向量在高中数学中的应用论文

向量在高中数学中的应用论文（共15篇）

向量在高中数学中的应用论文 篇1

一、向量在解决高中数学问题中的应用

向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。

另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。而现实过程中学生们掌握的向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。

最后，高中数学教材中对于向量的.介绍比较粗略，不能帮助学生更加深入的了解，在一定程度上不能满足学生的学习，种种问题都是影响向量解决数学问题的因素。还有一些教学只重视硬式教学的目标，为了完成教学任务而去教学，不能拓展向量的运用范围，学习的知识比较局限，不利于学生综合能力的培养。

二、总结

向量在高中数学中的应用论文 篇2

坐标与向量, 作为现行中学数学教材各成员中的“宠儿”, 与其它数学知识有密切的联系, 应用起来非常方便, 很讨人喜欢。以下根据本人的教学实践以及组织数学课外兴趣小组活动的经历, 与各位同仁谈谈平面向量如何体现它的工具与纽带的作用。

一、向量在图形上的应用

向量源于图形, 它和几何的关系本是“鱼水”关系。许多几何问题, 都可借向量简单解决。

例1、已知平面上的一个三角形ABC, 在已知平面上有一点P, 设AP的中点是Q, BQ的中点是R, CR的中点是S.证明只有唯一的一点P使得S=P, 另外, 设这点为P0时, 求△ABC和△P0BC的面积比。

因此, S△ABC:S△P0BC=21k:3 k=7:1.这里, 向量加法和定量比分点起了关键的定位作用, 具有其它方法所没有的优越性。

用向量法解几何题, 通常分三步进行:

首先, 将几何问题的条件和结论转化为向量问题, 用向量语言表示;然后, 设置基本向量, 将问题中的相关向量用“基本向量”表示出来;最后, 通过“基本向量”进行推理、运算, 得出求解结论。其中“基本向量”选取是否恰当, 直接影响问题解决的难易程度, 这是解题过程中一个关键要素。

至于向量在空间图形上的应用的好处, 教材和各种资料已有较多的论述, 各类问题都有专门的讨论。比如证明共线 (面) 问题、平行问题、垂直问题、角和距离的求解, 以及存在性等问题几乎都可以用向量来解决, 这里就不再举例了。

二、向量在函数中的运用

三、向量在证明不等式中的应用

该题证法极多, 但构造向量来证明不失为一种好方法。

传统的不等式的证明要用到分析、综合的各种“技巧”, 而向量法却回避了这些高“技巧”, 较为简单地解决了这些令人头痛的问题。

四、向量在三角中的应用

当把向量坐标形式表示, 且引进三角函数于坐标中时, 向量与三角就交溶为一体了。近年来各省份的高考、模拟考题, 经常出现这类问题, 应引起足够重视。

以上用到了向量的数量积定义, 坐标表示下的模公式, 内积公式以及三角恒等变形, 体现了综合利用三角知识和向量知识解题的能力。这种方法也比传统的解三角形方法更简易。

五、向量在数列中的应用

在向量坐标化的情况下, 如果考虑的是向量序列, 那么向量的问题实际便成了数列的问题。

这类问题的关键是利用向量的概念或运算转化为数列问题, 再用数列的有关知识解之。

六、向量在解析几何中的应用

解析几何的许多问题, 常常用向量语言来叙述。因此, 首先要正确运用向量概念把原文“翻译”过来;以便看出所论问题的实质。

事实上, 向量与解析几何的结合也是高考命题的趋势, 也应引起重视, 从上例可以看出, 除了要读懂“向量语言”外, 就是一个运用向量和解析几何知识综合解决问题的过程。

最后, 要强调的是, 向量具有工具性作用, 用它可证明许多重要公式。如利用向量的内积, 可证明公式Cos (α-β) =CosαCosβ+SinαSinβ

在单位圆周上取两点A, B使半径OA, OB的角分别为α, β,

同样, 可利用单位向量和数量积证明解三角形必须的三大定理———射影定理、正弦定理和余弦定理。

综上所述, 向量象一贴强有力的粘合剂, 把各部分知识连成一个有机的整体。由于这一点, 我们在教学中至少要做以下工作: (1) 让学生掌握向量的基本概念和基本运算, 在此基础上学会运用向量语言; (2) 了解向量知识与其它数学知识的交汇作用, 应用向量知识尽量简便地分析和解决问题; (3) 经常去对照有关问题的向量解法和传统解法, 把“向量思想”、“向量法”纳入基本数学思想或数学方法, 并在教学实践中逐步归纳、总结、完善向量思想, 学会举一反三。这无论对他们应考和将来的深造, 都是有益的。

参考文献

[1][日]圣文社编《大学入学考试·数学试题选》人民教育出版社。1979, 12

[2][日]矢野健太郎著《数学解题技巧》 (第二卷上册) 黑龙江人民出版社。1983, 10

[3]《新概念教材·奥赛全解》 (高一数学) 南方出版社2005, 5

向量在解决高中数学问题中的应用 篇3

【关键词】 向量；高中数学；应用；研究

高中数学问题相对于其他阶段的数学问题而言具有一定的复杂性，并且高中数学知识也有着相应的连贯性特点，所以针对一个题目会存在着多种解答方法。“向量”也可以用来解决数学中的许多问题，因此教师在进行教学、学生在进行题目解答时要发挥“向量”的作用价值，应用到各类数学问题中去。

一、教学策略中体现“向量”的价值意义

向量在许多数学问题上能够作为有效的手段进行问题解决，因此向量在数学教学中是一个非常重要的环节，教师进行向量基础知识的教学中就应该重视对向量的价值意义进行解释，使得学生对向量的学习保持着一定的热情，从而能够重视向量知识的应用。例如在学习“向量的加法”时，设a=（x，y），b=（x1，y1），向量满足着平行四边形法则和三角形法则，所以便可以得出AB+BC=AC，由此满足向量公式：a+b=（x+x1，y+y1），并且a+0=0+a=a。这个知识点就是一个关于向量在平面图形中的应用问题，所以教师便可以让学生进行猜想：平面问题的解决是否可以用向量知识来解答呢。这个问题就是“向量”价值意义的体现，促进学生在学习向量这个知识时能够结合其他知识来进行思考，推动知识的结合应用，充分把向量的价值意义能够从其他类型的知识体系中体现出来。这也是教师教学策略的体现，让学生巩固数学知识，寻找解决途径。又比如“数乘向量”的学习，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa=λ·a∣。当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。需要追的是：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。这种数乘向量的知识也有着其重要的价值意义，规律中对λ的讨论就是一种严谨性的数学意识，这在高中数学学习中非常重要，因此向量知识也将此体现出来。而向量特殊的方向性，对整个数学问题的讨论有着指导性作用，引导着学生更加注意到数学问题中的正负问题，这在其他类别的数学问题上也有着体现，所以向量的价值意义还在于对其他知识体系的映射，学生能够通过向量的学习类比其他数学问题，这便是非常重要的数学经验。

二、“向量”是一种解题的工具

对于数学题目的解决方法而言，向量更像是一种解题的工具，针对不同类型的题目，向量都能够运用其中。学生有时遇到难题，不妨可以往向量这个知识点来考虑，也许会为自己的思路创造一个新的途径。例如向量可以与线性规划知识联系起来，例如一道题目：“已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，1），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤向量OP·向量OM≤1，0≤向量OP·向量ON≤1，则z=向量OQ·向量OP的最大值为_______”这一道题目就充分将平面直角坐标系、线性规划等代数问题进行融合，学生利用向量的算法知识能够得到一条解析式，而这条解析式就与“最值”问题直接产生着联系，通过线性规划便能够得出题中所说要求的“最大值”。所以此题，向量作为一种工具把题目中的条件进行变性，从而跳到另一个知识体系的讨论中去，理清了题目的思路，简化的题目的问题。所以学生要学会进行观察和分析，弄清楚向量在题目中的作用。

向量的工具性还体现在解三角形的问题上，比如题目：“已知三角形ABC中，坐标依次是A（2，1），B（3，2），C（-3，1），BC边上的高为AD，则向量AD的坐标是_______. ”这道题目就是向量在几何问题上的应用，学生必须先对A、B、C三个点进行观察建立相关的向量表示法，才能找到解题的突破口，此题中D点的坐标是一个未知数，而通过其他三个点的向量标示才能够看出线段之间的联系，D点作为一个未知点可以用未知坐标表示法来与其他线段建立联系，从而推断出向量AD的具体坐标。由此可见，向量的应用在几何问题上也能够作为一种“工具”将看似复杂的问题简化。所以学生必须意识到向量的“工具性”作用才能为自己的解题开创道路。

三、培养学生的向量应用意识

向量不仅是一种联系题目与解题思路的工具，更是一种解决题目的方法，许多问题也可以通过向量来考虑，也许会比传统的方法更加省时省脑力。因此教师在进行教学时也要意识到向量知识是一种解题思路和方法，面对困难的问题时，向量也是一个值得考虑的方法，帮助学生快速组织思路、找到解题方法。例如在解析几何问题中，常常会遇到已知某些点的坐标，然后求另一个点的坐标问题。针对这种情况的问题，学生们大多数会因为题目范围是解析几何，涉及函数运算的问题，所以会忽视其他知识的运用。所以很多学生往往是通过求方程解析式，然后建立方程组，根据一系列运算规律得出某点坐标。而从向量的角度看，直接设立所求点的坐标未知数，然后根据向量的几何性质建立相应的函数解析式再来求出某个点的坐标。明显得出，向量知识在题目中的应用会比传统的解题思路要省力许多，放在考试上则会节约学生很多时间。所以教师在平时就要培养学生应用向量的意识，遇到难题时不要死停在传统的思路上，不妨运用向量解题的方法或许会开明许多。

总体而言，向量作为高中数学知识系统中的一个小部分，其功能和作用却有着不小的影响。教师需要做的是首先让学生明白“向量”在数学习题中的价值意义，从而培养学生的向量解题思维，帮助学生在不断的摸索中能够找到更多的解题途径和方法。向量作为一个特殊的数学问题是值得学生去琢磨和学习的。

【参考文献】

[1]张奠宙，袁震东.话说向量[J].数学教学.2007（09）

[2]齐民友.中学数学教学中的向量[J].数学通报.2007（04）

[3]操慧，陈德生.浅谈空间向量的教学体会[J].咸宁学院学报.2006（06）

向量在高中数学中的应用论文 篇4

回味平面向量的章节导言——课例：平面向量的应用举例 1 说明

［1］《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程是以模块和

专题的形式呈现的.因此，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力.例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系；向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系；数与形的联系„„”“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景„„能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.”

为了深入研究新课标、新课程、新理念，笔者在上述理念的启导下，在自己所在学校开设了一节公开课——平面向量应用举例（选自人教社必修4第二章），受到了其他教师的一致好评.现对这节课的课堂教学过程简录如下，并根据课后大家的点评以及个人的体会和看法做些分析，供大家参考，如有不妥之处敬请同行批评指正.2 教学过程简录

2.1导言引入，设置悬念

教师：前面我们一起学习了向量的线性运算和数量积运算，因为有了运算，向量的力量无限.（学生笑了笑，并示意的点了点头）

教师：今天我要带领大家再一次来回味一下本章内容的章节导言.(“哦！„„”学生发出一阵诧异和期待的声音)

教师：课本73页平面向量的章节导言中有着这么两段话：

（多媒体课件演示，以下不再注明）

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.教师：哪句话大家看后有特别深的体会啊？

学生：向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.学生：向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中有广泛的应用.教师：是的.我们在学习向量的线性运算和坐标表示的时候，就体会到了向量通过坐标运算可以把几何问题转化成代数问题.今天我们要通过研究几个具体的问题来进一步认识向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.教师：首先我们先看看向量是怎么沟通代数的，下面大家请看屏幕这道题目.2.1深化导言，层层递进

_______________

例

1、证明：对于任意的a、b、c、dR，恒有不等式(ac+bd)(a22b)(c22d).2金太阳新课标资源网

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（以一道不等式证明引起学生思考，学生纷纷动手，巡视片刻，绝大部分学生采用作差比较.但从他们都是紧皱着眉头看出证出这道题有困难.）

教师：不等式的右边是两个因式的乘积，大家能否看出每个因式“像什么”？比如a2b“像”我们学过的哪个知识点？（片刻，有些学生像领悟到了什2

么）

学生1：向量的模.（有些学生感到困惑）

学生2：（迫不及待地）应该说是一个向量模的平方.22教师：对！如果我们构造个向量m(a,b)，则ab就可看作向量m模的平方.（学生都明白过来了，轻声地说那cd

n(c,d)模的平方.）22不就可以看作向量

教师：不错，大家把不等式的右边看作是两个向量模的平方的乘积，那么不等式的左边又是什么呢？或者说像我们学习到的哪种模式？接下来要怎么证明请大家思考一下.

学生3：我觉得在构造向量m,n后，不等式的左边就可以看作是向量m,n数



量积的坐标表示.设向量m,n的夹角为，则有：

mnacbd.然

行放缩就可以得到结论了.（听到他的表述，全班同学都发出赞许的声音：“对哦！”）

（板书解题过程，略）

教师：这道题目如果纯粹采用代数的方法去证明可能很困难，但是我们在这里通过构造法利用向量的数量积知识来处理，显得比较简单和直观，下面我们来看一个类似的变式题目.练习

1、求函数f(x)

最小值.（学生在沉思）

教师：能否用向量的方法去思考.（稍微点拨，学生恍然大悟）



学生4：构造向量u(x1,1),v(4x,3)，那么函数f(x)就可以看作是向量u,v模的和，然后利用uvuv就可求得f(x)的最小值为5.（听到她如此流畅的表述，全班同学都投以赞许的目光，并发出啧啧的声音表示向量在代数方面的应用的确奇妙.）

教师：以上那两个例题是说明向量在代数中的应用，当然以后我们学了其它知识也可用其它方法来做.接下来我们要来看看可用向量方法来解决平面几何中的一些问题.例

2、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.教师：前面我们学习过了，凡是涉及长度问题常常考虑向量的什么？

学生：向量的数量积.教师：不错！凡是涉及到向量的模，我们考虑它的数量积.那大家发现了什么没有？

学生5：计算

AC22AC与DB22发现 AD22(ABAD)AB2ABAD DB2222(ABAD)ABAD2ABAD

ACDB22(AB22AD)

因此得出结论是：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.教师：完全正确！同学们听明白了没有？

学生：摁.（学生们笑了笑）

教师：平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的交角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.教师：从这个例题我们看到了解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.下面我们共同来用向量的方法来解决另一个平面几何中的问题.练

2、如图2，已知四边形ABCD为菱形，请用向量方法证明ACBD.学生6：只需证出ACDB0即可.教师：那要怎么证明呢？ 学生6：因为ACABAD,DBABAD,2所以ACDB(ABAD)(ABAD)AB因为22ABCD是菱形，所以ABAD,所以ABAD0.因此ACDB0,所以ACBD.教师：看来向量在平面几何的简单应用同学们可以掌握了.那同学们，你们说平面向量的哪块知识是沟通平面几何的关键？

学生：平面向量的数量积.教师：不错，平面向量的数量积是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，从而使几何和向量有较好的联系和沟通.因此我们

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还可以用向量知识可以证明或推导许多几何定理和其他性质.学生：这么奇妙，原来向量这么有用.（学生都赞同地点了点头）

教师：是的.那我们又要回到本章导言了，那你们说向量还沟通什么知识我们没给出例子的？ 学生：三角函数.教师：看来同学们都很期待嘛.教师：那接下来我们就高姿态的看看向量是如何

和三角紧密在一起的.例

3、如图3，在平面直角坐标系中，以原点

为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin),图

3B(cos,sin),试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.教师：前面我们刚提过涉及到夹角问题我们可用哪些相关知识来解决？

学生：向量的数量积.教师：完全正确!那谁来帮忙解答这题.学生

即

cos()coscossinsinOAOBcoscossinsin7：cosAOBcos()11OAOB.学生：太神奇了！这个公式能用吗？

教师：当然.这次我们发现了新大陆啊！这个公式可是沟通第二章与第三章的桥梁，把书翻到126页，同学们发现什么？

学生：就是刚才我们证明的这个公式.教师：对，我们把这个公式叫做差角的余弦公式.有了它，我们可以做很多工作，比如我们利用这个公式来算算cos15.学生8：cos15cos(4530)，4.教师：反应很快嘛.教师：例3这个例子，主要是让同学们体会向量在三角中的运用，同时也为后面章节中两角差的余弦公式的学习作准备.比如根据差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角与和角的正弦公式，同学们自己下去可自行探究.今天我们在这里扯远了先暂时不提.2.3体验过程，完善认知

教师：现在请同学们谈谈学习这节课的感受，究竟你获得了哪些知识？ 学生5：向量是集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.学生3：觉得向量数量积是一个很重要的概念.学生7：我也觉得向量的数量积ab是一个非常重要的概念，它是解决一些涉及距离、夹角等问题的一种有力工具.„„

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教师：今天我们通过学习向量在代数、几何、三角中的应用，明白了“数学是有用的”吧！而且数学是自然的、清楚的.希望同学们能类比地学、联系地学，对数学有个正确的认识.（教室响起一片热烈的掌声和笑声）教学特色简评

文【1】指出：“数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力.在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系.”本节教学就是基于这点，使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、代数问题以及三角问题的过程，体会向量是处理几何问题、代数问题等的工具，提高学生运算能力和应用能力.下面就简单地评说一下该课例的特色之处.3.1注重提高学生的数学思维能力

新课程标准实施之后的数学课，不再以“重点是否突出，内容是否完成，技能是否掌握”为单一的知识目标，也不再是以“板书是否清晰，语言是否流畅，用时是否合理”等片面的艺术价值观来评价一堂课.它更注重过程性原则，是否让学生真正地去“感受数学”；是否充分体现学生在发展中的主体地位，在数学活动中充满探索和创造等等.而这一切都是以发展学生的思维水平和能力为宗旨.这堂课采用了以“回味”的趣味性导入，至始至终引导学生应用向量的意识，把学生应用能力的培养放在优先地位，这充分体现了以学生为主体的教学理念.比如例1与练1，学生很可能用不等式与函数的知识直接去处理，可是经过引导可用向量方法来做，学生的思维马上就可以发散出去.再比如把向量应用在三角方面，得到了差角的余弦公式，有助于学生了解数学概念和结论产生的过程，体验数学研究的过程和创造的激情.后来又说“比如根据差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角与和角的正弦公式，同学们自己下去可自行探究.”这也有助于培养学生独立思考和勇于探究的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力.3.2强调本质，注意适度形式化

高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探究活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，进一步理解数学的真正本质.很多学生学了向量只知道向量的外表形式即它可以线性运算、坐标表示，却不知向量的真正内涵与使用价值.因此根本不知道向量可用在哪里，更谈不上对知识的承上启下，因此感觉数学是索然无味的.本节课就克服了这点，用“回味”来吸引学生，一直努力揭示向量是解决几何等其他问题的一种有力工具，以及培养学生应用的意识.例1这个题目通过不等式的证明引出向量的数量积，使学生达到了对数学概念的深刻理解，从而真正认识了数学的表达形式与本质的统一.文【2】也指出：“平面向量的教学着眼于让学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合思想.向量既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象，向量可以进行运算；作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象.运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的.”本节课的例2就做到了数与形的结合，形式与本质的辨证统一.3.3教学过程生动活泼、妙趣横生

回味本章内容的章节导言作为开场白，给学生留下了一个悬念.在慢慢给出向量的应用时，学生才品味出这导言的深刻内涵，知道了向量与几何、向量与代数、向量与三角恒等变形的联系是有血有肉、不容分割的.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

本堂课的设计还是具有比较先进的教学理念和教学模式，教会学生注重联系，领略思想；引导学生开阔视野，拓展思维.因此教学过程生动活泼，处处是一片愉悦的景象.同时教学语言妙趣横生，让学生更加喜欢参与进来.比如“看来同学们都很期待嘛”“那接下来我们就高姿态的看看向量是如何和三角紧密在一起的”“这次我们发现了新大陆啊！这个公式可是沟通第二章与第三章的桥梁.”等等都让学生获得对该学科学习的积极体验与情感.课后反思

4.1本课例满意之处

在执行新课改中，这一节诚然是对教师的一次严峻挑战，因为在老教材中没有出现过这节内容而且很少关注向量的真正应用.以往学生学了向量知识也很少懂得去联系或沟通其它分支的知识.本课例令我最满意之处就是用“回味”章节导言，牢牢抓住“向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具”这根主线，逐一向学生介绍向量的应用领域，让学生获得对该学科学习的积极体验与情感.本课例还令我满意的就是整节课的构思很注重数学各分支的联系，这样有利提高学生对数学整体的认识.特别是例3用向量方法推导出差角的余弦公式及简单应用，使本节课达到了应有的高潮，所以学生也对此评价很高.4.2课后再反思

高中数学平面向量教案 篇5

1 掌握平面向量数量积运算规律;

2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;

3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

教学重点：平面向量数量积及运算规律

教学难点：平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 

教学过程：

一、复习引入：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量 与 ，作 = ， = ，则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有  = | || |cos，

(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0

3.“投影”的概念：作图

定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |

4.向量的数量积的几何意义：

数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积

5.两个向量的数量积的性质：

设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

1  =  =| |cos;2    = 0

3当 与 同向时，  = | || |;当 与 反向时，  = | || |

特别的  = | |2或

4cos = ;5|  | ≤ | || |

6.判断下列各题正确与否：

1若 = ，则对任一向量 ，有  = 0 ( √ )

2若  ，则对任一非零向量 ，有   0 ( × )

3若  ，  = 0，则 = ( × )

4若  = 0，则 、至少有一个为零 ( × )

5若  ，  =  ，则 = ( × )

6若  =  ，则 = 当且仅当  时成立 ( × )

7对任意向量 、、，有(  )  (  ) ( × )

数学思想在高中物理中的应用 篇6

解：首先使温度升高为T0以至水银柱上升16厘米，水银与管口平齐，此过程是线性变化。温度继续升高，水银溢出，此过程不再是线性关系。设温度为T时,剩余水银柱长h,对任意位置的平衡态列方程：

(76+ h1)×60/300=(76+h) ×(96-h)/ T    整理得：

T=(-h2+20h+7296)/19.2

h的变化范围0――20，可以看出温度T是h的二次函数，此问题转化为在定义域内求T的取值范围,若Tminmax，只有当温度T大于等于Tmax 才能使水银柱全部溢出，经计算所求值Tmax =385.2 。

只有通过二次函数极值法，才能从根上把本体解决。加强数学思想的渗透是新教材新的一个体现，比如：“探索弹簧振子周期与那些因素有关”，“探索弹簧弹力与伸长的关系”。在实际教学过程中应该引起高度重视并加以扩展。

大学物理课程与高中物理课程跨度较大，难点在于运用数学手段探索性研究物理问题的方法，另外微积分思想比较难以理解，为了与大学物理课程更好的接轨，在高中阶段对学生进行微积分思想的渗透也是非常必要的。因此在高中物理教学过程中应抓住有利时机渗透微元思想，为学好微积分奠定良好的基础。渗透的内容应该有两方面：一是变化率，二是无限小变化量，比如：

在讲速度时，平均速度v=△s/t,即时速度呢？△s/t就是变化率,当△s取无限小时，v就可以理解为某一时刻的速度――即使速度。加速度a=△v/t, △v/t是速度变化率，当△v取无限小时，加速度a就可以理解为某一时刻的加速度。象这样的例子还有w/t,I/t, △φ/t等等。总之高中物理教师应当根据学生的具体情况适当的渗透微积分的思想并加以配套练习，达到巩固理解的目的。下面讨论一个相关题目。

【例二】一竖直放的等截面U形管内装有总长为L的水银柱， 当它左右两部分液面做上下自由振动时，证明水银柱的振动时间谐振动。

解：设两液面相平时速度为V0,建立坐标如图。

当有液面上升x时，液体速度为v,则根据能量守恒的

mv02/2=△mgx1 +mv12/2             ⑴

△m=mgx1/L                     ⑵

⑵带入⑴得

mv02/2=mgx12/L +mv12/2                ⑶

当液面在上升△x时,x2=x1+△x  则

mv02/2=mgx22/L +mv22/2                ⑷

⑷减⑶ 得

0=(x22-x12)mg/L+m(v22-v12)/2化简得：

0=(x1+x2) mg△x/L+m(v12-v22)/2        ⑸

△x很小，则认为加速度a不变,根据运动学公式得：

v12-v22=2ax带入⑸得

0=2x△xmg/L+2ma△x/2              ⑹

向量在高中数学中的应用论文 篇7

一、向量知识在高中数学中的作用

1. 利用向量方法证明两角差的余弦公式

例 cos ( α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

2. 利用向量学习复数知识

复数的几何意义:

( 1) 复数z = a + bi与复平面内的点 ( a, b) 一一对应.

( 2) 复数z = a + bi与向量OZ一一对应, 其中Z点坐标为 ( a, b) .

逻辑上复数可以和向量互相替代, 互相转化. 所以抽象的复数知识用向量也可以解决.

3. 利用向量学习立体几何问题

空间向量作为新加入的内容, 在处理空间问题中具有相当的优越性, 比原来处理空间问题的方法更有灵活性. 立体几何的计算和证明常常涉及两大问题: 一是位置关系, 它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行; 二是度量问题, 它主要包括点到线、点到面的距离, 线线、线面所成角, 面面所成角等. 这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角, 而用向量解决线面平行, 计算点到平面的距离、线面角及面面角问题不仅是多了一种方法, 更是解决了一些以前可能解决不了的问题, 比如求二面角问题, 假如不用空间向量法有时很难求解.

( 4) 向量知识在不等式中的应用

利用向量数量积的一个重要性质变形为可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目, 采用构造向量去解往往能化难为易, 同时有效提高学生的观察分析能力和想象能力.

如: 已知x > 0, y > 0, 且x + y = 1, 求的最大值.

二、平面向量是高中数学的新增内容, 也是高考的一个亮点

1. 直接考查向量知识

例【2009年江苏卷】第二题: 已知向量a和向量b的夹角为30°, , 则向量a和向量b的数量积a·b =__ .

答案:

2. 向量与三角的融合

例【2013年江苏卷】已知a = ( cosα, sinα) , b = ( cosβ, sinβ) , 0 < β < α < π.

( 1) 若, 求证: a⊥b;

( 2) 设c = ( 0, 1) , 若a + b = c, 求α, β的值.

解答略.

3. 向量与解析几何也是高考的命题热点

高考命题中对知识综合性的考查, 往往在知识网络交汇点上设计试题, 注重学科的内在联系和综合.

例椭圆的焦点为F1, F2, 点P为其上动点. 当∠F1PF2为钝角时, 点P横坐标的 取值范围是__ .

在高中数学中运用向量知识解题, 特别是几何问题, 思路会更清晰, 目标更明确, 更易于掌握. 而作为学生, 因为接触到了新的内容, 不仅会增大知识的容量, 而且由于立足于向量这一新的视角, 会进一步拓宽思维的渠道.

向量在解决高中数学问题中的运用 篇8

关键词：向量   高中数学   运用

一、向量的含义和基本特点

向量于20世纪进入数学领域，但其在19世纪就已经被物理学家和数学家研究和运用。20世纪90年代，我国把向量的相关知识纳入高中数学，并成為高中数学的重点。在向量中，集合以V表示，V构成了向量的加法换算群。在V中，运算出向量的数量积，就可以表达向量的长度。在向量长度具有实际意义之后，（V，R）对向量相关的运算构成了线性范围。向量是数学建模的基础，也是代数的主要研究对象，所以向量可以解决很多数学难题。向量具备了形和数的特点，把数和形联系成一体，既可以表示物体的位置，又可以反映物体的面积、长度等基本性质。对于一些抽象化的问题，向量还可以把其具象化，形成直观的模型，便于解决问题。

二、向量在高中数学问题中的运用

1.向量在平面几何中的运用

向量的大小和方向可以反映相关线段或点之间的长度关系以及位置关系。根据不同的性质，向量还可以分为平行向量、共线向量和零向量等。在平面几何中，利用向量知识来解决相关问题，比运用几何知识解决问题更加方便。如通过把线段转化为向量，再利用向量的相关知识，学生就能轻松解决问题了。在平面几何问题中运用向量时，学生一定要对应清楚点和线之间的关系，否则会得出错误的结果。

2.向量在不等式证明中的运用

在证明条件不等或不等式时，学生经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理，否则很难证明。此时，假如学生运用向量知识进行变形处理，则会简化问题，容易证明结果。

举例来说，有一个等式（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，其中m、n不等于0，求证a/m=b/n。对于这个问题，只要学生细心观察等式，就能发现括号部分与向量的模以及数量积是一样的，所以可以设向量P=（a，b），向量Q=（m，n）。通过式子，可以看出P和Q是平行关系，再利用平行向量的特点，就可以得出an-bm=0，再进行变换，就可得出a/m=b/n的结果。所以，在不等式证明中，学生只要把相关数字转化为向量，就能把抽象的关系转化为具象的向量关系，从而轻松地得出结果。在不等式证明中运用向量时，学生一定要仔细观察不等式的基本特点，找出向量的切入点，再加以运用。

3.向量在解方程中的运用

方程解析在高中数学中是很常见的问题，对于某些方程而言，假如直接通过技巧变形很难解出方程，这时学生就可以考虑使用向量来解决问题。

4.向量在三角函数中的运用

三角函数是高中数学的重点和难点内容，也是高考的必考内容。学生可以通过向量数量积，把向量与三角函数有机结合起来，为三角函数相关问题提供便利的解决方法。

举例来说，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求解a，b的值。根据三角函数公式，对原式进行变形，可以得到（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。仔细观察该式，学生就会发现其与向量数量积一致，于是设向量P=（1-cosb，sinb），向量Q=（cosa，sina），把两个向量相乘，可得PQ=3/2-cosb，|P||Q|=，再根据相应关系可得|3/2-cosb|≤，cosb=1/2，即∠b=600，再把它带入原式，可以得到∠a的值。在三角函数的问题中运用向量法，可以简化三角函数的变形步骤，具象三角函数之间的关系，把复杂的问题转化为简单的向量，大大提高解题的效率。

三、结束语

在高中数学中，向量具有极大的实用性，从平面几何到空间几何，从三角函数到方程不等式，都可以运用向量的相关知识来简化问题。因此，学生在学习过程中应当灵活运用向量，不断提高自身的学习效率和质量。

参考文献：

[1]朱音.例谈向量方法在高中数学解题中的应用[J].长三角：教育，2012，（7）.

[2]王晓.高中数学解题中向量方法的应用分析[J].高中数理化，2014，（12）.

[3]刘永斌.向量在高中数学解题中的应用[J].吉林教育，2010，（3）.

空间向量在立体几何中的应用 篇9

例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：设点F的坐标为又，故，所以PB⊥平面EFD。，则

从而所以

由条件EF⊥PB知，即，解得

∴点F的坐标为，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—

中，E、F分别是，的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值为。

（2）∵

∴

∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成的角（2）直线与平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助这两条直线的方向向量的夹角

主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

方法二：，∴

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距离为（3）设

是平面的某一法向量，则，∵因此可取，由于

∴，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。

点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。

（1）平面的法向量的求法：设联立后取其一组解。，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

②设或其补角。

分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角

（4）异面直线间距离的求法：

是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是

上的任意

两点，则。

（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。

向量方法在立体几何教学中的应用 篇10

向量方法在立体几何教学中的应用

作者：王龙生

摘 要： 在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都作为重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，能避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.关键词： 向量 立体几何教学 数形结合在江苏省对口单招数学试卷中，立体几何这一章的知识点每年都是重点考查的内容.每年我校考生在立体几何解答题上的得分情况都不太理想.向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.根据向量的数形特性，可以将几何图形数量化，从而通过运算解决立体几何中的平行、垂直等问题，避免构图和推理的复杂过程，有利于降低解题难度.一、将立体几何中的平行问题转化为向量平行来证明

二、将立体几何中的垂直问题转化为向量垂直来证明

由于立体几何中的垂直问题图形比较复杂，加上学生的空间感比较薄弱，因此学生很难解决.把立体几何中的垂直问题转化为向量垂直，其优越性非常明显，具体体现在：两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”体现在一个等式中变为纯粹的运算，所涉及的向量易于用坐标表示就足够了.立体几何中的线线、线面、面面垂直，都可以转化为空间两个向量的垂直问题解决.1.“线线垂直”化为“向量垂直”

华罗庚关于“数形结合”有一句名言：“数缺形时少直观，形离数时难入微.”向量是基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具之一，体现了数形结合的思想.因此，充分掌握、运用好向量知识，可以提高学生的数形结合能力，培养学生发现问题的能力，帮助学生理清数形结合呈现的内在关系，把无形的解题思路形象化，有利于学生顺利地、高效率地解决数学问题.利用向量方法研究立体几何问题，能避免传统几何方法中繁琐的推理及论证，有效提高学生解决立体几何问题的能力.参考文献：

向量在高中数学中的应用论文 篇11

一、 帐篷设计

【背景材料】 四川日报2011年11月25日讯：蓝天白云下，秋天的川西北高原上，格外迷人。沿公路远远望去，一座座新型帐篷扎在牧民定居点旁边，像一簇簇花朵，盛开在草原上。走进一个个宽大、敞亮的帐篷，崭新的便携式直播卫星数字电视机，高低可调的折叠床等设备处处透着时代的气息，处处细节显示着牧民生产生活条件今非昔比。沧桑巨变从2008年起步，那年，为了改善藏区牧民群众生产生活条件，省委、省政府高瞻远瞩，提出在藏区实施牧民定居行动计划和帐篷新生活行动……

【命题分析】 为了改善藏区牧民群众生产生活条件，四川省委、省政府高瞻远瞩，提出在藏区实施牧民定居行动计划和帐篷新生活行动，让藏区牧民住进新帐篷，过上好生活。小帐篷，大科技，空间向量与立体几何等数学知识在帐篷的设计中大有可为，以此为背景设计可命制出令人赏心悦目的数学试题。

【试题设计】 要用一块边长为10米的正方形帆布，按图1将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形的帆布帐篷，如图2所示．试问；怎样裁才能使加工制成的帐篷的容积最大？最大容积是多少？

解析 这个问题的实质是一个折叠问题，关键是处理好折叠后所得的正四棱锥中的“高”与“斜高”的关系，以及折叠前后的不变量与不变关系．设制成的正四棱锥形帐篷的底面边长为2x米，易知其斜高为5米，故其高为25－x2，四棱锥的容积为：

V=13(2x)225－x2

=223x2•x2•(50－2x2)

≤2235033=1 000327（立方米），

当且仅当x2=50－2x2，即x=536（米）时取等号．

答：当余下的等腰三角形的底边长为1036米时，制成帐篷的容积最大，最大容积为1 000327立方米．

点拨 这是一道是帐蓬的设计为背景而的实际生活中的最优化问题，具有浓厚的生活气息，主要考查的立体几何中多面体与几何体的体积计算以及运用基本不等式求函数的最值等基础知识和基本方法，考查数学建模的意识和能力。根据题意建立起目标函数，然后再运用基本不等式求出最值，问题就迎刃而解了。本题中，求目标函数的最值，也可以运用导数的方法处理，读者不妨一试。

二、 食品包装

【背景材料】 中国设计网2011年3月25日消息: 为进一步推动中国包装创意产业的发展，为创意设计注入新的活力，中国包装联合会、世界包装组织亚洲包装中心和《包装世界》杂志社即日起举办高起点、高水准、国家级的设计大赛——2011年中国包装创意设计大赛。这是一项由业界、学界支持，立足于院校与专业设计机构，企业与院校相结合，共同促进创意设计产业发展的重大活动，也是国内包装创意设计领域继“2010年中国包装创意设计大奖赛”成功举办后的又一个重大赛事。

【命题分析】 高科技、高智能的生产设施，将不断推动包装工艺的发展，新的工艺流程、自动化、电脑一体化的应用会给食品包装提供更多、更新的设计构想。现代新型高超的印刷、制版技术给包装的各个环节提供了实现完美效果的保证，艺术与科学技术结合的更加紧密，彼此相互作用，相互制约。然而，这些都离不开数学知识、数学思想和数学方法的支撑。因此，包装设计的问题也会得到高考数学命题专家们的关注。

【试题设计】 有长、宽、高分别为88 mm、48 mm、22 mm的长方体礼品盒10个，将这10个长方体的礼品盒打成一包，要求盒与盒之间必须是以全等的面对接，打完的包是长方体形．问：怎样打包可使得所用的包装材料最少？

解析 要解决这个问题，就要依据规则先考虑共有多少种打包方式，其次要考虑各方式的包法表面积分别是多少，最后再通过比较的方法得出表面积最少的一种．

设长方体盒的三个面的面积分别为A、B、C(A

（1） 第一类：在1×1×10型中，三种打包方式的表面积分别为：

S1=2C+20B+20A，S2=20C+20B+2A，

S3=20C+2B+20A．

∵A

（2） 第一类：在1×2×5型中，六种打包方式的表面积分别为：

S4=10C+4B+20A，S5=10C+20B+4A，

S6=4C+10B+20A，S7=4C+20B+10A，

S8=20C+10B+4A，S9=20C+4B+10A．

由于S4～S9都是34个面的和，而又因为A<B

又S6－S1=(4C+10B+20A)－(2C+20B+20A)=2C－10B=2(48×88－5×22×88)<0，

∴S6

点拨 本题以食品包装为背景，在立体几何与不等式等知识的交汇处设计，数学模型的建立是解题的关键。解决这一问题的主要意义在于对长方体型的盒子进行包装，如何按规则形状包装时能使其包装材料最省，属于工业设计中的最优化问题。此问题可以一般化，即当礼品盒有n个时，按本题提供的规则包装，按怎样的方式，能使包装材料最省？

三、 空间测量

【背景材料】 新华网北京2011年5月23日电：为了保护气象设施和气象探测环境，确保气象探测信息的代表性、准确性和连续性，中国气象局组织起草了《气象探测环境和设施保护条例（送审稿）》，报请国务院审议。国务院法制办在听取有关部门、地方人民政府意见的基础上，经与中国气象局研究、修改，形成了征求意见稿，公开征求社会各界意见。

【命题分析】 气候、环境的变化，自然灾害频发，对人民的生命和财产安全造成了极大的威胁，做好气象探测预报工作，保障人民的生命财产，最大限度地减轻自然灾害对人类的危害，显得愈来愈重要，成为广受关注的社会热点。这里，也蕴含着丰富的数学问题，围绕这样的问题，命制高考数学试题，应当引起我们的高度重视。

【试题设计】 一个气象探测气球以每分钟14米的垂直分速度由地面上升，10分钟后由观察点D测得气球在D正东，仰角为45°；又10分钟后测得气球在D的北偏东60°，仰角为60°．若气球是作直线运动，试求风向和风速．

向量在高中数学中的应用论文 篇12

用向量来解有关平面几何的数学竞赛试题, 最重要的是要懂得把几何中的元素翻译成向量语言.向量就是一条有向线段, 利用向量易于把握图形中线段和点的位置关系;向量的坐标表示又在平面几何的图形变换与代数运算间架起了桥梁, 使得解决有关平面几何的中学数学竞赛试题的渠道更加多样.向量的内积公式则建立了两向量的内积、长度、射影、夹角、坐标之间的关系.因此, 凡是在数学竞赛试题中碰到有关线段的长度、夹角、三角形面积、证明线线垂直平行等问题, 都可借助内积来解答.

下面就介绍一下向量在平面几何中的应用:

一、求最值

向量在数学中是一个具有几何和代数双重身份的概念, 根据其本身所具有的特性及相关的运算性质, 可以用来求参数的范围和最值.

点评:有些几何问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现, 但如果运用向量知识来解决, 也会显得自然、简便, 而且易入手.

二、线线平行垂直问题

例2.如果四边形ACPQ, AMBE, AHBT, BKXM, CKXP都是平行四边形, 求证:ABTE也是平行四边形 (各四边形的顶点都按逆时针方向给出) .

故四边形ABTE是平行四边形.

点评:此题用向量思想方法证明, 非常简单明了, 在证明过程始终只用到一个结论:平行四边形的充要条件是一组对边平行且相等.若本题不用向量法证明, 将会非常困难, 并且所需的几何图形也非常难画.

三、求曲线 (或直线) 的方程

在用向量形式表示的几何问题中, 可以将向量的数量积转化为坐标形式, 而共线向量的转化则常用到定比分点的坐标公式, 转化后变为常规问题来处理, 从而可以求得曲线 (或直线) 的方程.

参考文献

[1]沈玉清.向量的综合应用[J].考试 (高考数学) , 2009 (9, 10) :69-71.

情景教学在高中数学教学中的应用 篇13

作者：左启刚

摘要：随着经济的发展，国家对教育的重视程度逐渐增强，对于我国目前把高考当作筛分人才培育等级的现状而言，高中教育对于一个学生而言是非常重要的。为了迎合时代的发展要求，以创新思维开创全新的教学模式，提高教学效率，教师就应该学会利用合理的先进方法去改变课堂模式，这其中非常有效的一个方法就是情景教学法。本文从情景教学法对于高中数学教学的意义以及运用此法的措施两个方面展开思考。

关键词：情景教学法；高中数学教学；学生思维培养

引言：中华民族是历史悠久的文明古国，无论是文学思想还是理学概念亦或科技发展，都是世界上鲜有的国度。在文明传承的过程中，随着世界文化的融合与相互借鉴，我国的教育模式与思想也逐渐更加现代化和长远化，在我国传统的教育考试系统里，一直以讲授单一的方式在进行。而在新课改后，我国高中为了培养更加优秀的人才，开始对理科科目特别是数学课程进行了改进，逐渐引入情景教学法这一模式，希望这一方法会带来好的效率和成果。

一、情景教学法对于高中数学教学的意义

（一）有利于培养学生的活跃思维

在高中数学课堂上，面对沉重的高考大多数学生的压力都比较大，面对繁重的作业也难免焦虑厌倦，这时课堂效率的提高就显得更加重要。在我国目前的教育领域里，除了少数贵族高中，大多数高中都还没有能力利用先进的教学设备去完善课堂，这也就要求数学教师应该改进方法利用更好的方法去开发学生的思维，帮助他们走出疑惑，情景教学法就是其中之一。如果教师善于利用情景教学，就会在活跃课堂气氛的同时对学生的思维起到开发作用，也会在相同时间给学生传授更多的知识，所以在高中数学教学里，情景教学法极其重要。

（二）有利于帮助学生深入理解数学概念

在高中数学的学习中，为了适应高考，每一个学生都要把数学当作重中之重去学习和看待，为了更好的帮助学生去理解抽象生涩的概念，教师应该学会运用合理的创新方法去对课堂进行整改，这时情景教学法就起到了很重要的作用。情景教学法的运用不仅可以活跃学生的思维，更是帮助学生理解数学概念的最好方法，让学生们走出课本，真正走进数学，是情景教学法最重要的存在目的。

（三）有利于提高教师教学能力

情景教学法与传统的教学模式不同，它要求更加生动的讲解与对概念的分析，如果一个教师只拥有讲授能力却没有应用概念到实际中的能力，那么这个教师就是不合格的。情景教学法可以在很大程度上改善这样的问题，可以帮助培养所有的教师学会如何教学生学以致用，锻炼更加优秀的传递知识与表达的能力，在加强学习数学效率的同时也提高了教师的教学能力，进而对整个高中数学教育的想前发展形成良好推动作用。

二、情景教学法在高中数学教学中的应用措施

（一）运用模型演示创设情景

在高中数学的学习过程中，为了更好的投入到高考复习里，教师通常会加快讲课进度，把固定的课程任务提前完成，这时就自然的为学生带来了压力。这时如果可以有一种合适的方法运用情景教学法，就会达到更好的效果，方法之一就是运用模型演示创设情景。例如，在讲授排列组合的性质和计算时，对于排列组合初步认识时，学生可能对这一概念很难接受，这时教师可以创设人物情景，挑选一些学生让他们代表某个数字，然后，根据他们位置的变换去印证结果与公式的关系，这种生动的情景就会让学生对排列组合知识的理解更加容易，从而提高教学效率。

（二）利用数学实践提高学生数学素养

在我国高中教育里，无论是哪种学科，都存在缺乏实践这种问题，特别是对于数学这样的概念性很强的理科。为了提高学习效率，适应高考的同时培养学生的素养与思维，就应该利用数学实践提高学生的整体素质，更好的运用情景教学法。例如在学习统计表和统计图相关问题时，简单的表述与计算并不能帮助学生理解和解决问题，这时教师应该开展类似于学生调查等活动，在活动调查中鼓励学生记录数字，学会利用学过的概念与公式去解决相应问题，在真正的生活情景下学习数学，培养思维，才能真正达到数学教学的目的与标准。

（三）加强学生的数学知识体验 在高中数学的教学工作中，讲解概念是一个重要方面，更重要的是教会学生如何运用知识到实际问题里，无论是对于习题还是生活实际，知识体验都是非常重要的。所以，为了更好的运用情景教学法，教师应该学会加强学生对数学知识的体验，例如，在学习立体几何过程中，很多学生都不能在短时间内接受和运用立体思维，更不能很好的去解决习题和生活中的立体问题。在此情况下，教师可以为每一个学习小组都配备教学道具，让学生对于正方体、锥体、长方体、球等简单的立体图形有更加深入的了解，并带领学生在触摸和感官的情况下学习和推算计算公式，如果在环境允许的条件下，教师可以带领学生走出校园，把教学定位在更加直观丰富的户外，从而对抽象的立体概念进行更加全面轻松的讲解，加强学生的知识体验，为高考数学做基础，也促使学生在生活中善于更好的利用数学知识。

高中数学平面向量的数量积教案 篇14

1、教学主要内容

(1)平面向量数量积及其几何意义

(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题

2、教材编写特点

本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想

用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考

本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析

1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形

a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣

即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考

对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、 学习目标

1、知识与技能

(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法

通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观

培养学生运算推理的能力。

四、教学活动

内容 师生互动 设计意图 时间 1、课题引入 师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘

师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。 3min 2、平面向里的数量积定义 师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：

已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab

②O与任何向量的数里积为O。 直接给出定义，可以让学习对新知识的求知数得到满足，并对新知识的探究有一个方向性。 5min 3、几何意义 师：同学们猜想

a·b=∣a∣∣b∣cosQ

用图怎么表示

生：a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

=∣OM∣·∣OB∣

师：数里积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影∣b∣cosθ的面积。

师：请同学们讨论数量积且有哪些性质

通过自己画图培养学生把问题转化到图形上，到图形上解决问题的能力。

5min 性 质 师：同学们a·b为非零向果，a·b=∣a∣·∣b∣cosθ。当θ=0°，90°，180°时，a·b有什么性质呢。

生：①当θ=90°时

a·b= a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

②当a与b同向时

即θ= 0° ，则a·b=∣ a∣·∣b∣

当a与b反向时，

即θ= 180°，则a·b=∣ a∣·∣b∣

特别a·a=∣ a∣2 成 ∣ a∣= a·a

③∣a∣·∣b∣≤∣ a∣ ∣b∣

学生自己的探究性质，体会并深入理解向里数量的运算性质。 8min 生：①a·b= b·a(交换)

注重向量在数学教学中的地位 篇15

有部分高中教师在讲授平面向量这部分内容时存在偏见, 有的甚至还用以前那繁琐的思维方法, 而没有看到向量方法的简洁, 忽视了平面向量在高中数学中的地位和作用。他们只是把课本上有关向量的内容简单的向学生提一下, 仅仅给学生讲授最简单的最基础的向量的加法、减法、数乘运算以及向量的数量积, 而忽视了对向量的过程教学, 使本来就很抽象的数学知识给学生造成了更模糊更难懂的印象。甚至有的教师在课堂上告诉学生平面向量这部分内容不易学, 很难理解, 在以后的数学学习中, 凡能用平面向量知识解决的问题, 用一般的知识也能解决。这样一种误导, 导致一部分学生干脆放弃了对向量有关知识的学习, 这无形为他们以后学习线性空间、线性变换、空间向量以及空间解析几何甚至电工学、物理学等其它学科设置了障碍, 从而忽视了数学是其它学科之母。

有的教师在讲授有关复数、三角、解析几何、立体几何等章节内容时, 本来能用向量知识解决的问题, 或是运用向量知识能大大降低解题难度的, 而不用平面向量知识, 还是一味地用以前的老思想老方法来解决, 这样学生也就感受不到运用平面向量知识的“优越性”。

忽视平面向量教学的原因还有高考的误导, 以前高考数学科考试内容很少涉及平面向量内容, 这样使师生认为高考题中很少涉及向量, 向量又那么难学, 那么抽象, 费时费力, 不如不学了。

造成这种偏见的直接原因, 是他们没有看到向量在中学阶段学习其他知识的工具作用和在数学教学中培养学生能力的重要性, 同样他们更不知道向量在以后高等数学及其它学科中所起的作用。

一、平面向量在进一步学习中的工具作用

平面向量使形与数、几何与代数更密切的结合起来, 并为学习三角、复数、解析几何和立体几何等各章提供了使用方便的教学工具和解题方法。由于向量具有“数”和“形”的双重特征, 向量的运算与几何结构具有很好的同构性, 利用向量良好地运算体系, 将几何位置转化为代数运算, 组成问题的解决, 这样, 一方面改良了传统几何方法的技巧和繁琐, 使解题过程更加程序化、普适化;另一方面由于向量处于知识的交汇总关联到平几、立几、三角函数、解几、复数及物理学的有关问题, 使问题解决更能体现灵活性和创造性。除了在以前课本上涉及到平面向量知识的三角、复数以外, 新课本又在解析几何和立体几何中大量的运用平面向量知识, 如引申直线的向量式参数方程等, 求曲线的方程定比分点公式的推导, 点到直线的距离公式的推导, 坐标轴的平移等解析几何内容都运用了平面向量知识, 使推导、证明过程更加简洁、明了、通俗易懂。

例如、已知空间四边形ABCD各边的长相等, AC、BD为其两条对角线, 且AC=BD=AB,

E、F分别是BC和AD的中点。

求: (1) 直线BC与直线AD所成的角;

(2) 直线AE与直线CF所成的角; (如图)

故直线BC与直线AD所成的角为90°

备注:也可以运用定义法和三垂线定理来解。

又因为异面直线所成角的范围是

所以直线AE与直线CF所成的角为

向量使抽象的立体结合变得简单、直观。立体几何中, 运用非向量的方法证明直线和平面垂直的判定定理很繁琐, 学生不易理解, 而如果我们运用向量内积的方法来证明就变得容易简单了, 这样既有利于学生理解更有利于学生掌握。

高等数学基本上都是运用向量作为基础知识和工具的, 如线性空间、线性变换及空间解析几何等。这样在中学数学教学中引入一些简单的平面向量知识, 为学生将来进一步学好高等数学打下一个良好的基础。

二、向量在培养学生能力方面的作用

中学教材中引入向量的目的是为了使学生应用向量更方便地解决立体几何、三角、复数等问题。同样也为以后学习线性空间、线性变换、空间向量及空间解析几何等高等数学制作打下基础。因此, 教材各节和编写体系, 都为教师们在在培养学生的运算能力、思维能力以及运用数学思想、方法去分析和解决实际问题的能力提供了依据和方法, 把抽象的转化为具体的, 繁琐的转化为简洁的, 难理解的转化为易懂的。