极限不存在的证明

2024-04-21

极限不存在的证明（精选6篇）

极限不存在的证明篇1

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在4

如图用定义证明极限不存在~谢谢！

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

极限不存在的证明篇2

随着系统次数的增加, 讨论系统极限环的困难程度也会随之增大, 所以对高次平面多项式系统极限环的研究并不多见.本文研究了一类平面奇次系统:

${\begin{cases} \frac{d x}{d t} = - y (1 - a x^{2 n}) (1 - b x^{2 n}) + δ x - l x^{4 n + 1} ‚ \\ \frac{d y}{d t} = x^{2 n - 1} (1 - c x^{2 n}) (1 - b x^{2 n}) . \end{cases} (1)$

通过变换 $d t = \frac{d τ}{(1 - a x^{2 n}) (1 - b x^{2 n})}$ , 变换后我们仍把τ记作t.则系统 (1) 化成Lienard系统:

${\begin{cases} \frac{d x}{d t} = - y - \frac{l x^{2 n + 1} - δ x}{(1 - a x^{2 n}) (1 - b x^{2 n})} = - y - F (x) ‚ \\ \frac{d y}{d t} = x^{2 n - 1} \frac{1 - c x^{2 n}}{1 - a x^{2 n}} = g (x) . \end{cases} (2)$

采用定性分析的办法, 得到系统 (4.1) 极限环的不存在的系数条件.

二、极限环的不存在性

定理如果c≤0, 并且δl≤0, 则系统 (1) 不存在极限环.

证明当a≤0, b≤0时, 因为c≤0, 这时O (0, 0) 为系统 (1) 的唯一奇点, 也为系统 (2) 的唯一奇点.由于通过变换 $d t = \frac{d τ}{(1 - a x^{2 n}) (1 - b x^{2 n})}$ , 系统 (1) , (2) 有相同的拓扑结构, 只需考虑系统 (2) 即可.

则F (x) , g (x) ∈c0 (-∞, +∞) , 当x≠时, 有

$\begin{array}{l} x g (x) = x^{2 n} \frac{1 - c x^{2 n}}{1 - a x^{2 n}} > 0 ‚ (3) \\ x F (x) = x \frac{l x^{4 n + 1} - δ x}{(1 - a x^{2 n}) (1 - b x^{2 n})} \\ = \frac{l x^{2} (x^{4 n} - \frac{δ}{l})}{(1 - a x^{2 n}) (1 - b x^{2 n})} > 0 (< 0) ‚ l > 0 (< 0) . (4) \end{array}$

考虑函数λ (x, y) =∫ $_{0}^{x}$ $g (ξ) d ξ + \frac{1}{2} y^{2}$ ,

由 (3) 式知, λ (x, y) =∫ $_{0}^{x}$ $g (ξ) d ξ + \frac{1}{2} y^{2} \geq 0 .$

$\begin{array}{l} 则 \frac{d λ}{d t} |_{(2)} = g (x) \dot{x} + y \dot{y} \\ = g (x) [- y - F (x)] + y g (x) \\ = - g (x) F (x) . \end{array}$

$\begin{array}{l} 当 δ = l = 0 时 ‚ \frac{d λ}{d t} |_{(2)} = g (x) \dot{x} + y \dot{y} \\ = - g (x) F (x) \equiv 0 . \end{array}$

故此时O (0, 0) 是中心.

当δl<0时, 从 (3) , (4) 式知

$\frac{d λ}{d t} |_{(2)} = - g (x) F (x) .$

定号, 所以系统 (1) 此时不存在极限环.

其他情况同理可证明, 故定理成立.

参考文献

[1]杨启贵.关于Lienard方程的中心问题.系统科学与数学, 1998, 18 (3) :374-379.

[2]葛渭高.方程t=h (y) -F (z) =-g (z) 的极限环存在定理.应用数学学报, 1988, 11 (2) :164-172.

[3]杨启贵.Lienard型系统全局稳定性的充要条件.数学学报, 2000, 43 (4) :719-726.

[4]张芷芬.常微分方程定性理论[M].北京:科学出版社, 1984.

最“不要命”的极限挑战篇3

当地时间2011年9月10日，德国纽伦堡，极限小轮车高手在教堂前秀车技，高难度动作惊险刺激。

俄罗斯19岁学生玛拉特购买了一部相机，四处寻找美景拍照。他和好友偷偷爬上莫斯科各个高层建筑，在未采取保护措施的情况下，走到上百米高的建筑物边缘，仿佛云中漫步，居高临下拍摄了许多令人叫绝又使人眩晕的照片。

两名勇敢的男子Will Gadd和Tim Emmett是极限运动爱好者，他们来到加拿大的罕肯瀑布，花费两周时间精心计划攀爬这个因气候原因已经冰冻的瀑布，整个瀑布高达450英尺，瀑布周围已经结满了冰柱，温度在零下25摄氏度。他们勇者无惧的攀登精神实在令人佩服。

2011年红牛悬崖跳水墨西哥站比赛在尤卡坦半岛的原始丛林举行，哥伦比亚选手Orlando Duque从27米高的悬崖上跳下，动作十分优美。

摄影师Kim Eijdenberg在加拿大惠斯勒旅行的时候，发现了这群勇猛无惧的年轻人，他们在进行一项极具高难度的表演——滑雪越火圈。整个过程尤为惊险，他们需用滑雪板登上20英尺高的斜坡，然后来个干净利索的飞跃，穿过8英尺宽的熊熊燃烧的火圈，最后完美落地。这听上去就足以令人冒冷汗了！

40多岁的荷兰人Wim Hoff多次打破吉尼斯世界纪录，因为他能在致人死亡的低温下怡然自得。他光着脚，赤裸身体，在北极圈的冰雪上跑马拉松！他光着脚，赤裸着身体登上冰天雪地的山峰！他在北极的冰层下面来回潜泳！他赤裸身体，被冰块掩埋至脖子，1小时12分钟后，他皮肤微红，一切正常！右图为Wim Hoff在冰层上裸体练瑜伽。

最玩命的征服来自英国的两位勇士，Tom Randall和Pete Whittaker成功征服世界难度系数最大的裂缝，并成为首次征服该裂缝的人。这条裂缝位于美国犹他州Canyonlands国家公园，被称作“世纪大裂缝”，此前虽有不少攀岩者试图征服这条水平长达近40米的大裂缝，但从未有人成功。Tom Randall和Pete Whittaker为了完成此次挑战，足足准备了两年时间，在家乡用木头制造了一个裂缝模拟器进行日常训练，并最终挑战成功。

来自美国华盛顿的Bissell Hazen是一个热衷拍摄极限运动场面的摄影师，他喜欢到世界上最寒冷、最陡峭的危险地方去捕捉冒险者从陡峭岩壁上垂直飞速下滑或是从冰冷岩石上急速滑雪的照片。他经常去的拍摄地点是位于美国怀俄明州的大提顿国家公园，他所拍摄的照片生动地体现了极限运动的惊险刺激，让人看了心惊胆战。

John Jackson， Travis Rice 和Mark Landvik，三个与死亡掷骰子的家伙，从阿拉斯加高3000英尺的Tordrillo山垂直速降，几秒钟内完成令人咋舌的惊人之举，并创造了奇迹，成为首批征服阿拉斯加垂直斜坡的勇士。他们冒着引发雪崩的危险，以80英里的时速和50度角向下俯冲。摄影师Scott Serfas则从安全区的直升机上对他们进行拍摄，“那真的是叹为观止，我知道我正在见证一项滑雪记录的诞生”。

极限不存在的证明篇4

在这个世界上，每个人都是以唯一的方式独特存在着——题记

曾有人歌颂，曾有人钦佩，曾有人赞扬——那些一桩桩、一件件不平凡的事，也曾有人为那些流芳百世、佳名远播、才高八斗的英雄、伟人、才子撒热泪、传功绩。

其实，他们也都是平凡的人，但是却以平凡的存在而不平凡着。

每个人的平凡存在都为了证明自己的不平凡。只是，不是所有的人都能干一番惊天动地的大事业；不是每一个人都能为集体、为社会、为祖国做出贡献；不是只有那些为群众、为人民抛头颅、洒热血的人才算得上不平凡！

虽然，一个平凡的人一举一动都算不了什么，他的一言一语也没什么分量。在这个茫茫宇宙中，缺少他一个，地球也一样转动。但是，如果在一个君主制的社会中，就不能缺少皇帝，不能缺少臣子，公主、千金、才子也都很重要。那为什么缺少一个平凡的人就不算什么呢？是因为他们家世的不显赫，还是因为没有伟大的抱负和理想？其实都不是，要我说，每个人都是平凡的，只是在人生的分岔路上，有的人无可奈何地选择了“平凡”，有些人也无可奈何地选择了“不平凡”而已。既然一个人存在于世界上，就是上帝要他证明自己的不平凡„„

在家人眼中，自己是不平凡的。在朋友眼中，自己也是不平凡的。不一定要当上明星才会耀眼，不一定要做出贡献才伟大，不一定所有平凡的人都注定是平凡的。

人活着，就是为了证明自己的不平凡，要想不平凡，就必须充实自己，等到人生走到尽头时，能够问心无愧的说：“我已经在平凡存在中证明了自己的不平凡。”才算不平凡。

所以，只有在平凡存在中证明了自己的不平凡才能真正地让自己不平凡。

函数极限的定义证明篇5

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明因为

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

lim(x)lim(x),

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

定义证明二重极限篇6

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式V(p)一周<。成立，则称A为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一A卜

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2<0,单调递减

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a