直线型(四边形)证明专题训练

直线型(四边形)证明专题训练（共4篇）

直线型(四边形)证明专题训练 篇1

F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

A

2B

E

F

D

C

图6

2平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF是平行四边形.如图，已知：ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于

E，ABC的平分线BG

交CE于F，交AD于G．求证：AEDG．

E G

图7

B C 3如图，已知平行四边形ABCD，DE是ADC的角平分线，交BC于点E．（1）求证：CDCE；

（2）若BECE，B80，求DAE的度数．

4.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.A

D

B

C

5．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

6.如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．

AE

6，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．

图

47已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

8如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．

9如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长

线于点G． A

（1）求证：DE∥BF；

D（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

10如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，B 交BC于点F．

⑴求证：△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

11如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF

12.如图，矩形ABCD的对角线相交于点

O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为83，求AC的长．

A

D

E

13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．⑴说明四边形ACEF是平行四边形；

⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

第25题图

14.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△

PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.15.如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分ABC,A60.

过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E、F，连接EF，求证

：△DEF为等边三角形.16.如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF.求证：DE=AF.AD

B

E

F

C

17.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对

角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．(1)求EG的长；

(2)求证：CF ＝AB ＋AF．

18.如图，在等腰△ABC中,点

D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2．

(1)求证：OD＝OE；(2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形；(3)若AB＝3DE, △DCE的面积为

2, 求四边形ABED的面积．

题图

24.如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.⑴ 求证：AD=AE；

⑵ 若AD

直线与圆专题强化训练 篇2

题型一求直线方程

【例1】已知直线l过点P(3,1),且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截的线段长为5,求直线l的方程.

分析这类题型有三种情况:被两已知平行线截得的线段长为定长a的直线,当a小于平行线间的距离时无解,当a等于两平行线间距离时有唯一解,大于时有两解。求直线方程,已知直线过定点,可设点斜式,但须考虑斜率存在与否。

解由题意可知,直线方程有两解.

两平行线的倾斜角是135°,两平行线间距离52,被截线段长为5,可知构成等腰直角三角形,结合图形,可得所求直线倾斜角为0°或90°.故所求直线方程为x=3或y=1.

点拨本题采用数形结合的思想方法较快的得出结果,也可分类讨论斜率存在与否,构造关于斜率的方程求解。在求直线方程时,选择哪种形式是非常重要的。

题型二求圆方程

【例2】设平面直角坐标系中,二次函数f（x）=x2+2x+b的图象与坐标轴有三个交点,求经过这三个交点的圆的方程.

分析这是08年江苏卷18题的第二问。考查求经过三点的圆的方程,可设圆的一般式方程,用待定系数法求解。

解可知二次函数图象与坐标轴三交点坐标A(－1－1－b,0),B(－1+1－b,0),P(0,b).设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三点代入可得,D=2,E=-b-1,F=b,故所求圆的方程为x2+y2+2x－(b+1)y+b=0.

点拨本题还可以这样做，设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得

x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一方程,故D=2,F=b.

令x=0,得y2+Ey+F=0,此方程一个根为b,代入得E=-b-1,得解。一般情况下,求圆的方程,常用方法为待定系数法。以知圆过三点,常设一般式,其他情况一般设标准式。知道圆过三点,还可以求出每两点的连线的垂直平分线,两个垂直平分线的交点即为圆心。

题型三直线与圆位置关系

【例3】已知⊙C1:x2+(y+5)2=5，点A(1，－3)．

（1） 求过点A与⊙C1相切的直线l的方程；

（2） 设⊙C2为⊙C1关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为2？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

分析求切线方程,一要抓住直线方程的形式,二要抓住直线与圆位置关系的判断(几何法),同时事先要判断点与圆的位置关系,解决问题时牢记数形结合这一重要思想。

解（1） C1(0,－5),r1=5，因为点A恰在⊙C1上，所以点A即是切点，

kC1A=－3+51=2，所以k1=－12，

所以直线l的方程为y+3=-12(x－1),

即x+2y+5=0.

（2） 因为点A恰为C1C2的中点，所以C2(2,－1)，

所以⊙C2：(x－2)2+(y+1)2=5，

设P(a,0)，PC21－5PC22－5=2，①

或PC22－5PC21－5=2，②

由①得a2+20(a－2)2－4=2，解得a=－2或10，

所以P(－2，0)或(10，0)，

由②得a2－4aa2+20=2，求此方程无解.

综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）符合题意.

点拨直线和圆的位置关系的判断主要从几何法入手,牢记点到直线距离公式,求切线方程往往要考虑斜率存在与否。如果遇到求切线长，抓住直角三角形。

题型四定值定点问题

【例4】已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2+(y－3)2=4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.探索AM•AN是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

分析定值定点问题是近年江苏高考的热点,在解决问题过程中往往含有一个甚至更多参数,但这些参数只参与运算,对结果并无影响,跟多的考查学生的运算能力。

解∵CM⊥MN,∴AM•AN=(AC+CM)•AN=AC•AN+CM•AN=AC•AN.

当l与x轴垂直时，易得N－1,－53，

则AN=0,－53,又AC=(1,3),

∴AM•AN=AC•AN=－5.

当l的斜率存在时，设直线l的方程为

y=k(x+1)，

则由y=k(x+1)，

x+3y+6=0,得N－3k－61+3k,－5k1+3k,

则AN=－51+3k,－5k1+3k,

∴AM•AN=AC•AN=－51+3k+－15k1+3k=－5.

综上所述，AM•AN与直线l的斜率无关，且AM•AN=－5.

点拨结合图形发现直线AC与直线m垂直,从而可用三角形相似更快求解,即用几何法求解会更方便。不能用几何法或想不到用几何法,纯代数法一定能解决问题,关键是提高运算能力。

牛刀小试

1. 过点P(2,1)的直线交x轴y轴正半轴于A,B两点,求使:

(1) 三角形AOB面积最小时直线的方程；

(2) |PA|•|PB|最小时直线的方程.

2. 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点.

(1) 求公共弦AB所在的直线方程；

(2) 求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程．

3. 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0.

（1） 若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；

（2） 从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

4. 已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l1过定点A(3,0)，且与圆C相切．

(1) 求直线l1的方程；

(2) 设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．

【参考答案】

1. 可选择点斜式,或截距式,较为方便,随后转化为基本不等式求最值.

(1) x+2y-4=0;

(2) x+y-3=0.

2. (1) x2+y2+2x+2y-8=0,

x2+y2-2x+10y-24=0x－2y＋4＝0.

(2) 由(1)得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中得：y2－2y＝0.

∴x=-4,

y=0或x=0,

y=2,即A(－4,0)，B(0,2)，

又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，则|MA|＝|MB|，解得M(－3,3)，

∴⊙M：(x＋3)2＋(y－3)2＝10.

还可设圆系方程:x2＋y2＋2x＋2y－8+k(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0(k≠0),从而写出圆心坐标,代入直线y=-x,可解得k,即得方程.

3. （1） ∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式或判别式法，解得切线的方程为：x＋y－3=0，x＋y＋1=0，x－y＋5=0，x－y＋1=0．

(2) 将圆的方程化成标准式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圆心C（－1，2），半径r=2，设P的坐标（x1,x2）,

∵切线PM与CM垂直，

∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，

又∵|PM|=|PO|，

坐标代入化简得2x1－4y1＋3=0．

|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即O点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即3510．

从而解方程组x21+y21=920,

2x1-4y1+3=0,得满足条件的点P坐标为－310，35.

4. (1) ∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，

则圆心O(0,0)到直线l1的距离为

d＝|3k|k2+1＝1，解得k＝±24，

∴直线l1的方程为y＝±24(x－3)．

(2) 对于圆C：x2＋y2＝1，令y＝0，则x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x＝3.

设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝ts+1(x＋1)．

解方程组x=3,

y=ts+1(x+1),得P′3，4ts+1．同理可得Q′3，2ts-1．

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为

(x－3)(x－3)＋y－4ts+1y－2ts-1＝0，

又s2＋t2＝1，

∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋6s-2ty＝0，

若圆C′经过定点，只需令y＝0，

从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±22，

∴圆C′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．

(作者：周炎，江苏省平潮高级中学)

（上接第43页）

故所求四边形的面积S=12|PQ||MN|=4(1+k2)1+1k2(2+k2)2+1k2=42+k2+1k25+2k2+2k2.

令u=k2+1k2,得S=4(2+u)5+2u=21－15+2u.

∵u=k2+1k2≥2,

当k=±1时,u=2，S=169且S是以u为自变量的增函数.∴169≤S<2.

②当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2.∴S=12|PQ||MN|=2.

综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为169.

3. 易得a=2c，b=c,

故椭圆C的方程为x2+2y2=2c2.

又A(0，c),D(2c,c),F(c,0),T(2c,0),

直线DF的方程为y=x－c，

直线AT的方程为x+2y=2c.

联立y=x－c，

x+2y=2c解得x=43c,

y=13c,

易证，点43c,13c在椭圆C：x2+2y2=2c2上，

而易得点43c,13c即为点M，

故存在λ=3，使TA=3TM成立.

平行四边形证明训练 篇3

1、如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．

2、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF求证：AE=CF．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？ 说明理由.4、如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．

求证：∠EBF=∠FD

5．如图20—1—26，平行四边形ABCD中，AC是对角线，DF⊥AC于F，BE ⊥AC于E，连接BF、DE，你认为四边形BEDF是平行四边形吗?给出合理的解释．

6、如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。

A

BEFD

7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.8.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC的长.9.如图所示，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE=OF.10.如图所示，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？

11、如图所示，ABCD中的对角线AC、BD相交于O，EF经过点O与AD延长线交于E，与CB延长线交于F。E求证：OE=OF

D

A

12.如图, ABCD 中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,DGE100.(1)求证：DF=BG;(2)求AFD的度数.D

AF

ECBG

CB13、如图，ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，AF与BE相交于G，DF与CE相交于H，连结EF、GH。求证：EF、GH互相平分。

AE

BF

14.如图，□ABCD O为D的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，•点E、F在直线MN上，且OE=OF．

（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；

（2）求证：∠MAE=∠NCF．

15．如图12-1-8，△ABC中AB＝AC，点P在BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB分别交AB，AC于E、F，试证明线段PE+PF=AB．

D

16如图12-1-14所示，已知中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，试说明四边形EGFH为平行四边形．

17．已知如图12-1-9，平行四边形ABCD中E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF，AC与EF交于点O．求证：

OE=OF

18如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；

19如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．

20、如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

21．如图20—1—11，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE=BF，你认为AE=CF吗?试说明理由．

几何证明专题训练 篇4

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO.求证：

CD=GF.(初二)

2已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=150.求证：△PBC是正三角形.(初二)

4已知：如图，在四边形

ABCD

中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：∠DEN=∠F.5已知：△ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O为外心，且OM

⊥BC于M.(1)求证：AH=2OM;(2)若∠BAC=600，求证：AH=AO.(初二)

设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ.如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设

MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交

MN于P、Q。

求证：AP=AQ.如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形

CBFG，点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与

CD相交于F.求证：CE=CF.(初二)

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且

CE=CA，直线EC交DA延长线于F.求证：

AE=AF.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE.求证：PA=PF.(初二)

如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D.求证：AB=DC，BC=AD.(初三)

已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求：∠APB的度数.(初二)

设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠

PDA.求证：∠PAB=∠PCB.(初二)

设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)

平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE=CF.求证：∠DPA=∠DPC.(初二)

设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：≤L<2。

已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值。

P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长。

如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=300，∠EBA=200，求∠BED的度数.某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y(单位：千米)与所用

时间

x(单位：小时)的函数图象.已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时。

(1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y(千米)与所用时间x(小时)的函数图象。

(2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)。(3)求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程。

如图9，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为(40)(02)AC，、，D为OA的中点.设点P是AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等;

(2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过OPD、、三点的抛物线的解析式;

(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE△的周长最小?求出此时点P的坐标和PDE△的周长;