极限在高等数学中的地位

极限在高等数学中的地位（共9篇）

极限在高等数学中的地位 篇1

题目：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透

学生姓名：段锡朋

学 号：20121050225 专 业：数理基础科学 指导教师：葛瑜

2016年4月27日

目录

摘要...........................................................................................................................................3 绪论.......................................................................................................................................5 2.2 极限在抛物线上的应用.............................................................................................6 第三章 极限在数列中的应用...............................................................................................8 3.1 极限在等比数列中的应用.........................................................................................8 3.2 洛必达法则在等比数列中的应用.............................................................................9 第四章 极限在不等式中的应用.........................................................................................10 4.1 极限比较不等式的大小...........................................................................................11 4.2证明不等式..................................................................................................................12 第五章 极限在立体几何中的应用.....................................................................................13 5.1极限确定角度的大小...................................................................................................13 结论.........................................................................................................................................16 致谢.........................................................................................................................................17 参考文献.................................................................................................................................18

摘要

大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。

关键字：大学数学，中等数学，极限，几何，数列，函数，不等式。

Abstract

College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking.With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school.Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method.The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study.It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation.That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics.It is effective.Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation

绪论

极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。

本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

研究意义

极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。

本课题解决的主要问题

本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。

极限的定义

极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。

函数极限的定义：设y=f(x)是一个函数，A是一个常数，x0 是一个点，f(x)在x0的一个去心邻域内有定义。如果当x越来越接近x0时，函数值越来越接近常数A，则称A为趋于x0的函数的极限。记为

或

数列极限的定义：设{}是一个数列，如果存在实数a，对于任意正数

|<ε(不论ε多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式│ε成立，那么称常数a是数列{或

}的极限，记作

极限的四则运算

数列极限的四则运算法则：若{{}，{

}和{

}为收敛数列，则{

}，}也都是收敛数列，且有

第二章 极限思想在函数中的应用

2.2 极限在抛物线上的应用

例1.抛物线

与过焦点F的直线m交于两点P、Q，F分线段PQ为两个

等于（）线段，其长分别为p,q则A,4 B, C,8 D,2

图一

解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点F（0，）由直线的参数方程可得过点F的直线m的参数方程为

联立方程（1）和（2）并消去x和y得

韦达定理：一个一元二次方程

+根据韦达定理得方程的两个根

,的关系为

=

（3）的两个根为

（1）(2)

=

=

（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的坐标为F（0,）

因为直线m是经过点F任意运动的。

所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时点Q就是运动到无穷远点 所以可以得到q∝∞，即∝0 于是.即答案为C

解析：本题是探究抛物线的不动点问题，中学数学的解法是探求p，q之间的关系，中间还应用到了参数方程和韦达定理，其过程比较繁琐，计算比较复杂，不适合于解答选择题。而利用大学数学中极限的解法，只要能认识到动点的极限状态，借助于极限的思想就会使问题变得简单：将线段PQ绕点F运动到无穷远处，因为PF=OF=p=，QF=q→∞，所以很快就可以得到种解法充分的体现了思维的灵活性和敏捷性。

→∞。极限的这第三章 极限在数列中的应用

在大学数学中我们就学过了数列极限的四则运算法则，在中学阶段主要学习最基础的等差数列和等比数列。而在中学的解题过程中同意可以运用极限的思想来解决部分问题。

下面看一下极限在数列中的应用

3.1 极限在等比数列中的应用

例.已知数列{P 解：设数列{

}的公比为q，则 }，其中=,且数列{

}为等比数列，求常数

q===

对上式两边求极限 当p=3时，当p≠3时，q=q=

（1）

=

此时 即

整理得

即 4-2p=6-3p 所以p=2或p=3 解析：此题采用中学数学中的解法：根据等比数列的定义用后一项和前一项之比来表示公比q，经过运算后发现根据中学数学的常规计算很难得到公比q，而（1）式正好是大学数学中极限的简单运算，采用极限的运算很快得出公比q的值。这道题是中学数学解法与极限相辅相成的体现。并不能用两种方法单独解答，但是也很好的体现了极限思想在中学数学中的渗透。

3.2 洛必达法则在等比数列中的应用

例.解：中学数学解法：

已知一个公比为x的等比数列的前n项和为：

=

所以

所以

=

=

用极限的思想的解法：

洛必达法则是用于无穷比无穷或0/0型，分子分母同时求导，可以多次求导，在求导过程中不断寻找等价的无穷小，或削去无穷因子。此题符合洛必达法则。

解析：观察题目的分子分母可知分子分母符合等比数列的前项和公式，再通过极限的计算得出结果。而采用大学数学的极限的方法，我们可以看出整个式子符合运用洛必达法则的条件，所以通过洛必达法则对分子和分母同时求导就可以得出结果。此题是一道填空题，我们通过解答可以看出极限思想的优越性。中学数学解法过程比较繁琐和耗时，而极限的解法简单省时，甚至可以达到秒杀的效果，应当掌握

第四章 极限在不等式中的应用

不等式是中学数学中一个重要的模块，在大学数学中不等式的应用十分广泛，例如极限的证明，夹逼法则的应用等等。而极限同样也在不等式中有着十分广泛的应用。4.1 极限比较不等式的大小

例：已知的大小。，，比较，解：中学数学的解法：采用赋值法，已知假设p=3，q=6 则，=3

所以可得 极限的解法：当

时，，由

得

解析:中学数学的解法在比较不等式时最先想到的是赋值法，而本题采用赋值法的难点是p，q赋值的大小。我们看到根号里的分母是3，后两个式子又分别开3次幂和6次幂，这就时比较大小变得不容易，所以我们必须使p,q的值假设为3的倍数，为了减小计算量，设p=3，q=6，通过计算就可以比较出不等式的大小。采用极限的解法，假设其中的一个值，把不等式转化成与q有关的值，求出不等式的极限值就可以直接比较大小。赋值法在一般情况下简单实用，但是比较考察赋值的把握能力。本题采用极限法只是应用了极限的简单思想和进行了简单的计算，值得掌握。

4.2证明不等式

设n为自然数，求证：解：用数学归纳法

当 n=1时，不等式显然成立。设n=k（那么，当n=k+1时，)时，不等式成立，即

（1）

由于

所以，数学归纳法不可行

之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于是一个常数，从k 到(k+1)右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想可以将题目转化为:

=

时，（2），不等式（2）成立，证明：①当n=1时，②设n=k(k1)时，不等式（2）成立，即

那么，当n=k+1时，+

<即当n=k+1时，不等式（2）成立 即原式

解析：中学数学的解法：采用数学归纳法，我们可以看出n=1时，不等式显然成立，假设n=k时不等式也成立，如果再证明出n=k+1时，不等式成立，则假设的n=k就成立，那么就可以用数学归纳法证明出不等式成立，但此题在证明n=k+1时，使不等式的左边的值增大了，所以就达不到证明不等式左边小于右边的效果。极限的方法使不等式的右边的常数值转化成了一个等价的变量，使在证明n=k+1时，不等式左右两边的值同时增大，通过比较不等式的大小就证明出了n=k+1时不等式成立，继而得出假设的n=k时的不等式也同样成立，所以不等式就成立了。此题如果一味的采用数学归纳法是证明不出不等式成立的，而引入极限的思想，用极限值来构造新的不等式就可以证明出了不等式成立，本题中引入的极限可以说是达到了一个四两拨千斤的效果，作用非常大，这也正是极限的思想在中学数学中的渗透的一个体现。

第五章 极限在立体几何中的应用

5.1极限确定角度的大小

立体几何作为中学数学中一个重要的模块，往往因为抽象而让学生感觉学习难度较大。极限思想也成为了解决这类问题重要的一种方法。

例。正三棱锥相邻两个侧面所成的角为α，则α的取值范围是（Ｄ）A．（0，π）B.(0,π/3)C.(π/3,π/2)D.(π/3,π)

解：利用中学数学的解法： 首先作SO⊥底面ABC于O点。

因为S—ABC为正三棱锥，所以△ABC为正三角形，O点为△ABC的中心。作AD⊥SC于D点，连接BD，则BD⊥SC 所以∟ADB为相邻的两个侧面A—SC-B的二面角 ∟ADB=α

设AB=AC=BC=m,∟SCB=β 所以AD=BD=m由余弦定理可得

=1-

所以α的余弦值与β的值有关。再由余弦定理得

cos∟BOC=

因为 所以 因为

cos∟BSC=

BO<ＢＳ

cos∟BOC< cos∟BSC

∟BＯC＝并且余弦函数在［0，π］上是减函数。

所以 ∟BSC<

在△ＳＣＢ中，由三角形的内角和定理 所以

2β＋∟BSC＝π

β>

所以

即 ＝1-

即<α<π

所以答案为Ｄ

利用极限的思想求解

如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S-ABC的高，把O看作定点,S看作动点，当0→OS时，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角α→π；当OS→∞时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即α→π/3 所以α∈（π/3,π），答案即为D 解析：中学数学的解法：首先构造出相邻两个侧面的二面角的平面角∟ADB，然后通过余弦定理来探求α和β之间的关系，由三角形的内角和定理确定β的取值范围，继而确定出了α的取值范围，就可以得出答案，思路比较简单明了，但是计算过程比较繁琐。采用极限的解法:通过动点S的移动，把相邻的两个侧面转化为一个平面，把二面角的平面角转化为三角形的内角，再根据动点的极限状态求出极限值这是一道选择题，采用中学数学的人解法步骤复杂，计算耗时较长，而采用极限的方法求解不仅简单省时，而且有利于锻炼学生的灵活性和创造性，此题充分体现了极限方法的优越性。

5.2极限在计算立体几何面积中的应用

例.设三棱柱ABC-DEF的体积为V，P、Q分别是侧棱AD、CF上的点，且PA=QF，则四棱锥B-APQC的体积为（）A.V B.V C.V D.V

结论

中学数学是大学数学的基础，许多中学数学的内容都是大学数学的模型。大学数学正是在中学数学的基础上发展起来的。所以说中学数学与大学数学之间存在着必然的联系，许多在中学数学中无法解决的问题在大学数学中得以解决，这就要求中学生在中学学习阶段必须掌握大学数学的一些基础知识。本文通过站在大学数学的角度，运用大学数学的知识、方法和思想，从不同角度重新去审视，分析和解决中学数学的问题。大学四年的学习对我来说是一个知识的储备过程。我在学习大学数学的同时，吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想，数学方法，正是这些数学思想和方法锻炼了我的思维的条理性和连贯性，加强了逻辑思维在分析问题和解决问题的能力。

通过对大学数学中的极限思想在中学数学中的渗透的研究，我发现大学数学极限思想能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们中学数学的方方面面。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。

对于中学生来说，能否熟练地应用和掌握极限的思想和方法就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思想的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。

致谢

四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我许多的帮助，通过对本课题的研究，我自己学到了许多东西。在此，我特别感谢爸爸妈妈在我四年的学习生活中对我的关爱和支持。感谢朋友帮助我使用几何画板画出数学图形。感谢舍友在查找和研究资料时对我的帮助。感谢学校提供的学习环境。更非常感谢导师对我的课题的指导。

参考文献

1.欧阳光中，朱学炎：《数学分析》，高等教育出版社1983年版 2.刘来刚：《图解基础数学手册》，吉林大学出版社2011年版 3.李朝东：《高中数学选修2-1》，中国少年儿童出版社2009年版 4孙翔峰：《三维设计2015新课标高考总复习》，光明日报出版社2015年版

极限在高等数学中的地位 篇2

1. 极限理论的产生

极限的思想和方法是社会实践的产物，其萌芽可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏朴素的极限思想，如用无限趋近概念计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国，公元前5世纪，战国时期的《庄子·天下篇》中就有一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是我国较早出现的极限思想，而这正是数列的极限内涵。又如公元3世纪, 我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术时创立了有名的“割圆术”。他的极限思想是“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无所失”。他第一个创造性地将极限思想应用到数学领域, 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积, 接着是正十二边形面积, 然后依次加倍边数, 则正多边形面积愈来愈接近圆面积。按照这种思想, 他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积, 得到圆周率的近似值3.14, 之后又算到内接正3072边形时得到π≈39271250≈3.1416, 这在当时是非常了不起了。再如古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。

2. 极限理论的发展

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的。微积分思想，源自古希腊人的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米得于公元前225年求抛物线弓形面积的方法，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这个三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子。

到了16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到极大发展。生产和科学技术中存在大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，给出了数列极限的描述性定义：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限。”

之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建立的ε-N语言，给微积分提供了严格的理论基础。所谓an以A为极限，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立。”

这个定义，借助不等式，通过和之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中被广泛使用。

3. 极限中的辩证思想

极限思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着丰富的辩证思想，反映了数学发展的辩证规律，即极限思想是过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。

在极限思想中充分体现了结果与过程的对立统一。比如，当n趋于无穷大时，数列的极限为0。一方面，数列中任何一项无论n多大都不是0，体现了过程与结果的对立性。另一方面，随着n无限增大，其项越来越靠近0，经过极限可转化为0，体现了过程与结果的统一性。所以极限思想是过程与结果的对立统一。

有限与无限常常表现为不可调和性。例如，把有限情形的法则原封不动地扩展到无限的情形常常会发生矛盾。但这并不意味着在极限的观念里有限与无限是格格不入的，相反极限思想是有限与无限的对立统一。

近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。数学中的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。这反映了极限思想是近似与精确的对立统一。

又如曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了。”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。我们就是从直线形来认识曲线形的。

4. 极限理论在微积分中的作用

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说在数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。例如微积分中许多概念都把极限作为描述不同特性的重要工具，例如函数(x)在x0点连续的定义、函数f (x)在x0点导数的定义、函数f (x)在[a, b]上的定积分的定义、数项级数的敛散性、广义积分的敛散性等，都是用极限来定义的，可以说这些概念确定了微积分学的框架。

极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题)，正是由于它包含了极限的思想方法。

参考文献

[1]吴振英.论极限的思想方法[J].广州大学学报 (自然科学版) , 2003, 10.

[2]梁宗巨.世界数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社, 1980.

高等数学在高校教育中的地位 篇3

关键词：高等数学 基础学科 知识基础 科学态度 治学精神 综合素质

一、高等数学是高校教育中的一门基础学科。

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，它不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种修养；不仅是一种科学，而且是一种文化。随着计算机的发展，数学已经渗入到各行各业，并且物化到各种先进设备之中。从卫星到核电站，从天气预报到家用电器，高技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率等特点，无不通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现。总之，数学已经显示出其第一生产力的本性，它不但是支撑别的科学的幕后英雄，也直接活跃在技术革命的第一线，成为屡见奇功的方面军。如今，数学的应用程度和其应用的广泛性已成为科技发展和文明程度的标志。 掌握数学知识已经成为一种基本生存技能渗透到社会生活的方方面面。因此作为培养高素质优秀人才的高校就应该把数学教育当作一种基础教育，把高等数学当作高校教育的一门基础学科纳入人才培养的重要环节。

二、高等数学是掌握各门学科知识、技能的基础。

数学是一门特殊的科学，它代表着一种科学文化，其中蕴涵的数学精神、数学思想、数学方法始终影响着人类的发展、影响着人们日常的学习生活。这也是我们从小学开始直到大学一直学习数学的一个原因。

数学是我们生活和学习的知识基础。数学知识已渗透于各种自然科学、及许多社会科学之中，数学知识是我们学习各门科学的基础，符号、图象、计算、估计、推理、建模等基本内容已渗透与我们日常生活与工作之中，数学成了我们生存的基本技能；数学是最富智慧的科学，数学学习最显著的价值是培养人的思维能力；数学知识又是智慧的结晶，会给我们以智慧的启迪；数学学习是困难的、富于竞争的，可培养我们的主动性、责任感、自信心，以及顽强的毅力、一丝不苟的精神，良好的学习习惯等个性品质。

高等数学是培养抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，也是进入大学后第一门重要的基础课，在大学学习中占有及其重要的地位。但是由于其内容的高度抽象与概括性，严密的逻辑性，独特的“公式语言”，简练的表达方式，高等数学常常成为大学生入学学习的第一个难关。有些大学生认为自己所学专业与数学相距甚远就忽视高等数学的重要性，荒废学业，虚度时光；有些学生觉得数学枯燥乏味并且深奥难懂，又找不到学习的方法，就放弃努力，以致影响了其他学科的学习，留下终身的遗憾；也有部分学生把学习数学当作一项任务，把考试及格作为学习的最终目标，缺乏学习的主动性。这种现象的存在造成了高等数学教育的尴尬局面，让学生充分认识数学的重要性，了解数学的魅力显得尤为重要。学习数学的根本目的在于获得学习的方法，科学的思想，以及不断求索、勇于挑战的精神，这些东西远比知识本身重要。日本数学教育家米山国藏曾总结说：学生在学校接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。

三、高等数学是培养大学生综合素质的基础学科。

素质教育是世界教育发展的潮流，是我国教育改革的方向。胡锦涛主席近日在2006年4期《求是》杂志发表的长篇文章中说得十分清楚：国家竞争说到底是国民素质的竞争，教育首先是素质教育。这也反映了社会发展的需要，企业对毕业生的专业、能力、素质各方面，首先看重的是人的素质。相应，高校毕业生能否找到工作、能否在工作上有持续的发展后劲，在于自身的素质。数学教育在培养高素质人才方面具有其独特的、不可替代的作用。

1、数学素质培养

高校学生工作与发展都需要一定的数学素质基础，（1）数学语言，包括数学语言、数学符号、数学曲线、图象等；（2）数学思维，包括数学理论体系、数学观察猜想、数学推理、数学实验；（3）数学技能，包括初等数学与高等数学运算、推理、数学建模及应用等。数学作为当代自然科学中理性思维的核心内容，渗入到人们的思维和社会活动中，形成了社会的一种特殊文化形态-——数学文化，它是现代科技文化的核心。在今天一日千里发展的社会里，一个人的文化素养中如果缺少了它，无论什么岗位，其洞察、理解与判断能力，必然会受到很大的局限，更谈不上创造能力和创新了。因此为了提高大学生的适应性、竞争能力和潜力，必须努力提高学生的数学素质。

2、思维素质培养

数学是思维的体操，高等数学的学习对于学生智力因素及非智力因素的培养有极大的作用。首先，数学学习的难度，潜在地培养了学生的学习自觉性、不畏难、不服输的顽强精神和一丝不苟的认真精神。再者数学学习是一项富有难度的思维活动、智力活动，其中包括逻辑思维、抽象思维、形象思维、辨证思维、创新思维等, 尤以逻辑思维为主要形式与内容，以至人们认为“数学学习是逻辑思维的体操”，各种数学问题的解决，也有利于培养提高人的分析问题、解决问题的能力，而这种能力是他们专业学习的基础和工作的基础、生活的基础。

3、科学态度和治学精神的培养

数学是一门具有高度严谨性和抽象性的学科。数学离不开推理，数学中要判断一个命题、猜想的真假，不是通过实践检验，而是要依靠概念的定义，依靠公理、定理进行严密的推理论证，要步步有根据，处处合乎逻辑理论，这样就能逐步培养学生言必有据，坚持真理，修正错误，一丝不苟的实事求是的科学态度。数学具有高度的抽象性。抽象性并不意味着它的概念和研究对象脱离客观世界和生活实践。通过学习数学概念、结论的形成过程，可以培养学生在现实客体中抓住本质特性，抽象出概念，并逐步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，从而培养他们严谨精确的治学精神。解题的探求，有助于培养学生勤于思考及综合分析问题的能力，遇到问题难题时要以坚韧不拔，锲而不舍的精神去寻求解法，可以培养学生刻苦钻研的顽强毅力。

4、创新精神培养

在数学的发展过程中处处体现着人类伟大的智慧和不断创新的精神。例如高等数学中的微积分，这一概念的诞生在数学发展史上是里程碑式的创新，在人类思想史上则被恩格斯誉为人类思维的伟大胜利。微积分是牛顿、莱布尼茨在前人基础上的创新-纯清概念、提炼方法、改变形式、创设符号。牛顿、莱布尼茨创立微积分，分别是从物理和几何不同的角度出发，采用不同思想基础、不同研究方向，同时攀上光辉的顶峰。这也充分说明了同样的创新可能有不同的方向。微积分的创立过程中所显示出的“求实、求新、求异”的科学精神和运动的、辩证的、创新的革命精神对人类文明和进步有着深远的影响。

5、创新能力培养

创新能力是一种智力活动，需要一定的知识；同时它更是一种发现问题、积极探求的心理取向，是一种善于把握机会的敏锐性，是一种积极改变自己、改变环境，创设条件以解决问题的应变能力。创新能力不仅仅是一种智力特征，更是一种精神状态，一种综合素质。江泽民同志指出：创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。21世纪是知识经济时代，它的到来使我国高等教育面临着前所未有的机遇和挑战。知识经济是主要依靠知识创新和知识广泛传播发展的，以智力资源来创造财富的经济。创新是它的灵魂，而创新的关键在于人才。无论是知识创新还是技术创新，无论是经济竞争还是科技竞争，归根到底还是要靠大量高素质的创新型人才，培养具有创新素质的人才是时代的迫切需要，也是一个国家富强及在国际竞争中立于不败之地的重要因素。 人才来源于教育，高等学校是培养高素质创新型人才的摇篮。高等数学是高校教育的基础学科，又是思维体操的学科，所以它是培养学生创新能力和创新意识的重要学科。

创造性思维包括归纳思维、发散思维、逆向思维、直觉思维等。学习高等数学可以很好地培养学生的创造性思维和创造能力。例如数学中常用的“一题多解”，“一题多变”等思维方式，可以培养学生用发散思维来思考问题。而数学中的反证法则是培养逆向思维的好途径。数学猜想作为一种数学潜形态, 又是数学发展的一种重要思维形式，它是科学假说在数学中的具体表现，它常常是数学理论（定理）的萌芽和胚胎。比如在利用比较判别法，判定正项级数的敛散性时，首先，应对该级数的敛散性作一个猜想：若猜想该级数收敛，就需要找一个（或构造一个）收敛的级数，若得到想要的结论，则猜想正确；若猜想该级数发散，就需要找一个（或构造一个）发散的级数与之进行比较。可见高等数学在培养学生创新能力方面有不可替代的作用。

高等数学竞赛极限与连续真题 篇4

x211x2

1.计算：lim2 x22x0(cosxe)sinxx2x40(x4), 析：

1x1282x2111x2x40(x4)

又cosxex[14123x0(x2)][1x20(x2)]x20(x2)22x211x2故lim2 x22x0(cosxe)sinx10(x4)1444x0(x)21xx2188xlim2lim

x03212xsinx2x030(x2)sinx22x0(x)222x

nlnnlnn)的值。2.计算求lim(nnlnnn（选自广东省大学生高等数学竞赛试题）

nlnnlnn2lnn2lnnnlnn)=lim[(1)]析：lim（nnlnnnnlnnlnn1tt2t,则原式lim()e.令t0n1t1nnlnn2n

111(1)n1)

n23n111111111()

析： S2n1232n32n1242n1111111112()

=1

232n242nn1n2nn3.计算：lim(11111)

=(12nn111nnn

最后一式是函数f(x)

故limS2n11在[0，1]区间上的积分和（n等份，取右端点）1x1dxln2 01xn1

又limS2n1lim(S2n)ln2

nn2n11n11)

因此lim(1(1)n23n

n 4.设lim2006，试求,的值。

nn(n1)nnn1n

析：= 111n(n1)1(1)1(10())n0()nnnn,n11

显然由条件知0；而lim,n1n0()n0, 因此有10,且

xx2n

5.计算：lim(12)

nn2n110,10, 10,2006，故20051, 20062006xxx(n)x(n)2xnxxn2)n121x 析：(1)(1)(12xnn2n2n2xn2n24nnx 易知:1ex，nx进行变量代换，令nxm,则当n时m,并且mx,对122nx2nnxxxxm2lim(1)(1)ex 因此有lim1nmxmmn2nxx2nx)e.由夹逼原理得lim(12nn2n

6.1.设当x1时,1m是x1的等价无穷小,则m______.1xxm1解 m3.7.13.已知曲线yf(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为1,则lim[1f(1)]n_____.nn1解lim[1f(1)]ne.nn 8.5.limnk1nkenn1k______.解 原式e1.1.设函数yy(x)满足y(x1)yx2yex,且y(0)1.9.y(x)x若lima,则a_______.x0x2解应填1.由题设y(0)y(0)1,于是y(0)2.y(x)xy(x)11所以alimlimy(0)1.2x0x02x2x

10.2.已知f(x)exb在xe处为无穷间断点,在x1处

(xa)(xb)为可去间断点,则b________.解应填e.由题意知必有a1,be或ae,b1.e,limf(x),符合题意;x1e1xe当ae,b1时,limf(x)limf(x),与题意不符.x1xe当a1,be时,limf(x)

11.7.已知lim1ln[1xx021f(x)f(x)]4,则lim_________.3x01cosxx解 应填2ln2.1f(x)f(x)limln[1]limlimx0x02x11cosx(2x1)(1cosx)x0f(x)2f(x)f(x)lim4lim2ln2.2x0xln2x0x3x3xln22

12.5.已知有整数n(n4)使极限lim[(xn7x42)x]存在且不为零,则__.x1.5因为lim[(xn7x42)x]lim[xn(17x4n2xn)x],所以由极限存在可得n1,解应填xx由极限不为零得4n1,因此1.5

极限在高等数学中的地位 篇5

（一）极限、连续部分（答案）

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、当x0时，（）无穷小量。

111A xsin

B ex

C lnx

D sinx

xxx13x1x

1的（）

2、点x1是函数f(x)1。

3xx1A 连续点

B 第一类非可去间断点

C 可去间断点

D 第二类间断点

3、函数f(x)在点x0处有定义是其在x0处极限存在的（）。

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 无关条件

x22ax)0，则常数a等于（）

4、已知极限lim(。

xxA-1

B 0

C 1

D 2 ex

15、极限lim等于（）。

x0cosx1A 

B 2

C 0

D-2

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、lim(1)=

x21x2x2、当x0时，无穷小ln(1Ax)与无穷小sin3x等价，则常数A=

3、已知函数f(x)在点x0处连续，且当x0时，函数f(x)2则函数值f(0)=

1x2，4、lim[111]=

n1223n(n1)1

5、若limf(x)存在，且f(x)xsinx2limf(x)，则limf(x)=

xxx

二、解答题

1、（7分）计算极限 lim(1n111)(1)(1)22223n

2、（7分）计算极限 limx0tanxsinx 3x3、（7分）计算极限 lim(x2x3x1)2x

14、（7分）计算极限 limx01xsinx1e1x2

x3ax2x

45、（7分）设lim 具有极限l，求a,l的值

x1x1

6、（8分）设(x)x33x2,(x)c(x1)n，试确定常数c,n，使得(x)(x)

1xsin

7、（7分）试确定常数a，使得函数f(x)x2ax在(,)内连续

x0x0

8、（10分）设函数f(x)在开区间(a,b)内连续，ax1x2b，试证：在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得

t1f(x1)t2f(x2)(t1t2)f(c)

高等数学第一章函数与极限教案 篇6

课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB

全集I、E

补集AC：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)

对偶律

(AB)AB

(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)闭区间

a,b 半开半闭区间

a,b有限、无限区间 cccccca,b

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径



去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射 1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x)xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符号函数

1y01x0x0x04)取整函数 yx

（阶梯曲线）

2x0x1x15)分段函数 y

2、函数的几种特性

1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

函数与反函数的图像关yx于对称

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1(y)x，称此映射f1为f函数的

1)幂函数：yxa

2)指数函数：yax

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

()

ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

5)反三角函数

yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

ee2xxyarccot(x)

shx

chxxxxxee2xx

thxshxchxeeee

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

例 1 数列是这样一个数列xn，其中

n1a2a3a4an

xn也可写为：

1121n，n1,2,3,4,5

131415

1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

limxna

n也可等价表述：

1）0

2）0NNnNnN(xna)

xnO(a)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

定理3：如果limxna且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，xn0x(xn0)

定理

4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在x0点的极限

1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

xx0形式定义为：

0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、x的极限

设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

f(x)A

线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

x

在无穷远点的左右极限：

f()lim关系为： xf(x)

f()limf(x)

xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

xxx

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

1、 则称它为无穷小量，即limxn0

x的意义；

2、xn可写成xn0；(0,xn)

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列xn，如果成立：

G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

1f(x)为无穷大

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

lim0limx1xnx

limlimx1xnx0

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

1、无穷小的性质

设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（4）xn也是无穷小量：

xx0limxn0limxn0

xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx0

2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

3、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

xx0limf(x)f(x)xx0

lim

xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

lim

x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

g(x)u0，则

xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

两个重要极限

定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

xxlimyna

x

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：limx0sinxx1

例：

limx0

例：证明：lim(1xtanxx

limx01cosxxlimx0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1)x的极限

xx1x

第七节：无穷小的比较

定义：若,为无穷小

limlim0c0c01且

limlimlim

K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

1、若,为等价无穷小，则()

2、若～1、～1且

lim1111存在，则： limlim

例：

limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

f(x00)f(x0)f(x00)

或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

limf(x)f(x0)

其形式定义如下：

xx00x(xx0)f(x)f(x0)

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：

f(x00)f(x00)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

xDf是严格单调增加（减少）并且连续

反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

yf1(x)xDf1

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

xx0limf(g(x))f(limg(x))

xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

D1yyf(x),xD

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

xD

类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

二、有界性

xDff(x)称为函数在上的最小值。

有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

f()f(x)f(),亦即

xa,b

f()min xa,bf(x)

f()maxf(x)

xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

零点定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

中值定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

浅谈高等数学中的极限教学 篇7

一、注重极限概念的形成过程

任何一个数学概念, 都是通过对客观事物进行观察、分析、综合、抽象形成的.极限概念亦如此.我在教学中, 考虑到学生的认知水平, 通过创设问题情景, 积极引导他们去认识极限概念的形成过程.

问题情景1:割棒话无限

我国古代哲人庄子曾说过:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.”意思是说:有一尺长的木棒, 如果每天截一半, 那么这根木棒永远也截不完.随后, 利用课件动画演示上述过程, 每日截后剩下的木棒长度依次排列, , 构成了一个无穷等比数列.随着所截天数n的不断增加, 棒越变越短.若把该数列表示在数轴上, 显见, 随着天数n的不断增加, 对应点越来越接近原点.

问题情景2:割圆求周长

魏晋时期著名数学家刘徽在“割圆术”中说道:“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆周合体无所失矣.”同样, 动画演示一组边数依次为4, 8, 16, 32, …的圆内接正多边形, 图像生动地展示了求圆周长的思想过程, 即内接正多边形的边数越多, 它的周长越接近圆周长.

以上两情景, 虽然论及的问题不同, 但究其本质, 都是揭示变量的动态趋势, 由“逐步趋近”到“无限趋近”.至此, 归纳抽象出它们的本质属性, 引入极限定义.这样讲授, 虽然耽搁了一些时间, 但磨刀不误砍柴工, 它能让学生充分领略极限思想的形成过程, 又能使学生学会概括和归纳无疑, 这为学生透彻理解极限思想奠定了坚实的基础.

二、深化极限概念的理解过程

从极限概念的形成过程看, 对极限概念的内容和结构进行分析, 有助于理清概念的脉络, 把握本质.教学中, 根据高职教育的培养目标和任务要求, 结合学生的认知结构, 对极限定义不过分追求精确严密, 多采用定性描述法对此, 笔者引导学生从以下两方面进行分析.

1. 确立极限的研究对象

首先让学生认识到, 函数是极限的研究对象.函数极限分两类:数列xn=f (n) 极限和一般函数y=f (x) 的极限数列是一种定义域为自然数集的特殊函数.先从数列极限着手讨论, 便于对一般函数y=f (x) 的极限的研究.

2. 考察查函数在某种状态下的确定性变化趋势

当函数在某种状态下无限趋近于一个确定常数时, 则称该常数为函数在此状态下的极限;反之, 则称函数在此状态下无极限或极限不存在.从极限定义的内容和结构来看, 极限刻画的是变量的动态状态, 它的结构包含两层:一是函数, 它必须无限趋近于一个确定常数 (唯一性) ;二是函数的自变量, 它的状态是前者的条件.当然, 自变量的取值, 又受限于函数形式.若是数列xn=f (n) , 它的变化趋势是“n→∞” (且n取自然数) ;若是y=f (x) , 它有两种变化趋势, x→x0 (x≠x0) 或x→∞ (x取实数) .两层间彼此关联, 缺一则构不成极限.通常基本初等函数的极限两就是利用直观图像来解决的.

三、加强极限方法的分类指导过程

困扰学生学习极限的另一因素是:求极限的方法多, 思路活.虽然学生知道的极限方法不少, 但遇到具体的求极限问题时, 往往仍无从下手.为此, 笔者在教学中, 一方面注意进行数学学法渗透, 另一方面积极引导学生对所学的极限知识和方法进行系统化整理归类, 指导他们去构建有效的极限解法系统, 让学生觉得求极限“有章可循, 有法可依”, 从而减少了思路上的混乱.通常我把求极限的方法分为以下几类:

1. 利用极限的四则运算法则

这是求极限的最基本方法, 即直接或间接利用极限的运算法则.间接法中, 题型丰富, 通常是一些未定式、和式等极限问题.解法要点:把未定式转化为定式.如, 求, 只要将0/0未定式有理化分子, 问题就迎刃而解了.

2. 利用两个重要极限

两个重要极限公式, 变式很多, 必须认清公式的本质特征, 才能活学活用.如, 求, 利用代换思想, 令, 问题就化归为重要极限了.

3. 利用无穷小性质

利用“有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小”这一性质求极限, 往往能出奇制胜.如, .

4. 利用函数的左右极限

利用极限的概念 (唯一确定性) , 解决分段函数或含绝对值的函数在分界点处的极限问题.如:讨论在x→1时的极限.根据左右极限可知不存在.

学完极限, 还须让学生知道, 随着数学学习的深入, 求极限的思路将进一步拓宽, 方法也将更多 (如, 利用函数的连续性、利用等价无穷小、利用导数, 等等) .

摘要：极限是高等数学中的最基本、最重要的概念之一.它的思想方法直接影响到高等数学及后继专业课程的学习.针对当前极限教学中存在的问题, 结合多年的教学实践探索, 提出了行之有效的解决方法.

极限思想在高中数学解题中的应用 篇8

一、 寻找极限位置，化一般为特殊

注：针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸显了试题的选拔功能.化一般为特殊，是一种重要的数学能力，特别是对数数学中的选择题和填空题，此法使用的好，能使一般问题特殊化，降低分析问题的难度，会给解题带来意想不到的效果.如能在平时的学习中，多注意此类方法的积累，将有利于从不同层面对理性思维能力进行全面而又灵活的考查.因此，这类数学试题给高中数学教与学的方向以启示，拓宽思维，提高思维含量.

注：通过分析有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，从而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸显了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性.

极限在高等数学中的地位 篇9

极限

1、数列极限

拆项法：（1）求lim1111 ...n133557(2n1)(2n1)（2）lim1111 ...n122334n(n1)1111（3）lim()()()...()

n1221321421n2夹逼法：

2nn!（1）lim()

（2）lim(n)

nn!nn（3）limn1n2n3n（注意结论：limna1，limnn1）

nnn

以（3）的结论也可得到limn2n4n6n8n10n10,因此该结论可以推

n广之。

（4）lim1n12n1n22...1nn2

12n ...22nn2n1nn2nnn有界量乘以无穷小量：

（5）lim3limnn2sinn!

n1有理化：（1）设Sn112123...1nn1，求limSnnn

（2）求lim[12...n12...(n1)]

n

2、函数的极限

有理化与化无穷大为无穷小求极限：

（1）lim(x1)(x2)x

x(2x3)20(3x5)50

（2）lim 70x(5x8)axax

（3）limx(a0)

xaax

等价无穷小代换：

（1）已知当x0时，(1x)113求常数 1与cosx1是等价无穷小，（2）limx01f(x)1x2求常数a和b使x0时，f(x)~axb c0，2arctanxln(sin2xex)x（3）lim

x0ln(x2e2x)2x（4）limx01xsinxcosx

32x41(x)sinx1e2x（5）limx012，求lim(x)

x0ln(22xx2)（6）lim

x1[arcsin(x1)]2sin(sin(x1))

x1lnxf(x)ln(1)f(x)sinx（8）已知lim求 lim3,2xx0x0x21幂指函数的极限：

（1）lim(12)x

xxx（7）lim

（2）lim(2sinxcosx)

x01xexe2x...enxx)（其中n是给定的自然数）

（3）lim(x0n1

利用两个重要极限求极限：

3x252sin

（1）limx5x3x（2）lim[x02e1e1x4xsinx]（要去掉绝对值，需求左右极限）xxxx（3）limlim[coscos2...cosn]

x0n222（4）limx12x

（5）limxx021xx1

x2bxc（6）设lim5，求b,c

x1x1sin2(x1)（7）已知lim21，a,b

x1xaxb（8）求lim(xe)x0x21sinx3x)

（9）lim(x6xx12

x2ax)8，求a