工业设计证明

工业设计证明（共8篇）

工业设计证明 篇1

姓名：班级：使用时间：

课题：§9直接证明与间接证明主备人：审核人：

二、间接证明

反证法：假设原命题即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．

6、(2011·全国高考)设数列{an}满足a1＝0且(1)求{an}的通项公式；

1an＋11

1－1.1－an＋11－an

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．

——反证法．了解反证法的思想过程及特点.1.综合法、反证法证明问题是命题的热点．注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．

.1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°

2．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则()A．F(x)、G(x)均为偶函数B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数 C．F(x)与G(x)均为奇函数D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数 3．命题“对于任意角θ，cos4－sin4＝cos2”的证明：

“cos4－sin4＝(cos2－sinn2)(cos2+sinn2)＝cos2－sinn

2＝cos2”过程应用了()A．分析法B．综合法 C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法 4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞

3b”时，假设的内容是________． 5．如果a＋bb＞ab＋ba，则a、b

应满足的条件是________．

一、博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

(2)设bn＝

n，记Sn是数列{bn}的前n项和，证明：Sn<1.7、用分析法证明：若a>0，则

a2＋1a

2≥ a＋

1a2.8、求证：2,3,5不可能成等差数列。

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

9、已知tansina，tansinb，求证(a2b2)216ab

达标检测

10．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex

(x＜0)，则a与b大小关系为()

A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b

11．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数 12.用分析法证明6722

5)

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学教学设计

姓名：班级：使用时间：

课题：§9直接证明与间接证明修订人：

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．

——反证法．了解反证法的思想过程及特点.1.综合法、反证法证明问题是命题的热点．注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．

.1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(B)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°

2．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则(D)A．F(x)、G(x)均为偶函数B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数 C．F(x)与G(x)均为奇函数D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数 3．命题“对于任意角θ，cos4－sin4＝cos2”的证明：

“cos4－sin

4＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了(B)A．分析法B．综合法 C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法 4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞

3b”时，假设的内容是

a．

5．如果a＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是a0,b0

且ab．

二、博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

二、间接证明

反证法：假设原命题即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．

6、(2011·全国高考)设数列{an}满足a1＝0且11－a－

11.n＋11－an

(1)求{an}的通项公式；

(2)设b1an＋1n＝n，记Sn是数列{bn}的前n项和，证明：Sn<1.解：(1)由题设

11－an－1

n

＝1，＋11－a得{11－an}是公差为1的等差数列． 又

1111－a1＝1，故1－an

＝n.所以an＝1－n(2)证明：由(1)得 b1－an＋1n＝

nn＋1－n11

n＋n＝nn＋1，n

n

Sn＝bk＝（1k－1k＋1)＝1－1

n＋1

k＝1

k＝17、用分析法证明：若a>0，则

a2＋1a

2≥ a＋

1a2.证明：要证 a

2＋11

a

－2≥a＋a2，只要证

a2＋1a

＋2≥a＋1

a2.∵a>0，故只要证

1

a2＋a22≥

a＋1a2

2，即a2＋1

a2＋1a

a

≥a2＋2＋1a＋221

a＋a＋2，从而只要证2

a2

＋1a≥ 2a＋1a

，只要证4a2＋1a≥2

a2＋2＋1a，即a2＋1

a

2.而不等式a2＋1

a

2显然成立，故原不等式成立．

8、求证：2,3,5不可能成等差数列。

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

9、已知tansina，tansinb，求证(a2b2)216ab

达标检测

10．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex

(x＜0)，则a与b大小关系为(A)

A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b

11．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(B A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数 12.用分析法证明6722)

博兴二中2010级高三文科数学作业纸

班级：姓名：训练内容：第9节直接证明与间接证明

预计用时30分钟实际用时_________分钟

审题仔细全面，计算简洁准确，解法多中择优，过程严谨完善，字迹清晰条理，作图工整规范。

1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、等价条件 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0b2－ac<3a”索的因应是()

A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0 3．若a

1aa1

4．设a32，b65，c76，则a,b,c的大小关系是（）A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、a>c>b

5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax

2＋bx＋c＝0(a≠0)有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()

A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数 6．设x、y、z>0，a＝x＋

1，b＝y＋1，c＝z＋1

yzx，则a、b、c三数()

工业设计证明 篇2

关键词：云存储,数据持有性证明,同态验证,概率型验证,云存储提供商代理

0 引 言

数据持有性证明PDP(Provable Data Possession)是一种验证交互过程,它能够验证不可信的存储服务器是否正确地持有数据。

PDP自提出之后发展迅速,文献[1,2]提出了基于RSA哈希函数的远程存储验证方法。这个方法的局限性在于其服务器端的计算复杂度,它在服务器端的计算复杂度是文件块大小的指数级。文献[3]提出了一种允许用户进行多站点存储验证的方法,该方法使用代数签名来进行证明,其服务器端文件的访问与计算开销大。文献[4,5]提出了相类似加密的技术,使用同态哈希函数检测数据完整性。他们利用同态性来将多个块的值组合成一个简单值。然而,这个协议仅仅只能基于可擦除编码来构成块的某些特定子集。文献[6]为同态哈希的应用提供了很好的例子。文献[7]提出基于Merkle哈希树的验证方法,这种方法降低了服务器端的计算复杂度,但是它的代价是增加了通信开销。目前主流的模型与算法是由文献[8]提出的S-PDP模型,它能够以较小的计算开销和通信开销高效地进行数据持有性验证。

然而,现有的方案模型都主要关注P2P环境下的数据持有性验证,用户需要确切知道每一个数据块的存储位置,存储和验证过程均没有透明性,使得PDP模型在云环境下变得不再适用。

云环境下的存储最突出的新特点就是:提供存储服务的“实体”可能是多种性质的提供商的整合,而且,这种存储服务对用户是透明的。如图1所示,存储服务提供商CSP1可能是个私有云A;CSP2可能是独立的服务器组;而CSP3则可能是某公有云B。由CSP1、CSP2、CSP3组合起来共同为某用户提供存储服务,用户只需“按需购买”,而无需知道该服务的内部细节,云对用户具有透明性。在云环境下,如果将数据块的具体位置直接暴露给用户,将增加云存储的复杂度,同时削弱云存储的安全性。因此,在具有云环境下,需要构建新的数据持有性证明模型,用以消除不同服务代理商类型带来的差异性,为用户的外包存储和验证创造透明性。

本文在S-PDP的基础上进行改进,设计出云存储环境下的数据持有性证明模型CS-PDP(Provable Data Possession in Cloud Storage)。该模型主要采用抽样检测的概率型验证和同态验证方法,同时加入一个云存储提供商代理CSPP(Cloud Storage Provider Proxy),来协助用户与各式各样的云存储提供商进行完整性验证。随后,本文利用理论和实验两大手段,从安全性、概率型验证、开销(存储开销、计算开销和通信开销)等三个方面对CS-PDP模型进行了分析:通过使用零知识证明系统对CS-PDP模型进行安全性分析,表明该模型能够防范标签伪造攻击和防止用户数据泄露;概率型验证使得产生证明的时间不随文件大小而增长,极大的提升了性能;很少的存储开销、服务器端优于S-PDP的计算性能和常量级的通信开销都表明CS-PDP模型高效可行。

1 CS-PDP模型

云存储相比之前的P2P的异地存储有着自己专属的新特性,那么对其存储数据完整性的验证也需要有新的模型。本文在S-PDP模型基础上,充分利用其两大核心思想与技术:抽样检测的概率型证明和同态验证标签,构建出了适合云存储的持有性证明模型CS-PDP。

1.1 S-PDP模型简介

S-PDP(Standard PDP)是由Ateniese等人[8]提出的数据持有性证明模型。其核心工作原理是:用户事先对文件的每一块进行标签计算,然后将这些文件与相对应的标签一同存储在服务器,用户端仅仅存储常量级的原始密钥。之后,用户可以针对一组随机抽取的文件块发起挑战,服务器端通过计算被挑战的文件块和其相应的标签产生持有性证明,并提交给用户。最后,用户根据服务器端提交的证明进行数据持有性判断。

文件很大时,如果通过校验所有的数据块来产生证明,那么证明的开销将和文件大小成正比。S-PDP模型中引入了抽样型概率[8]检测方法,使得在仅需常量开销的情况下确保证明的结果有着很高的可信度。

S-PDP中还借助同态[9]的思想引入了同态标签[8]方法,标签的引入可以使得最终的证明结果被合成为一个常量级数值。对于一个信息块(文件块)m,使用Tm表示其同态标签。例如,给定两个信息块mi和mj,它们对应的同态标签为Tmi和Tmj,则信息mi+mj的同态验证标签为Tmi·Tmj。

1.2 CS-PDP结构

为了消除不同类型存储服务提供商之间验证的差异性,CS-PDP模型在传统的端到端存储验证交互过程中添加了可信的存储服务提供商代理CSPP(如图1所示)。CSPP主要有两大功能:(1) 数据存储分配。CSPP通过自己合理的调度算法负责将数据分配存储在不同的CSP,使得存储资源得到充分利用。(2) 验证汇总。CSPP利用同态特性负责将各个CSP对它们自己存储的部分数据的持有性证明进行汇总,将多个值合成一个简单值,并将最终的证明结果返回给发起挑战的用户。由于CSPP的加入,整个存储过程和验证过程对用户是透明的,即用户无需知道真正进行存储和证明的CSPs的具体位置信息,这样就可以达到高效存储和验证目的。

本文提出的CS-PDP模型中的CSPP需要有三个核心模块(如图1所示):

(1) 存储分配管理模块SAM(Storage Assignment Management)。

(2) 接收/响应挑战模块RRCM(Receive & Response Challenge Module)。

(3) 通知/收集证明模块NCPM(Notify & Collect Proof Module)。

SAM模块主要负责用户数据的存储分配和位置信息检索。其核心构件为:存储分配索引表SAIT(Storage Assignment Index Table),它负责存储用户文件块索引与其所分配的存储位置的信息。在存储阶段,将用户需要存储的数据合理的分配到各个CSP进行存储,并在SAIT中记录存有用户数据的CSPs信息。在挑战阶段,接收来自RRCM发来的查询,进入SAIT进行查找,并将查询结果发送给RRCM。

RRCM主要负责接收和响应用户挑战。RRCM在接收到用户挑战后,根据挑战信息通过SAM查找存放有用户数据的CSP信息,然后将用户的挑战分别转发给对应CSP。在挑战阶段的后期, RRCM还负责将NCPM汇总得到的最终证明结果返回给用户。

NCPM主要负责转发用户挑战给对应CSPs和汇总CSPs的证明结果。NCPM收到RRCM的CSPs地址信息后,将用户的挑战转发至对应的CSPs。CSPs对自己所持有的部分数据进行持有性证明并将证明结果返回给NCPM。NCPM收到CSPs的证明结果后进行汇总计算,得到最终的持有性证明结果,并将该证明结果传递给RRCM。

1.3 CS-PDP定义

为方便叙述,首先对本文中用到的符号参数进行说明,如表1所示。

定义1 CS-PDP模型是个包含了5个多项式时间算法的集合(KeyGen,TagBlock,ProxyProof,BlockProof,CheckProof)。

KeyGen是一个密钥产生算法,在用户端执行。它由一个安全参数k作为输入,返回一个匹配的公钥私钥值对(pk,sk)。

TagBlock是一个标签产生算法,在用户端执行,用来产生验证标签。它以一个公钥pk,私钥sk和一个文件块m作为输入,返回验证标签Tm。

ProxyProof是运行在代理服务器CSPP上的用于进行数据持有性证明的算法。它以公钥pk,挑战信息chal和CSP返回的v作为输入,通过将挑战分发至存有对应文件数据的CSP进行验证,并汇总CSP返回的结果,得到最终的持有性证明结果V,该证明V是由挑战信息chal决定的。

BlockProof是运行在CSP上的部分数据块持有性证明算法。它以公钥pk,挑战信息chal,部分数据块集合F′,数据块对应的验证标签集合E′和数据块在原始文件中索引集合I′为输入,返回对部分数据块的持有性证明v。

CheckProof是个运行在用户端用来验证从CSPP得到的数据持有证明。它以公钥pk,私钥sk,挑战信息chal和数据持有证明V作为输入,它返回一个布尔值,该值表明了CSP是否完整的持有数据。

CS-PDP模型算法伪代码如下:

1.4 CS-PDP工作过程

CS-PDP模型同S-PDP模型相类似,也分成两个阶段:初始化阶段和挑战阶段。

(1) 初始化阶段

第一步建立(Setup)中,用户端调用KeyGen算法为待存储的文件建立一对公钥和私钥。结合公钥和私钥,使用TagBlock算法产生每个数据块的同态标签。随后,用户端将公钥pk,数据块集合F和标签集合E发送(Upload)到CSPP。CSPP的SAM模块通过执行分配算法将文件的数据块合理的分配(Assign)到不同的CSP中,并在存储分配表中记下文件对应的公钥和存储该文件的CSP信息。由于文件可能会被分开存储,所以CSPP在将文件传送给不同的CSP时还传递了数据块在原文件中的索引信息。初始化阶段完成之后,文件数据就通过云代理存放到了云中。此时,用户端可以删除原始文件数据以及对应的标签数据,只保留生成的密钥对,随后以此来验证数据的完整性。工作过程如图2所示。

(2) 挑战阶段

为了验证数据的完整性,用户端向CSPP发起挑战。CSPP运行ProxyProof算法对收到的挑战进行证明。CSPP中通过RRCM、SAM和NCPM三个模块的交互,将挑战分发至存有数据的CSP。CSPP首先通过SAM模块查询存储文件数据块的CSP。随后,RRCM将公钥pk、CSP集合和挑战信息发送到NCPM模块。NCPM模块收到挑战请求后,根据CSP集合的内容将公钥pk和挑战信息chal分别转发至对应的CSP。存有被挑战数据的CSP收到证明请求后,运行BlockProof算法得到自己所存的被挑战数据块的持有性证明结果,然后将该结果回送至CSPP进行汇总。CSPP收到各个CSP发来的部分证明结果之后,进行汇总计算得到本次挑战的持有性证明结果。然后,CSPP将本次持有性证明结果发送至客户端,客户端根据收到的持有性证明结果,运行CheckProof算法验证云端是否完好的存有数据文件。工作过程如图3所示。

2 安全性与开销分析

2.1 安全性分析

云存储中外包数据的完整性验证在某种意义上是一个多证明方交互证明系统[10]IPS(Interactive Proof System),故其验证机制的建立满足IPS的安全性要求。在计算复杂性理论中,一个IPS是指一个抽象机,该抽象机可以建模验证方和证明方之间信息交互的计算过程。信息将在验证方和证明方之间不断的计算传递,直至证明方相信该信息是正确的。IPS拥有两个重要安全性要求:完备性和完整性。CS-PDP模型满足IPS的安全性要求。

(1) 针对标签伪造攻击的安全性防范

完备性是指验证者相当不易被证明方欺骗而接受虚假证明。也就是说,文件标签极难被伪造。准确的完备性被定义如下:对每一个非法标签T′∉TagBlock(pk,sk,m),不存在一个证明方P*可以通过任一个验证方的检测,即便通过,也是要付出巨大代价。从CS-PDP模型结构可以看出,证明方虽然知道公钥pk和数据块m,但它并不知道私钥sk,也就无法伪造标签。

(2) 针对数据泄露攻击的安全性防范

完整性是指要防范数据泄露。为了保护被检测数据的机密性和完整性,我们需要对验证过程中隐私信息的泄露进行防范。在以往的持有性证明模型中,数据块和对应的标签都是可以被验证方获取的。而在CS-PDP模型中,证明方和验证方之间交互的只是常量级的挑战信息或证明结果,它满足零知识特性。零知识特性是指除了证明结论的正确性外不泄露任何其他信息(知识)。在CS-PDP模型中,在用户和CSPP交互证明过程结束后,用户除了能知道由该CSPP作代理的CSPs是否完整的存有它的原始文件数据外,得不到其他任何数据信息。

2.2 概率型验证的可信度

验证的可信度是指文件数据块丢失或损坏的情况下,成功检测到丢失或损坏的概率。本文的概率型验证方案主要用于较大的归档文件(≥1GB),对于小文件,文件块较少,可以直接对整个文件进行验证。

令n表示文件总块数,t表示被破坏的文件块比例数,x表示抽样检测时正好抽中“坏块”的个数,c表示抽样块数(可以检测到坏块至少需要检测的块数),P表示可靠性,即检测到坏块的概率。于是,我们可以计算出P与c的不等式关系:

$\begin{array}{l}{\rm P}={\rm P}\{x\ge 1\}=1-{\rm P}\{x=0\}\\ =1-\frac{n-t\cdot n}{n}\cdot \frac{n-t\cdot n-1}{n-1}\cdot \cdots \cdot \frac{n-c+1-t\cdot n}{n-c+1}\\ =1-{\displaystyle \prod _{i=0}^{c-1}\frac{n-n\cdot t-i}{n-i}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\because 1-t\ge \frac{n-i-t\cdot n}{n-i}\ge \frac{n-i-1-t}{n-i-1}\\ \therefore 1-(1-t){}^c\ge {\rm P}\ge 1-(\frac{n-c+1-t\cdot n}{n-c+1}){}^c\end{array}$

当被抽查块数远小于文件总块数时,即c≤n时,$\frac{n-c+1-t\cdot n}{n-c+1}\approx 1-t$,因此:

P≈1-(1-t)c

图4显示了不同坏块比例t下,验证的可信度与抽查块数c之间的关系。图4中横轴为抽样块数,纵轴为一次验证的可信度。从图上可以看出,验证的可信度随着抽查块数的增加而增大。若有1%的坏块。如果要求95%的可靠性,则需要抽样300块。而若要达到99%可靠性检测到坏块,则只需要抽样460块。同时,从图上也可以看出,t=0.1%时,抽查1000个块才可以的验证可信度大于60%。此时,可以通过重复多次抽样提高验证的可信度,因为在5次独立的验证中发现损坏的概率将达到:1-(1-60%)5≈98.9%。

2.3 存储和通信开销

初始化阶段,用户端将数据传送到云端,通信量与文件大小直接相关,但这一过程只需执行一次。挑战阶段,用户端和CSPP、CSPP和CSP之间都进行通信。用户端向CSPP发送证明挑战时,发送公钥和挑战信息。CSPP将公钥和挑战信息转发至CSP进行验证。验证完成后,CSP将部分数据块证明结果回送至CSPP。CSPP汇总计算之后,将最终证明结果发送至用户。从这整个过程可以看出,各个实体之间的通信量是一个与文件大小无关的常量。

考虑一个1024bit的模数N和一个大小为4GB的文件F,F拥有n=1048576块4KB大小的文件块。在初始化阶段,用户将文件和标签交由CSPP进行存储。标签需要128MB的额外存储开销。用户存储3KB额外数据(N,e,d,每一个均有1024bit;v用128bit来表示)。在挑战阶段,用户和CSPP使用。在一次挑战中,用户向CSPP发送3个参数,共148B(c需要4B,k需要16B,gs需要1024bit)。CSPP响应挑战总共需要148B(T需要1024bit,ρ有20B)。由此可见,CSPP的通信开销只是一个很小的常量值,尤其是CSPP不需要向用户发送回任何文件块或是文件块的总和。

3 实 验

为了进一步衡量CS-PDP在实际情况下的计算开销,本文实现了CS-PDP中的算法并进行了性能测试。测试服务器配置为:Pentium Dual-Core CPU E5700 @3.00GHZ 3.00GHZ处理器,2GB内存,500GB希捷ST3500418AS硬盘, Ubuntu 12.04 LTS 32bit操作系统。使用OpenSSL 1.0.1.c中的Crypto库实现了模型中的算法。具体算法安排为:使用RSA来产生密钥;用HMAC来实现伪随机函数f;用AES来实现伪随机排列π(用来随机选择块的索引);SHA-1来实现h。模数N的值有1024bit,文件块大小为4KB。所有实验结果代表20次实验的平均值。

3.1 概率型抽样检测

本节对抽样检测和所有块检测两种策略分别进行了实验,实验结果如图5所示。实验中文件大小从100MB到1000MB不等,统计算法运行时间以及对文件所有块进行I/O所需时间,算法运行时间包括文件I/O时间和对数据块进行证明的时间。实验结果表明概率型抽样检测策略相比所有块检测而言能极大提升系统性能,使用概率型抽样检测策略时,算法所需运行时间与文件大小无关。

从图5中可以看出,当对所有的数据块都进行证明时,算法运行时间与文件大小呈线性正相关。验证1000MB的文件,在I/O上耗费了1.48秒,总的算法运行时间为5.62秒,表明磁盘I/O对算法的性能存在一定的影响。

在99%可靠性前提下,大约需要抽样900个数据块,产生证明的时间仅为0.023秒;95%可靠性前提下,大约需要抽样600块,产生证明时间仅需0.016秒。对比证明所有数据块的策略发现,概率型抽样检测策略带来了极大的性能提升。同时,还可以发现,采用概率型抽样检测策略时,算法运行时间不随文件大小的改变而改变。

3.2 服务器端计算

本节通过实验对比了本文算法和其他算法在最坏情况下产生证明的性能。所谓最坏情况,即对于CS-PDP和S-PDP均验证所有数据块。图6显示了CS-PDP和S-PDP产生证明所需时间都与文件大小线性相关。在文件较小时,例如100MB,二者运行时间并没有显著差距;当文件逐渐增大时,CS-PDP的运行时间增长缓慢,而S-PDP的运行时间显著增长。文件为1000MB时,S-PDP的运行时间约为CS-PDP运行时间的11倍。实验结果表明,CS-PDP模型较S-PDP有很大的性能提升。

4 结 语

本文分析了当前云存储的新特性和传统数据持有性证明PDP的局限性,在S-PDP模型的基础上通过加入可信存储服务提供商代理CSPP,构建了适用于对云存储中分布式外包存储的数据进行完整性验证的数据持有性证明模型CS-PDP。通过对该模型的安全性和性能进行理论和实验分析,表明本文提出的云存储中的数据持有性证明模型不仅可以抵制恶意欺骗和隐私泄露,而且只耗费很小的存储、计算和通信开销,该模型高效可行。

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[11]Fortnow L,Rompel J,Sisper M.On the power of multi-power interac-tive protocols[J].Theoretical Computer Science,1988:156-161.

工业设计证明 篇3

2012年3月9日，欧盟内部市场协调局常设法院就如何证明“相同的在先设计已公开”一案做出重要判决。 该判决涉及到一项瓶子的外观设计，该共同体外观设计注册于2003年5月6日，并于2006年05月11日被申请无效，理由是该设计与2002年公开的某设计相同，缺乏新颖性。 无效申请中主要提出下列三项证据： (一)一项具有相同设计时间、名称及代码的技术设计，以及一个英国客户的公司名称； (二)缺少表头的提货单，证明向上述英国公司运送61000多个瓶子，其产品代码包含上述技术设计上的代码； (三)该英国公司前雇员签署的宣誓声明，证明2003年5月6日前该公司购买了与该技术设计相同的瓶子并转售给他人。 2007年7月4日，欧盟内部市场协调局做出该外观设计无效的决定。根据《欧洲共同体外观设计基本条例》（CDR），在先设计可视为已经公开，且两个设计完全相同，鉴于此，该争议设计被判为无效。该决定得到上诉委员会的支持，案件被上诉至欧盟常设法院。 因双方未就两个设计的相同性进行辩论，欧盟常设法院集中审理了“在先设计已公开”的问题。争议设计持有人在其上诉书中坚称，由对方当事人提交的证据不能完全证明其设计时间更早，无论是单独理解或是综合考虑，都没有证明在先设计已于某个明确的时间公开披露。此外，设计持有人认为对方当事人存有恶意，并参与了损害其利益的侵权活动。 常设法院首先指出，根据《欧洲共同体外观设计基本条例》条款，公开设计的方式之一是在贸易中使用该设计。鉴于《欧洲共同体外观设计基本条例》和《欧洲共同体外观设计执行条例》都没有对提交“在先设计公开”证据的类型做出明确规定，常设法院认为，申请无效的申请人可以选择提交其认为合适的任何证据；另一方面，欧盟内部市场协调局则应审查全部证据，从而确定在先设计是否已经公开。 参照商标中的类似判例，常设法院指出“设计公开”的证明不能依据推测或设想，而应建立在完善客观的材料的基础上。此外，法院认为应当将无效申请人所提交的全部证据结合起来进行判断。事实上，单个证据自身可能不足以证明在先设计已经公开，但当它与其他证据结合在一起进行检查或解释时，则可能有助于证明“在先设计已公开”。 以这些原则为基础，法院得出结论：提货单所指的瓶子与技术设计中的瓶子具有相同的代码，可以认定为相同产品。宣誓声明中根据产品名称和代码指出，使用技术设计的瓶子即为交易的瓶子，且交易时间早于该争议设计提交的时间。法院认为这三项证据共同证明了在先设计已经公开。 对于“怀有恶意”的指证，法院指出其任务是评价注册外观设计的新颖性，而不是评估当事各方的行为，虽然《欧洲共同体外观设计基本条例》中的多项条款提及善意、恶意问题，但没有一项条款为“共同体外观设计无效”提供支撑。

设计公司实习证明 篇4

实习证明

兹有xx大学xx级xx系cnrencai于xx年x月x日至xx年x月x日期间在xx设计工作室实习。

实习的主要内容：

1、对现有设计软件进行突击训练，能够独立、灵活配合相关行业软件运用设计，了解包装基础知识，常用金属材料规格、性能等。

2、参观并调研包装厂，钣金加工厂并跟随设计师了解产品生产过程中各个工序的相互配合、技术要求以及后续工作的完善，便于以后更有效的开展设计。

3、通过与设计师的交流，与团队其他成员的配合，参与并设计了秦皇岛半岛四季酒店VI应用;石板大米包装设计;大型机械层压机外观造型设计;在过程中逐步掌握产品设计的要领与技巧，提高相应设计能力，把学习与实际应用相结合。

在实习期间，学习态度端正，工作积极踏实，最受规章制度;认真学习领悟工业设计所必要的技能，能够把书本知识灵活应用到现实设计工作中，按时完成相关任务，具有一定的团队和做精神与创新意识。

本设计工作室对于该学生在实习期间的学习和工作给予充分的肯定，希望在今后的学习中能够不断提高自身个方面的能力。

特此证明。

证明人(签字)：

xx设计工作室

(实习单位盖章)

xx年x月x日

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单位实习证明范文

命题、定理、证明教学设计 篇5

助您教考全无忧

课题：5.3.2 命题、定理、证明

教学目标：

1．理解命题、定理、证明的概念，能区分命题的题设和结论； 2．会判断命题的真假，能写出简单的推理过程． 重点：

命题的概念和区分命题的题设与结论.难点：

表述推理过程． 教学流程：

一、情境引入

问题：下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？ 1.对顶角相等； 2.画一个角等于已知角； 3.两直线平行，同位角相等； 4.a、b两条直线平行吗？ 5.温柔的小莉； 6.玫瑰花是动物； 7.若a2＝4，求a的值； 8.若a2＝b2，则a＝b.答案：有，没有，有，没有，没有，有，没有，有，概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.练习1：

判断下列语句是不是命题？（1）两点之间，线段最短；（）（2）请画出两条互相平行的直线；（）

（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）

（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余.（）答案：是，不是，不是，是

追问：你能举出一些命题的例子吗？

二、探究1

观察下面命题：

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

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（2）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余； 问题1：命题是由几部分组成的？

命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 数学命题表达：

“如果„„那么„„”的形式

问题2：说一说下面命题的题设和结论？

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余； 练习2：

请将下列命题改为：“如果„„那么„„”的形式：（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）对顶角相等．

答：（1）两条平行线被第三条直线所截，如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；（2）如果两个角是对顶角相等，那么这两个角相等．

三、探究2

情境回顾：

下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？ 1.对顶角相等；（有）

3.两直线平行，同位角相等；（有）6.玫瑰花是动物；（有）8.若a2＝b2，则a＝b.（有）

概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.问题：下面的命题，哪些是正确的，哪些是错误的？ 1.对顶角相等；

3.两直线平行，同位角相等； 6.玫瑰花是动物； 8.若a2＝b2，则a＝b.21世纪教育网

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答案：√，√，×，×

真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．

假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题． 追问：你能再举出真命题和假命题的例子吗？ 练习3：

判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？

（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（3）如果 |a|＝|b|，那么a＝b；

（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两点确定一条直线．

答：真命题，假命题，假命题，真命题，真命题

四、探究3

真命题：

（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行

线中的一条，那么也垂直于另一条；

（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两点确定一条直线．

定理：上面命题正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理． ※定理也可以作为继续推理的依据． 追问：你能说几个学习过的定理吗？

五、探究4

例：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.问题：这是一个真命题，你说一说理由吗？ 已知：b∥c，a⊥b ． 求证：a⊥c．

证明：∵ a⊥b（已知），又∵ b∥c（已知），21世纪教育网

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∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2＝∠1＝90º（等量代换）．

∴∠1＝90º（垂直的定义）． ∴ a⊥c（垂直的定义）．

证明：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.注意：判断一个命题是假命题，也可举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.举反例说明：“相等的角是对顶角”是假命题 解：如图所示，OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1＝∠2 但∠1和∠2不是对顶角

∴“相等的角是对顶角”是假命题 练习4：

命题：“同位角相等”是真命题吗？如果是，请说明理由；如果不是，请用反例说明.答：假命题，理由如下 如图所示，∵∠

1、∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角 且∠1≠∠2 ∴“同位角相等”是假命题

六、应用提高

在下面的括号里，填上推理的依据.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：EG∥FH．

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证明：∵∠1＝∠2（已知）∠AEF＝∠1（对顶角相等）； ∴∠AEF＝∠2（等量代换）．

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． ∴∠BEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3＝∠4（已知）；

∴∠BEF－∠4＝∠CFE－∠3． 即∠GEF＝∠HFE（等式性质）． ∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）．

七、体验收获

今天我们学习了哪些知识？

1.什么叫做命题？命题是由哪两部分组成的？

2.举例说明什么是真命题，什么是假命题．如何判断一个命题的真假？ 3.谈一谈你对证明的理解.八、达标测评

1.判断下列语句是不是命题？如果是命题，请判断其真假.（1）两点之间，线段最短； 答：是命题，真命题

（2）请画出两条互相平行的直线； 答：不是命题

（3）过直线外一点作已知直线的垂线； 答：不是命题

（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余． 答：是命题，真命题（5）内错角相等 答：是命题，假命题

2.将下面推理过程，补充完整.已知：如图，AB∥CD，∠A＝∠C，21世纪教育网

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求证：∠E＝∠F.解：∵AB∥CD(已知)，∴∠C＝∠ABF(两直线平行，同位角相等)，又∵∠A＝∠C(已知)，∴∠A＝__∠ABF__(等量代换)，∴AE∥FC(内错角相等，两直线平行)，∴∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等).九、布置作业

教材24页习题5.3第12、13题．

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平面设计专业实习证明 篇6

兹有_________学校_平面设计_专业_________同学于_________年_________月_________ 日至_________年_________月_________日在_________实习该同学的实习职位是_________ 该学生实习期间工作认真,在工作中遇到不懂的地方,能够虚心向富有经验的前辈请教,善于思考,并能够举一反三.对于别人提出的工作建议,可以虚心听取.在时间紧迫的情况下,加班加点完成任务.能够将在学校所学的知识灵活应用到具体的工作中去,保质保量完成工作任务.同时,该学生严格遵守我公司的各项规章制度.实习时间,服从实习安排,完成实习任务.尊敬实习单位人员.并能与公司同事和睦相处,与其一同工作的员工都对该学生的表现予以肯定.

特此证明.

_________(实习单位盖章)

_______年_____月_____日

1.广告专业学生实习证明模板

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5.实习证明的模板

6.实习证明模板

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9.造价专业实习证明

工业设计证明 篇7

一、曲线有水平切线———导出罗尔定理

首先观察图1，在平面直角坐标系里有一条连续的曲线ACB，其函数y=f (x） (x∈[a, b]），两个端点分别记为A, B，这条曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即f (a）=f (b）.不难看出在曲线的最高点C处（还有最低点），曲线有水平的切线，这条切线正好与端点的连线AB平行（弦AB的斜率kAB=0）.如果记C点的横坐标为ξ，那么由导数的几何意义可以得f'（ξ）=0.用分析的语言来描述这一几何现象就可得到———

罗尔定理若函数f (x）满足条件：

(1）在闭区间[a, b]上连续；

(2）在开区间（a, b）上可导；

(3) f (a）=f (b），则在（a, b）内至少存在一点ξ，使得f' (ξ) =0.

证：因为f (x）在[a, b]上连续，所以由连续函数的最大最小值原理知，f (x）在[a, b]上可取到最大值M和最小值m，现在分两种情况分别讨论如下：

1. 若M=m，则f (x）≡M（或m），此时该函数f (x）为常数函数，故其导数恒等于零。于是在（a, b）上任意取一点ξ，都有f'（ξ）=0.

2. 若m<M，即最大值与最小值不相等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不在端点取得。不妨设最大值不在端点取得。从而知存在ξ∈（a, b），使得f（ξ）=M.以下来证明f'（ξ）=0.

由于f（ξ）=M是最大值，所以恒有f（ξ+Δx）-f（ξ）≤0, ξ+Δx∈ (a, b) .

由于式（1）、（2）同时成立，从而有f'（ξ）=0.

综合以上两种情况，罗尔定理得证。

从罗尔定理的导出可以看出，利用几何直观对于问题的条件与结论都易于理解。就经济管理类专业而言，其证明即使未完全掌握，也完全可以弄清罗尔定理的条件与结论。

二、曲线有倾斜切线———导出拉格朗日中值定理

以下再来观察图2，在平面直角坐标系里有一条连续的曲线ACB，其函数为y=f (x） (x∈），两个端点分别记为A、B，这条曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线，不难看出在曲线的C处（图中还有一处）有切线平行于两端点的连线AB.如果记C点的横坐标为ξ，那么由导数的几何意义知ξ处的切线斜率为f'（ξ），而弦AB的斜率为

综上所述可知，平面内以A、B为端点的连续曲线弧处处有不平行于y轴的切线时，则在曲线内至少有一点，其切线平行于弦AB.用分析的语言来描述这一几何现象就得到下面微分学中十分重要的———

拉格朗日中值定理若函数f (x）满足下列条件：

(1）在闭区间[a, b]上连续；

(2）在开区间[a, b]上可导；

则在（a, b）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=

分析将坐标系绕原点在平面内的旋转，使得在新坐标系“XOY”下，线段AB平行于新坐标系的X轴，于是就有了F (a）=F (b）.F (x）的几何意义，正是曲线y=f (x）与直线之差，这样就有了作辅助函数的方法。

证：作辅助函数，易知，F (a）=F (b）=0，且F (x）在[a, b]上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在点ξ∈（a, b），使得，即定理得证。

从拉格朗日中值定理的导出同样可以看出，利用几何直观对于问题的条件与结论都易于理解。就经济管理类专业而言，证明过程中辅助函数的作法一般不易想到，但定理的条件与结论是直观的，而且是不难接受的。

关于拉格朗日中值定理，再作以下几点说明：

(1）从几何直观上看，易知罗尔定理是拉格朗日中值定理当f (a）=f (b）时的特例；

(2）该问题是将一般情况转化为特殊情况，将复杂问题转化为简单问题的论证思想，它是数学中重要而常用的数学思维方法。这里又是通过几何直观来提供一个构造辅助函数的方法的思路，使得粗象的构造辅助函数的思想变得直观而易于理解；

(3）拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：

(4）以下推论1实际上是利用拉格朗日中值定理研究函数的典型例子之一，从几何图形上看又是直观的：如图3，在平面直角坐标系中连续的曲线AMB的切线处处是水平的（即斜率满足f'（ξ）堍0），则该曲线必定是一条水平的直线（即函数必为常数函数y=f (x）堍c， (x∈[a, b]）.此时曲线上任意一点处切线与曲线重合。

推论1若函数f (x）在区间（a, b）上的导函数f'（x）堍0，则f (x）是一个常数函数。

证：对于区间（a, b）上的任何两点x1, x2，不妨设x1>x2则在f (x）在[x1, x2]上满足拉格朗日中值定理的条件。根据该定理，有f (x2）-f (x1）=f'（ξ）（x1, x2）=0，这就是说，f (x）在区间（a, b）上的任何两个值都相等，所以为常数函数。

(5）以下推论2是利用拉格朗日中值定理研究函数的另一个典型例子之一，从几何图形上看同样是直观的：如图4，平面直角坐标系中的两条连续的曲线A MB、A'M'B'在区间 (a, b) 内处处有不垂直x轴的切线, 且两曲线的切线处处是平行的 (即斜率满足f' (ξ) =g' (ξ) (ξ∈a, b) ) , 则两条曲线中的一条曲线y=f (x) 是由另一条曲线y=g (x) 轴方向平移得到的 (即满足f (x) =g (x) +C) .

推论2若函数y=f (x）和y=g (x）均在区间（a, b）上可导，且f'（x）=g'（x），其中x∈（a, b），则在区间（a, b）上，函数f (x）与g (x）只差一个常数，即存在常数C，使得f (x）=g (x）+C.

证：令F (x）=f (x）-g (x），由推论1, F (x）=C，所以有f (x) =g (x) +C.

三、曲线由参数方程表示有切线———导出柯西中值定理

类似地，利用拉格朗日中值定理的几何意义及参数方程的知识可推出柯西中值定理。如图5，设该曲线的参数方程为∈Y=f (x) X=g (x） (a≤x≤b），其中x为参数。

那么曲线上的点（X, Y）处切线的斜率为，弦AB的斜率为，假设点C对应于参g'（x) g (b）-g (a) 数x=ξ，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB，可以表示为.用分析的语言表示即为———

柯西中值定理若满足条件：

(1）函数f (x）, g (x）在闭区间[a, b]上连续；

(2）函数f (x）, g (x）在开区间（a, b）上可导；

(3）在开区间g'（ξ）内不为零；则在（a, b）内至少存在一点ξ，使得.

证：首先由拉格朗日中值定理，知g (b）-g (a）=g（ξ）（b-a）≠0，类似于证明拉格朗日中值定理时分析作辅助函数的方法，作辅助函数：

显然，F (x）满足罗尔定理的条件，所以存在点ξ∈（a, b），使得F' (ξ) =0,

不难看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g (x）=x时的特例，柯西中值定理最重要的应用是导出求不定式极限的非常好用的洛必达法则。

有了微分中值定理，一些从几何现象上看并不直观的函数关系的数学命题，运用微分中值定理容易给出其理论证明，显示出了微分中值定理运用导数知识去研究函数性态的桥梁的重要作用，仅举以下几例：

例1证明：当a>b>0时，

证令f (x）=lnx, x∈[a, b]，则f (x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，由拉格朗日定理得 (a<ξ<b），由于得故

例2证明：当x>0时，成立不等式

分析：注意到x>时，则对于f (t）=lnt，在区间[x, 1+x]上，有f (1+x）-f (x）=ln (1+x）-lnx，可考虑运用拉格朗日定理进行证明。

证明：令f (t）=lnt，则f (t）在[x, 1+x]（x>0）上满足拉格朗日定理条件，从而有f (1+x）-f (x）=f'（ξ）（1+x-x）， (0<x<ξ1+x），即ln (1+x）-lnx=.

例3当x>0时，试证：若ex=1+xexθ（x）（其中0<θ（x）<1），则lxi→m0θ（x）=.

分析：移项可得ex-1=xexθ（x），易知，等式左边为函数f (t）=e'在[0, x]上的增量形式，而右边与θ（x）有关，可考虑运用拉格朗日定理进行证明。

证明：令f (t）=e'，则当x>0时，f (t）在区间[0, x]上满足拉格朗日定理条件，因此有f (x）-f (0）=f'（0+（x-0）θ（x） (x-0））， (0<θ（x）<1），由上式，解得，即θ故

摘要：本文结合经济管理类专业的实际, 给出从几何问题出发证明微分中值定理的思维过程, 使得所讨论的问题的条件与结论都易于理解, 证明中值定理过程中通常认为不易想到的作辅助函数的困难也变得易于接受。

关键词：微分中值定理,几何现象,辅助函数

参考文献

[1]柴慧琤.微分中值定理证法的几何解释[J].数学通报, 1991, (2) .

[2]同济大学应用数学系.高等数学上册 (第5版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

直接证明和间接证明解析 篇8

综合法

高考的热点问题，也是必考问题之一. 通常在解答题中某一问出现，一般为中、高档题，高考对综合法的考查常有以下三个命题角度：（1）三角函数、数列证明题；（2）几何证明题；（3）与函数、方程、不等式结合的证明题.

例1 （1）设数列[{an}]的各项都为正数，其前[n]项和为[Sn]，已知对任意[n∈N*，][Sn]是[a2n]和[an]的等差中项.

①证明数列[{an}]为等差数列，并求数列[{an}]的通项公式；

②证明：[1S1+1S2+…+1Sn<2].

（2）设[f（x）=lnx+x-1，]证明：当[x>1]时，[f（x）<][32（x-1）.]

解析 （1）①由已知得，[2Sn=a2n+an，]且[an>0.]

当[n=1]时，[2a1=a21+a1，]解得[a1=1][（a1=0舍去）.]

当[n≥2]时，有[2Sn-1=a2n-1+an-1.]

于是[2Sn-2Sn-1=a2n-a2n-1+an-an-1，]

即[2an=a2n-a2n-1+an-an-1].

于是[a2n-a2n-1=an+an-1，]

即[（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1.]

因为[an+an-1>0，]所以[an-an-1=1（n≥2）.]

故数列[{an}]是首项为1，公差为1的等差数列，

所以数列[{an}]的通项公式为[an=n.]

②证明：因为[an=n，]所以[Sn=n（n+1）2，]

则[1Sn=2n（n+1）=21n-1n+1，]

所以[1S1+1S2+…+1Sn]

[=21-12+12-13+…+1n-1n+1]

[=21-1n+1<2].

（2）证明：法一：记[g（x）=lnx+x-1-32（x-1），]

则当[x>1]时，[g（x）=1x+12x-32<0].

又[g（1）=0，]所以[g（x）<0，]即[f（x）<32（x-1）.]

法二：由均值不等式知，当[x>1]时，[2x

故[x

令[k（x）=ln x-x+1，]则[k（1）=0，k（x）=1x-1<0，]

故[k（x）<0，]即[ln x

由①②得，当[x>1]时，[f（x）<32（x-1）].

点拨 （1）综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性. 用综合法证明时的逻辑关系是：[A?B1?B2?…?Bn?B]（[A]为已知条件或数学定义、定理、公理，[B]为要证结论），它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”；（2）利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的.因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质.

分析法

分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，逆向分析，寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件.

例2 分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设[a>b>c，]且[a+b+c=0，]求证：[b2-ac<3a]”索的因应是（ ）

A. [a-b>0] B. [a-c>0]

C. [（a-b）（a-c）>0] D. [（a-b）（a-c）<0]

解析 [b2-ac<3a?b2-ac<3a2，]

[?（a+c）2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0，]

[?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0，]

[?（a-c）（2a+c）>0?（a-c）（a-b）>0].

答案 C

例3 已知[n≥0，]试用分析法证明：[n+2-n+1][

证明 要证原不等式成立，需证[n+2+n<2n+1，]

只需证[（n+2+n）2<（2n+1）2]，只需证[n+1>][n2+2n]，

只需证[（n+1）2>n2+2n，]即[n2+2n+1>n2+2n，]

只需证[1>0，]显然成立，

所以原不等式成立.

点拨 当要证的不等式较复杂、两端差异难以消除或者已知条件信息量太少、已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法. 分析法解决问题的关键：逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，注意把握转化方向.

反证法

反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立. 反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是[A]，或者是非[A]，即在同一讨论过程中，[A]和非[A]有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现.

例4 用反证法证明命题：“设[a，b]为实数，则方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A. 方程[x3+ax+b=0]没有实根

B. 方程[x3+ax+b=0]至多有一个实根

C. 方程[x3+ax+b=0]至多有两个实根

D. 方程[x3+ax+b=0]恰好有两个实根

解析 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定. 方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根的反面是方程[x3+ax+b=0]没有实根.

答案 A

例5 设[a，b]是两个实数，给出下列条件：①[a+b>1；]②[a+b=2；]③[a+b>2；]④[a2+b2>2；]⑤[ab>1].其中能推出：“[a，b]中至少有一个大于1”的条件是 .（填序号）

解析 若[a=12，b=23，]则[a+b>1，]但[a<1，b<1，]故①推不出；

若[a=b=1，]则[a+b=2，]故②推不出；

若[a=-2，b=-3，]则[a2+b2>2，]故④推不出；

若[a=-2，b=-3，]则[ab>1，]故⑤推不出；

对于③，即[a+b>2，]则[a，b]中至少有一个大于1，

反证法：假设[a≤1]且[b≤1，]则[a+b≤2]与[a+b>2]矛盾，因此假设不成立，故[a，b]中至少有一个大于1.

答案 ③

点拨 否定性命题，惟一性命题，至多、至少型命题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑采用反证法. 注意：推导出的矛盾可能多种多样，但必须是明显的. 有的与已知条件矛盾，有的与已有公理、定理、定义矛盾，有的与假设矛盾等.

练 习

1. 已知数列[{An}：a1，a2，…，an.]如果数列[{Bn}：b1，][b2，…，bn]满足[b1=an，][bk=ak-1+ak-bk-1，]其中[k=2，3，…，n，]则称[{Bn}]为[{An}]的“衍生数列”.

（1）写出数列[{A4}：2，1，4，5]的“衍生数列”[{B4}].

（2）若[n]为偶数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，]证明：[bn=a1].

（3）若[n]为奇数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，][{Bn}，]的“衍生数列”是[{Cn}，]…，依次将数列[{An}，{Bn}，{Cn}，…]首项取出，构成数列[{Ω}：a1，b1，c1，…，]证明：[{Ω}]是等差数列.

2. （1）如果[a，b]都是正数，且[a≠b，]求证：[a6+b6>a4b2+a2b4.]