导数在高中数学教学中的应用

导数在高中数学教学中的应用（共16篇）

导数在高中数学教学中的应用 篇1

导数是解决高中数学问题的重要工具之一，很多数学问题如果利用导数的方法来解决，不仅能迅速找到解题的切入点，甚至解决一些原来只是解决不了的问题。而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，化难为易，事半功倍的效果.如在求曲线的切线方程、方程的根、函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。

导数（导函数的简称）是一个特殊函数，所以它始终贯穿着函数思想。随着课改的不断深入，新课程增加了导数的内容，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经在高考中占有很重要的地位，导数已经成为解决问题的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究导函数其图像性质，来研究原函数的性质。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

导数在高中数学中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，尤其函数的单调性和函数的极值及最值，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求切线方程

方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。

导数在高中数学教学中的应用 篇2

1. 应用导数研究函数单调性与最值

例1 (2012天津高考) 已知函数

(1) 求函数f ( x) 的单调区间;

(2) 若函数f ( x) 在区间 ( -2, 0) 内恰有两个零点, 求a的取值范围;

(3) 当a =1时, 设函数f ( x) 在区间[t, t +3]上的最大值为M ( t) , 最小值为m ( t) , 记g ( t) =M ( t) -m ( t) , 求函数g ( t) 在区间[- 3, - 1]上的最小值.

2. 应用导数判断数列的最大 ( 小) 项

例2 ( 南通一模) 已知数列{ an} 的通项an= 6n2n3, , n∈N*, 求数列{ an} 的最大项.

3. 应用导数证明不等式

例3 ( 启东汇龙中学月考) 当x >0时, 证明不等式:x -1/2x2< ln ( 1 + x) .

4. 应用导数求数列的前 n 项和

例4 ( 启东中学实验班) 已知数列{ an} 的通项an=nxn - 1, 求其前n项的和Sn.

5. 应用导数解平面几何问题

求切线方程的一般方法, 可分两步:

( 1) 求出函数y =f ( x) 在x =x0处的导数f' ( x0) ;

( 2) 利用直线的点斜式得切线方程.

例5 ( 启东市高二期末) 求曲线f ( x) =x3+ x2+ 2x - 3分别满足下列条件的切线: ( 1) 在点 ( 1, 1) 的切线; ( 2) 过点 (1, 1) 的切线.

6. 应用导数解决实际问题

例6 ( 海门中学模拟) 一艘渔艇停泊在距岸9 km处, 今需派人送信给距渔艇处的海岸渔站, 如果送信人步行每小时5 km, 船速每小时4 km, 问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省?

解如图所示, 设A点为渔艇处, BC为海岸线, C为渔站, 且AB =9 km.

参考文献

[1]教育部考试中心.2010年普通高等学校招生全国统一考试大纲说明 (理科) [M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2003:121-124.

导数在高中数学函数中的应用体会 篇3

【关键词】导数；高中数学；应用

导数是新课改下新增加的内容，这一内容在高中数学中起到越来越重要的作用，导数在数学中的引入不但加深了学生对于函数各种形态的不同，而且激发了学生的创造性思维，并且能够引导学生将导数知识学以致用到实际生活中，很大程度上激发了他们的学习积极性。但是对于初学者来说，导数的学习还是会有一些难度的，所以首先一定要能够掌握函数的简单求导方法，并且逐渐地与生活相结合，只有这样比较透彻的理解导数的真正含义。本文将会结合课本内容对导数进行一个新的总结。

1.导数在解题中的运用

1.1利用导数求函数的极值

在高中数学中还会碰到求函数在某个区间范围内的极值问题，研究导数的性质后发现，如果我们知道如果函数的两侧符号不一致则可以得出这个函数在此区间范围内有最大值或最小值。

1.2利用导数求函数单调性

2.导数在几何解题中的运用

有的时候如果运用常规的方法去解决一些特殊的几何问题时会比较麻烦，这是我们可以灵活地运用导数来解答。比方说：用一条没有长度限制的钢丝围成一个长方形的物体其长和宽的比为2：1（其中宽的长度不大于6m），那么求解：当长宽各为多少时该物体的面积最大，并且得出其最大面积为多少？

3.导数在生活当中的常见应用

随着教学体制的改革，高中数学里面在近几年中增添了很多与人民群众息息相关的问题，如果这是运用一般的数学方法去求解难度非常大，甚至是无法得出正确的答案，但是后来细心的人们发现，倘若我们运用导数去解决则会非常方便，并且计算简单答案也是非常准确，除此之外，我们根据导数的特点发现导数在解决生活中的物种的繁衍速率、物体移动速度以及利润最大化方面起到无法替代的作用。下面我们就根据高中数学教材中出现的生活问题，来验证导数在人们的日常生活中时如何解决这些问题的。4.导数在高中数学应用中的注意事项

在导数的教学过程中，要能够很好地抓住教学的重点和难点部分。首先要让学生对导数的定义有一个透彻的了解，明白导数的真正涵义，然后是认真学习导数的各种性质，因为在导数的运用过程中说白了其实就是利用导数的性质去解答问题，所以对于导数的各种性质要让学生熟练的掌握，记牢并且彻底理解这些性质，然后就是学以致用了，运用导数去解题本身就是一种比传统的求解办法更加快捷的方法，所以在运用的过程中使学生把简单的问题复杂化。除此以外，在学习导数知识过程中，应当注意知识的关联性，做到举一反三，形成一个完整的知识系统。

5.结束语

综上所述，随着导数在高中数学的地位越来越重要，我们可以运用导数去解决高中数学中的很多问题，这样能让本来非常困难的数学变得容易，并且能够大大培养出学生的学习兴趣，是一种极其有效的数学学习方法。

【参考文献】

[1]常利军.探析导数在高中数学中的应用[J].语数外学习.2013，（05）.

[2]任国亮.谈高中数学的学习[N].学知报.2010年.

[3]漆建哲.导数在高中数学解题中的应用分析[J].语数外学习.2013，（07）.

[4]吴霞.浅谈如何学习高中数学[J].新课程（上）.2011，（06）.

[5]李伟强.高中数学思想方法教学初探[J].中学课程辅导.2011，（08）.

（作者单位：贵州省六盘水市第三中学）

【摘 要】随着国内教学制度的不断改革，导数部分的知识在高中数学中是非常重要的部分，也是高考考试中的一个必考的热点，通过掌握导数的定义和原理，能够帮助我们解决学习生活当中的许多问题。在高中数学中随着导数的引入不仅增添了高中数学的活力，同时使学生解答数学题目的时候更加灵活多变。现在简单导数在高中数学中起着越来越大的作用，而且在高考中所占的分值比重较以往有很大的增加。本文通过实例说明导数的实际作用，能够让学生充分体会到导数的意义所在，希望能对学生导数的使用中起到一些作用。

【关键词】导数；高中数学；应用

导数是新课改下新增加的内容，这一内容在高中数学中起到越来越重要的作用，导数在数学中的引入不但加深了学生对于函数各种形态的不同，而且激发了学生的创造性思维，并且能够引导学生将导数知识学以致用到实际生活中，很大程度上激发了他们的学习积极性。但是对于初学者来说，导数的学习还是会有一些难度的，所以首先一定要能够掌握函数的简单求导方法，并且逐渐地与生活相结合，只有这样比较透彻的理解导数的真正含义。本文将会结合课本内容对导数进行一个新的总结。

1.导数在解题中的运用

1.1利用导数求函数的极值

在高中数学中还会碰到求函数在某个区间范围内的极值问题，研究导数的性质后发现，如果我们知道如果函数的两侧符号不一致则可以得出这个函数在此区间范围内有最大值或最小值。

1.2利用导数求函数单调性

2.导数在几何解题中的运用

有的时候如果运用常规的方法去解决一些特殊的几何问题时会比较麻烦，这是我们可以灵活地运用导数来解答。比方说：用一条没有长度限制的钢丝围成一个长方形的物体其长和宽的比为2：1（其中宽的长度不大于6m），那么求解：当长宽各为多少时该物体的面积最大，并且得出其最大面积为多少？

3.导数在生活当中的常见应用

随着教学体制的改革，高中数学里面在近几年中增添了很多与人民群众息息相关的问题，如果这是运用一般的数学方法去求解难度非常大，甚至是无法得出正确的答案，但是后来细心的人们发现，倘若我们运用导数去解决则会非常方便，并且计算简单答案也是非常准确，除此之外，我们根据导数的特点发现导数在解决生活中的物种的繁衍速率、物体移动速度以及利润最大化方面起到无法替代的作用。下面我们就根据高中数学教材中出现的生活问题，来验证导数在人们的日常生活中时如何解决这些问题的。4.导数在高中数学应用中的注意事项

在导数的教学过程中，要能够很好地抓住教学的重点和难点部分。首先要让学生对导数的定义有一个透彻的了解，明白导数的真正涵义，然后是认真学习导数的各种性质，因为在导数的运用过程中说白了其实就是利用导数的性质去解答问题，所以对于导数的各种性质要让学生熟练的掌握，记牢并且彻底理解这些性质，然后就是学以致用了，运用导数去解题本身就是一种比传统的求解办法更加快捷的方法，所以在运用的过程中使学生把简单的问题复杂化。除此以外，在学习导数知识过程中，应当注意知识的关联性，做到举一反三，形成一个完整的知识系统。

5.结束语

综上所述，随着导数在高中数学的地位越来越重要，我们可以运用导数去解决高中数学中的很多问题，这样能让本来非常困难的数学变得容易，并且能够大大培养出学生的学习兴趣，是一种极其有效的数学学习方法。

【参考文献】

[1]常利军.探析导数在高中数学中的应用[J].语数外学习.2013，（05）.

[2]任国亮.谈高中数学的学习[N].学知报.2010年.

[3]漆建哲.导数在高中数学解题中的应用分析[J].语数外学习.2013，（07）.

[4]吴霞.浅谈如何学习高中数学[J].新课程（上）.2011，（06）.

[5]李伟强.高中数学思想方法教学初探[J].中学课程辅导.2011，（08）.

（作者单位：贵州省六盘水市第三中学）

【摘 要】随着国内教学制度的不断改革，导数部分的知识在高中数学中是非常重要的部分，也是高考考试中的一个必考的热点，通过掌握导数的定义和原理，能够帮助我们解决学习生活当中的许多问题。在高中数学中随着导数的引入不仅增添了高中数学的活力，同时使学生解答数学题目的时候更加灵活多变。现在简单导数在高中数学中起着越来越大的作用，而且在高考中所占的分值比重较以往有很大的增加。本文通过实例说明导数的实际作用，能够让学生充分体会到导数的意义所在，希望能对学生导数的使用中起到一些作用。

【关键词】导数；高中数学；应用

导数是新课改下新增加的内容，这一内容在高中数学中起到越来越重要的作用，导数在数学中的引入不但加深了学生对于函数各种形态的不同，而且激发了学生的创造性思维，并且能够引导学生将导数知识学以致用到实际生活中，很大程度上激发了他们的学习积极性。但是对于初学者来说，导数的学习还是会有一些难度的，所以首先一定要能够掌握函数的简单求导方法，并且逐渐地与生活相结合，只有这样比较透彻的理解导数的真正含义。本文将会结合课本内容对导数进行一个新的总结。

1.导数在解题中的运用

1.1利用导数求函数的极值

在高中数学中还会碰到求函数在某个区间范围内的极值问题，研究导数的性质后发现，如果我们知道如果函数的两侧符号不一致则可以得出这个函数在此区间范围内有最大值或最小值。

1.2利用导数求函数单调性

2.导数在几何解题中的运用

有的时候如果运用常规的方法去解决一些特殊的几何问题时会比较麻烦，这是我们可以灵活地运用导数来解答。比方说：用一条没有长度限制的钢丝围成一个长方形的物体其长和宽的比为2：1（其中宽的长度不大于6m），那么求解：当长宽各为多少时该物体的面积最大，并且得出其最大面积为多少？

3.导数在生活当中的常见应用

随着教学体制的改革，高中数学里面在近几年中增添了很多与人民群众息息相关的问题，如果这是运用一般的数学方法去求解难度非常大，甚至是无法得出正确的答案，但是后来细心的人们发现，倘若我们运用导数去解决则会非常方便，并且计算简单答案也是非常准确，除此之外，我们根据导数的特点发现导数在解决生活中的物种的繁衍速率、物体移动速度以及利润最大化方面起到无法替代的作用。下面我们就根据高中数学教材中出现的生活问题，来验证导数在人们的日常生活中时如何解决这些问题的。4.导数在高中数学应用中的注意事项

在导数的教学过程中，要能够很好地抓住教学的重点和难点部分。首先要让学生对导数的定义有一个透彻的了解，明白导数的真正涵义，然后是认真学习导数的各种性质，因为在导数的运用过程中说白了其实就是利用导数的性质去解答问题，所以对于导数的各种性质要让学生熟练的掌握，记牢并且彻底理解这些性质，然后就是学以致用了，运用导数去解题本身就是一种比传统的求解办法更加快捷的方法，所以在运用的过程中使学生把简单的问题复杂化。除此以外，在学习导数知识过程中，应当注意知识的关联性，做到举一反三，形成一个完整的知识系统。

5.结束语

综上所述，随着导数在高中数学的地位越来越重要，我们可以运用导数去解决高中数学中的很多问题，这样能让本来非常困难的数学变得容易，并且能够大大培养出学生的学习兴趣，是一种极其有效的数学学习方法。

【参考文献】

[1]常利军.探析导数在高中数学中的应用[J].语数外学习.2013，（05）.

[2]任国亮.谈高中数学的学习[N].学知报.2010年.

[3]漆建哲.导数在高中数学解题中的应用分析[J].语数外学习.2013，（07）.

[4]吴霞.浅谈如何学习高中数学[J].新课程（上）.2011，（06）.

[5]李伟强.高中数学思想方法教学初探[J].中学课程辅导.2011，（08）.

导数在高中数学教学中的应用 篇4

2、在结论得出后，继续引导学生思考，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。

3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开始引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾呼应。

4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深刻。

5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切机会去实施，在例1的教学中，我让学生先熟练法则，再从形上分析，加深印象，这样在后面紧接的高考题中（没有给解析式），学生会迎刃而解。

导数在不等式证明中的应用 篇5

导数在不等式证明中的应用

作者：唐力 张欢

来源：《考试周刊》2013年第09期

摘要： 中学不等式证明，只能用原始的方法，很多证明需要较高技巧，且证明过程太难，应用高等数学中的导数方法来证明不等式，往往能使问题变得简单.关键词： 导数 拉格朗日中值定理 不等式证明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函数y=f（x）满足：1）在闭区间[a，b]上连续，2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有在一点ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

导数在高中数学教学中的应用 篇6

“作差法”构造

证明不等式或解决不等式恒成立问题都可以利用作差法将不等式右边转化为0，然后构造新函数[F（x）]，最后根据新函数[F（x）]的单调性转化为[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0来解决.]

例1 设函数[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求证：当[0

∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.]

∴[F（x）]在（0，1]上单调递减.∵[F（1）=12-0-12=0，]

∴[F（x）]≥0，当且仅当[x=1]时，等号成立.∴当[0

恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数转化为[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]为构造的新函数.例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）

A.（-∞，0）B.（-∞，4]

C.（0，+∞）D.[4，+∞）

解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.设[h（x）=2lnx+x+3x]，则[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].当[x∈（0，1）]时，[h′（x）<0]，函数[h（x）]单调递减；

当[x∈（1，+∞）]时，[h′（x）>0]，函数[h（x）]单调递增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B

根据题干的“结构特征”猜想构造

1.根据运算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2来构造]

例3 已知函数[f（x）]的定义域是[R]，[f（0）=2]，对任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，则不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集为（）

A.（0，+∞）B.（-∞，0）

C.（-1，+∞）D.（2，+∞）

解析构造函数[g（x）=ex?f（x）-ex]，因为[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex]

[>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]为[R]上的增函数.又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式转化为[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A

例4 设函数[f（x）]满足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]则当[x>0]时，[f（x）]（）

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值又无极小值

解析构造函数[F（x）=x2?f（x）]

则[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，]

[令h（x）=ex-2F（x），则h（x）=ex（x-2）x.]

[∴h（x）]在（0，2）上单调递减；在[（2，+∞）]上单调递增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.]

答案 D

2.根据已知条件等价转化后再以“形式”来构造

运用下列形式的等价变形构造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 绝对值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指对数形式[1×2×3×4ׄ×n≥en-sn.]

例5 设函数[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）当[m=e]（[e]为自然对数的底数）时，求[f（x）]的极小值；

（2）讨论函数[g（x）=f（x）-3x]零点的个数；

（3）若对任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范围.解析（1）当[m=e]时，[f（x）=lnx+ex]，则[f（x）=x-ex2].∴当[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上单调递减；

当[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上单调递增.∴[x=e]时，[f（x）]取得极小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的极小值为2.（2）由题设知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].设[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，则[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，当[x∈（0，1]）时，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上单调递增；

当[x∈（1，+∞）]时，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上单调递减.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一极值点，且是极大值点.因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值点.∴[φ（x）]的最大值为[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，结合[y=φ（x）]的图象（如图）可知，①当[m>23]时，函数[g（x）]无零点；

②当[m=23]时，函数[g（x）]有且只有一个零点；

③当[0

④当[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点.综上所述，当[m>23]时，函数[g（x）]无零点；

当[m=23]或[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点；

当[0a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立[?f（b）-b0）]，∴[h（x）]在（0，+∞）上单调递减.由[h′（x）=1x-mx2-1≤0]在（0，+∞）上恒成立得，[m≥-x2+x=-（x-12）2+14（x>0）]恒成立.∴[m≥14（对m=14，h（x）=0仅在x=12时成立）.]

∴[m]的取值范围是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）讨论函数[f（x）]的单调性；

（2）[设a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范围.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.]

[①当a≥0时，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增.②当-10时，f（x）在（0，-a+12a）上单调递增；当f（x）<0时，f（x）在（-a+12a，+∞）上单调递减.③当a≤-1时，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上单调递减.]

（2）不妨设[x1≤x2，]由（1）可知，当[a<-1]时，[f（x）]在[（0，+∞）上单调递减.]

[则有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2]

[?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）]

[?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.]

[构造函数g（x）=f（x）+4x，则g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.]

[设φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），]

[则φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.]

[故φ（x）在（0，12）上单调递减；][在（12，+∞）上单调递增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.]

浅析导数在高中物理学习中的应用 篇7

一、利用导数求瞬时变化率

回顾教材:一般的, 函数y=f (x) 在x=x0处的瞬时变化率为函数y=f (x) 在x=x0处的导数。由此, 物体的位移关于时间的导数就是物体的瞬时速度, 磁通量关于时间的导数即为感应电动势等等。实际上导数可以描述任何事物的瞬时变化率。

例1.一物体沿y轴运动, t时刻的坐标为y=5t-t3 (y以米为单位, t以秒为单位) 。求: (1) 1秒末的速度; (2) 1秒末的加速度。

解析: (1) 位移关于时间的导数就是物体的瞬时速度v=y′=5-3t2, 解之得:v=2m/s。

(2) 速度关于时间的导数就是物体的瞬时加速度a=v′=5-6t, 解之得a=-1m/s2。

此题学生运用运动规律无法作答, 但如果具备一定的微积分基础, 则此类题的求解将会变得非常轻松, 这充分体现了数学学科的工具性和实用性。

例2. (江苏高考) 如图所示, 两根平行金属导轨固定在水平桌面上, 每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m, 导轨的端点P, Q用电阻可忽略的导线相连, 两导轨间的距离l=0.20 m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面, 已知磁感强度B与时间t的关系为B=kt, 比例系数k=0.020 T/s, 一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦的滑动, 在滑动过程中保持与导轨垂直, 在t=0时, 金属杆紧靠在P, Q端, 在外力作用下, 金属杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动, 求在t=6.0 s时金属杆所受的安培力。

解析:设金属杆运动的加速度为a, 则t时穿过回路的磁通量为Φ=BS, 其中

根据法拉第电磁感应定律得:

回路的总电阻R=2xr0, 回路中的感应电流, 作用于杆的安培力F=Bli, 解得, 代入数据F=1.44×10-3N。

该题同时涉及动生电动势和感生电动势, 难度较大, 但用导数计算回路中的感应电动势思路清晰、方法简洁, 避免了学生错误地只应用公式E=Blv或进行计算。

二、利用导数求物理极值

回顾教材:一般的, 求函数y=f (x) 极值的方法是:解方程f′ (x) =0, 当f′ (x0) =0时:

(1) 如果在x0附近的左侧f′ (x) >0, 右侧f′ (x) <0则f (x0) 是极大值。

(2) 如果在x0附近的左侧f′ (x) <0, 右侧f′ (x) >0则f (x0) 是极小值。

如果在某一区间内只有一个极值则该极值即为最值。

例3.一轻绳一端固定在O点上, 另一端拴一小球, 拉起小球使轻绳水平, 然后无初速释放, 如下图所示, 小球在运动至最低位置的过程中所受重力的瞬时功率在何处最大?

解:当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C点时, 重力的功率为:p=mgvsinθ………… (1)

小球从水平位置到图中C位置时, 由机械能守恒:

解 (1) (2) 可得:

当时, (左正右负) 所以当时重力的瞬时功率最大。

求物理极值有函数法、几何法、不等式法等多种方法, 应用导数知识求物理极值并不常用, 但作为对理解能力、演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科, 如果能与数学知识灵活结合, 将会拓展解题思路, 提高运用数学知识解决物理问题的能力。

导数在高中数学教学中的应用 篇8

在高中数学的学习过程中，导数与函数是两个非常重要同事也是不可或缺的部分，并且在高考数学试题中也占有比较大的比重。其中导数是高考数学学习中的重要基础之一，但是对于大多数同学来说，这同时也是在数学学习中的一个重点和难点。导数的学习包含了高中数学学习中的很多重要的思想，比如转化思想、划归思想、数形结合思想以及分类讨论思想等，是建立在一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、正比例函数以及幂函数等中，通过对这些函数的单调性、极值以及最值的理解和掌握，可以更快更好的解决数学问题。从这几年高考来看，导数在数学中的地位越来越重要。

导函数的简称就即为导数，他的定义是在瞬时速度上发展而来的，其具体的含义就是，如果函数f（x）在开区间（a，b）内可导，对于开区间（a，b）内的每一个x0，都对应着一个导数f（x0），这样f（x）在开区间（a，b）内构成一個新的函数，这一新的函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数。函数f（x）在点x0出导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点p（x0，f（0））出的切线的斜率，即曲线y=f（x）在点p（x0，f（0））出的切线的斜率就是f（x0），相应地切线的方程式y-y0= f（x0）（x-x0）。总的来说，导数的物理意义是瞬时速率和变化率，几何意义是切线的斜率f（x0），代数意义就是函数的增减速率。

一、函数单调性中导数的应用

导数单调性是指在某个固定区间内，函数随自变量的变化而变化，如在增函数区间中，因变量随自变量的增大而增大；在减函数区间中，因变量随自变量的增大而减小。通常在做题中，通常根据定义对函数单调性进行判断，若在较为复杂的函数中使用该方法进行判断，易发生判断错误，因此通过导数的应用，可以较为准确且容易地判断函数单调性。

二、不等式中导数的应用

通过分析近几年的高考题我们可以发现导数常结合不等式出现在高中数学题中，借助导数解答不等式，可简化我们的解题方法，且不等式用导数求解的过程中可以加强并帮助我们更加快速准确的解答类似的题目，是我们的学习更加系统化、整体化。不等式运用导数求解时，其解题思路是将不等式与函数进行互相转换，从而变为判断函数大小的问题，再进行建立辅助函数以判断函数单调性，进而间接地判断不等式是否正确。

三、函数最值中导数的应用

关于函数最大值的问题应该是高中数学问题中最常见的问题之一，也是我们学习的重点，其解答方法有很多，且对于求解部分题目时常采取导数解答。二次函数求最值为典型的运用导数求解题，他指的是在固定区间内求得最大或者最小值的问题，且在有参数的条件下，若按常规的解题思路，通常是运用数形结合的方法，但是在求解过程中需参照图形和数据，但很多同学在用此方法是容易出错，通过求解导数，判断导数在区间内的单调性，再把区间和求得的最值对应即可。在求复合函数的最值问题时，可通过确定定义域范围，即可求得最值。

四、利用导数解决切线问题

在几何题目的解答中，合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单，通过这种方式可以提高数学题目解答的效率。在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解题目，一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点，让我们来求解这个点的曲线的切线方程，这些题目的解答都是通过导数来实现的。比如一直曲线C为y= f（x），求通过点P（x0，y0）的曲线的切线方程。在这道题目的解答中就应用了导数的相关概念和方法。在解题中，首先，我们要对点P是否在相应的曲线C上作出判断，再次之后再求出相应的导数f（x），最后再进行计算求解。在这个过程中需要特别注意的是需要进行分情况讨论，当点P在C上的时候，需要求取相应的切线方程，就可以得到答案了；然而如果点P不在C上的时候，就需要求相邻切点，这样我们就得到了一条直线所经过的两个点的坐标，那么就可以得出相应的经过点P的曲线C的相应的切线方程了。

在高中数学的学习中也常常遇到考察特殊曲线切线求解的问题，如三角形曲线切线等问题，若使用传统方法求解切线，其画图过程复杂，且极其容易出错，导数实质上是一种函数，同时也是曲线上任意某点的斜率，若将导数用于切线的求解过程中，可以开拓我们的解题思路，简化解题方法，且可以准备快速的求得答案，并且此类问题在高考考试中所占的比重较大，我们应特别关注。

五、结语

导数在高中数学教学中的应用 篇9

【知识框架】

【考点分类】

考点一、直接作差构造函数证明；

两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；

【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．

【练1-2】已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；

【练1-5】.已知函数；

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。

【练1-6】已知函数；

（1）求的极小值；

（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；

答案：

考点二、从条件特征入手构造函数证明

【例2-1】若函数

在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。

【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）

A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。

【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。

【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D

A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C

A.B.C.D.【练2-5】

设是上的可导函数，且，求的值。

【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（）

A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。

（二）关系式为“减”型

（1），构造；

（2），构造；

（3），构造；

（注意对的符号进行讨论）

考点三、变形构造函数

【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【例3-2】已知函数；

（1）求函数的单调区间与极值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

【练3-1】设为曲线在点处的切线。

（1）求的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方；

【练3-2】已知函数；

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

【练3-3】已知函数，其中；

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值；

【练3-4】，（1）讨论的单调情况；

（2）设，对．求证：．

【练3-5】已知函数；

（1）求的单调区间；

（2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证：

考点四、消参构造函数

【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同；

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）已知，求切点的坐标。

【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且

（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；

分层教学在高中数学教学中的应用 篇10

[摘 要]新课程教学改革对高中数学分层教学法的应用提出了更为严格的要求，针对学生的知识、能力、思维状况进行具体分层，成为高中数学课堂分层教学法有效应用的关键所在.基于此，针对目标分层与能力分层两个方面进行相应的研究，以提升高中生的知识能力与思维发展水平.[关键词]分层教学 高中数学 教学应用 探索研究

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2015）260012

分层教学法作为高中数学课堂教学的基本方法，对教师而言并不陌生，但具体的应用领域及应用范围的明确性则需要进行全面的补充.这是对高中课堂教学有效构建的关键，也是对学生知识体系构建以及数学思维全面培养的重要环节.本文主要结合这一方面进行全面探究，强调目标分层与知识能力分层的主要开展方向.一、以目标分层为基础，全面提升高中数学教学效率

1.结合短期的教学分层目标，强化学生基础知识.短期教学分层目标的确立，关键在于对学生知识点的掌握进行全面增强，不断提升学生对各知识点的吸收能力.针对近期目标的掌握状况，对学生进行基本的分层教学，有针对性地引导，推动学生对高中数学基本知识点的认知心理得到更为有效的转变.而在这样的目标分层教学中，教师的引导作用则能够得到充分的体现，学生学习基础知识的主动性也会得到进一步的提升，促使学生全面掌握基础知识.突出教学目标分层是满足学生对高中数学知识的基本需求.2.制订长期的分层教学目标，让学生构建数学知识体系.从高中数学知识的基本构成特点中可以看出，知识点之间存在的内在联系较为紧密，知识点间的衔接作用对学生全面掌握与运用知识能够产生至关重要的作用.而长期教学分层目标的制订，能不断提升学生对高中数学知识点的概括与总结能力，使学生的知识体系构建具有较强的合理性.作为高中教学教师，应针对教学目标开展相应的分层教学.如以学生对高中数学知识点的概括与总结能力的形成为主要依据，再根据学生知识体系构建的特点进行相应的层次分析，促使学生在高中数学学习中能够保持较强的特征性，使教师对学生的能力、意识的引导作用得到进一步的体现，让教学目标的达成可以成为高中数学分层教学法应用过程的重要组成部分.二、以能力分层为途径，全面提升学生的知识应用能力

1.通过分层教学，培养学生的知识应用能力.高中数学知识点的教学关键在于对学生的数学思维能力进行全面培养，让学生对相关知识的应用能力不断得到提升.针对高中数学知识点的基本特征，对知识点的思维方式进行全面的引导与转变.高中数学思维的形成主要包括逆向思维、逻辑思维等几个重要组成部分.逻辑思维是针对知识点之间的内在联系，是对学生知识应用能力培养的重要应用性思维，也是高中数学课堂教学能力培养的关键.而逆向思维则是针对学生对知识点的反向推理能力进行全面的提升与培养，促使学生能够结合某一知识点对其他相关知识问题进行推理，达到高中数学知识应用能力全面培养的最终目标.针对学生能力思维状况进行系统的分层教学，学生间的思维方式以及思维能力能够形成明显的界限.教师根据学生的思维能力状况有针对性地协调与引导，全面提升学生的思维能力.这也是分层教学法在高中数学教学中有效应用的基本途径.2.通过分层教学，提升学生知识应用水平.学生的探究能力决定学生思维方式的形成，学生的探究能力越强，数学思维能力主动形成的意识也就越强，因此，可对学生知识点的概括与总结能力的发展产生积极作用.高中数学分层教学将学生的探究能力状况进行有效的分层，从中对学生的探究思维以及探究意识进行全面激发，由此来激发学生的探究能力.这是高中数学教学对学生自主知识应用水平不断提升的基本方法，提升高中数学课堂教学氛围的同时，满足学生不同层面的发展需要，同时作为教师课堂分层教学应用的重要实施步骤之一，能够达到以学生发展为主体的教学目标.这一做法可以充分展现出学生能力的分层过程对学生数学知识应用能力的培养，也是学生数学思维以及探究性思维全面培养的根本手段与途径.高中数学知识点构成的基本特征主要表现在相互联系较为紧密.因此学生知识体系的构成水平存在一定的不同.针对学生具体的学习状况进行相应的目标分层，能够实现学生基础知识掌握能力的全面发展.而将学生的能力与思维状况进行具体分层，可实现对学生数学思维能力全面培养的基本目标.在这种情况下，高中数学课堂分层教学法的应用途径能更清晰，并且应用效果能够得到充分改善.[ 参 考 文 献 ]

例析导数在中学数学教学中的应用 篇11

[关键词]导数 中学数学 应用

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0047

导数被引进高中数学教材后，为传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，让学生重新认识中学数学，特别是为文科生解决数学难题提供了新视角和新方法.下面本文举例分析一下导数在中学数学教学中的应用.

一、求函数的最值问题

【例1】求函数y=|3x-x?|在[-2，2]上的最大值.

解：∵y=|3x-x?|为偶函数，所以只需求出其在[0，2]的最大值即可.

令f'（x）=0，得x=1.而f厂（0）=-0，f厂（2）=2，f（/3）=o，f（1）=2.

故f（x）=|3x-x?|在[0，2]上的最大值是2，即函数y=|3x-x?在[-2.2]上的最大值是2.

评析：利用导数求函数的最值，可使试题的难度有所下降，但灵活性有所提高，能充分发挥学生的创新能力.

二、证明不等式问题

综上所述，对于有不等式

评析：利用导数证明不等式，首先应构造相应的函数，再通过求导来解决问题.导数为解决这类题目提供了新视角，同时也是高考的新亮点.

三、求圆锥曲线的切线方程问题

【例3】求椭网上一点处的切线方程.

评析：本题以圆锥曲线为背景，求椭圆的切线方程.可先建立相应的函数关系，再求导，确定切线斜率，从而达到解决问题的目的.

四、数列求和问题

评析：本题以数列为背景，运用导数来解决，体现了问题解法的灵活性与多样性，为培养学生的解题能力创造了一个合适的空间，也显示了导数进入中学教材后强大的生命力.

高中数学导数计算的应用分析 篇12

高中数学中导数能够使很多棘手的问题明朗化, 是解决函数的单调性、求极值、求切线方程等许多问题的重要手段. 而且利用导数求单调性、求极值等已经成为高考中必定会考的题型. 然而, 导数在做题以及应用过程中经常会出现一些易错现象, 所以也有很多需要注意的地方.

二、导数的应用

1. 应用导数求函数单调性

对于刚刚学习导数的学生来说学习导数是有一定难度的, 所以首先要弄清导数的定义及其性质, 然后让学生慢慢地将其运用到实际解题中去, 这样能让学生对导数有更加透彻的理解.

函数单调性问题的解题步骤:

( 1) 求函数的导函数, 即F' ( x) .

( 2) 求单调区间, 使F' ( x) >0的区间则为增区间, 使F' ( x) < 0的区间为减区间.

例求函数的单调增区间.

分析这道题目经过观察后会发现, 若是直接运用函数图像去观察函数的单调区间是非常困难的, 但是由于其是可导的, 所以如果运用导数的性质很容易就能求解.

2. 利用导数求函数的极值

在高中数学中经常会出现, 求函数在某个区间的取值范围, 或者求最大值与最小值等类似的问题. 通过对导数的性质可以知道, 对于函数的导数在区间内如果两侧的符号不同, 那么这个函数在这个区间上就存在着极值. 这类问题都有通用的解决方法与步骤.

函数求极值时解题步骤如下:

第一步: 确定函数的定义域;

第二步: 求导数;

第三步: 在定义域内求出所有的驻点, 即求方程的所有实根;

第四步: 检查在驻点左边和右边的符号, 若是左正右负, 则F ( x) 在这个根处取得极大值; 若是左负右正, 则F ( x) 在这个根处取得极小值.

例用长度为18 cm的钢条围成一个长方体状的框架, 要求长方体的长、宽之比为2∶1, 问该长方体的实际长、宽、高分别为多少时, 其体积应该为最大值? 其最大体积又是多少?

解设长方体的实际宽度为x, 实际长度为2x, 则实际高度h =4.5 -3x. 因为长方体的高大于0, 所以得到变量x的取值范围为0

长方体的体积V ( x) =2x2 ( 4.5 -3x) =9x2- 6x3.

由V' ( x) =18x -18x2= 0, 解得x1= 0, x2= 1, 显然在x =1处取得最大值, 此时Vmax= 3 cm3.

分析这道题是函数最值问题的简单应用, 通过对本题的分析, 笔者想告诉读者的是利用导数知识, 可以使目前很多数学题简单化.

3. 应用导数求切线

求函数的切线方程, 或者是通过切线方程求得导函数, 继而利用导函数的性质, 求函数单调区间或者极值是常见的形式.

切线问题的解题步骤如下:

第一步: 设f' ( x) 为函数f ( x) 的导函数, 然后对原函数进行求导;

第二步: 将切点横坐标代入导函数f' ( x) , 求得斜率k;

第三步: 利用点斜式可以求得直线方程.

例求函数f ( x) = x3+ 2x + 1在点P ( 0, 1) 处的切线方程.

解 f' ( x) =3x2+ 2, f' ( 0) = 2.

设切线方程式: y =2x +b, 又因这个切线过点 ( 0, 1) , 所以切线方程式为y =2x +1.

分析类似上述的题, 经过变换后难度也许会加大, 但其解题的过程与步骤基本不变.

4. 应用导数解决不等式恒成立问题

函数与不等式的结合是比较常见的问题, 这种题型起初解决起来会比较困难, 但运用导数解题就相对简单很多.

三、总 结

导数因其能让很多枯燥的数学有了乐趣, 也让原本复杂的数学变得容易, 是数学中不可多得的数学学习方法. 所以, 导数在高中数学中起着至关重要的作用, 在高考中的地位也是不可撼动的. 时代在不断进步, 高中阶段的导数也在不断的发生改变. 作为教育工作者, 应该在教学实践过程中不断思考、总结、积累经验, 与时俱进, 让学生更轻松地学习数学, 爱上数学.

摘要：导数是学习高中数学的必备基础, 可以说是初等数学与高等数学的桥梁, 也是高考热门题型.我根据自己在对导数进行教学当中的经验, 结合实际对其进行归纳和分析, 希望在导数教学中起到一定的作用.

几何画板在高中数学教学中的应用 篇13

《几何画板》是观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台

《校本课程开发与实施有效性研究》课题组

雷作明

校本课程自编教材

《几何画板》

—观察和探索几何图形的内在关系，深入几何的精髓的实验平台

《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。

《几何画板》最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。举个简单的例子。我们可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发行变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样学生就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。

请注意：上述操作基本上与老师在黑板上画图相同。但当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而《几何画板》就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把《几何画板》看成是一块“动态的黑板”。《几何画板》的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机的优势。另一方面，利用它的动态性和形象性，还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。

《几何画板》的操作非常简单，一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在《几何画板》中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容。例如几何问题、部分物理、天文问题等。

用《几何画板》开发软件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5-10分钟。正因为如此，老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。

由此可见，《几何画板》是一个“个性化”的面向学科的工具平台。这样的平台能帮助所有老师在教学中使用现代教育技术，也能帮助学生更好地把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并发展思维能力。可以认为，《几何画板》这样的平台代表着教育类工具软件的一个发展方向。目录

第一篇 《几何画板》基本操作

一、画板工具

二、编辑

三、按钮设置

四、显示/隐藏

五、构造

六、变换

七、度量

八、绘图

第二篇 边学边作

示范1.动画制作（线性规划，动点轨迹）示范2.制作太阳、地球、月亮相对运动 示范3.指数函数、对数函数、幂函数图象比较 示范4.二分法求方程的零点（计算器与几何画板比较）示范5.分段函数图象制作(符号函数利用)示范6.某区间（可动）上二次函数的值域

第三篇 深化学习

一、深度迭代

二、圆锥曲线制作

三、旋转生成圆台、圆柱、圆锥 四、一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹

五、投掷硬币模拟试验 第一篇

《几何画板》基本操作

要想用几何画板来开发一些简单但又实用的课件，就得先认识几何画板的工具及命令。

一、画板工具与菜单 1.工具与菜单：

2.点击【文件】：

其中下设：

【新建文件】新建一个几何画板文件(.gsp)【画板课堂链接】

3【打开】打开一个或多个(.gsp或.gss)文件

若勾选“包括工作过程”，则可保留上次工作过程，并对前面工作步骤进行“撤消”或“重复”(在编辑菜单中有此项目)，对画板进行加工，对于初学者可从别人的工作过程中获益。【保存】保存当前文件(.gsp或.gss)【另存为】换名保存或存为图象文件(.wmf)

在此标签中的“文件名：”后输入所存的文件名。若要将画板当前状态存为图像文件，则只须将“保存为元文件[.wmf]”前勾选，按下确认后再次确认，即存有一幅图元文件，可在word等字处理软件中调用。下面就是调用的：波的干涉的画板图元文件：(由于是矢量图形，所以任意缩放均不会出现变花现象)

【关闭】关闭当前文件(.gsp或.gss)【文档选项】

【打印预览】预览当前文件(.gsp或.gss)的打印效果，也可在此处对打印的情况进行调整。在标签中，显示了要打印图形(左方)及有关属性右上、进一步对打印机的设置(如纸张大小、打印质量等)“尺寸”可选“实际尺寸”(按实际尺寸打印)、充满整页(使图象按纸张大小充满整页打印)、“其它”(按给定比例打印)等，可根据需要，打印出合适的图形来。【打印】按前面的设置打印图形。

【退出】全部退出几何画板。

二、【编辑】

点选编辑栏,弹出如下菜单:

1．撤销与重做操作：

(1)U撤消[Ctrl+R] 复原前一次操作(也就是撤消前一次操作)。(2)[R重做[ Ctrl+R] 重复前一次操作（将已撤消的操作重复出来）2．.编辑操作：

(1)[X剪切 Ctrl+X]将选中对象剪切到剪贴板(2)[C复制 Ctrl+C]将选中对象复制到剪贴板

(3)[P粘贴图片 Ctrl+V]将剪贴板上的内容粘贴到当前文件上(4)[E清除 Ctrl+Del]清除全部选中对象等。

三、按钮设置

1.M运动：命令点由这一位置运动到另一位置。

操作：①依次选定起点、终点；②启动下拉菜单中[编辑]→[操作类按钮]→[动画]命令；③运动方式设置：如下图，有急速、快速、中速及慢速等四档。

于是在画板中出现按钮2.，当双击该按钮时，动点就会按要求移动。

A动画：动点按照给定的路径(线段、直线、射线、圆等)运动。

操作：①选定一个动点、一条轨迹；②执行[编辑]→[按钮]→[动画]命令，弹出上图所示对话框，进行动画设置；③一切设定完毕，按下“动画”按钮，在画板中出现按钮，双击此按钮，动点就按给定的轨迹运动起来。3.H隐藏/显示：对选定对象设置“隐藏/显示”按钮。

操作：①选择需要隐藏的对象；②执行[编辑]→[按钮]→[隐藏/显示]命令，画板上出现按钮，双击△隐藏按钮，被选择对象隐藏起来，双击▲显示按钮，显示被隐藏对象。4.Q序列：按选定动作序列设置新的动作按钮。

操作：①依次选择几个需要顺序完成的动作；②执行[编辑]→[按钮]→[序列]命令，在画板中出现按钮，双击此按钮，画板就依次执行设定的动作。5.执行按钮：执行选择按钮的动作。6.选择按钮(1)[A选择全部 Ctrl+/]选择活动窗口中的全部内容。(2)[N选择父母 Ctrl+U]选择父母对象。(3)[H选择子女 Ctrl+D]选择子女对象。7．[O插入] 【链接】

【O插入】可插入各种对象：声音、动画、图形、图像、文字、„。设置标签如图：

从插入目标类型看，理论上可在几何画板中插入Windows资源管理器中存在的各种媒体文件，究竟有哪些媒体能在你的计算机中插入，希望通过实践来摸索(声音是可以的)。

四、显示/隐藏

1．[L线类型]定义所选择的线的类型：粗线、细线、虚线等。

2．[C颜色]定义线或面的颜色。面的颜色只有7种(前一列中的7种);面的颜色共有28种。

3．[Y字号/字形?]、[F字体?]

对选定的文字进行字号、字形与字体的定义。

4．[H隐藏(对象)Ctrl+H]、[S显示所有隐藏]

对选定的对象(点、线、文本、图像等)进行隐藏；将所有隐藏对象全显示出来。

5．[B显示符号 Ctrl+k]、[R更改符号(对象)]

显示所选对象的符号；对所选对象的符号进行更改。6．[T轨迹跟踪(对象)Ctrl+T]、[A动画„]

跟踪对象(点、线、内圆、内多边形等)移动的轨迹；定义动画(与前面编辑中动画定义相比，这里只有一次，且无按钮)。7．

设置显示参数。其设置标签如图所示。

五、构造

构造菜单由五部分够成：构造点、构造线、构造圆或圆弧、内部、轨迹等。

1．构造点：(1)[O目标上的点](2)[I交点 Ctrl+I]构造两相交线(直线或弧线)的交点。

操作：①依次选择两条相交的直线或弧线；②执行该命令或按下[Ctrl+I]键。(3)[M中点 Ctrl+M]构造某一线段的中点。

操作：①选定一条或多条线段；②执行该命令或按下[Ctrl+M]键。2．构造线：

(1)[S线段 Ctrl+L]根据选定的点依次构造线段(直线、射线)，具体由“工具”给定。操作：①选定两点或依次选定几点；执行该命令或按下[Ctrl+L]键。

(2)[D垂直线]过直线(或线段)外(或直线上)一点构造该直线(或线段)的垂直线。操作：①选择一个(或多个)点和一条(或多条)直线；②执行该命令。(3)[P平行线]过直线外一点构造该直线的平行线。

操作：①选择一个点(或多个点)和一条(或多条直线)；②执行该命令。(4)[B角平分线]构造一个角的平分线。

操作：①依次选定三点A、B、C代表∠ABC；②执行该命令，便作出∠ABC的平分线。3．构造弧线：

(1)[T以圆心和一点划圆]以选定的第一点为圆心，过选定的第二点画一圆。(2)[R以圆心和半径划圆]以选定的点为圆心、选定的线段为半径画圆。

(3)[E圆上的弧]根据选定的三点，构造圆上的弧(有一点为圆心，另有一点不一定在圆弧上)(4)[A构造过三点的圆弧(三点均在圆弧上)4．构造轨迹：根据条件，构造点的轨迹(以后在讲)。

5．构造内部：→(三种方式)

根据选定的对象构造内圆(选择对象是圆时)、内多边形(按依次选定的点)、扇形内(按选定的圆弧)、弧弦内6．构造轨迹：按约束条件构造轨迹。

六、变换

(按选定的圆弧)

1．变换方式：(1)执行[变换]→[平移„]后出现定义标签：

可选择“根据标识的距离”平移、根据“直角坐标向量”平移、根据“极坐标向量”平移、根据“标识的向量”平移等多种定义，不同的定义方式，移动的用处不同。(2)执行[变换]→[R旋转„]后，出现如下对话框：

这里，可给定要旋转的角度或选择“根据标识的角度”事先设定进行旋转。(3)执行[变换]→[D缩放„]，出现下图对话框：

这里，你可自己给定缩放的比例，或选择“根据标识的比例”(事先设定)进行缩放。(4)执行[变换]→[F反射]命令，将选择对象按标识的镜面进行反射。

2．标识：(1)

在进行旋转、缩放等操作时，需标识中心。选择一个点，执行[变换]→[C标识中心* Ctrl+F]或用鼠标双击该点，即标识此点为中心，即可进行旋转、缩放等变换。(2)

在进行反射时，需标识镜面。选择一条直线或线段，执行[变换]→[M标识镜面 Ctrl+G]或用鼠标双击该直线或线段，即标识此直线或线段为镜面，此后可进行反射变换。(3)标识从起点到终点的向量。顺次选择两个点，执行[变换]→[V标识向量]，即标识一个从起点到终点的向量，在进行平移变换时，可选择“按标识的向量”进行，则平移的距离大小、方向均与该向量一致。

12(4)标识一个距离。选定一个已测算的长度，执行[变换]→[I标识距离]，即按已测算的长度标识一个距离，在进行平移时，可选择按“标识的距离”平移，其平移的方式就是在X轴或Y轴上按次距离平移一段。(5)标识一个角度。依次选定三个点(如A、B、C)，执行[变换]→[A标识角度]，则标识一个角度∠ABC，在进行旋转变换时，可选择“按标识的角度进行旋转。(6)标识一个比例。依次选定两条线段(如k、j)，执行[变换]→[O标识比例”k/j”]，则标识一个以线段k和线段j的长度之比的比例，在执行缩放变换时，可选择“按标识的比例”进行缩放。

七、度量 测算：

1．：测算两点间、一点和另一条线之间的距离。先选定两点或一个点和另一条线段(直线)，执行[测算]→[D距离]，画板中显示被测算的距离。2．测算线段的长度、线段所在直线或选定的直线的斜率。选定一条线段，执行[测算]→[L长度]，即测出所选线段的长度并显示于画板中；执行[测算]→[S斜率]，即测出所选线段或直线的斜率。

3．测算一个圆的半径、圆周、和面积。选定一个圆，执行[测算]→[R半径]([F圆周]、[A面积])，即测出所选定的圆的半径(圆周、面积)。

4．测算内多边形的面积、周长。选定一个内多边形，执行[测算]→[A面积]([P周长])，即测出内多边形的面积(周长)。5．测定所选角的角度。依次选定三点(A、B、C)，执行命令[测算]→[N角度]，所测角度(∠ABC)便显示于画板中。

6．测定所选弧的弧度或弧长。选定一段圆弧，执行命令[测算]→[G弧度]([H弧长])，所测弧度或弧长显示于画板中。7．中。依次选定两条线段(l1、l2)，执行命令[测算]→[O比例]，则比例l1/l2算出并显示于画板8．画板中。9．程式。10．测算点的坐标。选定一个或多个点，执行命令[测算]→[I坐标]，则测算出各点的坐标并显示于测算圆、直线的方程。选定一个圆或直线，执行[测算]→[Q方程式]，则测算出该圆或直线的方

执行命令[测算]→[C计算„ Ctrl+=]，出现如下对话框：

分离坐标：将一个点的坐标分离为单独的横坐标和纵坐标。根据需要编写一个简单的计算公式或由系统内部提供的函数进行数值计算。

11．将测算出来的一组数固定成表格。

例如：设计一反映折射定律的小课件：

拖动“入射光线”上端的点，可改变入射角，折射角发生相应改变，这时，我们将入射角、折射角、入射角与折射角的比值，入射角的正弦值、折射角的正弦值、入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值固定成表格，通过对比就可得相应的结论。

八、绘图

1．2．3．4．5．

显示或隐藏坐标轴。显示或隐藏格栅。

点的移动只能按照格栅进行而不能连续移动。

选择是按直角坐标还是极坐标方式显示格栅。

按给定坐标画点，可设定所画点的属性是定点还是自由点。设置如下。

6．设定坐标的形式：

直角坐标还是极坐标。

7．给定直线或圆的方程式的形式。第二篇

边学边作

线性规划：

动点轨迹：

太阳、地球、月亮相对运动： 指数函数、对数函数、幂函数图象比较：

二分法求方程的零点：

分段函数图象制作： 某区间（可动）上二次函数的值域： 第三篇

深化学习

【深度迭代】

【操作步骤】先选中圆上起始点，再选中参数n-1,按住shift不放，【变换】出现【深度迭代】(否则只出现【迭代】)，对话框中出现“？”，点圆上第二个点，点击对话框中【迭代】（可连接第一与第二两个点得线段, 选中圆上起始点，再 选中参数n-1,按住shift不放进行迭代得正多边形）。点击参数n，【操作类按钮】，【动画】，范围改成3到18（太大不明显），连续改为【离散】，动画参数n，迭代成功。选择起始点，【操作类按钮】，【动画】，可使圆旋转起来。（注：n-1可变为n+1）

【圆锥曲线制作】

制作定长线段绕轴旋转中点的轨迹是圆：

按椭圆定义制作椭圆：

画双曲线：

画抛物线：

【旋转生成圆台、圆柱、圆锥】 【一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹】

类比思想在高中数学中的应用 篇14

类比思想在高中数学中的应用

在数学教学中,类比作为一种信息转移的桥梁,不仅是一种良好的`学习方法,而且是一种理智的解题策略,针对类比思想在高中数学中的应用进行了阐述.

作 者：冯利琼 作者单位：陕西省宝鸡市姜谭联立高中,陕西,宝鸡,721008刊 名：黑龙江科技信息英文刊名：HEILONGJIANG SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2009“”(7)分类号：G63关键词：类比 高中数学 应用

导数在经济中的应用初析 篇15

一、导数在边际分析中的应用

边际分析研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率, 它所分析的是一个经济变量改变一个单位时另一个经济变量改变多少.在经济分析中, 描述一个经济变量y对于另一个经济变量x的变化通常要用到平均变化率和瞬时变化率这两个概念, 平均变化率就是函数增量与自变量增量之比, 而瞬时变化率就是函数对自变量的导数, 即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限.如果函数y=f (x) 在x0处可导, 则在 (x0, x0+Δx) 内的平均变化率为;在x=x0处的瞬时变化率为, 此式表示y关于x在“边际上”x0处的变化率.经济学中称达到x=x0前或后一个单位时y的变化为边际变化.实际上, “边际”就是导数在经济分析中的代名词.即经济函数y=f (x) 对自变量x的一阶导数f' (x) 称为f (x) 的边际函数, 记作My.边际函数My=f' (x) 的经济意义:在自变量x水平上, 当自变量改变一个单位时经济函数y=f (x) 改变量的近似值.当然, 随着经济变量x和y的具体含义的不同, 边际函数经济意义的具体含义也有所不同.比如:设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为C=C (q) , 则称MC=C' (q) 为边际成本.边际成本的经济含义是:当产量为q时, 再生产一个单位产品所增加的总成本为C' (q) .

在经济分析中涉及的不仅有边际成本, 还有边际收益、边际利润、边际需求, 等等, 它们在数学上都可以表达为各自总函数的导数.

例如:某企业对利润及产品的产量情况进行大量统计分析后, 得出总利润L=L (x) (元) 与每月产量x (吨) 的关系为:L (x) =250x-5x2, 试确定每月生产10吨, 25吨, 30吨的边际利润, 并作出经济解释.

显然, 边际利润L' (x) =250-10x, 则L' (10) =150, L' (25) =0, L' (30) =-50, 上述结果表明:当每月产量为10吨时再增加一吨, 利润将增加150元;当每月产量为25吨时再增加一吨, 利润不变;当每月产量为30吨时再增加一吨, 利润将减少50元.这说明:对于一个企业来说, 并非生产的产品数量越多, 利润就越高.

因此, 在经济工作中, 边际分析尤为重要, 对边际问题的正确分析, 对于企业的决策者作出正确的决策起着十分重要的作用.

二、导数在弹性分析中的应用

边际分析所研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率.在经济活动中, 我们还需要研究经济函数的相对改变量与相对变化率———弹性分析.

在经济工作中, 弹性分析所研究的是经济函数的相对改变量与相对变化率, 它所分析的是一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几.它所反映的是一个经济变量对另一个相关经济变量变化的敏感程度.在经济分析中, 弹性分析的应用也非常广泛, 许多现实生活中的经济现象都要用弹性来解释和分析.通常有“弧弹性”和“点弹性”———弹性系数.

设函数y=f (x) 可导, 则称, 即因变量变动的百分比与自变量变动的百分比之比为“弧弹性”.而称为“点弹性”, 即“点x处的弹性”.“点x处的弹性”的经济意义:在点x处, 当自变量改变1%时, 函数f (x) 近似地改变.它反映的是:自变量变化时函数变化的灵敏度.

在经济分析中通常有:需求价格弹性、供给弹性、收益弹性, 等等.需求价格弹性, 简称需求弹性, 把握好需求价格弹性, 对市场分析预测和定价策略具有重要的参考价值.

若需求函数:Q=Q (p) , 则需求弹性:

(1) 若, 则该商品的需求为高弹性或富有弹性.此时, 商品需求量的变化幅度大于价格的变化幅度.此时, 适当降价, 商品的需求量将有较大幅度的增加, 从而总收入就会增加.

(2) 若, 则该商品的需求为单位弹性.此时, 商品需求量的变化幅度等于价格的变化幅度.此时, 无论降价还是涨价, 对总收入基本没有影响.

(3) 若EpEQ<1, 则该商品的需求为低弹性或缺乏弹性.此时, 商品需求量的变化幅度小于价格的变化幅度.此时, 降价将使总收入减少.反之, 适当涨价, 需求量虽然减少, 但减少的幅度小于涨价的幅度, 总收入将会增加.

根据需求弹性的经济意义, 当商品需求有较高弹性时, 商品的需求量对价格变动的反应较为敏感, 经营者如采用适当降价销售, 能促进消费者消费, 较大地增加销售量, 薄利多销, 可明显增加经济收益, 当商品需求低弹性时, 商品的需求量对价格变动的反应迟钝, 经营者若适当提高商品的价格, 销售量减少不大, 经营者不会因销售量减少而影响总的经济收益.

导数在函数中的应用 篇16

关键词：导数 切线 单调性 极值 最值

随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐提高，近年很多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值。下面笔者结合教学实践，就导数在函数中的应用作一个初步探究。

一、用导数求函数的切线

例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点(1,-3)作其切线，求切线方程。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3。故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x。

点评：函数y=f(x)在点x。处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点p(x。,f﹙xo﹚)处的切线的斜率。即曲线y=f(x)在点p(x。,f﹙xo﹚)处的切线的斜率是f′(x。)，相应的切线方程为：y-f(xo)=f′(xo)(x-xo)。

二、用导数判断函数的单调性

例2.求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0，解得x<0或x>2；由y′<0，解得0

故所求单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。

点评：利用导数判断函数的单调性的步骤是：①确定f(x)的定义域；②求导数f′(x。)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x。)>0和f′(x。)<0；④确定f(x)的单调区间。若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。