有余数的除法

有余数的除法（精选9篇）

有余数的除法 篇1

一、借助情境, 感知“剩余”

教材“主题图”呈现了校园里学生课外活动的情景, 提供了许多可以用除法计算的素材, 如插彩旗时按4面一组的方式插;跳绳时, 分成4人一组;打篮球的学生按5人一组进行分组;板报下面的花摆成3盆一组的形式。教学时, 要引导学生认真观察, 使学生初步感知这些具体情境中的平均分, 有的正好分完没有“剩余”, 有的分后还有“剩余”。引导学生学会用数学的眼光观察生活, 发现生活中的“余数”现象, 感受到有余数的除法就在我们的身边, 体会数学知识和现实生活的密切联系。

二、加强动手操作, 建立“余数”概念

心理学家皮亚杰认为:“知识源于活动。”理解有余数除法的意义, 应从学生已学过的“整除”出发, 再过渡到有余数的除法, 通过观察、比较和实际操作等活动帮助学生建立“余数”的概念。

1. 教学除法竖式计算。

教材例1是一幅学生布置会场摆花盆的情景图。教学时, 可先让学生说一说图意:在校园的一角摆放着一些盆花, 一个小朋友说先搬15盆花, 另一个小朋友问每组摆5盆, 可以摆几组?然后出示:“有15盆花, 每组摆5盆, 可以摆几组?”引导学生列式计算, 理解除法的意义。先用15个圆片代替15盆花摆一摆, 每5个圆片为一组, 看看可以摆几组, 再结合除法竖式计算过程, 介绍除法竖式各部分的名称。最后, 结合具体情景让学生说一说竖式中每一步所表示的实际意义。

2. 认识“余数”的意义。

教材例2继续安排了一幅学生布置会场摆花盆的情景图。教学时, 可先让学生说一说图意, 然后出示题目“一共有23盆花, 每组摆5盆, 最多可以摆几组?还多几盆?”引导学生尝试解答。先让学生用23个圆片代替23盆花摆:每5个圆片为一组, 可以摆几组, 还多几盆。边摆边观察, 边摆边猜测, 强化表象, 增强学生的感性认识。通过操作, 使学生看到:可以分为4组还剩下3盆, 不能正好分完。教师告诉学生剩下的3, 叫做余数。然后结合分的过程, 引导学生写出有余数除法的竖式并尝试计算;帮助学生弄清从被除数中减去分掉的数, 剩下的就是余数。介绍在横式中有余数除法得数的写法:要先写商4, 再在商的后面写6个小圆点, 6个小圆点后写上余数3, 同时指导学生正确读出算式的商和余数, 并引导学生区别商和余数的单位名称:商4表示4组, 单位名称是“组”;余数3表示3盆, 单位名称是“盆”。 (竖式如下)

最后还要引导学生比较例1、例2两个横式和竖式的写法, 说说它们有什么不同, 使学生弄清:从横式上比较, 例1的得数只要写出商, 而例2的得数既要写出商, 又要写出余数;从竖式上比较, 例1的余数为0 (没有余数) , 而例2出现余数, 余数为3。通过比较, 加深学生对“余数”和有余数除法的理解。

三、比较异同, 理解余数和除数的关系

“有比较才有鉴别。”教材例3进一步安排了解决布置会场摆花盆的实际问题, 旨在通过列式计算, 引导比较异同, 让学生发现余数和除数的关系。课件出示:“布置联欢会会场摆花盆, 一共有16盆花, 每组摆5盆, 可以摆几组?还多几盆?如果是17盆, 18盆, 19盆, 20盆……25盆呢?”这些问题先让学生独立思考, 自己列式算一算, 然后通过交流、汇报, 展示所有算式:

16÷5=3 (组) ……1 (盆)

17÷5=3 (组) ……2 (盆)

18÷5=3 (组) ……3 (盆)

19÷5=3 (组) ……4 (盆)

接着, 引导学生观察、比较和分析这些算式, 说一说发现了什么, 让学生自己发现余数和除数的关系。在学生充分发表自己意见的基础上, 引导归纳出余数与除数的关系:余数要比除数小。并完成课本上的填空:余数<除数。

在此基础上, 可以进一步启发学生思考;一个数除以5, 余数可能是几?如果除数是6、7、8, 它们的余数又可能是多少呢?引导学生迁移类推, 培养学生思维的灵活性, 促进学生深入思考, 深刻认识余数与除数的关系, 实现数学知识的有效建构。

四、运用所学知识, 解决实际问题

“重视培养学生的应用意识和解决问题的能力”, 是《数学课程标准 (实验稿) 》的重要理念。教材例4借助本单元“主题图”中的“跳绳活动”, 让学生在生动具体的情境中感受到运用有余数除法的知识可以解决生活中的实际问题。教学时, 要充分调动学生已有的知识和经验, 先观察、描述图中所提供的数学信息, 明确所求的问题, 然后出示:“有32个同学跳绳, 每6人一组, 可以分成几组, 还多几人?”让学生在小组内讨论、交流怎样解决所求的问题, 使学生明白要用除法解决这个问题。在学生说出算式后, 教师板书“32÷6”, 然后让学生独立算出结果, 并说说是怎样算的。学生无论是用竖式计算, 还是用口算, 教师都应给予肯定, 并鼓励学生用不同的方法计算, 进而让学生分别说出自己用口算或笔算计算的过程 (将两种算法板书) 。结合具体的题目, 直接口算:32÷6=5 (组) ……2 (人)

也可以用竖式计算:

使学生体会到在计算有余数的除法时, 可以根据计算的难易程度和自己的计算能力, 选择适合自己的计算方法。

五、组织巩固练习, 发展应用能力

1. 充分利用教材练习题, 形式多样地组织训练。

在练习题的编排上, 本单元教材练习十二、十三提供了一些图文并茂、生动有趣、联系生活的材料, 这些内容反映了数学与生活的密切联系。在组织练习时, 教师要有目的地启发学生思考, 调动学生的学习经验, 分析和抽象事物的本质属性, 运用不同的策略和方式进行探索和解答, 使学生充分地感受到数学的价值, 体验到解决问题的乐趣。如练习十三第5题, 给出“森林餐厅”情景图让学生观察、思考:35只小动物都有座位吗?这道题的难点在于每张桌子可坐4只小动物不是用文字表述出来的, 而是需要学生从图中观察得出, 因此教师要特别注意引导学生发现这一隐含的条件。在学生明确了题意, 再让学生独立列式解答, 教师巡视, 请不同解法的学生上台板演, 可能出现下面几种解法:

(1) 35÷4=8 (张) ……3 (只) , 8+1=9 (张)

(2) 4×9=36 (只) , 36>35

所以都有座位。不管用哪一种方法解答都应该让学生说一说自己的解题思路。

2. 设计拓展练习题。

除了用好教材上的练习题外, 根据班级的实际, 教师还可设计一些开放性的练习题, 以培养学生的创新思维, 提高学生解决问题的能力。如, 可设计这样一道题:现有20元钱, 可以买下面的哪些学习用品?

从有余数的除法教学谈起 篇2

关键词：数学；教学；创新因素

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-105-01

创新是一个民族的灵魂。如何在小学数学教学中贯彻创新经神，是一个值得探讨的问题。但是小学阶段的教学内容都是一些基础性，常识性的问题。我们的任务是要在简单平凡的日常教学中，发挥教学中的创新因素，培养小学生的创新因素我个人的体会是：平凡的数学问题要变换形式，使呆板的操作程序有“趣味性”，“思考型”，“应用性”，“开放性”，最后要求学生提问题。下面以“有余数除法”谈谈我的开发：

一、趣味性

一个人对一件事感兴趣，他就会努力把这件事做好。学习也是一样，如果对学习感兴趣，就会学得更快、更好。

“学习是生活中最有趣的和最伟大的游戏。所有的孩子生来就这样认为，并且将继续这样认为，直到我们使他们相信学习是非常艰难和讨厌的工作。一个刚出生的孩子会认为学习是有趣的。他们经常会摆弄着一些东西，他们很好动。孩子们认为这是很有趣的事情，他们在这个过程中逐步地认识这个世界，他们在学习着。但对于许多孩子来说，这种对学习的兴趣最长将持续到上学前。上学后，许多孩子都会逐渐地对学习、在学校的学习产生厌恶感，他们认为在学校学的知识很枯燥，没有意思。现在，我们应该转变自己的观念，重新寻找并发现学习中的乐趣，要学生树立起学习的兴趣。例如我在黑板上出示20个按红、黄、绿顺序排列的气球，对学生说：“我不看黑板，你告诉我第几只，我就能说出她是什么颜色。”经过实践游戏，学生们急于知道其中的奥妙，调动了学生的“好奇心”，而好奇心正是诱导学生创新的第一要素。

二、思考性

上述问题，如果把解决方法和答案都告诉学生，那就会削弱教学的创新因素。这时我们应当启发学生进行思考。在教学过程中，教师只有以学生为本，处处为学生着想，通过激发学生的学习兴趣，让学生热情高涨地自己动手、动脑、动口，学习知识，巩固知识，拓展知识，学生才能不断独立，不断自主地学习新知识。只有让学生积极参与，才能不断提高课堂效率。例如设问：“第14个气球是什么颜色？”学生会有多种回答：（1）“我可以在心里数一只红、一只黄、一只绿，这样一直数下去，第14只是黄色的。”（2）“红色是1、4、7、10、13、16、19，所以第14只是黄色”（3）“我只要3只3只数，多出一只是红色，多出二只是黄色，刚好是绿色”。这一过程便是学生创新精神的体现。教师以充分调动学生学习的积极性为前提，以教给学生学习方法为重点，以促进学生智能提高为核心，把学生作为课堂的主人，让学生有足够的时间操作、观察、思考、质疑、讨论、练习、评价等，就能使学生逐步形成具有较强的自主学习素质，从而更加主动地学习，主动地发展，提高学习效率。

三、应用性

数学知识与生活的联系十分紧密，只有让学生感到数学就在我们的生活中，才能引发他们更积极地投入到数学学习之中。因此数学教育需要教师巧妙抓住一日生活中与数学有关的问题情景，让学生在生活中感知和体验。在有余数的除法教学中，我们经常提问“有26个人，要去春游，每辆出租车可以坐4人，一共要租多少辆车。”这是有余数除法的应用题，题目训练的目的在于如何处理好余数。有的学生说6辆，有的说6辆半，有的说7辆。

把数学知识融入到日常生活中，要求教师善于创设、发现和利用生活化的数学场景利用熟悉的生活场景开设课程，使学生学习数学有种亲切感，这种从实际出发的应用题同样能够培养学生的创造性思考能力。

四、开放性

教学课堂必须从封闭走向观念的开放、知识信息的开放，教师应为传统教学模式注入生机活力。创造精神需要有发散性思维，所以设计的题目可以不止一个答案，这样就具有开放性。我们可以给出以下问题：若100=ab+2，问：a、b可以是哪些数？或者更加形象些，我们有100个物品，以及可以装a个物品的盒子。问：a是哪些数时，可以装完100件物品，且剩下2件物品？这一问题可转化成为98可以被哪些数整除。具有很大的开放性。学生可以分组讨论，大家凑起来回答，每组回答出一种答案得一分，得分多的小组胜出。

五、学生提问题

我们以前的教学方法给学生提问题的机会太少了。在教完有余数除法后，可以让学生分成小组“出题目”，一组出题目，另一组做。课堂气氛很活跃。实际教学中，学生会提出各种各样的问题，发挥他们的创新才能。这种学生提问活动，理应成为一个特定的教学环节。

以上所述，只以“有余数的除法”为例，其实每个课题都可以从这几个方面去设计教学。

有余数的除法教案 篇3

教 学 设 计

执讲人：陈丽霞

鄂尔多斯市乌审旗第二实验小学

《有余数的除法》教学设计

教材分析: 《有余数的除法》这部分学习内容是《表内除法》知识的延伸和扩展，两部分内容相互联系，具有互补性，前者是后者的基础，后者是前者的延伸。教材是知识的载体，我认为，在充分把握教材知识点的前提下灵活处理教材内容，设计适合学生发展的教学过程，是新课标所倡导的重要理念之一。而我在这儿创造性的使用了教材，整节课用摆小棒的过程进一步让学生体会有余数除法的意义，并让学生着重理解余数一定要比除数小的道理。通过摆小棒让学生真正参与到数学活动中来，从而从生活中提炼出数学，让学生把操作与计算统一起来，从形象思维慢慢过渡到抽象思维，进而掌握方法，形成能力。同时通过学生自主探究以及观察、比较、分析等活动，自己发现余数和除数之间的关系。

教学内容：人教课标版小学三年级上册52页例3。教学目标：

知识技能：

1、进一步巩固有余数除法的含义和计算方法。

2、使学生明确余数要比除数小的道理。

过程与方法：

通过观察、探究、操作等学习活动，使学生经历丛生活问题到数学问题的抽象过程，感受数学知识的无穷奥秘。

情感、态度与价值观：

让学生感受数学与生活的联系，并从中体会探究的乐趣。

教学重、难点：

重点：更好地掌握有余数除法的意义和计算方法，懂得余数要比除数小的道理。

难点：懂得余数要比除数小的道理。

教学方法：引导发现法(教法)自主探究与合作交流（学法）教学准备： 小棒 多媒体课件 探究题卡 课时安排： 1课时 教学过程：

一、组织教学。

创设轻松的学习氛围，拉近师生之间的关系，为整节课师生互动作一铺垫。

二、创设情境，激发学习兴趣。

{讲故事引入，猜颜色，激起学生学习的兴趣} 在我们美丽的鄂尔多斯草原上每年都有一次盛大的集会，那就是我们的那达慕大会。（课件出示图片）我们会用彩旗和气球将我们的会场布置的非常漂亮，下面我们来看一下我们是怎样布置的。我们把彩旗按照红粉蓝绿黄的顺序悬挂在空中，如果第1面是红色的，那么第6面是什么颜色呢？第18面呢?学生回答不出的时候，让学生考考老师。[设计意图：创设情境，让学生羡慕老师的本领，从而激起他探究本节内容的兴趣。]

三、通过操作，引导自主探究。

1、理解意义，优化算法。

搭一个正方形要用几根小棒？9根小棒能搭几个正方形？学生快速动手搭一搭，（指名实物展台上演示）然后说出结果。指名说出算式，师板书。

你有没有更好的方法算出这个算式的结果呢？先想一想，同桌间交流一下，看谁的方法最好。（设计意图：给每位孩子提供了思考的空间，在默默感悟中体验了算法最优化。）

学生汇报，师板书竖式。结合竖式师生做游戏。（师圈竖式上的数，学生圈小棒并表述出数字所表示的意思。）

2、感悟余数要比除数小的道理。

现在老师想知道10根、11根…16根小棒能搭几个这样的正方形，请你帮帮我，现在同桌两人合作将算式完成到题卡上。

通过学生合作，将所有算式投影订正，师可以将算式继续延伸并板书：17、18、19、20除以4。同时通过.20÷4=5（个），为什么不能余4？学生讨论得出结论。引导观察算式：同学们，你们有什么重大发现吗？发现余数和除数之间的有什么秘密吗？把你的发现快和同桌说说！如此的点拨把学生的注意力彻底集中在了余数和除数上，当学生们有发现余数和除数关系时，和同桌分享，体验成功的乐趣。

教师提问：如果除数是4，余数可能是几？鼓励学生猜测，并说明理由，形成知识迁移。提问小结：谁能用一句话来说说余数和除数的关系？学生总结得出：在有余数除法中，余数要比除数小。

三、巩固新知，享受成功的快乐。

计算能力是在不断的明白算理，掌握法则，经过多次合理的练习逐步形成的。因此，我根据由易到难的原则，由简单到复杂、由单项到综合分层次地设计了如下练习。

1、聪明小博士。{（）里最大能填几} 计算教学就是让学生找到最优化的算法，然后多练习，提高学生的计算能力。有余数的除法计算主要是试商，在这里实际就是我练习的最大能填几所以我安排了这个练习。

2、粗心马大哈，学生改错。

列出有错误的竖式，学生改正。用于检查学生对所学基本知识的掌握情况。

3、设计了一个解决问题的题，学习数学是为了解决问题，让学生将所学知识与生活实际结合起来。

4、设计一道开放性的练习，检查学生掌握情况。对所学知识进一步拓展。

（）÷3=（代表几？

……□）÷8=（……□ □）（）

有余数的除法 说课

各位评委、各位老师：

大家好！我今天说课的内容是人教版三年级上册第四单元中的《有余数的除法》。下面我从教学思考、教学设计两方面进行说课。

教学思考：

怎样把这一课上出新意？怎样使数学课堂更加有效？怎样更好地体现新课标的理念？带着这些问题，我设计了这一课的教学流程。《有余数的除法》这部分学习内容是《表内除法》知识的延伸和扩展，两部分内容相互联系，具有互补性，前者是后者的基础，后者是前者的延伸。教材是知识的载体，我认为，在充分把握教材知识点的前提下灵活处理教材内容，设计适合学生发展的教学过程，是新课标所倡导的重要理念之一。而我在这儿创造性的使用了教材，整节课用摆小棒的过程进一步让学生体会有余数除法的意义，并让学生着重理解余数一定要比除数小的道理。通过摆小棒让学生真正参与到数

学活动中来，从而从生活中提炼出数学，让学生把操作与计算统一起来，从形象思维慢慢过渡到抽象思维，进而掌握方法，形成能力。同时通过学生自主探究以及观察、比较、分析等活动，自己发现余数和除数之间的关系。

基于以上思考和认识，我把本节课的教学目标确定为：

知识技能：

1、进一步巩固有余数除法的含义和计算方法。

2、使学生明确余数要比除数小的道理。过程与方法：

通过观察、探究、操作等学习活动，使学生经历丛生活问题到数学问题的抽象过程，感受数学知识的无穷奥秘。

情感、态度与价值观：

让学生感受数学与生活的联系，并从中体会探究的乐趣。

而在众多的知识目标中，感悟有余数除法的意

义和理解余数一定要比除数小则成了本节课的教学重点。由于学生年龄小，逻辑推理能力差，因此掌握余数比除数小的知识点成了教学的难点。

说教学设计：

1、创设有效情境，激发学生学习

我没有设计其他新颖的导入，我以学生自身对有余数除法的认知来作为一个教学的情境，这样能在一上课就使孩子们明确本课的学习内容，使孩子们迅速调动认知体系中与本节课知识有关的认知，为学习新课做好准备。这样的教学情境比起我们常用的生活情境省时而且能起到更全面的作用，能使孩子们在上课开始就体会到数学课的“数学味”。

2、由于上节课学生已经对有余数除法的意义以及算法学习过了，本节课我是让学生更进一步的理解有余数的除法，通过搭正方形让学生再一次感悟有余数的除法，并且让学生体验算法的最优化，为下一环节的学习作铺垫。

3、教学余数与除数的关系

在教学余数和除数的关系中，我将转变传统大量的练习和直接告诉的做法，通过学生合作完成的练习，结合搭四边形的活动，鼓励学生自主探究，让学生真正领悟余数要比除数小的道理。同时通过20÷4=5（个），为什么不能余4？学生讨论得出结论。引导观察算式：同学们，你们有什么重大发现吗？发现余数和除数之间有什么秘密吗？把你的发现快和同桌说说！如此的点拨把学生的注意力彻底集中在了余数和除数上，当学生们有发现余数和除数关系时，和同桌分享，体验成功的乐趣。在这儿给每位孩子提供了思考的空间，孩子们在观察思考中有了自己的发现，在安静倾听中分享了别人的学习成果，在默默感悟中体验了算法最优化，每个孩子都有自己的收获，每个孩子都有自己的成功，而孩子们的观察、概括、分析等能力也在课堂中得到了成长。

教师提问：如果除数是4，余数可能是几？鼓励学生猜测，并说明理由，形成知识迁移。提问小结：

谁能用一句话来说说余数和除数的关系？学生总结得出：在余数除法中，余数要比除数小。

说练习设计：

计算能力是在不断的明白算理，掌握法则，经过多次合理的练习逐步形成的。因此，我根据由易到难的原则，由简单到复杂、由单项到综合分层次地设计了如下练习。

1、聪明小博士。{（）里最大能填几} 计算教学就是让学生找到最优化的算法，然后多练习，提高学生的计算能力。有余数的除法计算主要是试商，在这里实际就是我练习的最大能填几所以我安排了这个练习。

2、粗心马大哈，学生改错。

列出有错误的竖式，学生改正。用于检查学生对所学基本知识的掌握情况。

3、设计了一个解决问题的题，学习数学是为了解决问题，让学生将所学知识与生活实际结合起来。

4、设计一道开放性的练习，检查学生掌握情况。

对所学知识进一步拓展。

（）÷3=（）……□（）÷8=（）……□ □代表几？

《有余数的除法》教案 篇4

合肥市蜀山小学 戴叶茹

教学内容：

苏教版二年级下册第一单元：有余数的除法第一课时，课本第1—3页例

1、例2和“想想做做”第1—4题。

学情分析：

学生已经学习的乘除法的含义和表内乘除法的计算以及用除法解决的简单的实际问题是学习本课知识的基础。学生利用已有知识能够通过情景列出相应的除法算式,但是平均分之后出现的剩余状况是与之前不同的。有剩余的平均分是理解有余数除法的基础,二年级的学生抽象思维有一定的发展,但是本课知识对学生来说还是比较抽象的,需要通过实物操作帮助学生积累经验并从中建立有余数除法的数学模型。

教学目标：

1、经历把平均分后有剩余的事实抽象为有余数除法的过程,初步理解有余数除法以及余数的含义,知道余数要比除数小;

2、在参与数学学习活动的过程中,进一步积累操作、观察、交流等学习活动经验,发展初步的比较、分析、抽象和概括等能力,增强数学应用意识;

3、进一步感受数学与生活的密切联系,体会除法含义的发展,在探索数学知识,发现数学规律的过程中,增强与他人合作的意愿,培养主动参与数学活动的态度和习惯,树立学好数学的信心。

教学重、难点: 重点：通过平均分的活动抽象出有余数的除法,初步体会有余数除法的意义。难点:有余数除法的含义,理解余数比除数小。

教学准备：

师生每人准备16根小棒

教学过程：

一、情境导入

新学期，小朋友们都准备了很多学具，老师也准备了10支铅笔，准备把它分给表现好的同学。怎样分才公平？（平均分）

二、动手操作，认识新知

1、认识有余数的除法（例1）

（1）提问：把10支铅笔平均分给小朋友,你想怎么分? 生：每人分1支、2支、3支、4支、5支„

引导：如果每人分2支、3支、4支、5支,分别可以分给几人?结果会出现什么不同的情况呢?（2）操作：请你们用小棒代替铅笔,在小组里分一分,说一说并把结果记录在课本的表格里。

（3）小组汇报:每次分的结果，组间评议、补充，完成表格。

（4）学生分类：比较这几种分法，你能把它们分分类吗？（两类：一种是正好分完，一种是有剩余）（5）抽象算式 提问：平均分可以写成什么算式？每人分2支，除法算式怎么写？每人分5支呢？ 指出：平均分有剩余也可以写成除法算式。10支铅笔，每人分3支，可以分给3人，还剩1支，写成除法算式是：10÷3=3（人）„„1（支）（板书算式）讲解：这样的算式是有余数的除法算式，这里的“1”叫做余数，表示平均分后剩余的数，表示余数时，要在商的后面写上“„„”，再写上余数。这就是我们今天要学习的“有余数的除法”(板书课题)。追问：这道算式表示什么意思？这里的“3（人）”表示什么？“1（支）”呢？提醒学生注意单位的不同。介绍算式读法：“10÷3=3„„1”读作：“10除以3等于3余1”。学生读一读。（6）学生尝试、感悟

提问：你能把每人分4支的结果用除法算式表示吗?写一写。组织反馈，说说算数的含义，以及商和余数的单位。

（7）练习：说说上面两道除法算式中的余数和商各是多少，再读一读。

（8）小结:把一些物品平均分,有时正好分完,有时会有剩余,出现余数，可以用有余数的除法算式表示。

2、认识余数要比除数小（例2）

其实,在有余数的除法里,还隐藏着一个小秘密,你们想知道吗?和老师一起来探究吧。

（1）谈话：4根小棒摆1个正方形，8根小棒摆2个正方形。像这样用12、13、14、15、16根小棒摆正方形,结果会怎样? 请同学们小组合作用小棒摆一摆，再根据每次摆出的结果填写书上的除法算式和表格。

汇报交流算式和表格，结合每次操作说说除法算式的含义。

（2）比较除法算式中的余数和除数，你有什么发现，在小组里说说。汇报交流，结合操作过程，得出：余数都比除数小。（3）小结:只有分到不够再分的时候,才把剩余的作为余数。所以,余数都比除数小。这就是有余数除法里的小秘密。

三、练习巩固，内化提升。

刚才我们一起学习了有余数除法的知识,下面老师就来考考大家,看大家掌握的怎么样，有信心吗? 1.完成“想想做做”第1题。（1）学生用小棒摆一摆，填一填

（2）汇报交流，说说每道算式的含义。2.完成“想想做做”第2题。

（1）来点难的，你能看图填一填吗？（2）比较两道题目有什么异同点。3.完成“想想做做”第3题。（1）再难点，没有文字，你能看图直接填出算式吗？（2）学生独立列式解答，提醒学生两道算式单位的不同。（3）集体交流：两道算式表示什么含义？

四、全课总结：

1、这节课你学会了什么？

2、生活中还有很多平均分后有剩余的情况？课后到生活中找一找，用有余数的除法说给爸爸妈妈听。

板书设计：

教学反思：

有余数的除法 3=3(人)„„1(支)

数学 - 有余数的除法 篇5

1、出示尝试题。(投影仪)

(1)老师有8个梨，每人分2个，可以分给几人?

操作：用小圆片代替梨来摆一摆，看谁摆后能很快写出一道算式。

学生口述算式和计算过程，教师进行板书：

8÷2=4

4

??

2)8

8

??

0

(可以分给4人，没有剩余。)

(2)(添上一个)现在有9个梨，每人分2个，可以分给几人，还剩几个?

操作：学生摆好后写出一道算式。

学生说，教师板书。“9÷2=4(人)余1(个)”中的“余数”在算式中该怎样表示呢? 这道题与课本第50页的例1类型相同，请同学们看书上是怎么样表示的，书写格式又是怎样的?

(学生看书)

2、指导学生看书。(课本50页 例1)

看书时思考下列问题(出示小黑板)：

(1) 这道题为什么用除法计算?

(2) 这道题跟以前学过的除法有什么不同?

(3) 这道题里的余数为什么是1，而不能是2或3?

(4) 这道题难在哪里?

师：看例1时，同桌同学可以讨论。

3、指两名同学板演，可能会列出算式：

9÷2=4(人)……1(个)

4

??

2)9

8

??

1

4、学生讨论。

师：请板演的同学讲一讲，你是怎样列出这个算式的.?为什么用除法计算?

学生回答。

师：其他同学和他算得一样吗?请你和同桌讨论一下，你是怎么想的?

(讨论后分别请学习稍有困难的学生两名讲想的过程)

师：商为什么是4?你是根据什么想的?

学生回答。

师：请同学们再想一想，余数能不能是2、3，为什么?

(同桌小声讨论，然后请学生回答)

5、教师讲解。

(1) 计算有余数的除法时，余数一定要比除数小，因为，如果余数等于或大于除数，说明还够分1份的，说明商小了，只有余数比除数小，商才正确。

(2) 计算有余数除法时，书写格式一定要正确完整。

6、学生独立把课本51页例2做完整，然后集体校对。

四、巩固练习(投影片出示)

1、口算并说出商几余几?

8÷3=□……□ 11÷4=□……□

12÷5=□……□ 65÷8=□……□

35÷8=□……□ 7÷2=□……□

2、判断对错，对的打“√”，错的打“×”。

49÷6=8……1 38÷5=6……8 36÷9=3……9

8 6 3

??- ??- ??-

6)49 5)38 9)36

48 30 27

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1 8 9

学生改正后，让学生说一说错误的原因，使学生进一步掌握“余数要比除数小”的规律。

3、看谁答得又对又快?

(1)被除数是23，除数是4，商是几，余数是几?

(2)54除以7，商几余几?除以9呢?

4、聪明题。

有35块点心，每6块装一盒，剩下的包在纸包里，纸包里有多少块点心?

五、课堂作业

课本第52页第4、5题。

有余数的除法 篇6

基于这一模式, 笔者设计并执教了“有余数的除法”一课, 收到了比较好的效果, 在此和大家分享。

【教学目标】

1.学生通过画图、观察、比较和归纳, 理解余数的含义。

2.理解余数要比除数小的道理。

3.提供充分的试学、展学空间, 提高学生操作、归纳、交流等数学学习能力, 发展自主学习意识。

【教学过程】

(一) 引学, 唤醒原有认知

1.出示算式:8÷4=

师:会算吗?8÷4=2这个算式在你的脑海中可以表示什么?

生1:8个苹果平均分给4个小朋友, 每人2个。

生2:8个苹果, 每4个1份, 可以分成2份。

师:这是除法的两种不同含义。

(评析:学生的思维通过这一简单的提问被激活了, 借助“8÷4=2”这个算式, 学生能够迅速调用原有的生活经验和认知, 理解从两个维度解释这个算式的不同含义, 对后续学习有余数除法起到铺垫与促进作用。)

师:如果我们规定“8”是8根小棒, “4”表示4根小棒可以搭一个正方形, 这个算式又表示什么意思?

生3:表示8根小棒, 每4根搭一个正方形, 可以搭2个正方形。

(二) 试学, 激活自主学习

师:如果有9根小棒, 也是4根搭一个正方形, 结果会怎么样?你能画一幅图来表示吗?

学生尝试画图:

师:谁来介绍一下自己的图?

生1:我先画了一个正方形, 用掉4根, 再画了一个正方形, 又用掉4根, 最后还剩1根。

师:能用一个算式把你们搭的结果表示出来吗?请你们试一试。

学生自主尝试表征上述操作及思考过程, 教师巡视收集各类学习成果, 请“小先生”上黑板进行板演, 为下一环节展示交流做好准备。

(评析:这一环节中笔者直接抛出问题, 组织学生尝试, 充分暴露学生的原有认知水平。二年级的学生以形象思维为主, 借助“画正方形”这个操作活动, 让学生亲自实验, 体验知识的形成过程。在让学生自主尝试的过程中, 基于授课对象是二年级的学生, 笔者特意把“画图”和“列式”分步骤展开, 因为低年级学生不适宜一次性完成多个任务, 自主学习的开始阶段, 小步子打好基础是关键。)

(三) 展学, 数形结合理解有余数除法的意义

1.展示学生成果:

①9-4-4=1

③9÷2=4……1

④9÷4=2余1

师:请同学们静悄悄地欣赏一下黑板上的几种做法, 你看明白了吗?

2.学生介绍自己算式所表示的含义, 生生互动质疑。

“小先生A”讲解9-4-4=1。

“小先生A”:有9根, 搭一个正方形用4根小棒, 我减了2个4, 还剩1根。

生1质疑:我建议你可以把“-”改成“+”, 再加个括号。 (“小先生A”似乎没有听明白生1的意思)

师:你们谁听懂了他的意思?

生2:我明白了, 他的意思是可以把9-4-4改成9- (4+4) 。

师:利用我们原来学过的知识, 这两个算式还可以变化吗?

生3质疑:那你的算式中怎么看出有两个正方形呢?

“小先生A”:我这里的2个4就表示2个正方形。

师:这位同学用我们原来学过的连减算式来表示搭正方形的结果, 可以吗?仔细看黑板上还有哪种方法和连减是类似的?

学生纷纷指向:

师 (追问) :哪里可以看出是2个正方形?

(评析:教材在一年级的时候特地安排了学生用连续减去相同数的分物活动, 这为学习有余数除法做好了铺垫。学生在尝试列式中很自然地出现了连减的算式, 符合学生的逻辑起点。)

“小先生B”讲解9÷2=4……1。

“小先生B”:9根小棒, 平均分成2份, 每个正方形是4根, 还多出了1根。

生5质疑:你的6个点是什么意思?

“小先生B”:6个点我是在口算训练上看到的, 是表示多余的意思。

生6质疑:我们不是每4根小棒摆一个正方形吗, 你为什么要除以2呢?

“小先生B”:我是平均分成2份呀!

生6:可是我们已经知道每4根摆一个正方形, 要算可以摆几个正方形呀!

其他学生附和:对呀!应该除以4, 因为是每4根搭一个正方形告诉我们了。

“小先生B”:谢谢你, 我接受你的意见。 (并改正成9÷4=2……1)

生7质疑:那这个算式要加单位名称的话, 你认为应该加几个单位名称呢?

“小先生B”面露难色:“我SOS求救。”

生8帮助:我觉得2后面应该加个单位名称, 是“个”。

生7继续质疑:那“1”有没有单位名称呢?

生8:“1”没有单位名称。

师:你们认为呢?

生9:“1”的单位名称是“根”。

师:这个算式有点特别吧, 还出现了两个单位名称。那6个点在我们语文里面称为省略号, 在这个算式里你们知道它叫什么吗?叫“余号”。

(评析:在选择让这个学生上台板书之前, 笔者一直以为这个学生是正确的。然而这个小先生讲解时, 才发现他的算式有问题, 他把除数和商的位置调换了, 将错就错也是一种教学智慧, 笔者把问题抛给了学生, 让他们在思维碰撞和交流中, 明白用谁做除数的问题, 比教师的直接纠正效果更好。)

“小先生C”讲解9÷4=2余一。

“小先生C”:我的算式表示9根小棒, 每4根搭一个正方形, 搭了2个, 还剩1根。你们有问题吗?

生1:我建议你把最后的“一”改成“1”。

师:同学们看这个算式和9÷4=2……1哪里不一样?

生5:一个同学是写“余”字, 一个同学是画了6个点。

师:你们喜欢哪种?为什么?

生6:喜欢有余号的, 更加简洁。

师:数学上, 我们一般选用简洁的符号来表示。

(评析:教学中, 笔者尝试把学生的活动置于教师的教学活动之前, 开展“人人争当小先生”活动, 让教师教授的讲台变成学生展示的舞台。学生走上讲台讲学, 单一的师生互动里面就融入了更多的生生互动, 同伴互助, 从而不断地生成新的问题。上面三个“小先生”的讲学展示了他们的思维轨迹和思考路径, 他们提出了有关余数的含义、余号的书写、除数如何确定以及商和余数的单位名称等问题, 这是教师无法预设的, 但这样的生成恰是最好的教育资源。这样的课堂就是我们追求的互动的、动态生成的、以学生为主体的“学的课堂”。)

(四) 研学, 沟通图、有余数除法算式、连减算式之间的联系

1.各部分的名称。

师:同学们很能干, 通过刚才的学习, 你们想到了用不同的方法来解决这个问题。黑板上有这么多方法, 我们今天要学习哪一种呢?

生齐答:有余数的。

师:余数在哪里?那另外几个数叫什么呢? (被除数、除数、商)

师:这个算式会读吗?9除以4等于2余1。

2.沟通比较。

(1) 9÷4=2……1和8÷4=2有什么不同。

师:这个算式和我们原来的除法算式有什么不同?

生1:多了余号, 还多了余数。

生2:有两个单位名称。

(2) 沟通除法算式与连减算式的联系。

师:这两个减法的算式是我们原来学过的, 和有余数除法的算式有没有关系?善于观察的小朋友一定有自己的发现!

生:最后剩下的1根就是除法里面的余数。

生:减掉的2个4, 2就是商。

(3) 数形结合, 沟通图与算式的联系。

教师在算式上分别点9、4、2、1, 请学生找到数在图中的对应位置。

(评析:教师在展学环节看似是一个旁观者, 实际上是位积极的倾听者和思考者, 作为教师, 要思考学生在讲学和质疑中已经解决了哪些问题, 还有哪些问题需要老师进一步补充, 还需要增设怎样的活动和追问才能达成课时目标。这一环节通过教师对学生的适度引领和提升, 沟通了图、有余数除法算式、连减算式之间的联系, 达到了知识的融会贯通。)

3.做一做。

师:刚才我们在用小棒摆正方形的过程中找到了有余数的除法, 其实有余数除法在生活中还有广泛的应用呢。我们一起来做两道练习。

4.渗透余数和除数的关系。

男生:如果有10根小棒, 每4根搭一个正方形, 结果怎么样?

女生:如果有11根小棒, 每4根搭一个正方形, 结果怎么样?

要求:男、女生分别选择一题先画出图, 然后用今天学过的新知识列出算式。

完成的学生可以思考:如果有12根小棒, 每4根搭一个正方形, 结果又会怎么样?

展示学生的画法:

师:那12根小棒呢?

生:12÷4=2 (个) ……4 (根)

回答完后立刻意识到自己说错了, 纠正:12÷4=3 (个) 。

5.小组交流。

师:仔细观察黑板上这些算式, 你有什么发现? (先独立思考, 再小组交流)

生:被除数大1, 除数不变, 余数大1。

生:余数不能随便大起来。

师:余数不能无限大下去, 大到什么时候就停止了。

生:大到除数的前面一个数就停止了。

师:那余数和除数之间有什么关系?

生:余数要比除数小。

师:余数为什么要比除数小?

生:如果一样或者比除数大的话就又可以搭一个正方形了。 (师板书:余数<除数)

[评析:这一过程非常自然、精妙。通过展示一组完整的题目 (一个周期) , 使学生自发完成对有余数除法中余数的理解, 通过知识的联系, 达到自我建构的目的。]

(五) 固学, 运用知识解决问题

1.再次巩固余数比除数小这一知识。那如果有一堆小棒, 如果是搭三角形呢?有剩余, 你们猜会剩下几根?为什么?搭五边形, 六边形呢?

2.圈一圈, 填一填。

(六) 延学, 拓展视野

1.挑战题:□÷6=□……□

2.这节课你有什么收获?

生:认识了余数, 和余数交了朋友。

生:我知道余数一定要比除数小。

师:如果让你对余数说一句话, 你最想对余数说些什么话呢?

生:我想说, 余数你是不是除数的弟弟呀?

师:是哟, 所以余数要比除数小啊。

【教学反思】

一、整合教材, 彰显教学智慧

有余数除法是表内除法的拓展和延伸, 鉴于有余数除法和表内除法的这种紧密联系, 同时考虑通过操作和对比更有利于学生对这部分知识的理解, 人教版新修订的教材把“有余数除法”从三年级上册调整到了二年级下册。教材在安排上, 根据二年级学生的特点, 将教学难点分散到四个例题中, 例1 是有余数除法的含义, 例2 是余数和除数的关系, 例3 是除法竖式, 例4 是有余数除法的试商。例题分得较细, 步子较小。但从班级的实际水平来看, 总有一部分学生通过多种途径对有余数除法有了初步的了解, 再加上一年级下册已经出现“29 个橘子, 9 个装一袋, 可以装满几袋?还剩几个”的用同数连减的问题, 学生通过分一分、圈一圈、减一减的过程已经搭建了由减法到有余数的除法过渡的桥梁。因此, 在充分遵循学生的逻辑起点和现有认知起点的基础上, 笔者把例1 和例2 进行了整合, 以例2 为主体, 同时涵盖例1, 引出“9 根小棒搭正方形的结果会怎样”。用这样一个问题认识了余数和有余数除法的含义, 再通过10 根、11根、12 根搭正方形的问题发现了余数和除数的关系。这样的整合凸显了知识的系统性和整体性, 更有利于学生完整地建构余数的概念。实践也证明, 这样的整合学生是可以接受的。

二、自主尝试, 凸显以生为本

周玉仁教授说过“:凡是学生能探索的, 我绝不代替;凡学生能自己发现的, 我绝不暗示;凡学生能自己总结的, 我绝不包办。”笔者想说:凡学生能讲解的, 我坚决退到后台, 真正落实学生的主体地位“。请你们自己试一试!”“先独立思考, 然后小组交流一下”“我们请小先生来介绍一下。”“我们再等待一下, 给其他同学更多的思考时间!”这些语言已经成为我们课堂的常态语言, 凸显了以生为本的理念。在上面的课堂中, 我们可以看到“小先生”的讲解、学生的质疑是多么精彩。而这正是源于平时的课堂我们大胆放手, 给了学生多次锻炼的机会, 让学生在生生交流、师生交流中充分表达自己的观点。

三、沟通比较, 感受知识间的联系

对有余数除法解决问题的思考 篇7

一、注重文本的阅读，让学生学会“审读题目”

对于二年级的学生来说，要理解“最多”、“至少”、“租船问题”和根据实际情况对余数的处理是一个难点。要帮助学生解决这一难点，借助画图方法是比较有效的途径。

学生读数学题的时候往往忽略对文字的仔细斟酌，对题目不理解而没法解决问题，归根到底是数学阅读能力差所致的。其实，数学也涉及文本的问题，如解决问题、判断题、图表等，这些数学文本由数字、抽象符号以及语言词汇等构成，因此有较强的数学阅读理解能力极其重要。在新课程实施过程中，教师过多地追求让学生从生活中感知数学，却忽视在语言文字中理解数学。教师只有重视数学阅读，加强学生数学阅读的培养，才能达到知识与技能并进的效果。因此，培养学生的数学阅读能力就显得尤为重要。事实上，很多学生对数学中的基本语言甚至关于解题要求都不能准确理解，数学文本理解能力的不足已经制约了数学潜能的发挥。因此要提高学生数学综合运用能力，就要指导他们如何阅读数学文本。

二、注重画图的策略，让思维过程有迹可循

画图策略是众多的解题策略中最基本的，也是一个很重要的策略。由于二年级学生的思维还是以具体形象思维为主，想完成由形象思维向抽象逻辑思维的转变，就要借助动手操作，让学生亲自去实验，去体验知识的形成过程。通过画图，为学生解决抽象的数学问题搭好了桥，帮助学生化抽象为直观，化复杂为简单。从而使学生能从图中理解题意，搜寻到解决问题的突破口，从而形成解题的思路。学生在画图的过程中，读题、明确问题、寻找条件，把文字转化成图画，发现数量关系，从而提高思维能力。

新课改以来，小学数学从内容的编排、教学目标的定位及教学的方法，都发生了翻天覆地的变化。新课程改革中，教材将传统的应用题教学并入了“解决问题”中，新教材把画图作为一种策略来教给学生，很多教材都有专门的课时进行画图策略的教学。而且画图的形式也不只限于线段图，学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助分析、理解数量关系，解决实际问题。能否成功运用 “画图策略”解决问题的关键，更多的是依靠孩子的经历、体悟，而不是空洞的说教，因此解题策略的运用中要求教师有“站得高、看得远”的能力。

三、注重从直观到抽象思维的过渡，搭建从表象转化为符号的桥梁

心理学家朱智贤认为，小学生的基本特点是：从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式；但这时的抽象逻辑思维在很大程度上仍然具有很大的具体形象性，因此培养形象思维能力既是儿童思维发展本身的需要，又是他们学习抽象的数学知识、提高数学能力的需要。

数学表象以感知为基础，感知越丰富。建立的表象就越具有概括性，但是丰富学生的感知不能靠大量的、单一的材料简单重复，而是要多方位，多种形式，多种感官参与感知，运用观察，操作，实验等方法，把听觉，视觉，运动觉等协同起来充分感知，才能在学生头脑中建立正确而丰富的数学表象。

《课程标准》指出：解决问题要让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。对于二年级的学生，思维还是以形象思维为主，想完成由形象思维向抽象逻辑思维的转变，就要借助动手操作，让学生亲自去实验，去体验知识的形成过程。

有余数的除法教案 篇8

教学内容：教科书第51页例2。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

(用多媒体课件演示学生布置联欢会会场的画面。)

让学生看情景图，描述布置联欢会会场的情景，续编布置联欢会会场的故事，并从中提炼出数学问题：一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆几组?还多几盆?

二、尝试解决问题

教师：算式怎样列?为什么这样列?(板书：23÷4=)

教师：怎样进行计算呢?请同学们用23张圆片表示23盆花，按照布置会场的要求分一分。(小组合作的形式。)

(展示学生分圆片的结果。)

教师：这3盆还能不能再分?为什么?

学生：题目要求每组摆5盆，现在只剩下3盆，给每组再分一盆，不够了，所以不能再分。

教师：23盆花，每组摆5盆，摆了4组，还剩3盆，这里剩下的3盆，就是余数。

教师：这道题的得数怎样写呢?

(让学生先说一说。)

教师：写除法得数时，要先写商4，再在商的后面打6个小圆点，写上余数3。

(板书：23÷5=4……3)

教师：这里商4表示什么?(4组)(板书单位名称“组”。)

这里余数3表示什么?(3盆)(板书单位名称“盆”。)

教师：这道题的竖式会写吗?请同学们自己在草稿本上试着写一写。

(指名学生演板展示竖式的写法。)

有余数的除法 篇9

在数学发展的历史中, 0的出现比起其他自然数要晚得多, 代表缺位符号的0直到公元6世纪才从印度引进:当某个数位上一个单位也没有时, 便用0来表示。用近代集合论的观点来看, 如果一个集合中只有n个元素, 这个n就称为这个集合的基数。单元素集中只有一个元素, 所以单元素集的基数便是1。没有元素的集合称为空集, 因而空集的基数便是0。所以, 通常认为:非零自然数1, 2, 3, …表示的是“有”, 而0表示的是“无”。

然而, 切莫把这种认识绝对化了, 用辩证的观点看, 0还有表示“有”的一面。如某天的气温是0℃, 总不能说这天没有温度吧!因为0毕竟是一个确定的数呀!0℃比零上3℃低3℃, 而又比零下1℃高1℃。0既不是正数, 也不是负数, 0是唯一的中性数。又如, 在中学数学中我们还知道, 一条直线l的倾斜角α的正切, 称作这条直线l的斜率。0°角的正切为0, tan0°=0, 但我们说这个倾斜率是存在的, 真正不存在的是90°角的正切!所以任何平行于x轴的直线都属于有斜率的直线, 只有垂直于x轴的直线才是斜率不存在的直线。

由是观之, 0既可表示“无”, 又可表示“有”, 有了这种辩证认识, 才可能把有余数的除法知识教好教活。

人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》三年级上册第49页编入了“有余数的除法”内容。在第50页上有一个摆花布置会场的例1。先摆15盆花, 每组摆5盆, 可以摆几组?横式为:15÷5=3 (组) , 竖式为:

这题讲的是整除。

在第51页上又有例2。一共有23盆花, 每组摆5盆, 最多可以摆4组, 还多3盆。可以用这样的式子来表示:23÷5=4 (组) ……3 (盆)

这题讲的是有余数的除法。

在第52页上还安排了例3。如果上例中一共有16盆花, 可以摆几组?多几盆?如果是17盆, 18盆, ……, 24盆, 25盆?

这题是将“整除”与“有余数的除法”综合在一起, 进行对比和总结。

作为一名小学数学教师, 照本宣科地讲解完这三道例题, 应该是不成问题的。但是, 通过这样的教学, 在学生的脑海中会形成怎样的认识呢?笔者认为主要有以下三点:

1.整除是没有余数的, 只有在有余数的除法中才出现余数。

2.一个数被5除, 除数只有四种情形, 即余数只可能是1, 2, 3, 4。

3.余数必须小于除数, 但余数不能为0。

其实, 这些认识不仅学生中有, 而且在一些专业知识不够扎实、对哲学也疏于学习的小学数学教师中也普遍存在。

值得指出的是:上述认识虽然有其正确的部分 (如余数必须小于除数) , 但总体来说, 却没有真正学通、学透。

为弄清这些问题, 不妨先来查阅相关的数学专业书籍。

《小学数学教师手册》 (人民教育出版社, 1982年) 第49页有如下表述:

“判定一个整数能不能被另一个正整数整除, 只要进行除法运算即可。如果所得余数为0, 就是整除的情况;如果所得的余数不为0, 就是不能整除的情况。”

《数学手册》 (人民教育出版社, 1979) 第1057页“数论”的“辗转相除法”一节中, 有如下表述:

“每一个整数a可以唯一地通过正整数b表示为a=bq+r (0≤r<b) , 式中q称为a被b除所得的不完全商, r称为a被b除所得的余数。”

《数学手册》第1066页“数论”的“同余式”一节中还有如下表述:

“设以m为模, 则可将全体整数分为m类, 同类的数都有同余, 不同类的数都不同余。称这样的类为同余类, 每类中各取一数为代表。例如:0, 1, 2, …, m-1构成一个完全剩余类。”

在上述文献的相关表述中, 无一例外地表明:在整数除法中, 余数可以为0。

然后, 再从哲学的角度来进行分析。在研究整数除法时, 人们起初总是研究其中最简单的除法情形, 正如课本中的例1那样:15÷5=3, 没有余数。然后, 再研究较复杂的有余数的除法, 如课本中的例2那样:23÷5=4 (组) ……3 (盆) 。其中的“3”就是余数。所以, 人们此时对于能整除的情形和不能整除的情形主要是关注其“异”:前者没有余数而后者有余数。然而世上一切事物又无不处于运动、变化和发展之中, 所以人们的认识也不应该老是“原地踏步”。因为“没有余数”也就是“余数为0”, 所以当我们在转而关注其“同”的时候, 就将“有余数的除法”进行了一次扩展, 把一切除法都看成是有余数的除法, 从而让“有余数的除法”把“整除”也包括进去, 二者的差别不在于有没有余数, 而在于余数是否为0。这样一来, “整除”就变成了“有余数除法”的特例。至此, 原先相互并列的两个对立概念就实现了统一。

其实, 概念间由对立到统一的这种变化, 比比皆是。在小学低年级, 把长方形与正方形看成是对立的概念, 而在后来, 就把正方形集合看成是矩形集合的真子集了。对长方体与正方体的认识与此也大致相同, 起初两者相互对立, 后来就统一于长方体集合之中, 而把正方体看成是长方体的特例了。在对整数与分数的认识上, 也经历了同样的过程。人们先接触整数, 再接触分数, 起初, 两者泾渭分明, 不容混淆。然而, 当人们认识到任何一个非零整数m都可以写成分母唯一的分数m—, 而0也可表示为零分数0—n (n∈N*) 时, 内涵扩展后1的“分数”就已经包含了“整数”, 原先是并列关系的两个对立概念, 就形成了包含关系。整数集已成为分数集的一个真子集了。原先说“整数”与“分数”统称为“有理数”, 而现在就可以说:有理数集就是分数集了。

对概念的认识, 必须经由这样的一个“与时俱进”的过程, 否则, 老停留在一个地方, 割裂地、孤立地看待各个相关概念, 就难以实现认识上由对立到统一的飞跃, 就难以理清概念间的关系, 就必然会把活生生的知识教死了。

从数学与哲学两个方面做了上述准备后, 接下来就可以来探讨一下有余数除法的教学了。

首先, 不妨按照课本的编排, 先讲例1, 再讲例2。但是在讲完例2后, 不忙讲例3, 而是带领学生回过头来观察例1, 指着竖式最下面的那个0, 告诉学生:这个0的位置也就是例2中余数3的位置。这个0也就是整除的余数。过去说整除的没有余数, 其实, “没有余数”也就是“余数为0”。接着, 把横式“15÷5=3 (组) ”加以改造, 使之成为“15÷5=3 (组) ……0 (盆) ”的形式。

最后, 在讲完了例3时, 还应重申一下这一观点, 并在“15÷5=3 (组) ”和“20÷5=□ (组) ”的后面都添上“……□ (盆) ”, 引导学生, 使他们学会在“□ (盆) ”的□内都填上“0”。至此, 有余数除法的教学才算告一段落。