数列求和的方法技巧总结

数列求和的方法技巧总结（精选14篇）

数列求和的方法技巧总结 篇1

利用等差、等比数列的前n项和公式，则直接应用就可使问题解决，要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律.

[例1]求数列1, 1+a, 1+a+a2, 1+a+a2+a3, …，1+a+a2+…+an-1，…的前n项和Sn.

解：(1)若a=1，则an=1+a+a2+…+an-1=n, 于是Sn=1+2+3+…+若a≠1，则an=1+a+a2+…+an-1=

二、错位相减法求和

这种方法主要适用于求以一个等差数列和一个等比数列相应项的乘积所构成的数列的前n项和.做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“q”为同类项进行合并，得到一个可求和的数列.

[例2]求和：x+3x2+5x3+…+(2n-1) xn.

解:设Sn=x+3x2+5x3+…+ (2n-1) x n (1) , 则x Sn=x2+3x3+5x4+…+ (2n-1) x n+1 (2)

(1) - (2) , 得 (1-x) Sn=x+2x2+2x3+…+2x n- (2n-1) x n+1.

当x≠1时,

当x=1时,

三、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列通项分解成两项差的形式，这两项一定要是同一数列相邻(相间)两项，即这两项的结构应一致，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

[例3]数列1,

(1) 写出它的通项an; (2) 设, 求数列{bn}的前n项之和.

解析：(1)因为所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列.

(2) ) 所以数列bn的前n项和为2

常用裂项技巧如：

四、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(倒序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an).当数列{an}满足ak+an-k等于常数时，可用倒序相加法求数列{an}的前n项和.

[例4]求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1) Cnn=(n+1) 2n

证明：设Sn=Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1) Cnnnnnnnn (1)

把 (1) 式右边倒转过来得Sn= (2n+1) Cnn+ (2n-1) Cn-1n+…+3C1n+C0n (倒序)

又∵Cmn=Cn-mn, ∴Sn= (2n+1) C0n+ (2n-1) C1n+…+3Cn-1n+Cnnn (2) 01n-1nn

(1) + (2) 得:2Sn= (2n+2) (C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn) =2 (n+1) ·2n n

∴Sn= (n+1) ·2n。

五、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例5]求数列的前n项和:

解:设

将其每一项拆开再重新组合得：

(分组)

当a=1时, (分组求和) ,

当a≠1时,

参考文献

[1]李建业.鼎尖教案.延边教育出版社, 2010.

[2]王俊杰.名师一号.光明日报出版社, 2008.

数列求和方法总结 篇2

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;

项数：等差数列的所有数的`个数，一般用n表示;

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公

式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)d;

通项=首项+(项数一1)公差;

数列和公式：sn，=(a1+an)n2;

数列和=(首项+末项)项数2;

项数公式：n=(an+a1)d+1;

项数=(末项-首项)公差+1;

公差公式：d=(an-a1))(n-1);

公差=(末项-首项)(项数-1);

数列求和方法及数学归纳法 篇3

一、常用公式法

直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：

等差数列求和公式:

等比数列求和公式:

二、错位相减法

可以求形如 的数列的和，其中

为等差数列，为等比数列.例1：求和：.设

减法求和.解：，其中 为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相，两端同乘以，得，两式相减得

于是.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.三、裂项相消法

适用于 阶乘的数列等 例2

求数列{1/（＋)}的前n项和 其中{

}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含解： ∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/（＝

＝＋)＋1/(－－1

＋)＋…＋1/(－

－)－1＋＋…＋说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列，利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从

而Sn又因中间项相消而可求。

四、分组转化法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个

等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．

n例3 已知集合A＝{a|a＝2＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和

1011解： 由 2＝1024，2＝2048 1010－4＜2000

知 2＋9×1110－4＞2000

2＋9×

∴ A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则

(首项为9，公差为9的等差数列)

2310

S10＝2＋2＋2＋…＋2＋9＋18＋…＋90－4×

(首项为2，公比为2的等比数列)

5－40＝2501

＝2(210－1)＋99× 说明：本题中A是一个集合，集合中的元素是不可重复的，也是没有顺序，所以集合与数列是不同的，但在求和时与10个元素的顺序无关，所以可借用数列的方法求和。

五、配对求和法

对一些特殊的数列，若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 设数列的首项为，前项和

（1）求证：数列是等比数列。

满足关系式：

（2）设数列的公比为，作数列使，求。（3）对（2）中的数列求和：。

（1997年上海高考试题）

解: 1）略；（2），（提示：）

（3）

（提示：配对求和）

六、数学归纳法

第一数学归纳法：（1）已知命题P(1)成立；

（2）若命题P(k)成立，则P(k1)成立；

由（1）（2）可知命题P(n)都成立。

简单实例：证明12342n22n12n1(nN*)； 第二数学归纳法：（1）已知命题P(1)成立；

（2）若当nk时命题P(k)都成立，则P(k1)成立；

由（1）（2）命题P(n)都成立。

应用的注意点：

（1）两步缺一不可

（2）第二步证明是必须利用归纳假设；

例5．用数学归纳法证明：。

证明：i)当n=2时，左式=，右式=，∵，∴，即n=2时，原不等式成立。

ii)假设n=k(k≥2, k∈Z)时，不等式成立，即 ，则n=k+1时，左边=

右边=，要证左边>右边，只要证，只要证

2，只要证 4k+8k+4>4k+8k+3

只要证4>3。

而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式>右式。

由i), ii)可知，原不等式对n≥2，n∈N均成立。

七.倒序相加法：

如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。

例6.求和

解析：据组合数性质，将倒序写为

以上两式相加得：

八.待定系数法

类似等差数列，如果是关于的次式，那么它的前项和

次式的各项系数即可。

是关于的次式，且不含常数项。因此，只要求出这个例7.求和解析：由于通项是的二次式，则是的三次式，且不含常数项。

设，令得

解得

所以

九．无穷等比数列各项和

符号：Sa1a2...an...limSn

nnn显然：1）q1，limSnlimna1不存在

2）q1,，Sn,1a1，n2milSn不存在(mN*)mn0,n2ma1(1qn)3）q1，limSnlim不存在

nn1qa1(1qn)a4）q1，limSnlim1

nn1q1q定义：我们把q1的无穷等比数列前n项的和Sn当n时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即S=

a1(q1)。1q注：1.无穷等比数列前n项和Sn与它的各项和S的区别与联系； 2.前n项之和Sn是数列中有限个项的和,而无穷等比数列各项的和Sn是数列中所有的项的和,它们之间有着本质的区别。

3.对有无穷多项的等比数列,我们是不可能把它们所有的项一一相加的,而是通过对它的前n项之和取极限运算而求得,是用有限的手段解决无限的问题。

4.求和前提：0q1,q0；公式表明它只求公比0q1,q0 的无穷等比数列各项的和.数学归纳法

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

ancnacn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用数学归纳法证明：

a2c2ac2()①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22akckack(), ②设n=k时成立，即

22ak1ck11(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)则当n=k+1时，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44ackacack+1＞()·()=()

2221［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.2

22命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=－

1应舍去，这一点往往容易被忽视.2k3111}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得SnS12技巧与方法：求通项可证明{通项公式.11成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n1)1 2同理可得：a4=－,由此可推出：an= 2(n1)35(2n3)(2n1)(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.2②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

(2k3)(2k1)故Sk2=－21·(Sk－)

2(2k3)(2k1)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk2k12k311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak1ak11122aaak1k1k12k12k12(2k1)2

2ak1,即nk1命题也成立.[2(k1)3][2(k1)1]1(n1)由①②知，an=对一切n∈N成立.2(n2)(2n3)(2n1)(3)由(2)得数列前n项和Sn=

1,∴S=limSn=0.n2n1数学归纳法的应用

数列求和问题 篇4

教学目标

1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．

2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．

教学重点与难点

重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和． 难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的． 教学过程设计

（一）复习引入

在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?

二、复习预习

通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容

三、知识讲解 考点

1、公式法

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1

2、等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1qn113、Snkn(n1)

4、Snk2n(n1)(2n1)

26k1k1n15、Snk3[n(n1)]2

2k1n

考点

2、分组求和法

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例求和：Sn2351435263532n35n 解：Sn2351435263532n35n

2462n35152535n

4，6，，2n练习：求数列2，14181161，的前n项和Sn． 2n111{2n}，而数列是一个等差数列，数列n1是一个等比

2n12分析：此数列的通项公式是an2n数列，故采用分组求和法求解．

111111解：Sn(2462n)234n1n(n1)n1．

222222小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.考点

3、、倒序相加

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).例求sin21sin22sin23sin288sin289的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289„„„„.①

将①式右边反序得

Ssin289sin288sin23sin22sin21„„„„..②（反序）

又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1

①+②得（反序相加）

2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴ S＝44.5

2x练习：已知函数fxx 22（1）证明：fxf1x1；

1（2）求f102f108f109f的值.10解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1f1092ff10108f108f102f105f105f1 101令Sf109则Sf102f108f109f 101f 10两式相加得：

2S9

1f1099f9 所以S.210小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.考点

4、裂相相消法

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似

（其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

1，求它的前n项和Sn

n(n1)例、数列an的通项公式为an解：Sna1a2a3an1an

11111 122334n1nnn1111111111 =1

22334n1nnn11n n1n1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.1针对训练

5、求数列 1111，,，的前n项和Sn.122332nn1练习：求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n（裂项）

1nn1则 Sn12312（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

作业：基本练习

2221、等比数列{an}的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12a2＝________________.a3an2、设Sn1357(1)n(2n1)，则Sn＝_______________________.3、111.1447(3n2)(3n1)

4、1111=__________ ...243546(n1)(n3)

5、数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an，前n项和Sn 综合练习1、1222324252629921002＝____________；

2、在数列{an}中，an1，.则前n项和Sn；

n(n1)(n2)n2an(n1)(n2)，n3、已知数列{an}满足：a16，an1（1）求a2，a3；（2）若dn an，求数列{dn}的通项公式；

n(n1)

考点5错位相减

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若anbncn，其中bn是等差数列，cn是公比为q等比数列，令

Snb1c1b2c2bn1cn1bncn

则qSnb1c2b2c3bn1cnbncn1 两式相减并整理即得

例4 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1„„„„„„„„„①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn„„„„„„„„„.②（设制错位）

①－②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)∴ Sn 2(1x)小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{bn}的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.2462n练习：

1、求数列,2,3,,n,前n项的和.22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n„„„„„„„„„„„„„①

222212462nSn234n1„„„„„„„„„„„„②（设制错22222位）

1222222n①－②得(1)Sn234nn1（错位相减）

222222212n2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

2、已知 ann2n1，求数列｛an｝的前n项和Sn.解：Sn120221(n1)2n2n2n1 ①

2Sn121222(n1)2n1n2n ②

②—①得

Snn2n120212n1n2n2n1

1352n13、6、,2,3,,n,;的前n项和为_________ 222264、数列{an}中, a11,anan1n1,nN*，则前n项和S2n=；

55、已知数列annn!，则前n项和Sn=；

数列求和的几种方法 篇5

一、裂项相消法

这种方法是将数列的通项公式分成两个式子的代数和, 即an=f (n+1) -f (n) , 然后累加抵消掉中间的许多项, 这种先裂后消的方法叫裂项求和法.用裂项求和, 需要掌握一些常见的裂项, 如:等.

例1求和:

分析本题是属于直接给出前n项和的式子来求和的题型.解这种类型的题目首先要从这个数列的通项公式也就是第n项即入手开始求解.

评析 此题所采用的求和方法是裂项法求和, 这种方法适用的求和题目很单一, 即在数列的各项都是分数的前提下把各项都分裂成两项甚至更多项, 而且各项分裂的项加在一起, 中间的一些项要能够消去才行.还有一点需要注意的是:在裂项相消时, 前面剩下几项, 对应的后面也会剩下相同数目的项.

二、错位相减法

对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和, 常用错位相减法.如:an=bncn, 其中{bn}是等差数列, {cn}是等比数列.

记Sn=b1c1+b2c2+……+bncn,

则q Sn=b1c2+b2c3+…+bn-1cn+bncn+1,

其中q为等比数列{cn}的公比.要求Sn, 只需把上两式相减, 然后错位相减即可.推导等比数列的前n项和公式时采用了这种求和方法.

例2求数列x, 2x2, 3x3, …, nxn (x为常数) 的前n项和.

分析 观察本题各项可知, 本数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列, 故可采用错位相减法解答.但本题中的x是一个不定的常数, 且作为等比数列的公比, 故对x的值须分x=1和x≠1讨论.

解设前n项和为Sn, 则

(2) 当x≠1时,

两式相减得:

评析 本例是错位相减的最典型的例题.应用“错位相减”时写出“Sn”与“q Sn”的表达式, 特别注意将两式“同项对齐”, 以便于下一步准确写出“Sn-q Sn”的表达式.乘公比错位相减法是数列求和的重要方法之一, 但这种方法运算过程复杂, 运算量大.所以应加强对运算能力的培养.

三、拆项求和法

在这类方法中, 我们先研究其通项公式, 通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式, 再代入公式求和.

例3 求数列7, 77, 777, …的前n项和Sn.

分析 此数列既不是等差数列也不是等比数列, 我们应先归纳出其通项公式, 可转化为一个等比数列和一个常数列, 分别求和再相加.

总之, 数列求和的方法有很多种, 本文只是罗列了学习中常见的几种方法, 对于每一种方法, 我们都要掌握其实质, 不能只靠生搬硬套.若不然, 对于一些稍微有点变化的题目, 就会感觉没有头绪, 无从下手.

参考文献

[1]人教版数学必修5.

数列求和教学反思 篇6

本节课是高三一轮复习课，主要是对特殊数列求和。对于数列的复习，我觉得主要是复习好两个方面，一个是如何求数列的通项公式，另一个是如何求解数列的前n项和。

这里的求和，对学生来说是一个难度很大的内容，因为此前学生一直是使用等差和等比数列的求和公式进行计算的，让他们忽然去理解和掌握错位相减和裂项相消等方法去求和，难度可想而知，所以这堂课不仅仅是复习课，而且也是一堂新课，课题是求和，学生一看就明白，但求和的对象变了，求和的方法变了。我在教学时，尊重学生的理解和掌握能力，循序渐进，不赶进度，学生要是不能掌握，那就再来一遍，特别是错位相减法，学生知道什么样的数列可以用错位相减法，但算不出正确的结果，所以课堂上在学生板演的基础上我再归纳一下做错位相减法的题目时要注意的地方，什么地方容易错，什么地方要注意等，争取在做作业时不要再犯同样的错误。而且在经后的教学过程中要多培养学生的运算能力以及解题能力，提高他们的动手能力，思维逻辑能力和分析问题的能力，数列求和在整个数列知识中试比较综合的内容，知识点多，方法也多，在做题时首先要思考一下该用什么方法，然后再着手，加上细心才能把题目做对，而现在的学生就是缺乏这点耐心和细心，总想着花最少的时间做较多的事，有时还不检验最后的结果，这是我们教师在教学过程中要渗透的地方，教会学生耐心、细心地做题，确保题目的正确率，在今后的教学中我会在这方面加强培养学生，同时在备课的时候加强培养学生的动手、动脑能力。

等差数列求和教案 篇7

教学目标

1.掌握等差数列前

项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前

项和公式（1）了解等差数列前

推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前

项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议（1）知识结构

本节内容是等差数列前 前

项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析

教学重点是等差数列前

项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.项和公

③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.④补充等差数列前

项和的最大值、最小值问题.项和公式.⑤用梯形面积公式记忆等差数列前

等差数列的前教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例

项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学过程 一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“ ”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，„，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课（板书）等差数列前 1.公式推导（板书）项和公式

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二： 上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着

3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结

1.推导等差数列前 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.项和公式的思路；

数列求和的几类常见方法 篇8

类型1: 直接用等差数列或等比数列的求和公式求和

例1求和

分析数列1,a,a2,a3,…,an - 1的通项公式为an=an - 1,因此数列是等比数列,用等比数列求和方法求之.

相关试题: 已知数列7,77,…,777…7( n个7) ,求sn.

类型2: 若数列{ an} 是等差数列或等比数列,{ bn} 是等差数列或等比数列,求{ an±bn} 的前n项和sn. ( 用重新分组法)

例2已知数列,求 sn.

分析数列1,2,3,…,n是等差数列,数列是等比数列,求和时用重新分组法.

类型3: 若数列的通项公式,求其前n项和. ( 用裂项相消法)

例3已知数列的通项公式,求 sn.

分析数列的 通项公式具有的特点求其前n项和用裂项相消法.

相关试题: 设数列{ an} 是等差数列且an≠0,求和

类型4: 若数列{ an} 是等差数列,{ bn} 是等比数列,求数列{ cn} 的前n项和. ( 其中cn= an·bn,用错位相减法)

分析数列1,3,5,…,2n - 1是等差数列,是等比数列,因此求和用错位相减法.

类型5: 在数列{ an} 中,若,…具有相同的特点,求数列{ an} 的前n项和. ( 用倒序相加法)

摘要：数列求和在高考中具有极其重要的地位,是高考必考内容之一,而数列的求和主要看数列的通项公式的特点,数列的通项公式具有什么样的特点数列的求和就有相应的方法.

数列求和教学设计 篇9

铜仁一中 吴 瑜

【教学目标】 1、知识与技能

掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围，进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。2、过程与方法

经历数列几种求和方法的探究过程、深化过程和应用过程，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。3、情感与价值观

通过数列几种求和法的归纳应用，激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。【教学重点】

本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、分组求和、错位相减求和的方法和形式，能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。【教学难点】

本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。【课堂设计】

一、知识回顾

1、等差数列通项公式ana1(n1)d，前n项和公式Snn(a1an)

2na(1q)1n1(q1)

2、等比数列通项公式ana1q，前n项和公式Sn1q

二、合作探究

1、倒序相加法：

例

1、求和：snsin21sin22sin23sin289 设计意图：应用倒序相加并感受此种方法的优越性——简洁美、对称美。

2、裂项相消法： 例

2、求数列 1111，,, 的前n项和。122334n(n1)一般化：1111()

n(nk)knnk设计意图：体验通分和裂项这对运算的互逆关系以及相消过程的简洁美、对称美。【变式1】已知数列{an}的通项公式为an2n1,求数列

1的前n项和。

anan1【变式2】求和：sn

3、分组求和法：

1111 1447710(3n2)(3n1)例

3、求和：sn123456(2n1)2n 【变式1】求和：sn

14、错位相减法：

例

4、求和：sn12222323n2n

三、归纳小结 数列求和常用的方法：

1、倒序相加法：数列an中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，求和时可把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

2、裂项相消法：设法将数列an的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和。

3、分组求和法：an，bn是等差数列或等比数列，求数列anbn的前n项和。

4、错位相减法：an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和。思考题：

1.求数列1,12,122,,122222n1111135(2n1)n 2482前n项的和。

等比数列求和教学设计 篇10

甘天威

一：教学背景

1.面向学生： 中学 学科： 数学 2.课时： 2个课时 3.学生课前准备：（1）预习书本内容

（2）收集等比数列求和相关实际问题。

二：教学课题

教养方面：

1了解等比数列求和问题，感受数学问题的趣味性。

2尝试用不同的方法解决等比数列求和问题，体会错位相减法的应用 3 能准确地解决等比说列求和有关的实际问题。教育方面：

1培养学生积极探索解决问题的良好习惯。

2感受到我国数学文化历史的悠久与魅力，增强民族自豪感，激发学生努力学习数学的热情

发展方面：

培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力、解决问题能力。

三：教材分析 教学目标

知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。

能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。

情感目标：培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质；以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

教学重点、难点

教学重点：公式的推导和公式的运用．

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用． 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

教学方法：

对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．

四：教学过程

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学 生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，设计了如下的教学过程： 1.创设情境，提出问题

引导学生写出麦粒总数 1+2+22+23++263．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.2.师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，„，263是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？

一般的这就是一个等比数列前n项求和的问题，那么一个等比数列

如何求前n项和sn？公比为q，类似等差数列前n项和的表示，等比数列前n项和能否用a1,q,n,an来表示呢？此时要引导学生发现需要构造一个新的等式包含Sn，并且与第一个等式有许多相同的项，从而引导学生发现并利用错位相减法求出Sn。

sn=a1+a1q+a1q2+

qs=aq+aq2+n11

a1-a1qnn 在学生推导完成后,我再问:由(1-q)sn=a1-a1q 得sn=1-q

对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用． 3.公式运用，加深认识 例1在等比数列an中，11已知a4,q,求S10;12 2已知a11,ak243,q3,求Sk.例2在等比数列an中,S37,S663,求an.变式训练： 1：在上题中，已知S3=7,S663求S9.+a1qn-1+a1qn-1a1qn2:已知a24,a532，求S102

首先，学生独立思考，自主解题，然后师生共同进行总结．

设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．

4.例题讲解，形成技能

例3：求和 1+a+a2+a3++an-1.设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想． 联系实际

5.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．

设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力． 6.故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．

设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．

7.课后作业，分层练习

必做： P129练习1、2、3、4 思考题(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.选作：

2）若数列{an}是等比数列,Sn是前n项的和，那么S3,S6S3,S9S6成等比数列吗？设k∈N*那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列吗？

数列求和的方法技巧总结 篇11

一、目前人们买房和教育助学经常采用贷款, 而贷款大部分是分期付款的方式

分期付款分为两种:

1. 等额本息还款法:

即一次性计算出本金与本金在借款期限内所产生的利息之和, 平均分配到各还款期, 得到每期还款数额.

2. 等额本金还款法.

每月所还的借款本金相同, 各月还各月现有借款产生的利息.这样的利息如何计算?

(1) 等额本息还款法:如果贷款n万元, 采用分期还款的方法, 每期还款数额相同, m期还完, 每期所付金额相同, 那么每期应当还款数额的计算方法是:设每期还款x元, 各期所付款额到贷款全部付清时也会产生利息 (按期以复利计算) , 期利率为q, 则首付x元, 第二期付x元以及利息xq, 即x (1+q) , 第三期……第m期付x (1+q) m-1, 所以合计付款由x+x (1+q) +x (1+q) 2+…+x (1+q) m-1=n (1+q) m计算所得.

(2) 等额本金还款法:等额本金还款法目前采用的不算太多, 它是在你还贷期限内, 以并不固定的数目每月还贷.也就是说, 虽然每年每月本金保持不变, 但每年每月利息则会由多到少不断变化.具体的计算公式为:月还款额=本金÷贷款期限 (月) + (本金-已还本金) ×月利率.不难发现, 每月的还款额并不固定, 而是随着每月利息的变化而变化的, 是一个递减的过程.

二、活期储蓄与整存整取储蓄的本息计算

一般的储蓄分为活期储蓄和定期储蓄, 对于活期储蓄来说, 利息可以按照日利率来计算.整存整取与之类似, 只要按照相应的利息即可以计算.对于零存整取:先分期存入相同的金额, 最后再一次性取出, 它的利息是怎样计算的呢?看下面的例子:

例1某家庭打算在2010年年底花40万元购一套商品房, 为此计划从2004年初开始, 每年年初存一笔购房专用存款, 这笔款到2010年底连本带息共40万元.如果每年的存款数额相同, 一年利息2%, 按复利计算, 问每年应存入多少钱?

解设每年年初应存入x万元, 从2004～2010年底本利和依次为:

2004年底 (1+2%) 7x, 2005年底 (1+2%) 6x, …, 2010年底 (1+2%) x,

答:每年应存入52498元钱.

点评分期贷款问题与零存整取问题在这里可看出原理实际上是一样的, 所以在等额本息还款问题的计算上, 完全可以看做是每年或每期都向银行存一定额的钱, 按复利计算, 到期一块取出还所贷款的本利和.通过下面这个例子可更好的说明这一计算方法.

三、投资问题

例2某企业想进行技术改造, 现有两种方案, 甲方案:一次性贷款10万元, 第一年获利1万元, 以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元, 第一年可获利1万元, 以后每年比前一年增加利润5千元, 两种方案的使用期都是10年, 到期一次性还本付息, 若银行贷款按年利率10%的复利计算, 比较哪一种方案最好? (参考数据:1.110≈2.549, 1.310≈13.79)

解甲方案利润情况:

乙方案利润情况:

16.96>14.966, 所以甲方案更好.

小结从以上例子可以看出, 数列的知识不仅与储蓄相关, 而且广泛地应用于生活中.由此可见, 数学知识来源于生活又运用于生活, 生活是丰富多彩的, 数学知识更是精彩.

摘要：数学与经济不可分割, 储蓄和贷款与国计民生息息相关.该文对储蓄和贷款的利率计算方法加以整理, 并以零存整取和分期付款为例, 应用等比数列得出储蓄和贷款中本息的计算公式.

数列求和的方法技巧总结 篇12

教学目标：

让学生能够理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n项和。教学重点： 错位相减法的应用 教学难点：

错位相减法的计算过程 教学内容：

一、课前复习

回顾等比数列前n项和的求和公式：

设计意图：由于应用错位相减法解题时必定会使用等比数列前n项和的通项公式求和，因此有必要做好复习铺垫工作。

二、问题探究

数列{an}的通项公式ann，数列{bn}的通项公式bn2n，求数列{anbn}的前n项和。设计意图：由具体问题引入课题，引导学生观察题目中所求数列通项的特点，即“等差×等比”型。

解决方法：展示并叙述“错位相减法”的具体操作步骤，具体如下：

由此归纳“错位相减法”核心要领：乘公比，错位，相减。设计意图：整个过程的完整展示，帮助学生建立一个清晰的计算步骤，以此学会解决此类型的数列求和问题，主要体现设计的实用性。

三、当堂练习

设计意图：为了巩固复习错位相减法，让学生对不同“长相”，但都属于“等差×等比”型题目能熟悉，从而确信并有意识强化学习。

四、归纳小结

1、首先进行使用“错位相减法”时易出错的4点进行归纳强调。

2、再整体上对此段的学习进行小结，再次提升

设计意图：有学习必有总结。任何一种解题方法都有其使用条件、适用范围，以及易错点等等。学生通过学习，也能自觉感知并总结，由此深化数学解题方法的学习。

五、作业布置

三年级奥数等差数列求和教学设计 篇13

【教学目标】：

1、通过学习，初步建立配对求和的逻辑推理，简便计算的能力。

2、培养学生的观察和思考的能力。

3、学习本课知识有助于养成全面地，由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯。【教学重点】

用配对求和的简便方法解决问题，推导等差数列的求和公式。【教学难点】

等差数列求和公式的推导。【教学过程】

一、激趣引入

老师：同学们，如果，我说的是如果。你们第一次来上课老师奖励你们没人一块钱，第二次奖励两块，第三次奖励三块，„„请问，到第10次课后，你们每人得到了多少钱？（学生在草稿纸上计算，老师板书；1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）老师：你们有什么简便的方法计算出这个式子的结果吗？ 学生：凑十法！老师：怎么凑？

学生：1+9，2+8，3+7，4+6。

老师：很好，凑十法也能够很快算出结果。不过，凑十法也有缺陷，你们看，用凑十法最后还剩下走不到伴的数。大家想想，还有什么办法计算？（学生思考，讨论。）老师：请同学来回答。

学生：第一个数和最后一个数相加，第二个数和倒数第二个数相加„„

老师：这位同学观察很仔细。1加上10等于11，2加上9等于11„„这里面十个数刚好分为了5组，每组的和都是11.。所以我们也可以这样来计算这个式子的和。（板书：

（小结：在这里，我们使用了一种简便的计算方法：配对求和。即先配对再求和。）

二、讲授新课

老师：如果，还是如果。老师爱心泛滥，继续奖励你们money。请问，第一百天后，你们每人得到多少钱呢？

（板书：例题一＋ 2 ＋ 3 ＋ 4＋ „ ＋ 98 ＋ 99 ＋ 100）

老师：这个式子又该怎样计算呢？就用刚才老师教的配对求和的方法。谁和谁配对呢？ 学生：1和100，2和99，3和98„„（副板书：

老师：总共有多少对呢？ 学生：50对。

老师：没错，一百个数，两个数一对，可以分为100除以2等于50对。所以在这道题中，我们也可以这样计算。（板书：

老师：1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。这是一个自然数列，它们有着这样的规律。从第二项起每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。后项与前项的差叫该数列的公差。我们把数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

等差数列的求和，我们可以根据刚才的计算的两个式子总结出一道公式。大家说是什么？ 学生：总和=（首项＋ 末项）×项数÷2 板书：总和=（首项＋ 末项）×项数÷2）

老师：使用这个公式要注意，首先要判断这个数列是不是等差数列。（怎么判段？）首项、末项和项数（项数怎么求？）下面我们看例题二。（板书：例题2 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20）老师：这个式子能不能用公式进行求和？ 学生：可以。

老师：好，请一个同学说一下他是怎么做的。学生A：2加20的和乘以7除以2.结果等于77.老师：非常好，现学现用。其他同学有什么问题吗。用些同学可能会有疑问，这里面只有七个数，不够分对啊，还剩下一个光棍呢？这个公式还能不能呢？大家说能不能？ 学生：能！

老师：我们一起来验算一下。（副板书：

老师：两次计算的结果一样吧！说明这个公式是正确的。

老师：这个公式看似很简单，只要一套数字就行了。但是在实际应用中并没那么简单，请看例题三。

（学生读题：小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。问：这本小说共有多少页？）

老师：这道题求这本小说共有多少页。因为每天读“每天读的页数都比前一天多4页”，第一天30页，第二天34页，第三天38页„„最后一天看了70页。我们要求这本小说共有多少页，只要把每天看的页数加起来就行了。可是，我们要一个个加起来吗？ 学生：不用。

老师：不用。小红每天看的页数构成了一个等差数列。我们可以用公式计算。大家看一下这个公式里还有什么不知道？ 学生：项数。

老师：其实天数就是项数。看了多少天，就有多少项。那要怎么求项数呢？（副板书：

（学生观察并思考。）

学生：项数就等于70减去30的差除以4。老师：就这样了吗。学生：还要加上1.老师：很好。（板书：

（小结：在这里，我们来小结一下求项数的公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1）

老师：在这里，我改一下题目，把“最后一天读了70页”改为“第十一天刚好读完。问这本书共有多少页？怎么算呢。（学生思考讨论。）学生：还是用等差数列求和公式。老师：这个公式里面还有哪个量不知道？ 学生：末项。老师：怎么求？（副板书：

（小结：在这里，我们来小结一下求末项的公式： 末项=首项＋(项数-1)×公差）

三、完成课堂练习。

学生完成讲义上的课堂练习。

四、布置作业。

五、课后总结。等差数列相关公式： 总和=(首项＋末项)×项数÷2 项数=(末项－首项)÷公差＋1 末项=首项＋(项数-1)×公差

六、板书设计（附后）

数列求和,依题而择 篇14

例1求下列各式的和:(1)Sn=1+3+5+…+(2n-5);(2)Sn=1+a+a2+…+an.

分析:对于(1)可直接利用等差数列求和公式计算,但要注意项数问题;(2)中要注意需要对参数a进行讨论.

点评:运用等差或等比数列的求和公式时,应注意以下几点:①具体项数,如例1题中都不能认为是前n项的和;②对于等比数列要注意对公比q是不是为1进行判断;③含参数时要注意讨论,不能直接利用公式求解.

策略二分组转化法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可根据数列的项的特征,把数列的每一项拆分为若干项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成几部分使其转化为等差数列、等比数列,然后由等差、等比数列的求和公式求解.

分析:数列{an}的通项公式是一个分段函数,奇数项构成一个等差数列,偶数项构成一等比数列,不能直接利用公式求和,因为从整体上看,数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列,但可以按奇数项、偶数项分成两组,转化为等差、等比数列求和.又由于an是奇数项还是偶数项不确定,可以按n为奇数或偶数分类表示.

点评:若数列{cn}的通项公式为cn=an+bn,其中{an},{bn}中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时,一般利用分组结合法.把数列的每一项都写成通项形式,然后根据不同数列的特点进行分类求和.抓住通项公式的特征是运用分组转化法的关键.

策略三裂项求和法

2),求数列的前n项的和Sn.

分析:观察所给数列{an}的通项,关系特征不明显,进而想对其进行整理分解探究.

点评:裂项法的实质是将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.求和时,要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,即末被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

策略四错位相减法

例4求和:Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1.

分析:由题意可知,{(2n-1)xn-1}的通项是等差数列(2n-1)的通项与等比数列{xn-1}的通项之积,特征很明显,故考虑用错位相减法求解.

解:因为Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1①,设x Sn=1x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn②,①-②,得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn.