

二、探究两圆的位置关系

1、师用多媒体演示运动中的两个圆（其中一个稍大的圆固定不动，小圆在过大圆圆心的直线上运动），让学生观察两圆的公共点的个数。师：显然在运动过程中，两圆的位置关系不同，这就是我们今天所要探究的内容：圆与圆的位置关系，板书课题。师问：两圆的公共点个数有几种情况？你能给这三种情况命名吗？（类似的，命名为相离、相切、相交）师板书两圆的三种位置关系。

2、再演示，注意观察，都是相离（或相切），两种图形有什么区别？学生回答后师总结相离分为外离和内含，相切分为外切和内切。（这里提醒学生解题时注意分类讨论）板书两圆的5种位置关系

3、由前面的学习我们知道，位置关系都有对应的数量关系，而且都是圆的半径与“距离”的关系，那么两圆的位置关系对应的数量关系是谁与谁的关系呢？在这里，有两个圆，当然“半径”是两圆半径R和r，而圆的位置由圆心来确定的，故“距离”是两圆心的距离，即圆心距d。那现在我们一起来探究两圆半径与圆心距的关系，三种关系中哪一种最特殊呢？那我们就从相切来研究。通过演示，学生很容易观察得出结论：两圆外切d=R+r，两圆内切d=|R－r|。从运动中一目了然得出：两圆相交|R－r|R+r；两圆内含0d<|R－r|。

4、为了方便记忆，可把5种位置关系在数轴上表示出来。（注意两个关键点R+r和R－r）

三、探究性质

1、相切两圆的性质

2、相交两圆的性质

3、由此常见的辅助线

4、两圆的位置关系中的分类讨论：相切分为外切和内切；相离分为外离和内含；已知相交两圆的半径和公共弦长求圆心距分为圆心在公共弦的同侧和异

侧。

5、复习总结已学的与圆有关的分类讨论

四、应用

例

1、线段OP=8㎝，⊙O半径为5㎝，若⊙P与⊙O相切，则⊙P半径为多少？

例