特殊的平行四边形专题

2024-09-10

特殊的平行四边形专题（通用10篇）

特殊的平行四边形专题篇1

一、解答题（本大题共12小题，共120.0分）

1.如图，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上．（1）填空：∠PBC=______度．

（2）若BE=t，连结PE、PC，则|PE+PC的最小值为______，|PE-PC|的最大值是______（用t表示）；

（3）若点E 是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．

BD是一条对角线，D不重合）2.在正方形ABCD中，点E在直线CD上（与点C，连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．

（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是______，位置关系是______；（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；

（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．

N分别是正方形ABCD的边CB、CD的延长线上的点，AN、MN，3.已知，点M、连接AM、∠MAN=135°．（友情提醒：正方形的四条边都相等，即AB=BC=CD=DA；四个内角都是90°，即∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°）

（1）如图①，若BM=DN，求证：MN=BM+DN．

（2）如图②，若BM≠DN，试判断（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

第1页，共4页 BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，4.已知，如图1，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；

（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；

（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．

AB=AC，AD⊥BC，AN是△ABC外角∠CAM6.已知：如图，在△ABC中，垂足为点D，的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．（3）在（2）的条件下，若AB=AC=2，求正方形ADCE周长．

第2页，共4页 7.已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．

①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF

②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？

8.如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；

（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．

F分别在边BC，CD上，9.（1）如图1，正方形ABCD中，点E，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

第3页，共4页 10.已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．（1）求证：△BCE≌△DCF．

（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．

2（3）若DF=8-4，求正方形ABCD的面积？

11.如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE= ______ cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= ______ cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）

12.（本题满分9分）长方形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。在长方形 , ,垂直平分分别交、于点、,垂足为.中 ,(1)如图1,连接(2)求AE的长、.求证：AE=CF；

(3)如图2,动点、分别从、两点同时出发 ,沿和各边匀速运动一周.即点自 → →

→停止 ,点自 → → →停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒 5 ,点的速度为每秒 4 ,运动时间为秒 ,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时 ,求的值

谈特殊四边形的识别篇2

[一、平行四边形]

例1（2007年·吉林省）如图1，有一矩形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．求证：四边形AECG是平行四边形．

分析：要证明四边形AECG是平行四边形，题中已有条件CG∥AE，因此可考虑证明CG= AE，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；也可以考虑证明AG∥CE，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”．下面用第二种思路证明．

证明：在矩形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠1/2DAC，∠ECF=∠1/2BCA，所以∠GAH=∠ECF，所以AG∥CE．又因为CG∥AE，所以四边形AECG是平行四边形．

点评：平行四边形常见的判定方法还有：①两组对边分别相等的四边形；②对角线互相平分的四边形；③两组对角分别相等的四边形．运用时，要灵活选择．如果一种方法不易解出，可以尝试其他的方法.

[二、矩形]

例2（2007年·东营）如图2，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC，垂足为点D.AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．

分析：要证明四边形ADCE为矩形，题设中已有两个角是直角的条件，可考虑利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，故只要证明∠DAE是直角即可．

证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC．因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠MAE=∠CAE．故∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°．又因为AD⊥BC，CE⊥AN，所以四边形ADCE为矩形．

点评：矩形常见的判定方法有：①三个角是直角的四边形；②有一个角是直角的平行四边形；③两条对角线相等的平行四边形．

[三、菱形]

例3（2007年·双柏）如图3，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD.将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C1处，折痕DE交BC于点E．求证：四边形CDC1E是菱形．

分析：由于是折叠问题，因此有很多边相等、角相等，可以考虑利用“四条边都相等的四边形是菱形”来证明．

证明：由题意可知△CDE≌△C1DE，则有CD=C1D，∠C1DE=∠CDE，CE=C1E．因为AD∥BC，所以∠C1DE=∠CED．故∠CDE=∠CED，于是CD=CE．所以CD=C1D=C1E=CE，四边形CDC1E是菱形．

点评：菱形常见的判定方法有：①四条边都相等的四边形；②有一组邻边相等的平行四边形；③对角线互相垂直的平行四边形．在折叠问题中，如果有平行线的条件，一般都会有等腰三角形存在.这点应当重视.

[四、正方形]

例4（2006年·深圳）如图4所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是________．

分析：这是一道开放型题目.根据已知条件知四边形ABCD是菱形，要使四边形ABCD是正方形，按其判定方法只要增加条件∠BAD=90°，或∠ABD=45°，或AC=BD等.

解：略.

点评：正方形常见的判定方法有：①有一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的（或对角线相等的）菱形.

[五、等腰梯形]

例5（2007年·连云港）如图5，在等腰△ABC中，AB=AC.BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，连接DE．求证：四边形BCDE是等腰梯形．

分析：要证明四边形BCDE是等腰梯形，首先要证明它是梯形，再证明其两腰相等即可．由图形知BE与CD显然不平行，因此要证明DE∥BC，可通过“同位角相等，两直线平行”来解决．要证明这个梯形是等腰梯形，可通过说明两腰相等的方法达到．

证明：在等腰△ABC中，AB= AC，∠ABC=∠ACB．因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC=∠CDB=90°．又BC=CB，所以△BEC≌△CDB（AAS）．于是BE=CD.从而AB-BE= AC-CD，即AE=AD.所以∠AED=∠ADE.所以 ∠ABC=∠AED=1/2（180°-∠A）.所以DE∥BC.而BE与CD不平行，所以四边形BCDE是梯形．又因为BE=CD，故四边形BCDE是等腰梯形．

特殊平行四边形证明题篇3

题型一：菱形的证明

1、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．（1）求证：AD＝CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状并证明．

N3、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

D4、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

D′A F D

题型二：正方形的证明题

5、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

C6、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

（第5题）

7．如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：DEEFFB．

题型三：矩形的证明题

8.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．（1）求证：DA⊥AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

A F

9.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

C10、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AFDC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果ABAC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

C11、已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.（第23题）

12、如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．

题型五：综合证明题

13、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

特殊的平行四边形专题篇4

2011乌鲁木齐

20如图，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。

2012南京中考（8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点

（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折

叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 2

2A E D

特殊的平行四边形

2010河南中考

（9分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

特殊的平行四边形专题篇5

第1课时矩形

知识点1 矩形的定义及性质知识点2 矩形的判定

知识点1 矩形的定义及性质

（2018威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B,C,E共线，点C,D,G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BCEF2，CDCE1，则GH(C)

A.1 B.22C.D.52

（2018沈阳）

（2018兰州）

（2018枣庄）

(2018聊城)

（2018无锡）

（2018遵义）

（2018成都）

（2018江西）

（2018北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB4，AD3，则CF的长为。

（2018滨州）

（2018株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为。

APOB第14题图CQD

（2018达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(6,0)，C(0,23).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为.（2018贵阳）

（2018湘西）

（2018广东）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）求证：△DEF是等腰三角形.（2018张家界）在矩形ABCD中,点E在BC上,AEAD,DF⊥AE，垂足为F.（1）求证.DFAB

（2）若FDC30,且AB4,求AD.16.证明:（1）在矩形ABCD中 AD∥BC 12 ……………………1分

又DFAE

DFA90O

DFAB …………………2分又ADEA

ADFEAB

DFAB ……………………3分

（2）13900

FDC3900

1FDC300 ……………………4分

AD2DF

又DFAB

AD2AB248 …………………5分

知识点2 矩形的判定（2018上海）

（2018湘潭）

（2018南通）如图，ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.（1）求证：CFAB；

（2）连接BD、BF，当BCD90时，求证：BDBF.（2018青岛）已知：如图，ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.（1）求证：ABAF；

（2）若AGAB,BCD120，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.（2018新疆建设兵团）

（2018沈阳）

特殊的平行四边形专题篇6

在几何中，四边形的一般定义为：四条首尾相接的线段组成的图形叫做四边形.组成四边形的四条线段，叫做四边形的四条边.按照四条边是否共面，可以把四边形分为两类：四条边在同一平面内的四边形叫做平面四边形；四条边不在同一平面内的四边形叫做空间四边形.例如，把一张方形的纸铺平，它的四边就组成一个平面四边形；把这张纸沿对角线折一下，使对角线两旁的部分不在同一平面内，这张纸的四条边就组成了一个空间四边形（如图1）.初中数学中主要讨论平面四边形.

平面四边形又可以进一步分为两类：画出平面四边形的任意一条边所在直线时，如果整个四边形都在直线的同侧，则它是凸四边形（如图2（1））；否则它是凹四边形（如图2（2））.初中数学中讨论的四边形主要是凸四边形.

对于一般的四边形，四条边只要能够首尾相接即可，并无其他关于边的位置或长短的要求.梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形则不仅都是四边形，并且各自满足一定的附加条件.像这样满足一定附加条件的四边形称为特殊的四边形.进一步可以看出，矩形、菱形和正方形又是满足一定附加条件的平行四边形，即它们是特殊的平行四边形.

[二、四边形的“性质与判定”]

通常，教科书中在给出一种图形的定义后，会继续讨论由这个定义能进一步推出哪些结论，即得出这种图形的一些性质.这些性质往往是经常用到的主要性质.这种图形很可能还有一些其他性质，教科书则未曾涉及.例如，平行四边形除具有教科书中所说的“对边平行且相等”“对角相等”“对角线互相平分”等主要性质之外，还有“对角线的平方和等于四条边的平方和”这个性质.它可以证明如下.

如图3，作▱ABCD的高线DE，CF. 利用全等三角形可以证明AE=BF.

AC²=AF²+CF²=（AB+BF）2+BC²-BF²=AB²+BC²+2AB·BF，①

BD²=BE²+DE²=（AB-AE）2+DA²-AE²=AB²+DA²-2AB·AE.②

∵AB=CD，AE=BF，

∴①+②，得AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA².

实际上，图形的所有性质都是由图形定义所确定的.虽然定义本身并未直接表述出所有性质，但是定义中已经隐含了它们.故而以定义为出发点，可以逐步推导出所有性质.

图形的“性质”和“判定”，是两类不同的问题.讨论一种图形的性质，是在确定对象已经是这种图形的前提下进行的；讨论一种图形的判定，是为确定对象是这种图形而进行的.有时，在分析某个问题的过程中，两类问题都会出现，如先判定某对象是一种特定的图形，再推导出它的一些性质.

是不是只要一种图形有某条性质，就可以反过来把这条性质当成这种图形的一个判定条件呢？不是！并非一种图形的每个性质都可以拿来作为这种图形的判定条件.例如，正方形具有“对边平行，邻边相等”的性质，但是仅根据一个四边形满足“对边平行，邻边相等”不能判定它是正方形，而只能判定它是菱形.

特殊四边形证明题习题篇7

1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.求证：DE－BF = EF．

2.（2009年山东青岛市）已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

(1）求证：BEDG；

(2）若B60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

【关键词】全等三角形的性质与判定、菱形的性质与判定

B C

E F



3．（2009 年佛山市）如图，在正方形ABCD中，CEDF．若CE10cm，求DF的长．

F C

4．（2009年娄底）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

(1）求证：△ABE≌△ACE

(2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是

菱形？并说明理由.

5．（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.(2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由

.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定

6．(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

(1）求证：BD=CD；

(2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

ACD30°，BD6．7．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，A（1）求证：△ABD是正三角形；

(2）求 AC的长（结果可保留根号）．

8．（2009肇庆）如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

B F C

（1）求证：△ABF≌△DAE；

(2）求证：DEEFFB．

9．（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；

【关键词】矩形性质、全等三角形判定

A B

D图

110．（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于

点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

(1）求证：AD＝CE；

(2）填空：四边形ADCE的形状是

【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定

B11．(2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.(1）求证：AM=DM；(2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定

FD第21题图C

AB5，AC6．12．（2009年广东省）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过

点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

(1）求△BDE的周长；

(2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．

求证：BPDQ．

P C E

添加辅助线解特殊四边形题篇8

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形．在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线．下面介绍一些辅助线的添加方法．

一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形．

1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形．

求证:OE与AD互相平分．

分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证．证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0//ED，AO=ED，所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分．

图1 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形．

2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G．求证:ED+FG=AC．

分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH．

证明:过点E作EH//BC,交AC于H, 因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形, 所以ED=HC, 又FG//AC,EH//BC, 所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG, 又AE=BF, 所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG，图2 所以FG+DE=AH+HC=AC．

说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题．

3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证BF=AC．分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换．寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形．

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG，AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC．

图3

图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形．当已知中点或中线应思考这种方法．

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题．

例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE．求AD平分CE．

证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因为EF//CD，所以∠1=∠2，图5 又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分．所以四边形CDEF是菱形．

例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长．

分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题．证明：连结BD、DF．

因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长．

图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线．

三、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题．和矩形有关的试题的辅助线的作法较少．

例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求 PD的长．

分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题．

解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G．

因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=32 ．

图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长．

四、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多．解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线．

例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE．求证：∠BCF= 1∠AEB． 2分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=∠BCF=15°．

证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H．

1AC，可算出∠E=∠ACF=30°，2在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=

1AC，2因为AE=AC，所以∠AEH=30°，因为BE//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=

图8 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质．通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题．

五、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的．主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等．例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0．求证：CO=CD．

分析：要证明CO=CD，可证明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题．

证明：过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以AE=BE=CE=所以AE=DF=

1∠AEB．

21BC，∠ACB=45°，21，2180DBC75，2又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°．所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD．

图9 说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决．

例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E．求DE的长．分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决．

解：过点D作DF//AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DE⊥BC，所以BE=EF==

111BF=(BC+CF)=(BC+AD)2221×10=5． 2因为AC//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF, 因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5, 即DE的长为5．

图10 说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决．

六、和中位线有关辅助线的作法

例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG=OH．

分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题．证明：取AD中点P，连结PE，PF．因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE//BD，且PE=11BD，PF//AC，且PF=AC，22所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，所以OG=OH．

说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题．

特殊的平行四边形专题篇9

基础教育分会场：推进重点领域新突破，共谋教育改革新思路

在基础教育主题研讨专场上，10位专家分别就基础教育现代化、教育质量标准与评估监测、中小学教师的专业发展、农民工随迁子女教育等话题，发表主题演讲，现场还安排了焦点对话环节，给与会人员带来不少启发。

省内外专家畅谈教育现代化

“全面推进教育现代化重点领域突破”是本次峰会的一个重点研讨话题，江苏省教育科学研究院副院长王国强研究员在会上分享了江苏省基础教育现代化建设的经验。他指出，基础教育的改革与发展导致了基础教育现代化内涵的不断丰富和发展。学校布局、规模、生师比、装备配置、教育管理和服务等，既要体现基础教育现代化的要求，也要体现新的发展要求；既要体现在条件有限的情况下差别化的办学，也要体现校间优质均衡。例如在办重点校、试验校和示范校的同时，也要办好每一所学校。广东省教育研究院正处级干部李文郁编审针对我省中小学教师的专业发展的问题，描绘了一个“五阶五维”的专业发展模型，引导教师超越现有的发展阶段，进入更高一级水平。重庆市教育评估院院长龚春燕研究员介绍了重庆市教育质量监测的实践探索——创新教育质量监测理念，创新体制机制，创新监测办法，创新监测研究，研制了许多监测软件系统。到目前，重庆市基本实现了基础教育质量监测工作全过程的信息化和自动化。

粤教创新实践被赞“接地气”

本场研讨会上，不少专家分享了在教育创新上的实践经验，被与会者赞“接地气”。东莞市教育局教学研究室主任王健分享了东莞市通过“慕课变革”提升民办中小学教学质量的经验。他介绍，东莞于2014年提出在中小学开展慕课教育，通过互联网连接教学供求关系，共享优质教学资源，让东莞为数众多的就读于中低收费民办学校的孩子，也能享受优质的教育。关于教育创新，深圳市教育科学研究院院长叶文梓研究员认为，未来的希望在创新，创新的根本在人才，人才的基础在教育。他介绍了深圳市在推进创新教育上的经验，包括建立创客工作室、电影工作室、创新实验室等，给学生搭建实践的平台。

农民工随迁子女教育问题受关注

伴随着中国城市化进程的加速，新生代农民工随迁子女的教育问题越来越突出。针对这一问题，广东省社会科学院现代化发展战略研究所副所长、青少年成长教育研究中心副主任李飏研究员在报告中分析了当前新生代农民工随迁子女城市融入面临的困难及原因，提出了解决农民工随迁子女教育的对策思路。李飏认为，目前造成新生代农民工子女教育问题的主要原因在于当下我国的户籍制度，她建议积极改革和完善户籍制度，打破城乡户籍制度的差异，以此来保障新生代农民工子女享受平等的受教育权。此外，她还建议政府加大财政帮扶力度，帮助新生代农民工子女享受公平的教育资源，并倡导学校和城市社区为随迁子女提供“市民化”社区教育服务，满足新生代农民工及其子女的城市公共精神文化需求。

中大教授谈学校教育改革引反思

关于学校教育改革问题，中山大学社会学与人类学学院朱新秤教授作了《对学校教育改革的反思》报告，引起了现场教育界人士的关注。他指出，在现代社会中，学校的运作都是受机械思维指导的，“教育系统就像一部大机器”，但进入21世纪以后，人的个性和创造性在社会生活中显得越来越重要，这样的学校教育的状况越来越不适应社会发展的要求。“学校应是一个人性化的学习场所。”朱新秤强调，“必须要把学校看作一个‘活的系统，以‘活的思维来引导学校的未来思维。”朱新秤认为，学校应是以学生为中心的教育组织，应接纳多元智力和多样化的学习方式；学校还应强调共同愿景和合作，打破教师单独劳动的状态，强调教师的合作。

职业教育分会场：推进职教综合改革，构建现代职教体系

在职业教育主题研讨与焦点对话中，国家及省、市职业教育科研机构学者，行业企业专家，以及职业院校代表，在创新、协调、绿色、开放、共享的理念指引下，围绕职业教育综合改革和现代职业教育体系建设的热点、难点问题展开了热烈的探讨。

针对创新“产教融合”发展模式的话题，与会者从国内外的实践经验及具体行业的发展情况出发，提出了深化职业教育改革的策略。教育部职业技术教育中心研究所副所长刘立新博士在对英国、法国的传统学徒制和德国的双元制（现代学徒制）分析的基础上，重点探讨了在我国开展产教融合的条件和路径，并提出产教协同的合作框架，建议从经济和教育两个领域出台相应政策，制定相应标准，提供保障。全国机械工业教育发展中心主任陈晓明高级工程师认为，职业教育在考虑定位的时候，要强调行业产业政策、区域产业发展需求、企业发展战略、院校实际条件和学生对职业的追求，真正做到“五维一体”。

围绕区域职业教育改革发展的话题，与会者从各省、市经验做法的角度提出了因地制宜的对策建议。天津市教育科学研究院党委书记荣长海教授认为，改进整个教育体系、彻底理顺校企关系、全面提升职业教育地位是实现职业教育现代化的根本方法。他说：“没有现代化的职业教育，就不能真正成为人力强国，也就不会有实实在在的现代化。”“没有职业教育现代化的率先发展，整个教育系统僵化的结构就不会打破，‘钱学森之问就没有正解。”引起了在场专家和教师的深深共鸣，其间多次响起热烈的掌声。浙江省教育科学研究院原院长方展画教授认为，基于职业教育的“需求侧”、基于受教育者的发展诉求进行改革，应成为职业教育“供给侧”改革的题中之义。增强教育的“选择性”，增强受教育者的“选择权”，在今天应该格外受到重视。广西壮族自治区教育科学研究所所长覃壮才研究员探讨了广西在建设现代职业教育体系过程中，解决生源问题、布局问题、中高职衔接问题、产教融合问题和普职融通问题的措施。广东省教育研究院职业教育研究室副主任杜怡萍研究员提出了开发专业教学标准和课程标准的路径和方法，并分享了独具特色的广东经验。她介绍，专业教学标准建设已成为广东职业教育综合改革试点省创建和广东特色、世界水平现代职业教育体系建设的重要内容和重要举措。

与会嘉宾也围绕论坛主题分享了生动活泼的案例。江门市新会机电职业技术学校校长梁远榕高级讲师、广东技术师范学院副院长许玲教授、珠海城市职业技术学院院长刘华强研究员、深圳职业技术学院副院长马晓明教授分别立足本校发展实际，介绍了区域或学校改革创新的个性化经验。

专家们对职业教育的解读、对当前我国职业教育形势的判断，鞭辟入里，深入浅出，让大家与职业教育的距离又更近了一步，对职业教育的理解又深入了一层；职业学校校长、教师们的办学经验分享，让大家如同身临其境地感受到了职业教育一线工作者们的辛勤付出。此外，论坛的结尾还设计了两场精彩纷呈的焦点对话，嘉宾与参会人员进行了零距离的面对面交流，嘉宾耐心地一一解答大家提出的问题。每一次思想的碰撞，是友好的，又是激烈的，更是深入的，引起了全体人员的强烈反响，引起了大家对职业教育更深入的思考。

高等教育分会场：推进“双一流”建设，打造高水平大学

高等教育主题研讨围绕“高等教育创新发展”的有关问题展开，主要聚焦当下高等教育发展过程中的热点问题，研讨如何把握高等教育规律，深入推进“双一流”建设和引领大学创新人才培养模式。

明晰“双一流”建设发展内涵，提升高等教育质量

“十三五”规划明确指出：“提高高校教学水平和创新能力，使若干高校和一批学科达到或接近世界一流水平。”这是党中央、国务院在新的历史时期，为提升我国高等教育发展水平、增强国家核心竞争力、奠定长远发展基础作出的重大战略决策。这项重大举措，必将加快我国从高等教育大国向高等教育强国跨越的步伐。

关于“双一流”的内涵，厦门大学副校长邬大光教授认为，“双一流”就是寻找办大学的规律与科学，找到规律才有定力。实际上今天大学面临的许多困惑都与大学缺乏常识和定力有关。首先，一流大学成长起来除了需要充足的经费作支持外，还需具有历史底蕴和文化，引领高等教育改革方向，概括起来即底蕴、文化、引领三个关键词。其次，一流学科的发展从未来来看，应该是淡化学科，强化方向，即强化二级学科与研究方向。

对此，华南师范大学教育科学学院院长卢晓中教授认为，“双一流”建设的基本路径是以一流学科建设为基础，推进一流大学建设。当一流学科的建设成果丰富到一定程度，世界一流大学的建设自是水到渠成、顺理成章。这里的“一定程度”包含数量和非数量两层意义，它可以是指世界一流学科达到一定数量，也可以是借助大学排行榜的指标、排名作衡量。需要注意的是，大学排行榜并不能完全反映大学内涵发展的所有因素，如体制机制、大学文化等不能用量化方式作简单排名，因此在“双一流”建设中要提高国际化水平，注意不同类型大学差异化的问题，将人才培养与科学研究紧密结合，培育一流的学科文化，在体制机制方面激发一流学科建设活力。

“玉不琢，不成器；人不学，不知道。是故古之王者，建国君民，教学为先。” 办高水平大学离不开优质的教师教育。岭南师范学院副院长黄崴教授指出，长期以来，我们对教师职业认识不够全面，把“师范性”等同于“学术水平”，对教师资格的标准、内容存在极大的认识误区。同时，我国在政策上一直没有把师范教育作为专业教育对待。师范专业，乃至师范院校的“师范性”有名无实，缺乏把学生培养成为专业化教师的理论、课程、标准、方法的支持，教育理论研究和教师教育相脱节，师范院校很少直接给师范生开设相关的师范教育课程。

从世界一流大学发展的历程来看，有效率的大学管理架构及其制度是关键，建设一流的大学必然要有一流的大学管理。广东省教育研究院高等教育研究室副主任孙丽昕副研究员分析了美国普林斯顿大学的行政管理制度，强调发挥师生参与学校治理的积极性和热情，以此为“双一流”建设提供借鉴。湖北省教育科学研究院院长、党委书记方向荣则认为，“双一流”有两个最基本的共同特点：一是拥有一流水平的教师队伍，二是培养出一大批拔尖创新人才。建设“双一流”需要在师资、人才、科研、成果转化、文化传承五个方面实现“五个一流”。此外，韶关学院院长廖益教授和广东外语外贸大学高等教育研究中心主任陈伟光教授分别从中美“学科”认识差异和对外语学科的重视程度等角度阐述了对“双一流”建设的观点。

创新人才培养模式，加快高水平大学建设

特殊的平行四边形专题篇10

【知识梳理】

1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，或叫平面镶嵌。

7.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。8.平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边相等；

(2)平行四边形的对角相等。(3)平行四边形的对角线互相平分。

9.平行四边形的判定：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。10.平行线间距离：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间距离，两条平行线间距离处处相等

11.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。【考点解析】

考点一：多边形的内角和与外角和

【例1】(2017湖北宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．

【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°； ∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，故选B．

考点

二、平行四边形的性质

【例2】（2017.四川眉山）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（）

A．14 B．13 C．12 D．10 【考点】L5：平行四边形的性质．

【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=3，即可求出四边形的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF=1.5，AE=CF，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12．故选C．

考点

三、平行四边形的判定

【例3】（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；，2（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？

【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC． ∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形． ∴BC=DE．

（2）添加AB=BC．（5分）理由：∵DBAE，∴四边形DBEA是平行四边形． ∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE． ∴▭ADBE是矩形．

【中考热点】

（2017•新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．

【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可；

（2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点C是AB的中点，∴AC=BC；在△ADC与△CEB中，∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）证明：连接DE，如图所示： ∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE，又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．，【点评】该题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．【达标检测】

一、选择题：

1.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）

A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 【考点】平行四边形的判定．

【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．

2.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）

A．8B．10C．12D．14 【考点】平行四边形的性质．

【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10；故选：B．

3.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）

A．10 B．14 C．20 D．22 【考点】平行四边形的性质．

【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．

二、填空题：

4.（2017青海西宁）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为

．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．

【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，6 由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，在△D′CF与△ECB中，∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF 设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=

2，∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x 在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）+（2解得：x=AE=故答案为：

2）=x，22

5.（2017 四川绵阳）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是（7，4）．

【考点】L5：平行四边形的性质；D5：坐标与图形性质．

【分析】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可．

【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴点B的坐标是（7，4）；故答案为：（7，4）．

6.（2017青海西宁）若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 9 ．【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得解得n=9．故答案为9．

7.（2017.湖南怀化）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是 10 cm． =40，【考点】L5：平行四边形的性质；KX：三角形中位线定理．

【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，8 ∵点E是AB的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴AD=2OE，∵OE=5cm，∴AD=10cm．故答案为：10．

8.（2017山东临沂）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是 24 ．

【分析】作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由sin∠BDC=，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ABCD的面积=CD•AC=24．【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，∵sin∠BDC=∴OE=3，∴DE=∵CD=4，∴点E与点C重合，∴AC⊥CD，OC=3，∴AC=2OC=6，∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；故答案为：24． =4，=，【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，得出AC⊥CD是关键

三、解答题

9.（2017•新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．

【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可；

10.(2017湖北咸宁)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；

（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．

【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；

（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵BE=FC，∴BC=EF，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SSS）；

（2）解：连接AF、BD，如图所示：由（1）知△ABC≌△DFE，∴∠ABC=∠DFE，∴AB∥DF，∵AB=DF，∴四边形ABDF是平行四边形．，11.（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；

（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；

（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；

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