高中数学数列极限

高中数学数列极限（精选11篇）

高中数学数列极限 篇1

数列的极限

课标解读：

1、理解数列极限的意义；

2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：

1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：

an的项an无a(即|anna|无限地接近于0)，那么就说数列an以a为极限。

a不一定是a中的项。

1lim0limCCnn2、几个常用的极限：①n(C为常数)；②；③limqn0(|q|1)n；

3、数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当limanan，limbnbn时，nlimlim(anbn)ab；

lim(anbn)abnana(b0)nbbn；

4、两个重要极限：

①c001limc1c0nn不存在c0

|r|10nlimr1r1 ②n不存在|r|1或r1 问题解析：

一、求极限：

例1：求下列极限：

2(1)lim4nn1lim3n3nn2n23

(2)

n2n4n(3)

nlim(n2nn)

例2：求下列极限：(1)nlim(1n24n273n2n2n2)；

(2)lim1n[2515818111(3n1)(3n2)]

例3：求下式的极限：

limcosnsinnncosnsinn,(0,2)

二、极限中的分数讨论：

例4：已知数列an是由正数构成的数列，a13，lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；

且满足2n1an(2)求lim的值。n2nan1

三、极限的应用：

1(1)p1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q2，求lim的值。

n1q(1)1n

知识内化：

1、limn2__________________。

n12n113n2lim[]______________。

2、nn(n1)n(n1)n(n1)2n1n3n___________________。

3、limn1n1n2n3

4、下列四个命题中正确的是（）

2A、若limanA，则limanA

nn2B、若an0，limanA，则A0

n2C、若limanA，则limanA

n2nnnD、若lim(ab)0，则limanlimbn

nnnq，q1，5、已知数列an、公比分别为p、其中pq且p1，bn都是由正数组成的等比数列，设cnanbn，Sn为数列cn的前n项和，求lim

能力迁移：

Sn。

nSn1

1、数列an、bn都是无穷等差数列，其中a13，b12，b2是a2与a3的等差中项，且liman1111)的值。，求极限lim(nnba1b1a2b2anbn2n

基本练习：

一、填空题：

n22n___________________。

1.limnb2n23 2.若lim(2x1)的极限存在，则实数x的取值范围__________________。

nnn21anb)1，则a=______________，b=____________________。

3.lim(nn1 4.数列an中，a13，且对任意大于1的正整数n，点(an,则liman1)在直线xy30上，an__________________。

n(n1)2f(n2)5.已知f(n)12n，则lim__________________。

n[f(n)]2ann2 6.数列an的公差d是2，前n项的和为Sn，则lim_________________。

nSn 7.设数列an、bn都是公差不为0的等差数列，且lim ______________________。

anbb2b2n等于 2，则lim1nbnna3nnn3n1

8、将lim，则实数x的取值范围是__________________。nn(x2)nn3n13n3

9、已知数列an： 112123129，…，那么数列，，，…，2334441010101的所有项的和为________________。anan1

10、已知等比数列an的首项a1，公比q，且有lim(na11qn)，则首项a1的取值范围 1q2 是__________________。

二、选择题

bn2can2c3，则lim211、已知a、b、c是实常数，且lim2的值是（）

ncnbncna A、2 B、3

C、1

2D、6 1,1n100012、a中，annn2，则数列an的极限值（）n2 n22n,n1001 A、等于0

B、等于1

C、等于0或1 13、1111nlim[n(13)(14)(15)(1n2)]等于（）A、0 B、1

C、2

D、3

14、已知lim2nann2nan1，aR，则a的取值范围是（）A、a0 B、a2，a2

C、2a2

a2

三、解答题

15、已知等差数列前三项为a、4、3a，前n项和为Sn，Sk2550

(1)求a及k的值；(2)求lim11n(S1)1S2Sn16、曲线C:xy1(x0)与直线l:yx相交于A1，作A1B1l交x辆于B1，作B1A2//l交曲线C于A2……依此类推。

D、不存在

D、a2且(1)求点A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)猜想An的坐标，并加以证明；(3)求lim |BnBn1|

nBBn1n17、已知数列{an}满足(n1)an1(n1)(an1)且a26，设bnann(nN)(1)求{bn}的通项公式；(2)求lim(n 1111)的值。b22b32b42bn23(an1)(nN)。数列{bn}的通项公式为bn4n3(nN)2Tn

18、设Tn为数列{an}前n项的和，(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c{a1,a2,a3,an,}{b1,b2,b3,bn,}，则c称为数列{an}，{bn}的公共项，将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：数列{cn}的通项公式为cn32n1(nN)；(3)设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项，Bm为数列{bn}前m项的和；Dn为数列{cn}前n项的和，且AnBmDn；求：lim

An。

高中数学数列极限 篇2

一、数列极限概念的本质

教科书中给出的数列极限的概念是:一般地, 如果当项数n无限增大时, 无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a (即|an-a|无限地接近于0) , 那么就说数列{an}以a为极限, 或者说a是数列{an}的极限.这个定义是描述性的, 便于高中生理解, 极限含有“无限逼近”的意思.数列极限的概念实质上是回答在什么条件下常数a可以称为无穷数列{an}的极限, 答案就是必须要满足这样的条件:项数n无限大, 数列的项an就无限接近常数a.这里须要注意的是, an无限接近a是项数n无限大的结果, a是n无限增大这个变化过程的终极目标.定义中只强调了“an无限趋近a”, 但是并不对趋近的方式有要求.即an趋近a的方式可以有很多种:an可以一直大于a, 也可以一直小于a, 或者是一会儿大于a, 一会儿小于a, 只要是满足在不断地“趋近a”这个条件就可以了.数列极限的概念包含了由有限退至无限的, 再用有限来刻画无限的思想, 具有极强的辩证思想———过程无限, 结果却有限.

二、数列极限概念教学探究

1. 建立与原有认知的联系

数学概念的学习同其他一切学习一样是将外在学习材料内化的过程.如果新概念与学生的原有认知有联系, 则应该想办法建立这个联系, 使学生的认知结构同化;否则教师需要用形象化的语言或直观展示准备好相类似的结构.数列极限概念的教学首先应该找到其与学生原有认知的联系.在上述探讨中我们知道, 学生在生活经验上接触过“极限”, 在数学经验上接触过“数列”和“极限思想”, 所以教学中教师应该注意建立这些原有认知与数列极限概念之间的联系.

实际教学中可从以下三条途径建立联系. (1) 由数列出发建立联系与学生的数学学习最为贴切, 比较具有数学味道, 不容易让学生漫天想象, 但是正因为数学味道浓, 所以相对来说趣味性就不高了. (2) 由极限思想出发建立联系, 如果是用一些有趣的数学史故事来操作, 自然趣味性就比较高, 也容易吸引大部分学生的注意力, 培养学生的数学文化素养, 但是如果控制不好容易使部分学生走神.比如以《庄子·天下篇》中的名句“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”引入, 有的学生就会联想到谁是庄子、他的故事是什么等一系列与数学无关的问题.如果是用数学归纳法等含有数学思想的知识来操作, 对学生的思维要求就比较高, 因为它涉及了无限的问题, 而且“极限思想”到目前为止从来没有被提到过. (3) 由学生的生活经验出发建立联系, 与实际问题最为贴近, 能够拉近数学与生活的距离, 引起学生的兴趣, 但是设置生活中的极限问题对教师来说是一个难点.因为这样的问题要既与生活联系又与数列极限联系, 而且要激发学生的探索欲.

2. 建立准确的数列极限概念

在进行数列极限概念的教学时, 学生往往将生活经验中的极限与数学中的极限概念混淆.生活经验中的“极限”指的是量的最大值, 而数学中的“极限”指的是运动过程的无限逼近值;生活经验中的“极限”对量的变化设定了一个范围, 即变化过程必须在“极限”的某一侧, 而数学中的“极限”则没有对变化的范围做要求.因此教师只要能将这两点区别让学生明白, 数列极限概念的教学就算是成功的了.怎样让学生明白呢?采取什么样的方法对数列极限概念进行诠释更容易让学生接受呢?

首先, 建立数列极限概念的直观感知.在建立了数列极限概念与学生原有认知的联系之后, 数列极限概念的教学便有了基础, 接下来便是要想办法让学生逐步理解什么是数列极限了.对于每一个概念的形成, 首先是从具体的事物中得到感性认识, 再提取出同一类事物的共同属性, 抽象出具体的概念.根据概念形成的这一过程, 我们首先建立学生对数列极限的直观感知.完成这一任务的方法便是向学生展示多种不同的数列, 让学生加以区分它们的区别与共性, 形成初步的感性认知后, 教师便可以向学生明确指出, 无限数列可以根据它们是否能趋近某个唯一的常数作为标准来分类, 这个常数就叫作这个数列的极限.这样, 学生初步形成了数列极限的概念.

其次, 得出数列极限概念的描述性定义.《标准》对极限概念的教学目标要求仅为:了解其概念.结合教学目标分析, 高中的数列极限概念教学选择描述性的定义就可以了.这样既能让学生“了解”数列极限的概念, 又可以降低学习的难度.定义的得出可以先让学生用自己的语言归纳概括出数列极限的概念, 再由教师引导得出比较准确的概念.

数列、极限及数学归纳法 篇3

例1 已知数列[an]和[bn]满足[a1=m],[an+1=][λan+n,][bn=an-2n3+49.]

（1）当[m=1]时,求证: 对于任意的实数[λ],[an]一定不是等差数列；

（2）当[λ=-12]时,试判断[bn]是否为等比数列.

解析 （1）当[m=1]时,[a1=1,a2=λ+1,][a3=λλ+1][+2=λ2+λ+2]，

假设[an]是等差数列,则由[a1+a3=2a2,]得[λ2+λ+3=2λ+1],即[λ2-λ+1=0],

由Δ[=-12-4⋅1⋅1=-3<0]，矛盾.

故对于任意的实数[λ],[an]一定不是等差数列.

（2）当[λ=-12]时,[an+1=-12an+n.]

而[bn=an-2n3+49,]

所以[bn+1=an+1-2(n+1)3+49]

[=(-12an+n)-2(n+1)3+49]

[=-12an+n3-29=-12(an-2n3+49)=-12bn.]

又[b1=m-23+49,]

故当[m=29]时, [bn]不是等比数列.

当[m≠29]时, [bn]是以[m-29]为首项,[-12]为公比的等比数列.

点评 判断某个数列是否为等差（比）数列，有两种常用方法：①定义法，②看任意相邻三项是否满足等差（比）中项. 若判断某个数列不是等差（比）数列，只需说明前三项不满足即可.

例2 已知数列[an]满足[a1=13]，[a2=79]，[an+2=43an+1-13an][(n∈N*)].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）求数列[nan]的前[n]项和[Sn].

解析 （1）由[an+2=43an+1-13an]，

得[an+2-13an+1=an+1-13an]，

∴数列[an+1-13an]是常数列，

[an+1-13an=a2-13a1=23]，即[an+1=13an+23]，

得[an+1-1=13(an-1)]，

∴数列[an-1]是首项为[a1-1=-23]，公比为[13]的等比数列，[an-1=(-23)⋅(13)n-1]，

故数列[an]的通项公式为[an=1-23n].

（2）[nan=n(1-23n)=n-2⋅n3n].

设[Tn=13+232+333+⋯+n3n]， ①

[13Tn=][132+233+⋯+n-13n+n3n+1]. ②

①-②得[23Tn=13+132+133+⋯+13n-n3n+1]，

∴[Tn=34-2n+34⋅3n].

故[Sn=(1+2+3+⋯+n)-2Tn]

[=n(n+1)2-32+2n+32⋅3n=(n2+n-3)⋅3n+2n+32⋅3n.]

点评 由递推公式求通项公式是考查的重点和难点，是解决后续问题的关键，复习时应重点关注递推数列的类型与求法，重点关注叠加、叠乘、迭代、转化等解题技巧的训练. 已知[Sn]与[an]的关系式[an=fSn]可求[an]，也可求[Sn]，关键是用[an=Sn-Sn-1][(n≥2)]来转化；数列求和的常见方法有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分解转化法，若涉及正负相间的数列求和常需分奇偶讨论，公比是参数的等比数列求和也需对公比[q=1]和[q≠1]两种情况进行分类讨论.

例3 已知数列[an]和[bn]满足[an=an-1bn]，[bn=bn-11-a2n-1(n≥2)]，当[a1=p,b1=q(p>0,q>0)]且[p+q=1]时.

（1）求证：[an>0,bn>0]且[an+bn=1(n∈N);]

（2）求证：[1an+1-1an=1]；

（3）求[limn→∞bn]的值.

解析 （1）当[n=1]时，命题显然成立，假设[n=k]时命题成立，即[ak>0,bk>0,ak+bk=1]，

当[n=k+1]时，因为[00]，

于是[bk+1=bk1-a2k>0]，[ak+1=akbk+1>0]，

[ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1]

[=(ak+1)bk1-a2k=bk1-ak=bkbk=1]得证.

（2）[1an+1-1an=1anbn+1-1an=1an(1bn+1-1)]

[=1an(1-a2nbn-1)=1anbn(1-bn-a2n)]

[=1anbn(an-a2n)=1-anbn=1.]

（3）由（2）可知，[1an=1a1+(n-1)=1p+(n-1),]

所以[an=pp(n-1)+1.]

[∴bn=1-an=1-pp(n-1)+1,]

[∴limn→∞bn=1].

点评 处理两个数列交错渗透的问题，可利用函数思想消元、代换，转化到一个数列中求解.

例4 已知函数[f(x)=x-ln(1+x)]，数列[an]满足[0

（1）求证：[0

（2）求证：[an+1

解析 （1）先用数学归纳法证明[0

①当[n=1]时，由已知，结论成立.

②假设当[n=k]时，结论成立，即[0

因为[00]，所以[f(x)]在[(0,1)]上是增函数. 又[f(x)]在[[0,1]]上连续，所以[f(0)

又因为[0

[an+1-an=an-ln(1+an)-an=-ln(1+an)<0]，

所以[an+1

综上,[0

（2）设函数[g(x)=ln(1+x)-x+x22(00,]所以[g(x)]在[(0,1)]上是增函数. 又[g(x)]在[[0,1]]上连续，且[g(0)=0,]所以当[00]成立，于是[g(an)>0]，即[ln(1+an)-an+a2n2>0.]故[an+1

点评 数列是特殊的函数，数列不等式与一般函数不等式一样，可以考虑从函数的角度来思考，处理的关键是揭开数列不等式的面纱，找准对应的函数，利用函数的单调性来证明.

例5 过点[P(1,0)]作曲线[C:y=xk(x∈(0,+∞),][k∈N*,k>1)]的切线，切点为[Q1],设点[Q1]在[x]轴上的投影是点[P1]；又过点[P1]作曲线[C]的切线，切点为[Q2],设[Q2]在[x]轴上的投影是[P2]；…依此下去,得到一系列点[Q1],[Q2],…,[Qn],…设点[Qn]的横坐标为[an].

（1）试求数列[{an}]的通项公式[an]；（用含[k]的代数式表示）

（2）求证：[an≥1+nk-1;]

（3）求证：[i=1niai

（注：[i=1nai=a1+a2+⋯+an]）

解析 （1）切点是[Qn(an,ank)]的切线方程为[y-ank=kank-1(x-an)].

当[n=1]时,切线过点(1,0),

即[0-a1k=ka1k-1(1-a1)],得[a1=kk-1].

当[n>1]时,切线过点[Pn-1(an-1,0)],

即[0-ank=kank-1(an-1-an)],解得[anan-1=kk-1].

[∴]数列[an]是首项为[kk-1]，公比为[kk-1]的等比数列，故通项[an=(kk-1)n,n∈N*].

（2）[an=(kk-1)n=(1+1k-1)n]

[=C0n+C1n1k-1+C2n(1k-1)2+⋯+Cnn(1k-1)n]

[≥C0n+C1n1k-1=1+nk-1].

（3）设[Sn=1a1+2a2+⋯+n-1an-1+nan],

则[k-1kSn=1a2+2a3+⋯+n-1an+nan+1],

两式相减得

[(1-k-1k)Sn=1a1+1a2+⋯+1an-nan+1]

[<1a1+1a2+⋯+1an]，

[∴][1kSn

故[Sn

点评 数形结合，建立曲线上点的横（纵）坐标的递推关系是处理点列问题的一般方法；形如第（2）问中指数型不等式一般采用构造二项式进行适当放缩即可.

例6 如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.

（1）设数列[an]是公方差为[p]的等方差数列，求[an]和[an-1(n≥2,n∈N)]的关系式；

（2）若数列[an]既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；

（3）设数列[an]是首项为2,公方差为2的等方差数列，若将[a1,a2,⋯,a10]这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的种数.

解析 （1）由等方差数列的定义可知，[a2n-a2n-1=p(n≥2,n∈N);]

（2）因为[an]是等差数列，若设公差为[d]，则[an+1-an=an-an-1=d.]

又[an]是等方差数列，因此[a2n-a2n-1=a2n+1-a2n,]

即[d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,]

解得[d=0]，即[an]是常数列.

（3）依题意，

[a1=2,a2n-a2n-1=2(n≥2,n∈N),a21=4,]

因此[a2n=4+2(n-1)=2n+2,]

解得[an=2n+2]或[an=-2n+2.]

即该密码的第1个数确定的方法数是1,其余每个数都有“正”或“负”2种确定方法，每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数有[29=512]种. 故这种密码共512种.

点评 求解“新定义”型问题的关键是先读懂题意，理解“新定义”的本质，再将“新”问题转化到常规问题中处理.

专题训练二

一、选择题

1. 在等差数列[{an}]中，已知[a1=2,a2+a3=13,]则[a4+a5+a6]等于（ ）

A. 40B. 42C. 43D. 45

2. 若数列[{ax}]满足[a1,a2a1,a3a2,…,anan-1,…]是首项为1，公比为2的等比数列，则[a100]等于（ ）

A. 2100 B. 299C. 25050 D. 24950

3. 一个等差数列共[n]项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数[n]为（ ）

A. 14B. 16C. 18D. 20

4. 已知[{an}]为等差数列，[{bn}]为等比数列，其公比[q≠1]，且[bi>0(i=1,2,3,…,n)],若[a1=b1，a11=b11],则（ ）

A. [a6=b6] B. [a6

C. [a6>b6] D. [a6>b6]或[a6

5. 已知[f(x)＝x＋1，g(x)＝2x＋1]，数列[{an}]满足：[a1＝1，an＋1＝f(an)(n为奇数),g(an)(n为偶数),]则数列[{an}]的前2007项的和为（ ）

A. 5×22008-2008 B. 3×22007-5020

C. 6×22006-5020 D. 6×21003-5020

6. 若[limx→1x2-6x+5x2-1=a,则limn→∞(1a+1a2+1a3+][⋯+1an)]的值为（ ）

A. -2B. [-13]

C. [-12]D. 3

7. 数列[{an}]满足[a1=a,][an+11a2n+4=1,]记[Sn=a21+a22+…+a2n，]若[S2n+1-Snm30]对任意[n∈N*]恒成立，则正整数[m]的最小值（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

8. 已知等差数列[an]中，[an=2n-1]，在[a1与a2之间插入1个2,]在[a2与a3之间插入2个2]，…，在[an与an+1之间插入n个2]，…，构成一个新的数列[bn]，若[a10=bk]，则[k]=（ ）

A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

9. 设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S19>0,S20<0]，则[S1a1,S2a2,⋯,S19a19]中最大的项是（ ）

A. [S19a19] B. [S11a11] C. [S10a10] D. [S1a1]

10. 我们把球外一点与球面上一动点之间距离的最小值,叫作该点到球面的距离,如果等比数列[an]的首项[a1]为空间一点[(t,1,2)]到球面[(x+8)2+(y－4)2+][(z+2)2=16]的距离的最小值,[Sn]为数列[an]的前[n]项和,且[limn→∞Sn=2],则等比数列[an]的公比[q]等于（ ）

A. 1 B. [12] C. [123] D. [14]

二、填空题

11. 依次写出数列[a1=1,a2,a3,⋯,]法则如下：如果[an-2]为自然数且未写过，则写[an+1=an-2]，否则就写[an+1=an+3]，则[a6=] .

12. 已知数列[an]的前[n]项和为[Sn=n2,]某三角形三边之比为[a2:a3:a4]，则该三角形最大角为 .

13. 已知数列[an]满足[an+1+an-1an+1-an+1=n]（[n]为正整数）且[a2=6]，则数列[an]的通项公式为[an=] .

14. 若数列[an]满足[1an+1-1an=d(n∈N*,d]为常数），则数列[an]为“调和数列”，已知数列[{1xn}]为“调和数列”，且[x1+x2+…+x20=200，]则[x13x18]的最大值是 .

15. 如图，一个类似杨辉三角的递推式，则

1

3 3

5 6 5

7 11 11 7

9 18 22 18 9

……

（1）第[n]行的首尾两数均为 ，

（2）第[n]行的第2个数为 .

三、解答题

16. 已知数列[an]的首项[a1=1，a2=3，]前[n]项和为[Sn]，且[Sn+1]、[Sn]、[Sn-1]分别是直线[l]上的点[A、B、C]的横坐标，点[B]分[AC]所成的比为[2an+1an]，设[b1=1，bn+1=log2(an+1)+bn.]

（1）判断数列[an+1]是否为等比数列，并证明你的结论；

（2）设[cn=4bn+1-1n+1anan+1]，证明：[k=1nck<1.]

17. 已知数列[an]中，[a1=1]，[an=][3n-1an-1]（[n]≥2，[n∈N*]）.

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）设[Sn=log3(an273n)]，数列[bn]的前[n]项和为[Sn]，求数列[bn]的通项公式；

（3）求数列[|bn|]的前[n]项和[Tn].

18. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：设[aij]（[i、j∈N*]）是位于这个数表中从上往下数第[i]行、从左往右数第[j]个数. 数表中第[i]行共有[2i-1]个正整数.

1

2 3

4 5 6 7

……

（1）若[aij]＝2010，求[i、j]的值；

（2）记[An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),]试比较[An]与[n2+n]的大小, 并说明理由.

19. 对于正项数列[{an}]，定义其调和均值为[H(n)][=n1a1+1a2+...+1an][(n∈N*)].

（1）若数列[an]中，[H(n)=2n+2]，求[an]的通项公式；

（2）已知[bn]为等比数列，且[b1=1],公比为2，其调和数为[H(n)],是否存在正整数[m],使得当[n≥m][(n∈N*)]时，[H(n)<18]恒成立. 如果存在，求[m]的最小值；如不存在，说明理由.

20. 已知数列[an]、[bn]、[cn]的通项公式满足[bn=an+1-an] ，[cn=bn+1-bn]（[n∈N∗]），若数列[bn]是一个非零常数列，则称数列[an]是一阶等差数列；若数列[cn]是一个非零常数列，则称数列[an]是二阶等差数列.

（1）试写出满足条件[a1=1]、[b1=1]、[cn=1]的二阶等差数列[an]的前五项；

（2）求满足条件（1）的二阶等差数列[an]的通项公式[an]；

（3）若数列[an]中[a1=2]，且[cn-bn+1+3an=-2n+1][(n∈N∗)]， 求数列[an]的通项公式.

21. 设数列[an]的前[n]项和为[Sn=3an-3n+1].

（1）证明：[an3n-2]为等比数列，并求数列[an]的通项公式；

高中数学数列极限 篇4

教学目标

1．掌握求等比数列前n项和的公式及其推导过程，培养学生创造性的思维． 2．初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力． 教学重点与难点

等比数列前n项和公式的推导 教学过程设计

课堂教学设计说明

本课知识与前面的知识——等差数列求和公式，教学内容联系紧密，只要学生掌握好旧知识，再经过分析、综合、归纳、推理，就能导出所学内容．采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高、效果好，同时，对完善学生的认知过程，提高他们分析问题、解决问题的能力大有裨益． 本节课教学过程可概括如下：（1）复习旧知识，引出新课题；（2）推导公式，弄清条件，认识新知识；（3）运用公式，巩固新知识；（4）小结，布置作业．

对全课作了如此设计，主要基于以下几点：

（1）对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法．

10专题十数列极限与函数极限 篇5

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

数列极限的定义 篇6

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,n,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一（课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

n

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14,极限为0

5．an

5525n：先考察，， 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

2n

3 



求数列极限的技巧与方法 篇7

数列极限是数学这门学科的重要内容之一。对于一些复杂极限, 直接按照极限的定义来求就显得很困难, 不仅计算量大, 而且不一定就能求出结果。因此, 为了解决求极限的问题, 我们在研究比较复杂的数列极限问题时, 通常先考查该数列极限的存在性问题;如果有极限, 我们再考虑如何计算此极限 (也就是极限值的计算问题) 。这就是极限理论的两个基本问题。求数列极限的方法多种多样, 比如:化简通项求极限、单调有界原理求极限等。现在我通过一些具体的例子, 和大家一起探讨求数列极限的常用技巧与方法。

二、求数列极限的常用技巧与方法

1. 化简通项求极限

在求一些比较复杂的数列极限, 特别是处理通项为n项和式的一类很特殊的极限时, 经常先对通项进行化简, 化简时往往利用链锁消去法。其工作原理如下:

2. 利用级数求n项和式的极限

通项为和式的数列极限, 可以化为积分或级数求和问题, 当然也是计算这类数列极限的一个重要方法。

3. 利用单调有界原理求数列的极限

利用单调有界原理, 解决了一些特殊数列的极限问题, 在用单调有界原理证明数列极限的存在问题时, 首先根据给出数列的通项公式, 列举该数列的前几项, 然后根据观察, 初步判断已给数列的单调性和有界性。最后采用数学归纳法来验证观察所得出的结论, 看看是否可以采用单调有界原理来证明此数列的存在问题。

计算极限除了上面讲的方法还有很多, 比如讨论如何应用我们学过的幂级数、定积分、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理等方法计算数列极限。主要是我们如何通过实例来阐述求数列极限中体现出的数学逻辑思维方法, 如利用简单的初等函数 (特别是高中数学中的基本初等函数) 的麦克劳林展开式, 往往能求得一些特殊形式的数列极限。还比如我们可以利用级数收敛性判定极限存在性, 知道由于级数与数列可以有的时候相互转化, 因此使得级数与数列的性质有了必然的联系。这样, 数列极限的存在性及数列极限的求解, 就可以可转化为研究级数收敛性问题, 我们利用O-Stolz公式计算数列极限、应用泰勒公式求数列极限, 就可以减少做题的过程, 使这个问题更容易地解决。不过总的来说, 像有的方法仅限于求两个无穷小量的乘积或除的极限, 而对两个无穷小数列非乘且非除的极限, 以上方法不能直接去做, 因此用Taylor公式代换是解决这类数列极限问题的一种很好的方法。还有利用微分中值定理求极限, 利用数列函数的增减性求数列函数的最大值和最小值, 还有数列函数的图像等方面都被广泛应用。其实数列它是一种特殊的函数, 是一种定义域为正整数集的特殊的函数, 因此它也像一般函数一样具有单调性。

数列单调性也是它的重要性质, 数列的单调性应用非常广泛。求解数列极限的方法还有很多, 比如把通项an=f (n) 拓展为[1, ∞) 上的函数f (x) , 然后应用洛必达法则, 或利用结果 (其中an>0) 以及均值定理等都可以求出极限。还有在高中阶段求数列的极限的时候, 可以将比较复杂数列极限的问题, 通过变形或化简。比如用分组求和法、错位求和法求极限, 分母有理化、还有分母分子同时都除以n的最高次幂的方法将它化简。这样我们可以将它转化成为简单基本数列极限的问题, 就可以求出所要得到的极限。但是我们解决数列的极限问题时应该灵活运用我们所学的数列极限的有关方法与技巧, 注意要认真思考, 多联想所学的知识, 要学会学以致用。函数极限只是把数列极限进一步深度话。但是函数极限与数列极限有类似的四则运算的法则, 求函数极限的基本思想也是运用求数列的各种方法技巧的互相转化问题, 尤其在实施转化时, 可注意方法与技巧的转化, 就可以仿照求数列极限的一些方法与技能。

和式数列极限的几种求法 篇8

关键词： 和式数列；极限；解法

和式数列求极限，就是给出一个无穷数列的前n项和，或给出通项，当n趋于无穷大时求出数列无穷项和的极限值。当无穷数列所有项的和有极限时，也称为收敛。通过对教材中此类题目和近几年考研题目的分析，可利用下列几种方法层层递进的去分析和解决此类型的问题：特殊数列→夹逼准则→定积分定义→无穷级数求特殊值。

解析：在特殊数列求和公式，夹逼准则和定积分定义都不能解决的情况下，可用考虑利用无穷级数求和的方法，将和式极限问题转化为无穷级数的特殊值。

本文列举了几种求和式极限问题的方法，并且利用非常基础的例题说明这几种方法的应用，意在抛砖引玉。在考研复习时，还需要多分析，善于总结，将问题化难为简。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社P56 4 （2）

[2]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社P269 3 （2）

数列极限的收敛准则 篇9

一、数列极限的收敛准则

1.数列极限的夹逼准则

a)数列{xn}，{yn}，{zn}满足：

i.yn＃xnzn(n N0)

ii.nlimyn=nlimzn=a

则数列{xn}的极限存在，且nlimxn=a

b)例

1、求极限n!

nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln

1例

2、求极限lim1+2n+nnn

n(3)注：nlima=1(a>0)

骣1n

练习：

1、1n

nlimç? çç桫1+n+

1n÷÷

2÷÷ 注：运用重要极限nlim(1+n)=e2、求n?lim(其中 a1,a2,L,ak为正常数, kÎZ+.)

2.单调数列的收敛准则

a)单调增加有上界的数列必收敛；

b)单调递减有下界的数列必收敛；

通常说成：单调有界的数列必收敛。

例1． 证明lim(1

1n)n

n+=e 注：补充二项式定理

例2．

设x1=10，xn+1={xn}极限存在，并求其极限。例3．

设x1=xn+1={xn}极限存在，并求其极限。注：补充数学归纳法例

1、证明1+3+L+(2n-1)=n2 例

2、证明1+++L+<思考：

1、有界数列是否收敛？

2、数列{xn}收敛是否可推出数列xn}收敛？反之是否成立？

13、数列xn为有界数列，且limyn=0，数列数列xnyn是否收敛？ n{}{}

二、收敛数列的性质

1.极限的唯一性。

2.有界性。问题：有界数列是否收敛？

3.保号性。问题：若xn>0("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n

4.收敛数列的子数列必收敛。

思考：（1）数列xn与yn都发散，是否数列xnyn与xn+yn也都发散？

（2）若子列x2n-1与x2n均收敛，则数列xn是否收敛？

（3）设x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1骣1÷÷=çx+，证明数列{xn}极限存在，并求其极限。ç÷nç÷2çxn桫

nn（4）求lim2+3+4n(nn

骣12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫

（6）设数列xn满足：0ìïn2+ïï当n为奇数ïn（7）数列xn=í，则当nï1ï当n为偶数ïïnïî时，xn是

习题课1—数列极限2009 篇10

第一次习题课（数列极限）

一、内容提要

2n2121.数列极限定义，验证limn3n22n13.2.极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求limn1nn

2n(n)，limn(1nn2)

4.收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）.二、客观题

1.设f(x)1,x

1x1，则ff(x)___________.0,2.若数列{xx

n}与{yn}发散，问数列{xnyn}，{xnyn}，{n

y}是否一定发散？

n

3.若数列xn收敛，列yn发散，则数列xnyn是否存在？

4、若单调数列{an}含有一个收敛的子数列，则数列{an}必收敛（）.5、若数列{an}发散，则{an}必为无界数列（）.6.当（）时，有lim(k

n1n)ne.三、计算题

1.一些重要结论：

lim(n1n

nn)e，limn(n1n)ne1，limnqn0,(|q|1)，limna1,(a0)，limnn21.2.计算下列极限

（1）limsinn

nn0（M）.（2）lim

1n(2n1n2n2n2)2（求和法）.（3）lim(1

nn21

2n2n

2n2n)（夹逼）.（4）limn(113n1nn2)，（4）limn(1n2).（5）.设f(x)axa0,a1，求lim1

nn2lnf(1)f(2)f(n).1limnn1，《数学分析I》第1次习题课教案 xn1ann!（6）设xn，求极限.limnnnxn

四、证明题

1.已知limana，证明极限limn[nan]a.nn1

cos1cos2cosn2n,（n1,2,，）是收敛数列.2222..应用柯西收敛准则，证明an

3.设x1a0，xn112(xn)，证明：数列{xn}收敛并求其极限（单调有界原理）.2xn

n4.按数列极限的N定义证明limn22n210.anbnn1,2,,试证明数列{an}，bn1anbn，25.给定两个正数a1与b1(a1b1)，我们令an1

与{bn}的极限皆存在，并且limanlimbn.nn

高中数学数列的教学策略研究 篇11

关键词：高中数学；数列教学；现状；策略研究

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-229-01

高中数学课程教育当中数列是十分重要的课程构成成分，实现数列教学质量的提高，有助于培养学生的的数学问题理解、分析与问题探究的能力，有利于高中阶段学生的综合素质提高与培养。随着我国课程改革工作的不断推进，高中数学教学策略都有了明显的优化与发展，教师应当在新课程改革的要求下不断实现数列教学方式的优化，实现教学水平的不断上升，加强学生学习成绩的上升。

一、当前我国高中数学课程教学中存在的问题

在传统的高中数学教育模式中，教师是课堂的主体，而学生对于知识的吸收处于被动接受的状态，在这样的灌输式教育当中，教师和学生往往会形成管理与被管理的相处模式，学生容易产生逆反心理，失去学习积极性，师生互动的不足，导致教学效果并不理想。另外，在进行教学的过程中，教师的授课内容主要是根据固定的教材大纲按部就班的进行知识教授，教学手法过于古板单一。在学生依靠教师进行知识学习的过程中，教师往往将知识内容作为重点，忽略了启发式教育的重要性，没有引导学生自主进行知识探索，培养学生的自主学习的能力，从而导致高中数学课程教育的学习高效性难以实现。

二、有效的数学数列课程的教学策略

1、建立高效课堂，激发学生的学习兴趣

要实现教学成果的显著上升，提高学生的学习兴趣是十分有必要的，可以依靠高效课堂建立来实现。在传统的高中数学教学中，教师与学生之间的关系是不平等的，主要以领导者与被领导者的关系形式存在，这样的关系难以适应现代化的高效课堂建立的要求，只有当教师与学生之间建立平等互信的关系才能加强学生学习体验共鸣。同时，教师还要在课堂教学过程中，改变原本的枯燥学习环境，实现趣味化教学，让学生在轻松的教学环境中实现数学知识的学习与掌握。例如在实际教学中，教师在进行数列知识引入的时候，可以首先进行数学故事的讲解。例如“国际象棋发明故事”，同样也可以在课堂上开展数列游戏，通过这样的方法可以有效的提高学生的学习兴趣。

2、加强课程教育中多媒体技术的应用

随着现代科学技术的不断发展，多媒体教学设备被广泛运用到了学习当中，是常见的教学方法之一。在进行高中数学数列课程教学时，利用多媒体的技术设备把课程内容和重要知识点进行全面呈现。在多媒体教学中，学生可以脫离数学原本枯燥的教学模式，让学生在学习中产生学习兴趣。例如在数列教学内容“等差数列的前n项和”的课堂教学所提出的数列问题“在进行积木堆积游戏中，最下层积木数量为15，往上每一层一次递减一块积木，最上层积木数量为1，求中共有多少块积木？”的解决时，教师可以通过多媒体技术进行积木堆积动画演示，将原本抽象的数学问题具体化，加强学生的探索兴趣，在解题后教师也可就学生提出的多种解题方案进行多媒体演示，可以实现直接的最简化方案的选择，提高学生的学习效率。

3、加强教学中的小组学习模式

在高中数学的教学中，可以利用小组组合形式来进行学习教材内容中的数列知识，通过这样的方法有利于学生自主学习能力的提高。通过同学间的组合学习，不仅有利于学生积极主动的参与到学习中，还能培养学生的协同互助能力。教师可以根据学生能力进行科学性分组，小组内相互的带动讨论，在交流中发展自主意识，同时开阔思维，从而实现学生的学习效率提高。例如，在进行数列课程内容中“等项数列求和公式”的学习中，首先提出“怎样快速计算1到200之间的所有自然数的总和？”的问题，进行分小组讨论，让学生积极发挥自身想象力与开拓思维进行求和计算。教师在进行分小组的时候要注意小组成员的科学搭配，将学习成绩优异与较差的学生进行合理的交叉搭配，实现学生学习水平的总体上升。另外在小组讨论展开时，为避免小组学习的形式化，教师应当进行监督，并且鼓励组内成员积极发言。在一段时间的讨论之后，教师可以让学生进行求和答案汇报，并分小组进行计算方法的讲解，让学生通过自主探究的方式实现数列知识的发现。提高学生的思维能力与探索能力。

结束语：为加强高中生的数学学习能力以及综合素质的全面提升，教师在进行课程中数列内容教学时，要不断对当前的教育现状进行分析，进行教学策略与方式的不断优化与完善，以人为本地进行教学方案的制定。并通过多种辅助教学手段进行教学，不断加强学生的学习兴趣培养与多种教学方式建立，最终实现学生对数列知识的掌握以及灵活运用到多种数学问题解决当中。

参考文献：

[1] 石 因.多元智能理论教学观下的高中数学数列教学实践与研究[D].苏州大学，2015.

[2] 翟艳芳.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程（中学），2015，03：127.

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