排列组合的应用问题

2024-05-31

排列组合的应用问题（共12篇）

排列组合的应用问题篇1

高考要求

排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的.基础知识、思维能力

重难点归纳

1 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法

2 在求解排列与组合应用问题时，应注意

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;

(4)列出式子计算和作答

3 解排列与组合应用题常用的方法有直接计算法与间接(剔除)计算法;分类法与分步法;元素分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种

排列组合的应用问题篇2

关键词：排列组合,求解策略

每年高考中, 排列组合的应用题都会以选择或填空题形式出来。题目不多, 主要考查两个基本原理、排列组合概念及基本运算。但其思考方法独特, 求解思维新颖, 解题中极易出现“重复”或“遗漏”的问题。如何突破这些难点呢?本人结合高三数学复习实践, 归纳出几种常见的解题策略。

一、间接法

对于一些有限制条件的问题, 先以总体考虑, 再把不符合条件的所有情况排除, 这是解决排列组合应用题的一种常用策略。

例1.四面体的顶点和各棱中点共有10个点, 在其中取4个不共面的点, 不同的取法共有 () 。

A.150种 B.147种 C.14种 D.141种

分析:在这10个点中, 不共面的不易寻找, 而共面的容易找。故采用间接法, 由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求, 4点共面的情形可分三类:第一类, 四面体每个面中的四个点共面, 共有4×C46=60种;第二类, 四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形, 则这四点共面, 共有3种;第三类, 四面体的一条棱上三点共线, 这三点与对棱中点共面, 共有6种。故4点不共面的取法有C410- (4C46+6+3) =141种。

二、分类

某些问题的处理可分成若干类, 则可用分类计数原理分类处理, 但要注意不重不漏, 即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集, 否则容易出现遗漏和重复选取的错误。

例2.已知集合A和集合B各含12个元素, A∩B含有4个元素, 试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数:

(1) C奂A∪B, 且C中含有3个元素

(2) C∩A≠ø (ø表示空集)

分析:由题意知, 属于集合B而不属于集合A元素个数为12-4=8, 因此满足条件 (1) 、 (2) 的集合C可分三类, 故所求集C的个数是C112C28+C212C18+C312=1084。

三、插空法

某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法, 即先安排好没有限制条件的元素, 然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素间。

例4%.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单, 任何两个舞蹈节目不相邻, 问有多少种不同排法?

分析:先将6个歌唱节目排成一排, 6个歌唱节目排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入4个舞蹈节目, 故共有A47·6!=604800种不同排法。

四、捆绑法

把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”, 然后再与其余“普通元素”全排列, 最后再“松绑”, 将特殊元素在这些位置上全排列, 即“捆绑法”。

例5.A、B、C、D、E五人并排站成一排, 如A、B必相邻且B在A右边, 那么不同排法有 () 。

A.24种 B.60种 C.90种 D.120种

分析:将特殊元素A、B按B在A的右边“捆绑”看成一个大元素, 与另外三个元素全排列A44, 由A、B不能交换, 故不再“松绑”, 选A。

五、消序

例8.有4个男生, 3个女生, 高矮互不相等, 现将他们排成一行, 要求从左到右, 女生从矮到高排列, 有多少种排法?

分析:先在7个位置上任取4个位置排男生, 剩余的3个位置排女生, 因要求“从矮到高”, 只有1种排法, 故共有A47·1=840种。

六、投信问题

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复, 另一类不能重复, 把不能重复的元素看作“信”, 能重复的元素看作“邮筒”, 再利用分布计数原理直接求解的问题称为“投信问题”。

例9.七名学生争夺五项冠军, 获得冠军的可能的种数有 () 。

A.75 B.57 C.A57 D.C57

分析:因同一学生可同时夺几项冠军, 故学生可重复排列, 将七名学生看作七个“邮筒”, 五项冠军看作5封“信”, 每封“信”有7种投法, 由分步计数原理原理得75种, 选A。

对此类问题, 常有疑惑:为什么不以五项冠军作为五个“邮筒”呢?因为几个学生不能同时夺得同一冠军, 即冠军不能重复。

七、构造

在解与立体几何知识综合的应用题时, 认真分析问题的几何特征, 充分揭示问题的几何联系, 构造几何图形也是一种常见的求解途径。

例10.对正方体的8个顶点作两两连线, 其中成异面直线的有 () 。

A.156对 B.174对 C.192对 D.210对

分析:由于每一个三棱锥对应于3对异面直线, 故可构造三棱锥, 问题即转化为正方体8个顶点构成三棱锥的个数, 易得异面直线有 (C48-6-6) ×3=174 (对) , 选B。

排列组合的应用问题篇3

关键词：概率；排列组合基本原理；推广；应用

互斥事件发生的概率和相互独立事件同时发生的概率是“排列、组合和概率”这一章中的两个重要概念，教材用两个简单的实例给出了相应的计算公式：若A、B为互斥事件，则 P（A+B）=P（A）+P（B），若A、B为相互独立事件，则P（A·B）=P（A）·P（B）。这种处理方法将抽象的问题具体化，使问题的解决简单明了，比较符合我们的认知水平。如果能结合排列组合的基本原理来解释这两个概念，那么我们对这两个概念及相应的计算公式会有更深刻的理解。

一、排列组合基本原理在概率问题中的推广

1.概率的加法原理。完成一个试验，含有2个“类事件”，这两个类事件中所含的基本事件中没有一个基本事件是相同的，第1类事件A发生的概率为P（A），若第2类事件发生的概率为P（B），则 P（A+B）=P（A）+P（B）。由此可以推广至n类事件，即互斥事件发生的概率的实质是分类。

2.概率的乘法原理。完成一个试验，需要2个“步事件”，且一个步事件的发生与否不会影响另一个步事件发生的概率，若第 1 步事件A发生的概率为P（A），第2步事件发生的概率为P（B），则P（A·B）=P（A）·P（B）。由此可以推广至n步事件，即相互独立事件同时发生的概率的实质是分步。

二、实际应用举例

将互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率问题转化为分类和分步问题，可以使概率问题借助排列、组合中较常用的“树图”得到直观的解决。

例题 1：如果猎人射击距离为100米处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物，动物逃跑，从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比。求猎人最多射击三次命中动物的概率。

分析：根据分类和分步原则，画出“树图”

例题2：开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，设第一次出现红灯的概率是1/2，出现绿灯的概率也是1/2，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是1/3，接着出现绿灯的概率是 2/3；同样，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是 3/5，出现绿灯的概率是 2/5。问：（1）第二次出现红灯的概率是多少？（2）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率是多少？（3）红、绿灯交替发光的概率是多少？

分析：画出树图

例题3：甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有2个红球，3个黄球，1个白球且有颜色不同的6个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取。

（1）求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率；

（2）求甲获胜的概率；

分析：画出树图

排列组合的应用问题篇4

河北围场一中王嘉伟

一、整体设计思路、指导依据：

《数学新课程标准》中指出好的数学教育要从学习者的已有知识和实际生活经验出发，提供给学生数学实践和交流的机会。”数学是解决生活中一些实际问题的工具，同时还开发智力，培养学生的逻辑思维能力。面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，是数学应用意识的重要体现。为学生后面学习排列组合问题打下基础。

二、教学背景分析： “排列组合问题的解题策略”是人教版普通高中课程标准（实验）教科书选修2-3第一章计数原理中的内容，排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。在高考中也是考点之一，本节重点在向学生渗透分类讨论，转化等数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，为学生今后学习组合数学和学习概率统计奠定基础。简单的两种计数原理和排列组合基本掌握了，由于本班学生的基础不是很好，数学水平参差不齐，所以采取小组合作学习的方式合理分配学生资源，借助集体的智慧来解决问题。本节课是在学生掌握简单的排列组合问题的基础上的，对排列组合问题的一个拓展。

三、教学目标：

知识目标：1.掌握加法原理和乘法原理，并能用这两个计数原理解决简单问题。2.掌握排列、组合问题应用的几种常见方法。能力目标：掌握有限制条件的排列组合的应用题的常用分析方法。情感目标：体会解决排列组合问题中运用的数学思想。

四、教学重点、难点分析：

重点：有限制条件的排列组合问题的综合应用。难点：解决较复杂的排列组合问题的思想与解题策略

五、教学过程设计：

1．课程引入：平安夜的故事：

“苹果”是平平安安的谐音，象征着平安、祥和之意，所以说平安夜吃苹果能保一年平安。时间：13年12月24日晚。地点：XX职校女生公寓楼302室。

人物：寝室所有成员，包括英亚、竹萍、陈燕、刘佳、徐红、周甜、龚佳、钱丽共八人。在这个特别的夜晚，刘佳提议，准时在十二点吃苹果，可大家发现没有准备苹果。陈燕说：“我这里有些苹果。”她拿出一袋苹果。大家一看，只有大小不一的五个。竹萍说：“我柜子里面还有几个梨。”竹萍拿出来一清，有四个形状各异的梨。大家说：“没办法了，拿三个梨来凑吧。”

出招：从四个形状各异的梨中拿出三个，有多少种方法？竹萍从中拿出了三个最好看的梨。

徐红说：“我不喜欢吃梨，我只喜欢吃苹果，所以我一定要吃苹果。” 英亚说：“好吧。我来负责分派。”

出招：要保证徐红一定吃到苹果，有多少种分派方法？周甜说：“我也要吃苹果！平安夜当然吃苹果。”

出招：，徐红和周甜两人都吃到苹果，有多少种分派方法？

竹萍出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨分给八个人，每人一个，其中周甜吃苹果，徐红吃梨，有多少种分派方法？

有人说，你们俩只能有一个人吃苹果。徐红说：“那让周甜吃苹果吧，我吃梨好了。钱丽说：“这样吧，我们把八个水果放在桌上排成一排，然后关灯，每人摸一个。” 出招：八个不同的水果排成一排，有多少种排方法？

刘佳说：“平安夜，第一个一定要放苹果以示平安。”出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，第一个一定要放苹果，有多少种排法？

陈燕说：“第一个放不放苹果不要紧，大家只要尽量把苹果和梨分开就好，就是不要让任何两个梨挨在一起。” 出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，其中梨不能挨在一起，有多少种排方法？徐红说：“这样不好，分梨分离。我们寝室每个人都应该团结，心不能分离。所以，应该把这些梨全放在一起。出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，其中梨必须放在一起有多少种排方法？正在大家讨论得正热烈的时间，响起了熄灯铃声。

“唉啊，快。”英亚低声叫道：“睡觉时间到了！快去床上！”

英亚连忙关掉灯。黑暗中谁低声叫了一句：“快拿水果！”大家连忙从桌上各自摸起一个水果，快速钻入被窝。寝室迅速安静下来。

渐渐地，八个同学都在安静中睡着了。当然，最终她们没有破坏寝室的纪律，没有在半夜起来吃苹果。故事新编:(课下思考）

对＜平安夜的故事＞进行重新编排，要求在故事里穿插至少三个有关排列，组合，或基本计数原理的问题。

从上面的故事中找出我们所运用到的排列组合这一章所学的知识和方法。

设计意图：用一则小故事引出排列组合常见的问题：相邻，不相邻，特殊元素，特殊位置安排的问题。

2、典例分析：（分组讨论，学生讲解，教师指导帮助总结）

（1）特殊元素和特殊位置优先策略：

例

1、由0,1,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。师：若改成偶数呢，又该如何分析？

变式：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种中间，也不种在两端的花盆里，问有多少种不同的种法？

设计意图：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，要求学生熟练掌握。（2）相邻元素捆绑策略：

例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。练习：5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？设计意图：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.（3）不相邻问题插空策略: 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈，两个相声，三个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

变式：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同的插法种数为________.师：元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端拓展：请同学把上述两个问题综合在一起出道题，题中包含相邻和不相邻问题。

设计意图：帮助学生分析这两类问题的解决办法，并进行延伸，通过小组讨论解决问题，形成思路。（4）、定序问题：空位，插入；倍缩策略

例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？

练习：学考考试6门科目，历史要排在化学前面考，有多少种不同的安排顺序？师：定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入模型处理

设计意图：通过演示，板书让学生理解占位插入模型的含义，从而解决排列组合中相似的问题。（5）重排问题求幂策略：

例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？练习：

1、4人争夺3个比赛项目的冠军，问冠军得主的可能性。

2、某8层大楼，一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法有（）种。师：一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为(6)排列组合混合问题先选后排策略：

种

例6.有5个不同小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一球，共有多少种不同的装法。

练习：一个班有6名战士，其中正副班长各1人，现在从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有________种。师：解决排列组合的混合问题,先选后排是最基本的指导思想.设计意图：近几年高考中出现频率较多的一类问题，通过典型例题找出解决问题的思路，引导学生寻求解题办法。

(7)平均分组问题除法策略：

例8.6本不同的书，按如下方式分配，各有多少种不同的分法？ 1.分成一堆一本，一堆2本，一堆3本。2.甲得一本，乙得2本，丙得3本。3.一人得一本，一人得2本，一人得3本。4.平均分成3堆，每堆2本.5.分给甲乙丙三人，每人选2本。

练习：1.将13个球队分成3组，一组5个队，其他2组4个队，有多少分法？

2.某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为__________.师：平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。

设计意图：学生对于这类问题容易把几个问题混淆，通过解决这个例题让学生理解平均分组问题的解决方案。

（8）合理分类与分步策略：

例8.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能够唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？

师：请同学们选择3个分类标准进行讨论：

练习：从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有________.设计意图：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

课堂检测：(考题重现）

1、(2014年广西）有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生，组成一个医疗小组，则不同的选法共有____种。

2、（2013大纲卷）6个人排成一行，其中甲乙两人不相邻的不同排法有____种。

3、（2013北京）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观卷，全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的2张参观卷连号，那么不同的分法种数是_____种。

4、（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种。

5、（2014四川）6个人从左到右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有_____种。

6、（2014重庆理）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，两个小品和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_____.小结：

回顾上述几个例题的解答过程，我们可以看到一个共同的特点，就是利用一一对应关系将一种不易直接求得其数目的计数模式转化为另一种易于计算的模式，从而收到了简化问题的效果，可以说，这种通过建立一一对应关系而化难为易的方法是数学中一种常用的方法，并且在代数问题发挥着极大的作用。另外，我们还推出了几个模型，大家回去后希继续对这个模型进行研究，掌握这个模型的各种变化，并要善于把各种具体问题归结成这个模型的某一种方式，那么解排列组合问题就有了一定的规律可循了。

六、教学评价与反思：

排列组合的应用问题篇5

小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用

小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用原文来源：小学奥数辅导网 www.aoshufudao.com 排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码?又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法?回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.(前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有6种不同选法.) 当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理;即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题?若能，再判断是属于排列问题还是组合问题?②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握. 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法? 分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2=10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2=6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15+10+ 6=31种. 注运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的`区别，千万不能混. 不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法(全程分成几个阶段(步)，其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反. 例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数. 分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法. 解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置. 解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法. 第二步：从余下的9个数(包括数字0)中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法. 由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个. 答：可组成4536个无重复数字的四位数. 解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一. 解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个. 第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，(让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种)第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个. ∴由加法原理，共有满足条件的四位数 3024+1512=4536个. 解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数(称为排除法).此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列. 解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个(0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个) ∴共有满足条件的四位数 10×9×8×7-9×8×7 =9×8×7×(10-1) =4536个. 注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏. 更多《……

简单的排列组合教案篇6

课时：第一课时

教材：人教版义务教育课程标准试验教科书二年级上册数学广角《排列和组合》，课本例1。

教学目标：

1、知识与能力：培养学生学习初步的观察、分析能力和有序全面思考问题的意识。

2、过程与方法：通过摆一摆、玩一玩等实践活动，了解有关简单的排列组合的知识。

3、情感、态度与价值观：培养学生大胆猜想、积极思维的学习方法，进一步激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：

1、了解简单的排列知识。

2、能应用排列组合的知识解决实际生活中的问题。

教学难点：掌握简单的逻辑推理。

教学准备：数字卡片、课件。

一、创设情境，导入新课

孩子们，你们喜欢看《喜羊羊与灰太狼》吗？

(边出示课件2和3边讲解故事内容）

师：在这一天，灰太狼抓住了美羊羊，把她关在了狼堡里。灰太狼为了阻止喜羊羊去救美羊羊，他设计一扇“超级密码门”，装在自己的狼堡里。喜羊羊

师：那数字1、2、3一共可以摆出几个两位数啊？

生回答。

师：那同学们还有什么办法能够有顺序，不重复，不遗漏的摆出这些数呢？

如果学生不能及时的回答，进行下一步引入，师：刚刚我们采用的是确定十位的方法，我们还可以怎么做呢？

师：真是不错，还想出了一种新方法啊。真是爱动脑筋的小朋友。那好，有哪位同学可以来讲解一下呢？师点名。

生：个位选1，十位可以选2或3（老师这是一定要听清楚学生的话语，纠正“和”“或”的概念）师引导

师：嗯，说的可真好。个位是1，十位是2，就组成了两位数21；个位是1，十位是3，就组成了两位数31。（板书：21,31）。不错，个位可以接着选几呢？

生：个位选2，十位可以选1或3；师：哪组成的两位数是什么呢？

生：12,32。（老师板书：12,32）师：那个位还可以选几啊？

生：个位选3，十位可以选1或2；组成了两位数13，或23（老师板书：13,23）

师：同学们的表现可真好，已经想出了两种可以有顺便，不重复，不遗漏的摆法啊？还有同学能想出别的摆法吗？（师引导。在黑板上，将卡片1,2，3依次摆好）

师：老师第一次选数字1和2，我们组成了两位数12，再把12的个位和十位交换就是21啦，（板书12、21）1还可以和数字3组成两位数，那就是13，交换一下就是31了（板书：

13、31）

师：那数字2和3组成的两位数是什么啊？生：23,32

两类易混淆的排列组合问题篇7

问题1 排列和组合的区分

有8名男生和6名女生共14人, 从中取4人, 请观察下列式子的意义.

①Aundefined; ②Cundefined; ③CundefinedCundefined; ④CundefinedCundefinedCundefinedCundefined; ⑤CundefinedCundefined;

⑥CundefinedCundefinedCundefined.

解 ①②比较简单, 分别属排列、组合.③④⑤⑥虽然都是积, 根据教材P101的“填空”原理, 它们应该属排列或与排列有关, 其实③是“典型”的组合, 是2男2女4个人的组合, 这是因为③的元素分别来自两个集合 (男生集、女生集) .而④是典型的排列, 是14个元素中取4个元素的排列.

由此可知:从不同的集合中取元素做积是组合如③;从同一集合中取元素做积, 是排列如④.这就是排列与组合的重要区别, 由此我们可有效区别排列与组合.

例如, ⑤是从14人中取2人的组合, 再从剩下的12人中取2人的组合, 而CundefinedCundefined又是两组间的排列, 属排列与组合的“混乱”, 其意义不明确;⑥是从8名男生中取1人 (取法为Cundefined) 与4名女生中取1人 (取法为Cundefined) 的积, 即2人的组合, 再与Cundefined相乘又是两组间的排列, 也属排列与组合的“混乱”, 其意义也不明确, 尤其是千万不能看成是男女生至少各取一人, 共取4人的组合.

下面举一例说明:

例1 从6名医生、4名护士中选出4人, 组成一个医疗队, 支援地震灾区, 要求至少有一名医生和一名护士, 有几种不同的选法?

分析这应属组合问题.但分2步完成, 选医生、护士.即从两个集合中选取元素并做积.

解 ∵取医生可有1, 2, 3各三类方法,

∴共有CundefinedCundefined+CundefinedCundefined+CundefinedCundefined=194种方法.

思考CundefinedCundefinedCundefined为什么是错误的?

问题2 问题隶属排列还是组合

将6本不同的书分成三堆, (1) 每堆各2本; (2) 各堆分别是1本、2本、3本.各有几种不同的分法?

解 (1) 依据前面CundefinedCundefinedCundefined是三组间的排列, 但问题是“平均分配”, 即组间无区别, 所以属组合问题, 由排列和组合的关系, 分法为undefined

(2) 同 (1) 分法为CundefinedCundefinedCundefined, 也是三组间的排列, 而这个问题因为不是平均分配, 即组间有区别, 经“试验”是排列问题, 所以分法为CundefinedCundefinedCundefined.

由此可知, 将元素分堆, 若平均分配 (各组内元素数完全相同) , 各组间是组合要求, 问题属组合.若不平均分配 (各组内元素数互不相同) , 各组间是排列要求, 问题属排列.

下面我们再举几例:

例2 从5双不同的袜子中任取4只, 其中没有2只是同号的取法共有多少?

解法一从10只袜子中任取1只共有Cundefined种取法, 因为同号的不取, 就从剩下的8只中再取1只共有Cundefined种选法;同理还分别有Cundefined, Cundefined种取法, 所以共有undefined种选法. (属同一集合中取元素)

解法二因为总共有Cundefined=210种取法, 其中仅一双同号的取法是:先从2个集合各取1只同号的共有CundefinedCundefined=5, 然后从剩下的8个元素中取2个不同号的共有undefined, 所以共有24×5=120;2双都同号的取法共有Cundefined=10.所以共有210- (120+10) =80种取法.

例3 有4个不同的球, 4个不同的盒子, 将球全部放进盒子, (1) 恰有2个盒子不放球; (2) 恰有1个盒子不放球.各有多少种方法?

分析恰有2个盒子不放球, 即把4个球分成2堆, 并取上2个盒子按排列放球.

解 (1) 将4个球分成2堆, 各有1个、3个或各有2个, 共有undefined.分法、盒子的取法为Cundefined.

∴共有7CundefinedAundefined=84种放法.

(2) 同 (1) 共有undefined种分法, 盒子的取法有Cundefined种, 所以有undefined种放法.

例4 把座位编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人, 每人至少分1张, 至多分两张, 且分得两张票必须是连号的, 那么不同的分法种数是.

解票分成4堆, 由题意分别是1, 1, 2, 2张的四堆.

由于2张的必须是“连号”的, “连号”只有5种连法 (12, 23, 34, 45, 56) .

所以2张的2堆分法是undefined张的2堆分法是undefined

共有分法为undefined

分给人的分法为10Aundefined=240.

排列、组合问题的破解之术篇8

排列、组合问题是高中数学中的重、难点之一，也是求解古典概型的基础，这一类问题不仅内容抽象、解法灵活，而且在解决过程中极易出现“重复”或“遗漏”等错误，所以我们在解决此类问题时要不断积累经验，总结解题规律，掌握解题技巧。

排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

下面就逐一谈谈破解常见排列、组合模型的基本思路：

一、处理排列组合应用题的一般步骤为

①明确要完成的是一件什么事（审题）；

②有序还是无序；

③分步还是分类。

二、处理排列组合应用题的规律

两种思路：直接法，间接法。

两种途径：元素分析法，位置分析法。

三、常见的解题方法

1.特殊元素、特殊位置——优先法

对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑。

例1 将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai（i=1，2…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

解析：由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5种方法；

第二步，再排a2，a4，a6，有A33种方法；

由乘法原理得，不同的排列方法有5A33=30（种）。

答案：30

2.相邻问题——捆绑法

把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）

A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种

解析：先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有A·A·C=960（种）。

答案：B

3.不相邻问题——插空法

某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

例3 高三（1）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

A.1800 B.3600 C.4320 D.5040

解析：先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A种放法。所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有A55·A26=3600（种）。

答案：B

4.至多至少问题——间接法

对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数。

例4 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种。（用数字作答）

解析：从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有A35-C12A24=36（种）选法。

答案：36

5.多类元素组合——分类取出

当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。

例5 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）。

解析：如果用两种颜色，则有C26种颜色可以选择，涂法有2种。如果用3种颜色涂色有C36种颜色可以选择，涂法有C13·C12（C12+1）=18（种）。所以，不同涂色种数为C26·2+C36·18=390（种）。

答案：390

6.排列、组合混合——先选后排

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。

例6 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种。（用数字作答）。

解析：首先把5个班分成4组，即2，1，1，1，有种方法。然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法。由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有·A44=240（种）。

答案：240

总之，排列、组合问题，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理计算就可。说简单点吧，排列、组合却是同学们（包括很多学习很好的同学）最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路。

（责任编辑刘馨）

《简单的排列组合》教学反思篇9

《排列与组合》就是体现数学生活化的一个很好例子。说实话，对怎么把握好“排列与组合”这个内容，课前我总是犹豫不决。《标准》中指出：在解决问题的过程中，使学生能进行简单的、有条理的思考。

因此我试图在本节课中把数学思想方法通过日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜测等直观手段解决这些问题。重在向学生渗透这些思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

一、突出活动，让学生中实践中学习和感受数学知识。

通过多次的实践活动，学生对排列与组合有了比较具体的感受，在多种实践活动中加深理解排列与组合的思想。

二、给学生充足的探究空间。

在诸多的想法中找出最佳的排列方法，我让学生小组观察、比较、分析，说说你认为哪种摆法比较好，可以不重复、不遗漏，即使学生有不同的方法也不急于下结论，而是让学生体会哪种是最佳摆法。

三、将实践活动数学化。

比如握手问题。通过生生互动、师生互动，学生已掌握三个人每两人握一次手，一共可以握三次，那么如何内化为数学知识是一个重点。因此，我让学生想“假如在考试的时候，没有人可以和你握手，该怎么办?”引导学生想出用符号来表示，其实这就是数学化的过程。

《简单的排列和组合》教学反思篇10

本节课教学，我不拘泥于教材，创设学生感兴趣的故事“乐乐的生日”贯穿整节课，引起学生的共鸣。

探究活动，以帮小青开密码锁的方法来进行数的排列教学，使学生在充满兴趣的情感中不知不觉地进入了摆数活动，让学生在体验中感受，在活动操作中成功，在交流中找到方法，在学习中应用。这里先让学生独立思考，调动学生自主学习的积极性，再小组合作，让学生在宽松民主的气氛中，参与学习过程。同时从学生已有的知识基础出发，适当增加了难度，让这个密码出现在所有的两位数从小到大排列的第4个，这也是做到了“下要保底、上不封顶”的设计意图。组合的问题，我采用模拟小朋友握手，让学生在实践操作中自己找出答案，培养学生的实践意识和应用意识，同时使学生感受到学习的乐趣。

虽然每一节课我都做出了最大的努力，但总有失误的地方。

1、心理素质不好，刚开始有些紧张，提问时连学生的名字都忘记了;

2、班班通定位不好，超链接出现混乱；

3、教师语言不够精炼。

评课：

1、用1、2、3组成两位数，学生汇报时教师引导让学生说出哪种方法不会重复也不会遗漏，照相时让一个学生不动，另一个学生交换位置，学生没有说出来，应总结出方法。

2、导入添加一些煽动性、修饰性的语言，效果会更好。

3、照相挑一些衣服颜色不一样的学生，特点会更鲜明。

浅析排列组合中的三类问题篇11

关键词：合并；取法数；模型

1 涂色问题

涂色问题是排列、组合问题中的一类，也是近年来高考的热点，下面就几例高考题浅谈一下这类题型的解法。

例1 将3种农作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种农作物且相邻的试验田不能种植同一农作物，不同的种植方法共有多少种。

解：第一步，根据题目要求，将5块[A＼&B＼&C＼&D＼&E＼&]试验田合并为3块，有如下7种方法：

①（A、C）、（B、D）、E；②（A、C）、（B、E）、D；③（A、D）、（B、E）、C； ④（A、D）、（C、E）、B；⑤ （A、E）、（B、D）、C；⑥ （B、D）、（C、E）、A；⑦ （A、C、E）、B、D

第二步，将3种农作物种在如上 “3块”试验田里，有种方法。

根据乘法原理，故不同的种植方法种数为：7A=42。

例2 如图，一地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有4种颜色供选择，则不同的着色方法共有多少种。

解：本题有二类涂法。

第一类：用3种颜色涂。

第一步，将5个区域合并为3个区域，只有一种方法：（2、4）、（3、5）、1；

第二步，选3种颜色，共有C种方法；

第三步涂色，3种颜色涂在3个区域，共有A种方法；由乘法原理，不同的着色方法种数为：C·A=24

第二类：用4种颜色涂。

第一步，将5个区域合并为4个区域，只有2种方法：（2、4）、1、3、5，（3、5）、1、2、4；

第二步，用4种颜色为“4个区域”涂色，共有A种方法，由乘法原理，不同的涂色方法种数为：2A=48。

综上，涂法总数为：24+48=72。

由上例可知，求解涂色问题，先要根据题意，理清完成涂色任务至少需要几种颜色，然后按所需颜色种数进行分类。解每一类，根据题意把所有区域合并，其合并数为所用颜色数，然后进行涂色（排列），得出这一类的不同涂色种数。最后由加法原理得出涂法总数。

2 分组问题

分组问题是排列组合问题中较为重要的一个问题，它是解决某些分配问题的基础，要求学生必须掌握。

例1 4个不同的小球，放入编号为1、2、3、4的4个盒子里，恰有一个空盒的放法共有多少种

解：依题意，4个不同的小球放入3个盒子里，必有一个盒子有2球，其余2个盒子各一球。第一步，4个小球分为3组，共有种方法，第二步，从4个盒子中取3个，共有C种方法；第三步，3组小球放入3个盒子里，共有A种放法。因而不同的放法总数为：CA=144种。

例2 6本不同的书分给4个人，每人至少一本，共有多少不同的分法。

解：依题意，有两类分法，一类为：一人2本，一人2本，一人1本，一人1本；另一类为：一人3本，其余3人各1本。

第一类：第一步，将6本书按上述要求分成4组，共有种方法；第二步，将4组书分给4个人，共有A种方法。故不同的分法种数为：A=1080种。

第二类：第一步，将6本书按上述要求分成4组，共有种分法；第二步，将4组书分给4个人，共有A种分法。故不同的分法种数为A=480种。

综上，不同的分法总数为：1080+480=1560种。

解决分配问题的原则是：先分组后分配（排列），因而，掌握分组的规律至关重要。

3 相同元素的分配问题——隔板法

排列、组合针对的是不同元素的分配问题，因而，有些相同元素的分配问题不能直接利用排列、组合求解。它的解法比较特殊，需要我们建立合适的数学模型。下面就几个具体实例说明这类题型的解法。

例1 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子里：①每个盒子至少一个小球的不同放法有多少种；②如果允许每盒可空，那么不同的放法有多少种；③如果要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，则不同的放法有多少种？

解：①将这12个小球排成一排，则其中间产生11个空档；利用3个隔板放入小球之间，可将小球方分成4部分。因而，從11个空档中选出3个来放隔板，不同的放法，对应不同的分法。故分法种数为：C=165种。

②因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，插入法不再适应。现建立如下数学模型：将3个隔板（把球分成4部分，需3隔板）和12个球排成一排，共需15个位置，从这15个位置中任取3个放隔板（当然，其余位置放小球），不同的放法，对应不同的分法。（例：一排排列如又所示：000—00000——0000，则1盒放3个，2盒放5个，3盒放0个，4盒放4个）因而，小球不同的放法种数为：C=455种。

③解法一：用①的处理方法。

首先，4个盒子里分别放入0个、1个、2个、3个小球，则剩余6个小球，它们之间产生5个空档。然后，利用插入法，从5个空档中取3个放隔板，则共有不同的分法：C=10种。

解法二：用②的处理方法。

首先，每个盒子里放入与其编号数相同的小球，用去10个小球，还剩2个小球，此时允许每个盒子可空。2个小球与3个隔板排成一排，共需5个位置。然后，从5个位置中任取3个放隔板，则不同的分法共有：C=10种。

例2 某校高二有7个班，从中选择10人参加数学竞赛：①每班至少一人，共有多少不同的选法；②如果允许有的班无人参赛，共有多少不同的选法？

解：参赛的10人，在此题中为10个名额，它们是相同的元素。因而，需用隔板法来处理。

①10个名额之间产生9个空档，从中任取6个放隔板，可将10个名额分成7部分。则不同的选法数共有：C=C=84种。

②10个名额和6个隔板（把10个名额分成7部分只需6个隔板）排成一排，共占用16个位置，从中任取6个位置放隔板，则不同的选法数共有：C种。

参考文献：

[1]刘强主编.《轻巧夺冠》.

解排列组合问题中的数学思想篇12

如果学生能掌握并应用数学思想解决排列组合问题, 将有利于数学能力的提高.下面结合例题介绍解排列组合问题时, 经常用到的数学思想, 供大家参考.

一、方程思想

有些排列组合问题, 可以根据条件中的等量关系, 列出方程 (组) , 解方程或利用方程性质求解.

例1 用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色, 如图1所示, 要求在图1①、②、③、④各区域中分别着一种颜色, 并且相邻 (有公共边界) 的区域不用同一种颜色.

(1) 若 n=6, 为甲着色时共有多少种不同方法?

(2) 若为乙着色时共有120种不同方法, 求 n.

分析: (1) 完成着色可分四个步骤, 可依次考虑为①、②、③、④着色时, 各自的方法数, 再由分步计数原理可求出着色方法数. (2) 可利用 (1) 的方法根据条件列出方程求解.

解: (1) 给①着色有6种方法, 给②着色有5种方法, 给③着色有4种方法, 给④着色有4种方法.因此, 总共有着色方法为6×5×4×4=480 (种) .

(2) 给①着色有 n 种方法, 给②着色有 n-1种方法, 给③着色有 n-2种方法, 给④着色 n-3种方法.由题意得

n (n-1) (n-2) (n-3) =120.

化为 (n2-3n) (n2-3n+2) -120=0,

即 (n2-3n) 2+2 (n2-3n) -12×10=0.

由十字相乘法分解因式, 有

(n2-3n+12) (n2-3n-10) =0.

所以 n2-3n-10=0, 或 n2-3n+12=0 (因Δ<0, 舍去) .

所以 n=5或 n=-2 (舍去) .

所以 n=5.

若注意到 n (n-1) (n-2) (n-3) 是连续正整数之积, 而120=5×4×3×2, 易得 n=5.

评注:此题用方程的思想方法求解, 思路清晰、过程简捷.方程的思想方法是解决数学问题的常用方法之一.

二、整体思想

整体的思想方法, 体现在排列组合解题中, 就是不着眼于问题的“某些细节”, 而是将要解决的问题看作一个整体, 从而达到顺利而又简捷解决问题的目的.

例2 A、B、C、D、E五人并排站成一排, 若B必须站在A的右边 (A、B可以不相邻) , 那么不同排法共有 ( )

(A) 24种 (B) 60种

分析:不考虑限制, 对五人整体进行排队, 而其中B在A的右边与B在A的左边机会均等, 由此可得结果.

解:由题意, 得 $\frac{1}{2} A_{5}^{5} = 60$ (种) .选 (B) .

评注:应用整体的思想方法解题, 省略了“一些细节”, 只进行整体变换, 达到快捷解题的目的.

三、补集思想

对于有些排列组合问题, 如果从正面求解比较困难, 则可以先考虑问题的反面, 求出使问题反面成立的集合, 则该集合的补集即为所求.

例3 编号1、2、3、4、5的5个人, 入座编号也为1、2、3、4、5的5个座位, 至多有两人对号的坐法有几种?

分析:问题的正面有3种情况:全不对号;有且仅有1人对号;有且仅有2人对号.直接求解较困难, 而反面只有2种情况:全对号;有且仅有3人对号.

解:考虑问题的反面:全对号只有1种方法;3人对号入座有C $_{5}^{3}$ 种方法, 其余两人不对号入座有1种情况.由计数原理, 反面情况共有1+C $_{5}^{3}$ ·1=11种.5人全排列有A $_{5}^{5}$ 种, 所以满足要求的坐法为

A $_{5}^{5}$ - (1+C $_{5}^{3}$ ·1) =109种.

评注:使用补集思想解题的关键是正确找到问题的“反面”—集合A, 然后确定出全集U, 再求出“反面”的“反面”, 即∁UA, 最后正确地给出问题的结果.

四、分类讨论思想

它是根据题目的特征, 确定划分标准, 进行分类, 然后对每一类分别进行求解, 最后综合给出答案.

例4 有11名外语翻译人员, 其中5名会英语, 4名会日语, 另外两名英、日语都精通.现从中选出8人, 组成两个翻译小组, 其中4人翻译英语, 另4人翻译日语, 问共有多少不同的选派方式?

分析:解题的难点是两名英、日语都精通的人员的安排, 我们可以分成三类考虑, 即这两人都不参加, 一人入选, 两人入选.

解:按两名英、日语都精通的人员参与情况, 分三类:

(1) 这两人不参加, 有C $_{5}^{4}$ ·C $_{4}^{4}$ =5 (种) ;

(2) 这两人有一人入选, 此时又有该人参加英语或日语两种可能, 因此有

C $_{2}^{1}$ ·C $_{5}^{3}$ ·C $_{4}^{4}$ +C $_{5}^{4}$ ·C $_{2}^{1}$ ·C $_{4}^{3}$ =60 (种) .

(3) 这两人均入选, 这时又分三种情况, 两人都译英语, 两人都译日语, 两人各译一个语种, 共有C $_{2}^{2}$ ·C $_{5}^{2}$ ·C $_{4}^{4}$ +C $_{5}^{4}$ ·C $_{2}^{2}$ ·C $_{4}^{2}$ +C $_{2}^{1}$ ·C $_{5}^{3}$ ·C $_{4}^{3}$ =120 (种) .