等差等比数列证明

等差等比数列证明（精选8篇）

等差等比数列证明 篇1

1.已知数列{a}中，anan15且2an12n1（n2且nN*）.an1（Ⅰ）证明：数列2n为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n

项和S.n

2.已知数列{a}中，an12且an1an2n30（n2且nN*）.证明：数列an2n为等差数列；

3.已知数列{a}中，an14且2an1an2n50（n2且nN*）.证明：数列an2n1为等比数列；

4．数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

5.已知各项均为正数的数列an前n项和为

1a且n是和S2Sn，首项为a1，n的等差中项.求数列a的通项公式； n

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； 7.设数列an的各项都是正数，且对任意

nN*，都有

aaaaS

为数列的前n项和.3132333n2n，其中S

n

（I）求证：

a2Snan;

n

（II）求数列an的通项公式；

8.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）.证明数列{n－2}

是等差数列

(3)设cn＝

9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列．

10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a{cn}是等比数列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求证：数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

(2)求数列{的前n项和Tn，an·an+1

11.设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1，an＋2SnSn1＝0(n2)． 问：数列{1是否为等差数列？并证明你的结论；

Sn

2log2bn

n

2，求数列{cn}的前n项和Tn.bn

13.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

an·bn。求数列{an}，{bn}的通项公式；

1bn

(n∈N*),Cn=

14.已知数列{an}与{bn}满足

n1

3＋－1

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

15.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其

中Tn是数列{bn}的前n项和．

等差等比数列证明 篇2

1. 本课是在学习了类比推理这一内容后的探究课, 学生在高一已经学习过等差数列与等比数列, 但是肯定会遗忘较多的内容。教师首先安排复习等差数列的定义及简单的性质, 使学生利用类比的方法来复习等比数列, 在这个过程中体会“差与比, 加与乘, 乘与乘方, 除与开方”的类比, 从而为后面的学习打下了基础。

2. 类比推理的方法对学生来说是比较难的, 很多学生不知道从何处去类比, 数列是一个比较好的题材, 通过有关问题的解决, 既加深了对等差数列与等比数列的认识, 又让学生对类比的方法、实质有所体验, 还可让学生体验“大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。

二、案例内容

1. 设置情境。

展示图片 (李四光的照片) , 回顾李四光发现大庆油田的过程:

中亚西亚与松辽平原有着极其相似的地质结构, 因为中亚西亚有大量的石油, 于是他推测松辽平原也有大量的石油。后来经过勘探, 发现了大庆油田。

提问:李四光这种思维方式蕴含了哪种推理方法?

学生:类比推理。

通过上述的情境设置, 很自然地引入本节课的课题, 又可以帮助学生更好地理解类比推理的概念。根据奥苏伯尔的有意义学习理论, 学生在概念学习时, 原有认知结构中是否有用来同化新知识的适当观念是决定数学概念能否顺利掌握的关键因素。如果学生头脑中没有适当的知识作为理解新概念的固定点, 那么原有认知结构的扩充和新概念结构的建立就不可能发生。经过情境设置展现了原有知识结构, 使学生对概念的认识更加深刻。

2. 复习回顾等差数列与等比数列 (设置如下表格)

在上述问题中, 可以先一起复习等差数列, 让学生利用类比的思想自行得出等比的相关概念。通过这一回顾, 使学生体会到等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。

3. 运用类比推理进行探究。

在认识了运用类比推理进行探究的方法之后, 教师设置了如下若干性质探究的问题供学生思考。

[问题1]在等差数列{an}中, 若a10=0, 则有a1+a2+…+a7=a1+a2+…+a12, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, 若b10=0, 则有__________。

问题1让学生来类比等比数列中相应的性质, 并加以证明。一方面从形式上可以帮助学生进一步体会等差与等比性质中“和与积”的类比, 另一方面, 从证明方法上也进行类比证明。这样的问题, 在学生理解性质后, 初步体验了发现问题并解决问题的“类比”方法。

接着, 进行如下变式练习:

等差数列{an}中, 若a10=0, 则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, 若b9=1, 则有__________。

启发引导学生如何通过类比得到正确结论, 使学生经历运用类比思想方法研究数列问题的过程。

[问题2]已知等差数列{an}的前n项和为, 用类比的方法, 写出等比数列{bn}的前n项积的表达式Tn=________。

[问题3]等差数列有如下性质:若数列{a n}为等差数列, 则当时, 数列{bn}也是等差数列;类比上述性质, 相应地, 若数列{cn}是正项等比数列, 当dn=_______时, 数列{dn}也是等比数列。

通过上述两个问题, 让学生进一步体会“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”的变换。

[问题4]若{a n}为等差数列, 则{an+1+a n}也成等差数列。由此经过类比, 若{b n}为等比数列你能得到什么结论?

在教学过程中发现, 有近85%的学生最初得到了{bn+1·bn}也为等比数列, 并能给予“证明”。看来学生对于“和”与“积”的类比已经掌握的比较好了, 但是个别学生得出{bn+1+bn}为等比数列。这时教室出现了两种不同的声音, 下面是一段课堂实录:

生1:我判断并证明了等比数列的和“{bn+1+bn}”仍然是等比数列, 且公比为数列{bn}的公比。

(师环视四周, 似乎每个人都投以赞同的目光, 并且频繁点头表示同意。)

生2:我有点不同意 (全班只有他一人有不同意见) , 我觉得, 对数列-1, 1, -1, 1, …这个数列来说, 其和不是等比数列。

(此时全班恍然。)

师:我们来看一下生1的证明过程 (投影仪) :

∴{an+1+an}是等比数列。你们看证明过程严密吗?

生3:当q=-1时, 他的第二步不成立。 (此时同学们又都给予肯定。)

师:答得好。本来我们不知道这一反例, 但在证明过程中发现了问题的存在, 由此找到了反例, 说明同学们在发现问题时, 能够进行大胆猜想、小心论证的严密的科学态度。

师:学到这里, 你有什么样的感受呢?

生4:在等差数列和等比数列的类比中, 我发现除了形式上存在着类比之外, 正确的要加以证明, 错误的可以举出反例。

生5:我感到就算是类比的结论在形式上未必一致, 但证明方法有相似之处。

这番交流的过程中, 学生的思维几经“冲浪”辗转, 他们的好奇心和探索热情已被唤起, 严谨的数学发现历程正在探索中内化着。

[问题5]若Sn是等差数列{an}的前n项和, 则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论?为什么?

由于上一个题的反例的启发, 学生可以找到反例从而得出Sk, S2k-Sk, S3k-S2k不成等比数列的结论, 也有同学得出成等比数列的结论, 这是受通项之间的类比的影响导致的。经过讨论, 对结论进行论证, 反驳, 同学们进一步指出“成等比数列”的说法虽然不对, 但在“类比——发现”的探究过程中也有不少新的收获, 教师顺势提出开放性的问题:如何改动使得结论能够成立 (用St构造一个等比数列) ?这个过程, 将“类比——发现——自悟”方式的核心——学生在思维上经过反复的类比、验证, 自我领悟并掌握类比的思想方法, 体现在了教学过程中。

三、案例反思

为将“类比——发现——自悟”的方式更加清晰地在教学中体现, 教师的教学设计应向更加注重思维方式转变。设计的数学问题关注一题多变、多题环环相扣的连锁关系, 同时体现思维“严密性”, 并且搭建脚手架, 帮助学生努力实现“发现——自悟”的过程。

在实施教学的过程中, 努力让学生体验:从形式上得到类比的特征, 从本质上体验思维的过程, 了解类比不仅是形式上的“相似”, 而是从相似中得到猜想, 再由论证使之成为正确的类比。这样的教学方式, 有利于激发学生的思维, 使学生在辩证思维中掌握类比的思想方法。

等差等比数列证明 篇3

1.复习回顾（意在进一步掌握等差数列的相关知识，为学习等比数列做铺垫）

教师：在等差数列的学习中，我们学习了哪些内容？哪些方法？请填在下表第二列，

2.新课引入（意在引导学生类比联想，通过探讨发现特殊数列除了等差数列外，还应有等和数列、等积数列、等比数列）

教师：等差数列是指后项与前一项的差的运算，能否将差的运算替换为其它运算呢？请同学们思考，这样的数列是否存在，若存在，请举出具体的例子，5分钟后，

学生l：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等和数列，这个常数称为公和，这种数列很简单，比如首项为l，公和为3的等和数列为：1，4，1，4，1，4，......它的通项公式及前n项和公式都比较简单，

学生2：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的积都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等积数列，这个常数称为公积，这种数列也很简单，比如首项为l，公积为3的等积数列为：1，3，1，3，1，3，…，它的通项公式及前n和公式也都比较简单，

学生3：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的商（或比）都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等商（比）数列，这个常数称为公商（比），这种数列有点类似等差数列，但又不同，比如由定义，在等比数列中任意一项都不为0且公比也不为0，

笔者肯定了学生的想法，并指出：由于等和数列和等积数列比较简单，我们很容易利用定义根据它的首项、公和（或公积）给出它的通项公式和前”项和公式，因此教材中没有涉及，但在一些考卷中出现过，主要考查考生们的阅读理解能力和数学能力，从刚才同学们的回答我们已经解决了这两类数列的基本问题，而等比数列和等差数列很类似，但又有区别，下面我们类比等差数列的研究方法来学习研究等比数列，

3.新课探究（意在放手学生，让他们大胆猜想、探索）

教师：请同学们独立思考，类比第2列填写上表的第3列，要求先填写自己能独立解决的问题，然后以小组为单位，交流、思考、补充，

临近下课时，经过学生的共同努力，完成了除前”项和公式外的所有内容（见表格），教师表扬了同学们，并要求学生课后试着推导等比数列前”项和公式（要求如果直接讨论有难度的话，可以先讨论：

这3个练习的目的是：（1）判断是否为等比数列；（2）如果是等比数列，公比是否为l；（3）满足等比数列求和公式时，一定要注意求多少项的和；（4）独立思考：一个数列有等比数列的背景时，求和是否可考虑错位相减法；（5）理解错位相减法：步骤：列式、错位、相减，“错位”的目的是对其同类项，是为了后面计算不错，

4.课后反思

等差、等比数列证明的几种情况 篇4

在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d，则这个数列叫等差数列，常数d称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q，则这个数列叫等比数列，常数q称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。

1、简单的证明

例 ：已知数列前n项和snn22n，求通项公式an，并说明这个

数列是否为等差数列。

解：n1时，a1s1123；

n2时，ansnsn1n22nn122n1

2n

1因为n1时，a1211

3所以an2n1

因为n2时，anan12为常数，所以an为等差数列。

2、数列的通项经过适当的变形后的证明

例： 设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn14an2,nN*。

（1）设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；

（2）设cnan，求证：数列cn是等差数列； 2n

证明：（1）n2时

an1Sn1Sn4an4an1，an12an2an2an1，bn2bn

1又b1a22a1S23a1a12

3bn是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）bn32n1,an12an32n1,cn1cnan1an113n1a2a32, n1n42n12n2n12n1

又c1a11，2

213cn是首项为，公差为的等差数列。243、证明一个数列的部分是等差（等比）数列

例3：设数列an的前n项的和Snn22n4,nN，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；

⑵证明：数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。

S1(n1)解：⑴由sn与an的关系an得到 SS(n2)n1n

a1S1122147

a2S2S1222247

5a3S3S232234757

⑵当n2时，anSnSn1n22n4n12n142n1 2

an1an2n112n12,对于任意n2都成立，从而数列a2,a3,a4是等差数列。

注：由于a2a12，故an1an2不对任意nN成立，因此，数列an不是等差数列。

4、跟椐定义需要另外加以补充的等差（等比）数列的证明。例4：设数列an的首项a11，前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t，求证an为等比数列。

（错证）由题意：3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10

所以：an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t

由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。

正确的证明如下：n3时：

3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10 所以：an2t3 an13t

（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要

对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为n2时：

3ts22t3s13t

即3ta1a22t3a13t

又因为a11，所以3t3ta2(2t3)3t

所以a2

所以2t3 3ta22t3 a13t

an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t所以对任意n2都有

总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是anan1aan还是an1an2;n1

an2an1

等差数列、等比数列综合习题 篇5

一．选择题

1.已知an1an30，则数列an是（）

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

1，那么它的前5项的和S5的值是（）231333537A．

B．

C．

D．

22223.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=（）2.等比数列{an}中，首项a18，公比q A.8

B.7

C.6

D.5 ,则2a9a10（）4.等差数列{an}中，a13a8a15120 A．24

B．22

C．20

D．-8 215.已知数列an中，a11,an2an13，求此数列的通项公式.16.设等差数列

an的前n项和公式是sn5n23n,求它的前3项，并求它的通项公式.5.数列an的通项公式为an3n28n，则数列an各项中最小项是（）

A.第4项

B.第5项

C.第6项

D.第7项

2ab等于（）

2cd11

1A．1

B．

C．

D．

824a20（）7.在等比数列an中,a7a116,a4a145,则a1023232

3A.B.C.或

D.或 

3232328.已知等比数列an中,an>0,a2a42a3a5a4a625,那么a3a5=（）6.已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则

A.5

B.10

C.15

D.20 二．填空题

9．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________

10.在等比数列{an}中，a2a816，则a5=__________

11．在等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21＝__________

12.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值_________

13.已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于_________

三.解答题

14.设三个数成等差数列，其和为6，其中最后一个数加上1后，这三个数又成等比数列，求这三个数.等差数列、等比数列同步练习题

等差数列

一、选择题

1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）

A、89 B、-101 C、101 D、-89

2． 等差数列{an}中，a15=33，a45=153，则217是这个数列的（）

A、第60项 B、第61项 C、第62项

D、不在这个数列中

3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为

A、4 B、5 C、6 D、不存在

4、等差数列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，则前10项的S10等于（）

A、720 B、257 C、255 D、不确定

5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（）

A、B、C、或 1 D、6、已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数 列{Cn}，其通项公式为（）

A、Cn=4n-3 B、Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9

7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）

A、6项 B、8项 C、10项 D、12项

8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）

A、0 B、100 C、10000 D、505000

答案1． A

2、B

3、B

4、C

5、B

6、D 7、A

8、C

二、填空题

9、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。

10、在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______。11． 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是 ______。

12． 已知等差数列 110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______。

三、解答题

13． 已知等差数列{an}的公差d=，前100项的和S100=145求： a1+a3+a5+……+a99的值

14． 已知等差数列{an}的首项为a，记

(1)求证：{bn}是等差数列

(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为 3 ：2，求{bn}的公差。

15． 在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9(1)求{an}的通项公式

(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。

16、等差数列{an}的前n项的和为Sn，且已知Sn的最大值为S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。

答案：

二、填空题

9、n10、80

11、-368 12、13702

13、∵{an}为等差数列∴ an+1-an=d

∴ a1+a3+a5+…+a99=a2+a4+a6+…+a100-50d

又（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）=S100=145 ∴ a1+a3+a5+…+a99=

=60

14、(1)证：设{an}的公差为d则an=a+（n-1）d

当n≥0时 b n-bn-1=

d 为常数∴ {bn}为等差数列

（2）记{an}，{bn}的前n项和分别为A13，B13则，∴{bn}的公差为

15、S17=S9 即 a10+a11+…+a17=

∴ an=27-2n

=169-（n-13）2

当n=13时，Sn最大，Sn的最大值为169

16、S198=（a1+a198）=99(a99+a100)<0 S197=

(a1+a197)=

(a99+ a99)>0

又 a99>0，a100<0则 d<0

∴当n<197时，Sn>0 ∴ 使 Sn>0 的最大的n为197

等比数列

一、选择题

1、若等比数列的前3项依次为A、1 B、C、D、，……，则第四项为（）

2、等比数列{an}的公比q>1，其第17项的平方等于第24项，求：使a1+a2+a3+……+an>

成立的自然数n的取值范围。

2、公比为的等比数列一定是（）

A、递增数列 B、摆动数列 C、递减数列 D、都不对

3、在等比数列{an}中，若a4·a7=-512，a2+a9=254，且公比为整数，则a12=（）

A、-1024 B、-2048 C、1024 D、2048

4、已知等比数列的公比为2，前4项的和为1，则前8项的和等于（）

A、15 B、17 C、19 D、21

5、设A、G分别是正数a、b的等差中项和等比中项，则有（）

3、已知等比数列{an}，公比q>0，求证：SnSn+26、{an}为等比数列，下列结论中不正确的是（）

A、{an2}为等比数列 B、为等比数列

C、{lgan}为等差数列 D、{anan+1}为等比数列

7、a≠0，b≠0且b≠1，a、b、c为常数，b、c必须满足（）

一个等比数列前几项和Sn=abn+c，那么a、A、a+b=0

B、c+b=0

C、c+a=0

D、a+b+c=0

8、若a、b、c成等比数列，a，x，b和b，y，c都成等差数列，且xy≠0，则 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

4、数列{an}的前几项和记为An，数列{bn}的前几项和为Bn，已知答案：

一、1、A

2、D

3、B

4、B

5、D

6、C

7、C

8、B 求Bn及数列{|bn|}的前几项和Sn。

二、填空题

1、在等比数列{an}中，若S4=240，a2+a4=180，则a7= _____,q= ______。

2、数列{an}满足a1=3，an+1=-，则an = ______，Sn= ______。

3、等比数列a，-6，m，-54，……的通项an = ___________。

4、{an}为等差数列，a1=1，公差d=z，从数列{an}中，依次选出第1，3，32……3n-1项，组成数

列{bn},则数列{bn}的通项公式是__________，它的前几项之和是_________。

二、计算题

1、有四个数，前三个数成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第

二个数与第三个数的和为36，求这四个数。，答案

一、1、6；32、3、-2·3n-1或an=2（-3）n-1 4、2·3n-1-1；3n-n-1

二、1、解：由题意，设立四个数为a-d，a，a+d，则

由（2）d=36-2a（3）

把（3）代入（1）得 4a2-73a+36×36=0（4a-81）（a-16）=0 ∴所求四数为或12，16，20，25。

2、解：设{an}的前几项和Sn，的前几项的和为Tn an=a1qn-1

∵Sn>Tn ∴即>0 又

∴a12qn-1>1（1）

又a172=a24即a12q32>a1q23 ∴a1=q-9（2）由（1）（2）

∴n≥0且n∈N

3、证一：（1）q=1 Sn=na1 SnSn+2-Sn+12=（na1）[（n+2）a1]-[（n+1）a1]2=-a12（2）q≠1

=-a12qn<0

∴SnSn+2

SnSn+2-Sn+12=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1）

=-a1a n+1=-a12qn<0 ∴SnSn+2

4、解：n=1

n≥2时，∴

bn=log2an=7-2n

∴{bn}为首项为5，公比为（-2）的等比数列

令bn>0，n≤3

∴当n≥4时，bn〈0

1≤n≤3时，bn〉0 ∴当n≤3时，Sn=Bn=n（6-n），B3=9

等差等比数列下标性质及应用 篇6

戎国华

一． 教学目标：

（一）知识与技能：等比等差数列的下标性质；

比数列的下标性质及其推导教学目标：掌握等差等方法

（二）过程能力与方法学生的猜想能力能力训练：进一步培养教学重点：等差等比数列的下标性质列下标性质的灵活应用与实际应用教学难点：等比等差数

（三）态度情感与价值观：培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差等比数列的研究，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点

（四）教学模式：多媒体，师生互动

一.新课引入等差数列an中,a1a5与a2a4的关系？答：a1a5=a2a4等差数列an中,a3a8与a5a6的关系？答：a3a8=a5a6二.等差数列下标性质：1.等差数列an中,有am,an,ap,aqamana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d证明：amana(m1)da(n1)d2a(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d证明：qaamanpapqaaa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)damanapaq2.(变形)等差数列an中,有am,an,ap ,a3a6与a2a7的关系？ 等比数列an中

答：a3a6=a2a7 等比数列an中,a2a10与a5a7的关系？

答：a2a10=a5a7

三.等比数列下标性质： ,有am,an,ap,aq 1.等比数列an中

amana1qm1a1qn1a12qmn2 证明：p1q12pq2aaaqaqa pq111q aaaamnpq,有am,an,ap 2.(变形)等比数列an中

四.例题选讲：

1.设an为等差数列 例（1）若a2a3a10a112006,求a6a7

解：aaaaa6aa 解：aaa2aaaa200620067aS2231011（67）23101167）610例（.a1）等差数列aa,7求n中，4a1518 解：(a1a2aaaa19aa203a）54解：(a((aa18a))（3（aa）543))1a20例2（.1）等差数列a中，aa10,求Sn41518 18(aa))aa20解：(a1a2a20(((aa)3aa）54解：(aaaaaa)（3（aa）541a1813))181920120 S10(aa)S9(aa)90：20***8(aaaa))20(S20910(a1aa)90S18111820(a4解：20)15 22（2）等差数列an中，a57,求S9

2）等差数列an中，a57,求S9（9((aa9)9((22aa55))9a119解：S9963解：Saa 99556322aa...ap,29((aa9)中9,(22a55a9a(a))23.等差数列若11a9n1263310 例解：S99解：Saa995563222 aaa2...aq，求a21a22a23...a30？11121320

解：aaa...aqq21222330

(1)a1a2a3................an(1)a1a2a3................an 思考:等差数列an中，(2)an1an2an3........a2n(2)an1an2an3........a2n 思考:等差数列an中，(3)aaa....a2n12n22n33n(3)a2n1a2n2a2n3....a3nS,SS,SS Snn,S22nnSnn,S33nnS22nn

等差数列a中,a0,d0,若SS,则n为多少时前n项和Sn有n1917 最大值？

解：SSSaaaa11aaaaaa16aa00aaaaaa00解：SSaaaa917101112******17解：Saaaaaa9***516***314151617 4a(aaa)00aa13a0a0是最后一个正数项aa00a0是最后一个正数项是最后一个正数项44())a0a01314131413(aa0a0是最后一个正数项例（）一个项数为5.136项的等差数列的前四项和为，末四项和为67，131413141313141413 1314131413例4.一个等差数列S=396,前四项和为21，末四项和为67，21a10a11a12a13a14a15a16a17n0解：S13S9S17a10a11a12a13a14a15a16a170 SS1313n?13求S求项数0a13a14036130是最后一个正数项 a4(a13aa130是最后一个正数项14)0a13a140练习：已知等比数列a解：aaaa21,aaaan2167例（）一个项数为5.136项的等差数列的前四项和为21，末四项和为67，解：例（）一个项数为5.136项的等差数列的前四项和为21，末四项和为67，n例（）一个项数为，末四项和为67，na1a2a3项的等差数列的前四项和为a421,annann1an2an367S13 求n4(a1an)求a3a5的值。例5.求S36S1若a＞，等比数列an,n且an00,a2a42a3a5a中625,36(a1na36)4(aa)88aa22S39616 1n1nn224(aa)88aa22S3962解：a11a2aa21,aaaa67解：SSaaaaaa0解：aaaaaaa67a21,aaaa67条件改为SS？解：SSaaaaaaa013613636a解：***34339***4***12***36353433aaa;aaa916 解：9***4***12***a5a2解：a2a43a34;a46536(aa)n(aa)36(aa)111n363627a130a130S12S最大27a0a0SS***31213a88a223964(aa)a22S4(a)88a22S396396***3636n1361n36n1363622aa225aa2aaaaaa3a＞0,a100,求lgalglga6.2435463355 例2a222a3a5a4a61a32aa的值。25na2a411002355100 n36aa5050505035lglgaaa...aalg(aa)lg100100解：aa5an＞0,a1a100100,求lgaalga的值。lgaaa...aalg(aa)lg1001001100 3****** aa99a98...aaaa1a1002a99a3a98...1a10023

50对50对

50505050 lgaa...aalg(aa)lg100100lgaaaa...aalg(aa)lg******

aa22aa99a3a98...aa...1a10099 1a100398 50对对50

等差等比数列证明 篇7

例1.已知函数.

(1) 求f (x) 的反函数f-1 (x) .

(2) 设, 求an.

(3) 设Sn=a12+a22+…+an2, bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m, 使得对任意n∈N*, 有成立?若存在, 求出m的值;若不存在, 说明理由.

命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目, 着重考查学生的逻辑分析能力.

知识依托:本题熔反函数, 数列递推公式, 等差数列基本问题, 数列的和, 函数单调性等知识于一炉, 结构巧妙, 形式新颖, 是一道精致的综合题.

错解分析:本题首问考查反函数, 反函数的定义域是原函数的值域, 这是一个易错点, 第 (2) 问以数列为桥梁求an不易突破.

技巧与方法:第 (2) 问由式子得, 构造等差数列, 从而求得an, 即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;第 (3) 问运用了函数的思想.

∴g (n) 的最大值是g (1) =5,

∴m>5, 存在最小正整数m=6, 使得对于任意n∈N*有成立.

例2.设等比数列{an}的各项均为正数, 项数是偶数, 它的所有项的和等于偶数项和的4倍, 且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍, 问数列{lgan}的前多少项和最大? (lg2=0.3, lg3=0.4)

命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则, 等差数列与等比数列之间的联系, 以及运算、分析能力.

知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件, 求出an, 进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列, 分析该数列项的分布规律从而得解.

错解分析:题设条件中既有和的关系, 又有项的关系, 条件的正确转化是关键, 计算易出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.

技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列, 而等差数列中前n项和有最大值, 一定是该数列中前面是正数, 后面是负数, 当然各正数之和最大;另外, 等差数列Sn是n的二次函数, 也可由函数解析式求最值.

解法一:设公比为q, 项数为2m, m∈N*, 依题意有

设数列{lgan}前n项和为Sn, 则

由于n∈N*, 可见数列{lgan}的前5项和最大.

例3.等差数列{an}的前m项的和为30, 前2m项的和为100, 求它的前3m项的和.

解法三:由等差数列{an}的前n项和公式知, Sn是关于n的二次函数, 即Sn=An2+Bn (A、B是常数) .

将Sm=30, S2m=100代入, 得

解法四:

解法五:根据等差数列性质知:Sm, S2m-Sm, S3m-S2m也成等差数列,

由三点共线, 易得S3m=3 (S2mSm) =210.

解法七:令m=1得S1=30, S2=100, 得a1=30, a1+a2=100

∴a1=30, a2=70

∴a3=70+ (70-30) =110

∴S3=a1+a2+a3=210

∴S3m=210

等差数列及等比数列的性质运用 篇8

【关键词】等差数列 等比数列 性质运用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）21-0110-02

等差数列与等比数列是当前中学数学教学中的主要课程内容之一，对学生数学逻辑思维的培养与学生数学综合学习能力的提升能够产生重要的影响。在课堂教学活动中，教师可以通过多样化的课堂教学方式为学生进行等差数列与等比数列的知识引导，提升学生各项数学知识的掌握能力，保证课堂教学的质量。文章将基于等差数列及等比数列的性质进行分析，提出一些相关教学建议，希望能够对各项知识与技能的指导带来一定的借鉴意义。

一、等差数列的性质与运用分析

如果从一个数列的第二项开始，每一项与其前面的差，等于一个常数，那么这个数列则可以称之为等差数列，这个常数则可以称之为等差数列的公差，可以采用d予以表示[1]。等差数列是当前高中数学教学中的重要内容之一，学生的等差数列通项公式掌握情况能够直接影响学生的知识学习质量，加强对等差数列的相关性质与运用策略研究十分必要。

等差数据教学活动中，教师需要明确课堂教学的思维，在详细讲解数列的定义基础上，通过数列与自然集的关系、通项公式的推理方式等等流程，为学生循序渐进的指导等差数列相关知识与内容（详见图1）。

以“等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则2a9-a10的值为（）”题为例，由于a1+3a8+a15=120，故而a8为24。所以2a9-a10=a10+a8-a10为24。

等差数列的通项公式为a（n）=a（1）+（n-1）×d，n为项数。基于通项公式可以看出，a（n）是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0），如果（n，an）处于同一条直线上，那么S（n）是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。结合等差数列的通项公式以及等差数列的内涵可以得出，前n项公式还可以推出a（1）+a（n）=a（2）+a（n-1）=a（3）+a（n-2）=…=a（k）+a（n-k+1）等公式。在课堂教学活动中，教师可以采用小组讨论的方式，在为学生介绍完成等差数列的通项公式以及内涵的基础上，组织学生结合定义进行小组合作研究，通过等差数列的公式等深入研究能够根据通项公式或者是定义推导出其他的可能性。

在学生小组合作讨论的过程中，教师需要走到学生身边给与学生适当的思维引导，在小组合作的教学方式下发挥学生的主观能动性与创造性，发现更多的可能性[2]。适当减少教师在课堂教学中的话语量，能够增加学生的课堂话语量，真正展现学生在高中数学课堂教学中的主体地位。

二、等比数列的性质与运用分析

等比数列是从第二项开始，每一项和它前一项的比与同一个常数相等，那么这个数列则可以称之为等比数列[3]。这个常数，也可以作为等比数列的公比，则可以采用q来表达，即为当q=1的时候，an是常数列。

等比数列通项公式中，如果变形为an=a1/q*q^n（n∈N*），在q大于0的时候，则可以将an作为自变量n的函数，那么（n，an）则可以看做曲线y=a1/q*q^x中一项孤独存在的点。

在教学实践研究中，等比数列的通项公式是：an=a1×q^（n-1）【（a1≠0，q≠0）】。结合求和公式：Sn=na1（q=1）能够得出等比数列中各项之间的关系。性质：数列{an}公差为a1等差数列的充分条件为an=，（n≥2）。

证明的过程中，可以首先证明必要性，这个时候的前n项公式和为Sn=a1，根据公差可以得出（n+1）Sn-1=（n-1）Sn，可以看出n大于等于2的时候，可以将带入上式综合分析得出Sn=a1，这是之前已经得出的前n项公式和，必要性能够得到论证。通过实践研究的方式能够明确等比数列公式的性质，根据数学归纳的原则，可以得出{an}是公式为a1的等差数列。

教师在指导学生学习完成等比数列的性质之后，可以通过适当问题的方式，为学生布置实践探究任务。教师可以结合等比数列的性质进行综合分析，提出一些相关案例：

比如等比数列{an}的首项a1=-1，前n项和为Sn，若S10/S5=31/32，则公比q为（）。在这道问题中，因为S10/S5=31/32，a1=-1.可以得出公比q≠1，故而S10-S5/S5=-32/1，根据等比数列前n项和公式的性质能够得出，S5，S10-S5，S15-S10成比数列，且公比为q5，故而得出q5=-32/1，q=-2/1。答案为-2/1。

以2012年北京高考数学题为例，已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（）

这一道习题考察的是学生的等比数列性质掌握情况，属于探究型习题，在课堂教学活动中，教师可以组织学生进行综合分析，为学生布置学习的任务。学生可以通过自主探究或者与其他学生进行讨论的方式解答问题。

在a1+a3=+a2q，同时在a2，q同在正时，a1+a3≥2a2成立，结合等比数列的性质，能够根据正负q的符号而明确答案。设等比数列公比为q，那么则可以结合公式求得结果，答案最后选择B。学生需要在明确掌握等比数列性质的基础上，深入分析各个选项的可行性，得出最后的答案。在任务输出的过程中，如果学生存在一定的疑虑，教师则可以结合学生的问题，给与适当的思维引导，比如教师可以通过“当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2是否成立？”等话语，启发学生的思维，使学生能够明确逻辑思维的方式，通过等比数列的公比与等比数列的性质解答问题。

在高中数学课堂教学活动中，教师需要明确学生在课堂学习中的主体地位，结合学生的实际学习能力进行教学设计，关注学生综合知识的掌握情况。

三、结束语

等差数列与等比数列均为当前高中数学教学中的重要内容，在各类高考数学例题中普遍存在。通过等差数列的性质与运用分析与等比数列的性质与运用分析，能够结合高中学生的实际学习能力与性格特点进行教学设计，提升高中数学课堂教学的质量，为高中学生营造一个良好的学习与发展平台，提升学生的各项知识掌握能力，为学生数学知识的深入学习与全面发展奠定良好的基础。

参考文献：