垂直的证明

垂直的证明（通用10篇）

垂直的证明 篇1

1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

1D

B

C

2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

3．如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF

A

E

B

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

4．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC10，D是BC边的中点.（Ⅰ）求证：

5．如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE

上确定一点N，使得MN∥平面DAE.7．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中:（1）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；（2）求三棱锥B

1A1C

1B的体积。（3）求证：B1D

平面A1C1B

ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

8． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是

SA,BD上的点，且

AMBN

=，求证：MN//平面SBC SMND

P

9． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

E

A

B

D C

10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）证明：FO∥平面CDE；

（II）设BC=CD,证明EO⊥平面CDF．

11． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．

12．如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

13.如图在三棱锥PABC中，PA平面ABC，C E

C

P

B

A

DB

_P

ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

14.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB2，SBSD ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

_A_C

_M

_B

D

C

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

1． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直 角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若 存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

D

C

【课后记】 1．设计思路（1）两课时；

（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；（4）强调书写的规范性 2．实际效果：

（1）用时两节半课；

垂直的证明 篇2

利用向量方法判断空间位置关系, 其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理, 将可建立一种简单的程序化的解题模式.

定理1 设$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}(x‚y\in \mathbf{R})$, 则

① P∈平面MAB⇔PQ⊂平面MAB;

② P平面MAB⇔PQ//平面MAB.

定理2 设向量$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle DE}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle DF}}$不共线, 则:平面ABC⊥平面DEF⇔存在实数λ, μ, 使$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0$, 且$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0.$

例1 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, O是B1D1的中点, 求证:B1C//平面ODC1.

证明:设$\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}B{}_1}}=\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}D{}_1}}=\mathit{b}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}C}}=\mathit{c}$, 则

$B{}_{1}C=\mathit{c}-\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_1{\rm O}}}=\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}D{}_1}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}+\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}D}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}.$

若存在实数 x, y, 使$\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}‚$则

$\begin{array}{l}\mathit{c}-\mathit{a}=x[\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}]+y[-\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})]\\ =-\frac{1}{2}(x+y)\mathit{a}+\frac{1}{2}(x-y)\mathit{b}+x\mathit{c}.\end{array}$

因为 a、b、c 不共面,

所以

得$x=1‚y=1‚\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}.$

又因为B1平面ODC1,

所以B1C//平面ODC1.

例2 在斜三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧面AA1B1B⊥底面ABC1, 侧棱AA1与底面ABC成60°角, AA1=2, △ABC是边长为2的正三角形, 其重心为G, E是线段BC1上一点, 且$BE=\frac{1}{3}BC{}_1$.求证:G1E//侧面AA1B1B.

证明:因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,

所以侧棱AA1与底面ABC所成的角就是∠A1AB, ∠A1AB=60°.

由A1A=AB=2, 知△A1AB为正三角形.

取AB中点O, 则A1O⊥底面ABC, OC⊥AB.于是建立如图2的空间直角坐标系, 则$A(0,-1,0),B(0,1,0),C(\sqrt{3},0,0),A{}_1(0,0,\sqrt{3}).$

$\begin{array}{l}\text{由}\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle AA{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}=(0,1,\sqrt{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C}}+\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=(0,2,\sqrt{3}),\end{array}$

知$C{}_1(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),B{}_1(0,2,\sqrt{3}).$

因为G为△ABC的重心, 所以$G(\frac{\sqrt{3}}{3},0,0).$

因为$\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}=(\sqrt{3},0,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}=(0,3,\sqrt{3}),$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}\\ =(\frac{\sqrt{3}}{3},1,\frac{\sqrt{3}}{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle GE}}=\overrightarrow{{\displaystyle G{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}\\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}+0\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\end{array}$

(或$\overrightarrow{{\displaystyle GE}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}).$

又GE⊄平面AA1B1C,

所以GE//平面AA1B1B.

例3 (2004年湖南) 如图3, 在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, $\angle ABC=60°,{\rm P}A=AC=a,{\rm P}B={\rm P}D=\sqrt{2}a$, 点E在PD上, 且PE ∶ED=2∶1.

在棱PC上是否存在一点F, 使BF//平面AEC?证明你的结论.

解:设$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=\mathit{a},\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=\mathit{b},\overrightarrow{{\displaystyle AD}}=\mathit{c}$.并设$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}(0<\lambda <1)$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=\overrightarrow{{\displaystyle BC}}+\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\lambda (\overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c},\\ \overrightarrow{{\displaystyle AE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\overrightarrow{{\displaystyle DE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{{\displaystyle DA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\frac{1}{3}\mathit{a}+\frac{2}{3}\mathit{c}.\end{array}$

令$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=m\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+n\overrightarrow{{\displaystyle AE}},$

即$\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c}=\frac{1}{3}n\mathit{a}+m\mathit{b}+\frac{2}{3}n\mathit{c},$

则由 a、b、c不共面, 得

$\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{1}{3}n‚\\ -\lambda =m‚\\ 1=\frac{2}{3}n.\end{array}$

解得$\lambda =\frac{1}{2}‚m=-\frac{1}{2}‚n=\frac{3}{2}.$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}‚$且$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AE}}.$

又因为B平面AEC,

所以当F为PC中点时, BF//平面AEC.

例4 在四棱锥P—ABCD中, PD⊥平面ABCD, PA与平面ABCD所成的角为60°, 在四边形ABCD中, ∠ADC=∠DAB=90°, AB=4, CD=1, AD=2.若PB的中点为M, 求证:平面AMC⊥平面PBC.

证明:建立如图4所示的坐标系, 易得A (2, 0, 0) , C (0, 1, 0) , B (2, 4, 0) .

由PD⊥面ABCD, 得∠PAD为PA与面ABCD所成的角, 从而, 在Rt△PAD中,

$\angle {\rm P}AD=60°,{\rm P}D=AD\tan 60°=2\sqrt{3},$

得${\rm P}(0,0,2\sqrt{3}),{\rm M}(1,2,\sqrt{3}).$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CA}}=(2,-1,0),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(1,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(0,-1,2\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(2,3,0).$

设$\mathit{p}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(2\lambda +\mu ,-\lambda +\mu ,\sqrt{3}\mu )(\lambda ,\mu \in \mathbf{R})$, 令

$\{\begin{array}{l}\mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(\lambda -\mu )+6\mu =0‚\\ \mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(4\lambda +2\mu )+(-3\lambda +3\mu )=0‚\end{array}$

得λ+5μ=0.

取λ=5, μ=-1, 得

$\begin{array}{l}(5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=0‚\\ (5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=0.\end{array}$

所以平面AMC⊥平面PBC.

例5 如图5, 四边形ABCD是边长为2的正方形, PA⊥平面ABCD, DE//PA, PA=2DE=AB, 求证:平面PEC⊥平面PAC.

证明:由DE//PA, PA⊥平面ABCD, 得DE⊥平面ABCD, 于是建立如图的直角坐标系.易知,

$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=(0‚0‚2)‚\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=(2‚-2‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=(0‚2‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=(2‚-2‚-2)$.令

$\{\begin{array}{l}(\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

得2μ-λ=0.

取λ=2, μ=1, 得

$\begin{array}{l}(2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

所以平面PEC⊥平面PAC.

线面垂直的证明与应用 篇3

例1如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.

求证：（Ⅰ）BC⊥平面PAB；（Ⅱ）AE⊥平面PBC；（Ⅲ）PC⊥平面AEF.

证明（Ⅰ）PA⊥平面ABC[⇒]

[PA⊥BCAB⊥BCPA⋂AB=A⇒BC⊥平面PAB.]

（Ⅱ）AE[⊂]平面PAB，由（Ⅰ）知

[AE⊥BCAE⊥PBPB⋂BC=B⇒AE⊥平面PBC.]

（Ⅲ）PC[⊂]平面PBC，由（Ⅱ）知

[PC⊥AEPC⊥AFAE⋂AF=A⇒PC⊥平面AEF.]

例2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.

（Ⅰ）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.

（Ⅱ）当[a=4]时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.

（Ⅲ）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.

解析（Ⅰ）当[a=2]时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.

又∵PA⊥底面ABCD，BD[⊂]平面ABCD，

∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.

故当[a=2]时，BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）当[a=4]时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.

∵ABMN和DCMN都是正方形，

∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=90°，即DM⊥AM.

又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，

故当[a=4]时，BC边的中点M使PM⊥DM.

（Ⅲ）设M是BC边上符合题设的点M，

∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.

因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.

例3正方形[ABCD]中，[AB=2]，[E]是[AB]边的中点，[F]是[BC]边上一点，将[△AED]及[△DCF]折起（如图），使[A、C]点重合于[A′]点.

（Ⅰ）证明：[A′D⊥EF]；

（Ⅱ）当[F]为[BC]的中点时，求[A′D]与平面[DEF]所成的角；

（Ⅲ）当[BF=14BC]时，求三棱锥[A′-EFD]的体积.

解析（Ⅰ）∵[A′D⊥A′E，A′D⊥A′F]，

∴[A′D]⊥平面[A′EF.∴A′D⊥EF].

（Ⅱ）取EF的中点G，连结[A′G、DG].

∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴[EF=2].

又∵[A′E=A′F=1]，

∴[∠EA′F=90°，A′G⊥EF]，得[A′G=22].

∵[A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′]，

∴[EF⊥平面A′DG.]

∴平面[DEF]⊥平面[A′DG.]

作[A′H⊥DG]于[H]，得[A′H]⊥平面[DEF]，

∴[∠A′DG为A′D与平面DEF]所成的角.

在Rt[△A′DG]中，[A′G=22]，[A′D=2]，

∴[∠A′DG=]arctan[24].

（Ⅲ）∵[A′D⊥平面A′EF]，

∴[A′D是三棱锥D—A′EF]的高.

又由[BE=1，BF=12]推出[EF=52]，

可得[SΔA′EF=54]，

[VA′－EFD=VD－A′EF]

[=13⋅SΔA′EF⋅A′D=13]·[54]·2=[56].

例4如图，在四棱锥[P-ABCD]中，侧面[PAD]⊥底面[ABCD]，侧棱[PA=PD＝2]，底面[ABCD]为直角梯形，其中[BC∥AD,AB⊥AD,][AD=2AB=2BC=2],[O]为[AD]中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32]？若存在，求出[AQQD]的值；若不存在，请说明理由.

解析（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，

所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面[PAD⋂]平面ABCD=AD, [PO⊂]平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，

BC∥AD，[AD=2AB=2BC,]

有OD∥BC且OD=BC，

所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为[AD=2AB=2BC=2],在[Rt△AOB]中，[AB=1,][AO=1,]所以[OB＝2]，

在[Rt△POA]中，因为[AP＝2]，[AO＝1]，所以[OP＝1]，

在Rt[△PBO]中，

tan[∠PBO＝POBO=12=22,]

[∠PBO=arctan22.]

所以异面直线[PB与CD]所成的角是[arctan22].

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32].

设[QD＝x]，则[SΔDQC=12x].

由（Ⅱ）得[CD=OB=][2]，

在Rt[△POC]中， [PC=OC2+OP2=2,]

所以[PC=CD=DP], [SΔPCD=34⋅(2)2=32,]

由[VP-DQC=VQ-PCD],得[x=32]，

所以存在点[Q]满足题意，此时[AQQD=13].

例5已知[△BCD]中，[∠BCD=90°]，[BC=CD=1]，[AB]⊥平面[BCD]，[∠ADB=60°，E、F]分别是[AC、AD]上的动点，且[AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).]

（Ⅰ）求证：不论[λ]为何值，总有平面[BEF]⊥平面ABC；

（Ⅱ）当[λ]为何值时，平面[BEF]⊥平面[ACD]？

解析（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.

又[∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),]

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，

∴EF⊥平面ABC，又EF[⊂]平面BEF,

∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF.

又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴[BD=2,AB=2tan60∘=6,]

[∴AC=AB2+BC2=7.]

由[AB2=AE⋅AC],得[AE=67,∴λ=AEAC=67.] 故当[λ=67]时，平面[BEF]⊥平面[ACD].

例6如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，[∠ABC=60°],E、F分别是BC、PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为[62]，求二面角[E-AF-C]的余弦值.

解析（Ⅰ）由四边形[ABCD]为菱形，[∠ABC=60°]，可得[△ABC]为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE[⊂]平面ABCD，

所以PA⊥AE.

而PA[⊂]平面PAD，AD[⊂]平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.

又PD[⊂]平面PAD，所以AE⊥PD.

（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.

由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，

在Rt△EAH中，AE=[3]，

此时tan∠EHA=[AEAH=3AH=62,]因此AH=[2].

又AD=2，所以[∠ADH=45°]，

所以[PA=2].

因为PA⊥平面ABCD，PA[⊂]平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC.

过O作OS⊥AF于S，连接ES，

则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=[32]，

AO=AE·cos30°=[32].

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，

SO=AO·sin45°=[324],

又[SE=EO2+SO2=34+98=304,]

在Rt△ESO中，cos∠ESO=[SOSE=324304=155,]

《垂直关系证明》专题 篇4

例

1、如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

平面MBD．

1例

2、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求证：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如图１所示，ABCD为正方形，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．

求证：AESB，AGSD．

例

4、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

例

5、如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC

图9—40

例

7、如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD

例

8、如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．求证：平面MNF⊥平面ENF．

图9—

42《垂直关系》专题练习

1、如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

2、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

4、如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.求证：NP⊥平面ABCD.5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．求证：平面PCE⊥平面PCD

图9—457、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．BA

立体几何中平行与垂直的证明 篇5

姓名

2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D

1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．

求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

AD

C1

BC【变式一】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：

1． 谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF

D

1A

E

B

C

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？ 【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC

（Ⅰ）求证：

10，D是BC边的中点.ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？ 【变式三】如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

【反思与小结】

1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会

【变式四】如图，四边形ABCD

为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？ _P【变式五】如图5所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。

2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱

柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。

3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；

（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD

为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点

（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

P1． 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．（1）求证：CDAE；

A

D（2）求证：PD面ABE．

2． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若

存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论． D【课后记】1．设计思路（1）两课时； C（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；

（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；

（4）强调书写的规范性

2．实际效果：

（1）用时两节半课；

怎么证明面面垂直 篇6

一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。这是解析几何的方法。

证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0 2斜率 两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

城市“垂直”的商机 篇7

而在中国西部，如此“立体城市”已经“播种”，开始“生长”了。 7月26日，陕西西咸新区“立体城市壹号”项目开工建设。这一项目将在1.57平方公里的土地上建500万平方米建筑，8万人在其中工作、生活、娱乐……同时，聚集几乎所有的城市主要功能，实现项目内约50%的劳动力获得本地就业机会。该项目的操盘手则是有“中国地产界思想家”之称的冯仑。

梦想照进现实

4年前，万通集团董事长冯仑在哥本哈根“中国商界气候变化国际论坛”上阐述了一个“乌托邦”式的新型城市梦想，该建设计划的主要内容是：在大约一平方公里的土地上，打造一个建筑面积600万平方米，可容纳8万?10万人口的高密度建筑群，这一“垂直”发展的城市可为市民提供吃、住、行、教育、医疗等六十种一站式的生活需求保障。

实际上“立体城市”的新型城市建设概念，是将城市发展从“摊大饼式”向“三维立体式”转变，来有效提高城市空间的利用率。这将立体城市建设项目与传统的房地产开发模式区别开来，冯仑希望以低消耗、中密度、高效率的立体综合建筑体系，创建一种全新的城市生活模式，解决困扰城市病问题。

有评论人士认为，立体城市是针对当前全球城市化进程中城市模式变革背景下的一次思想探索，也是对中国乃至发展中国家城市发展面对的普遍问题的一次尝试性提案。但同时也对该计划提出了质疑—如何实践？

冯仑希望立体城市要走一条企业化主导、市场化高效运作的创新模式之道路。他提出“将城市功能摞起来，建设绿色智能、高舒适城市”的想法得到了新希望集团董事长刘永好、鼎天资本王兵等人的支持，他们开始“合伙”推进这项工程。

经过4年多的技术研发与论证，关于立体城市运作所涉及的资金、基础设施、规划、土地等方面的模式设计，冯仑称“我们都已经解决了”。“到目前为止立体城市的发展速度，我和永好是非常满意的。”时隔四年，北京万通立体之城投资有限公司于今年和陕西西咸新区管委会签订合作协议，通过摘牌的方式获取土地，建设集高端服务业、绿色低碳、和谐生活、持续发展、先进技术于一体的“立体城市”。项目位于位于西咸新区五大组团之一的秦汉新城，投资总额约300亿元，将在7年时间内，打造一个容纳8万常住人口的微型城市。未来西咸立体城市将成为产城一体、城乡统筹的“现代田园城市”的实践和样板。

惯常调侃的冯仑用“大象怀孕”来比喻“立体城市的诞生”。从纸上谈兵进入项目实操，万通集团董事长冯仑谈兴颇高：“比起传统的房地产项目来，大象怀孕当然慢了。孕育期是长了点，但出生之后就长得快了。”

实际除了西安项目，这四年里立体城市已经分别向四川成都以及浙江温州伸出了“橄榄枝”，还向全球具有领先水平的规划设计院校发出邀请，共同探寻城市“向上”的道路。

借鉴他山之石

“立体城市”并非是冯仑一个人的海市蜃楼，土地不足是普遍亚洲城市所面对的限制，实际上世界上很多国家都在尝试与探索新的城市建筑模式，在不影响生活素质的同时，解决人口剧增的问题。

作为高密度居住空间研究领域的专家，新加坡国立大学设计与环境学院院长王才强表示：“立体城市模式是未来城市发展的必然趋势，就拿新加坡来说，在最近的七八年里人口增加了100万，楼盘估计在不久的将来会达到650万，然而在新加坡750平方公里的狭小国土内，怎么能把建筑盖更高、更好，且宜居就变成了一个很大的挑战，所以我们必须寻求高密度的发展，楼盘现今在一平方公里内，一万人的社区是没问题的，楼盘将来1平方公里盖到六七万人的社区，也将成为必然”。

2011年，北京万通立体之城投资有限公司与新加坡国立大学设计与环境学院合作，设立“关于可持续性高密度城市居住研究中心”，研究开发适合高密度城市居住环境的城市规划和设计方法，以及建筑技术创新，并以亚洲城市为重点，推广城市可持续发展的知识和最佳实践，以引导世界级最前沿的规划设计思考，并指导立体城市的高水平研究与实践。

同时新加坡国立大学设计与环境学院主办、世界未来基金会与北京万通立体之城投资有限公司连续承办的三届“亚洲垂直城市”国际设计竞赛及研讨会，旨在探索新的城市规划模式，以有效舒缓亚洲城市的拥挤问题。竞赛邀请了全球十余所一流大学的建筑系的学生参赛，参赛者以亚洲城市急剧发展为前提，考虑密度、生活质量及可持续发展等要素，三年结合成都、首尔、越南的三个一平方公里地块的地形地貌和城乡发展状况，各自设计出一座供10万人居住和生活的垂直城市。

冯仑则告诉本刊记者，竞赛使他大开眼界。他“看到所有最具有创造力的想象，以及一些细致的勾勒和安排。”比如，曾经有一组美国的选手，他们把垂直城市做成了像树一样的自然生长，每一个建筑体可以挂在一个垂直向上的结构体上。有欧洲的选手，他们会把原有城市土地的肌理保存得很好，然后使一个很高密度的城市似乎看上去也并不是那么突兀，而且和环境融合得非常之好。更有想象力的，是在老城市不动的情况下，在老城市的上面，架起一个垂直城市的新城，然后再把老城市底下的人搬到上面去。这样有效地解决了老城的拆迁和发展问题。

3届竞赛下来，分别解决了立体城市“多大的尺度和密度是最合理的”、“养老宜居和就业发展的问题”以及“怎样通过都市农业的发展，来使垂直城市变得更加可持续，更加具有生气和活力”。

北京万通立体之城投资有限公司总经理郝杰斌认为，“城市规划方面的创新正是万通立体城市的核心竞争力。”经过四年的潜心研究，目前立体城市团队已在专业领域中取得了许多有价值的研究结果，归纳成了立体城市竖向发展、大疏大密、产城一体、资源集约、绿色交通、智慧管理的六大规划策略，从而完善城市化布局与形态，改善城市的低密度分散化倾向，提升城市密集度。

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产业联盟共赢

与传统的城市发展不同，立体城市采用竖向生长的方式，向高空寻发展。立体城市以“1+N”的模式，功能复合、合理布局在都市核心区中密度合理发展的立体复合型现代城市功能，注重多种产业共同发展。因此产业联盟构建和就业优先思维则成为立体城市的重点。

冯仑说，在主打产业的选择上，立体城市有三个标准：高就业系数、高需求弹性和高持续向好性，“我们选取的产业有三个特征：高就业系数、高需求弹性和高持续向好性”。带动的就业要足够多，比如说医疗健康产业，如果设2000个床位，就有1万个就业机会，还有就是农业，我们要把农业变成都市农业，在这个城市里面，甚至在自己家的阳台上，在街道上，在很近的地方，我们就可以很方便地得到你所需要的蔬菜和花。立体农业本身是节省空间、节省土地、创造更大经济效益的一个都市性农业，另外，教育研发产业就业系数比较高，同时带来了长期的增长需求。

记者了解到，在西咸新区的立体城市中，其核心区结合关中地区及陕西省发展需求，积极筹划以医疗健康产业为主，兼具教育培训、文化创意、特色商业等产业，从而形成逐步累加的就业岗位和机会。按照西咸立体城市8万人口的规模，工作人口在3?4万，这意味着，通过产业主导，西咸立体城市可创造和提供大约2万个左右的工作机会。

试想近10万人聚集在1平方公里的建筑群里，24小时在其中生产、生活，不仅蕴藏了无限商机，也对科技和管理方式都提出了前所未有的要求。

实际上立体城市起到的是搭建平台作用，在这个平台上，立体城市做好城市整体规划和服务，推动公共政策的创新和引导，让资金资源、产业资源、房地产开发资源、城市商业运营资源、基础设施资源等汇聚起来，各自发展，共赢生长，从而创造巨大而良性的城市发展生态圈以及价值空间。

据悉，立体城市深度沟通的策略联盟伙伴和潜在联盟伙伴，已经有数十家，万通立体之城也将与这些策略联盟伙伴一起，在立体城市这个平台从各自专业的领域共同去探索中国城市化问题的解决方案，互利共赢。西咸立体城市就已具备一个豪华的策略联盟：新加坡国际企业发展局、三星SDS、美兆体检、新加坡天鲜公司、万好国际集团、北京五洲医疗集团、北京博生医疗股份有限公司、上海怛奕医疗投资有限公司、新安国际医疗集团威信广厦模块建筑有限公司、万通控股、顶针投资；中建三局西北公司、北京韩建集团有限公司、上海誉德动力技术集团有限公司等。

此前，很多人都对冯仑立体城市中构想的“城市立体农业”产生怀疑，认为仅仅是个噱头。但是，现在，在西咸新区，立体城市将兑现。

天鲜公司正是一家专门从事垂直农场研发和制造的新加坡公司，该公司采用专利低碳液压驱动技术来推动耕种塔的旋转，置于户外，能让热带多叶蔬菜全年生长，产量是传统耕种方法的5-10倍，更能确保蔬菜的安全性、品质、新鲜度和美味。这次与立体城市的合作能真正实现在城市里发展生态农业，将“绿色、和谐、可持续、全能、科技”的观念融入其中，构成完善可持续的新陈代谢生态系统，创新城市与土地发展模式。

“立体城市壹号”通过内外双连通方式，将建筑群连同成一个无障碍的整体，而这些连廊被充分利用，成为“绿色、和谐、能源、全能、科技”的现代立体农业的载体，这样立体农业也体现在所有建筑的顶层，既是城市产业，也是城市景观。

立体城市从童话到现实，还有一段很长的路要走。中国建筑技术集团总规划师陈伟新教授认为，立体城市项目描绘的蓝图无疑值得期待和尝试，而实施项目的难度更值得各方面关注。一座新城或城镇的内容培育需要一个相对长时间的过程。城市管理模式的更新则需要更长时期，更需要政府职能部门和社会机构密切参与的配套管理系统同步发展，这是实施该项目计划面临的巨大挑战。

据了解，“立体城市壹号”有望于明年10月开始陆续落成。冯仑表示，“追求理想，顺便赚钱”，立体城市是他最大的理想，商业利益不是他的第一追求，“只要能够满足立体城市的商业发展，有一个最基本的回报就行”。

微城市，好生活

我自觉有一个使命，就是把公司的业务和城市化的发展紧密结合起来，去承担建设一种可持续宜居城市的责任

特约撰稿冯仑

我

在中国从事房地产20多年，深切感受到了中国城市化发展急速的脚步。在快速城市化的过程当中，创造了巨量的GDP，也使很多人住进了以前从来没有想象过的豪宅、大屋。城市化也通过交通，特别是轨道交通的联系，使空间变得非常紧凑，人口的流动也非常频繁。这当然是我们事先预见到和乐见其成的，但不必讳言，快速甚至鲁莽的城市化也给我们带来了很多困扰。立体城市正是基于以下五大问题的思考和回答。

笫一个问题，究竞城市是横向发展，还是集约地使用土地，让城市纵向发展更好？新加坡在国家层面设立了城市实验室，最终试验的是高密度、可持续宜居城市。这个密度有多高？借鉴日本东京、香港、纽约、新加坡等等这些地方的经验，最终立体城市选取了现在的密度，即把一平方公里的土地按照这样的规划，每天晚上居住的人是8万人，白天话动有15万人左右。再小的话，这个城市的运转就不经济了。

笫二个问题，在城市发展中，我们究竞是先去发展房地产，还是先去搞产业？过去，采取的是政府扩张，带来了土地，土地带来了地产商，地产商盖完房子，政府搬过来，后面的故事就停下来了，卖茶水的不挣钱，餐馆不挣钱，这些城市就被长期放在那里，被风吹被雨淋，然后就变成了旧城、鬼城。我们认为，要解决这个问题就要产业主导，产业主导带动了经济、就业，带动了居民收入提高，然后我们才能带来城市发展，这个是最重要的。

笫三个问题，我们要保证产业不被替代，这样，立体城市的产业将会持续地提供好的就业机会和持续增长的就业需求，以及满足更多的需求层面上的各种要求。此外，我们要推广绿色建筑和整体系统，所有基础设施的一体化规划，将节能环保的建筑和立体城市结合，把我们的立体城市变成一个低碳的城市。

笫四个问题，就是城市化中带来的人的幸福感问题。城市很大，很漂亮，但是人们的幸福感并不强。在立体城市的发展中，我们特别强调要以人的体验、人们对幸福生活的追求和美好生活的向往，现实收入的提高，以及社会管理之间的有序和谐，以这些作为立体城市未来的发展重点。

第五个问题，要回答城市的建设模式，在商业上、在政策上、在政府和企业的关系上，要寻求创新。我们希望在立体城市的发展过程中，政府提供很好的制度环境，有利于企业创新、发展和自主经营的环境，鼓励企业作为主导，在每个细节上的创新，得到政府制度方面更多的支持，比如说手续简化上的支持、舆论上的支持、包括人才上的支持、信息上的支持、公共服务方面的支持等等，我们希望这边有像硅谷那样创业的氛围，这是最重要的，是政府提供给我们的。

正是出于这样一种解决问题的冲动，我自觉有一个使命，就是把公司的业务和城市化的发展紧密结合起来，去承担建设一种可持续宜居城市的责任。立体城市倡导“微城市，好生活”的理念，市将是对解决现代大城市病、城市土地集约利用、生态持续发展、房产开发与产业结合等方面的一次全新探索。

垂直的证明 篇8

学习目标： 1学会运用所学知识解决垂直的证明问题；

2培养学生空间想象能力、逻辑推理能力；

3培养学生用向量的代数推理能力解决立几何中探索性问题的意

识。

重点： 能够运用所学知识证明垂直问题

难点： 垂直关系的相互转化

一、教学过程

探究1 请你总结证明线线垂直的方法？线面垂直的方法？面面垂直的方法？

探究2请你用表示线线垂直、线面垂直及面面垂直的关系

二、方法指导

例

1、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，M是CC1的中点，O是底面ABCD的中心，点P在A1B1上，设直线BM与OP所成的角大小为（1）若P是A1B1的中点，求

的大小（2）若P是A1B1上的任意点，求的大小

例

2、如图，在四棱锥

和CD侧棱底面，中，底面是是直角梯形，垂直于，.的中点，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在侧面内找一点，使平面；

练习：在正方体ABCDA1B1

C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，A1O平面MBD求证：

垂直的证明 篇9

1、点线面位置关系判定问题

解题方法与技巧：在判定点线面的位置关系时，通常有两个切入点（1）集合：点、线点、面的位置关系从集合的从属关系来判定；线、面都是点集，所以在考虑线面关系时从集合与集合的包含关系或者集合与集合的交、并、补关系来判定；（2）几何：把集合与几何关系结合来判定线线，线面，面面关系

例1、设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若，则；

②若l上两点到的距离相等，则；

③若

④若

其中正确的命题是

（）

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：

①由面面垂直关系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。错误；②由点到面距离易知直线还可能和平面相交；③因为所以在平面β内一定有一直线垂直α所以正确④根据平行关系易知正确

答案选D

练习1、设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

练习2、给定下列四个命题：

（）

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是

A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．②和④

练习3.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

练习4．顺次连接空间四边形各边中点所成的四边形必定是（）

A、平行四边形

B、菱形

C、正方形

D、梯形

练习题答案：练习1：B；练习2：

D；练习3：

C；练习4：

A；

2、空间中线面的平行垂直证明

例1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

解析：

证明PC平行于面EBD，只需在面EBD内找一条直线和已知直线平行即可

E为中点，首先考虑构造等腰三角形中位线，取AC中点O连接EO即可

证明：取AC的中点O,连接EO，例2：三棱柱—中，为的中点，为的中点，为的中点，证明：平面∥平面

解析：面面平行的证明定理，证明两平面内两组相交直线平行，即把面面

平行问题转化为线线平行问题，按解决线线平行的思路即可解决问题

证明：连接BC1,EF

分别为BC、B1C1、BB1、CC1的中点，例3：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，为的中点，⊥，证明：⊥

解析：线线垂直的证明分同平面直线垂直证明和异平面垂直证明，在处理异平面垂直证

明问题时，优先考虑证明一直线垂直于另一直线所在平面，转化为线面垂直证明问题

即证明PD垂直于面BEF即可

证明：点

例4：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，证明：平面⊥平面

练习1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

练习2：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习3：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习4：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习5：如图：三棱柱—中，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习6：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习7：如图：三棱柱—中，为的中点，为的中点，证明：∥平面

练习8：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是梯形，∥，，为的中点，证明：⊥

练习9：如图：直三棱柱—中，，、分别为、的中点，为的中点，证明：⊥

练习10：如图：四棱锥—中，⊥平面，⊥，，⊥，⊥，为的中点，证明：⊥

练习11：如图：四棱锥—中，底面是矩形，平面⊥平面，证明：平面⊥平面

练习12：如图：五面体中，是正方形，⊥平面，∥，证明：平面⊥平面

练习13：如图：四棱锥—中，⊥平面，是菱形，为的中点，证明：平面⊥平面

被忽视的垂直行业 篇10

北京银信网创科技有限公司(下称“银信网创”)是家知名度并不很高的创业公司，不过在它的土要市场湖北地区，它正不声不响地走入大批居民和企业的工作生活中。这家公司致力于“电话钱包”支付平台的开发，并通过平台实现电信运营商和银行系统的对接。人们只需要将银行卡开通电话钱包业务，就可以通过固定电话、小灵通、手机等通讯终端设备拨通号码，进行银行卡缴费、电话充值、订购机票等活动。而企业用户更是可以利用这项功能方便快捷地进行转账结算，蒙牛乳业在湖北的各大经销商就是“电话钱包”的忠实用户。现在，银信网创正在将这项业务向全国推广。

虽然商业模式并不花哨，但银信网创在金融领域的探索让我们看到，将通信技术应用到垂直行业的巨大潜力。事实上，2009年的移动通信市场风云迭起，3G吸引了人们绝大部分的目光.各大运营商明争暗战，手机用户持续增长，已接近7亿。

但与市场的高速增长形成对比的是，2009年移动通信行业并未出现大面积的创业高潮。英特尔投资中国区董事总经理许盛渊对此也并不乐观，他认为，移动通信市场相对较为封闭，在各个环节上都已经有了比较成熟的公司，3G虽然能拉动行业的整体发展，却绝非“普惠制”，只有在细分领域中找准定位的公司才具有发展空间和增长潜力。

银信网创正是这样一家公司。在其他垂直领域里，也有一些提供无线行业应用的创业企业在备受天注的医疗领域，阿德利亚(北京)有限责任公司就开发了一系列路由设备和管理系统，针对该行业的应用形成了完整的无线宽带覆盖解决方案、这其中包括划单、收费、库存、B超照片、X光片等纯文字和多媒体数据信息的快速传递，调度医护人力资源、急诊呼叫时的wi-Fl语音通讯，可随时获知患者资料的查房系统等。另。家创业企业北京世纪乐图数字技术有限公司，则提供针对120救护车接警后无线视频回传、存储、车辆卫星定位、交通诱导等一系列紧急情况下的无线医疗方案。

在通信领域深耕数十年的原诺基业西门子大中华区董事长何庆源认为：“中固有庞大的无线用户群，如果能找到垂直的、针对某类用户的市场，将其做好，就已经足够支撑一个创业企业。”而且，相对于门槛较低的个人市场，行业市场的潜力还远远没有被挖掘出来。 “没必要去做非常兼容的事情。”何庆源说。在他投资的移动通信公司中，无论是硬件、软件、应用，都有着针对性很强的用户群体。有一家公司专门提供公安行业的移动解决方案，“全国有200万公安干警，这其实是个很大的市场。”何庆源说。许盛渊则格外看好在教育领域通过移动应用优化教育方法，另外，手机电子商务、手机文化产业在内的一些领域都值得挖掘。