初中数学几何定理集锦

初中数学几何定理集锦（精选6篇）

初中数学几何定理集锦 篇1

1。同角（或等角）的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等，两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

50。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

初中数学几何定理集锦 篇2

一、个别概念的不同

和大纲教材相比, 课标教材中很多概念的呈现方式都有所改变。表1具体列举了“课标”教材与“大纲”教材相比一些概念的具体变化。

注:表中的“√”表示该概念变化的具体表现。

从上表可以看出, 和大纲教材相比, 课标教材的必修部分立体几何的概念陈述共有十一个发生了变化。

首先, 有的概念叙述发生了变化。如棱柱的概念, “大纲”教材的叙述是“如果一个多面体有两个面互相平行, 而其余每相邻两个面的交线互相平行, 这样的多面体叫做棱柱”。

“课标”教材的叙述是“一般地 , 有两个面互相平行 , 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边互相平行, 由这些面围成的多面体叫做棱柱”。观察发现“大纲”教材对棱柱概念表述虽然精简, 符合数学的特点, 但对于初学者来讲, 课标教材的叙述明显更加清晰, 因为它强调“其余各面都是四边形”, 使得学生更加直观地在脑海中勾勒出棱柱的图形。高度的抽象性是数学学科的特点之一, 概念是对事物的描述, 概念的教学要注意抽象与具体相结合的原则, 形象生动的描述值得提倡。

其次, 有些概念的表达方式有所变化, 例如球体, “大纲”教材对球体的描述与球的表达方式类似, 而“课标”教材则是利用新增加的旋转轴与旋转体的基础上定义的。这种发生定义方式, 比起揭示概念本质属性的定义方式, 更能体现新课改“体现知识的发生发展过程”的理念。

再者, 有的概念被去除了, 如斜棱柱等。这些概念被去掉是因为有些定义在教材中并没有对其进行研究, 只是让学生认识该事物而已。还有些定义被去掉是因为其被列到了选修课程里面, 例如正射影等。

最后, 有些概念是新增的。这些定义要么是为后面的某些知识点奠定基础, 如旋转体与旋转轴;要么是使数学更紧密地与学生的生活相结合, 为学生的后续学习打下知识基础, 如三视图等;要么是其成为重点研究对象如棱台与圆台。像“多面体”等概念, 在叙述概念前, 都加上了三个字“一般地”, 重在强调概念的严谨性。

二、个别公理陈述的不同

立体几何中, 公理的增减方面是没有变动的, 只是有些公理呈现的先后次序略有改变。我们以“课标”教材里面的公理名称为准, 以此比较“大纲”教材中相应公理呈现的不同, 如表2:

从两版教材公理1与公理2的陈述中, 发现定理的大体内容实际上并没有变化, 只是公理的呈现形式更简明。“一条直线上的所有点都在这个平面内”等价于“这条直线在此平面内”, 只是前者更加强调线上的所有点, 而后者更加强调所有点构成的直线, 重点突出的要素不同, 显然后者更加简洁。

此外, “课标”教材将“大纲”教材中讲述公理部分中的三个推论 (page:6-7) 去除了。在“课标”教材的教学过程中, 虽然这三个推论不在课本中出现, 但是有经验的教师为了拓宽学生的知识视野, 给后续学习打下良好的基础, 让学生能够更深刻地理解公理“不共线的三点确定一个平面”, 会罗列并讲述三个推论的内容, 例如对推论1即“经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面”的讲述, 就是对上述公理的拓展和具体化, 推论2与推论3同样如此, 鉴于这三个推论在立体几何中的重要性, 笔者认为, 为了方便老师教学及学生自学, 将这三个推论呈现在教材中是有必要的。

三、个别重要定理的不同

对于立体几何里面重要定理的呈现比较与分析, 笔者发现其中有新增的定理, 例如定理 (page:69) :“一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直”。这个定理的内容对于新学者是很容易理解的, 同时增加这个定理为判定两个平面垂直提供有效的“工具”, 从而增加这个定理是可行且必要的。

和“大纲”教材相比, “课标”教材在立体几何定理方面, 同样将“大纲”教材中的推论 (page:20) “如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线, 那么这两个平面平行”删去了。对于这一改动, 笔者有异议, 因为运用这个推论的内容判定两个平面平行, 很多情况下比其相应的判定定理判定两个平面平行更加简单、方面, 而且思路更加清晰。同时, 由于课程标准的要求, 判定定理都应该通过直观感知、操作确认等方式得来, 这个判定定理也是根据该推论的结论得来的, 显然根据这个推论的重要性, 删除该推论没有丝毫意义, 不仅不利于教师教学和学生自学, 而且不利于学生灵活地掌握知识, 笔者不认同这个推论应该删去。

有些定理 改变条件 叙述使得 定理的结 论更加完 整 , 例如:

“大纲” (page:13) :如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等。

“课标” (page:46) : 空间中 , 如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。

在“大纲”教材中讲解这个定理时, 几乎每个教师都会讲解两个角的两边对应平行的两种情况, 所以新教材用简洁的语言陈述了定理的两种情况有事半功倍的效果。

当然, 数学是简洁的, 如果在定理中有些文字在去掉之后并不影响定理的表达, 那么就应该毫不犹豫地去掉, 以体现数学的简洁美。这样可以使学生更容易理解, 例如:

“大纲” (page:19) :如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。

“课标” (page:57) :一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。

这里, “分别”两个字去得恰当而又得体, 既不影响内容的理解, 又为学生学习减轻了负担。

此外, 有些定理在原来的基础上呈现得更清晰, 使学生更易理解, 例如:

“大纲” (page:18) : 如果一条直线和一个平面平行 , 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。

“课标” (page:59) : 一条直线与一个平面平行 , 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该平面平行。

对于新接触这一知识点的学生而言, 显然是很难理解的, 因为学生很难理解结论中的“这条直线”究竟是哪一条直线, 是“经过这条直线”的直线, 还是两平面相交而形成的直线呢?经比较我们发现, “课标”教材的叙述要清楚得多。

四、给一线教师的建议与意见

新一轮课程改革在课程基本理念方面发生了很大的变化。一线教师首先要进一步深入理解新课程改革的理念, 并且自觉地将这些理念落实到教学实际中。在立体几何教学中, 要全面而充分地认识立体几何的教育价值, 注意把握过程教学, 注意学生演绎推理和合情推理能力的平衡发展。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[2]十三院校协编组.中学数学教材教法[M].高等教育出版社, 2010.

[3]人民教育出版社.全日制普通高级中学教科书 (必修) [M]数学第二册 (下B) , 2006年第二版.

[4]人民教育出版社, 课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书教科书数学2 (必修) [M]数学第二册 (下B) , 2007年2月第三版.

初中数学几何定理的运用 篇3

关键词：建立表象；组合定理；联想定理

几何证明从来都是初中数学的重点和难点，纵观本人带的数届学生在几何证明题上都学的各有差异。往往是几何证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；或者知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容。更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。针对学生表现出的各种问题本人决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”，也发现了定理的价值，基本树立了“用定理”的意识。

那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我把它归纳为以下几点：

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。 ⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。 ⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因，我在教学中采取了一些自救措施。

一、教學环节

对几何定理的教学，我在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求；第3 环节是基本推理模式，第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式+定理”的书写方法；第5 环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形+定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求 →重新建立表象 →推理模式 → 组合定理 → 联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求 要想正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理，集中展示给学生。

例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达 ，允许采用等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB=90°，∠CDB=90°等）

∴△ACD∽△BCD∽△ABC 。

⒉重新建立表象 从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我在教学中提供了一定的便利。我要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。这对理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

⒊ 推理模式 从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又琢磨不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三步推理模式。即：条件 → 结论 → 新结论 。这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

⒋组合定理 基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。实践表明：经过“模式+定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理 分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生支招，

即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

数学初二 几何定理总结（推荐） 篇4

几何公式和定理（初2）1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

高二数学立体几何基本知识及定理 篇5

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间点、直线、平面的位置关系

（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）

（2）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（5）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

（6）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（7）空间直线与平面之间的位置关系——平行、相交、线在面内

（8）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；相交——有一条公共直线。

3、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。，（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

初中数学几何定理集锦 篇6

学案

一、知识点：

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体球面的多面体，叫做2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：VF

E2．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令f(p)VFE，f(p)（1）简单多面体的欧拉示性数f(p)2．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f(p)0（3）多面体所有面的内角总和公式：①(EF)360 或②(V2)3600球心，表示它的球心的字母表示，例如球O． 6．球的截面：用一平面去截一个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r

大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做7． 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截

球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的9．两点的球面距离公式： ABR（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得11．球的体积公式：V

4R

312 S4R

2二、练习：n面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－

44．有没有棱数是75．是①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为

． R（R为地球半径），则这两地间的球面距

2练习参考答案：n面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵VFE2，∴FE2V5，即n5．

2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵V8，E8312，∴FE2V6，即n6． 2

3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4 证明：∵E＝3F3，V＋F－E＝2 ∴V＋F－F＝2 ∴F＝2V－4 22

4．有没有棱数是7解：若E＝7，∵V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9，∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4

∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数n1,n2nF也都是奇数，则，结果仍为奇数，可右端是偶数，这n1n2nF2E，但是上式左端是奇数个“奇数相加” ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为．

答案：①一个或无数个②49m③3④2R（R为地球半径），则这两地间的球面距24⑤

39.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．

分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．

解：连结AB．设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则

O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．

∴ O1AOO1BOAOC45．

∴O1A＝O1B＝O1O＝OAcos45＝

22R．

∴ 两点间的纬线的长为：2

22R2

4R．

∵A、B两点的经度相差90°，∴ AO

1B90．

在Rt△AO1B中，AB2AO1R，∴ OAABOB，AOB

3．∴ 两点间的球面距离是：

3R．

16．表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA

14，AC，又∵4R2324，∴R9，∴ACa8，∴S表6423214576．

17．正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积． 分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等． 解：如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H．

由题设AGAE2GE26a． 3

aRR，得R a．123aa62∵ △AOF∽△AEG∴

a2Rrr6，得r∵ △AO1H∽△AOF∴a． R246aR3

∴ V球O1434663raa． 33241728

积相3另法：以O为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体

等法，可以得到ROG11AG

h，h，44111r(h)ha。