2010年北京邮电大学自主招生试题

2010年北京邮电大学自主招生试题（精选6篇）

2010年北京邮电大学自主招生试题 篇1

2010年北京邮电大学自主招生试题

来源：高考网 2010-01-25 15:32:34 笔试：北京邮电大学、北京交通大学、北京科技大学、北京林业大学、北京化工大学“五校联考”，实行统一命题，统一考试时间，统一阅卷。

面试：每六个考生为一组，面试分为AB两类，参加普通专业面试的考生为A类考生，参加电信工程及管理、电子商务及法律两个专业面试的考生为B类考生，B类考生采用英语面试，承诺第一专业志愿填报北京邮电大学电信工程及管理或电子商务及法律。面试考题很活泛，考生的问题也因人而异，老师会根据你的资料，自我介绍，提些有针对的问题，例如：喜欢政治的，考试会让你谈谈当今政权形势，擅长英语的老师会让你用英语聊上几句，问题灵活多样。

2010年北京邮电大学自主招生试题 篇2

一、体现时代性, 更加突出对社会现实原态的考量

关注时代发展, 突出考试内容与社会生活的联系, 引发考生更加深入思考社会发展问题与现实矛盾的化解, 大师是骗子的问题谈看法;复旦大学自主招生面试题, 让考生就当前的房价及买房资金来源、日俄岛屿之争对中日关系影响等发表观点;中国海洋大学自主招生面试题, 要求考生就2011年美日韩在黄渤海进行军演、世博会的举办对于中国的影响等发表看法;山东大学自主招生面试题, 引导考生对春晚改革提建议, 对郎朗应美国白宫之邀弹奏《我的祖国》发表意见;等等。是2011年各高校自主招生面试试题最大的亮点与特征。

例如, 北大自主招生面试试题一共设计了30个问答题, 让学生选择, 其中涉及社会热议、热点话题及社会关切的问题占据近一半的比例。如经济方面, 要求考生就近期开始开征的房产税、车船税、“馒头税”等, 谈对纳税与公民权利关系的理解;教育方面, 要求考生就现在很多家长在高中阶段就把孩子送到国外学习一事谈个人的看法;人生方面, 要求考生就目前一些人富裕了但并没感到幸福一事发表见解;文化方面, 要求考生就近来有人续写《红楼梦》一事谈自己观点;政治方面, 要求考生就中国的GDP已经超过日本, 日本政府最近称要大幅削减对华援助一事发表见解;环境方面, 要求考生就日本近海发生9.0级地震并引发海啸事件谈观点;等等。

其他高校自主招生面试试题也强化了对当前社会问题的思考。如上海交大自主招生面试题, 就让考生就目前新出现的大学毕业生工资比农民工工资低的现象发表见解;南京大学自主招生面试题, 要求考生谈谈对低碳生活的看法;人民大学自主招生面试题, 要求考生就有些养生社会进步和科技发展, 课程内容要根据时代发展需要及时调整、更新的要求是不谋而合的。考生要想解答好这些自主招生面试试题, 需要有开阔的国际视野、敏锐的时代意识、心系天下苍生的胸怀与高超的缘事析理能力, 而这与课程改革培养目标又是和谐统一的。从这个层面讲, 2011年各高校自主招生面试试题在推动课程改革向纵深发展方面有其独特的作用和价值。

二、体现实践性, 更加突出知行统一原则的落实

国家中长期教育改革与发展规划纲要和国家课程改革方案都把转变人才培养模式放到更加突出的位置, 而践行知行统一原则, 培养具有动手实践能力而非“两脚书橱”的人才是优化人才培养方式的重要内容。2011年各高校自主招生面试试题在这个方面也是做足了文章。

创设情境, 寻求实际问题的破解之道, 丰富考生人生阅历与体验, 是2011年复旦大学自主招生面试题最大的特色:如考查考生社会活动的组织能力, 要求考生拿出动员不愿意参加社会实践的学生去敬老院开展活动的办法;再如考查考生应变能力, 假设考生遇到了劫匪, 要求考生拿出用智慧制服劫匪的方案;再如考查考生烹饪能力, 要求考生说出用鸡为原料做菜的种类及过程;又如考查考生经营能力, 要求考生拿出卖掉一次性水杯的经营策略;又如考查考生领导能力, 要求考生以杭州市市长的角色, 谈谈杭州科学发展的策略;等等。

其他高校自主招生面试试题也突出了对考生实践能力的考查。如北大自主招生面试试题强调实践经历的重要性, 通过引导考生对中央和省级机构录用公务员, 一般情况下都须具有两年以上基层工作经历, 不再招收应届毕业生的国家规定发表评论的形式明确宣示阅历、一线经验的重要性;另外还要求考生结合自己实践经验拿出具体措施帮助政府从网络上获取真实的社情民意。南京大学自主招生面试题, 要求考生结合自己所学知识拿出去青藏高原旅游的准备方案。清华大学自主招生面试题, 要求考生就诊治部分儿童“网络沉迷”症状拿出契合实际的办法。中国海洋大学自主招生面试题, 要求考生用单摆原理测试绳子长度。

2011年各高校自主招生面试试题更加注重知行统一, 更加注重考试内容与生产劳动、社会实践相结合, 更加注重增强考生科学实验、生产实习和技能实训的成效。其实, 这与国家课程方案将社区服务、社会实践及研究性学习设置为国家必修课程的意图是一脉相承的, 目的都是进一步矫正教育教学中忽视活动类和综合类课程, 忽视学生实践能力培养的弊端, 更加突出学生潜能开发、个性发展。

三、体现探究性, 更加突出思辨智慧的培养

通观2011年各高校自主招生面试试题, “研”的色彩非常浓重, 注重优化考生思维, 特别是在考查考生辩证思维、发散思维与辨析思维方面的探索力度是很大的。主要体现在四个方面。

1. 加强了对古代文化价值观念的探究, 引导考生学会辩证看待问题

如中国海洋大学自主招生面试题, 让考生谈谈对论语中“己欲立而立人, 己欲达而达人”这句话的看法;南京大学自主招生面试题, 要求考生对“人之所以异于禽兽者几希”加以解读;北大自主招生面试试题, 要求考生对“三纲”“五常”加以理性分析, 还要求考生谈谈“穷则独善其身, 达则兼济天下”在时下是否适用;等等。对这些问题, 考生应该坚持两点论, 忌以偏概全, 更不能抓住一点, 不及其余;否则, 就会陷入偏执的境地。

2. 加强了对人生哲理的探究, 引导考生多角度观察生活, 体验人生

如北大自主招生面试试题, 让考生谈谈对哈佛大学图书馆墙上的一句话“请享受无法回避的痛苦”的理解;复旦大学自主招生面试题, 让考生谈谈对“一沙一世界, 一花一天堂”和“吾爱吾师, 吾更爱真理”的见解;南京大学自主招生面试题, 让考生对“黑”与“白”展开联想;等等。对这些题目, 都需要考生围绕着题目提供的话题原点, 展开多角度多层面多维度的考量, 谈出自己独特的人生体验和感悟。

3. 加强了对相近、相类、相反事物之间关联的辨析, 引导考生全面看待问题

如北大自主招生面试试题, 要求考生谈谈普罗米修斯盗火与燧人氏钻木取火两者不同的文化寓意;复旦大学自主招生面试题, 让考生给“勤奋”、“智慧”、“执著”、“机遇”、“好奇心”进行排序, 并说明原因;云南大学自主招生面试题, 让考生辨析网络虚拟与现实世界之间的区别, 分析章子怡的声名盖过孔子的现象;等等。对这些题目, 需要考生对相近、相类、相反事物之间的关联有一个明确把握, 善于运用对比的方法, 将事物的实质区别分析出来。

4. 加强了对自我生涯规划的探究, 引导考生走向自我完善

如上海交大自主招生面试题, 要求考生分析自己的性格, 指出弱点是什么, 如果在三国人物中对应一个人物, 应该是谁;复旦大学自主招生面试题, 要求考生选择进复旦后所学的专业和选择这些专业的先后顺序;山东大学自主招生面试题, 要求考生回答喜欢的专业是什么, 如果没有被录取到对口专业怎么办, 如果有出国深造的机会, 会不会去, 原因是什么;等等。对这些题目, 需要考生具有初步的职业意识和人生规划能力;否则, 是很难回答的。

2010年北京邮电大学自主招生试题 篇3

1.32016除以100的余数是.

2.复数z1，z2满足z1=2，z2=3，z1+z2=4，则z1z2=.

3.用S（A）表示集合A的所有元素之和，且A{1，2，3，4，5，6，7，8}，S（A）能被3整除，但不能被5整除，则符合条件的非空集合A的个数是.

4.已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则

tanA的最大值是.

5.若对任意实数x都有2x-a+3x-2a≥a2，则a的取值范围是.

6.若a∈π4，π2，b∈（0，1），

x=（sina）logbsina，y=（cosa）logbcosa，则x y（填>，=，或<）.

7.在梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD交于P1，过P1作AB的平行线交BC于点Q1，AQ1交BD于P2，过P2作AB的平行线交BC于点Q2，….若AB=a，CD=b，则PnQn= （用a，b，n表示）.

8.在数列{an}中，an是与n最接近的整数，则∑2016n=11an=.

二、解答题（第9小题满分16分，第10、11小题满分18分）

9.已知a，b，c>0，a+b+c=3，求证：a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥32.

10.求所有函数f：N*→N*，使得对任意正整数x≠y，0<|f（x）-f（y）|<2|x-y|.

11.求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解（x，y，z）.

参考答案

1.21.由32016=91008=（-1+10）1008≡（-1）1008+C11008（-1）1007·10≡-79≡21（mod100）可得答案.

2.16±156i.复数z1z2的模z1z2=z1z2=23，接下来求其幅角.

图1如图1所示，设复数z1，z2，z1+z2在复平面内对应的点分别是A，B，C，得OACB.

在△OAC中应用余弦定理，可求得cosA=22+32-422·2·3=-14.

所以cos∠AOB=14，进而可得

z1z2=2314±154i=16±156i

3.70.将集合{1，2，3，4，5，6，7，8}划分为A1={1，4，7}，A2={2，5，8}，A3={3，6}.

于是，使得S（A）能被3整除的非空集合A的个数是[（C03+C33）2+（C13）2+（C23）2]·22-1=87.

接下来，考虑S（A）能被15整除的非空集合A的个数，此时S（A）=15或30.

当S（A）=15时，按集合A的最大元素分别为8，7，6，5分类，可得分别有5，4，3，1个，此时共计13个.

当S（A）=30时，共有4个.

综上所述，可得答案是87-13-4=70.

4.33.由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC及题设可得tanC=-3tanB，所以由均值不等式，可得

tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanB3tan2B+1=23tanB+1tanB≤33

进而可得：当且仅当tanB=13即（A，B，C）=π6，π6，2π3时，（tanA）max=33.

5.-13，13.由零点讨论法可得，当且仅当x=2a3时，（2x-a+3x-2a）min=a3.

所以题设即a3≥a2，进而可得答案.

6.>.可得lnx=ln2sinalnb，lny=ln2cosalnb.

由a∈π4，π2，可得0

又由b∈（0，1），可得lnb<0，所以lnx>lny，x>y.

图27.aba+bn.如图2所示，设PnQn=xn（n∈N），其中P0Q0=x0=CD=b.

由平行线分线段成比例定理，可证得

1xn+1=1xn+1a.

所以1xn=1x0+na.

PnQn=xn=aba+bn.

8.888.设k是与n最接近的整数，得k=n+12，得k≤n+12

k2-k+14≤n

所以数列a1，a2，…，a2016

即1，12个，2，2，2，24个，…，k，k，…，k2k个，44，44，…，4488个，45，45，…，4536个

进而可得

∑2016n=11an=∑44k=11k·2k+145·36=88.8

9.由三元柯西不等式，可得

2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c·4（a+b+c）=（2a）22a+b+c+（2b）2a+2b+c+（2c）2a+b+2c[（2a+b+c）+（a+2b+c）+（a+b+2c）]≥（2a+2b+2c）2=2（a+b+c）2.

所以2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥a+b+c2=32.

再由二元均值不等式，可得

a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥32.

10.在题设所给的不等式中，可令y=x+1（x∈N*），得0

即f（x+1）-f（x）=1.

由对任意正整数x≠y，0

因为象的集合为N*，所以f（x+1）-f（x）≡1.进而可得，f（n）=n+f（1）-1，其中f（1）∈N*.

11.由题设，可得

（-1）x-（-1）y≡1（mod3），

所以x为奇数，y为为偶数.

可设x=2m+1，y=2n（m，n∈N），得原方程即2·4m-25n·7z=1.

若n∈N*，可得2（-1）m=-2≡1（mod5），这不可能！所以n=0，y=0.

又得原方程即2·4m-7z=1.

（1）当z=0时，得m=0，此时的解为（x，y，z）=（1，0，0）.

（2）当z∈N*时，得-（-1）z≡1（mod4），所以z为正奇数，设z=2p+1（p∈N）.

再得原方程即2·4m-7·49p=1.

①当p=0时，得m=1，此时的解为（x，y，z）=（3，0，1）.

②当p∈N*时，得m≥4，所以-7·1p≡1（mod16），这不可能！

综上所述，可得原方程的所有非负整数解（x，y，z）=（1，0，0），或（3，0，1）.

2010年北京邮电大学自主招生试题 篇4

语文20 10,.4．

4调研时间：85分钟满分：120分

第一部分(24分)

1、根据汉语拼音写出汉字。(4分)

①鳞次zhì()比；②以身xùn（）职；③越俎代páo()；@xiāo()事匿迹

2、下列各句中划线的成语使用正确的一句是()(3分)

A．今年1月4口，武汉商场黄金柜台发生一起震撼人心的持枪抢劫案。

B畅得多。

C

D3、下列各旬中，没有语病的一句是()(3分)．．

A．中央电视台将焦点对准未成年人的成长环境，呼吁社会对未成年人给予更多的关注。

B．他们胸怀祖国，放眼世界，在高手如林的2010年冬奥会上，大力发扬了敢拼敢搏，终于夺得了冠军。

C．人心向背，是决定一个朝代、一个政权兴盛的根本因素，秦王朝到灭亡都没悟懂这 个真理。

D．火灾仍在蔓延，周围群众的生命可能随时遭到严重的损失。

4、苏州外国语学校高中部成立了文学社，定名为“竹韵文学社”，将创办一个社刊——《竹韵》。你认为文学社、社刊用“竹韵”这个名称好不好?如认为好，请陈述理由；认为不好，也请陈述理由。答案不超过80字。(6分)

5、在下列横线上填写古诗文名句。(8分)

①长风破浪会有时，_。(李白《行路难》)

②树木丛生，百草丰茂。_，洪波涌起。（曹操《观沧海》）

③荡胸生层云，决眦入归鸟。_，一览众山小。（杜甫《望岳》）④无丝竹之乱耳，_。（刘禹锡《陋室铭》）

⑤羌管悠悠霜满地，入不寐，_。(范仲淹《渔家傲》)

⑥_，娇儿恶卧踏里裂。(杜甫《茅屋为秋风所破歌》)

7(孟子《生于忧患死于安乐》)○

⑧勿以恶小而为之，_。(陈寿《三国志》)

第二部分(46分)

阅读下面的文言文，完成6—9题。

指喻方孝儒

既三日，聚而如钱。忧之滋甚，又以示人，笑者如初，鼋又三日，拇指大盈握①，近拇 之指皆为之痛，肢体心膂②无不病者。惧而谋诸医，医视之，惊日：“此疾之奇者，虽病

在指，其实一身病也，不速治，且能伤身。然始发之时，终日可愈；三日，越旬可愈；．．今 疾且成，已非三月不能瘳③。终日而愈，艾可治也；越旬而愈，药可治也；．至于既成，甚 将延乎肝膈④，否亦将为一臂之忧。非有以御其内，其势不止；非有以治其外，疾未易为 之。”君从其言，日服汤剂，而傅⑤以善药，果至二月而后瘳，三月而神色始复。

当其易也，惜旦夕之力，忽之而不顾；及其既成也，积岁月，疲思虑，而仅克之，如此指 者多矣

【注】①握：四寸为一握。②膂：脊骨。③瘳：病愈。④肝膈：指人体内脏。⑤傅： 涂。

6、写出下列句中划横线词的意义。(4分)

①不速治，且能伤身。()②日服汤剂，而傅⑤以善药。()

()()

7、下列各组句子中，划横线词的意义和用法相同的一组是()(3分)

1○2 A、○

1○2 B、○

1虽病在指，其实一身病也②虽人有百手，首有百指 C、○

1○2 D、○

8、把下列句子翻译成现代汉语。(8分)

①君疑之，以示人，人大笑，以为不足患。②始以为不足治，而终至于不可为。

9、本文写郑君医治拇指疾患一事是为了说明一个什么道理?请用自己的话简要回答。(4分)阅读下面一首唐诗，完成10-13题。

秋登万山寄张五①

(唐)孟浩然

．北山白云里，隐者自怡悦。相望始登高，心随雁飞灭。

愁因薄暮起，兴是清秋发。时见归村人，平沙渡头歇。

天边树若荠②，江畔洲如月。何当载酒来，共醉重阳节③。

[注释]①荠：野菜名，这里形容远望天边树林的细小。②重阳节：阴历九月九日为重 阳节，有登高风俗。

10、这首诗写临秋登高远望，表达了作者怎样的心情?(4分)

11、请简要分析诗中“雁”这个意象的作用。(4分)

2、诗人登高，最大的希望是什么?(2分)

阅读下面一篇文章，完成13-17题。

1夜很深，也很静。浅浅的月光流进了我的村子，挤进了那扇用牛皮纸蒙住的三扇窗。○

风轻轻地梳理着窗外还略显单薄的树枝，嗓音很低，却让我听的清楚拿来自远方的呼唤。②庭畴里的那口古井，清楚地倒映着我曾经在井旁的柳树上猴跃的童年。辘轳上那长 满黑斑的麻绠．，依然牢牢地吊着我的心事，绷得像调紧的弦。

③“月光光，亮掌掌，背书包，进课堂„„“井边学会的童谣鲜活如初，只是教我童 谣的母亲却已独卧寒山。母亲的声音已成记忆，然而母亲的血必将灌溉我的一生。

④流浪的脚步离开家园，只把乡愁饲养在井中，任何一丝不经意的涟漪，都有可能荡 得我遍体伤痕。

⑤屋后的荒坡上，零零散散地落户了一些三月莓树，它们在贫瘠中送走一个个春夏秋 冬，又迎来一个个秋冬春夏。

⑥母亲为我摘莓子时被刺破的手指，滴着血，凝成一团不褪的火红，永远燃烧在我记

忆的深处。那些吃三月莓当饭的甜甜的日子，是母亲用手一分一分地扳来的。今年的三月，我想母亲还会在另外的世界里为我采摘三月莓。只是母亲已移居黄泉，即使我将膝盖埋进坟土，也无法缩短母子间的距离。

⑦等到三月莓红透的时候，我该回趟老家，去荒坡上采摘一包三月莓，捧撒在母亲的 坟头。

⑧母亲曾经为我寻找三月莓的目光，擦亮一串串累累的爱。

⑨屋右的古枫树——鸟的天堂。孩提时，父亲总是架着长长的梯子，猫着腰一回又一 回地爬上树去为我取鸟蛋，样子很吃力，可父亲的脸上却从不滚落丝毫吃力的神情。⑩如今，鸟渐渐地少了，只剩下乱七八糟的鸟巢搁在树桠间，可年迈的父亲却像童年 的我一样，在鸟归季节里二遍遍地数着鸟巢。叉是鸟儿孵殖的季节，隐约中，我感觉父亲 佝偻着身子站在古枫前学舌一般重复着“一、二、三、四„„，那深深陷进了眼窝的眸 子，专一地注视着通往山外的羊肠路。

(11)屋外蜿蜒蛇行的山路依旧在为我走出大山的举动作注脚，那里不知打上了我多少若影若现的脚印。从山村走进城市，实际上是走进一中诱惑，甚至一种折磨。

(12)山路的源头是生活，山路的尽处还是生活。生活就是生生死死。造化平衡世界，谁能适应这个世界，谁就是赢家。做个赢家吧，赢家有台能力随遇而安。无论生活把自己推到哪个位置，都要用一颗平常心去面对，轻松靠自己给予，快乐只属于创造快乐的人。

(13)怀念家园，更怀念家园里的某些人。我茹苦一生而今永隔幽冥的母亲，愿您有您的 天堂；我艰难活命又思儿念女的父亲，愿您有您的寄托!

(14)在家门前那堵不倒的竹篱笆上，我将把自己攀援成一株不老的牵牛，紫色的喇叭始 终朝向敞开着的家门，芬芳犀里的每一道墙缝。

(15)冢园如一件厚厚的袄，等待着每一个伶仃的流浪者去穿；家园如-双不破的鞋，永 远套在零浪者缺暖的脚上。家园如一柄永新的伞，一直搭在流，良著风雨兼程的肩膀上；家园如一块啃不完的饼，让流浪者一次又一次去补充能量；家园如一根拉不断的线，末端总系着一个流浪者的大风筝。

13、文章第一段说：“风轻轻地梳理着窗外还略显单薄的树枝，嗓音很低，却让我听的清楚拿来自远方的呼唤。”结合全文，说说“‘远方的呼唤”实际上指什么在互换？表达可作者怎样能够的思想感情？（4分）

14·“从山村走进城市，实际上足走进一种诱惑，甚至是一种折磨。”请说说你对“诱惑”与“折磨”具体含义的理解。(4分)5·作者在文中重点写了三件触动乡愁的事，请你简要概括。(3分)6．请仿照最末一段的句式，再仿写一个句子。(2分)’

家园如。7·下面是对这篇文章的理解，其中有误的两项是()()(4分)

A．家园如梦，温馨而醉人，作者通过对家园的回忆，唱出了一首成长岁月至真至纯的 亲情颂歌。

B、文章写父亲掏鸟蛋、数鸟，既写出深沉的父爱，也写出作者对此事的悔恨与内疚。

C、第⑥段结尾一句，不禁使人想起余光中《乡愁》中的诗句：“乡愁是遗作坟墓，母 亲在里头，我在外头。"这是永远也无法缩短的母子间的距离。

D、文章在写怀念事园亲人的同时，也流露出对至今仍处于贫穷落后的家乡的无限感慨 和无奈。

E·透过文章质朴而又动情的文字，在冷静略带凄恻的叙述中，我们可以触摸到作者怦 然的心跳，感受到作者奔腾的激情。

第三部分

8、作文(50分)

认真阅读下面这首小诗，按要求作文。

我们可以欺瞒别人

却无法欺瞒自己

当我们走向枝繁叶茂的五月

青春就不再是一个谜

向上的路总是坎坷又崎岖

要永远保持最初的浪漫

真是不容易

有人悲哀有人欣喜

当我们跨越了一座高山

也就跨越了一个真实的自己

2010年北京邮电大学自主招生试题 篇5

一、招生对象

符合下列条件之一的应届高中毕业生，均可报名参加我校自主招生。

1．高中阶段获得全国奥林匹克竞赛（数学、物理、化学、生物、信息学）省级赛区二等奖以上，或获得二个以上不同学科省级赛区三等奖的学生；

2．创新实践能力或其他能力突出的学生；

3．学业成绩优秀，综合素质突出的省级重点中学学生。

二、申请报名

我校自主招生报名以中学推荐为主，个人自荐为辅。

1．报名时间：公布之日起至2009年12月4日18时。

三、测试时间

2010年1月2日

四、录取

入选考生若高考成绩未达到我校在当地省（市、区）的录取线(且不低于本科一批控制线)，则在专业志愿服从调剂的情况下，优惠30分予以录取。

一道自主招生试题的拓展 篇6

[摘要]纵观2005年、2007年高考卷及2011年的卓越联盟试题，都涉及椭圆内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值问题.对这类问题进行了深入思考，从而进行推广，得到一般的结论.

[关键词]椭圆最值问题拓展

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140036

2005年高考全国卷II理科第21题、2007年高考全国卷I理科第21题和2011年卓越联盟试题第13题这三道题目均是求椭圆内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值.限于篇幅，在此仅呈现2011年卓越联盟的第13题.

题目：（2011·卓越联盟）已知椭圆的两个焦点F1（-1，0），F1（1，0），且椭圆与直线y=x-3相切.（1）求椭圆的方程;（2）过F1作两条相互垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值.

受上述三题的启发，笔者思考如何求抛物线内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值.鉴于此时四边形面积的最大值是不存在的，故仅讨论最小值.笔者编制了如下一题.

题1：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的倾斜角.

解：（1）∵xAxB=p24=4，∴p=4，则抛物线的方程为y2=8x.

（2） 设弦AB所在直线的倾斜角为θ，则

S四边形ABCD=12|AB||CD|sinπ2=12×2psin2θ×

2psin2（θ±π2）=

2p2sin2θcos2θ=

2p2

14sin22θ

≥

8p2=128

.

此时弦AB、CD所在直线倾斜角分别为π4，3π4或3π4，π4.

笔者对题1进行深入思考，并对其进行变式，得到题2.

题2：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作夹角为π3的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的倾斜角.

解：第一问解答如题1.（2）设弦AB所在直线的倾斜角较小，为θ（0<θ<2π3），则弦CD所在直线的倾斜角为θ+α（0<θ+α<π），则α=π3或α=π-π3=2π3.

S四边形ABCD=12|AB||CD|sinα=12×2psin2θ×

2psin2（θ+α）×

sinα=

2p2sinα{-12[cos（2θ+α）-cosα]}2

=8p2sinα[cos（2θ+α）-cosα]2.

①当α=π3时，则当2θ+α=π时，θ=π-α2=

π3

，四边形ABCD的面积取得最小值，

Smin=8×42×sinπ3（cosπ-cosπ3）2

=25639

，此时弦AB所在直线的倾斜角为π3，弦CD所在直线的倾斜角为2π3.

②当α=2π3时，则当2θ+α=2π时，θ=2π-α2=

2π3

，四边形ABCD的面积取得最小值，但0<θ<2π3，故此时最小值取不到.

综上，四边形ABCD面积的最小值为25639，此时弦AB所在直线的倾斜角为π3，弦CD所在直线的倾斜角为2π3，倾斜角互补.

反思：若将直线AB与CD的夹角π3改为其他度数，方法同上，亦可求得四边形ABCD面积的最小值，且此时直线AB与直线CD的倾斜角互补.若将y2=2px（p>0）改为y2=-2px，x2=2py，x2=-2py（p>0），方法亦同上.对此类题目进行推广，可得到一般的结论，在此不展开证明，留给有兴趣的读者去证明.

对于题1，直线AB与直线CD垂直，即kAB·kCD=-1，即抛物线两条焦点弦所在直线斜率的乘积为定值，求四边形ABCD面积的最小值.笔者对题1进行变式，得到题3.

题3：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4，kAB·kCD=-4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的斜率.

题3留给有兴趣的读者去求解.

[参考文献]

苏进文.椭圆焦点弦四边形面积的最值[J].中学数学研究，2008（4）.