高中数学公式记忆方法

高中数学公式记忆方法（通用8篇）

高中数学公式记忆方法 篇1

数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法。

2三角函数

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;

中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;

3复数

虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

4基本公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)= sinα

cos(2kπ+α)= cosα

tan(2kπ+α)= tanα

cot(2kπ+α)= cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)= -sinα

cos(π+α)= -cosα

tan(π+α)= tanα

cot(π+α)= cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin(-α)= -sinα

cos(-α)= cosα

tan(-α)= -tanα

cot(-α)= -cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)= -cosα

tan(π-α)= -tanα

cot(π-α)= -cotα

5几何记忆

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。

高中数学公式记忆方法 篇2

1.公式法

若所求数列为等差或等比数列，则代入相应的通项公式即可。

2.分析、观察法

通过观察分析找出项序号与符号，项序号与项之间的关系。

3.拆项法

将数列中的每一项拆成与项序号n之间的关系易于表示的几部分之和、差等。

例1：求数列，…的通项公式。

解：整数部分：1、2、3、4…的通项为n;分数部分：…的通项为，∴数列的通项公式

4.利用an与Sn的关系法

通项an与前n项和Sn之间的关系为

例2：已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2-2n，求此数列的通项公式。

解：当n=1时，a1=S1=12-2×1=-1。

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n-[(n-1)2-2(n-1)]=2n-3。

∴当n=1时，a1=-1也满足an=2n-3。故通项公式an=2n-3。

5.利用递推公式求数列的通项公式

(1)累加法

当an-an-1=f(n)满足一定规律(f(n)能裂项)时，利用an=(anan-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1来求出an。

例3：已知数列{an}中，求数列{an}的通项公式。

解:

(2)累积法

当满足一定条件时，可用来求出an。

6.构造新数列法（配凑法）

对已知条件进行适当的变形，构造成新的等差或等比数列。

(1)对于an+1=p·an+q型(p,q为常数)，设an+1+x=p(an+x)，则即数列为首项，p为公比的等比数列。

(2)对于an+1-an=k·an+1an型(k为常数，a1≠0)，可变形为为首项，-k为公差的等差数列。

(3)取倒数及换元法，对于型(b≠0,c≠0)，两边取倒数后变形就与构造新数列法中的(2)类似。

以上所述方法，学生可以根据具体的问题而选用，其中以构造新数列法(配凑法)最具灵活性和创新性，既能锻炼和提高学生思维的灵活性、逻辑性，又能培养学生的创造性思维能力、逻辑推理能力、运算技能。

参考文献

[1]曹跃.求数列通项策略.

高中数学中导数公式的应用分析 篇3

关键词：高中数学；导数公式；应用

导数是一种比较特殊的函数，在它的应用中始终贯穿了函数的思想，利用导数研究函数是多种多样的，例如函数的连续性、单调性、函数的极值等。导数作为高等数学的基础，是一种强有力的工具，它在解决函数问题的过程中提供了新的思路和方法，可以使问题得到快速的解决.导数是微积分的最为基础概念，是微积分的核心概念之一。

导数作为一种重要而又有效的数学工具，在解决函数问题时非常方便。在具体的数学问题中有着广泛的应用。通过导数的解决函数问题的过程中，要重视对基础知识的理解，要努力熟练掌握导数的有关知识，进一步加深对大学数学知识的理解和认识。导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率。同时，高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想。在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极地指导作用。

参考文献

1 李小强.例谈导数在高中数学中的简单应用[J].读写算：教育教学研究，2011，（32）：128-128

高一物理公式记忆方法 篇4

高一物理公式记忆方法

1、时间：高中物理记忆的时间选择很重要，我建议用零散的时间来记忆，且要选择学习效率高的时间段。切忌在困的时候、学习疲劳的时候背公式，效果一定不好。

2、状态：背高中物理公式之前要给自己一些积极的心理暗示，如果不想背或有畏难情绪时，一定要调整好以后再背。很多同学忽视这点，把记忆公式当成一个任务，只追求做了，而不要求结果(能否记住、熟练掌握)，结果事半功倍。

3、动笔：记高中物理公式的时候一定要动笔，“好记性不如烂笔头”的道理大家都明白，而且动笔是“输出”的过程，只要“输出”就需动脑，所以即有助于记忆效果，还有助于注意力的集中。

4、思考：不要“死记硬背”，主动思考公式的内涵外延，对公式理解的越深越有助于记忆，还可以利用联想记忆、对比记忆等记忆技巧，加快记忆的速度和印象。

5、默写：当认为自己记住了以后需要进行默写，检查一下是否真的记下了。目的是对记下的公式起到了巩固的作用，没有记下的公式继续记忆(或作为以后再记忆时的重点)

6、应用：当高中物理公式记完以后，最好找一些相关的题应用一下，可以对公式加深印象，还有助于对公式更深入的理解。切记，背完不应用，很容易产生遗忘。

7、复习：有些高中物理公式背的快，遗忘的也很快。这种现象很正常(根据心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线)。所以我建议一定要及时复习，刚背完时复习的要勤一些，随后复习的间隔时间逐渐延长进而形成永久记忆。例如第一天背的公式，在第二天、第四天、第七天、第十五天、第三十天...进行复习。有助于公式的记忆。

8、习惯：养成一个好的习惯即遇到不会的或叫不准的公式(尤其是背过)一定要花时间去记忆。这样记公式针对性强，印象深。

物理学习方法技巧

课前预习帮助自己课上学习

高中物理课前预习能够很好的帮助同学们提高物理成绩，不要小看这个小技巧。会帮助你在上物理课的时候更快的进入状态。也会让你在新知识的接受程度上有一个很大的提升。因此小编建议那些想要学好物理的同学们，在下节物理课之前赶快预习一遍吧!

提高听课效率，帮助解决问题

这就是物理预习之后的另一个窍门，在预习过程中把自己不会的问题和自己解决不了的问题全都列出来，等待老师物理课上的讲解，如果这个问题没讲到，也不要紧，留待下课求助老师，这样也不会耽误上课的进度，更不会耽误自己的课余时间。在这样的过程中出现问题又及时解决问题，会大大提高物理学习质量和效率。物理提分也就指日可待了。

笔记要定期整理复习

笔记就是未来大家方便翻看，总结重点知识点的地方。因此物理学习也是一样的，这里的学习技巧就是把一类的东西记在一起，既方便查看也方便背诵。就像是物理公式各种现象的定义等等，虽说很多内容也很广泛，但只要同学们勤翻看笔记，多琢磨多思考，不懂的物理问题就问，及时解决的话，相信物理成绩会很快提升的。

作业及时做

作业时任何一科都不可缺少的部分。物理课上老师讲课的时间有限，留的作业也是为了考察学生课上的掌握情况，因此一定要做，这样才知道自己哪里掌握的不大好，才能及时去学习，补充这一方面缺少的知识内容，这才能不断的进步。

怎么学好高中物理的方法

怎么学好高中物理

要听好课，我们应善于抓课堂的要点，这主要是指重点和难点两个方面。心理学研究表明，我们听课注意力集中的时间一般在20分钟左右，(要想一节课几十分钟内都保持精力高度集中是不可能的)，所以我们应将这有限的集中注意时间用到“刀刃”上。

上课时，我们应有意识地去注意老师讲课的重点内容。有经验的老师，总是将主要精力放在突出重点上，进行到重要的地方，或放慢速度，重点强调;或板书纲目，理清头绪;或条分缕析，仔细讲解等，我们应培养自己善于去抓住这些。对于难点，则可能因人而异，这就需要我们在预习时做到心中有数，到时候注意专心专意，仔细听讲。总之，我们要做到“会听”，能“听出门道”。

高中物理怎么记笔记

上课以听讲为主，还要有一个笔记本，有些东西要记下来。知识结构、的解题方法、的例题、不太懂的地方等等都要记下来。课后还要整理笔记，一方面是为了“消化好”，另一方面还要对笔记作好补充。笔记本不只是记上课老师讲的，还要作一些读书摘记，自己在作业中发现的好题、好的解法也要记在笔记本上，就是同学们常说的“好题本”。辛辛苦苦建立起来的笔记本要进行编号，以后要经学看，要能做到爱不释手，终生保存。

高中物理学习资料要保存好

高中数学公式记忆方法 篇5

1.加法运算之有理数：异号相加“大”减“小”，同号相加一边倒；绝对值相等“零”正好；符号跟着大的跑。注意，这里的大减小针对的是绝对值相加减。

1.合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。2.去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。

3.一元一次方程：已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。

4.恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。（a-b）2n+1=-（b-a）2n+1（a-b）2n=（b-a）2n 5.平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

6.完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

7.因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。

8.“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小-中-大）

9.单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。

10.一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。

11.一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间，大小，小大无处找。

12.一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边，小(鱼)于(吃)取中间。

13.分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。14.分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。

15.最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指（数）根指（数）要互质，幂指比根指小一点。

16.特殊点坐标特征：坐标平面点(x，y)，横在前来纵在后；(+，+)，(-，+)，(-，-)和(+，-)，四个象限分前后；X轴上y为0，x为0在Y轴。

17.象限角的平分线：象限角的平分线，坐标特征有特点，一、三横纵都相等，二、四横纵确相反。

18.平行某轴的直线：平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X轴，纵坐标相等横不同；直线平行于Y轴，点的横坐标仍照旧。

19.对称点坐标：对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，X轴对称y相反，Y轴对称，x前面添负号；原点对称最好记，横纵坐标变符号。

20.自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。

21.函数图像的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记，上正下负错不了”。

22.一次函数图像与性质口诀：一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单，经过原点一直线；两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与Y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反；k的绝对值越大，线离横轴就越远。

23.二次函数图像与性质口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点，它们确定图象现；开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

24.反比例函数图像与性质口诀：反比例函数有特点，双曲线相背离的远；k为正，图在一、三(象)限，k为负，图在二、四(象)限；图在一、三函数减，两个分支分别减。图在二、四正相反，两个分支分别添；线越长越近轴，永远与轴不沾边。25.巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：正对鱼磷(余邻)直刀切。正：正弦或正切，对：对边即正是对；余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边。26.三角函数的增减性：正增余减 27.特殊三角函数值记忆：首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是

2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。28.平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，对角相等也有用，“两组对角”才能成。

29.梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

30.添加辅助线歌：辅助线，怎么添？找出规律是关键，题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线翻一番。

31.圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连；有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆；直角相对或共弦，试试加个辅助圆；若是证题打转转，四点共圆可解难；要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线；四边形有内切圆，对边和等是条件；如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

32.圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似；不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。33.正多边形诀窍歌：份相等分割圆，n值必须大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前．

34.经过分点做切线，切线相交n个点．n个交点做顶点，外切正n边形便出现．正n边形很美观，它有内接，外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，如果n值为偶数，中心对称很方便．正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单．

35.函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

初中数学知识口诀大全

用平方差公式因式分解

异号两个平方项，因式分解有办法。

两底和乘两底差，分解结果就是它。

用完全平方公式因式分解

两平方项在两端，底积2倍在中部。

同正两底和平方，全负和方相反数。

分成两底差平方，方正倍积要为负。

两边为负中间正，底差平方相反数。

一平方又一平方，底积2倍在中路。

三正两底和平方，全负和方相反数。

分成两底差平方，两端为正倍积负。

两边若负中间正，底差平方相反数。

用公式法解一元二次方程

要用公式解方程，首先化成一般式。

调整系数随其后，使其成为最简比。

确定参数ａｂｃ，计算方程判别式。

判别式值与零比，有无实根便得知。

有实根可套公式，没有实根要告之。

用常规配方法解一元二次方程

左未右已先分离，二系化“1”是其次。

一系折半再平方，两边同加没问题。

左边分解右合并，直接开方去解题。

该种解法叫配方，解方程时多练习。

用间接配方法解一元二次方程

已知未知先分离，因式分解是其次。

调整系数等互反，和差积套恒等式。

完全平方等常数，间接配方显优势。

【注】恒等式

解一元二次方程

方程没有一次项，直接开方最理想。

如果缺少常数项，因式分解没商量。

ｂ、ｃ相等都为零，等根是零不要忘。

ｂ、ｃ同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。

正比例函数的鉴别

判断正比例函数，检验当分两步走。

一量表示另一量，是与否。

若有还要看取值，全体实数都要有。

正比例函数是否，辨别需分两步走。

一量表示另一量，有没有。

若有再去看取值，全体实数都需要。

区分正比例函数，衡量可分两步走。

一量表示另一量，是与否。

若有还要看取值，全体实数都要有。

正比例函数的图象与性质

正比函数图直线，经过和原点。

K正一三负二四，变化趋势记心间。

K正左低右边高，同大同小向爬山。

K负左高右边低，一大另小下山峦。

一次函数

一次函数图直线，经过点。

K正左低右边高，越走越高向爬山。

K负左高右边低，越来越低很明显。

K称斜率b截距，截距为零变正函。

反比例函数

反比函数双曲线，经过点。

K正一三负二四，两轴是它渐近线。

K正左高右边低，一三象限滑下山。

K负左低右边高，二四象限如爬山。

二次函数

二次方程零换ｙ，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换ｙ，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。

【注】基础抛物线

直线、射线与线段

直线射线与线段，形状相似有关联。

直线长短不确定，可向两方无限延。

射线仅有一端点，反向延长成直线。

线段定长两端点，双向延伸变直线。

两点定线是共性，组成图形最常见。

角

一点出发两射线，组成图形叫做角。

共线反向是平角，平角之半叫直角。

平角两倍成周角，小于直角叫锐角。

直平之间是钝角，平周之间叫优角。

互余两角和直角，和是平角互补角。

一点出发两射线，组成图形叫做角。

平角反向且共线，平角之半叫直角。

平角两倍成周角，小于直角叫锐角。

钝角界于直平间，平周之间叫优角。

和为直角叫互余，互为补角和平角。

证等积或比例线段

等积或比例线段，多种途径可以证。

证等积要改等比，对照图形看特征。

共点共线线相交，平行截比把题证。

三点定型十分像，想法来把相似证。

图形明显不相似，等线段比替换证。

换后结论能成立，原来命题即得证。

实在不行用面积，射影角分线也成。

只要学习肯登攀，手脑并用无不胜。

解无理方程

一无一有各一边，两无也要放两边。

乘方根号无踪迹，方程可解无负担。

两无一有相对难，两次乘方也好办。

特殊情况去换元，得解验根是必然。

解分式方程

先约后乘公分母，整式方程转化出。

特殊情况可换元，去掉分母是出路。

求得解后要验根，原留增舍别含糊。

列方程解应用题

列方程解应用题，审设列解双检答。

审题弄清已未知，设元直间两办法。

列表画图造方程，解方程时守章法。

检验准且合题意，问求同一才作答。

添加辅助线

学习几何体会深，成败也许一线牵。

分散条件要集中，常要添加辅助线。

畏惧心理不要有，其次要把观念变。

熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。

图中已知有中线，倍长中线把线连。

旋转构造全等形，等线段角可代换。

多条中线连中点，便可得到中位线。

倘若知角平分线，既可两边作垂线。

也可沿线去翻折，全等图形立呈现。

角分线若加垂线，等腰三角形可见。

角分线加平行线，等线段角位置变。

已知线段中垂线，连接两端等线段。

辅助线必画虚线，便与原图联系看。

两点间距离公式

同轴两点求距离，大减小数就为之。

与轴等距两个点，间距求法亦如此。

平面任意两个点，横纵标差先求值。

差方相加开平方，距离公式要牢记。

矩形的判定

任意一个四边形，三个直角成矩形；

对角线等互平分，四边形它是矩形。

已知平行四边形，一个直角叫矩形；

两对角线若相等，理所当然为矩形。

菱形的判定

任意一个四边形，四边相等成菱形；

四边形的对角线，垂直互分是菱形。

已知平行四边形，邻边相等叫菱形；

高中数学-公式-直线 篇6

1、沙尔公式：ABxBxA2、数轴上两点间距离公式：ABxBxA3、直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2

4、若点P分有向线段P1P2成定比λ，则λ=(x1x2)2(y1y2)2P1P PP2

xx1yy1=； x2xy2y5、若点P1P2成定比λ，则：λ=1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，点P分有向线段P

x=x1x2yy2y=111

x1x2x3y1y2y3。33若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是

6、求直线斜率的定义式为k=tg，两点式为k=

7、直线方程的几种形式：

点斜式：yy0k(xx0)，斜截式：ykxb y2y1。x2x1

yy1xx1，y2y1x2x1

xy截距式：1 ab

一般式：AxByC0

经过两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

kk18、直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则从直线l1到直线l2的角θ满足：tg2 1k1k2两点式：

直线l1与l2的夹角θ满足：tgk2k1 1k1k2

直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则从直线l1到直线l2的角θ满足：tgABA2B1A1B2A2B1；直线l1与l2的夹角θ满足：tg12 A1A2B1B2A1A2B1B2

Ax0By0C

AB229、点P(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离：d

10、两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20距离是dC1C2

高中数学公式记忆方法 篇7

在科技高速发展的现代,许多科技文献中包含大量的公式,它们有的和文档中的文字混杂在一起(内嵌),有的独占一行。由于目前的OCR(Optical Character Recognition,光学字符识别)系统不能正确识别文献中的数学公式,这些公式都是以图像的形式存在的。当人们对科技文献进行数字化时,其中的公式只能按照图像格式进行保存,而不能加以识别分析,这样就不能依据公式对文章进行检索,而有的文章的核心内容就是这些公式,失去了公式的文章可能毫无意义。当读者想验证或重用这些数学公式时,只能使用专门的数学计算软件或数学排版软件按照其语法规则重新输入,其输入要比普通文本的输入困难,因为数学表达式除了英文字符和阿拉伯数字之外还包括许多特殊的符号和希腊字母,使其输入过程复杂繁琐,速度慢,且存在一定的错误率。

近年来,随着互联网用户的迅速发展,通过互联网信息的传播和交换有了增长的趋势,数字图书馆和远程教育逐渐成为热门领域,特别是技术资源的共享日趋频繁,科技文献的电子化就显得尤其重要,而这些科技文献不仅包含普通文字、图像和图形,还包含大量的数学公式。目前主流的OCR系统能够高效、准确地识别文档中的文字,但一般不具备数学公式的识别与重构功能,仍需要按照图片来处理公式,存储数据量大且无法编辑、修改;因此,研究数学公式识别、分析和重构,对于拓宽OCR系统的应用领域具有重要意义。

本文对当前的数学公式识别的研究现状和数学公式识别过程中的成熟算法进行了综述。

1 国内外研究现状

数学公式的识别包括符号识别和结构分析两个阶段。符号识别,文字识别是符号识别的一个最重要的分支,它作为一个热门的研究领域已经具有三十多年的历史了,这为数学表达式中的特殊符号的识别奠定了坚实的基础;结构分析,数学表达式的结构比较复杂,按照一定规则分布在二维的结构中,而不是像简单文本那样的线性结构,不过人们对二维模式结构分析的研究也有一定的历史了。但是,正如上文中所提到的一样,还很少有人针对数学表达式识别这一课题进行过专门的研究,即把符号识别和结构分析两者结合起来解决问题。直到近年才有越来越多的人开始把注意力投向这一领域,因此现有的研究数学表达式的文章比较少。

1968年Anderson[1]在其博士论文中首次提出了公式识别问题,他提出的用于数学符号识别的方法给出了一个非常好的个案研究。而随后的几十年里,数学公式识别技术却发展缓慢,直到80年代末90年代初,这个领域的研究热度逐渐增加。

Berkely大学的Fateman从1995开始研究自动数学公式处理问题。Blostein和Grbavec[2]则首次定义了数学表达式的识别问题,将数学表达式的识别分为两个阶段:符号识别和结构分析,每个阶段又包括三个步骤,它们分别是符号识别中的预处理、分割和符号识别三个步骤以及结构分析中的符号间的空间关系确定、逻辑关系确定和意义构造,并根据该问题的主要子部分给出了现存工作的一个调查。

近年来,随着越来越多的人进入到这一领域,数学表达式识别的研究取得了很大的进展。为了用更简练的方式分析表达式,Belaid和Haton[3]使用了两个句法分析,也就是从上到下与从下至上法。用结构分析法识别出符号后,先用从上至下法将表达式分解成子表达式,再用从下至上法将子结构联合为更大的结构。然而,它们的试验仅仅限于一些简单的数学表达式(算术和一些三角函数方程)。

Chan和Yeun设计了运用结构和句法方法的联机数学表达式识别系统。Okamoto和Miac强调大多数的数学表达式的识别可以不通过实际分割它们的符号而完成结构排列。H.J.Lee和M.C.Lee提出了一个识别印刷体数学表达式的系统。Fatema[4]设计了一个典型的系统,该系统能成功地将排版好的数学表达式转换成Lisp表达式。对符号识别部分而言,运用了不同的方法,如计算用的Hausdorff距离和符号灰度值的计算。

Inoue和Suzuk[5]提出的系统是专门用来处理日文文档的。这个系统是在原有的OCR系统上发展起来的。系统把公式行从文本行中提取出来后,将这些行分为两部分,日文字符区和数学字符区。日文字符区只包括日文字符,剩下的属于数学字符区。在这个系统中,分割和识别是由自适应的OCR识别器同时进行的。其基本思想很简单,OCR识别器能识别的是日文字符,不能识别的是数学公式。

以上是对国外学者所做工作的简要介绍,国内的学者涉足于公式识别领域研究的很少,江红英,勒简明,王庆人[6]在他们的文章中给出了基于统计特征的印刷体数学公式上下标关系的判别方法,文章仅仅局限于数学公式上下标的关系的判定,对数学公式识别的其它方面没有涉及。一些综述文章介绍了目前国外数学公式识别的研究现状,数学表达式识别过程和已提出的符号识别方法与结构分析方法。总的来说,国内对于数学公式识别的研究基本上还是一片空白。

2 印刷体文档的数学公式识别方法

一般的印刷体文档中的数学公式识别包含以下几个处理步骤:预处理,数学公式抽取,数学字符识别和数学结构分析。

2.1 预处理

预处理包括二值化、图像矫正、去噪等步骤,与特征提取紧密相连。其中二值化和图像矫正一直使用以前的字符识别的算法,去噪是预处理中极重要的环节,系统面对的是从实际环境中切分出的字符图像,可能有粘连边框、随机墨点,还可能有断线等使背景增加的噪声。目前适应各种环境的通用去噪算法还不成熟。图像矫正为后期结构分析做准备,通过对倾斜文本的矫正,使数学符号的重心在同一水平线上,然后才能分析各个符号的位置关系。另外,由于纸质文档的印刷质量、纸张的光洁程度、扫描仪的分辨率、二值化等因素的影响,扫描得到的图像中的字符可能是粘连的。因此,粘连字符的分割是预处理过程中重要的一步。这里介绍几种经典的粘连字符的分割方法。

2.1.1 基于结构特征的算法

利用字符结构上的特征点来进行切分的一类算法被称为基于结构特征的算法。所谓特征点是指字符轮廓上斜率变化剧烈的点和局部极值点。

在文献[7]中,特征点被具体化为重要轮廓点,包含拐角点、局部极小点、局部极大点和延伸凹角处的直笔画得到的潜在路径退出点算法,从这些特征点中选择一对作为切分路径的进入点和退出点,选择时考虑的因素有:局部极小一极大点对优先;拐角点优先;点间的距离;轮廓变化的剧烈程度;极小极大点对间的水平距离;一个极值点到另一个极值点的距离和离图像左边远的距离。

文献[8]中使用的Min-Max算法则主要考虑极小极大点对。该算法将粘连字符分为上下轮廓,再找出上轮廓的极小点和下轮廓的极大点,最后选择其中一对用直线连接作为切分路径。选择时主要考虑的因素有两点间的距离、到图像中心的距离以及沿切分路径颜色变化的次数。

2.1.2 基于细化的算法

文献[9]使用了一种基于背景细化的切分算法。作者观察到细化后的背景能够提供构造切分路径的有用信息,即背景上的特征点往往指向粘连位置或是可以成为切分路径的起始点。该算法分为几个步骤:细化背景;在细化后的背景上提取特征点,包括叉点、端点和角点;构造候选切分路径,即通过搜索来连接背景上的一些特征点,从而构成从图像的顶部延伸到底部的所有路径;对候选路径进行评价,选择最佳切分路径。

2.1.3 储水区算法

文献[10]使用储水区的概念来切分粘连字符。储水区被定义为从粘连字符上方和下方倒入水而形成的储水区域,并根据其位置分为:上储水区、中储水区和底储水区。储水区算法可以根据储水区域的大小和位置确定字符的粘连位置,并通过分析储水区的边界、粘连位置和粘连字符的形态特征来确定最佳切分点,结合结构形态特征构造出切分路径。

2.2 数学公式抽取

在印刷体文档中的数学公式一般以两种情况存在:内嵌公式行和孤立公式行。数学公式的抽取一般分两个步骤:行抽取和合并公式行。

2.2.1 行抽取

在数学公式抽取中的行抽取普遍采取的是基于连通域搜索的算法,其算法的核心思想是:在内存中开辟一块能够存储一行图像数据的单元,称为“中介缓冲区”。该缓冲区用来记忆当前扫描行以前各行的行程邻近情况。在扫描开始之前,将“中介缓冲区”清0。在每一次扫描当前行之前,将“中介缓冲区”中不为0的点置1,将当前行不为0的点置为2。这样,在将当前行与“中介缓冲区”进行“或”运算后,“中介缓冲区”各点的值就反映出了当前行及其以前行之间的行程邻近情况,进而就可以判断出连通区域的开始与结束,并记录连通区域的位置坐标。

经连通区搜索算法可以得到文档中一系列的连通区矩形框和对应的坐标标识Box(L(Box),R(Box))。本文中将连通区矩形框中的字符定义为连通部件Ci(i=1,2,3,…)。可知,Ci∪Cj=Ψ(Ψ表示全集)。通过连通部件Ci的矩形框坐标标识Box(L(Box),R(Box))合并水平方向上相邻关系或包含关系的连通部件,最终完成一个行的字符合并,同时可得到该行的坐标标识L(Line)和R(Line):

2.2.2 合并公式行

数学公式的二维性决定了一些数学符号将会与其他符号组合使用来表达特定含义,但在行抽取中可能把一个2维的公式抽取成几个1维的公式,所以需要对公式进行合并。公式合并的核心问题是确定合适的阈值δ,阈值δ的获得要通过大量的样本实验得到,当两行的间距dn与正常的文本行的间距比d<δ时,则将两行合并。

合并后,由上部坐标标识Box(L1(Box),R1(Box))和下部坐标标识Box(L2(Box),R2(Box))确定新生成的矩形框的坐标标识:LBox=Min(L1(Box),L2(Box))和RBox=Max(R1(Box),R2(Box))。最后得到更新后表达式所属行的坐标标识L(Line)和R(Line)。

2.3 公式字符识别

公式中的单个字符可采用常用的字符识别方法进行处理,这里介绍几种字符识别中常见的一些算法。统计特征字符识别技术、结构字符识别技术和神经网络等新兴的识别技术。

2.3.1 统计特征字符识别技术

这种识别方法一般选取同一类字符中共有的、相对稳定的并且分类性能好的统计特征作为特征向量。常有的统计特征有字符二维平面的位置特征、字符在水平或者垂直方向投影的直方图特征、距特征和字符经过频域变换或其他形式变换后的特征等。常见的统计模式识别方法是模板匹配。模板匹配[3,4]不需要特征提取过程。字符的图像直接作为特征,与字典中的模板相比,相似度最高的模板类即为识别结果。这种方法简单易行,可以并行处理,但适应能力比较差。

2.3.2 结构特征字符识别技术

结构特征字符识别技术[11]的识别过程是在提取基元的基础上,利用形式语言和自动机理论,采取词法分析、树匹配、图匹配和知识推理的方法分析字符结构的过程。常用的结构特征有:笔画的走向、孤立的点以及是否含有闭合笔画等。由于汉字自身具有很强的结构性,结构特征字符识别技术在汉字识别上有较多应用。

与统计识别方法相比,字符的结构识别技术更加便于区分字型变化大的字符和字型相近的字符。但是由于对结构特征的描述和比较要占用大量的存储和计算资源,因此算法在实现上相对复杂、识别速度慢。

2.4 结构分析

表达式结构分析自动化是公式识别的重点与难点,结构分析的任务是利用从数学表达式中分离出来的数学符号来确定表达式的语法结构,以及构造出表示该结构的字符串或语法树。

国外有学者就专门对数学公式的二维模式进行了结构分析。Anderson[1]采用自顶向下的分析方法,以句法为标准分割识别。Chang提出了利用结构说明方案来分析公式结构的方法。Lacvrotte和Pottier采用上下文相关文法分析关键字,以改善分析结果。Grbavec和Blostei利用图来表达公式结构分析的结果,并利用了符号使用的知识。下面简要介绍国外学者的方法。

国外有学者直接利用相邻字符的最小外接矩形[12]来对字符间的位置关系进行分析,利用最小外接矩形的坐标值来计算出所需特征。大致算法如下:

两个待判别符号的最小外接矩形分别用(x11,y11,x12,y12)和(x21,y21,x22,y22)表示,其中(x11,y11)和(x21,y21)是相应外接矩形左上角坐标,(x12,y12)和(x22,y22)是相应外接矩形右下角坐标。另外h1和h2分别表示两个符号最小外接矩形的高;c1和c2分别表示两个符号最小外接矩形的中心在垂直方向上的坐标值;r是右边矩形框顶部与左边矩形框底部的间距(即r=y1-y2);d是右边矩形框底部与左边矩形框底部往上30%处的间距(即);d是右边矩形框与左边矩形框在水平方向上的间距(即d=x21-x12)。

其使用特征:

来判断两符号间的位置关系,但这种做法容易出现误判。

3 目前数学公式识别的难点和有待于进一步研究的问题

印刷体文档的数学公式识别发展到今天,经过国内外学者的努力,已经取得了很大的进展,但随着研究的深入,数学公式识别的难点进一步暴露出来,需要做深入的研究。

(1)期预处理的字符粘连问题。由于原始材料的清晰度和打印机的判别率问题,字符粘连一直是困扰数学公式识别的准确率的难题,现有的算法不是分割准确度不高就是算法的效率低,对各种算法的改进还需要进一步研究。

(2)现有的数学公式提取算法都是基于特征值的算法,而特征值的选取由于纸张和印刷造成的模糊问题总是有较大的偏差,导致最后没有得到合适的特征值数据,造成数学公式提取有时把孤立公式行直接当成了文本行。现在很多学者开始利用模糊识别和神经网络方面的知识来解决这个问题,但研究还是处于初期。

(3)现有的印刷体文档的数学公式识别系统的可移植性差。数学公式是由非常多的一组字母和符号组成的,并且不同学科的表达式的符号有很强的专业的语言特性,这使现有的识别系统不得不利用一些符号组和语法限制条件,当一个识别系统被应用到其他领域时,往往需要对语法限制条件进行修改,有时甚至需要重新设计系统。因此,设计一个通用性比较好的数学公式识别系统也是现在这个方面要解决的问题之一。

4 结束语

本文主要就印刷体文档中的数学公式识别的现有研究情况做一些概述,将数学公式识别中的主要算法做一些总结。在数学公式识别的软件实现方面,尽管提出了一些识别算法,但还是有很多问题急需解决。相信随着办公自动化的普及和信息的复杂化,印刷体的数学公式识别会有很大的实际应用。在不久的将来,一定会产生有实用价值的印刷体数学公式识别系统。

摘要：数学公式识别是将中文电子文档中包含的数学公式识别出来的方法。印刷体文档中的数学公式识别是由预处理,数学公式的抽取分割定位和结构分析识别3部分组成。主要介绍了目前数学公式识别的研究现状,并对已提出的各种成熟识别方法进行总结。

关键词：数学公式识别,公式提取,结构分析

参考文献

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[11]郑军,诸静.基于自适应遗传算法的图像匹配[J].浙江大学学报:工学版,2003,27(6):689-692.

高中数学公式记忆方法 篇8

题一 4名同学各写了一张卡片，先收集在一起，然后从中每人拿一张别人写的卡片，则四张卡片的不同分发方式共有多少种。

题二 将编号为a，b，c，d的四个小球分别放入编号为a，b，c，d的四个袋子中，要求每个袋子放一个小球，且小球的编号与袋子的编号不能相同，则共有多少种不同的放法。

以上问题都是元素都不在自己相同编号的位置上的排列问题，我们把带有这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。

题三 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有_____种。

题三可以分情况解决：

第一种情况，所有同学都不坐自己原来的位置；

第二种情况，恰有一位同学坐自己原来的位置；

第三种情况，恰有两位同学坐自己原来的位置。

对于第一种情况，就是以上提到的全错位排列问题；对于第二、第三种情况有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们把这种排列问题为部分错位排列问题。

设n个元素全错位排列的排列数为Tn，则对于题三，第一种情况排列数为T5，第二种情况先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二种情况的排列数为5T4，第三种情况先确定两个排原位的同学，有=10种，所以第三种情况的排列数为10T3，因此题三的答案为：T5+5T4+10T3。

由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索研究一下全错位排列问题的解决方法。

二、全错位排列数的一个递推关系式

（1）一般地，若有n个编号为1、2、3、… 、i、…、j、…、n的不同元素a1、a2、a3、…、ai、…、aj、…、an，排列在一排，而且每个元素都不排在与它编号相同的位置，这样的全错位排列数为Tn ，则 T2=1，T3=2，Tn= (n-1) ( Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）。

(2)确立。递推关系

对于n=1，2时显然有T1=0，T2=1。

当n≥3时，在n个不同元素中任取一个元素ai不排在与它编号相对应的第i 位，必排在剩下n-1 个位置中的一个上面，所以ai有n-1 种排列方法。

对ai每一种排列方法，如ai排在 j位，对应j位的元素aj的排列位置总有两种情况：

与此同时，ai仍排在j位，aj不排在i位，则aj有n-1个位置可排，除ai外，还有n-1个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为n-1个元素全错位排列，排列数为Tn-1，由乘法原理和加法原理可以得出：Tn=(n-1)(Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）。

根据上面递推关系可以分别算出T4=9，T5=44，所以题三的答案应该为44+5×9+10×2=109。

三、全错位排列数的一个通项公式

(1)探索与发现

（2）猜想与归纳

根据上面的探索，我们可以猜想n个元素全错位排列的排列数为

（3）。证明（数学归纳法）

n=2，3时（*）式显然成立；

假设n=k，k-1时（*）式成立，则当n=k+1时，有前面的递推关系式可得：

Tk+1= k(Tk+Tk-1)

∴n=k+1时（*）式仍然成立。

从上面过程可知n个元素全错位排列的排列数为：

四、全错位排列数的另一个递推关系式

由T2=1，T3=2，T4=9，T5=44，T6=265可以得出：

T3=3T2－1；

T4=4T3+1；

T5=5T4－1；

T6=6T5+1

于是猜想得Tn=nTn-1+ 。

证明：由上面已经证明的全错位排列数公式可以知道

所以有Tn=nTn-1+（-1）n 。

五、综上所述