中学数学建模教学的实践与认识

2024-07-13

中学数学建模教学的实践与认识（精选8篇）

中学数学建模教学的实践与认识篇1

张思明

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一、“问题解决”与数学建模

当今的中学数学教育中，问题解决(Problem Solving)正成为一个热点。在国际中，日本已把问题解决纳入教学大纲(学习指导要领)，在美国的中学课程标准中，问题解决已作为“一切数学活动的组成部分，应当成为数学课程的核心”；美国也已把问题解决当做一种教学模式和教学的指导思想。在我国，国家教委基础教育课程教材研究中心在1993年组织过专题讲习班，并出版了用于问题解决的“问题集”。反映问题解决教与学过程的文章也多次出现在专业期刊上。

这一切来源于数学教育工作者们对基础数学教育在走向21世纪时的发展、变化的如下认识和展望：

(1)数学文化素养越来越成为每一个公民，以至于整个民族文化素养的重要内容和标志。因此数学教育要面向大众，面向每一个学生。

(2)数学教学将从传统的“传授知识”的模式更多地转变到“以激励学习为特征的，以学生为中心”的实践模式。

(3)数学教学将更着重于培养、发展学生的广泛的数学能力。它不仅包括理解运用数学概念和方法、组织正确的逻辑推理，进行准确有效的计算和估算；还应包括会检索阅读相应的数学书刊文献，会利用表、图、计算机去组织、解释、选择、分析处理信息，能从模糊的实际课题中形成相应的数学问题，会选择有效的解决问题的方法、工具和策略。

问题解决作为一个学数学、用数学的过程，恰好是实现上述目标的有效途径之一。

作为问题解决的核心——问题，有着各种各样的分类方法，但大体上可以分成两类：

(1)为了学习、探索数学知识，复习巩固所学内容而主要由教师构作的数学问题，如教科书、复习参考书中的练习题和复习题等。

(2)出现于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、经济、理、化、生、医等学科中的应用数学问题。

(1)类中的问题，往往是已完成数学抽象和加工的“成品”问题。

(2)类中的问题，往往还是“原坯”形的问题，怎样将它抽象、转化成一个相应数学问题，这本身还是一个问题。当然两类问题是可能有“交集”的，它们彼此的边界也是模糊的，如可列方程(组)求解的文字应用题的一部分就在这个“交集”中。

数学建模可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于(2)类中问题。作为问题解决的一种模式，它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法和模型的选择、分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系。它给学生再现了一种“微型的科研过程”，这对学生今后的学习和工作无疑会有着很好的影响，也对学生的能力提出了更高层次的要求。

对于(1)类问题怎样进行问题解决的教与学已有很多成果，如G.Plya的关于解题的几本名著。数学建模也已成为工科院校的数学主干课程之一。但在中学里进行数学建模的教与学还刚刚起步，有许多问题正有待探讨，还有一些认识问题和技术上的困难，如：

·搞数学建模和当年联系实际，搞“三机一泵”，开门办学是如出一辙，有走回头路之嫌。

·高中数学课程内容多，学时少，完成教学计划尚不十分从容，还要应付会考、高考，没有时间搞数学建模。

·能适合中学生水平且能结合课本教学内容的建模问题不多，开发这样的问题也不十分容易，这让有心尝试者有巧妇难为无米之炊的感觉。

·在教学第一线的教师常常有较重教学任务负担。对他们来说，对正常教学内容比较熟悉，课外内容相对生疏；对正常的、一般的数学竞赛的内容比较熟悉，对数学建模的内容和过程相对生疏。而数学建模的问题常常是未经数学抽象和转化的“原坯”问题，在建模步骤中不仅要求有相应的数学知识，还要涉及非数学领域的知识；在求解步骤中除了数学方法外，还常常用到计算机(在计算机上进行模拟、试算、检验等)和物理方法。这不仅对学生，而且对教师都会遇到知识或方法上的困难和障碍。

下面部分实例和讨论，也许可以看成我们对上述问题的一种思考和回答。

二、“磁带问题”教与学的实录与评析

磁带是日常生活中常见的物品，但它却联系着许多有趣的数学应用问题，抓住这些问题让学生去动手、动脑，不仅能培养学生学习数学的乐趣，还能培养学生学数学、用数学，生活中的问题用数学化的方法加以思考、分析、求解的能力。磁带问题所涉及的相关知识不多，易被学生观察、了解，是中学数学建模的一个容易下手的问题。下面我们给出对同一课题在初

二、高三这两个年级进行数学建模活动的主要线索。

(一)初二年级(1)班，1993年10月26日

1由教师先提出问题

(1)一盘60分钟的普通磁带有多长?

(2)一盘60分钟的普通磁带的单层厚度是多少?

请同学们观察从家中带来的磁带样品，寻找解决问题的模型与方案。

2组织课堂讨论

几分钟，全班分成了四派：

(1)设法直接测量带长l与单层带厚d(2)设法直接计算l与d；

(3)设法测量l，而去计算d；

(4)设法测量d，而去计算l；

教师进一步要求，提“算”的同学给出算法，提“测”的同学给出实际可行的测量方案。

在教师的启发下，“算”派的学生代表上黑板给出了如下的算法模型：

先将磁带全绕在一边(如左侧)，测出图1中的R与r(实测为R=224mm,r=10.5mm)把磁带所在的左盘的俯视图看成是一个圆环，把它想像成是由一条长为l(磁带长)、宽为d(磁带的单层厚)的‘细长矩形’环绕填充而成，因此，有：

（１）

教师：这个模型建立的非常好，但一个方程怎么解两个未知数l与d?

学生：可用以公式(1)测一个量，算一个量，很好!那么测哪一个?算哪一个?

学生甲：测量d，算出l。

学生乙：测量l，算出d。

学生丙：两个都测量更简单。

教师：谁来谈谈测量l的方法?

学生乙(举手发言)：将磁带从带头开始，放入录音机走带1分钟，取出磁带做上记号，测量出1分钟走过的带长，再乘60就是总的磁带长l。

学生丁：不对，应将1分钟走过的带长乘以30才是总的带长。

教师：乙谈得不错，丁补充得也很好。60分钟的磁带的单面放音时间约为30分钟，所以应将1分钟的带长乘以30而不是60。另外，一次测量常常由于操作和测量工具的原因造成测量的误差，最好多测几次，取平均值作为测量的最终结果，这也是测量中减少误差的常用手段之一。谁再来谈谈怎么测量d?

(静场约1分钟)

学生甲(举手发言)：磁带太薄，普通尺子的刻度太大不好测量，可以多叠几层再测量。

学生丙：可以把磁带绕在笔帽上，绕上30圈，再量内、外径就可以算出单层厚度。

教师：大家的想法都很好，试着做一下就会感到测d不太容易，比如绕在笔帽上绕齐30圈就不容易，再用普通尺子量准内、外径也不太容易。我给同学们提一个建议，到物理实验室向那里的教师学习一下千分尺或游标卡尺的使用方法，相信你们会找到并学会测量很薄物体厚度的方法。今天的一个课外作业就是请同学们实际测算出一盘60分钟的普通磁带的长度和单层厚度，请大家把测算方案和结果写出来，下次课我们一起来交流。

〔评注〕像这样的问题并不需要专门的整段时间去进行教学活动，而可以安排在正课的头或尾的15分钟内进行。教师的指导重点放在设计问题，引导学生建立相应的求解模型上，而把实际的求解过程放在课下让学生独立完成或分小组讨论完成。对具体的求解过程教师不必给出详解，而只要给出一个让学生进行思考或操作的可以入手的方向就行了。这样不会太干扰正常的教学进度，却给学生留下了学、用数学的生动场景。

3完成作业后的讲评

教师：大家的作业写得不错，大致上磁带的厚度在0.0165到0.0167(mm)之间。磁带的长约为90米，由于磁带的牌号不同，测算的过程和方法不同，答案略有差异也是正常的。其中王颖同学的讨论写得不错，他先测d，再算l得88.7米，再用上次课提到的测l的方法用录音机测出一分钟走带2.9米，乘30得87米，比前面的结果短了一些。小王分析了误差产生的一个原因是60分钟的录音带单面放音机时间都略长于30分钟(实测在30′30″—32″之间)故磁带的实际长度应比87米长。这个讨论是切合实际的。求解应用问题时，往往不是一次就能得到最合乎实际的结果，对得到的结果进行分析、讨论、修正、验算，常常是求解过程的必要内容，应当在今后的学习中引起大家的充分注意。

现在我们把“磁带求长”的问题一般化，解决怎样求“成卷材料的长度”。这个问题里，待求长的对象可以是纸卷、布卷、油毡卷、成卷的金属材料等，请大家先讨论一下求解的方案。

经过讨论，学生们提出的方案有：

①先测材料的单层厚度d，然后用

(2)

来求其长。

教师随后引导讨论使用这种求长模型要注意的条件：材料应缠绕的均匀、密实，且d＜l。

②物理模型，先称出单位长度的待测长材料的重量W0，再称出待测长材料的总重量(扣除卷芯的重量)，于是

(长度单位)

教师可引导学生，讨论使用这个求解模型的利弊——它不要求卷材卷绕得是否密实，对d的大小及截面的形状也没有限制，但它要求材料质量分布应是均匀的。

〔评注〕讲评也可以采取学生报告结果的方式，教师应注意帮助学生将结果一般化，并注意求解模型的适用条件，引导学生注意发现，体会别人的有创见之处，找出问题，提出有待探索的新课题。

4应用已有的求解模型的训练——大家一起提问题，解问题。

教师：我请同学们编几个练习题，来用一用刚才提到的卷材求长的方法。请每一个同学编一个实际问题，再附上解，我们下次课再交流。

学生们提出的问题主要有：

①求45分钟、90分钟、120分钟磁带的长。

②求120分钟录像带的长。

③求一个纸卷(r=2cm,R=20cm)的纸长。

④求磁带全绕于左侧时的匝数。

⑤求磁带在放音时通过磁头的线速度。

⑥求一轴线的线长。

〔评注〕让学生自己通过观察思索去提问题，解问题，是数学建模教与学的重要环节。这里面有不同层次的能力体现，如①、②、③就是“模仿”层次的(对初中生的大多数来说是这个层次的)；④、⑤、⑥就是“发散”层次的，它需要将已知求解模型或改造，或逆用，或推广„„。虽然仅有较少同学能提出这类问题，但教师应着力引导，鼓励学生努力这样去思考，为他们创造展现才能的机会，而不仅是 “Follow Me”式的学习。这样坚持下去，就会使学生们有更多的题外收获，它不仅使学生能更好地体会到数学模型的意义和作用，而且能培养锻炼学生在问题解决中观察、发现、控制、调整从而走向更高层次的问题与求解过程的能力。学生提出的问题，可以成为下一阶段的课题，也可引导学生在假期中，独立钻研写出相应的小论文。

(二)高三年级(3)班，1994年2月

1(在代数复习课的结尾留作业时)布置问题

(1)同(一)之1中(1)；

(2)同(一)之1中(2)；

(3)取一盘磁带，观察当磁带全绕在一边(如左轮)时，磁带的边缘与另一轮边缘之间的最短距离是多少毫米?在放音过程中，这个距离会变化吗?若变化，是变大还是变小?(请试验观察之)，要使得在放音的任何时刻两轮磁带的外缘互不接触，两轮轴间的最小距离最小应为多少毫米?

(4)以自己家里的录音机为观察对象，观察录音机的计数器中的数字k与放音时间之间的关系，t是k的正比例(或线性)函数吗?你能根据你的观测数据求出一个t=f(k)型的近似公式吗?磁带A上有一首长为7′30″的歌曲，要将它转录在另一盘磁带B上。起始位置的计数显示是k=120，问转录歌曲结束时，应在k=?时停机?

完成这一专题作业的时间是一周，可以互相讨论，也可以使用必要的测量、计算工具。

2一周后的交流、讲评

对问题(1)，(2)，高中学生除了提出(一)中求解的模型外，还提到了“等差数列求和”的模型：

对于，不同的选取有三种计算方式：

①，(以磁带内层为基准)

②，(以磁带侧面中心线为基准)

③，(以磁带外层为基准)

当d很小时，三种算法的结果非常接近，与(一)中的求解结果比较，相差也不超过2rd。由此引导学生在比较中得到结论，当d很小时，用式

求卷材之长比等差数列的算法更简捷有效。

为了结合课堂所学的知识，教师进一步提出这样的问题：上面的求解模型，实际上是把磁带看成一个个绕在轴上的“同心圆”，而实际上磁带的(俯视图)内侧边缘的轨迹应是何种曲线，轨迹方程是什么?它的精确长度应如何求?(答：阿基米德螺线，ρ=r+aq，见解析几何课本p.123，它的精确求长要用到定积分的方法。)

对问题(3)，学生较普遍地观察出，在放音初期，受带轮转得快，供带轮转得慢，故大盘变“瘦”的速度小于小盘变“胖”的速度，因此两盘空隙渐渐变小；而放音后期正好相反，故知当磁带走至全长的一半时，两盘间隙最小，此时两轮的外半径均为r′；且有

要使两轮外缘互不接触，两轮轴中心间距D只须满足

问题(4)是一个开放性问题，不同的录音机可能会得到不同的公式和结果，学生的观察发现，一些新的组合音响或录像机中，计数器的数字k和时间t关系是线性关系(正比例函数)。如不少学生得到k=3t这样的公式，但也有不少收录机不是线性关系。如京产PHILIPS收录机，经多次试验，有以下数据：

容易看出它不是线性关系(教学过程中，“否定”是一个薄弱环节，此时教师可以利用上面的数据，请学生回答为什么k与t不是线性关系?怎么得出这样的判断?)

答：取Δt=5看到Δk不是常数

多数学生此时的另一困难是面对数据，不知找什么样的近似公式，更不知怎样去找这类公式，他们习惯处理那些条件与结论恰当、准确，目标清楚的数学问题，不太会自己根据需要去挖掘、利用条件，这也是传统数学教学的缺憾之一。此时的素材恰好是克服这种缺憾的机会之一。教师可以把前面的数据先画在一张图上(如下面的图)然后大胆鼓励学生设计近似公式的类型，学生提出的方案有：

(1)线性近似公式：

t=ak+b

(2)抛物线型近似公式：

(3)型近似公式：

(4)对数型近似公式：

„„

很多同学会提出否定选用直线型的近似公式，因此数据已表明t与k非线关系，认为选用(1)一定不好。教师可抓住时机提问：什么叫一个近似公式好?怎样评价一个近似公式的优劣程度?

答：简单易求，易用，与已知数据的“拟合”程度尽可能地好，线性近似公式常常是出现最多的。

进一步教师可引导学生思考：在已经确定近似公式的类型的前提下，怎样找出“拟合”程度好的近似公式?

用直线“拟合”的同学想到了，让拟合直线两侧数据点大体均匀分布、分段拟合等直观想法；还有同学证明了：当k与出带轮转过的圈数n成比时，t一定是k的二次函数，从而选择了抛物线型近似公式，用任取的三点数据就求出了近似公式。„„

学生进一步提出的问题有：同一类型的近似公式中，哪个更好?怎么能找出同一类型中最好的近似公式?这些问题为今后的课外活动提供了新的素质和课题(如：用最小二乘法求线性拟合公式等)。

〔评注〕高中学生较初中学生在数学知识、能力上都有较大提高。因此问题的设计应更有深度、广度，并在求解的过程的指导中给学生更多的自由度。有些问题就学生现有水平求解起来有困难(如螺线求长，最佳逼近)，但若学生想到了这些问题，也应积极鼓励，因为问题本身往往是学生学习的最好动力，可以明确地告诉学生将来用什么知识在什么学习阶段解决这类问题。实际上教师不可能解决学生提出、想到的所有问题，但不要为此去限制学生的思维的疆域，而应引导他们在更有数学背景的方向上积极思考，有所发现，有所领悟，有所存疑。这样才能体现问题本身更多的思维价值。这种价值的实现是教师在问题及求解过程设计中应花大力气考虑的环节。

三、关于数学建模教与学的思考

1好的问题是关键

毫无疑问“问题解决”的前提与载体是“问题”。数学建模也是如此，它的发展与成熟无一不和一批经典的数学问题的解决相连。在大学理工科的数学建模课程中，教师会讲到一大批微分方程、概率统计、网络图论的典型问题和模型。每年的《应用数学》期刊中也会登载不少建模的优秀成果与论文。但就中学而言，这几乎还是一块空白，每每想到的还常常是“当年”联系实际的一些“成果”。我们自然会想到两个问题。

(1)对中学中开展数学建模，什么样的问题是好的问题。

作为好的问题的评价标准，我们不必过分计较它的完整性、统一性、权威性，在这里只是提出我们的一点关于“好的问题”的特点的认识：

①好的问题应适合中学生的数学知识水平，在建模求解过程中不需补充大量知识就可入手。问题的“可读性”好(容易被看懂读懂)，求解的线索和过程不宜过长、过繁。有些问题虽可用高等数学方法解决，但一定还有相应的初等解法，或即使用初等的解(算)法也能有较好的结果和精度。如上海“金桥杯”、北京的“文正杯”应用数学知识竞赛的试题基本有这样的特点(见《数学教育》1994.1，《数学通报》1994.1，1994.7)。

②好的问题应能努力表现出建模求解过程的特点，即能表现问题假设、抽象简化、建模求解、检验修改(循环迭代回去)的过程，而不仅仅像教科书上的传统文字应用题那样，已将假设、抽象，甚至建模过程完成，问题不含多余干扰信息，条件不多也不少，目标指向清楚，只须设出未知数，列等式或不等式就可得到解。

③好的问题最好有生产、生活的实际背景和较好的应用价值。模型的“可移植性”强，这样学生从建模的求解的过程中不仅能体会理论与实践相互关系和相互作用，还能从结果的实际意义中看到数学的价值和积极的审美感受，如“方正杯”决赛中的“水库问题”(见《数学通报》1994.4，它来源于1991年湖南资水的实际情况，问题寻求的解是怎样调节水库泄流量可以避免或减少淹没损失。学生通过求解，体会到了科学的、正确的决策的意义和作用，也体会到了正确的决策离不开数学。又如前面提到的磁带求长的求解模型，可以移植到其他“卷材求长”问题。又如图论中的模型，它们的可移植性更强，用状态转移的模型就可以处理“过河问题”和“分油问题”等。

④好的问题最好有多种求解模型，可便于分析、比较它们的侧重和利弊。如前面的磁带问题。

⑤好的问题应有较好的趣味性、可延展性和数学(物理)背景。如“选举问题”既有趣，易理解，又有很深刻的数学背景。“交通流量问题”与物理中的“熵”概念直接相关，“传染病传播的问题”可以延拓到“混沌”等微分动力系统中的理论中去。

⑥很大一部分好的问题都会展现计算机作用，甚至可以预言越来越多的建模求解过程可以用或者必须用计算机。如随机过程的模拟，超越方程(组)或不等式的求解，线性或非线性规化等。在中学建模的问题中，适当引入一部分不是凑数编造的问题，使问题更有实际感，让学生学会用计算工具去采集、处理、分析不规律、有一定精度要求的数据，无疑对学生是一种科研的微缩模拟训练，这对将步入信息时代的学生们是很有现实意义的。

„„

总之，从上面的表述中，我们希望从不同角度描述中学数学建模中的“好的问题”的理想状态。虽然实际的建模问题很难同时达到上述理想的程度，但它为我们收集、整理、加工、创造好的问题提供了一个方向。

(2)怎样寻找“好的问题”，“好的问题”从哪儿来?

比较可行的寻求办法有这样几种：

①从自己或周围人的生产、生活的实际中来。

②从大学的“成品”建模问题中发掘简化得到。

③从国内外的相应教材刊物上整理、编译而来。

④从自己的教学实践中改编创作而来。如在数列教学之后，可以创作一些“人口问题”、“利率计算问题”；或者将课本中已有的文字应用题向“两端”“延长”，如原教材上有过给了两三组数据求一个直线经验公式的问题，可以将它向问题的“始端延长”，即改成请学生自己找出若干组数据(如磁带问题中录音机中t与k的关系)再求经验公式；也可以将问题向“末端延长”，即让学生对公式的适用程度给出评判，如精度是多少?误差怎样?怎么改进?在什么样的要求下，选择怎样的近似公式有最佳的计算效率?„„这样，已有的问题经过改造后，一端越来越“原始”，一端越来越“深入”，就比较接近建模过程的要求了。再如前面提到的“卷材求长的问题”，只要将它改变“维数”，就可以提出成卷状的线材求长问题，成球状的线材求长问题等等。

总之，只要我们肯于学习，大处着眼，小处着手，留心观察，善于联想发掘，从自己熟悉的材料入手，就一定能逐步使我们数学建模的问题库丰富起来。

2关于数学建模教学过程设计的思考

数学建模的教学过程的设计更应反映数学教育发展、改革的方向，具体说来它更应强调以下原则：

(1)着重发展数学能力，特别是数学应用的能力，这不仅包括计算、推理、空间想像，还应包括辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、能进行口头和书面的分析和交流。

(2)强调计算工具(计算器和计算机)的使用。这不仅指在计算过程中使用计算工具，而且指在猜想、争辩、探索、发现、模拟、证明、作图、检验中使用计算工具。

(3)更强调学生积极主动的参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”，而应不时扮演下列角色：

①模特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端，“拨乱反正”的思维技能。

②参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。

③询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。

④仲裁和鉴赏者——评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生的有创造性的想法和做法。

我们觉得，数学建模的教学更应表现“活动”的特点，教学过程设计的着眼点应考虑：怎样让学生更多地参与进来，让他们做什么?怎么做?或者怎样让他们自己悟出，该做什么?应怎样去做?

一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示。

对上面的各个环节，我们常常可以采取的教学方法是：

A：比较容易控制教学过程的方式是教师给出设计好的问题，但若有可能，最好让学生自己提出问题。初始问题一般教师给出，“入轨”后可激发学生自己观察、发现提出问题，或者教师可以就学生提出的问题、结果引发新的问题。这样做可以大大激发学生的兴趣和探索欲，调动学生的参与意识。

有些教师会担心，这样做有可能“失控”或被问住。确实，在教学过程中有时学生会提出一些令教师措手不及的问题，甚至是教师力所不能及的问题，但这也不一定是坏事，起码反映了学生在积极思考。教师可先将问题“放一放”，给大家和自己留一个思考的“台阶”；或者分析一下问题的可行性因素，看一看缺什么条件和知识?不要急于下断语性评论。

A→B→C：这两步常常是学生的困难所在。在低年级，或对较抽象的模型，教师应给出具体的范例；对高年级或有一定经验的学生，可引导学生讨论。小组形式往往更便于发挥学生互相启发的功能。对于学生提出的多种彼此不同的模型，引导他们自己比较不同模型的可行性、适用性、效率、优劣，这也是锻炼思维能力的最有价值的过程之一。

C→D：这是学生们相对熟悉的过程，可以让他们独立或分组完成。值得注意的是，在这一过程中算法的优化、工具的使用、其他学科知识的实际应用等方面的困难将会相对突出。教师可以利用这一机会，提高学生的学习动力、欲望、自觉性，扩大学生的知识面；同时，帮助学生培养良好的数学书写、表达习惯。

D→E：这一过程并不困难，可让学生自己完成。教师在这一过程应注意引导学生发现错误、调整偏差。如这磁带问题中，一个学生算出磁带的单层厚度为0.16mm，教师并不需要马上纠正他的错误，而只要给他一个新的问题：“你面前的教科书的一页纸有多厚?你算出的磁带厚度是它的几倍?”就可以让他自己发现他的计算错误。

E→A：这是学生最容易忽略的环节，实际上用数学建模去解决实际问题往往不是一次就能得到符合实际的满意结果。理论的最优值不一定都能达到，这里面有些是非数学因素，如人的认识、政策干扰、经济条件限制、环境条件限制等；也有时是对模型条件考虑不周，带来了超出范围的误差或荒谬的结果。对于前一种情况，要分析原因，朝理想目标努力；对于后一种情况，就需要修改模型的假设或模型本身，重新进行求解。这与学生通常的解题经验(无循环、一次成功)有较大的差异，如有的学生在“磁带问题”中得出的放音时间公式t=f(k)，由于时间间隔Δt选得太大，造成公式计算误差较大。教师要求学生作实际检验与公式结果对照，引导学生自己发现问题，找出原因，用多次测量、变化测量参数等方法来改进公式的待定系数，就能使学生得到很好的建模体验和能力训练。另一方面，一个阶段的问题解决之后，引导学生自己发现、提出新问题，变化模型的参数，扩展模型的适用范围都是非常有创意的环节。“问题解决大师”波利亚在他的解题名著中，曾提出过许多很好的想法和作法，这里面确有文章可做，教师应特别珍惜这块引导学生走向创造和发现的“富矿区”。如在前面的“磁带问题”求解完后，引导学生做以下工作：

推广模型的适用对象——测量其他磁带、纸卷、布匹的长度和厚度；

变换模型的条件——d很大——螺线求长法；卷绕不规则——物理模型求长；

变换模型的‘维数’——测量一轴线的线长；

逆用模型——计算录、放音时通过磁头的带速；

„„

总之，数学建模的各个环节都有着不同的思维锻炼价值。教师在设计教学过程时，不仅要把自己的“导游程序”设计好；而且要使学生能逐渐体会“导游意图”和“导游程序”设计的要领，在求解的路上或“设疑”、或“破障”，使学生们在“游览”和“寻觅”中逐渐由“游人”变成“导游”。

3关于中学数学建模课程的思考

从前面的分析中我们能看到，数学建模的许多问题都要求能综合应用所学的知识，分析求解过程有时费时较多。因此一些教师认为，让它进入课堂会干扰正常的教学计划和进度，即使有心尝试，也有一些顾虑。其实，从前面的例子可以看到：

(1)从教材发展的趋势看，数学建模的一部分内容会逐渐成为中学数学课程体系的一部分。国外在这方面走得较快，相应的教材已问世。从为下个世纪培养人才的目标上看，数学素养已成为公民文化素养的重要内容，有文化的公民的标志之一是能借助数学去思考、评价、判断生活中的现实问题。与之相适应，教材也必须体现这一要求，我们希望尽快看到在新的数学课程的目标设计中，能有对数学知识应用的明确要求，并将相应的内容添加到教材中去。虽然教材建设是一个周期较长的工作，但尝试不妨从现在开始。作为教学第一线的教师，可以从所教的教材入手，认真分析现行教材中的应用因素，有意识地挖掘它们，提出或构作一批哪怕很浅的应用或建模问题，把它们以不同方式安排进自己的教学过程中去。如：

(2)“化整为零”或“零存整取”。把数学建模的问题解决过程分解后放在正常教学过程的局部环节上，这也是建模教学可行的方式之一。正像前面的例子那样，教师可在课题教学或复习环节中提出问题、建立模型，而把问题的具体求解过程留给学生在课后完成，较大的或较难的问题可与假期作业或小论文的写作结合起来。

(3)充分利用数学课外活动和选修课。这是一种容易上手和控制的形式，也与我国目前数学建模教学刚起步的现实相适应，教师和学生都能从中取得经验、积累素材。现在一些省市已有了相应教材。

4数学建模教学对教师的要求

数学建模的教学不仅对刚走出校门的师范生，而且对许多已有几十年教龄的老教师都会陌生和不适应。确实，数学应用与建模的能力也是一项专门的能力，它与学习、掌握纯粹数学的能力有密切关系，但并不等价。应用的意识、技巧、方法、能力也需要有一个培养、锻炼、提高的过程，建模的教学过程也需要教师不断调整自己所扮演的角色，这无疑是对我们在教学第一线的数学教师的一种新的要求和挑战，怎样适应这种要求和挑战?

(1)应努力保持自己的“好奇心”，留心向身边各行各业的能人学习，开通自己的“问题源”、相关知识的储备库和咨询网。

(2)努力掌握计算机工具，这主要包括一门计算机高级语言和一些常用的算法，如求根、迭代、逼近、拟合、模拟等。

(3)实践是最好的学习方法，在做数学中才能学到自己不懂的数学。一方面教师最好自己做一点应用的课题，或参加专业的培训班、讨论班；一方面也可以从自己较熟悉的课题入手，直接实践、探索教与学的规律。

中学数学建模教学的实践与认识篇2

教材是教学的依据，一本好的教材，有利于培养学生反复钻研、认真推敲的读书习惯，有利于培养学生循序渐进、深入浅出的思维方法。而且阅读是一个复杂的心理过程，需要理解文字符号的表层结构、内容的深层结构，并对教材所传递的信息进行加工分析。因此没有好的教材是不行的。但仍感不足的是有些教材特别是关于专科生的教材对培养学生的能力重视不够，分析解决实际问题例子太少，且还有些内容只注重理论的严密性，而缺乏启发性和趣味性，以致部分学生学习这门课程感到有困难，积极性不高，并感到学了无用，不愿钻研。也就是说，如何不仅让优等生学好数学，而且让程度一般的学生学好数学;不仅让刻苦学习者学好数学，而且让学生尽可能带着兴趣自觉地学好数学，而教材和教学质量的提高在这个过程中起着重要的作用，所以选择好的教材是学好数学的第一步。

二、讲好绪论，激发兴趣，从理解极限开始；抓住线索，带动全书，以增强能力为目的。

兴趣是个体对特定的事物、活动及人为对象，所产生的积极的和带有倾向性、选择性的态度和情绪，那么如何激发学生学习高等数学的兴趣呢?我们是这样讲述绪论课的：我们学校风景优美，绿树成荫，碧波荡漾，每当从池塘边经过，你们是否想过，池塘的水面有多大呢?如果不能得到一个精确数值，那么我们是否可以近似计算呢?例如，把池塘看成一个曲边梯形，并对这个曲边梯形不停地进行分割，于是分割得越细，与精确值就越接近，那么无限分呢?这样就引进了常量与变量，并讲述研究变量的《高等数学》与研究常量的初等数学的区别与联系，《高等数学》的基本内容和思想方法，它被人们发现的重大意义和学习这门课程的重要性，以及学习的基本方法和注意事项等。这样就使学生在脑子里对这门课程有了一个大致的轮廓，并作好一些必要的思想准备，从而激发他们的兴趣和毅力，使他们主动积极地钻研教材，创造性地思考问题。《高等数学》是用极限方法研究函数性态的一门课程。这门课程的基本概念是收敛，基本方法是极限方法，基本工具是极限理论，基本思想是运动辩证的逼近思想。首先从极限开始，就进入了变量数学学习阶段，数列(函数)极限的定义是极限这一章乃至整个高等数学的难点和重点内容之一，而且这也是学习导数与微分等后续内容的基础。随着学习的深入，学生掌握的概念、定理越来越多，如果抓不住关键，找不到主线，这些东西在学生的头脑中是零乱而无头绪的，久而久之，学生在头脑中形成了“死结”，渐渐会对数学学习失去兴趣。整个高等数学的内容分为极限、微分学、积分学、级数、常微分方程这几部分内容，其中关键是一元函数的极限、微分学、积分学、正项级数。《高等数学》具有很强的逻辑性、连贯性，在教学中必须得到切实的重视，否则，学生只是盲目地接受概念、定理的直观性。高等数学中很多概念、定理都有明确的几何解释，只是在这些内容最终形成以后，才显得如此抽象而难以接近，而教师的责任就在于“复原”它们，使学生感到这些内容就来源于现实，才能使学生感到亲近、自然、和谐，并能更好地理解其涵义，正确运用它们解决实际问题，进一步使学生领略数学家们创造、发明的思维过程，启迪思维，体验一下数学家们的辛勤与坚毅，进而激励学生学会学习，学会思考，从而培养学生的抽象思维能力。

三、《高等数学》中数学思想方法的贯彻。

数学教育的目的不仅要使学生掌握数学知识与技能，更要发展学生的能力，培养他们良好的个性品质与学习习惯，全面提高学生的综合素质。从这个意义上讲，教师有必要把数学思想方法作为重要的教学内容并落实到《高等数学》教学的全过程之中。教师在《高等数学》教学中，要挖掘并渗透数学思想方法，将数学知识的教学作为载体，把数学思想方法的教学渗透到数学知识的教学中，把数学思想方法纳入到基础知识的范畴，使学生从《高等数学》的学习中获得教益，从而强化数学思维和思想方法的培养，提高创造性，以及应用数学知识去解决问题的能力。然而，数学思想的传播、数学方法的运用是一个潜移默化的过程，蕴涵在整个教学过程中，在概念的形成过程，定理、推论、习题的推导过程，规律的揭示过程等都是体现数学思想方法的机会。我们尝试在教学过程中适时地渗透数学思想方法;通过课程内容小结、课前复习和课后总结提炼概括数学思想;开设专题讲座，升华数学思想方法，并使数学思想方法的教学紧密结合教材，重在教师有意识地点拨与渗透。知识的记忆是暂时的，方法和思想的掌握是长远的;知识使学生只受益于一时，方法和思想将使学生受益终身。《高等数学》是用极限方法研究函数性态的一门学科。这门课程的基本概念是收敛，基本理论是极限，基本思想是运动辩证法的逼近思想。因此，要使学生逐步理解收敛概念，掌握以“静”描“动”、以“直”代“曲”、以“近似”逼近“确”的思想和方法，就必须树立起辩证的思维方法。在授课中，教师要尽量结合微积分的发展史，讲一些既有趣味又富有道理的故事，这样既能满足学生的求知欲，又可拓宽他们的思维空间，提高他们解决科学问题的能力。

四、结语

通过以上研究，我们有上述心得，但效果如何将由实践反复予以检验。对于教学的研究，我们应该不断地前行，以求得到更好的教学效果。

参考文献

[1]钱昌本.高等数学解题过程的分析和研究[M].北京:科学出版社, 1994.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2005.

中学数学建模教学的实践与认识篇3

关键词：中学数学；问题解决；教学；认识与实践

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）08-059-01

问题解决教学能增强学生的理性认识，提高辨别能力。教学中，教师要通过问题创设适合学生思维的情境，从多方面、多角度培养学生的观察、归纳、类比等技能，让学生主动探索，自主学习，合作讨论。鼓励学生“观察”、“操作”、“发现”，并通过合作交流，激发学生学习兴趣，提高数学学习能力。为此，教师在教学问题解决课时，要有目的、有计划地精心编制习题，做到举一反三，事半功倍。现我结合自己的问题解决教学实践，谈几点认识与大家共勉。

一、合理的选题，做到少而精

问题解决教学不同于新授课，它是以训练作为课堂教学的主要类型，故要达到较高的训练目标，教师在选择习题时要注意题目的质量，即题目的难度和深度，这是对学生学习水平的要求。要考虑到多数学生的认知水平，面向全体学生，承认学生的个性差异，题目做到少而精，不搞“题海战术”，要有代表性，能针对教学的重点、难点和考点，能起到示范引路，方法指导的作用，还应便于情境、设问、立意等方面的多种变化，从不同角度使学生对知识与方法有更深的理解。所以问题的选择一定要典型，不但要注意到知识点的覆盖面，还要让学生能通过训练掌握规律，达到“以一当十”的目的。

二、问题解决教学形式要多样化

根据心理学原理，学生的“注意力”和“兴奋点”不可能持续较长或很长时间，一节课只能集中30分钟左右，如果教学组织形式单一化，会使学生感到枯燥、乏味，这样容易丧失学习的积极性。把一节课中最需要解决的问题精心设计成二三个问题并设置一定的情境，加以提问，让学生有兴趣地参与思考、讨论，能促进课堂的高效发展。如两家旅行社同时推出不同手段的优惠活动，我们应该选哪家合算。学生对于此类问题比较感兴趣，课堂上就能及时的抓住学生的注意力。以此类推教师可以马上提出相类似的问题：两家商店同时搞促销，选哪家买需要的物品比较划算。如果教师在课堂教学活动中表现出风趣感人的语言、整洁规范的板书、科学严谨的推理、生动活泼的教法、激情洋溢的教态，就能创造出愉快的学习氛围，激起学生的学习情趣，形成一个和谐而热烈的信息交流环境，就能有效地减轻学生的“疲劳”，提高课堂教学的效率和质量。

三、问题的设计要循序渐进

在同一个班级，学生所掌握的知识和解决问题的能力存在一定差异，在问题解决教学中，习题的设计要针对学生的实际进行分层处理，既要让优等生表演，发展其个性，又要重视给学困生提供参与的机会，使其获得成功的喜悦。否则，将使一大批学生，丧失学好数学的信心。题目安排可从易到难，虽然起点低，但效果好，符合学生的认知规律，使得学困生感兴趣，好生也能有所收获，让全体学生都能得到不同程度的发展。

四、教学要充分发挥学生的主体能动性

新课程教学要求教师必须尊重学生的主体地位和学生的主动精神，把学生的学习过程看作是主体满足内在需求的主动探索过程。学生的学习是一个动态的过程，整个学习过程应该是由参与欲望、参与过程、体验成功组成。在问题解决教学中，教师要转变“一言堂”、“满堂灌”的习惯，要创设更多的机会让学生动脑、动口、动手，留给学生充分的思维空间，让他们在主动探索和讨论中获得成功的喜悦。

例：我国现行个人收入所得税征收办法规定：月收入低于800元的部分不收税，超过800元但低于1300元的部分征收5%的税，超过1300元但低于2800元的部分征收10%的税……问小王月收入1160元，应缴税多少？问题1：当月收入大于800元又小于1300元时，写出缴税y（元）与收入x（元）的关系式。问题2：某人现缴税19.2元，那么他本月工资多少？问题3：据报道：随着我国经济发展，个税征收起点将提高到1500元，现小张月收入2600元，若实施新标准后，他可以少缴多少税？只有经过自己的亲身实践才能变得深刻，将数学问题移到实际生活环境中去解决，学生的兴趣会空前高涨，解决问题的能力也会有超乎想象的提高。

中学数学建模教学的实践与认识篇4

----------------------------牛叶峰

传统单一的教学模式将四五十个学生集于一堂，学生的知识基础和认知水平参差不齐，智力相差悬殊，我们这些做老师的就难以应对了。按以往的 “等量、同速、同要求”授课，势必出现“优生吃不饱，差生吃不了”的情况，这对大面积提高教学质量，推进素质教育，培养合格的人才是很不利的。必须从学生的实际出发，调整课堂结构，改进教学方法，使各个层次的学生在课内学有所得，各展其长，充分发展个性。我国近代杰出的教育家、教育思想家陶行知先生认为，老师的教法必须根据学生的学法而定，老师的教是为了学生的学。至此，我根据因人而异，因材施教的原则，在数学教学中“实施分层目标教学”进行教改试验，经几年的教学尝试，取得了较好的效果。

一、分层教学的内涵

所谓分层目标教学，其主体是以班级集体教学为主，小组教学、个别辅导互相兼顾的教学形式，是因材施教原则在课堂教学中的具体表现。分层教学是通过把全班学生按知识基础和认知水平分为几个层次，然后根据各层次学生的情况设计授课内容和目标进行教学。分层教学的指导思想是把传统的应试教育转变为素质教育。素质教育的核心是创新教育，创新教育的重点是发展学生的创新思维。实施分层教学对培养学生的创新思维有着直接的联系。实施分层教学，要创设良好的教学环境，重要的是要优化师生关系，使课堂中有一个师生真诚友好的学习环境，民主的教风与学风，使学生有一个积极健康的心理素质；教师要真正了解学生心理，尊重学生个性，并在学生中树立自己的威望。分层是把学生知识基础和认知水平的分层，不是人格的分层。要向差生表明分层教学的目的在于让不同成绩的学生最大限度地发挥自己的潜能，不同层次的学生都能在原有的基础上得到进一步的开拓，使他们心理平衡，互相帮助，形成一个团结友爱、积极向上的班集体。

二、分层教学的模式

分层教学是在学生分层的基础上，有针对性的进行分层备课、分层授课、分层训练和分类指导，做到课堂教学有的放矢，区别对待，最大限度的调动各层次学生的学习积极性，使每个学生的潜能得到尊重和开发。

教师在教学过程中，对学生的实际情况要有充分的了解，根据学生的智力、基础和学习态度等，将学生大致分成三个层次：（A）基础、智力较差，接受能力不强，学习积极性不高，成绩欠佳。处在A层次的学生对教师的依赖性最大，因此在情感因素上要注意利用各种机会激发学习兴趣；在导学过程中应以养成独立思考的习惯为主要目标，帮助学生逐步学会怎样理解所学知识、如何掌握它与其它知识的联系；在实践环节上除了加强“双基”规范演练外，还要多提供略有变化的情境，同时加强思路和方法的引导，要求并带领学生动口、动手、动脑参与练习。教学模式在实施时，对该层次的学生在“情”、“导”、“实践” 三个环节上表现为“促内化、助迁移、渐放手”；（B）基础和智力一般，学习比较自觉，有一定的上进心，成绩中等左右。处在B层次的学生学习从众性强，往往学习方法会有不当之处，而致命弱点是做事缺乏，毅力与恒心，因此在情感因素上要时刻为他们鼓励打气，使到他们萌生出一种对社会要有所作为的观念，有不甘人后的精神。在导学过程中首要的是要介绍科学的学习方法，其次是要鼓励他们自己去克服学习上的困难，不能急于冒进，以扎实掌握课本基础知识为主，逐步学会灵活综合运用各种知识，在实践还节上应是立足课本，适当补充，注重讲审题、讲思路、讲规律、讲延伸、讲答题技巧，通过选讲“小、巧、灵”的题目，使他们从不同角度与侧面去认识吃透教材，夯实基础。所以教学模式在实施时，对该层次的学生“情”、“导”、“实践 ”三个环节上表现为“争上游、夯基础、并肩走”；(C)基础扎实，接受能力强，学习方法正确，成绩优秀。对处在A层次的学生，应注意尽力把学生稳定的兴趣逐步确定为一种终身的志向；在导学过程中要以指导学生进行探索性独立学习为主要目标，着重于创造性思维的启发；在实践环节上则让学生有更大的独立性和灵活性，只在非常必要时稍加点拔让学生自己领悟其精妙之处，举一反

三、触类旁通。所以教学模式在实施时，对该层次的学生“情”、“导”、“实践 ”三个环节上表现为“立志向、导探索、自己走”。诚然，在同一年级的学生中，存在这种学业水平、认知能力和动机状态等方面的层次性差异已是不争的事实。对学生的分层应由老师掌握，不宜对学生公开，防止优生自满、差生自卑，尽量保护低层次学生的自尊心。对学生的分层是动态的，要随时注意学生层次的变化，鼓励低层次的学生向高层次发展。

1、教学目标分层。A、B、C层次的教学目标不同：（1）A层次学生能模仿课本例题，做好课本配置的练习题，B层次学生能理解课本例题，做一些简单的新题，C层次学生应能综合运用所学知识。（2）对A层次学生立足对知识掌握和记忆，对B层次学生着眼于使用知识的培养，对C层次学生着重提高其思维品质。（3）A层次学生应对数学学习减少恐惧，肯记肯做，做到记忆好定义、公理、公式和使用它们的方法； B层次学生应做到基础扎实，有一定的学习热情；C层次着重培养学生的求知欲和自学能力。根据以上确定与各层次学生相适应的教学目标，A层次学生应是新课标中最基本的教学要求，B层次学生是新课标中所有的教学要求，C层次学生是深化熟练新课标中的教学要求。

2、分层备课。在学生分层的基础上，根据教材的要求，以及各层次学生的水平，对各层次的学生制定不同的教学目标。A层学生要求掌握课本的基础知识，学会基本方法；B层学生要求熟练掌握基础知识，并能灵活运用知识解决问题；C层学生要求在B层次的基础上，培养创新意识，有良好的数学素质。如“平行线的性质”的教学目标可分为三个层次：A层学生能说出平行线的性质，并能应用性质进行简单计算；B层学生要求能理解、掌握平行线的性质，并能熟练地加以运用；C层学生要求能理解掌握性质的推理过程，培养学生从特殊到一般的发现问题能力，培养学生逆向思维的能力，要求能灵活运用性质。各层次的教学目标，应该是各层次学生通过努力能达到的，这样才能调动各层次学生的积极性，发挥学生在教学中的主体作用。备课时应根据不同层次的教学目标，设计好教学内容，课堂提问，技能训练，应注意层次和梯度。

3、分层授课。分层教学在课堂教学中具体表现是根据学生的实际情况每堂课的教学过程大致按下面几个程序进行：

①导入目标：上课开始时，利用2—5道题对本堂课需预备的相关知识进行复习或检测，以便判断学情，创设意境，以旧探新，引出课题，从而激发学生的求知欲。

②展示目标：讲解新课前，向学生简要地展示各层次的教学目标，使各组学生心中有数。带着明确的目标，有目的地听课，从而提高每堂课的学习效率。

③冲刺目标：这个过程很重要，一堂课最终能否使各层学生顺利达标主要看这一环节。首先，教师要针对目标备好课，根据本节内容的要点和学生认知水平，3 以目标为导向，有的放矢。一方面精心设计课件，按学生情况设计问题，使各组问题有着密切的联系，使知识由浅入深，由单一到综合运用，形成一个小高潮。另一个方面，每组问题围绕中心知识点设计低、中、高三个档次，使几个小问题之间分出层次，拉开档次，并使问题与问题之间，题组与题组之间环环密扣，步步高升，形成一个有机的知识链。其次，在教学过程中，教师要面向全体，兼顾局部，做到精讲精导，点拨恰到好处，引导学生向目标奋进。同时教师可有针对性地对小部分学生进行个别辅导，解决集体教学时未能解决的问题。

④检测目标：检测是课堂结束前的反馈测试，测试题目一般为各层次2—3题，当堂检测学生的达标情况。它可以较客观地检测学生是否达标，反馈信息，及时对学生的知识缺陷进行有针对性的补救和矫正。

⑤小结目标：对全体学生简要地进行内容、方法、规律的小结，使学生对整课目标有一个完整的理念。

4、课堂提问和练习分层

课堂提问，对于不同层次的学生要从不同的角度去设计问题，问题可按三层布局，易、中、难有度。让学生作答时按层次“对号入座”，让不同层次的学生都能体会成功的喜悦。为了巩固新知识，落实不同层次的教学目标，应分层提供课堂练习，让所有学生通过努力都能掌握知识，发展技能。课堂练习可分为两个层次：达标性练习和提高性练习。达标性练习三个组的学生全做，提高性练习鼓励C组学生全做，B组学生选做。题目的安排要遵循由浅到深、由易到难的原则，提高性练习不宜过多。配制的练习要有利于A组学生巩固基础知识，也要有利于B组学生有所提高，还要有利于C组学生的充分发挥，这样可使各个层次的学生在课堂上学有所乐，学有所得，教学效率得以提高。

5、分类指导。学生训练时，要做好课堂巡视，及时反馈信息，加强对A、B层次学生的辅导。对A层次的学生课后尽可能进行面对面的辅导，积极组织C层次的学生开展第二课堂活动，通过开展竞赛知识讲座，开拓学生的视野，丰富学生的数学知识。平时的课堂训练，难度稍低的练习可由C层次的学生帮助A层次的同学，通过生生之间的互动，促进不同层次的学生的进步。

6、评价分层。测验、考试原来是全班统一一个标准，A层学生的平均分始

终在45分左右，在测验、考试中A层学生大多数学生不得不将时间消耗在超越他们能力的试题方面，这种测验、考试严重伤害学生的自尊心，不少学生因此产生了气馁或厌学情绪。事实上不同的学生在掌握知识和技能方面是存在差异的，要求所有学生面对同等难度的试题是不恰当的。后来我们感到有必要改革评价方式，要采取“不同标准、分层评价”的方法。我们的做法是一张试卷中试题从易到难排列，要求C层学生全部做完，B层学生做到某一题，同时教师积极鼓励他们继续往下做，做对的加分，同一层次的考题，A层的得分值可超过B层，B层的得分值可超过C层。这样可以对不同层次的学生的评价有所区别，对于A层次的学生的点滴进步应采用激励评价，鼓励他们努力向高一层次发展，对B、C层次的学生所取得进步应采用竞争评价，高标准，严要求，促使他们更加努力奋进。

三、分层教学的启示

经过近几年来的努力，通过对实施素质教育的尝试，一方面，体会到实施分层教学作为教师是辛苦的，需要精力和汗水，需要教师辛勤的劳动和奉献精神。另一方面，出于对党和人民教育事业的忠诚，是值得的，分层教学是可行的。实践证明，分层教学取得了较好的效果。在我的努力下，这几年期末统考，我班学生的数学成绩比其他班学生的数学成绩有较大的增长点，平均分、及格率、优秀率均高十几个百分点；

中学数学建模教学的实践与认识篇5

:数学实验以数学创新为目标,以培养学生的创新精神和实践能力为重点。本文探讨在《线性代数》这门课程中,坚持传统教学方法的基础上,引入数学实验教学手段,以达到提高大学生应用能力的目的。

:线性代数;数学实验;数学软件;实验教学

一、引言

数学实验是最近若干年数学教育界极力推崇的数学课程,它是培养学生数学应用意识和能力极好的方式和载体。结合我校实际,单独开设数学实验课程的时机虽不成熟,但可以将数学实验的有关内容和方法作为现有数学课程的一种教学手段,加以应用到数学的基础课程当中。

二、数学实验课程

看到“数学实验”几个字,人们会问:做数学题不是靠一张纸、一支笔就行了吗,怎么像物理、化学一样要做实验了呢?对了,这是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物,是数学教学体系、内容和方法改革的一项尝试。几年前,设置数学实验课的构想一出现,立即在数学教育界引起反响。数学实验就是一个以学生为主体,以实际问题为载体,以计算机为媒体,以数学软件为工具,以数学建模为过程,以优化数学模型为目标的数学教学活动过程。它把教师的“教授—记忆—测试”的传统教学过程,变成“直觉—探试—出错—

第 1 页思考—猜想—证明”,将信息的单向交流变成多向交流。在教师指导下学习动脑又动手,并使用教学软件和编程技术,解决实践中提出的问题,师生共同实现教学的总体化目标。

三、《线性代数》课程教育体系引入实验教学的必要性线性代数课程是工、管、理专业的必修课,是研究生入学考试的必考内容,是学生学习专业课的必备基础。线性代数的教学内容和改革方向一直是数学工作者十分关心的问题。传统的线性代数教学偏重自身的理论体系,强调线性代数的基本概念和推理。随着计算机技术和工程科技的发展,科学与工程计算日益重要,而线性代数的教学还不适应这一发展趋势,现有的线性代数课程的内容体系和教学方式需要改革。将计算机作为辅助工具引入教学,使用MATLAB等数学软件解决线性代数问题,把MATLAB渗透到线性代数的各章中去。当然线性代数的整个理论体系,并不因使用计算机而有所改变,只是有些理论可以通过计算机来验证,而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题或作业中,加强它的工程背景。对现有线性代数课程的教学体系、教学内容和教学方式进行深刻的改革。转变传统教学观念,树立新的教学理念,提高学生的科学计算能力、创新能力及理论与实践相结合的能力。

四、《线性代数》教学中坚持传统教学与实验教学并重

1、坚持传统教学中以基本概念和推理为主

《线性代数》这一抽象的数学理论和方法体系是由一系列基

第 2 页本概念构成的,如行列式、矩阵、逆矩阵、初等阵、转置、向量、线性相关、线性无关、线性表示、特征值、特征向量等等。概念构成了学生理解和掌握这些理论和方法的基础内容。学生如果对有关概念的内涵和外延把握不准,则无法理解定理的内容,无法进行逻辑推理,也不知道计算方法的道理何在。概念是推理的基础。例如要理解“矩阵的秩等于其列(行)向量组的秩”这一定理内容,就需要理解很多有关概念:矩阵秩、子式、最高阶非零子式、向量组的秩、最人无关组、线性无关等。只有确切掌握概念的内涵才能进行合理的正确的推理。此外,《线性代数》学科体系的严谨,内容的相互关联,正是训练学生抽象的逻辑推理能力的极好素材。学生中有部分高中就比较喜欢数学的,对这种抽象的推理很感兴趣。通过对有关定理及其推论的证明,或习题中对有关命题的证明和讨论,不仅让学生得到充分的逻辑推理能力的训练,而且也是深入理解有关概念的重要途径,最终,还能帮助学生训练良好的数学思维。

2、借助MATLAB实验软件进行实验教学

《线性代数》课程的教学中,以前由于大量的手工计算不仅需要学生掌握计算步骤,还需要掌握一些计算技巧,造成学生们忙于应付计算的学习,从而轻视了方法原理的学习,其后果便是实际使用中常常把方法选择错误。用数学软件学计算,较好地解决了这一问题。我们选中专业数学软件MATLAB

第 3 页为《线性代数》软件实验的平台,采用一种传统的理论内容与实验内容交错进行的教学模式,共设计了二个实验。实验中一方面,讲解MATLAB数学软件的基本功能及使用,另一方面讲解软件提供的线性代数运算功能。实验过程中,采用实验分层次、分步骤进行,采取讲练结合、循序渐进的方式进行实验。

实验一:行列式及矩阵

掌握向量、矩阵的基本输入命令,基本运算命令。用克莱姆法则来求解非齐次线性方程组,用矩阵的运算来求解矩阵方程。让学生应用所学的基本知识,给出求解非齐次线性方程组的基本原理,解题步骤,编写程序,得到方程组的解。给出矩阵的运算过程及运算结果,求得矩阵方程的解。实验二:线性方程组及二次型

掌握求解齐次线性方程组、基础解系等基本命令,掌握求解非齐次线性方程组的特解命令,掌握矩阵的特征值、特征向量、Schmidt正交化等基本命令。利用齐次、非齐次方程组解存在的条件,对方程组的解是否存在进行判断,用矩阵的运算得到方程组的基础解系。用配方法、正交变换法化二次型为标准型。让学生应用所学的基本知识,给出齐次、非齐次线性方程组解存在的判别条件,通过编写程序,给出方程组的基础解系。用配方法、正交变换法的基本原理,通过计算给出化二次型为标准型的解题过程及二次型的标准型。利

第 4 页用所学的原理与方法及基本输入输出命令,编写程序,解决实际问题,培养学生的实践创新能力。

五、《线性代数》实验教学的意义

引入数学实验,首先为强化理论和方法原理教学提供了条件。对非数学专业的学生来说,学习数学的意义主要是两方面:一是得到一定程度的逻辑思维能力的训练,二是掌握必要的数学理论和方法,知道其应用条件和使用步骤。但以前学生过度轻视学习数学理论,只知道一些方法及其使用步骤,而对其原理一无所知,从而没有弄清方法使用的条件,造成许多数学方法使用上的错误。因此,必要的数学理论学生还是应该了解的。但既要抓方法教学,又不能轻视理论教学,教学时间上便产生了矛盾。引入实验解决繁琐的计算,减少了计算教学的时间。

引入数学实验,增强了课程的直观性和可操作性。非数学专业的学生学习数学课程都是有实用目的,但方法的应用仅靠手工完成,学生不免对其实用性产生怀疑,容易降低学习兴趣。软件实验解决了这个问题。

引入软件实验,是普及数学应用的一种手段。突破计算瓶颈,为数学应用的普及打开了一扇大门。学生掌握了软件计算技能,为其今后科研的开展奠定了基础。

中学数学建模教学的实践与认识篇6

语文科具有工具性和人文性的双重特点，所以，语文教学的任务就在于提高学生运用祖国语文能力同时，不断提高学生的审美情趣，思想境界和品德修养。语文教学中的“文道合一”的原则，使其在对学生进行德育教育方面有着得天独厚的条件，语文课渗透德育教育是语文教学目标重要组成部分。

语文教材所选取的课文，大多是文质兼美，历久不衰的佳作，融文、史、哲、自然科学等诸多学科内容为一体。这些文章在使学生学到基本的语文知识的同时，还可以使学生受到多种文化因素的熏陶和影响。因此，语文教师在教学教程中，应种积极发挥自己的主观能动性，深入、细致、全面地挖掘课文和德育因素，有目的，自觉地以教材中感人的事迹，高尚的思想情操，鲜明的观点道理去感化学生，教育学生，在学生心中播撒做社会有用之材的美好种子。

一、用壮美的山河陶冶学生的情操

我国地大渊博，幅员辽阔，神奇壮丽的山川景色美不胜收，中学语文教材中选入描写祖国山川景色的散文、诗歌有相当的篇幅，这类文章有郦道远的《三峡》，姚鼐的《登泰山记》，吴均的《与朱元思书》等等。咏叹祖国壮丽河山的王维《山居秋瞑》，韦应物的《西滁涧》，梅尧臣的《题破山来禅院》等。在进行此类课文教学时，教师不仅要让国学生领略祖国河山的壮美，更启发学生挖掘作品中景物描写之外的更深刻的思想内容，使学生对祖国的锦秀山川欣赏、赞叹的同时，陶冶情操，养成热爱祖国的真挚情感。

如郦道元的《三峡》是历来为世人称道的山水名篇，他笔下的三峡具有自然之美是令人神往的。在教导学生学习这篇课文时，我是这样做的：

1、让学生充分感受三峡的自然美，通过播放有关的三峡风光的图片，录相，先让学生上网查找有关三峡的网站，了解三峡的景点，三峡的文化，三峡的传说，三峡的诗歌，三峡的特产，激发学习兴趣，感受古人笔下的三峡与自己看到“三峡”的不同。

2、感悟三峡的智慧之美，课前同学四人一组，共同组成“三峡工程记者采访团”上网漫游三峡工程，感受人类在改造自己的进程中所表现出的巨大智慧与训巩才能。把访问、调查的结果按主题写成短文，共同感受三峡工程所焕发出来的人类智慧之美。

3、畅想三峡的想像之美，以“我心中的未来三峡”为话题，充分发挥想像，把自己的想像的三峡用语言描述出来，通上述活动拓展了学生的视野，培养了学生对祖国河山的思想感情。

二、用生动感人的人物形象高尚的情感净化学生的心灵。

纵观现行的中学语文教材，确系文质兼美，形神盼具佳，贮藏着大量的情感因素：这里有对祖国的爱、对人民的忠、对事业的追求、对信念的执着，这里有赤子之心、莫逆之交、男女之情、手足之谊，这里有拍案而起的激愤、灭地动容的悲壮，催人泪下的凄切、细雨霏霏的委婉„„语文教师要积极引导学生进入作品的艺术境界，引导学生感受作品中人物的伟大精神和人格力量所在，使学生巨大的心灵震撼和心里共鸣，如此久而久之，就可以使学生辨别是非曲直、真善美丑，培养学生形成正确的人生观、价值观、审美观。

如读《沁园春·长沙》，我们应让学生领略湘江秋色，读《海燕》，我们应让学欣赏海燕搏击风浪的雄姿，读《荷塘月色》应学生体味清幽静寂静之夜出现的流水一般的月光，绰约多姿、清香四谥的荷花，学生长期在这种艺术的氛围是熏陶，其情感怎能会不变得丰富而高雅。

再如《大堰河》的母子情、《背景》中的父子情、《藤野先生》的师生情、《过零西洋》中 “人生自古谁无死，留取丹心照汗清”的救国之情、《一面》中的战友情、《京口北固亭怀古》中的报国之情„„这些脍炙人口的名篇所以能使人爱读流传不衰，不仅因其语言文字美，更重要的是文中渗透着作者炽热的情感，我们应把教材中表达的情感潜移默化地传给学生，使其获得充分美感享受的同时，让其泌人心脾，仿佛灵魂已被引进美妙无比的“天国”似的，从而不知不觉地受到陶冶。在语文教学中引导学生“入情”，是实施情感教育的主要途径。

三、以中华民族的传统美德铸就学生良好品质中华民族拥有几年的灿烂文化，丰富、博大的文化遗产值得每位炎黄子孙为之自豪。传统的文化是中华儿女的美德相融合的伟大的民族精神、崇高的民族气节、高尚的民族情感、良好民族礼仪的总和，也是我们民族精神的精髓。让传统美德在21世纪发扬光大，是我们语文教师的光荣使命。

中学语文课本中几百篇文章，大多蕴含着传统养德教育的丰富材料，如：爱国、尊师、敬老、勤俭、公而忘私等等。如魏巍《谁是我最可爱的人》，一篇歌颂中国志愿军的文章，学习这篇文章时我们要善于抓住契机，不但要让学生领会作者的思想感，更要用这种感情来净化学生的思想境界。在这篇文章中，志愿军杀敌场面的惨壮，救人时的舍己，及思想境界之高，我们将如何学习呢？面对国耻家恨时，你是否也会为祖国挺身而出尼？面对外国列强的挑衅，身为华夏子孙的你，将怎样尽自己的力量呢？不失时机提一些激发情绪的问题，诱发学生美好情感。

《苏州园林》，也是作为对学生进行传统美德教育的好材料。中国历史悠久文化灿灿，历史上曾有光辉的篇章。近代由于封建制度的腐朽，列强的入侵，祖国失了应有的光华，许多学生对此悲观失望，将希望寄托于出国留学、去发达的城市，这种索洋媚外贪图安逸的思想当然不利于中学生的身心健康，更不利祖国的繁荣富强。学习《苏州园林》，我让学生自己积累全国各名胜古迹照片，在展览的时候，让学生在旁侧注批，写下感受。学生在参观各地风光之后，对祖国大好河山，中华悠久文化历史产生了强烈的热爱之情。既丰富了学生的视野，又对学生的进行爱国教育。

利用语文教学进行德育教育，除立足教材外，还应向学生大力推荐古今中外优秀的文学作品，这此作品不仅丰富学生的业余生活，滋润、陶冶他们的心灵，更能让学生吸引人类文明的优秀成果，提高他们的综合素质和创造能力，培养他们的良好的道德修养和学习习惯。

小学数学体验式教学的认识与实践篇7

一、构建小学数学体验式教学模式的理论基础

1. 人本主义心理学理论

兴起于20世纪五六十年代美国的人本主义心理学 (humanisticpsychology) 是继行为主义和精神分析的第三大势力。其代表人物罗杰斯强调人的因素和以学生为中心, 他认为, 教学过程的重心是学会学习。在教学中, 关键是帮助学生获得知识、信息和个人成长, 而这些仅凭教师的知识传授是难以全部达到的。人本主义心理学对教育的启示是:第一, 相信学生的潜能———自然人性论;第二, 注重学生的需要——实现“各自”的自我;第三, 学生共同成长———知情统一的教学观。人本主义心理学以真诚、悦纳、理解为核心, 主张在教育过程中予以深刻的人文关怀。其基本视角和价值观对教师正确看待学生, 并采取适当的教育教学方式都具有独特的启示作用。

2. 布鲁姆的掌握学习理论

掌握学习理论 (thetheoryofmasterylearning) 是美国当代著名的教育心理学家和课程论专家本杰明·s·布卢姆 (cb“s”bloom) 提出的学校课堂学习理论。掌握学习理论以“人人都能学习”为基础观点, 其理论精髓就是相信学生经过努力, 是能够达到学习目标的。

3. 小学数学教学新的课程标准

《全日制义务教育数学课程标准》指出, 教育教学要面向全体学生, 实现人人学有价值的数学, 人人都能获得必要的数学, 不同的人在数学上都能获得必要的发展。

二、小学数学体验式教学模式实施的条件与程序

1. 小学数学体验式教学模式实施的条件

体验式教学作为一种创新型教学模式, 对于实施的学校在教师、学生及相关软硬件方面均需具备一定的条件:教师必须具有较扎实的理论功底、丰富的实践经验以及较熟练的现代教育技术技能;学生具有一定的参与意识和在教师点拨引导下初步分析问题的能力;学校还要在资金、设施上给予一定的配备;师生能够适时更新观念, 实施全过程、多元化的师生评价体系, 从而保证体验式教学取得更好的成效。

2. 小学数学体验式教学模式的实施程序

(1) 创设问题情境, 激发兴趣动机

教师可以运用多种技术手段, 为学生创设生动有效的问题情境, 情境是体验的关键。教师要创设或捕捉生活有意义的问题情境, 从情境教学思想出发设计数学教学活动, 使学生在一个完整真实的问题情境中产生学习的需要, 激发求知的欲望, 增强兴趣动机。比如在教学“中位数”一课时, 可联系生活实际, 首先用多媒体播放这样的场景:一位刚毕业的大学生去人才市场找工作, 他看到这样一则招聘启事:两家公司各招聘一名技术人员, 甲公司月人均工资3000元, 乙公司月人均工资3500元。师提出问题:如果你是这个大学生, 你选择哪家公司?学生情绪高涨, 一致选择乙公司, 因为乙公司月工资高于甲公司。师:大学生的想法和你们一样, 去了乙公司工作, 但一个月以后, 他拿到的工资却是2600元, 他十分纳闷。这是什么原因了?学生议论纷纷, 说乙公司骗人, 接着师出示乙公司职工工资的详细报表, 不少学生立即去计算, 发现乙公司月人均工资的确3500元。学生一脸疑惑, 有的在下面窃窃私语, “经理和副经理工资太高了。”……

(2) 投入实践探索, 加深体验感悟

引导学生通过亲身经历、亲身感受认知周围的事物, 主动探究问题解决之道。让学生感受知识形成的过程, 在大脑中形成表象, 引发学生思考, 让学生观察事物之间的同中之异与异中之同。要得出可信结论, 不能指望一次就能完成, 往往要经过多次反复, 学生在观察中先有初步印象, 然后经过一个反复思考的过程, 经过多层次的比较、分析与综合, 才能真正有所体验。通过摸一摸、描一描、画一画、比一比等动手操作, 才能真正感悟理解知识的形成过程。如在六年级 (下) 教学面积变化时, 为了让学生发现“把平面图形按n:1的比放大后, 放大后的面积与放大前的面积比是n2∶1”这个规律, 我就通过指导学生在多次的实践比较中, 得出这个结论的。过程是: (1) 猜测验证。出示四个图形 (长方形、正方形、直角三角形、圆形各一个) , 让学生自主选择其中2个图形, 按3∶1放大画出图形, 之后让学生估测放大后的图形的面积和原图形的面积比是几比几。再要求学生想办法验证, 看估算得对不对。之后组织学生交流:你是怎么验证的? (2) 比较思考, 初步形成结论。引导学生观察测量和计算得到的数据, 思考放大后的面积与放大前的面积比与对应边的比之间有什么联系, 有无规律?如有又是什么样的规律? (3) 再次实践。马克思说得好:实践是检验真理的唯一标准。这样我又提醒学生, 一次两次实践得出的结论不一定就是正确的, 必须进一步去实践。如果你们选的图形按4∶1放大了, 那么面积比又是几比几呢?如果是其他的图形按一定比放大后, 放大后的图形的面积和原图形的面积比是不是也符合你的结论呢? (比如我们学过的梯形, 平行四边形……还有不规则的平面图形) , 这样反复实践, 分析比较才得出了:平面图形按n∶1的比放大后, 放大后的面积与放大前的面积比是n2∶1这个规律。 (4) 拓展讨论, 加深感悟。如果把一个图形按1∶n的比缩小, 缩小前后图形面积的变化规律又是什么呢?通过这样的“实践—分析—再实践—再分析”获取的知识, 印象才深刻, 同时也让学生体会到任何结论的形成, 都必须经过反复的实践, 方能使你的结论更准确。

(3) 开展合作探究, 促使认识升华

在学生自主探索的基础上, 开展合作探究。学生在合作探究过程中, 不只是获得一些知识性、肯定性结论, 还能通过这些知识性、肯定性结论的获得, 感受、体验知识获得的过程, 了解客观世界的复杂性。直观操作是低年级学生获取知识的最直接途径, 操作中, 学生能更深层次思考、理解与体会。对概念的理解是概念教学的中心环节, 概念的获得是学生经过反复分析、综合、抽象和概括出的结果。让学生自主选择测量工具和方法, 并在小组中说一说测量过程。活动形式应该灵活多样, 可一人单独操作, 也可小组合作完成, 所得结果都应予以肯定, 或小组交流, 或全班汇报, 借助多媒体展示, 从而实现认识的升华。如, 在教学测量物体的体积时, 我采用小组合作方式, 让学生自主选择物体测量并求出相应物体的体积。提供的物体有:长方体的橡皮, 圆柱体的饮料罐, 正方体的魔方, 还有苹果、红薯等。学生基本选的是规则的图形, 那些苹果、红薯不规则的基本没人问津。我就采用激励措施, 故意调侃道:这么可爱的苹果, 就无人喜欢吗?大家好好开动大脑, 你们一定能测出它的体积, 哪组选择苹果、红薯的, 并测出体积的, 这些苹果就犒劳哪组。重奖之下, 必有勇夫, 后来好几组选择不规则的图形。小组合作完成任务后, 各组一人汇报测量方法, 规则的基本都是测量必要的数据, 然后按公式计算出体积, 而不规则的图形的体积的测量, 方法各异:有的把玻璃杯装些水, 量水的高度和杯子的内直径, 而后把苹果放进去, 再量水的高度, 这样水面升高的部分体积就是苹果的体积;也有的直接用量杯测量, 把量杯装一些水, 看是多少毫升, 然后把苹果放进去, 又是多少毫升, 相差的毫升数就是苹果的体积。最后引导学生比较总结, 规则的与不规则图形各自的测量的方法。在这样的合作探究氛围中, 学生们人人参与, 主动体验, 在反复比较中加深了对知识的理解和运用。

(4) 通过实践验证, 培养应用能力

指导学生通过实践, 验证探究所得知识的真伪, 从而使学生加深对知识的理解与掌握, 并提高对知识的运用能力。巧设练习, 扩展思维。问题明白了, 概念抽象出来了, 并不等于对知识牢固掌握和切实理解, 此时, 必须有一个知识内化的过程。因此, 设计新知学习过程中阶段性练习和新课结束后的综合性练习, 是加强实践, 培养应用能力的关键环节。实践验证的练习, 学生兴趣浓郁, 参与的热情高, 更能起到巩固提高的效果。

(5) 及时总结评价, 以利全面提升

组织学生进行自评与互评, 教师进行点评、总评, 使学生对体验获得的知识有一个更高层次的提升。

当然, 实施程序只是相对稳定, 而非僵化的和一成不变的, 教师在实施过程中可以适当调整。

三、小学数学体验式教学模式的实施策略

数学探究性教学的认识与实践篇8

关键词：探究性教学问题创新思维自主探究

中图分类号：G642.421

在新课程倡导的三种主要的学习方式中，探究性学习首次成为有机构成，被公认为我国当前课程改革的一大亮点。现在的课堂越来越强调学生在学习过程中的主导地位。那么，我们面临的问题是在实际教学中教师运用什么样的教学方式才能充分调动学生的积极性和创造思维，我们知道主动提出问题或根据老师提出的问题，主动探索解决问题的方法、途径是主动学习最有效的方式，在教育学中我们称之为“探究式教学”。

一、探究性教学的涵义

探究性教学是指学生通过自主参与获得知识的过程，从中掌握探究能力，形成探索未知世界的积极态度，培养创新精神，提高实践能力、科学素质和自主学习的能力，促进个性的全面发展，为终身发展奠定基础。教师在学习过程中给学生提供引导和帮助，互助合作，共同提高。探究性教学是集启发式、问题讨论式、实验探究等教法于一体，师生共同探讨解决问题的一种教学模式。

二、探究性教学的过程

有了课前探究课的设计，设计的过程能否有效地实施关键就是看教学过程实施的有效性。数学探究性教学过程更重视学生的思维过程，在探究性教学过程中应更注重以下几个方面的实施：

1、创设情境

采用各种教学手段，最大限度地调动感知器官，激起学生高度的学习兴趣和最大限度的集中注意力，连续不断地启发学生积极思维，这才是真正的现代教学观，更加符合学生的求知欲望和升学的教育，促使整个教学质量的提高。这就要求教师深入研究教材，精心设疑布阵，创设出能使学生愤悱的情境，以便营造探究的氛围。

2、发现问题、明确问题

思维是从问题开始的，只有发现问题，才能有解决问题的思维活动，发现问题的能力是学生思维发展水平的主要标志，学生能敏锐地发现问题，大胆地提出问题，这是他积极探索精神和强烈求知欲望的表现，教师应该鼓励和扶持。明确问题就是认清问题的关键和本质，只有认清问题的关键和本质，思维操作才会有明确的目标，才能有条不紊地围绕问题的核心进行。能否明确问题，取决于学生感性经验的丰富程度和理性认识的深刻程度。

3、自主探索

在科学探究活动中，教师要运用与学生学习动机相一致的教学策略，创设多种情境，不失实机地向学生提供符合教学要求的多种资料和信息，架设新旧知识之间联系的线索和桥梁，让学生作有意义的选择。信息的载体可以是文字、文献资料，也可以是网络资源或师生交流过程的表征。在一个开放性教学环境中，培养学生自主、自觉搜集事实和加工处理信息能力尤为重要。而最佳方法不取决于方法的数量，而取决于解决问题的方法的合理性、可能性。通过这个环节，可以锻炼学生思维的广阔性和发散性。

4、交流辩论

小组合作后即抓住中心议题或关键性问题，让学生各自发表见解，进行交流辩论，集中解决难点。需要注意的是，教师与学生面对面，切不可搞成问答或对话形式，要让学生与学生之间对话、答辩、争论，教师只需在关键处加以指点或导拨，要避免教师牵着学生鼻子走。

5、实践深化

这一步既是对探究成绩的巩固，又是对探究效果的检验，其作用在于帮助学生学会方法。教师要根据教材要求和学生合作探究情况，简要归纳、概括讨论要点，掌握方法，理清概念，几句画龙点睛的话，就给学生以明明白白、清清楚楚的交待。学生运用自学和讨论探究获得的知识，学会举一反三，解决类似或相关的问题。

例如，学生分组确定、实施并写成实验报告的一些具体的定积分应用实例：

①计算乒乓球的体积

②测量并计算眼镜盒侧面的面积

③计算均匀半圆面的重心位置

④计算把水桶里的水全部吸出所做的功

⑤计算旋转体的测面积，等等。

5、激励评价

这一阶段既要总结前五步探究活动的基本收获，对学生积极主动参与探究给予充分肯定，又要得出结论，为学生今后解决类似或相关问题导向指路。这是探究式课堂教学活动继往开来的一步，其作用在于进一步让学生牢记探究的方法，养成自主探究的习惯，把学习探究变成自己生活的第一乐趣。