数形结合思想专题训练

数形结合思想专题训练（精选8篇）

数形结合思想专题训练 篇1

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数形结合思想专题训练 篇2

1. 高考预测

在高考试题中, 选择题、填空题等客观性题型, 由于不要求写出解答过程, 命题时常对掌握及应用数形结合思想方法解决问题的能力提出较高的要求, 要求考生应用数形结合思想, 通过数与形的转化, 找到简捷的思路, 快速而准确地做出判断, 得到结论。

数形结合一般从两个方面着手进行考查: (1) 挖掘数式的特点借助图形帮助解题; (2) 从构造图形的角度来表现数学问题、分析数学问题和解决数学问题。

2. 重点剖析

实现数形结合, 常与以下内容有关:实数与数轴上的点的对应关系;函数与图象的对应关系;曲线与方程的对应关系;以几何元素和几何条件为背景, 建立起来的概念, 如复数、三角函数等;所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3. 考点透视

纵观多年来的高考试题, 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题, 可起到事半功倍的效果, 数形结合的重点是研究“以形助数”。在运用数形结合思想解题时, 必须突破由“形”觅“数”和由“数”构“形”这两关, 因此, 在运用数形结合思想分析和解决问题时, 必须做到以下四点:

(1) 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;

(2) 适当设参, 合理用参, 建立关系, 做好转化;

(3) 要正确确定参数的取值范围, 防重复和遗漏;

(4) 精心联想“数”和“形”, 使一些较难解决的代数问题几何化, 几何问题代数化, 便于问题的获解。

二、考题精讲

例1 已知函数在[0, +∞) 上为增函数, 则实数a, b的取值范围是_________。

【评析】 通过研究函数f (x) 的图象与图象的关系, 就得到参数b的取值范围, 故而画出曲线的图象是解题的最根本的问题。

例2 直线y = kx - 1 与曲线有公共点, 求k的取值范围。

解析:如图2 所示, 显然k为直线的斜率, 直线过定点 (0, -1) 且绕其旋转, 曲线为圆 (x - 2) 2+ y2= 1, 在x轴及x轴下方部分。由图形可知, l1和l2为极限位置, 从l1到l2过程中倾角逐渐增大, 且k1= 0, k2= 1, 从而k∈[0, 1]。

【评析】 由于直线方程是过定点的直线系方程, 通过绕定点旋转可了解动直线与定曲线的交点问题, 这里还要注意定曲线是一个半圆, 不能误画成圆。

三、考题预测

分析:这是一个平面几量的表示问题, 不是一般的代数运算通过变形等方法可得, 如果采用数形结合则可突破这一问题的关口, 不妨以与为基低思考问题, 这样便可化解。

【评析】 平面向量本身是一个数形结合的产物, 利用平面向量可以化解代数问题, 更可代解几何问题, 而如何建立基低是解决问题的重要方面, 一般是通过寻求不共线的两个向量, 但也要注意尽量选用较易表示的向量作为基低为好。

例4 直线y - ax - 1 = 0 与双曲线3x2- y2= 1 相交于A, B两点, 当a为何值时, A, B两点都在双曲线左支上?

【评析】 在旋转型问题中, 解题的关键是根据题意把握好旋转的极限位置, 及极限情况下参数值的求法。

四、冲刺训练

1. 方程lg x = sin x的实根的个数为 () 。

(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

2.函数的图象恰有两个公共点, 则实数a的取值范围是 () 。

(A) (1, +∞)

(B) (-1, 1)

(C) (-∞, -1]∪[1, +∞)

(D) (-∞, -1) ∪ (1, +∞)

3. 若复数z满足则的最大值为______。

4. 若f (x) = x2+ bx + c对任意实数t, 都有f (2 + t) =f (2 - t) , 则f (1) , f (-3) , f (4) 由小到大依次为______。

5. 设a > 0 且a≠1, 求方程有解时k的取值范围。

五、复习策略

数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧, 特别是在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效, 复习中要以熟练技能、方法为目标, 加强这方面的训练, 以提高解题能力和速度。

数形结合的思想方法应用广泛, 常见的如在解方程和解不等式问题中, 在求函数的值域、最值问题和三角函数问题中, 运用数形结合思想, 不仅直观易发现解题途径, 而且能避免复杂的计算与推理, 大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越, 教师要注意培养学生这种思想意识, 要争取胸中有图, 见数想图, 以开拓学生的思维视野。

具体来说, 用数形结合思想解题没有一定的格式, 要依据具体的问题形态具体对待, 有些数式问题虽然有一定的图象背景, 但求解却不一定简单, 可见它有一定的局限性。事实上, 我们只需将常见的数形结合类型题目掌握好, 运用好就可以了, 无需太强调非用不可。

参考文献

专题：数形结合思想 篇3

【考情分析】

在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3.“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。

5.在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

【知识交汇】

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：

数形结合思想解决的问题常有以下几种：

（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；

（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；

（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；

（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

（5）构建立体几何模型研究代数问题；

（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

（7）构建方程模型，求根的个数；

（8）研究图形的形状、位置关系、性质等.

常见适用数形结合的两个着力点是：

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解.这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直觀的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

1.数形结合的途径

（1）通过坐标系形题数解

借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 。

（2）通过转化构造数题形解

许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a>0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2-2 与余弦定理沟通，将a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。

2.数形结合的原则

（1）等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

（2）双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。

（3）简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。

【思维总结】

从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。

小学数学数形结合教学思想 篇4

一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用

数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。

（一）以形助数

所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。

（二）以数解形

虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。

二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题

（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯

老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。

（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。

三、结语

在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。

小学数学数形结合思想研究论文 篇5

1数学中的基本概念，数形结合思想渗透，促进学生理解

小学生的思维能力处在发展时期，他们以形象思维为主，抽象思维不及形象思维，对于“数”这样一个抽象的概念可能理解起来较为困难。因此，数学教师要学会在“数”中渗透数形结合的.思想，用直观的图形加深学生对抽象概念的理解和把握，从而实现抽象认识到感性认识———感性认识到理性认识的理解，提高教学的有效性。例如，在初次接触分数的概念时，学生一时半会难以理解，此时如果教师通过直观形象的图形或者是符号来展开教学，教学效果就会明显改善。数学教师可以用与1/2启发学生，这个图形十分直观明了，中间的分割线代表了分号的涵义，学生对分数的认识也就更加清晰和准确了。当然，除了这种做法之外，教师还可以引用古人的智慧，将阿拉伯人、中国古人的分数表达方式展示给学生，学生会对分数表示方式的发展历史有一个大致的了解，通过“形”对“分数”这一概念的认识更加深刻。小学阶段有许多关于数的学习，教师要积极挖掘概念中“形”的内容，找准数学概念与图形的联结点，推进课堂教学的顺利展开。事物的规律和内在联系往往比较抽象，采用数形结合的方法，将复杂抽象的问题直观化能够获得较好的教学效果。在苏教版数学教材《乘法的初步认识》这一节的执教过程中，最初，学生对“乘法”的概念不是很理解，笔者首先用多媒体技术向学生展示了一张图片：有一条小木船，船上坐着三个人，接着后面又“划”来了第二条船、第三条船一直到第五条船，这时候再让学生用数学式子来表示，学生采取了同数相加的形式写出了式子。接着，向学生提出了一个问题：“同学们，如果现在的船增加到100条呢，你们还这样一个一个加起来吗？”学生一听到之后若有所思，都在试图找到一种简单的办法，笔者不失时机地提出了“乘法”的概念，帮助学生轻松的掌握了这一抽象的知识。在这个案例中我们充分看到了数形结合思想对学生概念形成的重要作用。

2数学运算过程中，数形结合思想渗透，提升学生运算技能

数学计算在小学数学中占了较大的比例，更是学生数学学习的重要基础，将数形结合的思想渗透在运算的过程中可以提高学生的计算能力。很多时候学生在进行两位数加两位数的计算时只是机械的计算，还未形成“以形促思”的学习习惯，无法实现算理到算法的过渡。小学数学教师必须有意识地培养学生数形结合的思想，例如，在17+16的运算中，教师先让学生拿出数棒在桌上摆一摆，接着教师再结合数棒摆出来的图形向学生解释“满十进一”，建立图与数的关联，揭示数学计算的本质。

3数学深度学习中，渗透数形结合思想，发展学生的数感

数感对于学生数学学习十分重要，在数形结合中发展学生的数感是每一个小学数学教师的职责。单纯的数字在小学生的眼里没有实际意义，因此学生容易缺乏数感，培养学生的数感对于学生后期数学的深入学习意义重大。教师可以将各种有形的实物引入课堂教学，将数字形象化，帮助学生把握数的本质，培养学生良好的数感。例如，学生最初接触数字1、2、3……教师就相应的展示与数字对应的实物如一支笔、两朵花、三张纸等，学生的数感就在这个过程中得以培养。总之，教师要吃透数学教材，仔细分析教材的内容，结合学生的实际学习情况有步骤的展开教学，渗透数形结合思想。

4数学几何图形学习中，数形结合思想渗透，拓展空间观念

在学习几何知识时，数学教师也应当渗透数形结合的思想，帮助学生准确把握几何概念，帮助学生拓展空间观念。例如，为了让学生把握三角形的特征，数学教师可以用多媒体播放现实生活中的“三角形”图片，给学生直观的视觉刺激，使学生的脑海里存储大量与三角形有关的直观图形。接下来，教师再提供大量反例图形，引起学生的认知冲突，让学生经过不断的认知冲突来加深对三角形的理解和认识，拓展学生的空间观念，强化学生的空间想象力。整个教学过程中，教师巧妙的将数形结合的思想渗透到了教学中，教师并没有不断的向学生灌输“三角形是由三条线段围成的”这一数学思想，而是引入了大量直观、形象的图形，促进学生深入的思考。

5结语

数学学习十分看重学生的数学思维，小学生的数学思维能力是小学数学课程的重要培养目标，在素质教育时代，数学教师必须摒弃过去的教学方式，让学生形成数形结合的思维能力，培养学生借助形来解决数的问题。当学生掌握了数形结合的思维方式，遇到数学问题，学生则更容易看到抽象数学问题反映的本质，而不至于被迷惑，陷入了数学的困境。总之，数学教师要以学生为本，循序渐进的将数形结合的思想渗透到教学中来，让学生在数学学习中获得成就感和满足感。

参考文献：

[1]李文玲.“数形结合”思想在小学数学教学中的应用分析[J].西部素质教育，(1):173.

数形结合思想专题训练 篇6

[内容摘要]“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是一种重要的思想方法，又是解决问题的有效方法。数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使抽象问题具体化，使复杂问题简单化，，从而起到优化解题途径的目的。

[关键词]数形数形结合

我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”数形结合符合人类认识自然，认识世界的客观规律。

“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念逐步展开的。“数”与“形”的结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。

一、以形助数----用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率。

用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”通过借助简单的图形，符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：例1：把一根绳子对折三次，现在的绳子占原来绳子总长的几分之几?

分析与解：这道题条件虽少，对于大部分学生单从字面上很难弄清现在绳子与原来绳子之间的关系。如果画出线段图，思路就豁然开朗了。

对折第二次的线段长是第三次的2倍，对折一次是第二次的2倍，所以用2×2×2=81÷8=1/8

利用数形结合，学生表象清晰，思维清楚，对算理能理解透彻。如果没有图形的帮助，这样的教学理解也是不可能达到的。

(二)借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力

儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。

例如：在教学长方体的认识时，我让学生用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，思考如何围成一个长方体。根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪一个实物很相似。如已知长21cm，宽8cm，高3cm，学生手势比划后说这长方体与铅笔盒很相似;又如长8cm，宽5cm，高5cm，手势比划后，想象出与粉笔盒相似等。

二、以数解形

有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系(如算式等)，以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。

如《长方体的认识》学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学人教版五年级下册《长方体的`认识》一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征……，学生通过小组看看摸摸等合作活动，找出长方体的特征：8个顶点，12条棱，6个面。是点，线，面的关系，学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、冰箱布套、长方体鱼缸的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉、鱼缸有5个面，少了上面，冰箱布套则是少了下面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加下面面积等;避免了犯不必要的错误。

通过鼓励学生仔细观察几个数字和长方体特征之间的关系，从具体的事物中抽象“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，让学生体会数字所包含的图形特征，再借助“数”的运算解决有关几何问题(如求几何体的表面积、总棱长、体积等)。这样，让学生们在“见形”过程中有目的去“思数”，在“思数”的过程中利用“数”来解释“形”，这样既训练了学生的思维能力，又会收到更好的效果。学生一看到6、12、8等数字时，马上能联系到长方体各个特征，在脑子中建立起长方体的模型，象这样有的放矢的在一定时间里重点渗透数形结合的数学思想方法，既可以培养学生在以后的学习中逐渐形成一定的数感，同时在渗透数学思想的过程中，让学生感悟“数形结合”思想的好处。

三、数形结合，思维开花。

把数与形有机的结合起来，不仅形象易懂，而且有助于培养学生灵活运用知识的能力。解题时利用数形结合，可帮助学生克服思维的定势，学生可进行大胆合理的想象，不拘泥于教师教过的解题模式，选用灵活的方法解决问题，追求解题方法的简捷独特，经常进行这样的训练，逐步强化学生思维的灵活性。

例如在学用字母表示数那一课

出示“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿。

2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿。

3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿。”

让学生接着往后编

4只青蛙4张嘴，8只眼睛16条腿。

5只青蛙5张嘴，10只眼睛20条腿。

6只青蛙6张嘴，12只眼睛24条腿。

能编的完吗?

不能。想办法用一句话把它编完。

学生会想到用字母即形来表示

a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。

通过数形结合，让抽象的数量关系、解题思路形象地外显了，学生易于理解。一题多解，思路开阔，学生的思维品质、数学素质产生了飞跃。

基于新认知观的数形结合思维训练 篇7

数形结合思想是一种重要的数学思想, 又是一种常用的数学方法。著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观、形少数时难入微。”有些数量关系,借助于图形的性质,可以使抽象的概念和关系直观化、简单化;而图形的一些性质,借助于数量的计量和分析,得以严谨化。学生对数形结合的知识掌握和方法使用不外乎两个方面:一是根据图形转化成数。二是根据数或式转化成图形。学生在学习中对老师作图的依赖性特强,情愿空着手看老师作图,动口不动手,在数学课堂上老师教学时常常画图来讲解或帮助学生理解题意,而学生在解题上老师也想让他们能通过画图来理解,可是学生却很被动地运用这样的方法,这样就不能很好地将数形结合起来,更谈不上效果了。

2012年9月 ,新丰小学作为武夷学院“数字学习协作创新中心”的实验校,开展“基于1∶1数字环境的实证教育”课题研究。在课题的研究过程中,我结合教学中的困惑,创造性地将“人机交互”技术应用到学生数形结合思维训练中, 让计算机成为学生训练的平台,在此形式的训练之下学生乐此不疲,收效明显。

二、“ 人机交互”训练系统的结构

为了能切实解决和培养学生的数形结合的思维能力,根据“人机交互”理论设计了“在线导学”软件系统,此软件在“潜能在线”平台中得以运用。

1.出题模式

教师借“思维导图”为依托,以“数形结合思维训练”为课题,以“整体与部分”的关系为核心 ,教师先在思维导图中设计好训练的内容,而思维导图又由两部分组成:一是教师的导学点,二是学生的答题点。教师先将设计好的思维导图以图片的形式上传到“潜能在线”平台中的“在线导学”中进行导学卡制作。 教师先完成导学点的制作,教师的导学点是以视频、音频、图片的形式上传到思维导图中的。然后再完成答题点的制作,思维导图中的圆圈就是学生的答题点,学生在操作时先点击每一个环节中的导学点,根据导学点中的要求进行答题,如,在这次数形结合思维训练中我有让学生听录音画图,看图说分数并进行录音,出示一段文字用图形来理解以及从生活情境图中找单位“1”,在第一环节中学生点击导学点就会听到我的一段录音,学生根据录音中的要求进行画图,操作画图的练习时可先将导学点中的作业要求另存到自己的文件夹中, 然后再打开电脑中自带的画图软件,在画图软件中打开保存的题目,再根据题目要求进行画图,然后将按要求作好的图保存到自己的文件夹中,点击对应的答题圈开始答题,这时只要将刚才保存到自己文件夹中的作业以图片的形式上传就可以。要录音的作业,学生只要在录音机中录音,同样将自己的录音保存好,然后在对应的答题圈中选择音频进行上传即可。如下图:

由于学生是通过各种渠道来理解整体与部分的关系的,所以从实际的教学效果来看,学生的兴趣浓厚,印象更深刻,实现了学习任务、情境和不同教学目标的完美结合。

2.数据采集

在传统课堂中老师布置的作业,学生通过纸跟笔来完成。学生做过的作业,老师很难保存。在“潜能在线”学习平台上它的数据采集完全由电脑自动完成,老师可以在“在线导学”系统中查看学生是在什么时候完成作业的以及作业完成的情况。

当学生完成作业并点击“交卷”按钮后,老师就可在“在线导学”的“作品展示”中看到每位学生完成的思维导图,只要点击答题圈,就能看到学生每一题作业的完成情况了,教师查看完学生的作业后,系统中有评价环节,这时就可对学生完成的作业给予评价作出必要的指导。

3.作品展示模块

学生在提交了自己的作业后,从“潜能在线—作品展示”中查看自己的作业, 同时还可以查看同学的作业以及其他学校同学的作业并进行评价。如果教师想了解某一题所有学生的完成情况,从“在线导学”中点击“查看状态 ”,再点击你想查看的这一题的答题点就可看到这一题全班学生的完成情况,这样就能很好地进行直观的横向比对。

三、“ 人机交互”训练系统的优势

1.提高学生的学习兴趣

利用思维导图的模式帮助学生实现学习内容图式化、思维过程可视化以及零散知识的一体化,有利于激发学生的学习动机,提高学生对所学内容的关注度。由于是通过多种形式的操练,调动学生的各种感官,回到传统课堂中,我发现学生对整体与部分的关系的理解更深入了。

2.不受时空的限制,实现资源共享

在学校,学生可以通过计算机来学习,在家中,学生依然可以使用计算机来学习。它不受时间空间的限制,只要登录“潜能在线网络平台,进入“在线导学”系统中点击相应的教师制作好的思维导图就可以进行练习,你想练习多少遍都可以,系统会把你每一次的作业都保存好,将数形思维训练落到实处。

更重要的是它实现了教学资源的共享, 数形结合思维训练之整体与部分的关系这一数学思维的训练, 我与当地的一所农村学校樟树小学的学生协同教学,他们也登录“潜能在线”这一网络平台,进行这方面的思维训练,教师通过查看他们的作品在“评价”中给予指导。通过几次的训练我感受到孩子们的兴趣之高, 进步之大。这对农村的孩子来说是一件多么可喜的事,为实现教育的均衡发展迈出了坚实有力的一步。

四、新认知理论的发展趋势

数形结合思想渗透路径 篇8

一、透析内容

现行教材中没有明确揭示数学思想，数学思想隐于知识内部，需要反复的研究才能领悟到。如八年级下册《反比例函数的图像和性质》，这节课的内容蕴含了丰富的数形结合思想。首先是画图像，形由数定，自变量x的取值范围为x≠0，它让图像由“一支”变“二支”，形态由“连续”变“间断”；x与y均不为0，它让图像由“相交”变“渐进”，x与y的积为定值，它让图像由“直”变“曲”。由数到形还可以解决画图中的诸多问题。图像的性质应是一个由形到数的过程，如反比例函数的图像分布在一、三象限或二、四象限，不能只让学生画几个图像就归纳总结，应该回归解析式，当k>0时，x与y的符号相同，以（x，y）为坐标的点位于第一或第三象限，且y随x的增大而减小；当k<0时，x与y的符号相反，以（x，y）为坐标的点位于第二或第四象限，且y随x的增大而减小。同时从解析式本身来看，显然图像一定不经过原点，也永远不会与x轴、y轴相交，这种从由形到数的认识，让学生对性质的理解更加科学精准。

二、精细过程

数学思想具有过程性和活动性两个特点，没有过程就没有思想，学生的数学思想是在学习活动中逐步形成的，重在体验与领悟。如武汉市2013年4月调考第24题第3问，如图1所示，在面积为24cm2的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在边BC，AC上，请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。

笔者以数形结合思想为指导，列出以下任务清单：①给出适当的数据，假设AB=8，GF=2GD，借助图2，你能算出这个矩形的面积吗？②当矩形为正方形时，面积是否会大一些，请你求出正方形的面积。③再换一组数据试一试，令AB=6，内截的正方形面积又会是多少？④对于直接写出答案，你有确定的值吗？⑤如果是解答题，设AB=a，你会建立函数模型求最值吗？以问题引领，让学生自主探究，数形结合的思想悄然渗透于学生思维中。

三、应用拓展

数形结合高层次的表现是“数形互化”。如七年级试题“计算[（12）]1+[（12）]2+[（12）]3+[（12）]4+[（12）]5+[（12）]6”。部分学生选用机械计算，费点工夫也可算对，如果就此作罢，那将毫无思维训练。如果再让学生加一个七次方……结果又是多少，如何描述呢？这时笔者拿出图形，如图3所示，让学生再次感悟数与几何的等量表征，运算不能仅仅停留在数字上，而应结合图形，让枯燥无味的数字变得生动美妙。让学生看图思考，如果将最大的一块面积看作1，那么上述算式的值又是多少呢？学生在数形结合的解题过程中感受到基量的冲撞、数与形的珠联璧合、思维的正反互逆。

四、归纳提炼

数学思想方法具有隐喻性、过程性特点，小结时要结合具体内容去感受和领悟，不要单纯地“贴标签”。

笔者在执教北师大版《数学》八年级上册第五章《确定位置》一课时，如图4所示，利用框图将点的位置与有序数对紧密结合，数学思想不再静水深流，而是重点介绍，一个框图将数学知识、数学技能、数学思想方法融为一体，使思想方法有了载体，知识技能有了灵魂。

在教学中，教师可以通过透析内容、精细过程、应用拓展和归纳提炼来渗透数形结合思想，先要找到数形互助的感觉，并按照数形结合的方法来组织教学，才能让学生真正体验到数学的本质，悟出数形结合思想的真谛。

（作者单位：武汉经济技术开发区第三中学）

责任编辑 孙爱蓉