离散数学考试范围

离散数学考试范围（精选8篇）

离散数学考试范围 篇1

带全称量词和存在量词的命题逻辑推理的构造和证明 第二部分

集合基本运算，文氏图 有序对的基本知识，笛卡儿积，特征函数

函数的性质（单射，满射，双射）

集合的基本概念（交集，并集，幂集，定义域，值域）

给出关系图，画出r(R)，s(R)，t(R)等价关系及等价划分 集合相等证明

从A到B的函数的性质

关系的性质（自反，对称，传递）偏序关系和哈斯图

A卷

1、选择10题（2*10=20分）

2、填空8题（1*15=15分）

3、综合题（6题，39分）（1）前束范式

（2）偏序关系和哈斯图（3）文氏图（4）关系的闭包

（5）用真值表判断公式的成真赋值（6）量词消去

4、证明题（3题，共26分）自然推理系统证明（第三章）集合相等证明

命题逻辑推理证明（第五章）B卷

1、填空10题（2*10=20分）

2、选择10题（1*10=10分）

3、综合题（6题，44分）（1）主析取范式判断公式类型（2）量词消去，求公式真值（3）集合计算（4）量词消去（5）前束范式

（6）偏序关系和哈斯图

4、推理填空题（8分）

离散数学期末考试试题及答案 篇2

一、【单项选择题】

(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、在由3个元素组成的集合上，可以有()种不同的关系。

[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]272、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB()。

[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,83、若X是Y的子集，则一定有()。

[A]X不属于Y [B]X∈Y

[C]X真包含于 Y [D]X∩Y=X4、下列关系中是等价关系的是()。

[A]不等关系 [B]空关系

[C]全关系 [D]偏序关系

5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是()。

[A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象

[C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象

6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为()。

[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有()。

[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个

8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点()。

[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点

[C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点

9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是()。

[A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元

10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为()

[A] p→┐q [B] p∨┐q

[C] p∧q [D] p∧┐q11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割(点)集是()。

[A]{v1} [B]{v2} [C]{v3} [D]{v2,v3}

12、下面4个推理定律中，不正确的为()。

[A]A=>(A∨B)(附加律)[B](A∨B)∧┐A=>B(析取三段论)

[C](A→B)∧A=>B(假言推理)[D](A→B)∧┐B=>A(拒取式)

13、在右边中过v1,v2的初级回路有多少条()

[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D]

414、若R，是环，且R中乘法适合消去律，则R是()。

[A]无零因子环

[C]整环 [B]除环 [D]域

15、无向G中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是()。

[A]8 [B]16 [C]4 [D]

32二、【判断题】

(本大题共8小题，每小题3分，共24分)正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。

16、是空集。()

17、设S,T为任意集合，如果S—T=，则S=T。()

18、在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是唯一的。()

19、关系的复合运算满足交换律。()

20、集合A上任一运算对A是封闭的。()

21、0,1,2,3,4,max,min是格。()

22、强连通有向一定是单向连通的。()

23、设都是命题公式，则(PQ)QP。()

三、【解答题】

(本大题共3小题，24、25每小题10分，26小题11分，共31分)请将答案填写在答题卷相应题号处。

24、设集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求

(1)BA;(2)AB;(3)A-B;(4)BA.25、设非空集合A，验证(P(A)，,~，A)是布尔代数

26、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。

离散数学试题答案

一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)

BDDCCCBABDADCBB

二、【判断题】(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

FFTFTTTF

三、【解答题】(本大题共3小题，24、25每小题10分，26小题11分，共31分)

24、设集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求(1)BA;(2)AB;(3)A-B;(4)BA.标准答案：(1)BA={a, b, c}{b, d, e}={ b }

(2)AB={a, b, c}{b, d, e}={a, b, c, d, e }

(3)A-B={a, b, c}-{b, d, e}={a, c}

(4)BA= AB-BA={a, b, c, d, e }-{ b }={a, c, d, e }

复习范围或考核目标：考察集合的基本运算，包括交集，并集,见课件第一章第二节,集合的运算。

25、设非空集合A，验证(P(A)，,~，A)是布尔代数

标准答案：证明 因为集合A非空，故P(A)至少有两个元素，显然，是P(A)上的二元运算.由定理10，任给B,C,DP(A), H1 BD=DC CD=DC

H2 B(CD)=(BC)(BD)B(CD)=(BC)(BD)

H3 P(A)存在和A，BP(A), 有B=B，BA=B

H4，BP(A), BA，存在A~B，有

BA~B)= A B(A～B)=

所以(P(A)，,~，A)是布尔代数.复习范围或考核目标：考察布尔代数的基本概念，集合的运算，见课件代数系统中布尔代数小节。

26、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。

标准答案：令p：他是计算机系本科生

q：他是计算机系研究生 r：他学过DELPHI语言

s:他学过C++语言

t:他会编程序

前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t

结论：p→t

证①p P(附加前提)

②p∨q T①I

③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入)

④r∧s T②③I

⑤r T④I

⑥r∨s T⑤I

⑦(r∨s)→t P(前提引入)

离散数学考试范围 篇3

本题目为历年电大真题试卷，对于期末考试具有极大意义。祝所有考生，考试顺利通过！离散数学 离散数学 离散数学 离散数学

离散数学

填空题 离散数学

逻辑公式翻译

离散数学 离散数学

====判断说明题==== 离散数学 离散数学 离散数学

====计算题 离散数学 离散数学 离散数学 离散数学 离散数学 离散数学

===证明题 离散数学 离散数学

离散数学考试范围 篇4

一、（10分）证明(A∨B)(P∨Q)，P，(BA)∨PA。

证明：(1)(A∨B)(P∨Q)

P(2)(P∨Q)(A∨B)

T(1)，E(3)P

P(4)A∨B

T(2)(3)，I(5)(BA)∨P

P(6)BA

T(3)(5)，I(7)A∨B

T(6)，E(8)(A∨B)∧(A∨B)

T(4)(7)，I(9)A∧(B∨B)

T(8)，E(10)A

T(9)，E

二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的：

(1)甲和乙只有一人参加；(2)丙参加，丁必参加；(3)乙或丁至多参加一人；(4)丁不参加，甲也不会参加。请推出哪两个人参加了围棋比赛。

解

符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。依题意有，(1)甲和乙只有一人参加，符号化为AB(A∧B)∨(A∧B)；(2)丙参加，丁必参加，符号化为CD；(3)乙或丁至多参加一人，符号化为(B∧D)；(4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为DA。所以原命题为：(AB)∧(CD)∧((B∧D))∧(DA)((A∧B)∨(A∧B))∧(C∨D)∧(B∨D)∧(D∨A)((A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧B∧D))∧((B∧D)∨(B∧A)∨(D∧A))(A∧B∧C∧D)∨(A∧B∧D)∨(A∧B∧C∧D)T

但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故A∧B∧C∧D为F。所以只有：(A∧B∧C∧D)∨(A∧B∧D)T，即甲、丁参加了围棋比赛。

三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。(1)x(P(x)Q(x))

P(2)P(y)Q(y)

T(1)，US(3)xP(x)

P(4)P(y)

T(3)，ES(5)Q(y)

T(2)(4)，I(6)xQ(x)

T(5)，EG 解

(4)中ES错，因为对存在量词限制的变元x引用ES规则，只能将x换成某个个体常元c，而不能将其改为自由变元。所以应将(4)中P(y)改为P(c)，c为个体常元。

正确的推理过程为：

(1)xP(x)

P(2)P(c)

T(1)，ES

(3)x(P(x)Q(x))

P(4)P(c)Q(c)

T(3)，US(5)Q(c)

T(2)(4)，I(6)xQ(x)

T(5)，EG

四、（10分）设A＝{a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

解

设R＝{，，，}，则 因为R，R不自反； 因为∈R，R不反自反；

因为∈R，R，R不对称； 因为∈R，∈R，R不反对称；

因为∈R，∈R，但R，R不传递。

五、（15分）设函数g：A→B，f：B→C，(1)若fg是满射，则f是满射。(2)若fg是单射，则g是单射。

证明

因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。

(1)对任意的z∈C，因fg是满射，则存在x∈A使fg(x)＝z，即f(g(x))＝z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y＝g(x)∈B，使得f(y)＝z。因此，f是满射。

(2)对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，则由fg是单射得fg(x1)≠fg(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(x1)≠g(x2)。所以，g是单射。

六、（15分）设R是集合A上的一个具有传递和自反性质的关系，T是A上的关系，使得TR且R，证明T是一个等价关系。

证明

因R自反，任意a∈A，有∈R，由T的定义，有∈T，故T自反。

若∈T，即∈R且∈R，也就是∈R且∈R，从而∈T，故T对称。若∈T，∈T，即∈R且∈R，∈R且∈R，因R传递，由∈R和∈R可得∈R，由∈R和∈R可得∈R，由∈R和∈R可得∈T，故T传递。

所以，T是A上的等价关系。

七、（15分）若是群，H是G的非空子集，则是的子群对任意的a、b∈H有a*b1∈H。－证明

必要性：对任意的a、b∈H，由是的子群，必有b1∈H，从而a*b1∈H。

－

－充分性：由H非空，必存在a∈H。于是e＝a*a1∈H。

－任取a∈H，由e、a∈H得a1＝e*a1∈H。

－

－对于任意的a、b∈H，有a*b＝a*(b1)1∈H，即a*b∈H。

－

－又因为H是G非空子集，所以*在H上满足结合律。综上可知，是的子群。

八、（15分）(1)若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的。(2)若有向图G中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达吗？

证明

(1)设无向图G中只有两个奇数度结点u和v。从u开始构造一条回路，即从u出发经关联结点u的边e1到达结点u1，若d(u1)为偶数，则必可由u1再经关联u1的边e2到达结点u2，如此继续下去，每条边只取一次，直到另一个奇数度结点为止，由于图G中只有两个奇数度结点，故该结点或是u或是v。如果是v，那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是u，该回路上每个结点都关联偶数条边，而d(u)是奇数，所以至少还有一条边关联结点u的边不在该回路上。继续从u出发，沿着该边到达另一个结点u1，依次下去直到另一个奇数度结点停下。这样经过有限次后必可到达结点v，这就是一条从u到v的路。

(2)若有向图G中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达不一定成立。下面有向图中，只有两个奇数度结点u和v，u和v之间都不可达。

uwv离散数学考试试题（B卷及答案）

一、（15分）设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A、B、C的控制：当且仅当A和C同时关闭或B和C同时关闭时灯亮。设F表示灯亮。

(1)写出F在全功能联结词组{}中的命题公式。(2)写出F的主析取范式与主合取范式。

解

(1)设A：开关A关闭；B：开关B关闭；C：开关C关闭；F＝(A∧C)∨(B∧C)。在全功能联结词组{}中：

A(A∧A)AA A∧C(A∧C)(AC)(AC)(AC)

A∨B(A∧B)((AA)∧(BB))(AA)(BB)所以

F((AC)(AC))∨((BC)(BC))(((AC)(AC))((AC)(AC)))(((BC)(BC))((BC)(BC)))(2)F(A∧C)∨(B∧C)

(A∧(B∨B)∧C)∨((A∨A)∧B∧C)(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)m3∨m5∨m7

主析取范式 M0∧M1∧M2∧M4∧M6

主合取范式

二、（10分）判断下列公式是否是永真式？(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))。(2)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x)))。解

(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))(xA(x)∨xB(x))x(A(x)B(x))(xA(x)∨xB(x))∨x(A(x)∨B(x))(xA(x)∧xB(x))∨xA(x)∨xB(x)(xA(x)∨xA(x)∨xB(x))∧(xB(x)∨xA(x)∨xB(x))x(A(x)∨A(x))∨xB(x)T

所以，(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为永真式。

(2)设论域为{1，2}，令A(1)＝T；A(2)＝F；B(1)＝F；B(2)＝T。

则xA(x)为假，xB(x)也为假，从而xA(x)xB(x)为真；而由于A(1)B(1)为假，所以x(A(x)B(x))也为假，因此公式(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为假。该公式不是永真式。

三、（15分）设X为集合，A＝P(X)－{}－{X}且A≠，若|X|＝n，问(1)偏序集是否有最大元？(2)偏序集是否有最小元？

(3)偏序集中极大元和极小元的一般形式是什么？并说明理由。解

偏序集不存在最大元和最小元，因为n＞2。

考察P(X)的哈斯图，最底层的顶点是空集，记作第0层，由底向上，第一层是单元集，第二层是二元集，…，由|X|＝n，则第n－1层是X的n－1元子集，第n层是X。偏序集与偏序集

相比，恰好缺少第0层和第n层。因此的极小元就是X的所有单元集，即{x}，x∈X；而极大元恰好是比X少一个元素，即X－{x}，x∈X。

四、（10分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解

r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} －R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2

t(R)＝Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，i1<5，5>}。

五、（10分）设函数g：A→B，f：B→C，(1)若fg是满射，则f是满射。(2)若fg是单射，则g是单射。

证明

因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。

(1)对任意的z∈C，因fg是满射，则存在x∈A使fg(x)＝z，即f(g(x))＝z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y＝g(x)∈B，使得f(y)＝z。因此，f是满射。

(2)对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，则由fg是单射得fg(x1)≠fg(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(x1)≠g(x2)。所以，g是单射。

六、（10分）有幺元且满足消去律的有限半群一定是群。

证明

设是一个有幺元且满足消去律的有限半群，要证是群，只需证明G的任一元素a可逆。

考虑a，a2，…，ak，…。因为G只有有限个元素，所以存在k＞l，使得ak＝al。令m＝k－l，有al*e＝al*am，其中e是幺元。由消去率得am＝e。

于是，当m＝1时，a＝e，而e是可逆的；当m＞1时，a*am-1＝am-1*a＝e。从而a是可逆的，其逆元是am-1。总之，a是可逆的。

七、（20分）有向图G如图所示，试求：(1)求G的邻接矩阵A。(2)求出A2、A3和A4，v1到v4长度为1、2、3和4的路有多少？

(3)求出ATA和AAT，说明ATA和AAT中的第(2，2)元素和第(2，3)元素的意义。(4)求出可达矩阵P。(5)求出强分图。

解

(1)求G的邻接矩阵为：

00A00101011

101100(2)由于

00A200111022010A302111020111203220A4120301012313 2322所以v1到v4长度为1、2、3和4的路的个数分别为1、1、2、3。(3)由于

00TAA000002131212TAA

21011102132110 2121再由定理10.19可知，所以ATA的第(2，2)元素为3，表明那些边以v2为终结点且具有不同始结点的数目为3，其第(2，3)元素为0，表明那些边既以v2为终结点又以v3为终结点，并且具有相同始结点的数目为0。AAT中的第(2，2)元素为2，表明那些边以v2为始结点且具有不同终结点的数目为2，其第(2，3)元素为1，表明那些边既以v2为始结点又以v3为始结点，并且具有相同终结点的数目为1。

00(4)因为B4AA2A3A40000以求可达矩阵为P00111111。

11111110100110+

101010001110



2010

+

1110



01102120312204+

2120320101231323220

000741



747，所

747



43400(5)因为PPT0011101111∧1111111100001110＝01110111000111，所以{v1}，{v2，v3，v4}构成G的强分图。

离散数学考试范围 篇5

考试范围与要求

本部分包括必考内容和选考内容两部分．必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列1的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等2个专题。

必考内容

（一）集合

1．集合的含义与表示

（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系．

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算．

（二）函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）

1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用．

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景．

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．（4）知道指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（3）知道对数函数是一类重要的函数模型．

（4）了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数（a0，且a1）． 4．幂函数

（1）了解幂函数的概念．

（2）结合函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，了解它们的变化情况． 5．函数与方程

（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 6．函数模型及其应用

（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．

（三）立体几何初步

1．空间几何体

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．

（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求）．

（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式． 2．点、直线、平面之间的位置关系

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内． ·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

23122018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．

理解以下判定定理：

·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明：

·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．

·如果两个平行平面同时和（1）了解算法的含义，了解算法的思想．

（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环． 2．基本算法语句

理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

（六）统计

1．随机抽样

（1）理解随机抽样的必要性和重要性．

（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． 2．用样本估计总体

（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．

（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．

（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释．（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．

（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 3．变量的相关性

（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

（七）概率

1．事件与概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式． 2．古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式．

（2）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 3．随机数与几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．（2）了解几何概型的意义．

（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）

1．任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念．

（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．三角函数

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出

2、的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysinx、ycosx、ytanx的图象，了解三角函数的周期性．

（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间(,)内的单调性． 22sin． cos（4）理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan（5）了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A、、对函数图象变化的影响．

（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

（九）平面向量

1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景．

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．（3）理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义．（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义．（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．向量的应用

（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

（十）三角恒等变换

1．和与差的三角函数公式

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

2．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．

（十一）解三角形

1．正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

（十二）数列

1．数列的概念和简单表示法

（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数． 2．等差数列、等比数列

（1）理解等差数列、等比数列的概念．

（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．

（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．

（十三）不等式

1．不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 2．一元二次不等式

（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．

（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．基本不等式：ab2ab（a0，b0）（1）了解基本不等式的证明过程．

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求

（十四）常用逻辑用语

1．命题及其关系（1）理解命题的概念．

（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2．简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3．全称量词与存在量词

（1）理解全称量词与存在量词的意义．

（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

（十五）圆锥曲线与方程

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

（3）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．（4）理解数形结合的思想．（5）了解圆锥曲线的简单应用．

（十六）导数及其应用

1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数yC（C为常数），yx，yx2，y1的导数． x（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

·常见基本初等函数的导数公式：

C0(C为常数)；

(xm)mxm1(ex)ex

(lnx)

(sinx)cosx；

(cosx)sinx

(ax)axlna（a0，且a1）；

(logax)

1（a0，且a1）； xlna1． x·常用的导数运算法则：

法则1：[f(x)g(x)]f(x)g(x)

法则2：[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求 法则3：[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)g2(x)3．导数在研究函数中的应用

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．

4．生活中的优化问题． 会利用导数解决某些实际问题．

（十七）统计案例

了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． 1．独立性检验

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用． 2．回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

（十八）推理与证明

1．合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 2．直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

（十九）数系的扩充与复数的引入

1．复数的概念

（1）理解复数的基本概念．（2）理解复数相等的充要条件．

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义． 2．复数的四则运算

（1）会进行复数代数形式的四则运算．

（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求

（二十）框图

1．流程图

（1）了解程序框图．

（2）了解工序流程图（即统筹图）．

（3）能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用． 2．结构图（1）了解结构图．

（2）会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．

选考内容

（一）坐标系与参数方程

1．坐标系

（1）理解坐标系的作用．

（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．

（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．

2．参数方程

（1）了解参数方程，了解参数的意义．

（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．

（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．

（二）不等式选讲

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）|ab||a||b|．（2）|ab||ac||cb|．

（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|axb|c；|axb|c；|xa||xb|c．

2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．（1）柯西不等式的向量形式：|α||β||αβ|．（2）(a2b2)(c2d2)(acbd)2．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（3）(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2．（此不等式通常称为平面三角不等式．）

3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：

nnnab2ii1i12i(aibi)2．

i14．会用向量递归方法讨论排序不等式．

5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：

(1x)n1nx（x1，x0，n为大于1的正整数）．

了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立．

7．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．

8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．

离散数学课程总结 篇6

计科系10级 计本

一、对课程的理解

个人认为离散数学是一门综合性非常强的学科。本书分为六个部分。为数理

逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论。其中由于课时紧凑我们忽略了部分学习内容。感觉它是一门集理论思维与抽象思维于一身的学科。

开始学习大家可能会觉得很简单，学得很轻松，第一部分的数理逻辑在高中时也

有所接触，只是现在在高中的基础上更深层次的加入一些元素。第二部分集合论

高中也学过一点基本的，多了二元关系之类。据课本介绍，其中的偏序关系广泛

用于实际问题中，调度问题就是典型的实例。第三部分的代数结构是完全新的学习内容，开始带有抽象的色彩。接下来就学习了图论，是个很有意思的部分，不

像之前那么枯燥，可以有图形与关系之间的转换。

搜集有关资料得知《离散数学》的特点是：

1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑

推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都

会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。

2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从

而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解

上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直

接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但

是《离散数学》证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。

同时要善于总结。

通过以上特点介绍使我对离散数学有了不一样的认识。我们是学计算机专

业的学生，离散数学的学习给了我们很多的帮助，虽然这门每个部分的联系不是

很紧密。今年我们开设的专业课有《数据库》，其中二元关系这部分与之就有了

很大的联系，听过离散数学后，数据库中这些关系的理解起来就不必那么费事了。

还有专业课《数据结构与算法》，这部分联系的就多了，主要是图论这部分。使

在学习数据结构时节省了不少时间，老师说起来也轻松。

二、对课程的建议

《离散数学》这本书中我们只学了四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论．这四部分内容中每一个部分都可以是一门独立的课程，它们分别作为《离

散数学》课程的一部分，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾，使教

学过程具有很大的难度．这几部分的内容我们只是选择性的部分详细讲解，我觉

得在教学过程中对讲授内容的设置上应当有所侧重，比如学生对集合论基础的很

多内容在中学数学中已经有所了解，所以这部分内容只需要简要介绍一下，重点放在用集合论的方法解决实际应用问题上．对于二元关系这部分，侧重点是加强对与二元关系的几个性质相关问题的论证方法的训练．在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力．图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法．代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲．另外，现行大多数教材，主要是集中在从纯数学理论角度教授基本内容，这也是不利于学生的理解学习的．如果选择了这种教材，在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习．这将有利于学生理解理论知识，又为后续课程的学习奠定基础．

三、对老师的建议

《离散数学》课程总结 篇7

转眼之间，这学期要结束了。我们的离散数学，这门课程的学习也即将接近尾声。下面就是我对这门课一些认识及自己的学习心得。

首先我们这门课程离散数学到底包含了哪几大部分？每部分具体又有什么内？这门课程在计算机科学中有什么地位？这门课程在我们以后的学习生活中，以及在将来的工作中有什么帮助？下面我将以上几个方面具体谈一谈并将总结一下自己本人在这门课程学习过程中遇到的一些问题和心得体会。

这门课程有数理逻辑，集合论，代数系统和图论四部分。这四大部分通常被称为离散数学的四大体系。其中每一部分都是一个独立的学科，内容丰富。而我们离散数学中的内容是其中最基本，最重要且和计算机科学最密切相关的内容吸收到离散数学中来，并使它们前后贯通，形成一个有机整体。这门课的主要内容有命题逻辑、谓词逻辑，属于数理逻辑部分，集合论中有集合、二元关系、函数，代数系统包含代数系统基础、群、环、域以及格和布尔代数的知识（这部分我们没有涉及）。

那么这门课程在计算机科学中有着什么样的地位呢，这门课程是计算机科学专业中重要的专业基础课程，核心课程，可以这么说，离散数学，既是一门专业基础课，是一门工具性学科。这门课讲授的内容，与后续专学习业密切相关。在这门课里我们讲授了大量的计算机学科专业必要的基本概念，基本理论和基本方法。为我们以后的学习，工作打下良好基础。在算法设计，人工智能，计算机网络，神经网络，智能计算等学科中有着重要的作用。在计算机科学中有着广泛的应用。通过这门课可以对我们计算机算法的理解和逻辑思维得到提高。

那么我们具体学了什么内容呢？

（一）首先集合论是整个数学的基础，（不管是离散数学还是连续数学）如果没有专门学过，那么出现在离散数学中还是很合适的。至于由集合论引出的二元关系，函数的内容，也是理所应当的。

数理逻辑是一个让人眼前一亮的东西。我第一次发现，原来有些复杂的推理问题是可以通过“计算”的方法解决的。

数理逻辑，又叫符号逻辑。就是依靠专门的数学符号去推导过程对的科学。在推导过程中，我们探索出一套完整的规则。这个规格就是我们的推理规则。竟然为了确保这套规则的，准确性。防止二义性，以至于可以将公理理论公式化，依据各项规则，证得论证的有效性。

这一章里，我们首先学习了，命题逻辑的基本概念。并和一些逻辑连接词。包括真值连接词的否定，真值连接词合取，析取。我们可以用，符号形式写出各种命题，并利用真值表来判断命题的真假。用真值表来判断，命题是十分有效方便的。所以，对于真值表的记忆是十分重要的。命题公式的表示，也是用符号话的需要来给出的。随后我们学习了永真式和永假式，对于永真式和永假式的证明，用制表技术可以方便的给出。对于永真式，因为原子命题变元，不论表示什么命题，是真的还是假的，它总是真的。所以它反映的是命题逻辑的逻辑规律。所以我们着重研究永真式。下面，在一个公式中，如果用另外的是替换其中某个或某些原子命题变元，就会得到全新的公式，这个全新的公式，和原公式什么关系呢？进而引出了我们的代入规则和替换规则。为了更方便的证明各种命题，我们学习了，等价和蕴涵的各种定理，还有范式和范式的判定问题，其中主要是主析取范式和合取范式的概念，定理，证明。证明过程我们在课上都已经证明过了。在这一章还学习了三段式的证明，此证明方法在以后的学习过程中经常使用。

谓词逻辑就是对命题和推理做深一步的研究的学习。在谓词演算中，原子命题分为谓词和个体两部分。谓词逻辑就是将命题的内涵，通过个体和谓词中的表现出来，把同一类命题，用命题函数表示，增强其表达能力。在这里要注意的是，命题还是不是命题，因为其没有确定的真假异议，但是可以将一个命题函数转化为问题，方法有二，（1）用个体域中的特定个体去替换个体变元；（2）这个体域上，将命题函数量化。所谓量化，就是用量词的命题函数中的个体变元进行约束，由此引入了量词的概念。量词分为全称，量词与存在量词，量词反映了个体域与量词间的真假关系。此外，在谓词逻辑中，个体的个体域也是很重要的。将一个命题用谓词，逻辑符号化时，通常经以下步骤（1）确定特性谓词及其他谓词。（2）确定量词。（3）量词与逻辑连接词的搭配。有了量词的概念后，谓词逻辑表达能力就让广泛了，它所刻画的语句也也更为普遍，更为深刻。

代数系统，在计算机科学中也非常重要。在计算机科学中带出系统科，用作研究，抽象数据结构的性能及操作，也是程序设计语言的理论基础。

图论这一章里，我们学习的图并不是几何学中的图形。而是客观世界中某些事物具体联系的一个数学抽象。用点代表事物，用边表示各事物间的二元关系。这一章刚开始学的概念很多，让我感觉有些乱。所以在课后要自己多下功夫了。

然后就是我在学习中出现的一些问题及解决方法了，今天，在学习数理逻辑的时候，觉得离散数学这门课程很简单。但是随着学习的进一步深入，我发现我的想法是错误的。对于后面的一些推理论证，自己缺乏思路。虽然，老师在课上也教给了我们推理的方法，但是，还是忍不住去看书上的证明。这一点在随后的学习中，我一般尽量克服，也是在老师的帮助下，在证明时尽量自己想，憋自己一下，让自己的思维得到训练，自己的推理论证能力得到提高。进而使综合素质，都要提高。

再说一下李勇老师的讲课吧，讲的非常棒。首先它会对每一部分的内容，及，基本概念给大家进行讲解。然后就是强调自己的推理能力。每节课都会让我们自己推理，验证定理。从基础出发，从小定理验证到大定理，由特殊推广到一般。一般都会让我们从两三个开始验证，逐步得到结论，发现规律。一次，李勇老师对，课堂教学有着自己深刻的理解，对这门课的教学方法，教学模式有着独特的看法。还有就是李勇老师，朋辈式的教学方法，在教学过程中，我们共同进步，教学相长，这样是非常好的。

离散数学习题 篇8

1.A={,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。2.A={1,2,3,4,5}, R={(x,y)|x

4.A={a,b,c},R= IA ∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的等价类。

5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。

①如果A∪BC，则AC或者BC。②如果A×B=A×C且A，则B=C。

27.如果R是A上的等价关系，R,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。

8.已知A∩CB∩C,A-CB-C,证明：AB。9.证明：AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC)10.证明：P(A)∪P(B)P(A∪B)-111.证明：R[sym] iff R=R

-1212.证明：r(R)=R∪IA,S(R)=R∪R,t(R)=R∪R∪...13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。

15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I上的等价关系。

16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，R={<,>|xv=yu},证明：R是等价关系。

19.f:AB，R是B上的等价关系，令S={|xA且yA且R}，证明：S是A上的等价关系。

20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。

21.P和Q都是集合A上的划分，请问P∪Q，P-Q是否是A上的划分，22.RAXA,R[irref]且R[tra],证明：r(R)是A上的偏序关系。

23.画出{1,2,3,4,6}上整除关系的哈斯图，求{2,3,6}的4种元素。

24.A={a,b,c,d,e,f,g},R={(a,c),(a,e),(b,d),(b,f),(d,e),(d,f)},S=tr(R),画出S的哈斯图并求{b,c,d,f}的极大元等8种元素。

25.f:A→B,g:B→C都是单（满）射，证明：复合映射gof一定是单（满）射。

26.f:A→B,g:B→C，gof是单射，请问f和g是否一定是单射？请证明或举出反例。27.R是实数集，f:R×RR×R,f()=,请问f是否为单射？是否为满射？分别证明或举反例。28.已知B∩C=,令f：P(B∪C)P(B)×P(C)，对XP(B∪C),令f(X)=(B∩X,C∩X),证明：f是双射。

代数系统

1.是模8加群，Z8={0,1,2,3,4,5,6,7},+8是模8加法，求出的单位元、每个元素的逆元、所有的生成元和所有的子群。

2.求的单位元，零元，每个元素的逆元，每个元素的阶，它是循环群吗？求出它所有的子群。

3.R是实数集，在R上定义运算*为x*y=x+y+xy,问：是代数系统吗？有单位元吗？每个元素都有逆元吗？ ***4.R是非零实数集合，是代数系统，对于R中元素*x,y，令xoy=2x+2y-2。请问中是否存在单位元、零元、哪些元素有逆元？运算o是否满足交换律和结合律。分别说明理由。

5.R是实数集，R上的6运算定义如下：对R中元素x,y，f1()=x+y；f2()=x-y；f3()=xy；f4()=x/y；f5()=max{x,y}；f6()=|x-y|。问：哪些满足交换律、结合律、有单位元、有零元？说明理由。

6.是一个群，证明：G是交换群当且仅当对任意G中222元素x,y,都有等式(xy)=xy成立。

7.证明：如果群G中每个元素的逆元素都是它自已，则G是交换群。

8.循环群一定是交换群。

9.证明：阶为素数的群一定是循环群。

-110.是一个群，uG,定义运算*：x*y=xouoy, 证明：是一个群。

11.整数集Z上定义运算*：对任意整数x和y,x*y=x+y-4,其中+，-为普通加减法。证明：是一个群。

12.证明：如果群G中至少有两个元素，则群中没有零元。13.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划分

14.是一个群,aG,n是a的阶(周期)，证明：k<{a|k=0,2,…,n-1},o>是的一个子群。

15.H，K都是群G的子群，请问H∩K,H∪K,H-K是否一定是G的子群？ 16.H，K是G的两个子群，aG, 试证：aHaK当且仅当HK。17.G={1,3,4,5,9},*是模11的乘法(即x*y=xy mod 11)，请问(G,*)是否构成群？

n18.是群，e是单位元，aG,a的阶为k,证明：a=e当且仅当 n是k的倍数。

19.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划分

20.G是群，证明：S={aG|xG(ax=xa)},则S是G的子群。21.是偶数阶群，则G中必存在2阶元素。22.证明：6个元素的群在同构意义下只有两个。

++23.R为实数集，R为正实数集，与是否同构？ 24.是有限群，证明：G不可能表示成两个真子群的并。25.图论

1.如何判断二部图？完全图、完全二部图的边数。2.如何求E回路？

3.Petersen图是否为E图或H图。

4.哪些完全图是H图？哪些完全图是E图？ 5.n为何值时轮图为H图？ 6.如何求最小生成树。

7.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。8.证明：如果G是欧拉图，则其边图L(G)也是欧拉图。9.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。10.G是平面图，G有m条边，n个顶点，证明：m3n-6。并由此证明K5不是平面图。

11.证明：有6个顶点的简单无向图G和它的补图中至少有一个三角形。

12.证明：在至少有两个顶点的无向树中，至少有2个一度顶点。

13.G是无向简单连通图，G有n个顶点，则G最少有几条边，最多有几条边？

14.证明：简单无向图G和它的补图中至少有一个是连通图。15.证明：无向图中奇度点（度数为奇数的点）有偶数个。16.证明：n个顶点的无向连通图至少有n-1条边。17.G是H图，V是G的顶点集，证明：对任意顶点集S，SV，都有ω（G-S）≤|S|。其中ω（G-S）表示G-S的分图数目。18.一棵无向树有3个3次点，1个顶点次数为2，其余顶点次数为1，问它有几个次数为1的顶点？写出求解过程。19.证明：每个简单平面图都包含一个次至多为5的顶点。20.连通平面图G有n个顶点，m条边和f个面，证明：n-m+f=2。21.如果图G的最大顶点次数≤ρ，证明：G是ρ+1可点着色的。

22.G是无向简单连通图，G有n个顶点，则G最少有几条边，最多有几条边？

23.如果一个简单图G和它的补图同构，则称G是自补图，求所有4个顶点自补图。

24.G是平面图，G有m条边，n个顶点，证明：m3n-6。如果G中无三角形，则m2n-4。数理逻辑

1.如果今天是星期一，则要进行英语或数理逻辑考试。

没有不犯错误的人。整数都是有理数。有的有理数不是整数。

不存在最大的整数。有且只有一个偶数是素数。2.求真值表及范式：P(┓QR)、(┓QR)(PR)3.推理：

p(qr)，┓s∨p，q ├ sr pr，qs，p∨q ├ r∨s p∨q，p┓r，st，┓sr，┓t ├ q p(┓(r∧s)┓q),p,┓s ├ ┓q 4.如果小王是理科学生，他一定会学好数学。如果小王不是文科学生，他一定是理科学生。小王没学好数学。所以小王是文科学生。