平面向量小结与复习

平面向量小结与复习（共7篇）

平面向量小结与复习 篇1

教学目标

重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用． 难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．

能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运

算能力和解决实际问题的能力．

教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．

自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．

易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；

(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；

(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；

(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．

学法与教具

1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．

二、【知识梳理】

1．平面向量的数量积

(1)数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcos叫做a与b的数量积(inner product)（或内积），记作ab，即ab=abcos，其中是a与b的夹角．

(2)数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影acos的乘积．

(3)数量积的性质

b0． ①aba

②当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab=ab；特别地，aa=a，所以

2a记作a2． aa

③abab

(4)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

bba； ①a

②(a)b(ab)a(b)； ③(ab)cacbc．(5)数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y2． 由此可得：

2①a

x1y1或a

②abx1x2y1y20； ③设为a、b的夹角，则cos

ab



|a||b|2．平面几何中的向量方法

用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．

3．向量法在物理中的应用

向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．

三、【范例导航】



例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 APAB，

CP2，则 AQ1AC,R.若BQ

2

2【分析】由题意可知ABAC0，根据BQCP(1)ACAB2，解方程可以求得的值.



c0，【解答】如图，设ABb，ACc，则b1，c2，b



又BQBAAQb(1)c，CPCAAPcb，由BQCP2得，[(1)]()(14(1)2，即32,所以

2.3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.2

变式训练1(2011·江苏卷10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2,bke1e2, 若







ab0，则k的值为

答案：

4

2解析：abe12e2keeke12kee2ek12kcos0，12212

13

解得k

.4

例2(2012·江苏9)如图，在矩形ABCD

中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若ABAFAEBF的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.



【解答】因为AFADDF，

ABAFABADDFABADABDFABDF







DF1CF1.所以，AEBFABBEBCCFABCFBEBC1)12 所以





【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP3且APAC=

答案：18



解析：设ACBDO，则AC2ABBO，

所以，2

APACAP2ABBO2APAB2APBO2APAB2APAPPB2AP18



例3.证明：对于任意的a1、a2、b1、b2R，恒有不等式a1b1a2b2a1a

2

b

12b2．

【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关

【解答】设a(a1,a2)，b

(b1,b2),222

则a，bb1b2 ba1b1a2b2，aa12a2

因为abab，ba所以a

b

所以a1b1a2b2a1a2



b

2b2.【点评】

变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin)，B(cos,sin)，试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.答案：cosAOBcoscossinsin

解析：因为A(cos,sin),B(cos,sin),

所以OA(cos,sin)，OB(cos,sin)

OAOB

那么，cosAOBcoscossinsin.OAOB

四、【解法小结】

1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设a(x1,y1)，b(x2,y2)

(1)aba b0x1x2y1y20，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；

a=a2a

与a(2)a

转化．

(3)cos

ab

a、b的夹角，也可用来求

|a||b|直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式

用于求参数的值或范围．

2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量mv是数乘向量；

(3)功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】

必做题： 1．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD中，∠AAB、AD的长分别为2、1.若M、N

分别是边

→→|BM||CN|→→

BC、CD，则AM·AN的取值范围是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为__ __.DE·DC的最大值为________．

4．在边长为1的正三角形ABC中，则ABBCBCCACAAB________．.必做题答案：

1．因为|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，则DN＝(1－n)DC，在平行四边形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函数f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM·AN的取值范围是[2,5]． →→3．以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因为1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.

CACAAB= 4．ABBCBC

311100

ABBCcos120BCCAcos120CAABcos1200

2222

点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起

00

点要重合，对于本题要特别注意：向量AB与BC,BC与CA,CA与AB的夹角不是60，而是120.选做题：



1．已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.2．如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，证明：CF2FD.选做题答案：

1.设a的终点坐标为(m,n),则a＝(m,n),



3(m3)4(n1)0由题意 2

2(m3)(n1)

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

41911m,m,192118152

5或解得∴a的终点坐标是（,)或(,)

5555n2.n8.1255

点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用．

平面向量小结与复习 篇2

平面向量是高中数学的重要内容之一, 也是近代数学中的重要概念之一.平面向量集数形于一身, 既有代数的抽象性, 又有几何的直观性, 它是沟通几何、代数、三角函数的一种工具, 成为高中数学中函数、几何、三角等知识的一个交汇点, 更是“在知识网络交汇处设计试题”的一个良好的载体, 是历年高考数学的一个必考内容.

要搞好平面向量的复习, 首先要研究历年高考, 尤其2013年高考对平面向量的考查的内容和考查的重点.纵观历年自主命题的地方卷和教育部考试中心命制的全国卷, 高考命题主要以选择题、填空题为主, 难度为中档左右, 个别地方卷, 也有考查向量与函数、三角函数、解析几何交汇在一起的交汇题, 属中等难度试题.试题从以下三个方面来考查平面向量, 一是考查平面向量的基础知识, 基本定理、基本运算;二是重点考查平面向量的数量积的基本运算及其应用, 这也是各地试题的热点;三是考查平面向量的工具性作用, 求解向量和代数中的函数、不等式、三角和解析几何的交汇整合型试题, 考查考生的转化化归、数形结合、函数与方程等数学思想和教学方法, 考查推理论证能力.对于上述的三类考查, 下面予以例说.

一、重基础, 出活题, 考基础, 考能力

分析:本题考查平面向量的坐标表示和向量共线的充要条件.

解:∵A (1, 3) , B (4, -1) ,

∴设单位向量e,

∴选A.

解:由题意及图1知,

分析:本题考查平面向量的加法运算、考查数形结合思想以及利用数学知识解决问题的能力.

解:由题意知, O是AC的中点.

分析:本题考查平面向量的线性运算, 考查平面向量的基本定理, 考查数形结合解决数学问题的能力.

解:建立平面直角坐标系如图3, 则点A, B, C的坐标分为 (-1, 1) , B (5, 3) , C (4, 0) .

∵c=λa+μb,

∴ (-1, -3) =λ (-1, 1) +μ (6, 2) = (-λ+6μ, λ+2μ) ,

说明:以上几例对平面向量的考查, 考的是基础, 考的是对概念和基本定理的理解, 对基本方法和运算的掌握.只要在复习中夯实基础, 熟练运算, 就能稳操胜券.

二、考重点, 重点考查平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积是平面向量的一个重点, 通过向量的数量积运算, 可以解决有关垂直、夹角、长度等诸多问题.

分析:本题考查平面的投影的概念, 从而深刻理解平面向量数量积的几何意义, 考查平面向量的坐标运算.

∴选A.

例6 (2013年湖南卷) 已知a, b为单位向量, 且a·b=0, 若向量c满足|c-a-b|=1, 则|c|的取值范围是 () .

分析:本题考查单位向量、向量模的概念、向量垂直的条件, 构建适当的坐标系用坐标表示向量, 通过向量的坐标运算, 化|c-a-b|=1为圆的方程, 将|c|转化为圆上的点到原点距离的取值范围.

把a, b, c的坐标代入|c-a-b|=1, 得

(x-1) 2+ (y-1) 2=1.

∴由圆形的几何性质, 得

∴选A.

例7 (2013年安徽卷) 若非零向量a, b满足|a|=3|b|=|a+2b|, 则a与b夹角的余弦值为_____.

分析:本题考查平面向量数量积的运算, 考查两向量夹角的求法等基础知识和基本运算.

(A) ∠ABC=90° (B) ∠BAC=90°

(C) AB=AC (D) AC=BC

分析:本题考查向量的模、数量积的概念、向量运算及向量运算的几何意义, 考查向量的工具性作用, 利用向量来解决平面几何的问题.由于从图形的角度解决问题的思路不明确, 那就要构建适当的坐标系, 以形解数, 数形结合来解决问题.

(2-x, 0) (a-x, b) ≥ (1, 0) (a-1, b) ,

即 (2-x) (a-x) ≥a-1恒成立.

∴x2- (2+a) x+a+1≥0恒成立.

∴Δ= (2+a) 2-4 (a+1) ≤0,

即a2≤0恒成立,

∴a=0, 即点C在线段AB的中垂线上.

∴AC=BC.∴选D.

说明:以上几例, 重点考查了平面向量的数量积的概念、性质和运算方法.平面向量的数量积根据不同的条件, 可以分别用坐标法和基底法来求解.这里要特别强调数形结合与转化化归的数学思想方法的运用, 对于一些几何或代数问题, 可以数形结合以数示形或以形解数把题目的条件结论, 分别用向量或坐标来表示, 通过向量的数量积运算, 使问题得到解决.

三、考应用, 考查平面向量的工具性作用

平面向量兼具代数和几何的双重特征, 是解决代数、三角和几何问题的有力工具, 高考中必然要考查平面向量的工具性作用.

分析:本题考查向量的概念、运算, 函数的最值等知识.函数的最值是高考中的高频考点.题中的函数是通过向量的运算, 去掉向量的外衣, 得到函数f (x, y) , 因此本题重在考查转化与化归、函数与方程等数学思想, 以及灵活运用知识分析问题、解决问题的能力.

分析:本题考查平面向量的运算、线性规划等知识.本题的终极目标是点集P所表示的区域面积, 从图形着手, 无法确定区域的范围.因此, 要数形结合, 以数助形, 建立适当的坐标, 把向量用坐标表示, 然后通过向量的坐标运算, 建立点集P的不等式组, 利用线性规划的知识, 求出区域的面积.

∵A, B为两定点,

例11 (2013年江苏卷) 已知向量a= (cosα, sinα) , b= (cosβ, sinβ) , O<β<α<π.

(Ⅱ) 设c= (0, 1) , 若a+b=c, 求α, β的值.

分析:本题考查平面向量的加法、减法、数量积的运算, 三角函数基本关系式等基础知识, 考查考生的运算、求解和推理论证能力, 本题也是简单的平面向量和三角函数的交汇题目.

(Ⅰ) 若|a|=|b|, 求x的值;

(Ⅱ) 设函数f (x) =a·b, 求f (x) 的最大值.

分析:这是平面向量与三角函数的交汇题目, 考查平面向量与三角函数的综合应用.向量只是一个工具, 用来描述题中的条件和结论, 通过向量的运算, 构造三角恒等式和三角函数式, 最后利用三角函数的性质解决问题.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

分析:本题是解析几何与向量的交汇题, 重点考查直线与圆锥曲线的位置关系, 这种关系用向量加以包装, 通过向量的运算, 释放出来, 从而得到k的方程, 解之即可.本题的考查要求较高, 除了考查椭圆的标准方程、几何性质、直线的方程和向量的运算等基础知识、考查用代数方法研究圆锥曲线的性质、考查考生的运算求解能力和用方程思想解决问题的能力.

(Ⅱ) 设过点F (-1, 0) 斜率为k的直线方程为y=k (x+1) , 它与椭圆的交点为C (x1, y1) , D (x2, y2) .

(2+3k2) x2+6k2 x+3k2-6=0.

由一元二次方程的根与系数的关系知,

考应用, 必将对新一届考生的复习备考产生有益的启迪.为此, 对于下一届考生对平面向量的复习提几点建议.

1.狠抓基础, 全面复习

高考命题的一个良好传统是重基础, 出活题, 不拔高, 全面考查基础知识、基本技能、基本方法.因此, 我们的复习要狠抓基础, 全面复习, 弄通弄懂平面向量的概念、性质, 平面向量的线性运算的方法、运算的技能及运算律, 掌握两向量共线的充要条件和平面向量的基本定理.掌握向量运算的两种方法, 基底法和坐标法, 熟练进行向量的各种运算, 解决向量中的各种问题.但脱离课本, 任意拔高, 加重负担, 于高考无益.

2.抓热点, 攻重点, 突出对重点知识的复习

平面向量的数量积是高考命题的热点, 向量对其他知识板块的渗透、融合, 向量与其他知识板块的整合、交汇大都通过平面向量的数量积来实现的, 因此要牢固掌握数量积的概念、性质、运算方法、运算律, 熟练进行数量积运算, 以期解决数量积中的化简、证明;解决平行、垂直、夹角等问题, 做好平面向量的综合应用.

3.用数学思想、数学方法指导解题是关键

平面向量解题的关键是要以数学思想、数学方法为指导, 向量兼具几何与代数的双重特征, 向量解题的工具性作用在于数形结合沟通形与数之间的关系, 题中的“数”太抽象, 那就构造向量图形, 用图形的直观性解决代数的抽象;题中的向量图形太复杂, 找不到解题的思路, 就构建适当的坐标系, 以坐标表示向量, 通过向量代数运算解决几何问题.所以数形结合、转化化归、函数与方程等数学思想, 是向量解题的指导思想, 以此为指导, 认真解题, 同时注重能力培养, 尤其是运算能力和推理论证能力的培养, 使我们的复习迎考立于不败之地, 取得优异的成绩.

平面向量小结与复习 篇3

教学目标：

（1） 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

（2） 掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.

（3） 掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.

（4） 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

（5） 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

（6） 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式.

教学重点：

通过题组训练，使学生对向量的相关概念和公式作进一步理解.

教学难点：

准确灵活地利用向量的概念和公式解题.

师：有吗？

注：此时的我已胸有成竹了，因为我想起了2000年北京春季高考试题．

生5：我肯定结论不成立．因为我记得一个结论：当抛物线方程是y2=2px时，满足条件的直线过定点（2p,0)，这时候，|OP|怎么可能是定值呢？

这一解释得到了同学的认可．

师：实践出真知，如果还有同学有疑惑，不妨课后你去推导一下，这里我突然想到了这样一个高考题，当我们今天研究到这种程度，这一题我想我们不少同学已能够到口答的水平了．

平面向量小结与复习 篇4

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；

|AB|

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A、B、C共线AB、AC共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数

1、2，使a=1e1＋2e2。如（1）若a(1,1),b

13；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A.ab）2

213；（3）e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)C.e1(3,5),e2(6,10)D.e1(2,3),e2(,)（答：B）2

424已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____ab）；33(1,1),c(1,2)，则c______（答：

（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是___（答：0）

4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作OAa,OBb，AOB

0称为向量，的夹角，当＝0时，同向，当＝时，反向，当＝2时，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：，即＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________（答：－

9）；（2）已知a(1,),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为12124，则

k等于____（答：1）；（3）已知a2,b5,ab3，则ab等于____；（4）已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____（答：30）

（3）b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：







12）

5（4）的几何意义：数量积等于的模|a|与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则： ①abab0；

②当，同向时，

＝ab，特别地，aaaa,a；当与反向时，＝－ab；当为锐角时，＞0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角的计算公式：cos





22abab

；④|ab||a||b|。如（1）已知a(,2)，b(3,2)，

如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：



41或0且）；（2）已知OFQ的面积为S，3

3

13

且OFFQ1，若S，则OF,FQ夹角的取值范围是_________（答：(,)）；（3）已知

432

2a(cosx,sixnb),与b之间有关系式kabkb,其中k0，①用k表示ab；②求ab的最(cyos,ysain

1k21

(k0)；②最小值为，60）小值，并求此时a与b的夹角的大小（答：①ab4k26、向量的运算：（1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加

法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____

；③(ABCD)(ACBD)_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的边长为1，；（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____（答：）

ABCOBOCOBOC2OA，则ABC的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D为ABC的边BC的中点，|AP|

；（5）若点O是△ABC的外，则的值为___（答：2）

|PD|

心，且OAOBCO0，则△ABC的内角C为____（答：120）；

（2）坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

所在平面内有一点P，满足PABPCP0，设

①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。如（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若

1；（2）已知APABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）21

；（3）已知作用在点A(1,1)A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)，x,y(,)，则xy或）22226的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是（答：（9,1））

②实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5)，且AC

AB，AD3AB，则C、D的坐标分别是__________（答：

3(1,1

1；),(7,9)）

④平面向量数量积：abx1x2y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）

311,]，求向量、的夹角；（2）若x∈[函数f(x)的最大值为，求的值（答：(1)150;(2)842

2或1）；

若x＝

⑤向量的模

：|a|_____；

⑥两点间的距离：若Ax

1,y1,Bx2y,a|a|2x2y2。如已知

a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|＝

，则|AB|如如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OPxe1ye2，其中

（1）若点P的斜坐标为（2，e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2y2xy10）；



baab律：abca,bcac，bcabab；（3）分配律：

aaa,abab，abcacbc。如下列命题中：① a(bc)abac；②

7、向量的运算律：（1）交换律：abba，aa，abba；(2)结合











a(bc)(ab)c；③(ab)|a|

2













2|a||b||b|；④ 若ab0，则a0或b0；⑤若abcb,则ac；⑥aa；⑦

aba



ba；

⑧(ab)2ab；⑨(ab)2a2abb。其中正确的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()，为什么？

8、向量平行(共线)的充要条件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。如(1)若向量

ua2b，v2ab，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知a(1,1),b(4,x)，a(x,1),b(4,x)，且u//v，则x＝______（答：4）；（3）设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）

9、向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab|

x1x2y1y20.特别地

（ABAB



ACAC)（ABAB



AC

3；（2）)。如(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m）2AC

以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知n(a,b),向量nm，且nm，则m的坐标是________（答：(b,a)或(b,a)）

10.线段的定比分点：

（1）定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使PPPP2，则

1叫做点P分有向线段PP的定比分点； 12所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为

（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时>0；当P点在线段 P1P2的延长线上，则点P分有时<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时1

0；若点P分有向线段PP12所成的比为

向线段P2P1所成的比为



。如若点P分AB所成的比为

37，则A分BP所成的比为_______（答：）

43x

，（3）线段的定比分点公式：设P则x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP1(12所成的比为

y

x1x

21，y1y21

x1x2x2特别地，当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，yy1y22(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分

1

点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MPMN，则点P的坐标为

1_______（答：(6,)）；（2）已知A(a,0),B(3,2a)，直线yax与线段AB交于M，且AM2MB，则a等于

32_______（答：２或－４）

xxh

11.平移公式：如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y)，则；曲线f(x,y)0按向量ah,k

kyy

平移得曲线f(xh,yk)0.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不

变性，可别忘了啊！如（1）按向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______（答：（－８，(３））；（2）函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________（答：

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、b同向或有0|ab||a||b|



,1)）

；当a、b反向或有0|ab||a b不共线||a||b|||ab|；当a、|b||a||b||a||b).|a||b||a||ba||(这些和实数比较类似b

xx2x3y1y2y3

（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为G1,。如

33若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：(

4,)）； 3

3②PG(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为ABC的重心；

③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

④向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

|AB||AC|

⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；

，点M为平面内的任一点，则MPMP1MP2，特别地P为PP（3）若P分有向线段PP12的中12所成的比为

1

1MP2； 点MPMP

2（4）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC



1OA2OB,其中1,2R且



平面向量小结与复习 篇5

第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

课题：空间向量及其运算

一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：

1．a,b向量共线的充要条件： ；

2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：

1．如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABaADb，AA1c，则下列向量中与BM，相A1DD1MB1C1等的向量是（）

CB11(A)abc2211(C)abc2211(B)abc22

A(D)12a12bc

2．有以下命题：

①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；

②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

3．下列命题正确的是（）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面；

(D)若a//b，则存在唯一的实数(C)零向量没有确定的方向；使得ab；

4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

(A)OMOAOBOC(C)OMOA12OB(B)OM13OC2OAOBOC13OA13

13OC(D)OMOB

四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥PPGBCABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点，求证：

P

M

A G N B

C

例2．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

1OM(OAOBOCOD)4

E A

例3．在平行六面体ABCDB H M O D

F G C

A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1C1

D1 2）直线BD1与AC所成角长为b，且 AA1B1AA1D1120，求（1）AC1的长；（的余弦值。

A1 B1 D

C

B

A

五．课后作业：

1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OPxOAyOBzOC是点P,A,B,C共面的（）

充分不必要条件(B)必要不充分条件(A)

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

2．棱长为a的正四面体中，ABBCACBD3．向量a,b,c。

两两夹角都是60，|a|1,|b|2,|c|3，则|abc|4．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x ； AEAAxAByAD（2）1（3）AFADxAByAA1，则x ；y ；，则x ；y ；

5．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：

（1）ABC1B1CD1 ； （2）ABADAA1。

6．设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对

角线BC1上的点，且BN3NC1，设MNaABbADcAA1，试求a,b,c的值。

7．空间四边形OABC中，求OA与BCOA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60，夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分别为平行六面体棱的中点，求证：（1）LEFGHK0

平面向量小结与复习 篇6

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝

A．

2C．4B．(0,4)D．(1,4)()．

解析 a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.答案 C

→→

2．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则AC在AB方向上的投影为

1A.4C．112D．2

→→→1解析 如图所示，AC在AB方向上的投影为|AC|cos 60°＝2

1.2()．

答案 C

3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a＝3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)．若a＋2b与c

垂直，则k＝

A．－

3C．－1B．－2D．1()．

解析 由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.答案 A

4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为()．

12πA.3πC.3

πB.65π6

解析 由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.1∴2|b|2·cos＋|b|2＝0，∴cos＝－，22π

又∈[0，π]，∴＝3答案 A

→→

5．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为

A.5B．25C．5D．10 →→

解析 ∵AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，→→∴AC⊥BD，→→|AC|·|BD|20

∴S四边形＝5.22答案 C

二、填空题

6．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析 b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2 ＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2 tt

＝1－t＝1－2

2t由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.2答案 2

→→→→

7．(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0,2)．若OC·AB＝→→

0，AC＝λOB，则实数λ的值为________．

→→→→→→

解析 设C(x，y)，则OC＝(x，y)，又AB＝OB－OA＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以OC·AB→x－3＝0，＝－3x＋3y＝0，解得x＝y.又AC＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得结合x＝y，解

y＋1＝2λ，

()．

得λ＝2.答案 2

→→

8.(2014·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，＝60°，→

则|OA|＝________.→→→→→→→11

3解析 因为＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，又AO＝

22211322→→，所以AO2＝1(AB＋AC)2＝1AB2＋2AB·AC＋AC)，即AO＝(1＋3＋9)＝，AB＋AC4444→13所以|OA|＝2答案

三、解答题

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．

(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝－2＋0＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝综上，可知|a－b|＝2或25.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；

3→

→

→

→

→→

→

→

→→

(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积． 解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，－6a·b1∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝.|a||b|4×322π

又0≤θ≤π，∴θ3

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.→→2π2ππ(3)∵AB与BC的夹角θ＝ABC＝π－333→→

又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，1→→13

∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC4×3×＝3.22

2能力提升题组(建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2013·青岛一模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为 π

A.62πC.3πB.35π6

()．

解析 由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为 a＋b·a|a|21πcos θ＝＝所以θ＝3|a＋b||a|2|a||a|2答案 B

→→→→2

22．(2014·昆明调研)在△ABC中，设AC－AB＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()． A．垂心

B．内心

C．外心D．重心

→→→→→→→→→→22

解析 假设BC的中点是O.则AC－AB＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即→→→→→→→(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.答案 C

二、填空题

π3．(2013·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，6|x|

则________． |b|

π3x22222

2解析 因为e1·e2＝cos ＝，所以b＝x＋y＋2xye1·e2＝x＋y＋3xy.所以＝

62bx2

＝

x2＋y23xy

y11

3，设t＝，则1＋t2＋3t＝t＋2＋≥，所以0＜

x244y23y

1＋xx

1x2|x|

4的最大值为4，所以的最大值为2.2b|b|1＋t3t答案 2

三、解答题

4．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解 由已知得e2e2＝2×1×cos 60°＝1.1＝4，e2＝1，e1·22∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te2e2＋7te21＋(2t＋7)e1·2＝2t＋15t＋7.1欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t.2设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，2t＝λ，∴∴2t2＝7.7＝tλ，

∴t＝－即t＝－

λ＝－14.2

2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.2

∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是

平面向量小结与复习 篇7

一、把握基本知识，掌握基本方法

平面向量的基本知识主要包括平面向量的基本概念、重要定理、基本性质和运算法则等，概括如下：

1.平面向量中的五个基本概念

（1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

（2）长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a方向上的单位向量为a|a|.

（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量）.

（4）如果直线l的斜率为k，则a=（1，k）是直线l的一个方向向量.

（5）向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影.

2.平面向量的两个重要定理

（1）向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b=λa.

（2）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一组基底.

3.平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则：

（1）a∥ba=λbx1y2-x2y1=0.

（2）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.

4.平面向量的三个性质

（1）若a=（x，y），则|a|=a·a=x2+y2.

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则

|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

（3）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ为a与b的夹角，则cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.

牢固掌握基础知识是数学解题的前提，而要把知识转化为能力，复习时必须要善于动脑，勤于练习，并注重总结与归纳，例如平面向量数量积，历来是平面向量高考命题的主要考点.由于平面向量数量积的运算具有一定的技巧，在历年高考中往往得分率不高.如何“突破”这个考点？同学们一定要注意方法的积累，熟练掌握以下三种方法：

1.定义法是求平面向量数量积最基本的方法

例1（1）（2014·全国卷）已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a-b）·b=（）

A. -1B. 0C. 1D. 2

（2）（2014·重庆卷）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），|b|=10，则a·b=.

答案：（1）B； （2）10.

解析：（1）因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，

所以（2a-b）·b=2a·b-b2=2|a||b|cos60°-|b|2=0.

（2）∵|a|=（-2）2+（-6）2=210，

∴a·b=|a||b|cos60°=210×10×12=10.

评注：当两个向量的模与夹角都已经给出或容易求出时，定义法是求平面向量数量积最好的方法.此类问题在高考中属于容易题.

2.基底法是求平面向量数量积最重要的方法

例2（2014·江苏卷）如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，则AB·AD的值是.

答案：22.

解析：考虑将条件中涉及的AP，BP向量用基底AB，AD表示，然后实施计算.

因为在平行四边形ABCD中，CP=3PD，

所以AP=AD+DP=AD+14AB，BP=BC+CP=AD-34AB.

则AP·BP=2=（AD+14AB）·（AD-34AB）=AD2-12AD·AB-316AB2.

又AB=8，AD=5，AP·BP=2，则2=25-316×64-12AB·AD，故AB·AD=22.

评注：确定一组基底，将所求数量积的两个向量分别用这组基底线性表示，进而将所求数量积的两个向量数量积问题转化为基底的数量积问题，这就是所谓的基底法，体现了数学解题的转化思想.

3.解析法是求平面向量数量积最有效的方法

例3（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，则λ的值为.

答案：2.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.设E（x1，y1），F（x2，y2），

由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1+3），

可得E（13，-233）；

由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.

∵AE·AF=（43，-233）·（1λ+1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.

评注：解析法又叫坐标法，即恰当建立直角坐标系，将平面向量坐标化，可使向量数量积运算程序化，从而减少思维量.本文中的例2也可用解析法来解，简解如下：endprint

不妨以A点为坐标原点，AB所在直线作为x轴建立平面直角坐标系，可设A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），则AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，则4a=11，故所求AB·AD=8a=22.

二、关注知识交汇，提高综合能力

平面向量的“交汇性”主要体现在平面几何、三角函数和平面解析几何中，在平面几何问题中，主要是将向量的位置关系转化为平面几何中的边与边的位置关系；在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

1.平面向量与平面几何的交汇

例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，则△ABC的形状是.

答案：直角三角形.

解析：根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系.

由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，

∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，

故△ABC一定是直角三角形.

评注：对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论.特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明.

2.平面向量与三角函数的交汇

例5（2014·山东）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，当A=π6时，△ABC的面积为.

答案：16.

解析：因为AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面积S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.

评注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.

3.平面向量与解析几何的交汇

例6已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=22，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足MF·FB=2-1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解析：（1）根据题意得，F（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

∴MF=（c，-b），FB=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.

又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，

∴c2=1，a2=2，b2=1，

∴椭圆C的方程为x22+y2=1.

（2）假设存在满足条件的直线l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.

设直线l的方程为y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，

则有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.

又F为△MPQ的垂心，连结PF，则PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，

又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），

∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，

∴m=-43或m=1（舍去），

经检验m=-43符合条件，

∴存在满足条件的直线l，其方程为3x-3y-4=0.

评注：由于平面向量的坐标运算与解析几何“一脉相承”，向量法成了破解解析几何问题的重要方法之一.本例既体现了平面向量与解析几何的“交汇性”，又体现了平面向量的“工具性”.

（作者：顾永建，江苏省石庄高级中学）endprint

不妨以A点为坐标原点，AB所在直线作为x轴建立平面直角坐标系，可设A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），则AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，则4a=11，故所求AB·AD=8a=22.

二、关注知识交汇，提高综合能力

平面向量的“交汇性”主要体现在平面几何、三角函数和平面解析几何中，在平面几何问题中，主要是将向量的位置关系转化为平面几何中的边与边的位置关系；在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

1.平面向量与平面几何的交汇

例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，则△ABC的形状是.

答案：直角三角形.

解析：根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系.

由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，

∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，

故△ABC一定是直角三角形.

评注：对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论.特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明.

2.平面向量与三角函数的交汇

例5（2014·山东）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，当A=π6时，△ABC的面积为.

答案：16.

解析：因为AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面积S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.

评注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.

3.平面向量与解析几何的交汇

例6已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=22，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足MF·FB=2-1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解析：（1）根据题意得，F（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

∴MF=（c，-b），FB=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.

又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，

∴c2=1，a2=2，b2=1，

∴椭圆C的方程为x22+y2=1.

（2）假设存在满足条件的直线l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.

设直线l的方程为y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，

则有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.

又F为△MPQ的垂心，连结PF，则PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，

又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），

∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，

∴m=-43或m=1（舍去），

经检验m=-43符合条件，

∴存在满足条件的直线l，其方程为3x-3y-4=0.

评注：由于平面向量的坐标运算与解析几何“一脉相承”，向量法成了破解解析几何问题的重要方法之一.本例既体现了平面向量与解析几何的“交汇性”，又体现了平面向量的“工具性”.

（作者：顾永建，江苏省石庄高级中学）endprint

不妨以A点为坐标原点，AB所在直线作为x轴建立平面直角坐标系，可设A（0，0），B（8，0），D（a，t），P（a+2，t），C（a+8，t），则AP=（a+2，t），BP=（a-6，t）.由AP·BP=2，得a2+t2-4a=14，由AD=5，得a2+t2=25，则4a=11，故所求AB·AD=8a=22.

二、关注知识交汇，提高综合能力

平面向量的“交汇性”主要体现在平面几何、三角函数和平面解析几何中，在平面几何问题中，主要是将向量的位置关系转化为平面几何中的边与边的位置关系；在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

1.平面向量与平面几何的交汇

例4在△ABC中，（BC+BA）·AC=|AC|2，则△ABC的形状是.

答案：直角三角形.

解析：根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系.

由（BC+BA）·AC=|AC|2，得（BC+BA-AC）·AC=0，

∴（BC+BA+CA）·AC=02BA·AC=0，故BA⊥AC，∠A=90°，

故△ABC一定是直角三角形.

评注：对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论.特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明.

2.平面向量与三角函数的交汇

例5（2014·山东）在△ABC中，已知AB·AC=tanA，当A=π6时，△ABC的面积为.

答案：16.

解析：因为AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA，且A=π6，所以|AB|·|AC|=23，所以△ABC的面积S=12|AB|·|AC|sinA=12×23×sinπ6=16.

评注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.

3.平面向量与解析几何的交汇

例6已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=22，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足MF·FB=2-1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解析：（1）根据题意得，F（c，0）（c>0），A（-a，0），B（a，0），M（0，b），

∴MF=（c，-b），FB=（a-c，0），∴MF·FB=ac-c2=2-1.

又e=ca=22，∴a=2c，∴2c2-c2=2-1，

∴c2=1，a2=2，b2=1，

∴椭圆C的方程为x22+y2=1.

（2）假设存在满足条件的直线l.∵kMF=-1，且MF⊥l，∴kl=1.

设直线l的方程为y=x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由y=x+m，x22+y2=1消去y得3x2+4mx+2m2-2=0，

则有Δ=16m2-12（2m2-2）>0，即m2<3，又x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=2m2-23-4m23+m2=m2-23.

又F为△MPQ的垂心，连结PF，则PF⊥MQ，∴PF·MQ=0，

又PF=（1-x1，-y1），MQ=（x2，y2-1），

∴PF·MQ=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2=-43m+m-2m2-23-m2-23=-m2-m3+43=-13（3m2+m-4）=-13（3m+4）（m-1）=0，

∴m=-43或m=1（舍去），

经检验m=-43符合条件，

∴存在满足条件的直线l，其方程为3x-3y-4=0.

评注：由于平面向量的坐标运算与解析几何“一脉相承”，向量法成了破解解析几何问题的重要方法之一.本例既体现了平面向量与解析几何的“交汇性”，又体现了平面向量的“工具性”.