导数专题高考（通用8篇）
导数专题高考 篇1
探究1
已知函数，其中ÎR．若对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有，求实数的取值范围；
探究2
已知函数的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线平行。
记函数恒成立，求c的取值范围。
探究3
已知函数.若，当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围（其中e是自然对数的底数，）.探究4
已知函数满足，且当时，当时，的最大值为．
（1）求实数a的值；
（2）设，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围
探究5
.已知函数为常数）．
若a<0，且对任意的.x
［1,e］，f（x）≥(a－2)x恒成立，求实数a的取值范围．
探究6
已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数在x1处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，其中为常数，求证：；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
探究7
已知函数，.（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？
（2）当时，求函数的单调减区间；
（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.探究8
已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
探究9
设函数.若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.①
求与的值；
②
对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.探究10
已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=ex．
若m∈（﹣1，0），设函数，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．
1解答：
“对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有|f¢(x1)-f¢(x2)|£4”等价于“函数y=f
´(x),xÎ[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”.对于f
´(x)=x2－2mx－1,对称轴x=m.①当m<-1时,f
´(x)的最大值为f
´(1),最小值为f
´(-1),由
f
´(1)-f
´(-1)£4,即-4m£4,解得m³1,舍去;
……………………………6分
②当-1£m£1时,f
´(x)的最大值为f
´(1)或f
´(-1),最小值为f
´(m),由,即,解得-1£m£1;
………………………………8分
③当m>1时,f
´(x)的最大值为f
´(-1),最小值为f
´(1),由
f
´(-1)-f
´(1)£4,即4m£4,解得m£1,舍去;
综上,实数m的取值范围是[-1,1].2：解答
3解答
4解答．（1）当x∈(0，2)时，由条件，当x
4∈(-4，-2)，的最大值为
4，所以的最大值为
1．……………………………………………………………2分
因为，令，所以．……………………………3分
因为，所以．当x∈(0，)时，是增函数；
当x∈(，2)时，；是减函数．
则当x
=时，取得最大值为．所以a
=
1．……6分
（2）设在的值域为A，在的值域为B，则依题意知AB．
因为在上是减函数，所以A
=
．
又，因为，所以．
①
b
0时，>
0，g(x)是增函数，B
=
．
因为AB，所以．解得．
②
b
0时，<
0，g(x)是减函数，B
=
．
因为AB，所以．．
由①，②知，或．……………………………………………
5解答
6解答：（1）因为，所以，故．
所以函数在x1处的切线方程为，即．
……
2分
（2）由已知等式得．
记，则．
……
4分
假设．
①
若，则，所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾．
……
6分
②
若，记，则．
令，解得．
当时，在上为单调增函数；
当时，在上为单调减函数．
所以，所以，所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾．
综合①②，假设不成立，所以．
……
9分
（3）由得．
记，则．
①
当时，因为，所以，所以在上为单调增函数，所以，故原不等式恒成立．
……
12分
②
法一：
当时，由（2）知，当时，为单调减函数，所以，不合题意．
法二：
当时，一方面．
另一方面，．
所以，使，又在上为单调减函数，所以当时，故在上为单调减函数，所以，不合题意．
综上，．
……
16分
7解答．解：（1），又，在处的切线方程为，……………2分
又，又，在处的切线方程为，所以当且时，曲线与在处总有相同的切线
………4分
（2）由，，………7分
由，得，当时，函数的减区间为，；
当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，.………10分
（3）由，则，①当时，函数在单调递增，又，时，与函数矛盾，………12分
②当时，；，函数在单调递减；单调递增，（Ⅰ）当时，又，与函数矛盾，（Ⅱ）当时，同理，与函数矛盾，（Ⅲ）当时，函数在单调递减；单调递增，故满足题意.综上所述，的取值的集合为.……………16分
8解答
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取，则，即恒成立，即在上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：在恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题一样，先利用变量分离转化为对应函数最值，的最大值，再利用导数求函数的最值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性：在上单调递增，进而确定函数最值
试题解析：解（1），令，则，当时，在上单调递增，的最小值为；
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为.综上，当时，；当时，.（2）,对于任意的，不妨取，则,则由可得，变形得恒成立，令，则在上单调递增，故在恒成立，在恒成立.，当且仅当时取，.（3），.，使得成立.令，则，令，则由
可得或（舍）
当时，则在上单调递减；
当时，则在上单调递增.在上恒成立.在上单调递增.，即.实数的最大值为.9解
（2）①，设切点为，则切线的斜率为，据题意是与无关的常数，故，切点为，……………6分
由点斜式得切线的方程为，即，故.…..………8分
②
当时，对任意的，都有;
当时，对任意的，都有;
故对恒成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立，………………10分，当时，,恒成立,所以在上递增，故在上恒成立，符合题意..……...………12分
当时，令，得，令，得,故在上递减，所以，而设函数，则，恒成立，在上递增，恒成立，在上递增，恒成立，即，而，不合题意.综上，知实数的取值范围.………………16分
10解
导数专题高考 篇2
高中新课程高考大纲对函数与导数的考查内容及要求文、理科大同小异, 理科区别于文科主要体现在两个方面:理科要求“能求简单地复合函数 ( 仅限于形如f ( ax + b) 的函数) 的导数”、“了解定积分与微积分的基本定理”, 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 因此, 理科要求高于文科.
对于“函数与导数”这类题目高考的命题特点有:
一、考查题型和内容稳定
笔者通过整理课本和高考题目, 发现“函数与导数”的问题出现的类型是比其他考点要稳定的. 较常出现的基本题目类型可以归纳为以下四种:
1. 用导数求切线 ( 求曲线上一点处的切线方程; 求过一点的曲线的切线方程) .
2. 用导数求函数的单调区间.
3. 用导数求函数的极值.
4. 用导数求函数的最大 ( 小) 值.
在高考中, “函数与导数”问题较常出现的考试类型有以下六种: 单调性问题、零点问题、极值点问题、恒成立问题、带量词的命题问题、证明不等式成立.
例1 (重庆卷·理20) 设函数
( 1) 若f ( x) 在x = 0 处取得极值, 确定a的值, 并求此时曲线y = f ( x) 在点 ( 1, f ( 1) ) 处的切线方程;
(2) 若f (x) 在[3, +∞) 上为减函数, 求a的取值范围;
答案 (1) a=0, 切线方程为3x-ey=0;
解析此题属基本类型: 本题考查求复合函数的导数, 导数与函数的关系.
考点为复合函数的导数, 函数的极值, 切线, 单调性.
二、突出对核心概念和主干知识的考查
函数的主要内容包括4个方面:
1. 函数的基本概念的考查, 即函数的定义域、值域、对应法则; 函数的三种表示方法; 函数的图像;
2. 函数的基本性质的考查, 即函数的单调性、奇偶性、最大 ( 小) 值、周期性;
3. 基本初等函数的考查, 即指数函数、对数函数、幂函数;
4. 函数的零点的考查.
研究2015 年高考试卷, 可以发现, 在选择题、填空题等小题里, 主要就在这4 个方面进行重点考查, 有些小题还会综合考查到其中的2 ~ 3 个知识点.
下面列举一道今年的高考题对此加以说明.
例2 ( 福建卷·理2) 下列函数为奇函数的是 () .
答案D
评析根据函数的性质及应用中, 函数奇偶性的判断, 基本函数: 余弦函数奇偶性的判断. 由奇函数的定义f ( - x) =- f ( x) 逐一进行检验得知选D. 判断函数的奇偶性关键要以定义域为前提, 在满足定义域关于原点对称的前提下, 再利用函数奇偶性的定义进行判断.
三、在知识交会处命题考查学生的综合能力
在《2015 年高考考试说明》中写道, 数学学科命题要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题, 在知识网络交会点设计试题, 使对数学基础知识的考查达到必要的深度. 根据这一要求, 2015 年的数学试题即注重了各个知识点内的纵向考查, 又注重了不同知识点之间的相互交会, 并且对原有的知识网络交会点进行了自然、适当的拓宽和延伸, 这点在函数与导数的考查上尤为明显.
例3 ( 福建卷·理13) 如图1, 点A的坐标为 ( 1, 0) , 点C的坐标为 ( 2, 4) , 函数f ( x) =x2, 若在矩形ABCD内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率等于______.
答案5/12.
评析此题在概率和定积分的交会点处命题. 考查了定积分求曲边梯形的面积以及集合概型的运用, 关键是求出阴影部分的面积, 利用集合概型公式解答.
几何概型是高考考察的重要知识点, 通过分析利用积分就容易解决. 实际中常涉及与几何概型有关的数学问题, 如何把数学问题转化为几何概型中的数学模型, 是解决这类问题的关键.
四、强调对“数形结合”“分类讨论”的数学思想的考查
例4 (安徽·理9) 函数f (x) =的图像如图2所示, 则下列结论成立的是 () .
A.a>0, b>0, c<0
B.a<0, b>0, c>0
C.a<0, b>0, c<0
D.a<0, b<0, c<0
答案C
专题三 函数与导数（1） 篇3
1. 函数[y=xln（1-x）]的定义域为（ ）
A. （0，1） B. [0，1） C. （0，1] D. [0，1]
2. 已知函数[fx]的定义域为[-1，0]，则函数[f2x-1]的定义域为（ ）
A. [-1，1] B. [0，12]
C. [-1，0] D. [12，1]
3. 与函数[y=10lg（2x-1）]的图象相同的函数是（ ）
A. [y=12x-1] B. [y=2x-1（x>12）]
C. [y=|12x-1|] D. [y=12x-1（x>12）]
4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为[f（x）=x2]，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
5. 已知两个函数[f（x）]和[g（x）]的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：
[[x]＼&1＼&2＼&3＼&[f（x）]＼&2＼&3＼&1＼&][[x]＼&1＼&2＼&3＼&[g（x）]＼&3＼&2＼&1＼&]
则方程[g[f（x）]=x]的解集为（ ）
A. {1} B. {2} C. {3} D. ?
A. [0，2] B. [[0，94]]
C. [[0，34]] D. [0，4]
8. 函数[f（x）=log12x]的定义域是[[a，b]]，值域为[[0，2]]，对于区间[[m，n]]，称[n-m]为区间[[m，n]]的长度，则[[a，b]]长度的最小值为（ ）
A. [154] B. 3 C. 4 D.[34]
9. 定义在R上的函数[f（x）]满足[f（x+y）=f（x）+][f（y）+2xy（x，y∈R）]，[f（1）=2]，则[f（-2）]等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
10. 定义两种运算：[a⊕b=a2-b2]，[a?b=（a-b）2]，则函数[f（x）=2⊕x（x?2）-2]的解析式为（ ）
A. [f（x）=4-x2x]，[x∈[-2，0）∪（0，2]]
B. [f（x）=x2-4x，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）]
C. [f（x）=-x2-4x，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）]
D. [f（x）=-4-x2x，x∈[-2，0）∪（0，2]]
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 已知函数[f（x）=x2（x≤0），2cosx（0 12. 已知函数[f（x）]的值域为[[0，4]]，[（x∈[-2，2]）]，函数[g（x）=ax-1]，[x∈[-2，2]]，[?x1∈][-2，2]，总[?x0∈][-2，2]，使得[g（x0）=f（x1）]成立，则实数[a]的取值范围是 . 13. 已知[f（x）=ln1x， x>0，1x， x<0，]则[f（x）>-1]的解集为 . 14. 设[M]是由满足下列性质的函数[f（x）]构成的集合：在定义域内存在[x0]，使得[f（x0+1）=f（x0）+f（1）]成立. 已知下列函数：①[f（x）=1x]，②[f（x）=2x]，③[f（x）=lg（x2+2）]，④[f（x）=cosπx]. 其中属于集合[M]的函数是 （写出所有满足要求的函数的序号）. 三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分） 15. 某种商品在30天内每件的销售价格[P]（元）与时间[t]（天）的函数关系如图所示. 该商品在30天内日销售量[Q]（件）与时间[t]（天）之间的关系如表所示： [第[t]天＼&5＼&15＼&20＼&30＼&[Q]（件）＼&35＼&25＼&20＼&10＼&] （1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格[P]与时间[t]的函数关系式； （2）在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对[（t，Q）]的对应点，并确定日销售量[Q]与时间[t]的一个函数关系式； （3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量） 16. 设函数[f（x）]的在定义域[R+]上为单调函数，且满足[f（xy）=f（x）+f（y）]，若[f（13）=1]. （1）求[f（1）]的值； （2）若[f（x）=-1]，求[x]的值. 17. 已知函数[f（x）=lg（x2-mx+1）]. （1）若此函数的定义域为[R]，求[m]的范围； （2）若此函数的值域为[R]，求[m]的范围. 18. 某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入[x]万元，可获得纯利润1[P=-1160（x-40）2+100]万元（已扣除投资，下同），当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入[x]万元，可获纯利润[Q=-159160（60-x）2+1192（60-x）]万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？ 1.（2014年北京理科）设函数f(x0aelnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)处的xx 切线为ye(x1)2.(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）证明：f(x)1.2.（2010全国文）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=3ax4-2(3a+2)x2+4x.(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的极值;6 (Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函数，求a的取值范围.3.(2013-2014唐山摸底文科)（本小题满分12分） 已知函数f（x）=21n x－ax+a（a∈R）． （I）讨论f（x）的单调性； （II）试确定a的值，使不等式f（x）≤0恒成立． 4.曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程为 5.(2013-2014唐山摸底理科)（12分） 已知函致f(x)xbxcxd.(1)当b0时，证明：曲线yf(x)与其在点(0,f(0))处的切线只有一个公共点； 一、选择题 1．(2020·山东滨州三模)函数y＝ln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线方程为() A．x＋ey－1＋e＝0 B．x－ey＋1－e＝0 C．x＋ey＝0 D．x－ey＝0 答案 D 解析 因为y＝ln x，所以y′＝，所以y′|x＝e＝，又当x＝e时，y＝ln e＝1，所以切线方程为y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0.故选D.2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.3．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为() A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 答案 B 解析 ∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，∴所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为() A．0 B．－5 C．－10 D．－37 答案 D 解析 由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0 x＋f′(x)的零点所在的区间是() A.B． C．(1,2) D．(2,3) 答案 B 解析 ∵f(x)＝x2－bx＋a，∴二次函数的对称轴为x＝，结合函数的图象可知，0 x＋f′(x)＝aln x＋2x－b在(0，＋∞)上单调递增．又g＝aln ＋1－b<0，g(1)＝aln 1＋2－b>0，∴函数g(x)的零点所在的区间是.故选B.6．(2020·山东泰安二轮复习质量检测)已知函数f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是() A．a≤0或a≥ B．a≤0或a≥ C．a≤0 D．a≥0或a≤－ 答案 A 解析 f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax，令f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0，故x－aex＋＝0，当a＝0时，f′(x)＝xex，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f′(0)＝0，故函数有唯一极小值点，满足条件；当a≠0时，即＝ex－e－x，设g(x)＝ex－e－x，则g′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立，且g′(0)＝2，画出函数g(x)和y＝的图象，如图所示．根据图象知，当≤2，即a<0或a≥时，满足条件．综上所述，a≤0或a≥.故选A.7．(多选)若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是() A．直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3 B．直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln x C．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx D．直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx 答案 ACD 解析 A项，因为y′＝3x2，当x＝0时，y′＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线．当x<0时，y＝x3<0；当x>0时，y＝x3>0，所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；B项，y′＝，当x＝1时，y′＝1，在P(1,0)处的切线为l：y＝x－1.令h(x)＝x－1－ln x，则h′(x)＝1－＝(x>0)，当x>1时，h′(x)>0；当0 x，即当x>0时，曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外)，结论错误；C项，y′＝cosx，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正弦函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确；D项，y′＝，当x＝0时，y′＝1，在P(0,0)处的切线为l：y＝x，由正切函数图象可知，曲线C在点P附近位于直线l的两侧，结论正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln x，且f＝，则() A．f′＝0 B．f(x)在x＝处取得极大值 C．0 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 答案 ACD 解析 ∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝xln x，即满足＝，∵′＝，∴′＝，∴可设＝ln2 x＋b(b为常数)，∴f(x)＝xln2 x＋bx，∵f＝·ln2 ＋＝，解得b＝.∴f(x)＝xln2 x＋x，∴f(1)＝，满足0 x＋ln x＋＝(ln x＋1)2≥0，且仅有f′＝0，∴B错误，A，D正确．故选ACD.二、填空题 9．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.答案 1 解析 f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)曲线f(x)＝asinx＋2(a∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，则a＝________.答案 －1 解析 f(x)＝asinx＋2(a∈R)，则f′(x)＝acosx，故当x＝0时，f′(0)＝a，又函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋2，所以a＝－1.11．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则高为________ cm.答案 解析 设高为h cm，则底面半径r＝ cm，所以体积V＝r2h＝h(400－h2)，则V′＝(400－3h2)．令V′＝(400－3h2)＝0，解得h＝.即当高为 cm时，圆锥的体积最大． 12．(2020·吉林第四次调研测试)若函数f(x)＝mx2－ex＋1(e为自然对数的底数)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是________． 答案 解析 因为f(x)＝mx2－ex＋1，所以f′(x)＝2mx－ex，又函数f(x)在x＝x1和x＝x2两处取得极值，所以x1，x2是方程2mx－ex＝0的两不等实根，且x2≥2x1，即m＝(x≠0)有两不等实根x1，x2，且x2≥2x1.令h(x)＝(x≠0)，则直线y＝m与曲线h(x)＝有两交点，且交点横坐标满足x2≥2x1，又h′(x)＝＝，由h′(x)＝0，得x＝1，所以，当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)＝在(1，＋∞)上单调递增； 当x<0和0 当x2＝2x1时，由＝，得x1＝ln 2，此时m＝＝，因此，由x2≥2x1，得m≥.三、解答题 13．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． 解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，则φ′(x)＝ex＋2＞0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． (2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； ②当x＞0时，分离参数a得a≥－，记g(x)＝－，g′(x)＝－，令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0,2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减． 因此，g(x)max＝g(2)＝，综上可得，实数a的取值范围是.14．(2020·山东济南6月仿真模拟)已知函数f(x)＝aln (x＋b)－.(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值； (2)当b>0时，讨论f(x)极值点的个数． 解(1)当a＝1，b＝0时，f(x)＝ln x－，此时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，由f′(x)>0得0 所以f(x)max＝f(4)＝2ln 2－2.(2)当b>0时，函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝－＝，①当a≤0时，f′(x)<0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0； ②当a>0时，设h(x)＝－x＋2a－b，(ⅰ)当4a2－4b≤0，即0 时，f′(x)≤0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以此时f(x)极值点的个数为0； (ⅱ)当4a2－4b>0，即a>时，令t＝(t≥0)，则h(t)＝－t2＋2at－b，t1＋t2＝2a>0，t1t2＝b>0，所以t1，t2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2个左右异号的零点，所以此时f(x)极值点的个数为2.综上所述，当a≤时，f(x)极值点的个数为0；当a>时，f(x)极值点的个数为2.一、选择题 1．(2020·山东省实验中学4月高考预测)已知函数f(x)＝3x＋2cosx，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是() A．a B．c D．b 解析 根据题意，函数f(x)＝3x＋2cosx，其导函数f′(x)＝3－2sinx，则有f′(x)＝3－2sinx>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数．又由2＝log24 B．有3个极小值点 C．有1个极大值点和2个极小值点 D．有2个极大值点和1个极小值点 答案 D 解析 结合函数图象可知，当x0，函数y＝g(x)－f(x)单调递增；当a A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3) C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2) 答案 A 解析 首先令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(x)是偶函数，所以4f(－2)＝g(－2)＝g(2) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 答案 D 解析 设直线l与曲线y＝的切点为(x0，)，x0＞0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝，直线l的方程为y－＝·(x－x0)，即x－2y＋x0＝0.由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，两边平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故选D.5．(2020·山东青岛一模)已知函数f(x)＝(e＝2.718为自然对数的底数)，若f(x)的零点为α，极值点为β，则α＋β＝() A．－1 B．0 C．1 D．2 答案 C 解析 ∵f(x)＝∴当x≥0时，令f(x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2；当x<0时，f(x)＝xex<0恒成立，∴f(x)的零点为α＝2.又当x≥0时，f(x)＝3x－9为增函数，故在[0，＋∞)上无极值点；当x<0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，∴当x＝－1时，f(x)取到极小值，即f(x)的极值点β＝－1，∴α＋β＝2－1＝1.故选C.6．(2020·山西太原高三模拟)点M在曲线G：y＝3ln x上，过M作x轴的垂线l，设l与曲线y＝交于点N，＝，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 设M(t,3ln t)，则N，所以＝＝，依题意可得ln t＋＝0，设g(t)＝ln t＋，则g′(t)＝－＝，当0 3<0，且g＝－2＋>0，g(1)＝>0，所以g(t)＝ln t＋＝0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.故选C.7．(多选)(2020·山东济宁邹城市第一中学高三下五模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b，其中a，b∈R，则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有() A．a B．a＝ln (b2＋1) C．a＝－3，b2－4≥0 D．a＝－1，b＝1 答案 BD 解析 由题知f′(x)＝3x2＋a.对于A，由f(x)是奇函数，知b＝0，因为a<0，所以f(x)存在两个极值点，由f(0)＝0知，f(x)有三个零点，A错误；对于B，因为b2＋1≥1，所以a≥0，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，则f(x)仅有一个零点，B正确；对于C，若取b＝2，f′(x)＝3x2－3，则f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，此时f(x)有两个零点，C错误；对于D，f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1，易得f(x)的极大值为f＝＋1>0，极小值为f＝－＋1>0，可知f(x)仅有一个零点，D正确．故选BD.8．(多选)(2020·山东省实验中学4月高考预测)关于函数f(x)＝＋ln x，下列判断正确的是() A．x＝2是f(x)的极大值点 B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得f(x)>kx成立 D．对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4 答案 BD 解析 函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数f′(x)＝－＋＝，∴在(0,2)上，f′(x)＜0，函数单调递减，在(2，＋∞)上，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝2是f(x)的极小值点，故A错误；y＝f(x)－x＝＋ln x－x，∴y′＝－＋－1＝<0，函数在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)－1＝2＋ln 1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln 2－2＝ln 2－1<0，∴函数y＝f(x)－x有且只有1个零点，故B正确；若f(x)＞kx，可得k<＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－xln x，则h′(x)＝－ln x，∴在(0,1)上，函数h(x)单调递增，在(1，＋∞)上，函数h(x)单调递减，∴h(x)≤h(1)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)＝＋在(0，＋∞)上单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f(x)＞kx恒成立，故C错误；令t∈(0,2)，则2－t∈(0,2)，2＋t＞2，令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln (2＋t)－－ln (2－t)＝＋ln，则g′(t)＝＋·＝＋＝<0，∴g(t)在(0,2)上单调递减，则g(t)＜g(0)＝0，令x1＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，得x2＞2＋t，则x1＋x2＞2－t＋2＋t＝4，当x2≥4时，x1＋x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞4，故D正确．故选BD.二、填空题 9．(2020·山东高考实战演练仿真四)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋f′x2－x，则f′(1)＝________.答案 0 解析 因为f(x)＝x3＋f′x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2f′x－1.所以f′＝3×2＋2f′×－1，则f′＝－1，所以f(x)＝x3－x2－x，则f′(x)＝3x2－2x－1，故f′(1)＝0.10．若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1对x∈R恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________． 答案 10x＋4y－5＝0 解析 ∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，① ∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，② 联立①②，得f(x)＝－x3－x＋，则f′(x)＝－x2－1，∴f′(1)＝－－1＝－，又f(1)＝－－1＋＝－，∴切线方程为y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0.11．(2020·广东湛江模拟)若x1，x2是函数f(x)＝x2－7x＋4ln x的两个极值点，则x1x2＝________，f(x1)＋f(x2)＝________.答案 2 4ln 2－ 解析 f′(x)＝2x－7＋＝0⇒2x2－7x＋4＝0⇒x1＋x2＝，x1x2＝2，f(x1)＋f(x2)＝x－7x1＋4ln x1＋x－7x2＋4ln x2＝(x1＋x2)2－2x1x2－7(x1＋x2)＋4ln (x1x2)＝4ln 2－.12．(2020·山东济宁嘉祥县高三考前训练二)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)＝－f(x)(e是自然对数的底数)，且f(0)＝1，若关于x的不等式f(x)－m<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________． 答案(－e,0] 解析 ∵f′(x)＝－f(x)，∴[f′(x)＋f(x)]ex＝2x＋3，即[f(x)ex]′＝2x＋3.设f(x)ex＝x2＋3x＋c，∴f(x)＝.∵f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝＝－.由f′(x)>0，得－2 由f′(x)<0，得x>1或x<－2，∴函数f(x)在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)和(1，＋∞)上单调递减，如图所示． 当x＝－2时，f(x)min＝－e2.又f(－1)＝－e，f(－3)＝e3，且x>0时，f(x)>0，由图象可知，要使不等式f(x) 三、解答题 13．(2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米． (1)求桥AB的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)．问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 解(1)由题意，得|O′A|2＝－×403＋6×40，∴|O′A|＝80.∴|AB|＝|O′A|＋|O′B|＝80＋40＝120.答：桥AB的长度为120米． (2)设|O′E|＝x，总造价为f(x)万元，|O′O|＝×802＝160，f(x)＝k＋k ＝k(0＜x＜40)，∴f′(x)＝k.令f′(x)＝0，得x＝20(x＝0舍去)． 当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜40时，f′(x)＞0，因此当x＝20时，f(x)取最小值． 答：当O′E＝20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.14.(2020·四川成都石室中学一诊)设函数f(x)＝x－sinx，x∈，g(x)＝＋cosx＋2，m∈R.(1)证明：f(x)≤0； (2)当x∈时，不等式g(x)≥恒成立，求m的取值范围． 解(1)证明：因为f′(x)＝－cosx在x∈上单调递增，所以f′(x)∈，所以存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝0.当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)max＝max＝0，所以f(x)≤0.(2)因为g′(x)＝－sinx＋m，令h(x)＝－sinx＋m，则h′(x)＝－cosx＋m.当m≥0时，m≤0，由(1)中的结论可知，－sinx≤0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在x∈上单调递减，所以g(x)min＝g＝，满足题意． 当－ 当x∈时，h′(x)>0，g′(x)单调递增． 而g′(0)＝－m>0，g′＝0，所以存在唯一x2∈，使得g′(x2)＝0.当x∈(0，x2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减． 要使当0≤x≤时，g(x)≥恒成立，即⇒m≥，所以≤m<0.当m≤－，x∈时，h′(x)≤0，所以当x∈时，g′(x)单调递减，又g′＝0，所以g′(x)≥0，所以g(x)在x∈上单调递增，所以g(x)≤g＝，与题意矛盾． 数学一直是让很多同学头疼的问题，而其中的导数部分更是让一些同学思路不清，本次答疑过程中，众多同学对导数的解题思路提出了问题，另有多名同学询问了数学成绩应该如何学习和提高，下面是对本次答疑的情况汇总，希望对同学们的数学，尤其是导数部分的学习有所帮助。 一、数学应该怎样提高 问题1：数学0基础 姚瑶老师：如果0基础，那么我们就专攻几个简单易拿分的模块，比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步! 问题2：老师，怎样构建数学知识模块体系，求方法 姚瑶老师：合上书本，拿出白纸，利用思维导图去整理数学中的知识点，以及你想起的和这个知识点有关的任何东西，比如常用的公式变型，考试考过的题型，这样会非常清晰的知道自己哪里熟练哪里薄弱哪里有漏洞，再拿着书本笔记去对照看看哪里漏了什么，把漏洞补上。这样就可以建立一个只属于你自己的个性化知识体系。建议可以一段时间整理一次，每一次都会有新的收获。 问题3：我大题都不会做 姚瑶老师：如果大题都不会做，那么选择填空问题可能也会比较多，我的建议是现在专攻几个简单易拿分的模块，比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步! 问题4：数学明明好多题都做过!可是才考40多分 姚瑶老师：考试时发现很多题目都做过都很熟悉，但是自己不会做。有两种可能第一前一次做的时候会，现在不会了;第二前一次做的时候不会或者说是很不熟练半蒙半猜的做的，现在还不会。第一种情况看看是不是很长时间没有做过这个类型的题了，知识点有些遗忘，做题时有种心有余而力不足的感觉，这个时候我们要做的就是复习，把这个知识点涉及到的考试题型拿出来，大量练习找回感觉。如果是第二种，那就要问问自己当时有问题不会做，有没有弄懂，老师讲了或者看了答案之后是不是真的明白了，有没有合上答案自己重新做一遍，有没有做错题的“回访”，我们很多时候感觉自己会了并不是真的会，要在过一段时间之后，再做没有问题了才可以，因此要好好看看是不是之前的改错工作没有做到位。 问题5：老师，您好。对于第二轮复习，我是属于成绩较低下的学生，我就背公式，可实战效果还是不明显，最后的时间应如何实质信突破。谢谢。 姚瑶老师：公式确实要背，但是不能脱离题目去背，建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。看到你和一位同学都是广东文科，所以把这几个模块也回答在你这里。加油!这个时候必须要坚持大量练习!把基础模块把握住。 问题6：姚姐姐你好，小弟数学一直以来都是90分无法突破，选择题通常错4个，填空2个，很想求教如何提高数学成绩，在此小弟不甚感激 姚瑶老师：首先解决选填问题，看看出错的原因是什么，是知识点有漏洞题目就是不会，还是审题或者计算出现问题，因为低级错误导致失分。如果是前者那么弥补漏洞，大量练习就可以了;如果是后者就要看看为何会出现粗心不认真的情况，把出错的计算单独拿出来，我们不会算错，为什么放到这个题目里我们就错了，有很大的可能是这个题目考察的知识点我们存在一些细节上的问题，导致看到题目从心理上就有些畏惧，把注意力更多的集中到了思路方法层面上，而对计算有些轻忽，导致出错，那么我们要从问题的本质入手，把这个题目涉及的知识点好好总结复习是解决问题的关键。还要提高做题速度，也是先解决知识点不熟练的本质问题。如果就是做题慢，那么提高速度只能靠平时多练习。建议我们在平时做选择填空练习的时候掐时间，每天练一套，经过一段时间的训练，一定会有进步。 方法和思路总结出来只是一个开端，建议找往年的真题进行练习，重要的是坚持!加油! 问题7：老师，我数学一点也不会，能考20分，只剩40多天了，压力特大，该咋办啊? 姚瑶老师：首先平稳心态，越级越容易出错，学习的效果也不好，然后建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。加油，每种题型下功夫练上几十道，一定会有效果的。四十多天，那天每天只练会一个知识点做会一种题型，积累起来也是一个超级大的进步!别放弃，加油! 问题8：数学五六十分 姚瑶老师：这个时候专攻几个简单模块，建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。加油，每种题型下功夫练上几十道，一定会有效果的。嗯，当然也可以同学们相互帮助!(ˉ▽￣～) ~~ 问题9：老师，现在大概100分左右的成绩应该把复习重点放在哪里?50天还可以提高到多少分?还有圆锥曲线总是不会怎么办?立体几何大题太耗时间了，如何可以快速做对做完? 姚瑶老师：100分，看看你出错的地方在哪里，肯定有基础题型没有拿到满分，建议先把这一部分处理一下。立体几何如果耗时间说明前面点线面位置关系的证明不够熟练，要把几个证明的定理在重新巩固复习一下。圆锥曲线第一问应该是必须拿分的，第二问根据题目判断是设直线还是设点，如果设直线，那么就联立，整理成一元二次方程形式，列出判别式和韦达定理，就能得到一半以上的分数，后面就是根据问题看如何使用韦达定理，进行运算，平时可以多总结需要联立的题型。如果是设点的题目，那么就根据题目里的已知条件和问题，写出数学式子，进行整理和变型。 五十天老师也不敢保证可以提高多少分，说一下老师自己的情况吧，高考，一模成绩600，高考成绩650。一切皆有可能!加油! 问题10：老师您好，我们是一名高一的理科生，但我的数学成绩非常差，每次总是倒数几名，我很担心自己，每次总是拿着一张低分数的试卷，默默的记着笔记，很伤心自卑，我想请教您，有没有可以学好数学的方法，谢谢 姚瑶老师：首先看看数学成绩不好是因为什么，不喜欢数学?哪个知识听不懂?计算容易出错?等等，希望你能先找到自己的问题所在，然后我们再一起研究如何解决。现在先提一个小建议，如果咱们数学考试成绩不好，那么能不能在改完错之后，隔一段时间重新做一遍整张卷子呢，也就是做一做错题的“回访”，看看是不是真的掌握了，咱们不要求以后的考试成绩必须考的多好，先把以前的错题真真正正的搞明白好吗?加油，刚刚高一，以后还有很长时间来让你进步的!千万不要放弃呀!加油!↖(^ω^)↗ 问题11：老师，我数学一般都能有100多，就是选填55左右，后面4个大题至少有3个多的分，然后最后两个的第一问拿分，最后一个导数最后一个小题就直接扔了 姚瑶老师：建议选填在多加把劲，如果选择题出现了问题，首先要判断错误原因，是知识点有漏洞题目就是不会，还是审题或者计算出现问题，因为低级错误导致失分。如果是前者那么弥补漏洞，大量练习就可以了;如果是后者就要看看为何会出现粗心不认真的情况，把出错的计算单独拿出来，我们不会算错，为什么放到这个题目里我们就错了，有很大的可能是这个题目考察的知识点我们存在一些细节上的问题，导致看到题目从心理上就有些畏惧，把注意力更多的集中到了思路方法层面上，而对计算有些轻忽，导致出错，那么我们要从问题的本质入手，把这个题目涉及的知识点好好总结复习是解决问题的关键。 至于做题时间，也是先解决知识点不熟练的本质问题。如果就是做题慢，那么提高速度只能靠平时多练习。建议我们在平时做选择填空练习的时候掐时间，每天练一套，经过一段时间的训练，一定会有进步。 后面前四道大题问题不大，导数和圆锥曲线看看是不是因为时间不够，那先去提升前面选填的速度和正确率。 问题12：老师您好，我想问一下，怎么利用这段时间再提高一下数学，有什么方法吗? 姚瑶老师：如果是基础薄弱的同学，建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。 如果是本身成绩很好想拔高，可以做做往年的压轴题，这类题没有什么出题规律，但是可以通过往年的题目开拓一下思路。 最后就是要调整心态，加油!希望能帮到你! 问题13：最近注重公式和课本，但在实战依旧突破不了60??是我的方法错了，该如何调整? 姚瑶老师：注重课本是对的，我觉得你可能还是基础有问题，公式背下来还要背下来题型，建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。分模块练习，会看到进步的。 问题14：感觉不会变通，只是死记方法的一些题会做，着急。。。 姚瑶老师：要思考，我们做完题要反思要总结，看看题目用的方法是什么，想想为什么用到这个题目里，并且要把这个题用到的知识点都整理出来，有时候我们的不会变通只是因为对老题理解的不透彻，对新题分析的不到位，那么我们就要强迫自己去做总结反思的工作。 问题15：老师你好! 请问一下我考试成绩稳定不了怎么办? 特别是数学 姚瑶老师：考试成绩不稳定说明知识点有漏洞，建议把每次考试成绩低的时候的错误都分析一下，看看有没有相同的地方，把错误的知识点好好整理复习一下，一定会有进步的。 问题16：老师，我的数学只有二三十分，时间不多了，求你帮帮我吧!老师，你怎么不回复我?老师，教教我吧! 姚瑶老师：咱们这个时候专攻几个简单模块，建议拿出前两年的高考题模拟题，把简单模块中每一道题考到的公式整理出来，看看是如何应用在解题过程中的。建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。每种题型下功夫练上十几道二十道，一定会有效果的。而且越是到了关键的时候越是要放平心态，忙中出错呀!加油!希望你能在之后的这四十几天努力，还是有希望的! 问题17：老师我的数学很差有什么技巧可以提分么 姚瑶老师：建议把集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，不要失去信心，下狠心，把每一类题型都练个几十道一定有效果的，加油! 问题18：数学怎么样才能学好，多做题吗。请老师解说一下 姚瑶老师：多做题是一个方法，但是要理解要学会总结，找到做过的题目的共通的点，这样才能举一反三，毕竟我们的时间精力有限，不可能无限的做题，也总会遇到我们没有做过的，因此分析题目找共同点找方法是我们在学习中要做到的事情。 问题19：老师，文数应怎样复习～买了本真题～该怎样有效率的弄会呢 姚瑶老师：真题是套卷吗，如果现在时间比较紧张，可以把选填和大题分开来做。效率高是我们一直追求的，建议每次做题都要掐时间，判成绩，千万不要一道题不会就卡住想半天，或者看答案，把每一次做题都当做考试来对待，毕竟现在是考一次少一次了!加油! 问题20：老师我的数学真的好差好差，怎么办啊，只有60分，说出来都嫌丢人 姚瑶老师：什么时候都不要失去信心，这是第一件事。我们现在确实可能时间比较紧张，不要想着还有多少多少题不会做，从现在开始每天都多弄明白一个知识点多做对一道题，每一天都会有改进，到高考的时候一定会有很大的进步!给你一些模块的建议，集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系，这些模块比较基本，建议优先练习!萌萌哒妹纸，加油! 问题21：老师。考试的时候可以做不对但是到班级就算出来了，是紧张还是什么别的原因怎么才能克服呢 姚瑶老师：如果这种情况应该就是心理原因，我们高考考的不仅是知识点，更多的是心态，这件事老师帮不了你，你只能靠自己。平时在做题练习的时候尽量掐时间，模拟考试时的场景。对待错题更严格，保证错了的题认认真真的弄清楚，不要让自己心虚。有时候我们紧张也是因为一些知识点不熟练，可以看看到底是哪个题我们考试做不对，考完就会，平时对这些知识点多关照一些!我相信你是有实力也能够发挥出来的!加油! 问题22：老师，数学总是50多分，时间不多了，该怎么提高数学分数呢?教教我吧! 姚瑶老师：集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系以及选做题等题型掌握，这些题型涉及到的公式定理知识点都属于比较容易掌握的类型。加油，每种题型下功夫练上几十道，一定会有效果的。时间越是紧张，我们越要稳，忙中出错!每天看一点，有一点进步就是成功，一定要坚持到最后! 问题23：徘徊在110左右 感觉基础很牢的。求解 姚瑶老师：如果基础牢固，看看是不是见到的题型少导致分数没有达到预期，可以看看往年的高考模拟真题练习，见的题型多了思路才能打开，有时候我们做题往往是卡在了一个点上想不到，希望你回去好好分析一下以往的试卷，看看都是在哪些题目上拿不到分，然后有针对性的练习。 问题24：老师,艺术生应该怎么攻题 姚瑶老师：大题按照题型去练习，把选做、三角函数、概率、立体几何这几道题练会，可以把往年的真题模拟题都翻出来，就做这些。小题关注集合、复数、程序框图、线性规划、简单函数奇偶性与单调性的判断、二项式定理、统计、积分，都是把往年的题目进行汇编，坚持练习，会有效果的。 问题25：老师，数学在哪里能够拿分多一点啊，那些大题不奢望，本来数学就是渣渣，老师都没正眼看过我 姚瑶老师：集合、复数、平面向量、函数的奇偶性与单调性判断、线性规划、导数求切线、等差等比数列的基本题型、圆锥曲线标准方程、三角函数、统计概率、解不等式、点线面位置关系等，微微凉!加油啊!不要放弃呀! 问题26：老师，怎么才能让数学学好 姚瑶老师：这个问题好大，我们从小学一年级就开始学习数学，到了大学一些专业还是会有高数，但是也经常有同学问我，现实生活真的用得到导数吗?真的用得到三角函数吗?其实我们学习的过程远比结果重要。首先你要找到一个适合你的学习方法，然后你要能够养成一个良好的学习习惯，最后就是坚持!到最后你会发现数学成绩好只是一个顺带的结果。如果你觉得老师说的太假大空，那么我就提一个小小的建议，如果你在每天都认真学习数学的基础上，能保证当天的问题当天解决，也就是不带着问题入睡，那么你的数学一定很不错了! 问题27：老师我脑子笨 姚瑶老师：是容易忘记公式，还是一些知识点理解不了呢?确实有的同学就是智商高，天赋好，但是有句话叫勤能补拙啊!我不知道你今年高几，但是我希望你千万别放弃，不和别人比，也别看自己还差多少，看看自己每天能做多少!每天多记一个公式，每天多会一道题，积少成多，量变产生质变!加油! 问题28：老师，数学应该怎么做，感觉每一道题都会，等到做的时候又做不出来了 姚瑶老师：说明有漏洞，自己仔细想想，做的时候是卡在哪里做不出来了，现在查缺补漏是关键，建议找出做过的试卷，把试卷上的每一道题目涉及到的知识点方法都进行总结，确保自己真的会了!而不是看着答案会了。加油!我相信你有潜力的! 问题29：老师，考试时怎么分配好时间啊?特别是做到后面就急了，会做的做错了。。 姚瑶老师：一般来讲选填大概五十分钟以内完成，大题导数和圆锥曲线每道留十五分钟左右，其他题目每道十分钟左右，如果平时做题慢看看是不是知识点有漏洞?有时候知识点掌握的熟练程度也影响了我们的做题速度，这个时候查漏补缺是关键。 高考数学复习中的10大典型问题 问题1：老师，为什么我每一次写题目看这题目不知从何下手，但我们老师一讲，我就会，麻烦您解答一下，谢谢。 刘熹老师：是的，一道题老师讲懂可能是他的水平，但只有你理解了并能做才能真正变成你的东西，不知从和下手时，先看看有没有做过类似的例题，当时是怎么做的，以及试着去理解题目后面给的书面解答。你可能是“听觉型”的学生，但需要强化“视觉”和“感觉”技能。 问题2：高考前两三个月数学要怎么去复习，怎样提高分数，避免高考出错? 刘熹老师：最后两三个月，重点磨合解题技巧，熟悉做题的流程策略，设计好各类意外的处理预案，最后再针对能够提升的部分强化一下，然后做好最后一刻复习或者考前提醒的准备。 问题3：是刷题海，还是该注重基础知识记忆? 刘熹老师：注重基础知识，但不是记忆，应该是理解，仅靠记忆做好的数学题，不能牢靠和长久。 问题4：老师，有什么好的方法可以有助于把庞杂的知识体系整理清楚吗? 刘熹老师：有，每次用一张白纸把知识模块以“思维导图”的形式梳理出来，我不建议总看书上的知识框架而是自己总结，因为你总结完了拿给老师，老师能够告诉你哪里有漏洞，然后再针对性强化。 问题5：老师，对于基础只有50左右的，最好在哪下手补? 刘熹老师：50左右，根据大考常考题型，强攻一道大题，一道大题10分左右呢。练20个类似的怎么也掌握了。 问题6：错题集感觉没什么用，看了当时记得过了一久就忘记了，刷题也是一样，应该如何学习才更有效率?求回复 刘熹老师：有些学生用错题集是没有太大用的，如果是容易忘记，其实你更需要的是笔记，以及自己去梳理知识框架。然后错题留着检验，考前再做一遍看看复习是否有效就好。 问题7：老师好，可以推荐一些好的教辅吗? 刘熹老师：这边一般用五年高考三年模拟，然后还有王后雄学案，也有学校用创新方案，低年级有名师一号啥的。不过据另一位数学老师说，“教辅是个伪命题”，你去挑一本最喜欢的，然后吃透就可以了。 问题8：数学成绩不稳定，忽高忽低，主要是选择填空有时候错的太多。而且经常答不完数学。怎么样才能在限定的时间内是正确率上去，多做题吗?现在高三，很紧张。很害怕考数学，老师，求回复!!!! 刘熹老师：成绩不稳定，其实最需要的是稳定，选填错的太多，一般我给的建议都是练30套选填，关键是执行力!!!别害怕，我给你举个励志的例子，我新接了一个学生，给他分析了他的问题后，在期末考试中提高了40-50分，我就讲了一个小时，我和他说，你看你这几次竟然填空第一个都错了，那我就一个要求，你下次注意考试时，这道题必须做对，做不对，别来见我! 问题9：还剩140天左右，现在是刷综合卷重好呢，还是分考点专项训练比较好? 刘熹老师：其实是都要做的，每5套卷子，建议以3选填，1综合，3简单大题，3复杂大题，1综合的节奏，据测效率比较高。可以混合着刷的呀，然后要注意总结哦。 问题10：讨厌数学的要怎样学? 1 一元二次方程根的分布 导数考查的知识背景. 例1 若x2+mx+2m+5=0有两个不相等的实根,求实数m的范围. 结论1 一元二次方程在R有两个不相等的实根时只需判定Δ的符号. 例2 若x2+mx+2m+5=0有两个不相等的实根x1,x2且x1,x2∈(-3,+∞),求实数m的范围. 解得 m<-2. 结论2 一元二次方程有两个不相等的实根,且分布在同一个区间,如:(-∞,a)或(a,+∞)或(a,b)要看3个条件,即判断Δ的符号,定对称轴的位置,看端点值的符号.简称:判Δ,定对称轴,看端点值. 例3 若x2+mx-2m2=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1∈(-1,0),x2∈(0,2),求实数m的取值范围. 分析 x2+mx-2m2=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1∈(-1,0),x2∈(0,2)函数f(x)=x2+mx-2m2的图像与x轴在(-1,0),(0,2)上各有一个交点 结论3 一元二次方程有两个不相等的实根,且分布在两个不同的区间中,如:(x1∈(-∞,n),x2∈(n,+∞);x1∈(d,e),x2∈(e,f);x1∈(d,e),x2∈(f,n),只看端点值的符号. 2 一元二次方程根分布的应用 2.1 极值的存在可转化为根的分布 (Ⅰ)证明:a>0; (Ⅱ)若y=a+2b,求y的取值范围. 利用线性规划解得y的最值,进而求得y的范围. 例5 (2011年全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). (Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2); (Ⅱ)若y=f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围. 2.2 单调性问题可转化为根的分布 例6 (2010年全国卷Ⅰ21(文))已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x (Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函数,求实数a的范围. 在x∈(-1,1)上恒成立. 令g(x)=3ax2+3ax-1. (1)当a=0时,(*)在(-1,1)上恒成立. (2)当a>0时,要使(*)成立,则 g(x)=3a2+3ax-1的图像如图3所示 2.3 不等式恒成立时,可转化为根的分布 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当x∈(3,4),f′(x)<0恒成立,求a的范围. 1. 函数[f（x）=ex+x-2]的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2，-1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （1，2） 2. 若方程[2ax2-x-1=0]在[（0，1）]上恰有一解，则[a]的取值范围为（ ） A. [a<-1] B. [a>1] C. [-1 3. 已知函数[f（x）=][ax-x-a（a>0，a≠1）]，那么函数[f（x）]的零点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 至少1个 4. 设[a∈{1，2，3，4}]，[b∈{2，4，8，12}]，则函数[f（x）][=x3+ax-b]在区间[1，2]上有零点的概率为（ ） A. [12] B. [58] C. [1116] D. [34] 5. 若函数[f（x）=x3+x2-2x-2]的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： [[f（1）=-2]＼&[f（1.5）=0.625]＼&[f（1.25）=-0.984]＼&[f（1.375）=-0.260]＼&[f（1.438）=0.165]＼&[f（1.4065）=-0.052]＼&] 那么方程[x3+x2-2x-2=0]的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 6. 若[a>1]，设函数[f（x）=ax+x-4]的零点为[m]，[g（x）=logax+x-4]的零点为[n]，则[1m+1n]的取值范围是（ ） A. [（3.5，+∞）] B. [（1，+∞）] C. [（4，+∞）] D. [（4.5，+∞）] 7. 定义域为[D]的函数[f（x）]同时满足条件：①常数[a，b]满足[a A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 某航空公司经营[A，B，C，D]这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下：[A-B]为2000元；[A-]C为1600元；[A-D]为2500元；[B-C]为1200元；[C-D]为900元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则[B-D]的机票价格为（注：计算时视[A，B，C，D]四城市位于同一平面内）（ ） A. 1000元 B. 1200元 C. 1400元 D. 1500元 9. 如图，有四个 10. 已知函数[f（x）=2x-1（x≤0），f（x-1）+1（x>0），]把函数[g（x）=f（x）-x]的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ） A. [an=n（n-1）2（n∈N*）] B. [an=n（n-1）（n∈N*）] C. [an=n-1（n∈N*）] D. [an=2n-2（n∈N*）] 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 已知[y=x（x-1）（x+1）]的图象如图所示，今考虑[f（x）=x（x-1）（x+1）+0.01]，则关于方程式[f（x）=0]的说法正确的有 . ②当[x<-1]时，恰有一实根 ③当[-1 ④当[0 ⑤当[x>1]时，恰有一实根 12. 有一批材料可以建成200m长 13. 某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场[dkm（d<200km）]的中心城市，其产销资料如表：当距离[d]达到[n]km以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高. 则[n]的值为 . （经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本） [ 项目 作物＼&水果＼&蔬菜＼&稻米＼&甘蔗＼&市场价格（元/kg）＼&8＼&3＼&2＼&1＼&生产成本（元/kg）＼&3＼&2＼&1＼&0.4＼&运输成本（元/kg·km）＼&0.06＼&0.02＼&0.01＼&0.01＼&单位面积相对产量（kg）＼&10＼&15＼&40＼&30＼&] 14. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊售点. 请确定一个格点（除零售点外）[M]为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短，则[M]的坐标为 . nlc202309041117 三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分） 15. 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元. 每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）. （1）设该厂每[x]天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在[x]天内总的保管费用[y1]（元）关于[x]的函数关系式； （2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用[y]（元）最少，并求出这个最小值. 16. 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润[x]（元）与年产量[t]（吨）满足函数关系：[x=2000t].若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方[s]元（以下称[s]为赔付价格）. （1）将乙方的年利润[w]（元）表示为年产量[t]（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）在乙方年产量为[t]吨时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额[y=0.002t2]（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格[s]是多少？ 17. 2009年，浙江吉利与福特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议，吉利计划投资20亿美元来发展该品牌. 据专家预测，从2009年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆（2009年销售量为20000辆），销售利润每辆每年比上一年减少10%（2009年销售利润为2万美元/辆）. （1）第[n]年的销售利润为多少？ （2）求到2013年年底，浙江吉利能否实现盈利（即销售利润超过总投资，0.95≈0.59）. 18. 某电视生产厂家有[A，B]两种型号的电视机参加家电下乡活动. 若厂家投放[A，B]型号电视机的价值分别为[p，q]万元，农民购买电视机获得的补贴分别为[110p]，[mln（q+1）（m>0）]万元. 已知厂家把总价值为10万元的[A，B]两种型号电视机投放市场，且[A，B]两型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）. （1）当[m=25]时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值； （2）讨论农民得到的补贴随厂家投放[B]型号电视机金额的变化而变化的情况.高考导数练习三 篇4
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高考导数试题的考查背景 篇7
专题三 函数与导数（5） 篇8