直线和圆的方程教案（共7篇）
直线和圆的方程教案 篇1
教学目标
1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤．
3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应． 教学重点与难点
建立直线和圆的极坐标方程． 教学过程
师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？
问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程．
师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．)
解 设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|，(两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．)师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？(2)在极坐标系下：在△AOP中
|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化简整理，得
2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简
坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容．
一、曲线的极坐标方程的概念
师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ=
(投影)定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：
1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同．
(先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义)曲线的极坐标方程定义：
如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系：
1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；
2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程． 师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程．
求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．
解 设M(ρ，θ)为射线上任意一点，因为∠xOM=θ，师：过极点的射线的极坐标方程的形式你能归纳一下吗？
生：是．
师：一条曲线可与多个方程对应．这是极坐标方程的一个特点．你能猜想一下过极点的直线的极坐标方程是什么形式吗？
学生讨论后，得出：θ=θ0(θ0是倾斜角，ρ∈R)是过极点的直线的极坐标方程．师：把你认为在极坐标系下，有特殊位置的直线都画出来．
例2 求适合下列条件的极坐标方程：(1)过点A(3，π)并和极轴垂直的直线；
解(1)设M(ρ，θ)是直线上一点(如图3-15)，即ρcosθ=-3为所示．
解(2)设M(ρ，θ)是直线上一点，过M作MN⊥Ox于N，则|MN|是点B到Ox的距离，师：不过极点也不垂直极轴、不平行极轴的直线的极坐标方程如何确立呢？
例3 求极坐标平面内任意位置上的一条直线l的极坐标方程(如图3-17，图3-18)．
让学生根据以上两个图形讨论确定l的元素是什么？
结论直线l的倾斜角α，极点到直线l的距离|ON|可确定直线l的位置．
解设直线l与极轴的夹角为α，极点O到直线l的距离为p(极点O到直线l的距离是唯一的定值，故α、p都是常数)．
直线l上任一点M(ρ，θ)，则在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p为直线l的极坐标方程．(如图3-19，图3-20)
师：直线的极坐标方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直线的倾斜角，p是极点到l的距离，当α、p取什么值时，直线的位置是特殊情形呢？
当α=π时，ρsinθ=p，直线平行极轴； 当p=0时，θ=α，是过极点的直线．
师：以上我们研究了极坐标系内的直线的极坐标方程．在极坐标系中的圆的方程如何确立呢？如图3-21：
圆上任一点M(r，θ)，即指θ∈R时圆上任一点到极点的距离总是r，于是ρ=r是以极点为圆心r为半径的一个圆的极坐标方程．
师：和在直角坐标系中，把x=a和y=b看作是二元方程一样，θ=θ0及ρ=r也应看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出现，说明ρ可取任何非负实数值；同样，在方程ρ=r中，θ不出现，说明θ可取任何实数值．
例4 求圆心是A(a，0)，半径是a的圆的极坐标方程．(让学生画图，教师巡视参与意见)解设⊙A交极轴于B，则|OB|=2a，圆上任意一点M(ρ，θ)，则据直径上的圆周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圆的极坐标方程．如图3-22．
师：在极坐标系下，目前我们理解下面几种情形下的圆的极坐标方程即可． 让学生自己得出极坐标方程．
图3-23：ρ=2rcosθ； 图3-24：ρ=-2rcosθ； 图3-25：ρ=2rsinθ； 图3-26：ρ=-2rsinθ．
师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：
(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件ρ的点M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0为最简形式．
练习：分别作出下列极坐标方程表示的曲线
(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；
设计说明
直线和圆的方程教案 篇2
1.知识技能:掌握圆方程的标准式和一般式, 并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径;了解求解圆的方程的几种常用方法:待定系数法、参数法、极坐标法和复数法.
2.过程与方法:通过主动探究、自主合作、相互交流从例题中发现问题———探索———解决问题, 使学生能够通过运用多种方法解决数学问题.
3.情感态度和价值观:通过知识的再现培养学生勇于探索和敢于创新的意识, 从而培养学生应用知识的能力.通过动态的分析讨论培养学生运用变化的唯物主义思想.
[教学重点、难点]
重点:对圆的方程求法进行探讨.
难点:参数方程和极坐标的应用.
教学方法:探究、讨论教学法
[教学过程]
1.复习知识
师:圆在历年高考中占有重要的位置, 而求圆的方程是我们认识圆的必要条件.这就要求我们对求圆方程的方法及其应用有所掌握.特别是学了选修部分, 圆的方程又有多种形式, 我们理科班的数学解题能力应该有了上升, 这就要求我们对圆方程的一些求法能够有所突破.
师:首先了解圆的定义, 设M (x, y) 是圆上任意一点, 圆心C (a, b) , 圆的半径等于r (r>0) 那么它的标准方程是——— (故意放慢速度, 让学生一起回答)
生:圆方程的标准形式: (x-a) 2+ (y-b) 2=r2.
师:圆方程的一般式又是——— (学生回答一般式方程, 提醒注意条件)
生:一个圆的方程都可写成一般形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 此时, 圆心坐标为:, (条件:D2+E2-4F>0) .
师:圆的一般式方程与圆的标准方程书写时要注意条件, 在高考中它们占有同样重要位置, 互相渗透, 相得益彰.那么圆的方程是否只有这两种形式呢?还会有哪些形式呢? (让他们思考一下)
(学生被问题所吸引, 开始思考, 教师要求学生讨论, 并参与其中作认真倾听状, 发现有的学生提出参数方程, 有的提出极坐标方程)
师:在直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 (x, y) 都可以表示为在某个区间内的变量t的函数, 那么所得到的方程——— (教师在黑板上书写下来叫做曲线的参数方程) .
师:变量t叫做参变数, 简称参数.它在表示x和y之间的函数关系中, 起着桥梁作用.由于选择的参数不同, 同一条曲线的参数方程可以有各种不同的形式, 而参数可以有一定的实际意义, 也可以没有任何具体意义.一个题目可以根据选择不同参数代表不同意思而得到不同的解答方法.
师:那么圆的参数方程是——— (作欲答状)
生 (集体) : (其中 (a, b) 为圆心, r为半径, θ为参数)
师:有没有哪位学生能写出圆的极坐标方程的?——— (学生开始交头接耳, 互相讨论, 意见不一, 教师作适当提醒)
师:在极坐标系中, 曲线可以用含有ρ, θ这两个变数的方程 (ρ, θ) =0来表示, 这种方程叫做曲线的极坐标方程.由于极坐标方程与极角、极半径有关, 故在遇到旋转角、线段伸缩问题都可考虑使用极坐标法.
师:圆的极坐标要根据圆心位置来确定, 通常圆心坐标 (ρ0, θ0) =0, 半径为r的圆的方程要根据余弦定理来求 (教师在黑板画图由学生归纳得出) ___________
生 (集体) :ρ2-2ρρ0cos (θ-θ0) +ρ02=r2.
师:很好.我们在高中课本中主要就学这几种形式, 它能给我们解决有关圆的问题提供较好的解题方法.但是光有这几种形式还是不行的, 在解决实际问题时, 我们还需要具体的解题方法.下面我们来看具体的例子.
2.例题讲解
例:如图1, 已知定点为A (3, 0) , 定圆为x2+y2=1, P是圆上一动点, 且∠AOP的平分线交PA于Q, 求Q点的轨迹.
师: (学生分组讨论.教师巡视指导, 待大部分学生思路形成时, 用实物投影仪展示或用电脑多媒体播放学生的具体解法) 解略.
3.课堂小结
师:本节课主要通过这个例题讲解了哪些内容?这道题是有关轨迹题, 用了哪几种解题思路?各有什么优缺点?
生:主要讲了圆方程的解法, 是按照交轨法、参数方程或极坐标法等来解决的, (特别是用极坐标法是非常简便的) .
师:在交轨法中, 要注意:圆方程最后的结果最好要用标准式或一般式来表示.
4.
直线和圆的方程考题解析 篇3
例1(湖南卷)设集合A={(x，y)|y≥12|x-2|)}，B={(x，y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠.
(1) b的取值范围是；
(2) 若(x，y)∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是.
图1
解析(1) A表示由折线y=12|x-2|及其上方的点组成的集合，B表示由折线y=-|x|+b及其下方的点组成的集合.如图1，若A∩B≠，只需b≥1，即b∈[1，+∞).
(2) 设x+2y=t≤9，则 t2表示直线y=-x2+ t2在y轴上的截距.故截距最大时t最大.
因为(x，y)∈A∩B，所以(0，92)为A∩B所表示的图形内在y轴上的最高点，所以b=92.
点评这是一道集合“包装下”的线性规划问题，线性规划问题实际上是“直线的方程”与“不等式”知识的综合题.题目不难，有兴趣的同学，不妨仔细读一读.不理解之处可以翻看教材必修5中的“不等式”一章.解此类题的一般步骤是：作出图形(可行域)，分析目标函数的几何意义(截距、距离、斜率等)，借助形的直观有目的地计算.对于由含绝对值的不等式表示的平面区域，也可同二元一次不等式一样，先作方程的图形，再取特殊点判断.
例2(重庆卷)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为()
A. -3或3B. 3
C. -2或2D. 2
图2
解析直线过定点P(0，1)，又点P，Q在圆上，且∠POQ=120°，由圆的对称性知，有两条直线符合要求.
如图2，由平面几何知识，可知∠PRO=60°，k=3，故选A.
点评解析几何是用代数方法研究几何问题的学科，用好图形的几何性质可以简化代数计算，解题时需在代数算法和几何算法之间做出选择.
例3(上海卷)圆x2+y2-2x-1=0的关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（）
A. (x+3)2+(y-2)2=12
B. (x-3)2+(y+2)2=12
图3
C. (x+3)2+(y-2)2=2
D. (x-3)2+(y+2)2=2
解法一已知圆的方程可化为：(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2.
如图3，显然所求圆的圆心应在第二象限，故选C.
解法二(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2，排除A,B.
又因为0-21-（-3）•2=-1，所以选项C中圆的圆心与已知圆的圆心的连线与已知直线垂直，故选C.
点评两圆若关于某直线对称，则两半径相等，两圆心关于该直线对称(连心线与该直线垂直，且中点在该直线上)；本题也可以用选项中半径为2的两个圆的方程分别与已知圆的方程相减，所得方程为已知直线的即为所求，这便是2001年高考上海理科卷第11题的应用.该题是：已知两个圆：①x2+y2=1；②x2+(y-3)2=1，则①式减去②式可得两圆的对称轴的方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题.推广的命题为.
例4(上海卷)如图4，A，B是直线l上的两点，且AB=2.两个半径图4相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围是.
解析圆的半径r∈[1，+∞)，
当r→+∞时，点C到AB的距离→0，则S→0；
当r=1时，两圆外切于点C，设此时两圆的圆心分别为O1，O2，则S=S矩形O1ABO2S扇形O1ACS扇形O2BC=2-π2，所以S∈0，2-π2.
点评不规则图形的面积的计算常用割补法.本题中圆弧与线段所围成的图形的面积的大小与圆弧的半径的大小有关，合情推理知：半径越大面积越小.
例5(江西卷)设有一组圆Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题：
A. 存在一条定直线与所有的圆均相切
B. 存在一条定直线与所有的圆均相交
C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交
D. 所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）
解析从简单的开始研究，将(0，0)代入圆系方程，得2k4-10k2+2k-1=0，该方程无正整数解，故D正确；圆Ck的圆心为(k-1，3k)在直线y=3x+3上，直线y=3x+3与所有的圆均相交，故B正确而C错误；设存在一条直线y=ax+b与所有的圆均相切，则圆心到它的距离d等于圆的半径r，即 |a(k-1)-3k+b|a2+1=2k2，方程可转化为两个关于k的一元二次方程，不可能对任意的k(k∈N*)均成立，故A错误.
所以填B，D.
点评这种“多项选择题”需逐一考虑，一着不慎，满盘皆输.本题中B,C互为否定，一真一假；C,D以否命题的形式出现,要注意加点的字.直线与圆的位置关系常用圆心到直线距离与半径的关系来研究.
例6(全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.
(1) 求圆O的方程；
(2) 圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA•PB的取值范围.
解析(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，即r=41+3=2,得圆O的方程为x2+y2=4.
(2) 不妨设A为(x1，0)，B为(x2，0)，且x1＜x2.由x2=4,得A(-2，0)，B(2，0).
设P为(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2，即x2-y2=2①.
由点P在圆O内，得x2+y2＜4②,
而PA•PB=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x2-4+y2=2(y2-1)，
由①②得y2＜1.故PA•PB的取值范围为[-2，0).
点评本题是由基本概念和基本运算组成的简单问题，能否得到理想的分数，就看你的运算能力了.关于向量的知识，同学们可翻看教材必修4.
直线和圆的方程教案 篇4
一、教材分析、教材的地位和作用。
圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课，在今后的解题及几何证明中，将起到重要的作用.2、教学目标：
根据学生已有的认知的基础及本课的教材的地位、作用，依据教学大纲的确定本课的教学目标为：
（1）知识目标：
a、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
b、根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。
c、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。2）能力目标：
让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。此外，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳的思想的认识。3）情感目标：
在解决问题中，教师创设情境导入新课，以观察素材入手,像一轮红日从海平面升起的图片，提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来。让学生感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆的公共点的变化。
3.教材的重点难点
直线和圆的三种位置关系是重点，本课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
4.在教学中如何突破这个重点和难点
解决重点的方法主要是：（1）由学生观察老师展示的一轮红日从海平面升起的照片提出问题，能不能我们学过的知识把它们抽象出几何图形再展示出来（让学生尝试通过日出的情境画出几种情况），(2)把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，并让他们发现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归纳直线和圆的三种位置关系。是什么？）。
在说直线与圆的位置关系时，如何突破这个难点：（1）突破直线和圆不能有两个以上的公共点，让学生讨论，最后明确否定（因为直线和圆有三个或三个以上的公共点，那么这与不在同一条直线上的三点就可以作一个圆，相矛盾）。(2)把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，并让他们发现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归纳直线和圆的三种位置关系。
（3）突破直线和圆有唯一一个公共点是直线和圆相切（指直线与圆有一个并且只有一个公
共点，它与有一个公共点的含义不同）。
（4）突破直线和圆的位置关系的（如果圆O的半径为r，圆心到直线的距离为d，1,直线l与圆 O相交
<=> d 2,直线l与圆 O相切 <=> d=r 3,直线l与圆 O相离 <=> d>r（上述结论中的符号“<=> ”读作“等价于”） 式子的左边反映是两个图形（直线和圆）的位置关系的性质，右边是反映直线和圆的位置关系的判定。 二、学情分析 根据初三学生活泼好动好奇心和求知欲都非常强，并且在初一，初二基础上初三学生有一定的分析力，归纳力和根据他们的特点，联系生活实际中结合问题结合本节课适合学生的学习材料注重激发学生的求知欲让他们真正理解这节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上，进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点；通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。 三、教法设计 复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。学生质疑这一环节充分培养学生敢于提问的习惯，做到不懂就问。学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。 1,学生观察日出照片，把观察到的情况用自己的语言说出来，抽象出几何图形在学生回答的基础上，教师通过多媒体演示圆与直线的三种位置关系。 2,进一步让学生感受到数学产生于生活，与生活密切相关，并能使学生更好的直观感受直线和圆的三种位置关系。 3,强调公共点的唯一性。给出定义时，尽可能地有学生来概括和叙述，有利于提高学生的语言表达能力。 4,有利于新旧知识的联系，培养学生的迁移能力,掌握用定量研究来解决问题的方法。在学生回答问题的基础上，教师打出直线和圆的位置关系以及它们的数量特征。 5,通过直线到圆的距离d和半径r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系。这样很好的体现数形结合的思想，使较为复杂的问题能简单化。 6,让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。 四、学法指导 复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。学生质疑这一环节充分培养学生敢于提问的习惯，做到不懂就问。 学生小结，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。 五、教学程序 创设情境------导入新课------新授-------巩固练习-----学生质疑------学生小结------布置作业 [提问] 通过观察、演示，你知道直线和圆有几种位置关系？ [讨论] 一轮红日从海平面升起的照片 [新授] 给出相交、相切、相离的定义。 [类比] 复习点与圆的位置关系，讨论它们的数量关系。通过类比，从而得出直线与圆的位置关系的性质定理及判定方法。 [巩固练习] 例1，出示例题 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC= 4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有什么样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm； （2）r=2.4cm; (3)r=3cm 由学生填写下例表格。直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线距离d与半径r关系 公共点名称 直线名称 图形 补充练习的答案由师生一起归纳填写 教学小结 直线与圆的位置关系，让学生自己归纳本节课学习的内容，培养学生用数学语言归纳问题的能力。然后老师在多媒体打出图表。 本节课主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法，从现实生活中抽象出数学模型，体现了数学产生于生活的思想，并且将新旧知识进行了类比、转化，充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生是学习的主体，真正成为学习的主人，转变了角色。 六，板书设计： 课题：直线和圆的位置关系 一，复习点与圆的位置关系 二，直线与圆的位置关系 1，相交、相切、相离的定义。2，直线与圆的位置关系的性质定理。3，直线与圆的位置关系的判定方法。 例1： 一、基础知识 1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。 .2 求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。 3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式： xx1yy1xy1；（5）两点式：；（6）法线式方程：abx2x1y2y1xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：xx0tcos（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, yy0tsiny）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ= k2k1kk1,tanα=2.1k1k21k1k26．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。 227．两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=(x1x2)(y1y2)。 8．点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：d|Ax0By0C|AB22。 9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2 交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0(CC1).10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0.若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。 11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为xarcos（θ为参数）。 ybrsinDE,，半径为2213．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为1D2E24F。若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为 2x0xy0x0xy0yDE22yF0.① 14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3.则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。 例1 在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：∠ADB=∠CDE。 例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为60。 2．到角公式的使用。 例3 设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正ΔPQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。 3．代数形式的几何意义。例4 求函数f(x) 4．最值问题。 例5 已知三条直线l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3:(m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。 0x43x26x13x4x21的最大值。 5．线性规划。 1xy4,例6 设x, y满足不等式组 y2|2x3|.（1）求点(x, y)所在的平面区域； （2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。 6．参数方程的应用。 例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。 7．与圆有关的问题。 例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定ΔAT1T2垂心 的轨迹。 例9 已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：sin(α+β)是定值。 例10 已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。 例11 当m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。 三、基础训练题 1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是__________.2．已知θ∈[0,π]，则y3cos的取值范围是__________.2sin3．三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是__________.4．若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是__________.5．若λ∈R。直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d__________42.6．一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为14，则此圆的方程为__________.7．自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为__________.8．D2=4F且E≠0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的__________条件.29．方程|x|-1=1(y1)表示的曲线是__________.10．已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为__________.11．已知函数S=x+y，变量x, y满足条件y2-2x≤0和2x+y≤2，试求S的最大值和最小值。12．A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a （2）当∠AMB取最大值时，求OM长； （3）当∠AMB取最大值时，求过A，B，M三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1．已知ΔABC的顶点A(3,4)，重心G(1,1)，顶点B在第二象限，垂心在原点O，则点B的坐标为__________.2．把直线3xy230绕点（-1，2）旋转30得到的直线方程为__________.3．M是直线l: 0xy1上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在线43段AB上满足AP2PB的点P的轨迹方程为__________.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4．以相交两圆C1：x+y+4x+y+1=0及C2：x+y+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为__________.5．已知M={(x,y)|y=2a2x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)+(y-3)=a,a>0}.MN，a 222 2的最大值与最小值的和是__________.6．圆x+y+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，O为原点，OPOQ，则m=__________.7．已知对于圆x+(y-1)=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范围是__________.8．当a为不等于1的任何实数时，圆x-2ax+y+2(a-2)y+2=0均与直线l相切，则直线l的方程为__________.9．在ΔABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列，那么直线xsinA+ysinA=a与直线xsinB+ysinC=c的位置关系是__________.10．设A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面xOy上的点集，C=2 22222x1x2y1y2,(x,y)A,(x,y)B所围成图形的面积是__________.11222211．求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程。12．设集合L={直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率}。（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？ （2）设a∈R+，点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为dmin，求dmin的表达式。13．已知圆C：x2+y2-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且∠OBA=900，OB交⊙C于M，AB交⊙C于N。求MN的中点P的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1．在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a为无理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2．等腰ΔABC的底边BC在直线x+y=0上，顶点A(2,3)，如果它的一腰平行于直线x-4y+2=0，则另一腰AC所在的直线方程为__________.3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示条互相垂直的直线，则m=__________.4．直线x+7y-5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.25．直线y=kx-1与曲线y=1(x2)有交点，则k的取值范围是__________.6．经过点A(0,5)且与直线x-2y=0, 2x+y=0都相切的圆方程为__________.7．在直角坐标平面上，同时满足条件：y≤3x, y≥8．平面上的整点到直线y 21x, x+y≤100的整点个数是__________.354x的距离中的最小值是__________.359．y=lg(10-mx)的定义域为R，直线y=xsin(arctanm)+10的倾斜角为__________.10．已知f(x)=x-6x+5，满足2 f(x)f(y)0,的点(x,y)构成图形的面积为__________.f(x)f(y)011．已知在ΔABC边上作匀速运动的点D，E，F，在t=0时分别从A，B，C出发，各以一定速度向B，C，A前进，当时刻t=1时，分别到达B，C，A。（1）证明：运动过程中ΔDEF的重心不变； （2）当ΔDEF面积取得最小值时，其值是ΔABC面积的多少倍？ 12．已知矩形ABCD，点C(4,4)，点A在圆O：x+y=9(x>0,y>0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标。13．已知直线l: y=x+b和圆C：x+y+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线l上，且满足|PA|•|PB|=2,当b变化时，求点P的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1．设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x-xy+y的最大值、最小值。2．给定矩形Ⅰ（长为b，宽为a），矩形Ⅱ（长为c、宽为d），其中a 4．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。5．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2,…，ln，…的直线族，它满足条件： 222 （1）点（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。6．在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直线l1,l2都与此圆相交，l1交圆于A，B，l2交圆于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证： (2)重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识.难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏;而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题.2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究;第二课时相交两圆的性质.(1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识; (2)要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力; (3)在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程.第一课时 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质; 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力; 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.教学难点： 两圆位置关系及判定.(一)复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? (教师主导，学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? (二)观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点.(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.(三)分析、研究 1、相切两圆的性质.让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征.设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.(图形略) 两圆外切d=R+r; 两圆内切d=R-r(R>r); 两圆外离d>R+r; 两圆内含dr); 两圆相交R-r 说明：注重“数形结合”思想的教学.(四)应用、练习 例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? 解：(1)设⊙P与⊙O外切与点A，则 PA=PO-OA ∴PA=3cm.(2)设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=13cm.例2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作.求证：⊙O与⊙B相外切.证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC=12，∴⊙O的半径，且O是AC的中点 ∴，∵∠C=90°且BC=8，∴，∵⊙O的半径，⊙B的半径，∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切.练习(P138) (五)小结 知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含; ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系; ③两圆相切时切点在连心线上的性质.能力：观察、分析、分类、数形结合等能力.思想方法：分类思想、数形结合思想.(六)作业 教材P151中习题A组2，3，4题.第二课时相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理; 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法; 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力; 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.教学重点 相交两圆的性质及应用.教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.教学活动设计 (一)图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢? (二)观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形.2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织;对B、C层在教师引导下完成.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.求证：Q1O2是AB的垂直平分线.分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B.证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，∴O1点在AB的垂直平分线上.又∵O2A=O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上.因此O1O2是AB的垂直平分线.也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴.∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上.∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，∴连心线O1O2是AB的垂直平分线.定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.(三)应用、反思 例 1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。 求∠OlAB的度数.分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由 ∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA=O1O2=AO 2∴∠O1AO2=60°，又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB=30°.例 2、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。 求证：AM=AN.证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN.∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN.例 3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.求证：EC∥DF 证明：连结AB ∵在⊙O2中∠F=∠CAB，在⊙Ol中∠CAB=∠E，∴∠F=∠E，∴EC∥DF.反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解.(四)小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据.能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用.(五)作业教材P152习题A组7、8、9题;B组1题.探究活动 问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn.(1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系; (2)当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系; (3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论.提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转? 提示： 1.(重庆高考)直线 与圆 的位置关系为( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a、b、c的值依次为 A.2、4、4; B.-2、4、4; C.2、-4、4; D.2、-4、-4 3(重庆高考)圆心在 轴上，半径为1，且过点(1，2)的.圆的方程为( ) A. B. C. D. 4.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为() A. B.4 【直线和圆的方程教案】推荐阅读： 高中数学知识点总结-第七章直线和圆的方程07-04 直线的方程教案免费06-03 直线的一般式方程教案06-05 《直线和圆的位置关系》的教学设计06-25 直线回归方程06-13 《直线的方程》的教学反思09-03 直线点斜式方程公开课08-28 直线的点斜式方程学案06-20 高一数学直线的两点式方程教学设计06-18 直线与圆的位置关系教案04-30直线和圆的方程教案 篇5
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