空间向量复习

空间向量复习（共9篇）

空间向量复习 篇1

（基本知识点与典型题举例）

为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）。

2、空间直角坐标系中的坐标运算：

一、空间向量的线性运算：

1、空间向量的概念：

空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．

2、空间向量的加法、减法和数乘运算：

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算． 三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．

3、加法和数乘运算满足运算律：

①交换律，即a+b=b+a；②结合律，即(a(a+b)ca(b+c)；

③分配律，即()a=a+a及(a+b)ab（其中，均为实数）．

4、空间向量的基本定理：

（1）共线向量定理：对空间向量a，b(b0)，a∥b的充要条件是存在实数，使a=b．（2）共面向量定理：如果空间向量a，b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x，y，使c=xa+yb。

推论：①空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；

②空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y或对空间任一定点，有xyC；

③若四点，，，C共面，则xyzC

 xyz1。

（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底{a，b，c}惟一线性表示（线性组合）。

5、两个向量的数量积：

（1）两个向量的数量积是a

b=abcosa，b，数量积有如下性质：①ae=acosa，e（e为单位向量）；②a⊥bab=0；③aa=a

2；④ab≤ab。

（2）数量积运算满足运算律：①交换律，即ab=ba；②与数乘的结合律，即(a)

b=(ab)；③分配律，即(a+b)c=ac+bc．

二、空间向量的直角坐标运算：

1、空间直角坐标系：

若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{i，jk}表示；在空间

选定一点O和一个单位正交基底{i，jk}，可建立一个空间直角坐标系Oxyz，作空间直角 坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系

（1）定义：给定空间直角坐标系O－xyz和向量a，存在惟一的有序实数组使a=a1i+a2j+a3k，则(a1，a2，a3)叫作向量a在空间的坐标，记作a=(a1，a2，a对空间任一点A，存在惟一的3)。

OA

xi+yj+zk，点Ａ的坐标，记作A(x，y，z)，x，y，z 分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标。

（2）若A(x

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB(x2x1，y2y1，z2z1)；

（3）空间两点的距离公式：

d



3、空间向量的直角坐标运算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则：a+b(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)；

a(a1，a2，a3)，ab=(a1b1，a2b

2，a3b3)；

a∥ba1b1，a

2bcosab

ab2，a3a,bb3|a||b|1212a2b2a3b32220；

空间两个向量的夹角公式：

a1a2a3b12b2b

3。

4、直线的方向向量与向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量OA

a，则点A在空间的位置被a

所

惟一确定，a称为位置向量。

（2）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量

AP

ta，则此方程为直线l上点P对应的向量方程，向量a称为直线l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面

（记作a⊥），向量a叫做平面的法向量。法向量有两个相反的方向。

三、空间向量在立体几何中的应用：

1、空间向量在位置关系证明中的具体应用：

1）空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决：①设a、b分别为直线a，b的一个方向向量，那么a⊥ba⊥bab=0；②设a、b分别为平面，的一个法向量，那么⊥a⊥bab=0；③设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，那么l⊥a∥b。

2）空间直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究：①设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a、b，那么a∥ba∥b；②直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来

证明线面平行问题；

③平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。

2、空间向量在立体几何的计算问题中的应用：

1）空间角的计算：

①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；

②线面角：直线AB与平面所成角为，其中n是平面的法向量；

③面面角：二面角的大小为，其中m，n是两个半平面的法向量。2）距离的计算：

①点面距：设n是平面的法向量，A，则B到的距离为；

②线线距：设n是两条异面直线l1，l2的公垂线的向量，若A，B分别是在l1，l2上的任意一点，则l1，l2的距离为；

③线面距、面面距，与前面求法相同。

四、例题分析：

例

1、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.（3）求DB与平面DEF所成角的大小。

例

2、如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB4,BC2,CC13,BE1，（1）求BF的长；（2）求点C到平面AEC1F的距离。

例

3、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面ABCD，且PAADD

1，AB1，M是PB的中点。

（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

例

4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上

一点，PFEC.已知PD

2,CD2,AE

2, 求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角EPCD的大小。

例

2、如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

π

4．19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形，PD=DC，E、F分别 是AB，PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.（3）求DB与平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AD=a，则

D(0•,•0•,•0)•,•A(a•,•0•,•0)，B(a•,a•,•0)•,C•

(0•,•a•,•0)•,E•

(a•,a

•,•0)•,F•(a2

2•,a2•,a2)•,P•(0•,•0•,a)

（1）a

a2•,•0•,2

•,•(0•,•a•,•0)0•,•

∴EF

DC•.（2）设G(x•,•0•,•z)，则G∈平面PAD.FG

aaa

x2•,•2•,•z2，ax2,••a2•,•za2(a•,•0•,•0)aaa

x20，则x2； 

a

x2•,•a2•,•za2(0•,•a•,•a)a2a2a(z2)0，则z=0.∴G是坐标为（a，0，0），即G为AD的中点.（3）（只理科做）设平面DEF的法向量为n(x•,y•,z)•.由n0•,(x,•y,•z)a,•a•,a

0•,得DE0•222n.(x•,y,•z)(a,•a,••0)0•.a

(xyz)即0•,2取x=1，则y=-2，z=1, axa2

y0•.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD•,•n〉a3



2a6



•, ∴DB与平面DEF所成角大小为

2arccos3

（即arcsin3

6）.19．如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

π4

． 解：设AEx，以D为原点，直线DA，DC，DD1所在直线

分别为

x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴CE(1，x2，0)D1)，DD1C(0，2，1(0，0，1)．

设平面D1EC的法向量为n(a，b，c)，·D1C0，2bc0，n

由 

ab(x2)0，·CE0n



又CC1(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为，

CC1·n则cos． 1

CC1n

令b1，∴c2，a2x．

∴n(2x，1，2)．

n·DD1π依题意cos．



4nDD1．

∴

x2x2∴AE2．

 ∴C到平面AEC1F的距离dCC1cos

20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1．



（1）求BF；

（2）求点C到平面AEC1F的距离．

解：（1）以D为原点，DAF，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z)． 

由AFEC1，得(2，0，z)(2，0，2)，∴z2．

∴F(0，0，2)BF(2，4，2)．



∴BF

·AE0，n1

（2）设n1为平面AEC1F的法向量，n1(x，y，1)，由

·AF0，n1，x1

4y10，得∴1

空间向量复习 篇2

一、课前预习

先让学生复习平面向量涉及的3个定理或推论:

已学的平面向量:

1平面向量共线定理:

2平面向量基本定理: 如果是同一平面内的两个不共线的向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数λ1,λ2,使

3平面向量基本定理推论:设平面任意一点O,则P,A,B三点共线

二、课堂互动

教师与学生合作总结空间向量中的4个定理或推论.

新学的空间向量:

4空间向量共线定理:

5空间向量共面定理:如果两个向量不共线 ,那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组 (x,y),使得

6空间向量共面定理推论:设空间任意一点O和不共线三点A,B,C.

P,A,B,C四点共面

7空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使

这么多的定理及推论,靠死记硬背,能记住就不错了,更谈不上灵活运用了.

三、小组讨论,自主互助

此时我要求学生进行小组讨论, 观察两组定理的联系与区别,能否将定理的条数变少.学生在经过长时间的谈论后总结出定理的条数可以减少.定理①④、定理②⑦类似.

四、教师点评

要求同学们只要记住两个定理:

一是共线定理即定理①④, 它们的内容和形式都是一样的,很好记.

二是基本定理,分平面和空间,即定理②⑦.定理②中的系数之和为1,即λ1+λ2=1时 ,即为③,定理⑦中的系数之和为1即x+y+z=1时即为⑥,还有⑤,=⑤②.

这样记不仅记住了定理, 还知道了它们之间的联系和区别,有了知识的生成过程和关联,熟练掌握水到渠成.

五、及时巩固

例1:已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

设M(x,y,z)是平面ABC内任一点,求x,y,z满足的关系式.

解法一:

评注:解法一利用平面的法向量解题,计算简单且容易理解. 很多学生反映好像向量这边学完了之后感觉都是计算方向向量和法向量,其实如果我们能够对定理1~7有深刻理解就会有其他途径解决该问题.

解法二:

解法三:

因为A,B,C,M四点共面,设O为空间中任意一点,则

评注:解法二和解法三计算量稍大,但不需要计算平面的法向量,而且能加深对定理56的理解,这两种解法也是相当自然.从而得到了三种已知平面上不共线三点求平面方程的方法.

很多时候学生解题过于依赖坐标系中的方向向量和法向量,一旦题目坐标系难以建立或不好建系,往往就会因为不习惯导致解题失败.

例2:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,各棱长都相等,且∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°.求证 :是平面A1BD的法向量.

分析:本题即证直线AC⊥平面A1BD,易知AC⊥BD,只要在平面A1BD中找一条与BD相交且与AC垂直的直线即可 , 不妨选择A1B. 学生上来先建系 , 无论是以为z轴还是在平面ABCD中作DC的垂线为z轴都是错误的.

证法一:

连接D1C、D1A, 算出D1C、D1A、AC的长度用勾股定理证明AC⊥CD1

或记AC∩BD=O,连接A1O,连接A1O,A1C,用勾股定理证明AC⊥C1O

评注:两种思路都需要作辅助线,学生短时间内思考有一定难度.

证法二:

评注:此种证法用空间向量基本定理证明,简单易行,关键是要用对定理和选择合适的基底,关于基底的选择,建议选择同起点的不共面向量,结合向量的运算都能解决.

本题若将∠BAD=90°改成∠BAD=60°, 则会产生哪些新题型,留给读者思考.

神奇的空间向量 篇3

例题在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，棱长为1，[F]为[A1D]的中点，[E]为[AB]的中点.

考查一用空间向量证明立体几何中线﹑面平行的问题

设问一求证：[AF∥]平面[A1EC].

分析用向量证明线、面平行的问题通常有两种方法：（1）向量[p]与两个不共线的向量[a、b]共面的充要条件是存在惟一的有序实数对[(x，y)]，使[p=xa+yb]. 利用共面向量定理可证明线面平行问题；（2）设[n]为平面[α]的法向量，要证明[a∥α]，只需证明[a⋅n=0].

证明建立空间直角坐标系，以[A]点为原点，[AB]所在的直线为[x]轴，[AD]所在的直线为[y]轴，[AA1]所在的直线为[z]轴（以下建立的坐标系相同），则[E12,0,0]、[F0,12,12].

方法1：[AF=0,12,12] ， [EA1=-12,0,1] ，

[EC=12,1,0]，

则[AF=12EA1+12EC].

又[∵][AF⊄]平面[A1EC]，

[∴][AF∥]平面[A1EC].

方法2：设[n]为平面[A1EC]的法向量，设[n][=x,y,z,]

则[n⋅EA1=0，n⋅EC=0，] 有[n=2z,-z,z]，

[∴][AF⋅n=0,12,12⋅2z,-z,z=0].

又[∵][AF⊄]平面[A1EC]，

[∴][AF∥]平面[A1EC].

考查二用空间向量证明立体几何中线﹑面垂直的问题

设问二求证：[AF⊥]平面[A1CD].

分析（1）根据线、面垂直的判定定理，只需证明此直线的方向向量与所证平面的一组基底的数量积为零即可.

（2）设[n]为平面[α]的法向量，只需证明此直线的方向向量与[n]平行即可.

方法1：[A1D=0,1,-1]， [CD=-1,0,0].

[AF⋅A1D=][0,12,12⋅0,1,-1=0]，

[AF⋅CD=][0,12,12⋅-1,0,0=0].

[∴][AF⊥A1D]， [AF⊥CD].

又[∵][A1D⋂CD=D]，

即[A1D]与[CD]是两相交直线，

[∴][AF⊥]平面[A1CD].

方法2：设[m]为平面[A1CD]的法向量，[m][=a,b,c]，

[m⋅A1D=a,b,c⋅0,1,-1=0]，有[b=c].

[m⋅CD=a,b,c⋅-1,0,0=0]，有[a=0].

[∴][m][=0,b,b]，[∴][AF=12bm]，[∴][AF∥m]，

[∴] [AF⊥]平面[A1CD].

考查三用空间向量求异面直线所成的角

设问三求[AF]与[EC]所成的角的余弦.

分析设两异面直线[a、b]所成的角为[θ，a、b]分别是[a、b]的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是[0°，90°]，则有[cosθ=cos=a⋅bab].

略解[∵][EC=12,1,0]， [AF=0,12,12]，

[cos=EC⋅AFEC⋅AF=105].

点拨两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系.

考查四用空间向量求线面所成的角

设问四求[AF]与平面[A1ED]所成的角的正弦.

分析点[P]在平面[α]外，[M]为[α]内一点，斜线[MP]和平面[α]所成的角为[θ]，[n]为[α]的一个法向量，注意到斜线和平面所成角的范围是[(0°，90°)]，则有[θ=π2-]，结合向量的夹角公式便可求[θ].

解设平面[A1ED]的法向量为[p]，[p][=a，b，c]，

[EA1=-12,0,1]， [ED=-12,1,0]，

[∴][p=2b,b,b]（不妨令[b>0]）.

[cos=p⋅AFp⋅AF]

[=2b,b,b⋅0,12,122b,b,b⋅0,12,12=33].

[∵][AF]与平面[A1ED]所成的角与[]的夹角互余，

[∴][AF]与平面[A1ED]所成角的正弦为[33].

点拨直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.

考查五用空间向量求二面角.

设问五求二面角[C-EA1-D]的余弦值.

分析如图，[OA、O′B]分别在二面角[α-l-β]的两个面内且垂直于棱，[m、n]分别是[α、β]的一个法向量，则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小：

（1）[]等于二面角的平面角；

（2）<[m，n]>与二面角的平面角相等或互补.

方法1由前面的解题过程可知，

平面[A1EC]的法向量[n=2z,-z,z] （不妨设[z>0]）；

平面[A1ED]的法向量[p=2b,b,b]（不妨设[b>0]）.

[∴] [cosθ=n⋅pn⋅p=23].

方法2作[CM⊥EA1]于[M]，[DN⊥EA1]于[N].

设[Mx1,y1,z1]，[Nx2,y2,z2]，

[A1M=λA1E]， [A1N=uA1E]，

可知[Mλ2,0,1-λ] ， [Nu2,0,1-u]，

[MC=1-λ2,1,λ-1]，[ND=-u2,1,u-1.]

又[∵][MC⋅A1E=0]， [ND⋅A1E=0,]

[∴][λ=65]， [u=45]，

[MC=25,1,15] ，[ND=-25,1,-15].

[∴][cos=MC⋅NDMC⋅ND=23].

点拨直接作二面角的平面角对有些题目来说有点困难，采用法向量可以起到了化繁为简的作用. 这种求二面角的方法应引起我们重视. 需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，要注意所求角的范围.

考查六用空间向量求距离

设问六求[F]点到平面[A1EC]的距离.

分析点面距离的求法有两种：

（1）建立坐标系，通过解方程组求解：设[FO⊥]平面[AEC]于[O]，通过[FO⋅AE=0]和[FO⋅CE=0],且[O][∈]平面[AEC]，由[EO=xEA+yEC]，可以求出[O]的坐标，利用两点间的距离求出垂足的坐标，从而求出点到面的距离.

（2）已知[AB]为平面[α]的一条斜线段，[n]为平面[α]的法向量，则[B]到平面[α]的距离为[|AB|⋅|cos|][=|AB⋅n||n|.]

略解

[d=A1F⋅nn=0,12,-12⋅2z,-z,z2z,-z,z][=66].

点拨（1）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.

（2）两异面直线的距离也可以转化为点面距离.

向量空间总结 篇4

一、知识结构图

二、结构说明

⑴本章主要包括向量代数和空间解析几何的基本内容.向量代数是研究空间解析几何的基础，解析几何中，直线、平面方程的建立都是由向量的共线或垂直关系得到的.⑵理解和灵活运用向量的各种运算，是学好本章的基础.⑶空间直角坐标系的引入是联系本章两部分的纽带，有了坐标系，向量的表示和运算均化为向量坐标之间的代数运算，使向量的运算广泛应用于解决几何问题.⑷直线和平面方程是本章的重点.三、知识拓展

向量代数在初等几何中的应用

研究几何的代数方法除了常用的坐标方法外还有向量方法，有些几何概念用向量表示比较简单，下面举例说明向量方法在解决初等几何问题中的应用.1、三线共点问题

例1 证明三角形三条高线交于一点 证明：设的两条高线，交于M点，连AM.则有由于因为

所以有所以有

即

即

所以有即

即

从而三角形ABC的三条高线交于一点M.所以

2、垂直关系的证明

例2 空间四边形ABCD的对角线互相垂直的充分必要条件是对边的平方和相等.证：在空间四边形ABCD中设则有a+b+c+d=0.必要性：设则

即，则，即有

两式相加得所以

充分性：设

由于所以

所以

用向量的方法还可以证明许多几何定理，例如：三角形的余弦定理；平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直；三角形的三条角平分线交于一点等等.三点共线问题也可用向量方法来研究.四、综合测试

1、填空题：

⑴设向量角为

时，m=________.当时，m=______，当时，m=______.当a与b夹

⑵设⑶点⑷与向量⑸过点

且与关于，则

______.面的对称点坐标为________；关于z轴对称点的坐标为_______.同时垂直的向量是_________.垂直的直线方程是_____________.⑹过一点

___________.且与直线

和直线都平行的平面方程为

⑺直线与平面的交点为__________,夹角为________.⑻曲线在平面上的投影方程为_____________.2、求通过直线且与

平行的平面方程.3、判断两直线与

和的位置关系？

是否可确定一个平面，若能，求出平面方程.4、设平面

与L垂直的直线方程.，直线试求在平面内过L和的交点且

5、直线间的最短距离..求与，与之

五、综合测试答案

1、⑴ ⑵4.⑶ ⑷

；；

.；；

.⑸ ⑹

⑺；夹角

向量代数与空间解析几何 篇5

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2．多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导；会求全微分； 偏导数的应用：方向导数和梯度；空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3．多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；

曲线积分：两类曲线积分的计算方法；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法；高斯公式。

4．无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5．常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式；

2、全微分公式；

3、方向导数公式；

4、拉格朗日乘数法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函数的麦克劳林展开公式。

72向量单元复习 篇6

平面向量的综合应用

【典例练讲】



例

1、（1）在ABC中，ABc,BCa,CAb，且caabbc,判断ABC的形状。

（2）若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0判断△ABC的形状；

例

2、（1）若O 为ABC内一点，OAOBOC0，则O 是ABC 的心

（2）若OP=OA+(ABAC)，0则点P必过ABC的心（外心，垂心，内心，重心）。

222222（3）若|OA||BC||OB||CA||OC||AB|则O是ABC的心（外心，垂心，内心，重心）。

例

3、（1）已知OAOBOC0，且|OA||OB||OC|，则△ABC为_________三角形。

OCCOCOOABC0，判断△ABC（2）若O为△ABC所在平面内一点，且满足OB的形状。

例

4、（1）在四边形ABCD中，设,,,，若

，判断四边形ABCD的形状，并加以证明

向量法求空间角 篇7

确定空间角的大小是立体几何中一类重要题型, 也是历年高考数学试题考查的重点.本文通过一些典型范例, 介绍用空间向量确定空间角大小的基本方法.

一、确定异面直线所成的角

方法要点:设异面直线l1、l2所成的角为θ, $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$分别是l1、l2的方向向量, 则

$\begin{array}{l}\cos \theta =\\ |\cos <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>|=|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}|.\end{array}$

例1 (2007年北京卷) 如图1, 在Rt△AOB中, $\angle {\rm O}AB=\frac{\pi }{6}$, 斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到, 且二面角B-AO-C是直角二面角, D是AC中点.

(Ⅰ) 求证:平面COD⊥平面AOB;

(Ⅱ) 求异面直线AO与CD所成角的大小.

解: (Ⅰ) 证明:略.

(Ⅱ) 以O为原点, OC、OB、OA分别为x轴、y轴、z轴的正方向, 建立空间直角坐标系

O-xyz, 则${\rm O}(0,0,0),A(0,0,2\sqrt{3}),C(2,0,0),D(0,1,\sqrt{3}),$

所以$\overrightarrow{{\rm O}A}=(0,0,2\sqrt{3}),\overrightarrow{CD}=(-2,1,\sqrt{3}),$

设异面直线AO与CD所成的角为θ, 则

$\begin{array}{l}\cos \theta =|\cos <\overrightarrow{{\rm O}A},\overrightarrow{CD}>|=\\ |\frac{\overrightarrow{{\rm O}A}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{{\rm O}A}|\cdot |\overrightarrow{CD}|}|=\frac{6}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.\end{array}$

所以异面直线AO与CD所成角的大小为$\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}.$

二、确定直线与平面所成的角

方法要点:如图2, 直线l与平面α成角θ, $\overrightarrow{a}$是直线l的方向向量, $\overrightarrow{b}$平面α的一个法向量, 则

$\sin \theta =|\cos <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>|=|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}|$

例2 (2007年全国卷Ⅰ) 如图3, 四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC⊥底面ABCD.已知$\angle ABC=45°,AB=2,BC=2\sqrt{2},SA=SB=\sqrt{3}.$

(Ⅰ) 证明SA⊥BC;

(Ⅱ) 求直线SD与平面SAB所成角的大小.

解: (Ⅰ) 证明: (略)

(Ⅲ) 作SO⊥BC, 垂足为O, 连结AO, 由侧面SBC⊥底面ABCD, 得SO⊥底面ABCD.所以SO⊥OA, SO⊥OB.又因为SA=SB, 所以AO=BO, 即△AOB为等腰三角形, 又∠ABC=45°, 从而AO⊥OB.

以O为坐标原点, OA为x轴正方向, 建立直角坐标系O-xyz, 则$A(\sqrt{2}‚0‚0)‚B(0‚\sqrt{2}‚0)‚D(\sqrt{2}‚-2\sqrt{2}‚0)‚S(0‚0‚1)$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DS}=\\ (-\sqrt{2}‚2\sqrt{2}‚1)‚\overrightarrow{SA}=(\sqrt{2}‚0‚-1)‚\overrightarrow{AB}=\\ (-\sqrt{2}‚\sqrt{2}‚0).\end{array}$

设$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$与平面SAB垂直, 则

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{SA}=0\end{array}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}(x,y,z)\cdot (-\sqrt{2},\sqrt{2},0)=0\\ (x,y,z)\cdot (\sqrt{2},0,-1)=0\end{array}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}y=x\\ z=\sqrt{2}x\end{array}.\end{array}$

所以$\overrightarrow{n}=(x,x,\sqrt{2}x)$, 取平面SAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}{}_1=(1,1,\sqrt{2}).$

设直线SD与平面SAB所成的角为θ, 则

$\begin{array}{l}\sin \theta =|\cos <\overrightarrow{n}{}_1,\overrightarrow{DS}>|\\ =|\frac{\overrightarrow{n}{}_1\cdot \overrightarrow{DS}}{|\overrightarrow{n}{}_1|\cdot |\overrightarrow{DS}|}|=\frac{\sqrt{22}}{11},\end{array}$

所以, 直线SD与平面SAB所成的角为$\arcsin \frac{\sqrt{22}}{11}.$

说明:确定斜线的方向向量和平面的法向量时, 无需考虑向量的方向.

例3 (2007年浙江卷) 在图4所示的几何体中, EA⊥平面ABC, DB⊥平面ABC, AC⊥BC, 且AC=BC=BD=2AE, M是AB的中点.

(Ⅰ) 求证:CM⊥EM;

(Ⅱ) 求DE与平面EMC所成角的正切值.

解: (Ⅰ) 证明: (略)

(Ⅱ) 以点C为原点, CA、CB分别为x轴和y轴的正方向, 过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴, 建立直角坐标系C-xyz, 设EA=a, 则C (0, 0, 0) , E (2a, 0, a) , D (0, 2a, 2a) , M (a, a, 0) , 所以$\overrightarrow{E{\rm M}}=(-a,a,-a),\overrightarrow{C{\rm M}}=(a,a,0),\overrightarrow{DE}=(2a,-2a,-a).$

设向量$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$与平面EMC垂直, 则

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{E{\rm M}}=0\\ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{C{\rm M}}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(x,y,z)\cdot (-a,a,-a)=0\\ (x,y,z)\cdot (a,a,0)=0\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}y=-x\\ z=-2x.\end{array}\end{array}$

所以$\overrightarrow{n}=(x,-x,-2x)$, 取平面SAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}{}_1=(1,-1,-2)$.设DE与平面EMC所成的角为θ, 则

$\begin{array}{l}\sin \theta =|\cos <\overrightarrow{n},\overrightarrow{DE}>|\\ =|\frac{\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DE}|\cdot |\overrightarrow{n}|}|=\frac{\sqrt{6}}{3}.\end{array}$

所以$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\sqrt{1-\sin {}^2\theta }}=\sqrt{2}.$

三、确定平面与平面所成的角

方法要点:如图5, 向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$分别是二面角α-l-β的两个半平面的法向量, 其中一个向量的方向指向内侧, 另一个向量的方向指向外侧, 则向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角就是二面角α-l-β的平面角θ, 再由公式$\cos \theta =\cos <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}$可确定θ.

例4 如图6, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°, PA=AB=BC.求二面角B-PC-D的大小.

解:由题意可知PA、AB、AD两两垂直.以点A为坐标原点, AB、AD分别为x轴和y轴的正方向, 建立直角坐标系A-xyz, 设PA=a, 则$A(0,0,0),B(a,0,0),C(\frac{1}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{2}a,0),D(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}a,0),{\rm P}(0,0,a)$, 所以

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\rm P}B}=(a,0,-a),\overrightarrow{BC}=\\ (-\frac{1}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{2}a,0),\overrightarrow{CD}=(-\frac{1}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{6}a,0),\\ \overrightarrow{{\rm P}D}=(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}a,-a).\end{array}$

设向量$\overrightarrow{n}=(x{}_1,y{}_1,z{}_1)$与平面PBC垂直, 向量$\overrightarrow{m}=(x{}_2,y{}_2,z{}_2)$与平面PCD垂直, 则

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{{\rm P}B}=0\\ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\end{array}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}(x{}_1,y{}_1,z{}_1)\cdot (a,0,-a)=0\\ (x{}_1,y{}_1,z{}_1)\cdot (-\frac{1}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{2}a,0)=0\end{array}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}z{}_1=x{}_1\\ x{}_1=\sqrt{3}y{}_1;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{{\rm P}D}=0\\ \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{CD}=0\end{array}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}(x{}_2,y{}_2,z{}_2)\cdot (0,\frac{2\sqrt{3}}{3}a,-a)=0\\ (x{}_2,y{}_2,z{}_2)\cdot (-\frac{1}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{6}a,0)=0\end{array}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}y{}_2=\sqrt{3}x{}_2\\ z{}_2=2x{}_2.\end{array}\end{array}$

则$\overrightarrow{n}=(\sqrt{3}y{}_1,y{}_1,\sqrt{3}y{}_1),\overrightarrow{m}=(x{}_2,\sqrt{3}x{}_2,2x{}_2)$, 令y1=1, x2=-1, 得平面PBC与平面PCD的一个法向量分别为$\overrightarrow{n}{}_1=(1,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{m}{}_1=(-1,-\sqrt{3},-2).$

设二面角B-PC-D的平面角为θ, 则

$\begin{array}{l}\cos \theta =\cos <\overrightarrow{n}{}_1,\overrightarrow{m}{}_1>=\frac{\overrightarrow{n}{}_1\cdot \overrightarrow{m}{}_1}{|\overrightarrow{n}{}_1|\cdot |\overrightarrow{m}{}_1|}=\\ -\frac{\sqrt{42}}{7}.\end{array}$

所以二面角B-PC-D的大小

$\pi -\arccos \frac{\sqrt{42}}{7}.$

说明:确定平面PBC与平面PCD的法向量时, 必须注意向量的方向, 否则, 求出的角度有可能是平面角的补角.

广西壮族自治区浦北县第二职校

学习空间向量要抓住什么 篇8

本文重点利用空间向量来证明有关线、面的位置关系及利用空间向量解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，从而体会向量在研究几何问题中的作用.其难点是如何把几何问题转化为向量来研究.本文的关键是如何适当建立空间直角坐标系并正确求出平面的法向量.

一、 利用类比、化归等方法解题

例1 如图1，已知四棱柱的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAA1=∠DAA1=60°，求AC1的长.

分析 显然建立空间直角坐标系有一定难度，如果是长方体求对角线长，则只要知道AB，BC，CC1的长就可以了.由此可知，只要知道了与，，的关系即可.

解 由题意可得•=0，•=4×5×cos60°=10，•=3×５×cos60°=7.5.因为=++=++，所以||2=（++）2=

||2+||2+||2+2（•+•+•）=85.从而得到AC1的长为.

点悟 ①平行六面体与长方体有一定的联系，把长度问题化归为向量的数量积来计算，体现了类比思想；②如果是直棱柱可以考虑用空间直角坐标系的方法.

二、 利用共面向量定理证题

例2 如图2，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：MN∥平面CDE.

分析 过点N作NG∥ED交直线AD于点G，连结GM，只要证明GM∥CD即可.但用向量方法证明则比较简单.

证 =++=++=（+3+）=（+2+）=（+2）=+.又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面.由于MN不在平面CDE中，所以MN∥平面CDE.

点悟 ①共面向量定理是空间向量基本定理的推广，但它的应用往往容易被忽略；②利用共面向量定理证明体现了转化的思想.

三、 利用空间直角坐标系证平行与垂直例3 已知如图3，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，并且BA1⊥AC1.

（1） 点M是AA1的中点，求证：DM∥平面A1BC；

（2） 判断平面A1AB与平面A1BC是否垂直.

分析 用向量方法研究空间线线、线面、面面的位置关系时，首先要建立合适的空间坐标系，要证明直线与平面垂直，则化归为直线的方向向量与平面的法向量平行.本题中已有条件BA1⊥AC1，所以只要通过向量计算证得AC1⊥CB就可；要证明直线与平面平行，可以化归为表示直线的方向向量与平面的法向量垂直，同时要说明直线不在平面内；两个平面如果互相垂直，那么这两个平面的法向量应该垂直.

解 （1）如图3，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，所以以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，-1，

0），B（2，1，0），C（0，1，0）.

设A1（0，0，t）（t＞0），C1（0，2，t），从而=（0，3，t），=（-2，-1，t），=（2，0，0）.

由•=-3+t2=0，得t=，则=（0，-1，），=0，-，.

设平面A1BC的法向量为m=（x，y，z），则由m•=-y+z=0，m•=2x=0，取z=1，可得m=（0，，1）.

计算得•m=0，所以⊥m，而DM?埭平面A1BC，所以DM∥平面A1BC.

（2） 由题意，=（0，1，），=（2，2，0）.

设平面A1AB的法向量为n=（x，y，z），则由n•=y+z=0，n•=2x+2y=0，取z=1，可得n=（，-，1）.

又因m•n≠0，所以m与n不垂直，从而平面A1AB与平面A1BC不垂直.

点悟 ①利用空间直角坐标系证明平行与垂直是学习的重点，正确求出法向量是关键；②要特别注意平面的法向量在证明线面、面面关系中的应用，以恰到好处地处理平行和垂直的问题；③求一个平面的法向量时，如果能判断此法向量与坐标轴不平行，为计算方便可设n=（x，y，1）（或n=（x，1，z）或n=（1，y，z））；④体现了形与数的转化.

四、 研究存在性问题

例4 如图4，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=λPA，点O是AC的中点，OP⊥底面ABC.

（1） 是否存在实数λ，使PA与平面PBC所成角的余弦值为？

（2） 是否存在正实数λ，使平面PAB与平面PBC所成角为120°？若存在，求出λ；若不存在，试说明理由.

分析 过点A作平面PBC的垂线有一定困难，同样作平面PAB与平面PBC的二面角的平面角也有一定难度，若借助空间直角坐标系，利用向量方法则能很好解决问题.

解 （1） 建立如图4的空间直角坐标系，设AP=2，则AB=BC=2λ，则P（0，0，），C（0，λ，0），B（λ，0，0），A（0，-λ，0），从而PC=（0，λ，-），=（-λ，λ，0），=（0，λ，）.

设平面PBC的法向量为n=（x，y，z），n•=0，n•=0，得n=1，1，，PA与平面PBC所成角的余弦值为，则cos〈n，〉=，从而λ=1或λ=.所以存在λ=1或λ=，使PA与平面PBC所成角的余弦值为.

（2） 同（1），可求出平面PAB的法向量为n1=1，-1，，则cos〈n，n1〉=，从而λ=.所以存在λ=，使平面PAB与平面PBC所成角为120°.

点悟 ①要注意法向量的方向，不然在（2）中cos〈n，n1〉=-就错了；②正确求出法向量是解决线面角、面面角的关键.

1. （2011年上海卷）设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使++++=0成立的点M的个数为（）

A. 0B. 1C. 5D. 10

2. 已知非零向量e1，e2不共线，如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-3e2，求证：A，B，C，D共面.

3. 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.

4. （2011年上海卷）如图5，ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点.

（1） 设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β，求证：tanβ=tanα；

（2） 若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.

5. （2011年天津卷）如图6，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=.

（1） 求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

（2） 求二面角A-A1C1-B1的正弦值；

（3） 设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C，求线段BM的长.

6. （2011年江苏卷）如图7，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为θ.

（1） 当θ=90°时，求AM的长；

（2） 当cosθ=时，求CM的长.

2. =3e1-3e2=5（e1+e2）-（2e1+8e2）=5-.

3. •=（+）•（-）=•+•-2-•=•（--）=•=0.

4. （1）略；（2）2.

5. （1）；（2）；（3） .

空间向量复习 篇9

一、直线的方向向量及其应用

1、直线的方向向量

直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

2、直线方向向量的应用

利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．

（1）若有直线l, 点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l

上取ABa，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得APtAB，这

样，点A和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．

（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线

交于点O,它们的方向向量分别是a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基

本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OPxayb，这样，点O与方向

向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()

A．(1,2,3)B．(1,3,2)

C．(2,1,3)D．(3,2,1)

2.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为()

A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．



2、在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点

A的平面是唯一确定的．

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用



1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1// l2u1//u2，l1⊥l2u1

⊥u2．



2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有α//βv1//v2，α⊥βv1

⊥v2．

若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//αu⊥v，l⊥α

u//v

b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。1.设a、



（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）











四、平面法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：



1、设出平面的法向量为n(x,y,z)．



2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)

na0nb0

3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系： 1.设u、





（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，





2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。





2.已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。



3.若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()

A．(0，－3,1)B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系

（一）用向量方法证明空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

1、线线平行

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则

l∥m⇔⇔_⇔_______.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内



一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的值有()

A．0个C．2个

B．1个 D．3个

2、线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则

l∥α⇔⇔_______⇔1

1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，2，2，且l∥α，

则m＝________.2．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()

A．xOyB．xOz

C．yOzD．xOy或yOz

3．如图所示，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD

.4.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

5.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

3、面面平行(3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔

abc⇔__⇔________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.22

21．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥面DCC1D1；

④A1M∥面D1PQB1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)

2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点。