点到直线的距离教学设计--刘小云

点到直线的距离教学设计--刘小云（共6篇）

点到直线的距离教学设计--刘小云 篇1

点到直线的距离公式教学案例

在点到直线的距离公式教学案例中,用一些常见的`”筑路“和”台风“问题作为情境,引导学生提出问题,同时给了学生自由思考的空间.学生在交流中弄清了数学概念,并运用自己的洞察力,把一个小小的问题与那么多的知识联系在一起,在学生思维豁然开朗之际,也展示了交流合作的艺术:取他人之长,补自己之短.

作 者：简素宁 作者单位：乐清市第三中学刊 名：成才之路英文刊名：THE ROAD TO SUCCESS年，卷(期)：”"(12)分类号：G63关键词：案例 点到直线的距离 公式

点到直线的距离教学设计--刘小云 篇2

贵州师范大学数学与跨文化数学教育研究所提出了“数学情境与提出问题”数学学习的教学经验, 指中小学生在教师的引导下, 从熟悉的或感兴趣的数学情境出发, 通过积极思考、主动探究、提出问题、分析问题和解决问题, 从而获取数学知识、思想方法和技能并应用数学知识的过程。本案例正是基于此, 创设数学情境, 对引导学生的数学探究起着思维导向、激发作用。本节课是数学公式的教学, 以往学生在学习点到直线的距离公式时, 往往是会公式的推导和公式的运用, 忽视了这个“产生过程”, 而公式的推导蕴涵着丰富的数学思想和数学方法, 它可以很好地培养学生探究性思维品质。

本节课是以情境为载体, 让学生初步体会常见的数学思想方法 (比如数形结合、三角、向量知识) 在解析几何的应用, 提高学生分析问题和解决问题的能力。因此, 这节课决定了应该调动学生积极性, 充分讨论, 集思广益, 探索方法和结论的过程, 所以采用“数学情境与数学问题”教学法。

二、案例过程

1. 数学源于生活

师:同学们, 我们知道数学像文学作品一样, 来源于生活, 高于生活, 并指导生活。那么, 在你的生活中, 你遇到过以下问题吗?情景1:如图 (略) 在铁路附近有一个仓库, 现要修建一条公路, 使之连接起来, 怎样设计才能使公路最短?

生1:我认为应该这样设计, 把仓库看成一个点, 把那条铁路看成一条直线, 然后从这点作这条直线的垂线段, 再沿这条垂线段铺设公路, 即为最短。

师:很好。情景2:据报道, 9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近直线型路线运动, 台风波及区域约直径100海里, 请预测台北市是否要做台风来临前的相关工作。

生2:我们可以把台北市中心看做一个点, 计算这个点到台风之间的距离, 把它与50海里比较大小。假如这个值比较大的话, 台北市可以高枕无忧了;假如这个值比较小的话, 那台北市要做好相关的准备工作。

师:非常好。以上的两个生活情景与怎样的数学问题有关?

生 (齐声) :点到直线的距离。

师:那么, 哪位同学能为点到直线的距离下一个定义?

生3:过这个点作直线的垂线, 垂线的长就是点到直线的距离。

生4: (提出异议) 不应是垂线的长, 应该是垂线段的长。

师:垂线是一条直线, 只有垂线段才能有长度。具体地说:过点作直线的垂线, 点与垂足之间的距离。

2. 知识的升华

师:下过定义之后, 回头我们再来看看台风问题:如果在给定的坐标系下, 台风的路线所在的直线方程为:台北市所在点的坐标为 (3, 4) , 此时台风波及区直径为10 (比例尺是1∶10) , 你能解决上述问题吗?

生5:我认为, 这个问题实际上就是已知点P (3, 4) 的坐标和直线然后根据点斜式求出这条直线的垂直线的方程, 再联立两直线方程, 求出它们的垂足坐标。利用两点间的距离公式, 即可求出点到直线的距离公式。

师:很好, 大家鼓下掌。因为他抽象出了我们的数学模型 (图略) 。

3. 真知在实践中诞生

师:如何求点P (3, 4) 到直线的距离?刚才生5已经率先找到解决问题的方法 (板书:利用定义法) , 你也是这样想的吗?你还有其他方法吗?

生6:我想到一个方法, 就是过点P分别作x轴、y轴的平行线 (教师与学生边讲边作出图形) , 分别求出A、B的坐标, 再求出|PA|、|PB|、|AB|, 根据直角三角形面积相等的性质求出|PH|的长度。

师: (板书方法2:构造Rt△PAB, 利用面积相等) 能够从没有三角形到有三角形, 做到“无中生有”, 这就是我们需要的有创意、有创新的好同学。

生7:这个三角形中, 除了用面积法, 还可以用相似去做。

师: (板书方法3:构造Rt△PAB, 利用三角形相似) 还有其他想法吗?

生8:刚才那个三角形, 是否可以只作一条平行线? (教师在学生的建议下擦去一条)

师:我们仍然找到一个Rt△。

生8:是否也可以求解出PH的长度?

师:首先, 这个同学具有一种简化意识, 我们说这是数学家具有的品质。在这个三角形中, 只有|PB|知道, 而要求|PH|怎么办, 其他条件已经没有了。生8遇到了困难, 那我们怎么去帮助这位同学?

生9:由条件可知, 边边关系很难求出|PH|和|HB|, 因此再来考虑边角关系。我发现, ∠P与直线的倾斜角θ互补, ∠P=π-θ, 由直线方程结合|PH|=|PB|c os即可求出|PH|。 (掌声)

生9:我们上面的讨论是不是有不严密的地方, 比如, 当直线的倾斜角为锐角时, 那又会怎样呢?

师:那我们画一条倾斜角为锐角的直线分析。

生8:这时, ∠P与直线的倾斜角θ是相等的, 根据它们的边角关系, 也可求出|PH|。

师:生8仅利用直线方程中的系数就把问题解决了, 应该说是充分利用条件。 (板书方法4:构造Rt△PBH, 利用三角函数) 还有没有其他不一样的方法?

生9:对于直线上的每一个点, 我们都能求出它到P点的距离。设该点坐标为 (x, y) , 由直线方程, 利用两点间的距离公式可以表示该点与点P的距离由点到直线的距离定义, 可知点到直线的距离是其中的最小值。这是一个简单的二次函数, 我们求它的最值即可。

师:这是一个简单的二次函数?同学们赞同吗?……因为它是在根式下, 里面才可以看成二次函数, 开根号不再是二次的。我们经常忽略一点:定义域优先原则。

生9:它的定义域应该是取全体的实数。

师:我们相当于在x∈R的时候求它的取小值, 很好!……我们前面都在三角形中来回地寻找关系, 而生9抛开了所有这一切, 他的过人之处在于把点P与垂足的距离和点P与直线上其他点的距离联系起来了。我们总结一下得出第5种方法:构造函数, 求函数的最小值 (板书) 。 (此时, 下面有很多同学在记笔记。)

生10:刚才听了生9的回答, 我又有了更好的办法。因为他给一个点到直线的一个距离的时候, 就会有两个点到直线的距离相等。不过仅有一个例外, 就是最小的时候。这样, 我们就可以利用二次函数的判别式△解决即可。

师:我听明白了, 不知你们是否听明白了吗? (进行解释) ……可以说, 生10是在生9所推出来的式子上进行了更深层次的思考, 他能够把函数与方程结合起来, 向我们展示了数学思维的深刻性。他的这种继续探究的行为和习惯值得我们学习, 他的探究能力也值得我们佩服。归纳出方法6:构造方程, 二次方程有唯一解时其△=0 (板书) 。还有没有其他的方法?再考虑考虑。

生11:我利用的向量法。在直线上任取一点M, 然后再求这条直线的法向量n1, PuuA在法向量n1上的投影即为所求距离。

4. 知识在于积累

师: (进行解释) ……生11同学更是了不起, 咱们班真是藏龙卧虎。刚刚是大家在开动大脑, 我们下面也该动动手了。我们按照生11的方法, 推导出直线上任一点P (x0, y0) 到直线Ax+By+C=0 (A≠0, B≠0) 的距离。 (生12板演, 教师在下面巡视)

生11:点P (x0, y0) 到直线Ax+By+C=0 (A≠0, B≠0) 的距离

师:若A=0或B=0时又会怎样? (让学生解释A=0或B=0时也成立) 所以, 当点P (x0, y0) 到直线Ax+By+C=0的距离d=那么我们又如何根据它的特点去记忆。 (让学生分析解释公式便于记忆)

师: (1) 此公式的作用是求点到直线的距离, (2) 此公式是在A、B≠0的前提下推导的, (3) 如果A=0或B=0, 此公式恰好也成立, (4) 用此公式时直线要先化成一般式。现在你们可以告诉台北人民答案了。让学生根据计算的结果作出解释, 并出具6个小题巩固点到直线的距离公式, 让学生计算完后进行说题……

师:请一个同学对我们今天的内容进行一下小结。

生12: (小结) 本节课我们明确点到直线距离的定义, 重点探讨了点到直线距离的求解方法, 并且用向量的有关方法推导出点到直线的距离的有关公式。

师:他的总结简洁、扼要、高度概括。我们再来回顾一下, 我们所牵涉到的方法:有和平面几何有关的, 有和函数最值有关的, 有和三角函数有关的, 有和向量有关的。一个小小的问题能把那么多的知识联系在一起, 这正是解析几何学的魅力所在, 把数与形联系起来, 让我们的思维豁然开朗。大家在一起共同探讨出这么多方法, 体现了数学在思维艺术上的美, 展示交流合作的价值, 取他人之长, 补自己之短, 开阔了视野。

三、案例分析

现代教育心理学认为, 教师必须注重启发儿童的思维, 鼓励他们自己去发现问题和提出问题, 对问题的解决方案提出假设并认真加以对待;对学生自发提出的问题, 创造型的教师不是急于给出解答, 而是鼓励学生进行思考并让他们自选寻求可能的解决办法。

结合学生学习效果反馈情况, 形成了以下几点思考与认识:多年的教育, 形成了数学课的“公式、例题、练习”固定模式, 教师争分夺秒不厌其烦地讲个不停, 而学生生搬硬套一些既定的公式、技巧、题型等内容。虽然每节课学了很多知识, 但这些知识的存在背景、来龙去脉, 彼此间的相互关系, 很多学生没有精力去消化。其结果, 熟悉的内容得高分, 不熟的难得分。本案例中, 教师围绕着一个问题展开了充分的思考与讨论, 学生在质疑、探讨中不断挖掘自己的动力, 开发了自己的智慧源泉, 实现了举一反三、触类旁通的效果。因此, 选取情境最好“浅入深出”, 即所谓的小故事大道理。正如这个问题所牵涉到的方法:有和平面几何有关的, 有和函数最值有关的, 有和三角函数有关的, 有和向量有关的。一个小小的问题能把那么多的知识联系在一起, 这正是解析几何学的魅力所在, 通过数与形联系让同学的思维豁然开朗。而同学们在一起共同探讨出了这么多种方法, 体现了数学在思维艺术上的美。

学生在解决问题和数学应用的过程中引发新的情境, 从而产生出深层次的数学问题, 形成“数学情境”与“数学问题”学习链。如学生在方法2构造Rt△PAB, 利用面积相等的基础上, 联想到了方法3构造Rt△PAB, 利用三角形相似;同时在Rt△PAB图形下, 一个同学提出了精简条件是否又能解决问题, 从而利用新的“情境”产生了新的“问题”, 使问题又深入一层, 为方法法4构造Rt△PBH, 利用三角函数及时埋下了伏笔。在方法4得到解决后, 一个同学提出要对倾斜角进行讨论, 分类的思想中隐含的数学思维的批判性在不知不觉中得到应用。而方法5构造函数, 求函数的最小值与方法6构造方程, 二次方程有唯一解时其△=0则是对数学的本质有了更深层次的理解, 非常有利于培养学生的数学思维的深刻性, 致此学生已经能够百花齐放, 向量法的产生也不足为奇了。最后几个练习题, 老师没有做任何提示, 原则上由学生各自独立完成, 结果与预期相吻合。在几分钟的时间里, 同学们几乎都能够准确地找到解决方法, 没有拘泥于公式, 而是凌驾于公式之上。

整个教学中, 学生始终是带着问题学习的。没有满足书本上的那些内容, 而是在用自己的眼睛观察、用自己的头脑去思考, 发挥想象, 提出不同的想法。在不同的解决方法上, 表现出个人对数学本质的理解深度, 在探讨过程中互相渗透, 丰富他们的数学思维网络。

参考文献

[1]汪秉彝, 吕传汉.创新与中小学数学教育[J].数学教育学报, 2000 (4) .

点到直线的距离教学设计--刘小云 篇3

一、 垂线、垂线段、点到直线的距离的定义

1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.

3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.

二、 垂线、垂线段、点到直线的距离的区别

1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.

2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.

3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.

下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：

直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.

三、 概念辨析

1. 下列判断错误的是（ ）.

A. 一条线段有无数条垂线

B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直

C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直

D. 若两条直线相交，则它们互相垂直

【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.

【正确解答】D.

2. 下列判断正确的是（ ）.

A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离

B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离

C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离

D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短

【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.

说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.

说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.

说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.

【正确解答】D.

四、 生活中的应用

通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：

1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.

解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.

因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.

2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.

①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？

解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.

点到直线的距离教案2 篇4

一、提出问题

多媒体显示实际的例子: 某电信局计划年底解决本地区最后一个小区的电话通信问题.经过测量,若按照部门内部设计好的坐标图(即以电信局为原点),得知这个小区的坐标为p(-1,5),离它最近的只有一条线路通过,其方程为2x y 10=0.要完成这项任务,至少需要多长的电缆线? 这个实际问题要解决,要转化成什么样的

数学问题?学生得出就是求点到直线的距离.教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离,并板书写课题:点到直线的距离.二、解决问题

怎样求点到直线距离呢?学生应该很快能回答出,做垂线找垂足q,求线段pq的长度.怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢? 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况,再考虑一般情况.学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况.显示图形: 板书: 如何求 ? 学生思考回答下列想法: 思路一:过 作 于 点,根据点斜式写出直线 方程,由 与 联立方程组解得 点坐标,然后利用两点距离公式求得.教师评价:此方法思路自然,但是运算繁琐.并多媒体展示求解过程.解:直线 : ,即

由 , 说明:本过程只展示,不在课堂推导.教师提问:能否用其它方法,不求点q的坐标,求线段pq的长度? 学生思考:放在三角形---特殊三角形---直角三角形中.教师提问:如何构造三角形?第三个顶点选在什么位置? 学生思考:可能在直线 与x轴的交点m或与y轴交点n,或过p点做x,y轴的平行线与直线 的交点r、s.教师根据学生提出的点的位置作分析,求解过程的繁与简,最后决定方法.下列是学生可能提到的情况: 思路二:在直角△pqm,或直角△pqn中,求边长与角(角与直线到直线角有关),用余弦值.思路三:在直角△pqr,或直角△pqs中,求边长与角(角与直线倾斜角有关,但分情况),用余弦值.思路四:在直角△prs中,求线段pr、ps、rs,利用等面积法(不涉及角和分情况),求得线段pq长.学生练习求解思路四.教师巡视,根据学生情况演示过程.解:设 , , , ,;, 由 , 而

说明:如果学生没有想到思路二、三,教师提示做课后思考作业题目.教师提问:①上式是由条件下 得出,对 成立吗? ②点p在直线 上成立吗? ③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式? 教师继续引导学生思考,不构造三角形可以求吗?(在前面学习的向量知识中,有向量的模.由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识,且也提出过直线的法向量的概念.)能否用向量知识求解呢? 思路五:已知直线 的法向量 ,则 , ,如何选取法向量?直线的方向向量 ,则法向量为 ,或 ,或其它.由师生一起分析得出取 =.教师板演: , ,由于点q在直线上,所以满足直线方程 ,解得

教师评析:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法.三、公式应用

练习: 1.解决课堂提出的实际问题.(学生口答)2.求点p0(-1,2)到下列直线的距离 : ①3x=2 ②5y=3 ③2x y=10 ④y=-4x 1 练习选择:平行坐标轴的特殊直线,直线方程的非一般形式.练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式.教师强调:直线方程的一般形式.例题: 3.求平行线2x-7y 8=0和2x-7y-6=0的距离.教师提问:如何求两平行线间的距离?距离如何转化? 学生回答:选其中一条直线上的点到另一条直线的距离.师生共同分析:点所在直线的任意性、点的任意性.学生自己练习,教师巡视.教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果.然后选择一种取任意点的方法进行板书.解:在直线2x-7y-6=0上任取点p(x0,y0),则2 x0-7 y0-6=0,点p(x0,y0)到直线2x-7y 8=0的距离是.教师评述:本例题选取课本例题,但解法较多.除了选择直线上的点,还可以选取原点,求它到两条直线的距离,然后作和.或者选取直线外的点p,求它到两条直线的距离,然后作差.引申思考: 与 两平行线间距离公式.四、课堂小结:(由学生总结)①&n

② 数学思想方法:类比、转化、数形结合思想,特殊到一般的方法.③ 多角度考虑问题,一题多解.五、布置作业

① 课本习题7.3的第13题----16题;② 总结写出点到直线距离公式的多种方法.教学设计说明:

一、教材分析

我主要从三方面:教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的。教学目标包括:知识、能力、德育等方面的内容。我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况。

二、教学方法和手段

1、教学方法的选择

(1)指导思想:教师为主导,学生为主体,引导学生参与对事物的认识过程。(2)教学方法:启发式讲解法、讨论法。2.教学手段的选用

采用了电脑多媒体教具,不仅将数学问题形象、直观显示,便于学生思考,而且迅速展示部分纯计算的解题过程,提高课堂效率。

三、教学过程

这节课我分:“提出问题--解决问题--公式应用--课堂小结--布置作业”五个环节来完成。

首先多媒体显示实例,引发学生的学习的兴趣和求知欲望,从而引出数学问题。通过一系列问题引导学生通过图形观察,进而分析、归纳总结选择较好的方法具体实施。关于思路五,在课本中没有出现这样的证法,我在课堂上选取这样的证法。主要是考虑到:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点。而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法,这样思路五的给出不仅符合新教材的要求,也为今后的学习方法奠定了基础。

《点到直线距离》说课稿 篇5

1.教材分析

1-1教学内容及包含的知识点

(1)本课内容是高中数学第二册第七章第三节《两条直线的位置关系》的最后一个内容

(2)包含知识点：点到直线的距离公式和两平行线的距离公式

1-2教材所处地位、作用和前后联系

本节课是两条直线位置关系的最后一个内容，在此之前，有对两线位置关系的定性刻画：平行、垂直，以及对相交两线的定量刻画：夹角、交点。在此之后，有圆锥曲线方程，因而本节既是对前面两线垂直、两线交点的复习，又是为后面计算点线距离(在直线和圆锥曲线构成的组合图形中)提供一套工具。

可见，本课有承前启后的作用。

1-3教学大纲要求

掌握点到直线的距离公式

1-4高考大纲要求及在高考中的显示形式

掌握点到直线的距离公式。在近年的高考中，通常以直线和圆锥曲线构成的组合图形为背景，判断直线和圆锥曲线的位置或构成三角形求高，涉及绝对值，直线垂直，最小值等。

1-5教学目标及确定依据

教学目标

(1)掌握点到直线的距离的概念、公式及公式的推导过程，能用公式来求点线距离和线线距离。

(2)培养学生探究性思维方法和由特殊到一般的研究能力。

(3)认识事物之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化知识的能力。

(4)渗透人文精神，既注重学生的智慧获得，又注重学生的情感发展。

确定依据：

中华人民共和国教育部制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(xxxx年4月第一版)，《基础教育课程改革纲要(试行)》，《高考考试说明》(xxxx年)

1-6教学重点、难点、关键

(1)重点：点到直线的距离公式

确定依据：由本节在教材中的地位确定

(2)难点：点到直线的距离公式的推导

确定依据：根据定义进行推导，思路自然，但运算繁琐;用等积法推导，运算较简单，但思路不自然，学生易被动，主体性得不到体现。

分析“尝试性题组”解题思路可突破难点

(3)关键：实现两个转化。一是将点线距离转化为定点到垂足的距离;二是利用等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距离。

2.教法

2-1发现法：本节课为了培养学生探究性思维目标，在教学过程中，使老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己练习“尝试性题组”，引导、启发学生分析、发现、比较、论证等，从而形成完整的数学模型。

确定依据：

(1)美国教育学家波利亚的教与学三原则：主动学习原则，最佳动机原则，阶段渐进性原则。

(2)事物之间相互联系，相互转化的辩证法思想。

2-2教具：多媒体和黑板等传统教具

3.学法

3-1发现法：丰富学生的数学活动，学生经过练习、观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。

一句话：还课堂以生命力，还学生以活力。

3-2学情：

(1)知识能力状况，本节为两线位置关系的最后一个内容，在这之前学生已经系统的学习了直线方程的各种形式，有对两线位置关系的定性认识和对两线相交的定量认识，为本节推证公式涉及到直线方程、两线垂直、两线交点作好了知识储备。同时学生对解析几何的实质中，用坐标系沟通直线与方程的研究办法，有了初步认识，数形结合的思想正逐渐趋于成熟。

(2)心理特点：又见“点到直线的距离”(初中已学习定义)，学生既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探询动机由此而生。

(3)生活经验：数学源于生活，生活中的点线距随处可见，怎样将实际问题数学化，是每个追求成长、追求发展的学生所渴求的一种研究能力。丰富的课堂数学活动能够让他们真正参与，体验过程，锤炼意志，培养能力。

3-3学具：直尺、三角板

3.教学程序

教学环节教学过程设计意图

创设情景(三分钟)唤醒旧知师：“距离产生美”。昨天我与**同学相隔遥远，彼此毫无感觉，今天的零距离荡漾着亲切，却少了想象的空间，看来把握恰当的距离才能感知美好。

(1)你有什么办法能得到我(A点)和**同学(B点)之间的距离?

生：思考，回答。

(2)“形缺数时难入微”。(1)中的各种办法中哪个较好?还有没有更好的办法。

生：比较，回答。

教学机智：针对学生的回答，老师进行引导。老师进行铺垫、递进，或深入、拓展。

师：由此看来，两点间距离公式成为解决该问题的首选。让我们一鼓作气，继续努力。提问一：还原学生的数学现实，诱发动机，乐于参与。

提问二：既可点燃数形结合的思想，又可唤醒两点间距离公式。

根据认识发展理论，学生认知结构的发展是在其认识的过程中伴随同化和顺应的认知结构不断再建构的过程，达到以旧悟新的目的。(1)(2)两问的解决为后继知识作好了铺垫。

4.教学评价

学生完成反思性学习报告，书写要求：

(1)整理知识结构

(2)总结所学到的基本知识，技能和数学思想方法

(3)总结在学习过程中的经验，发明发现，学习障碍等，说明产生障碍的原因

(4)谈谈你对老师教法的建议和要求。

作用：

(1)通过反思使学生对所学知识系统化。反思的过程实际上是学生思维内化，知识深化和认知牢固化的一个心理活动过程。

(2)报告的写作本身就是一种创造性活动。

(3)及时了解学生学习过程中的知识缺陷，思维障碍，有利于教师了解学生对自己的教法的满意度和效果，以便作出及时调整，及时进行补偿性教学。

5.板书设计

(略)

6.教学的反思总结

心理历练，得意之处，困惑之处，知识的传承发展，如何修正完善等。

《点到直线距离》说课稿2

一、关于教材分析

1、教材的地位和作用

“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离。所以“点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点。由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题。通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力。

2、教学目标分析

我确定教学目标的依据有以下三条：

（1）教学大纲、考试大纲的要求

（2）新教材的特点

（3）所教学生的实际情况

教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容。

“点到直线的距离公式”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点。按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生基础和素质教好的情况，我把本节课的教学目标确定为：

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；

（2）通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；

（3）通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。

3、教学重点：点到直线距离公式的推导和应用。

教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法。

二、关于教学方法和教学用具的说明

1、教学方法的选择

（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”。

（2）教学方法：问题解决法、讨论法等。

本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用。我选择的是问题解决法、讨论法等。通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体。

2、教学用具的选用

在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具。它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率。

三、关于教学过程的设计

“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力。课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动。为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成。下面对每个环节进行具体说明。

[创设情境提出问题]

1、这一环节要解决的主要问题是：

创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务。同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力。

2、具体教学安排：

多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？学生很快想到建立坐标系。如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”。

[自主探索推导公式]

1、这一环节要解决的主要问题是：

充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式。在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透。

2、具体教学安排：

2.1学生初探解决特例

首先提出问题：怎样用解析几何方法求解点到直线距离？由于字母的运算有难度，引导学生从直线的特殊情况入手，这样问题比较容易解决。学生应该能想到，如果直线是坐标轴或平行坐标轴的时候问题比较容易解决，给予学生肯定的评价。学生自己完成推导过程，选两名学生进行板演。

2.2师生互动获取思路

特殊情况已经解决，引导学生考虑一般直线的情况。通过学生思考，教师收集得到思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得。

我及时评价这种方法思路自然，是一种解决办法。为了拓展学生思维，我们根据已有的知识和经验，还有什么办法能解决？

为此我启发学生，提出问题：

(1)求线段长度可以构造图形吗？

(2)什么图形？如何构造？（学生经过讨论，得到构造三角形，把线段放在直角三角形中。）但是如何构造又是一个难点。

(3)第三个顶点在什么位置？

(4)特殊情况与一般情况有联系吗？

学生通过观察、讨论会提出第三个顶点的不同位置：可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N；或根据特殊情况的证法提示，过P点作x、y轴的平行线与直线的交点R、S。或同时做x、y轴平行线。这样就收集到思路二、三、四。三种思路已经有了，它们的共性是什么？学生能观察出都在三角形中。我继续引导：能不能不构造三角形？而是其它数学相关量？我们刚学习了向量知识，能否用向量知识解决问题呢？（由于在前面学习的向量知识中，向量的模可以表示两点之间的距离，而证明两直线垂直时也已经用到向量知识，法向量又是本节课后阅读材料，本班学生基础和素质较好，在学习直线方向向量时已经布置阅读）。

提出问题：线段的长度就是对应向量的模，那么如何求得向量的模呢？根据实际情况提示一方面的方向完全由直线的方向而定（与法向量共线），另一方面的长度又与点P有关，它的长度又如何控制下来？所以有思路五，由师生一起分析，取法向量＝，而=，以下只要求得，就可以得到距离。

2.3分工合作自主完成

学生提出了不同的解决方案，究竟哪种好呢？如果让每位学生都去用不同解法探求，在课堂上时间显然是不允许的，但教学中又要培养学生的运算能力，如何解决这种矛盾呢？现代教育要求学生要有自主学习、合作学习能力，因此我叫学生对五种思路进行分组练习。

在学生求解过程中，我巡视，观看学生解题，了解情况，根据课堂时间的实际情况，选取做好的学生的解题过程用实物投影仪显示。这样不仅能让全体学生看到不同思路的具体解法，还能得出最佳解题方案，接着我展示最佳解题方案的规范步骤。目的让学生有良好的规范的书面表达习惯，起到教师典范的作用。

2.4公式小结概括提升

公式推导出，学生有了成功的喜悦。我也给予了肯定。但是由于公式的结果是一般情况得出的，而对于，点在直线上是否成立，它们与，点在直线外有什么关系？这并没有验证。而我们要求学生考虑问题要全面，为此我提出提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？②点P在直线上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？通过学生的讨论，使学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线。同时体现整体认识和分类讨论思想。

依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材。在公式的推导过程中，我做了和教材不同的处理方法：（1）先特殊后一般的证法，（2）多角度构造三角形，（3）知识联系，向量解决。目的是让学生在考虑问题时有特殊到一般的意识，符合学生认知规律，使问题的解决循序渐进。向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点。而多角度考虑问题，发散学生思维。

[变式训练学会应用]

1、这一环节解决的主要问题是：

通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。通过例题的不同解法，进一步让学生体会转化（或化归）的数学思想。

2、具体教学安排：

由学生完成下列练习：

（1）解决课堂提出的实际问题。（学生口答）

（2）求点P0(－1,2)到下列直线的距离：

①3x=2②5y=3③2x＋y=10④y=－4x+1

设计说明：练习1的设计解决了上课开始提出的实际问题。练习2的设计故意选特殊直线和非直线方程一般式，主要强调在公式应用时，直线方程是一般式，应用公式的准确性。

例题（3）求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离。

我选取的是课本例题，课本只有一种具体点的解法。我通过本节课的学习，让学生对知识从深度和广度上进行挖掘。通过几何画板的演示，让学生直观看到思考问题的方法。除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和。或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差。由特殊点到任意点，由特殊直线到任意直线，从而延伸出两平行线间的距离。目的是在整个过程中，让学生注意体会解题方法中的灵活性以及转化等数学思想方法。

[学生小结教师点评]

1、这一环节解决的主要问题和达到的目的是：

通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力。

2、具体教学安排：

本节课小结主要由学生完成知识总结，通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结。

[课外练习巩固提高]

①课本习题7.3的第13题—16题；

②总结写出点到直线距离公式的多种方法。

设计说明：作业1是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度。作业2是根据课堂分析，让学生总结公式推导的方法。除了课堂上想到的方法还可以继续思考，比如在用两点距离公式整体代换等方法，发挥学生学习的自主性和思维的广阔性。

四、关于教学评价的设计

新课程标准提出要加强过程性评价，因而在具体教学过程中，我对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励；学生思维暴露出问题时及时评价，矫正思维方向，调整教学思路；为了获得后反馈信息，布置作业，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，指导我今后教学。整个教学评价是在师生互动中完成的。

《点到直线距离》说课稿3

各位领导和老师，大家下午好！今天我说课的题目是高中数学苏教版必修2第二章第一节内容《点到直线的距离》下面我想谈谈我对这节课的一些浅薄的认识。

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想，其主要内容是计算和证明，而计算问题则主要是距离和角的计算。其中距离的计算主要包括点、线、面之间距离的计算，而点到直线的距离处在关键的位置上。

《点到直线的距离》这一节是研究平面元素的位置关系，由定性研究到定量研究的第二节课。它是解决点线、线线距离的基础，也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线作准备。教材试图让学生经历探索点到直线距离公式并论证这个公式的过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法，如数形结合、算法、函数等；并让学生享受作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。

教材中以算法语言的形式给出了两种推导点到直线的距离公式的方法，尤其是第二种方法是通过构造形解决数的问题，然后再把形代数化，这一正一逆，使数与形达到了完美的结合，其蕴含的重要思想，需要学生细细体会。

针对咱们师范学校学生的特点，结合本教材，本着低起点、高要求、循序渐进，充分调动学生学习积极性的原则，我制定了以下教学目标：

首先是掌握点到直线的距离公式，并能运用它解决一些简单问题；其次通过运用面积法推导点到直线的距离公式的推导过程，使学生进一步了解数学结合思想在解决具体问题中的重要作用；第三让学生经历自主探究，合作交流的过程，充分感受点到直线的距离公式的推导过程；同时通过此过程，渗透算法、化归等思想，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

我把点到直线的距离公式的推导思路以及其简单的应用作为本节课的教学重点，而点到直线的距离公式的推导思路我认为同时也是本节课的教学难点。

根据教学内容和学生的学习状况及其认知特点，本节课我准备采用类比探究式教学模式。即：从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法。让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力。

下面我想说一说我的教学过程设计。本节课我准备通过以下四个环节进行。分别是问题情境——合作探究——应用举例——归纳总结。

也就是首先从一个具体的实际问题入手，引导学生将其转化为解析几何问题，建立坐标系，由此引出本节课题，同时激发学生学习兴趣，培养学生简单的数学建模能力。

接下来进入到第二个环节，即点到直线的距离公式的推导过程。这个环节我主要是通过三个具体的问题实现的。而这三个问题是由特殊到一般、从具体到抽象的过程，符合学生的认知规律。

第一个问题虽然简单，但是是后面两个问题的基础，因此我准备平均3到4位同学一组放手让学生讨论解决这个问题的方法，在学生讨论的过程中，适时的引导学生从不同的角度分析问题，进而寻求到不同的方法。那么结合学生现有的知识水平，我认为学生可能会想到的方法不外乎会有以下几种：（1）两点间的距离公式；（2）面积法；（3）向量法。

也可能会有同学采用以下这两种方法。由于这个问题比较简单，因此我准备让学生结合找到的方法解决这个问题并相互验证方法的正确性，体验成功的喜悦。

在问题一的基础上，引导学生寻找问题二的解决办法，这一过程，最重要的是将其化归为第一个问题的解决办法。即过点P向X轴和Y轴作垂线构造直角三角形，进而引导学生发现第一个问题的解决方法依然适用于问题二。

这样有了以上两个问题的解决作为铺垫，第三个问题的解决就是顺理成章的了。虽然在前面两个问题的解决中并没有要求学生说出详细的思路，但是经过两次针对性的训练，学生心里应该有一个大概的思路，因此我准备分成以下三个层次进行：

第一个层次是让学生说一说面积法推导点到直线的距离公式的思路；第二个层次则是师生共同用算法框图的形式把思路写出来；第三个层次则是在以上两个层次的基础上，师生合作推导点到直线的距离公式的详细过程。

最终推导得出点到直线的距离公式。

为了能够让学生迅速的掌握点到直线的距离公式，我准备通过以下三个具体的例子及相关练习进行针对性的训练。

第一个例子是公式的简单应用问题，学生应该能够很轻松的解决，同时在学生完成第一个例子的基础上给出一个思考题，学生通过画图也应该能够解决。

而第二个例子则是公式的逆向运用问题，需要提醒学生注意多解的情况。那么第三个例子有以下几个目的：第一个目的是公式的简单应用，第二个目的则是让学生发现选择不同的点平行四边形的高不变，第三个目的则是为平行直线间的距离作铺垫。

接下来是进行归纳小结，此时应该重点强调数形结合思想在本节课的充分体现。

最后是布置作业。

以上就是我的说课内容，谢谢大家！

《点到直线距离》说课稿4

一、关于教材分析

1、教材的地位和作用

“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的.此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离.所以 “点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点.由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识(如交点、垂直、向量、三角形等)，因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题.通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力.

2、教学目标分析

我确定教学目标的依据有以下三条：

(1)教学大纲、考试大纲的要求

(2)新教材的特点

(3)所教学生的实际情况

教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容.

“点到直线的距离公式”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点.按照大纲 “在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生基础和素质教好的情况，我把本节课的教学目标确定为：

(1)让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离;

(2)通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力;在推导过程中，渗透数形结合、转化(或化归)等数学思想以及特殊与一般的方法;

(3)通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感.

3、教学重点：点到直线距离公式的推导和应用.

教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法.

二、关于教学方法和教学用具的说明

1、教学方法的选择

(1)指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”.

(2)教学方法：问题解决法、讨论法等.

本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用.我选择的是问题解决法、讨论法等.通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展;学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体.

2、教学用具的选用

在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具.它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率.

三、关于教学过程的设计

“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力.课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性.课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动.为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境 提出问题——自主探索 推导公式——变式训练 学会应用——学生小结 教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成.下面对每个环节进行具体说明.

(一)[创设情境 提出问题]

1、这一环节要解决的主要问题是：

创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务.同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力.

2、具体教学安排：

多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决?能否转化为解析几何问题?学生很快想到建立坐标系.如何建立坐标系?建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”.

(二)[自主探索 推导公式]

1、这一环节要解决的主要问题是：

充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式.在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透.

2、具体教学安排：

2.1 学生初探 解决特例

首先提出问题：怎样用解析几何方法求解点到直线距离?由于字母的运算有难度，引导学生从直线的特殊情况入手，这样问题比较容易解决.学生应该能想到，如果直线是坐标轴或平行坐标轴的时候问题比较容易解决，给予学生肯定的评价.学生自己完成推导过程，选两名学生进行板演.

2.2 师生互动 获取思路

特殊情况已经解决，引导学生考虑一般直线的情况.通过学生思考，教师收集得到思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得.我及时评价这种方法思路自然，是一种解决办法.为了拓展学生思维，我们根据已有的知识和经验，还有什么办法能解决?

为此我启发学生，提出问题：

(1)求线段长度可以构造图形吗?

(2)什么图形?如何构造?(学生经过讨论，得到构造三角形，把线段放在直角三角形中.)但是如何构造又是一个难点.

(3)第三个顶点在什么位置?

(4)特殊情况与一般情况有联系吗?

学生通过观察、讨论会提出第三个顶点的不同位置：可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N;或根据特殊情况的证法提示，过P点作x、y轴的平行线与直线的交点R、S.或同时做x、y轴平行线.这样就收集到思路二、三、四.三种思路已经有了，它们的共性是什么?学生能观察出都在三角形中.我继续引导：能不能不构造三角形?而是其它数学相关量?我们刚学习了向量知识，能否用向量知识解决问题呢?(由于在前面学习的向量知识中，向量的模可以表示两点之间的距离，而证明两直线垂直时也已经用到向量知识，法向量又是本节课后阅读材料，本班学生基础和素质较好，在学习直线方向向量时已经布置阅读).

提出问题：线段的长度就是对应向量的模，那么如何求得向量的模呢?根据实际情况提示一方面的方向完全由直线的方向而定(与法向量共线)，另一方面的长度又与点P有关，它的长度又如何控制下来?所以有思路五，由师生一起分析，取法向量=，而= ，以下只要求得，就可以得到距离.2.3 分工合作 自主完成学生提出了不同的解决方案，究竟哪种好呢?如果让每位学生都去用不同解法探求，在课堂上时间显然是不允许的，但教学中又要培养学生的运算能力，如何解决这种矛盾呢?现代教育要求学生要有自主学习、合作学习能力，因此我叫学生对五种思路进行分组练习.在学生求解过程中，我巡视，观看学生解题，了解情况，根据课堂时间的实际情况，选取做好的学生的解题过程用实物投影仪显示.这样不仅能让全体学生看到不同思路的具体解法，还能得出最佳解题方案，接着我展示最佳解题方案的规范步骤.目的让学生有良好的规范的书面表达习惯，起到教师典范的作用.

2.4 公式小结 概括提升公式推导出，学生有了成功的喜悦.我也给予了肯定.但是由于公式的结果是一般情况得出的，而对于，点在直线上是否成立，它们与，点在直线外有什么关系?这并没有验证.而我们要求学生考虑问题要全面，为此我提出提问：

①上式是由条件下得出，对成立吗?

②点P在直线上成立吗?

③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式?通过学生的讨论，使学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线.同时体现整体认识和分类讨论思想.

依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材.在公式的推导过程中，我做了和教材不同的处理方法

1)先特殊后一般的证法，

(2)多角度构造三角形，

(3)知识联系，向量解决.目的是让学生在考虑问题时有特殊到一般的意识，符合学生认知规律，使问题的解决循序渐进.向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而多角度考虑问题，发散学生思维.

(三)[变式训练 学会应用]

1、这一环节解决的主要问题是：

通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式.通过例题的`不同解法，进一步让学生体会转化(或化归)的数学思想.

2、具体教学安排：

由学生完成下列练习：

(1)解决课堂提出的实际问题.(学生口答)

(2)求点P0(-1,2)到下列直线的距离 ：

①3x=2 ②5y=3 ③2x+y=10 ④y=-4x+1

设计说明：练习1的设计解决了上课开始提出的实际问题.练习2的设计故意选特殊直线和非直线方程一般式，主要强调在公式应用时，直线方程是一般式，应用公式的准确性.

例题(3)求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.

我选取的是课本例题，课本只有一种具体点的解法.我通过本节课的学习，让学生对知识从深度和广度上进行挖掘.通过几何画板的演示，让学生直观看到思考问题的方法.除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和.或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差.由特殊点到任意点，由特殊直线到任意直线，从而延伸出两平行线间的距离.目的是在整个过程中，让学生注意体会解题方法中的灵活性以及转化等数学思想方法.

(四)[学生小结 教师点评]

1、这一环节解决的主要问题和达到的目的是：

通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力.

2、具体教学安排：

本节课小结主要由学生完成知识总结，通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结.

(五)[课外练习巩固提高]

① 课本习题7.3的第13题—16题;

② 总结写出点到直线距离公式的多种方法.

设计说明：作业1是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度.作业2是根据课堂分析，让学生总结公式推导的方法.除了课堂上想到的方法还可以继续思考，比如在用两点距离公式整体代换等方法，发挥学生学习的自主性和思维的广阔性.

四、关于教学评价的设计

新课程标准提出要加强过程性评价，因而在具体教学过程中，我对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励;学生思维暴露出问题时及时评价，矫正思维方向，调整教学思路;为了获得后反馈信息，布置作业，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，指导我今后教学.整个教学评价是在师生互动中完成的.

《点到直线距离》说课稿5

一、教材分析：

1、地位与作用：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法的基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。

2、重点、难点及关键：重点是“公式的推导和应用”，难点是“公式的推导”，关键是“怎样自然地想到利用坐标系中的x轴或y轴构造Rt△，从而推出公式”。对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因直接作辅助线（呈现教材）。这样做，无法展现为什么会想到要构造Rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，我没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的Rt△，从而解出|PQ|。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含PQ的Rt△，找不到，自然想到构造，此时再过P点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破难点的关键，推导出公式。

二、教学目标：

1、认知目标：

（1）点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。

（2）领会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数形结合、分类讨论等数学思想），掌握用化归思想来研究数学问题的方法。

2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，从而达到培养学生的观察能力、归纳能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的。

3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。

三、学生情况分析：

学生在此之前已经学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究解析几何问题的重要方法，并且学习了三角函数的相关内容，这就为构造Rt△，利用三角形性质以及同角公式推导点到直线的距离公式做好了铺垫。并且，高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，关键是学生在这个方面的应用意识还比较淡漠，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能够使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。

四、教学方法：

本节课的内容实际上并不是难度很大，关键是推导公式的方法的选择，一旦找准推导方法、作出相应的辅助线，接下来的推导过程就是比较容易完成的。所以

1、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导的”启发式、提问式教学方法。

2、根据“教师应尊重学生主体和主动的精神，开发学生的智能，形成其健全个性”的原则，力求营造民主的教学氛围，使学生或显性（答问、板演等）或隐性（聆听，苦思等）地参与全教学过程，学生在教师设计的问题下，积极思考、动手演练、步步深入，让学生自己导出公式。

3、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。

4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。

五、教学程序：

⑴课题引入：复习如何判断两条直线的位置关系？如果两直线相交，又如何求出交点的坐标？这样有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构。（3分钟）

⑵课题解决：教学过程中，利用“从特殊到一般”的方法（由特殊直线到一般直线；由特殊点到一般的点），提出如下问题：

先研究点到特殊的直线（平行于x轴和y轴的直线）的距离；

然后对于一般的直线，先研究特殊的点（原点）到直线的距离（可以利用“等面积法”、“三角形相似的性质”或“解直角三角形”三种思路求解），再将其解题方法推广到一般的点，就会自然想到构造Rt△进行求解了。

逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程。调动学生自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用，学生的主体作用都得以充分体现。在教学中只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，易于学生的理解和掌握。（27分钟）

⑶例题练习：推导出公式之后，通过例题讲解和学生动手练习，进一步巩固公式的记忆和应用。（12分钟）

⑷小结作业：师生互动，共同总结公式的推导过程以及公式的特征和应用，布置课后作业。（3分钟）

六、教学设计评价：

《点到直线的距离公式》是解决理论和实际问题的一个重要工具，这不仅是其有广泛的应用，而更重要的是公式推导过程中蕴含着重要的数学思想，教学中理应予以重视。因而，在设计这节课的教学方案时，要力求暴露公式推导中的思维过程，突出整体观念对思维过程的指导作用。但在以往的教学过程中遇到的最大困难是：思路自然的则运算很繁，而运算较简单的解法则思路又很不自然。这样就造成了教学中通常采用“满堂灌”、“注入式”，学生的思维得不到应有的训练，学生的主体作用也不能充分体现出来。为避免这个问题，有必要很好地探讨一下，“点到直线的距离公式”的教学如何更合理，怎样把教学过程变成师生共同探索、发现公式的过程，怎样使推导过程自然而简练。

本节课是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，在复习引入时，有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构。教学过程中，逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程。学生能够自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用、学生的主体作用都得以充分体现，经常这样做，学生的数学思维能力必将逐步得到提高。在教学中只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，还可以采用其他的方法推导“点到直线的距离”公式，易于学生的理解和掌握。

这堂课，既是一堂新课，也是实验课；既学习了新知识，也锻炼了用从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法分析解决问题的能力，提高了学生使用现代化工具的动手能力；也让学生感受到数学变化的美；也在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。

《点到直线距离》说课稿6

教学目标：

（1）至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。

（2）培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。

（4）培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。

教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用

教学难点：点到直线的距离公式的推导

教学方法：启发引导法、讨论法

学习方法：任务驱动下的研究性学习

教学时间：45分钟

教学过程：

1、教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）

问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0，y0）和一条定直线l：AxByC=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。

学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。

接着，教师用投影出示下列5道题（尝试性题组），请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：

（1）求P（1，2）到直线l：x=3的距离d；（答案：d=2）

（2）求P（x0，y0）到直线l：ByC=0（B≠0）的距离d；（答案：）

（3）求P（x0，y0）到直线l：AxC=0（A≠0）的距离d；（答案：）

（4）求P（6，7）到直线l：3x—4y5=0的距离d；（答案：d=1）

（5）求P（x0，y0）到直线l：AxByC=0（AB≠0）的距离d。

第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。

2、教师启发引导，学生走出困境（约8分钟）

教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？

学生2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。

教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们思考。

学生3：能！如图1，过点P作x、y轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得

|PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS|

教师：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？

学生3：设R（x1，y0），则由Ax1By0C=0，

得x1=—（By0C）／A，

∴|PR|=|x0—x1|=|Ax0By0C|／|A|；

同理：|PS|=|Ax0By0C|／|B|。

教师：|RS|怎么求？

学生3：|RS|==（/|AB|）·|Ax0By0C|。

教师：|PQ|结果是什么？

学生3：|PQ|=。

教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？

学生4：当A=0或B=0时，ΔPRS不存在，故应说明公式当A=0或B=0时是否适用？

由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。

3、教师提出问题，学生分组讨论（约10分钟）

教师：推导点到直线的距离公式的方法不少。前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。10分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”交流。

学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问......

4、学生交流“成果”，教师点评小结（约16分钟）

经过约十分钟的研讨，各小组都找到了新的推导方法。于是教师请4名代表依次上讲台（让准备成熟的先讲），借助实物投影介绍本组的“成果”。由于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过4分钟，且各组的方法不能重复。

学生5：我们用的是“设而不求，整体代换”的数学思想。请看投影屏幕：

设Q的坐标为（x1，y1），则直线PQ的斜率k1=，又直线l的斜率k=—，于是由PQ⊥l得，k1k=—1即B（x1—x0）—A（y1—y0）=0①

又因为Ax1By1C=0，即Ax1By1=—C

两边同减Ax0By0得A（x1—x0）B（y1—y0）=—（Ax0By0C）②

于是①2②2得，（A2B2）[（x1—x0）2（y1—y0）2]=（Ax0By0C）2，

即（A2B2）d2=（Ax0By0C）2

所以d=。

教师：“设而不求，整体代换”，真是奥妙无穷，这是解析几何减少运算量的有效途径，同时也体现了数学的内在美，妙不可言。

学生6：我们小组向大家介绍一种独特的方法——向量法，请看投影屏幕：

如图2，设T（x1，y1）为直线l上的任意一点，则Ax1By1C=0，=（x1—x0，y1—y0）

∵PQ⊥直线l，

∴平行于直线l的法向量=（A，B）

另设与的夹角为θ，则·=cosθ

即|A（x1—x0）B（y1—y0）|=|||cosθ|

即|Ax0By0C|=·d

∴d=。

教师：向量是数量与图形的有机结合，解析几何是用代数的方法解决几何问题，两者都体现了数形结合的思想，第三小组的推导方法证明了这一点，也再次说明了向量具有很强的实用性与工具性，用向量法解解析几何题确实行之有效。

学生7：：我们小组向大家介绍向量的另一种方法，妙用向量数量积的性质．请看投影屏幕：

如图3，设垂足是点H（m，n），

直线l的法向量共线，

这是相当简单的方法了。

教师：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是“巧夺天工”，与其他方法相比，这种方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应用。

学生8：刚才三个小组的证明方法确实精彩，我们也发现了一种巧妙的方法，把它称为“柯西不等式法”，请看投影屏幕：

我们知道，P点到直线l的距离，实质上是点P与直线l上任意一点T的距离的最小值，于是我们设T（x1，y1）为直线l上的任一点（如图2），则Ax1By1C=0，

而d=|PT|min，于是|PT|=

=×，

利用柯西不等式，便有|PT|≥=，

所以d=，此时，即PT垂直于直线l。

教师：这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富。由点到直线的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“转化”中问题得到圆满解决。同时也体现了不等式的工具作用。

5、公式应用（学生练习，约3分钟）

（1）求P（6，7）到直线l：3x—4y5=0的距离d。

（直接代公式得答案：d=1，检验尝试性题组第（4）的答案）

（2）求P（—1，1）到直线l：的距离d。

（先化直线方程为一般式再代公式得答案：）

6、教师小结并布置作业（约1分钟）

这节课我们学习了点到直线的距离公式，在公式的推导中学到了许多重要的数学思想和方法，感受到了数学的奥妙，也感受到了成功的喜悦。其实这个公式的推导方法不下十种，由于课堂上时间紧，许多同学有创造性的推导方法不能进行展示、交流，请同学们撰写一篇题为《点到直线距离公式的多种推导方法》的数学小论文，作为本节课的作业，允许三到四人合作完成。

设计说明：

数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。由于受应试教育的影响，前者往往被“轻描淡写”，而后者却搞得“轰轰烈烈”，这显然与“重结论，但更重过程”的现代教育理念相违背。其实数学公式的推导都蕴含着丰富的数学思想和数学方法，谁忽视了这个“产生过程”，谁就忽视了数学的“精髓”，谁就忽视了学生探究性思维品质的培养。

这节课把研究性学习引入公式的教学，让学生真正成为课堂的主人。在推导公式的过程中，学生通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼了意志，增强了信心。其实所有公式的教学、定理的教学都应向这个方向努力。

数学教学，从根本上讲就是提高学生的数学素质，提高学生的数学素质的有效途径有二：其一，使学生善于总结，使零乱的知识系统化、综合化；其二，使学生善于联想，培养发散性思维。本节课使学会从不同的角度思考问题，加强知识间的联系，正是锻练、提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力，从而提高数学素质。

通过公式求点到直线的距离并不困难，但这个公式的推导方法不下十种，且各种推导都蕴含着重要的数学思想、方法，由于课堂上时间紧，许多同学的有创造性的推导方法不能进行展示、交流，故课外请同学们撰写一篇题为《点到直线距离公式的多种推导方法》的数学小论文作为本节课的作业。考虑到同学的个体差异，故允许三到四人合作完成。同时通过学生小论文的完成情况对这节课的教学效果作出评价。

本课设计有一定的弹性，实际教学中，学生想到的推导方法不一定是上述几种，我将针对每一种方法的特点进行适当的点评。进行交流的学生不一定是四人，若时间不够，公式应用留到下节课，本节课只完成公式推导。

《点到直线距离》说课稿7

尊敬的领导、老师：

大家好，我今天说课的内容是，九年义务教育小学数学苏教版四年级上册第四单元第三节的内容。接下来，我将从以下几个方面进行我的说课。

【说教材】：

本课是小学数学空间与图形中的学习内容，它是在学生认识了两条直线的垂直关系的基础上安排的。教材在例题中呈现了从一点向已知直线所画的一条垂直线段和几条不垂直的线段，让学生通过度量，发现在这几条线段中垂直的线段最短，这是垂直线段的性质。接着揭示了点到直线距离的概念：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。“想想做做”安排了4道题，第一题让学生测量点到直线的距离；第二题让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量这些线段的长度，发现这些线段同样长；第3、4两题是点到直线的距离和垂直线段的性质在日常生活中的具体运用。

【说教学目标】：

1、知识与能力目标：让学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。

2、过程与方法目标：让学生在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。

3、情感与态度目标：让学生进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。

【教学重点】：

引导学生发现垂直线段的性质，理解点到直线的距离的概念。

【教学难点】：

认识点到直线的距离，并能解决一些实际的问题。

【说教法和学法】：

新课标要求我们在实际课堂教学中应“激发学生独立思考和创新的意识，让学生感受理解知识产生和发展的过程”。本节课借助多媒体，让学生结合具体生活情境充分感知垂直线段最短，形成点到直线距离的概念。通过让学生在画一画、量一量的操作活动中加深学生对点到直线距离概念及垂直线段性质的认识。在操作活动中，不仅培养学生学会与人交流合作的能力，还调动了学生学习数学的积极参与程度。

【说教学过程】：

遵循学生学习数学的心理规律，从学生已有的生活经验和知识体验出发，我从三个环节来诠释整个教学过程。

第一环节：复习旧知

通过提问和作图帮助学生梳理了本单元已学的知识，并为下面的教学做好铺垫。

第二环节：创设情境，学习新知

1、通过预设的接力赛跑活动激发学生学习积极性。

2、提出比赛规则，出示比赛场景图，让学生初步发现垂直线段最短。

3、让学生自己测量5条线段的长度，并发现其中的垂直线段最短，认识垂直线段的性质。

4、教师指出点到直线的距离概念，指名学生说说什么叫“点到直线的距离”帮助学生更好理解概念。

第三环节：巩固新知，深化认识

1、第一题让学生说说什么叫“点到直线的距离”，再测量点到直线的距离，加深学生对概念的理解并发展学生的动手操作能力。

2、第二题让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量这些线段的长度，发现这些线段同样长；

3、第3、4两题是点到直线的距离和垂直线段的性质在日常生活中的具体运用。加深学生对数学知识的理解，使学生体会学习数学的价值培养其数学应用意识。

第四环节：全课总结。

首先让学生自己说说，通过今天的学习，你们学会了什么？学生自己小结，对所学过的知识进行整理，既能了解学生的掌握情况，又能培养学生的概括能力。教师及时给予评价，让学生体验成功，增强学习的信心。

《点到直线距离》说课稿8

尊敬的各位评委、老师：

您们好！

今天我说课的内容是人教版高二第二册（上）第七章第三节第4课时：“点到直线的距离”．

下面根据我写的教案，把我对本节课的教材分析、教学方法和教学用具、教学过程以及教学评价等方面的认识做一个说明．敬请各位专家多提宝贵意见．

一、关于教材分析

1、教材的地位和作用

“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以“点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．

2教学目标分析

我确定教学目标的依据有以下三条：

（1）教学大纲、考试大纲的要求

（2）新教材的特点

（3）所教学生的实际情况

教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容．

“点到直线的距离公式”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生基础和素质教好的情况，我把本节课的教学目标确定为：

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；

（2）通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；

（3）通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．

3、教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．

教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法．

二、关于教学方法和教学用具的说明

1、教学方法的选择

（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”．

（2）教学方法：问题解决法、讨论法等．

本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用．我选择的是问题解决法、讨论法等．通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体．

2、教学用具的选用

在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具．它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率．

三、关于教学过程的设计

“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力．课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性．课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成．下面对每个环节进行具体说明．

（一）[创设情境提出问题]

1、这一环节要解决的主要问题是：

创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力．

2、具体教学安排：

多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？

学生很快想到建立坐标系．如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”．

（二）[自主探索推导公式]

1、这一环节要解决的主要问题是：

充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透．

2、具体教学安排：

2．1学生初探解决特例

首先提出问题：怎样用解析几何方法求解点到直线距离？由于字母的运算有难度，引导学生从直线的特殊情况入手，这样问题比较容易解决．学生应该能想到，如果直线是坐标轴或平行坐标轴的时候问题比较容易解决，给予学生肯定的评价．学生自己完成推导过程，选两名学生进行板演．

2．2师生互动获取思路

特殊情况已经解决，引导学生考虑一般直线的情况．通过学生思考，教师收集得到思路一：过P作PQ ⊥ l于Q点，根据点斜式写出直线PQ方程，由PQ与l联立方程组解得Q点坐标，然后利用两点距离公式求得．

我及时评价这种方法思路自然，是一种解决办法．为了拓展学生思维，我们根据已有的知识和经验，还有什么办法能解决？为此我启发学生，提出问题：

(1)求线段长度可以构造图形吗？

(2)什么图形？如何构造？（学生经过讨论，得到构造三角形，把线段放在直角三角形中．）但是如何构造又是一个难点．

(3)第三个顶点在什么位置？

(4)特殊情况与一般情况有联系吗？

学生通过观察、讨论会提出第三个顶点的不同位置：可能在直线l与x轴的交点M或与y轴交点N；或根据特殊情况的证法提示，过P点作x、y轴的平行线与直线l的交点R、S．或同时做x、y轴平行线．这样就收集到思路二、三、四．

三种思路已经有了，它们的共性是什么？学生能观察出都在三角形中．我继续引导：能不能不构造三角形？而是其它数学相关量？我们刚学习了向量知识，能否用向量知识解决问题呢？（由于在前面学习的向量知识中，向量的模可以表示两点之间的距离，而证明两直线垂直时也已经用到向量知识，法向量又是本节课后阅读材料，本班学生基础和素质较好，在学习直线方向向量时已经布置阅读）．

提出问题：线段的长度就是对应向量的模，那么如何求得向量PQ的模呢？根据实际情况提示一方面PQ的方向完全由直线的方向而定（与法向量共线），另一方面PQ的长度又与点P有关，它的长度又如何控制下来？所以有思路五，由师生一起分析，取λλ(A, B )法向量n＝，而PQ = n，以下只要求得，就可以得到距离．

2．3分工合作自主完成

学生提出了不同的解决方案，究竟哪种好呢？如果让每位学生都去用不同解法探求，在课堂上时间显然是不允许的，但教学中又要培养学生的运算能力，如何解决这种矛盾呢？现代教育要求学生要有自主学习、合作学习能力，因此我叫学生对五种思路进行分组练习．

在学生求解过程中，我巡视，观看学生解题，了解情况，根据课堂时间的实际情况，选取做好的学生的解题过程用实物投影仪显示．这样不仅能让全体学生看到不同思路的具体解法，还能得出最佳解题方案，接着我展示最佳解题方案的规范步骤．目的让学生有良好的规范的书面表达习惯，起到教师典范的作用．

2．4公式小结概括提升

公式推导出，学生有了成功的喜悦．我也给予了肯定．但是由于公式的结果是一般情况得出的，而对于当A = 0，或B = 0时，点在直线上是否成立，它们与当AB ≠ 0时，点在直线外有什么关系？这并没有验证．而我们要求学生考虑问题要全面，为此我提出提问：①上式是由条件下当AB ≠ 0时得出，对当A = 0，或B = 0时成立吗？②点P在直线l上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？通过学生的讨论，使学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线．同时体现整体认识和分类讨论思想．

依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材．在公式的推导过程中，我做了和教材不同的处理方法：（1）先特殊后一般的证法，（2）多角度构造三角形，（3）知识联系，向量解决．目的是让学生在考虑问题时有特殊到一般的意识，符合学生认知规律，使问题的解决循序渐进．向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而多角度考虑问题，发散学生思维．

（三）[变式训练学会应用]

1、这一环节解决的主要问题是：

通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．通过例题的不同解法，进一步让学生体会转化（或化归）的数学思想．

2、具体教学安排：

由学生完成下列练习：

（1）解决课堂提出的实际问题．（学生口答）

（2）求点P0(－1,2)到下列直线的距离：

①3x=2 ②5y=3 ③2x＋y=10 ④y=－4x+1

设计说明：练习1的设计解决了上课开始提出的实际问题．练习2的设计故意选特殊直线和非直线方程一般式，主要强调在公式应用时，直线方程是一般式，应用公式的准确性．

例题（3）求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．

我选取的是课本例题，课本只有一种具体点的解法．我通过本节课的学习，让学生对知识从深度和广度上进行挖掘．通过几何画板的演示，让学生直观看到思考问题的方法．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差．由特殊点到任意点，由特殊直线到任意直线，从而延伸出两平行线间的距离．目的是在整个过程中，让学生注意体会解题方法中的灵活性以及转化等数学思想方法．

（四）[学生小结教师点评]

1、这一环节解决的主要问题和达到的目的是：

通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力．

2、具体教学安排：

本节课小结主要由学生完成知识总结，通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结．

（五）[课外练习巩固提高]

1课本习题7.3的第13题—16题；

2 总结写出点到直线距离公式的多种方法．

设计说明：作业1是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度．作业2是根据课堂分析，让学生总结公式推导的方法．除了课堂上想到的方法还可以继续思考，比如在用两点距离公式整体代换等方法，发挥学生学习的自主性和思维的广阔性．

四、关于教学评价的设计

新课程标准提出要加强过程性评价，因而在具体教学过程中，我对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励；学生思维暴露出问题时及时评价，矫正思维方向，调整教学思路；为了获得后反馈信息，布置作业，通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，指导我今后教学．整个教学评价是在师生互动中完成的．

以上是我对这节课的设计，恳请各位专家和老师批评、指正．

谢谢！

《点到直线距离》说课稿9

一．教材分析：

1．本节教材在本章中的地位和作用：

本章内容作为高中数学中仅有的两章解析几何知识的第一章，是属于解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是学习导数，微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用，而本节教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要内容，是本章环环紧扣的知识链中必不可少的一环。

这节课“点到直线的距离”是本节教材“两直线的位置关系”的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。例如：求最小值问题，对一些新知识新概念的定义，建立方程的问题等等，立竿见影，运用点到直线的距离公式都可以简便迅速地解决问题，还可使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系。

2、本节内容的具体安排及编写思路：

出于简洁性的考虑，教材编写单刀直入地直接提出核心问题，并给予解决的方法。我编写本节教案时，通过创设问题情境引入课题，降低难度，教给学生从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生去解决问题，探究问题，得出结论。在这个过程中，老师作适当的点拨、引导，让学生逐步逼近目标，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。教师的主导作用，学生的主体地位都得以充分体现，然后让学生自己归纳、总结得出结论，享受成功的喜悦和快乐。对教材上的例10、例11，由于是直接应用点到直线的距离公式，较易，故我让学生直接去阅读、去理解，熟悉点到直线的距离公式。但对例11的稍许变化，却抓住不放，通过例11的解法的启示，激发学生进一步去应用点到直线的距离公式去探究二平行直线间的距离公式，利用有限的时间和学生刚成功的那一股学习的惯性，对教材进行拓广，让学生对归纳总结出的公式有更加深刻、透彻的理解和掌握，达到灵活应用的目的。

3．教学目标：

1）、使学生掌握点到直线的距离公式及结构特点，并能熟练准确的应用这一公式，达到理解掌握知识的目的。

2）、学会寻找点到直线距离公式的思维过程及推导方法，培养学生发现问题、探究问题的能力。

3）、教学中体现数形结合、转化的数学思想，分类讨论的数学思想，培养学生在研究讨论问题时的数学技能和实际动手能力以及思维的严密性。

4）、教学中鼓励同学相互讨论，取长补短，培养学生的合作意识和团队精神。

4．重点、难点：

理解和掌握点到直线的距离公式，熟练的应用公式求点到直线的距离是本节学习的重点，难点是点到直线距离公式的推导。

二．学情分析：

我所在的学校——四川省渠县中学，虽然是一个国家级重点中学，但同时又由于渠县是一个农业大县，一个国家级贫困县，80%以上的学生来自偏远的乡村及山区，教育理念和教育水平都较落后，学生在小学、初中阶段基本上都是在死记硬背、囫囵吞枣中渡过的，很少在数学上享受过真正意义上的研究问题、探索发现问题的乐趣，都习惯于跟着老师的思路走，不善于自己开动脑筋去研究问题、探索问题。鉴于此，我们在教学中正逐步采用探索式教学，引导学生自己理解、掌握知识，逐步培养和提高学生发现问题、探索问题的能力，以及合作意识和合作精神的目的。

三．主要教学构想：

通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用。特别是引导学生对例11的进一步探究，既拓广了教材，又进一步加深了同学们对从特殊到一般的研究方法的理解。从而达到探究——讨论——归纳总结——完善结论——牢固掌握——灵活运用的目的。

四．教学过程：

1．创设问题情境：

实例：某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计的坐标图（即以供电局为直角坐标原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，长度单位为千米），得知这个村庄的坐标是（15，20），离它最近的只有一条直线线路通过，其方程为：3x–4y–10=0,问要完成任务，至少需要多长的电线？（如图4—1所示）

〈字幕出示题及图，让学生阅读、理解、思考，约2分钟〉

引入课题：

[师讲]同学们，通过刚才的读题和理解已经知道，这实际上是一个求点到直线的距离的问题，也即我们这节课所要研究讨论的问题。

2．解决问题情境：

[师继续讲]下面，请同学们应用已学过的知识，自己想一个办法来解决此问题，甚至不一定要求结果，只要得出一个思路即可。

〈让同学思考、讨论约5分钟，然后让学生自己举手回答，老师点评，约10分钟〉

学生可能的回答：

[答一]拉一根绳子量一下即可。

[师问]可以，但哪里去找那么长的绳子？还有其它办法吗？

可能会有学生众补充：测距仪！测距仪！

[师肯定]好办法！将来肯定是做工程师的材料！请坐下。

[师继续]但如果由于条件的限制，我们手里仅有纸、笔及三角板（或直尺），能不能发挥我们的数学特长，用所学数学知识来解决呢？

可以肯定，被开方式是一个二次项系数为正的二次函数，x0又不受限制，应该有最小值，从而︱PQ︱有最小值，此最小值即为所求。

[师肯定]好思路！既利用了直线方程设出了直线上的一点，又利用两点间的距离公式得到了一个二次项系数为正的二次函数，且不管根号的影响，大着胆子求二次函数的最小值，求出的最小值开平方即得结果。但要考虑两个问题：①求出的二次函数的最小值有无为负数的可能？②此种方法的运算量是否偏大？同学们可利用课后时间试着推演一下。

[答三]要求点P到直线上的点的最短距离，即求点P到直线的距离，由点到直线距离的概念，直接过点P作PQ垂直于直线于Q点，则线段PQ的长即为所求。（如图4—2所示）

Q的坐标，再由两点间的距离公式可得出：︱PQ︱=9

[师肯定]好思路！直接运用了刚学过的直线的方程，二直线的交点，二直线垂直的条件，两点间的距离公式等知识，用到了解析几何的基本方法。在有数据做具体运算时不失为一种好方法，但仍有一定的运算量。不信，同学们下来后又可验算一番。

[答四]可能预习过教材的同学

过P作PQ垂直于直线于Q点，则PQ即为所求，再过点P分别作轴、轴的平行线分别交直线于M，N点（如图4—3所示）

[师肯定]方法相当不错！既有数形结合的思想，构造的思想，又妙用了解析几何中坐标的概念，直线上的点的概念及两点间的距离公式等知识。但为什么如此做呢？（老师分析、归纳）：该做法充分运用了点P的坐标的意义，通过体现点P的坐标，发现过P作轴、轴的平行线时与直线有二交点，这二交点与点P自然而然地构成了一个直角三角形，又由于这二交点在直线上，从而可得二交点的坐标，再由两点间的距离公式可进一步得到直角三角形的三条边长，至此，由直角三角形面积公式得到点P到直线的距离|PQ|也就是水到渠成的事情了。但仍显得有一定的运算量。

（如果学生还有其它解法，老师可在黑板上随机应变地板书。）

（如果学生一个方法均未想到，老师可作如下引导：字幕逐条显示，图形中的线段依顺序逐一显示

①什么是点P到直线的距离？

过P作直线的垂线，垂足为Q，则|PQ|即是点P到直线的距离。（如图4—4所示）

②点P的坐标的意义如何？

过P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为K、I，则有向线段KP、IP的数量即为点P的坐标。

③体现一下点P的坐标如何？

发现，过P作轴的垂线时，与直线有一交点N，且N点的横坐标与点P的横坐标一致，而N点在直线上，从而由直线的方程可得N点的纵坐标，进而得线段PN的长。

受此启发，过P作轴的垂线PI时，由于与直线无交点，故作PI的反向延长线与直线交于点M，从而点M的纵坐标与点P的纵坐标一致，且横坐标通过直线的方程也易求得，线段PM的长也就求得了。

④眼前一亮，直角三角形MPN已浑然天成，且MN的长也可由两点间距离公式求得，从而由直角三角形面积公式可求得|PQ|的长。

3．点到直线距离公式的推导：〈15分钟〉

[师讲]通过前面[答二]、[答三]、[答四]，我们都遇到了同一个拦路虎，即运算量较大的问题，而我们今后将会遇到大量的类似问题，如果都如此运算，未免太浪费宝贵的时间。此时此刻，我们多么需要有一个简便的运算点到直线的距离的公式来解救我们！

下面，就让我们去探究这个公式吧，用我们今天的辛苦去换取我们明天的简捷吧！（暗示公式的存在，激发同学们探究的兴趣，增强同学们探究成功的信心。）

[出示问题]在平面直角坐标系中，如果已知某点P的的坐标为（）,直线的方程是Ax+By+C=0,（如图所示），怎样由点的坐标和直线的方程去直接求点P到直线的距离？

[师讲]下面，仍然请同学们自己想办法解决此问题。（可以让前面一排的同学转过去与后面的同学每四个人一组进行讨论解决。老师到同学们中间去巡视，了解同学们的思路，及时的加以点拨，同时也对同学们的探究方法和探究能力做到心中有数。）

[老师估计]由于有前面的[答二]、[答三]、[答四]或老师的引导作铺垫，（这个铺垫非常重要！故前面占用了较多的时间也不可惜！）故大多数同学可能会按[答四]的方法做：老师可以作预见性的字幕板书，在大多数同学完成后再出示。如有同学按[答三]的思路做，老师提示，运算量太大，一般不采用。

过点P作轴的平行线，交于点R（）；作轴的平行线，交于点S（）。（如图4—5所示）

此时，可能同学们会大舒一口气，但老师紧接着进一步提出：“诸位，考虑到A,B为零的情况没有？请进一步考虑一下A,B为零的情况如何？”

高中数学教案点到直线的距离公式 篇6

【课题】 点到直线的距离公式 【课题类型】新知课 【教学目的】

1.使学生了解点到直线的距离公式的推导过程 2.要求学生牢记并会灵活运用点到直线的距离公式 【重点】掌握并会灵活运用点到直线的距离公式 【难点】点到直线的距离公式的推导过程 【教学过程】 1.引出新课 ⑴提出问题

让同学们思考，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0,y0），直线L的方程 Ax+By+C=0，那么怎样由点的坐标和直线的方程直接求出点P到直线L的距离呢？ ⑵提问问题

找同学回答点到直线的距离是如何定义的

（点P到直线L的距离d是点P到直线L的垂线段的长度 ⑶做出图形

让同学观察图形，则图中PQ即为所求点到直线的距离

引导学生思考，若求PQ，则要用到连点之间的距离公式，因此要求出点配合点Q的坐标，由于P点的坐标已知，因此之需求Q.若求Q,由于Q是直线L与直线PQ的交点，因此需要求出直线PQ的方程，又点P的坐标已知，PQ与直线L垂直，故PQ的斜率为B/A 通过以上分析，可计算出PQ的长度，即点P到直线L的距离

要求学生下去自己求解，但由于计算过程复杂，问是否有简单的方法呢？ 2.讲新课 I.分析过程

⑴在图上作出过P点与x轴,y轴垂直的直线PS,PR与直线分别交与S,R 让同学们观察是不是有什么新的思路。⑵两分钟后，和同学们一起分析，PQ相当于直角三角线PRS斜边上的高，即S=1/2|RS||PQ| 然而，直角三角形的面积S=1/2|PR||PS| 因此有

1/2|RS||PQ|=1/2|PR||PS| 即

|PQ|=|PR||PS|/PQ ⑶那么要求|PQ|，只需求解|PS|,|PR|,|PQ|，那么怎么求解这几个量呢？ II.推倒过程

此时，可设P(x0,y0),则R(x1,y0),S(x0,y2)由

Ax1+By0+C=0 Ax0+By2+C=0

得

x1=(-By0-C)/A

y2=(-Ax0-C)/B 所以，|PR|=|x0-x1|=|(Ax0+By0+C)/A| |PS|=|y0-y2|=|(Ax0+By0+C)/C| |RS|=√PR*PR+PS*PS=√A*A+B*B/AB*| Ax0+By0+C| 代入面积公式，得

|PQ|=| Ax0+By0+C|/√A*A+B*B 3.讲例题