特殊平行四边形证明

2024-09-13

特殊平行四边形证明（共14篇）

特殊平行四边形证明篇1

1、如图8，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD． 

（1）求证：△ADE≌△CBF．

（2）若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

F C

A E B2、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

（1）求证：AD＝CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是．

DMN

4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

（1）求证：△ABE≌△ACE

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.

5．如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

6、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

D B N

7.600，它的两底分别是16cm、30cm。求它的腰长。

(两种添线方法)

8．如图

（七），在梯形ABCD中，AD∥BC，ABADDC，ACAB，将CB延长至点F，使BFCD．

（1）求ABC的度数；

（2）求证：△CAF为等腰三角形．

特殊平行四边形证明篇2

一、矩形的性质与判定

1.定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.

二、菱形的性质或判定

1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

三、正方形的性质与判定

1.定义:有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.

3.判定: (1) 有一个角是直角的菱形是正方形; (2) 有一组邻边相等的矩形是正方形.

四、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

【典型例题】

例1如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD.

(1) 试判断四边形OCED的形状, 并说明理由;

(2) 若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的面积.

解: (1) 四边形OCED是菱形.

∵DE∥AC, CE∥BD,

∴四边形OCED是平行四边形.

又∵在矩形ABCD中, OC=OD.

∴四边形OCED是菱形.

(2) 连结OE, 由四边形OCED是菱形得, CD⊥OE.

∴OE∥BC.

又CE∥BD, ∴四边形BCEO是平行四边形, ∴OE=BC=8,

例2在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连结EB、ED.

(1) 求证:△BEC≌△DEC;

(2) 延长BE交AD于F, 当∠BED=120°时, 求∠EFD的度数.

(1) 证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴BC=CD, ∠ECB=∠ECD=45°.

又EC=EC, ∴△BEC≌△DEC (SAS) .

(2) ∵△BEC≌△DEC,

又∵∠EAF=45°, ∴∠EFD=∠AEF+∠EAF=60°+45°=105°.

例3如图, 在△ABC中, 点O是AC边上的一个动点, 过点O作直线MN∥BC, 设MN交∠BCA的平分线于点E, 交∠BCA的外角平分线于点F.

(1) 求证:EO=FO;

(2) 当点O运动到何处时, 四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

(3) 在 (2) 的条件下, 当△ABC满足什么条件时, 四边形AECF是正方形?

证明: (1) ∵MN∥BC, ∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB, ∴∠ECB=∠ACE, ∴∠FEC=∠ACE,

∴OE=OC.同理可证OF=OC, ∴OE=FO.

(2) 当O运动到AC中点时, 四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB, CF平分∠BCA的外角,

由 (1) 得OE=OF, 又∵O为AC的中点, ∴AO=CO.

∴四边形AECF是平行四边形.又∵∠ECF=90°,

∴四边形AECF是矩形.

(3) 当△ABC是直角三角形, 即∠ACB=90°时, 在 (2) 的条件下, 四边形AECF是正方形

例4如图所示, 在△ABC中, D是AC的中点, E是线段BC延长线上一点, 过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F, 连结AE、CF.

(1) 求证:AF=CE;

(2) 若AC=EF, 试判断四边形AFCE是什么样的四边形, 并证明你的结论.

证明: (1) 在△ADF和△CDE中,

∵AF∥BE, ∴∠FAD=∠ECD,

又∵D是AC的中点, ∴AD=CD,

∵∠ADF=∠CDE,

∴△ADF≌△CDE (ASA) , ∴AF=CE.

(2) 若AC=EF, 则四边形AFCE是矩形.

§4.3 四边形和特殊四边形篇3

2. 各边都相等，各角也都相等的多边形叫做正多边形．正n边形（n≥3）的每一个内角的度数为，每一个外角的度数为．

3. n边形（n≥3）从某个顶点出发的对角线有条，n边形的对角线共有条．

4. 多边形镶嵌的基本特点是既无缝隙、又不重叠，因此要求拼接在同一个点处的各个角的和恰好等于．

5. 用一种正多边形单独镶嵌平面，则这个正多边形的内角的度数一定能整除，能够单独镶嵌平面的正多边形有（举出三例）.

多边形在我们日常生活中随处可见，纵观近几年全国的中考数学试题，多边形（特别是四边形）在中考中占有比较重要的地位，常常以填空题、选择题等形式出现.值得注意的是，多途径探索多边形内角和与外角和定理，正多边形的相关知识（如镶嵌的条件和简单的镶嵌设计）已成为当今中考命题的热点.

以下几道例题均选自2008年全国各地中考题.

例1 （福建省）以下四组多边形：① 正三角形与正方形；② 正三角形与正六边形；③ 正六边形与正方形；④ 正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合（每一种都要用上），能密铺地面的是（）.

A． ①③④B． ②③④C． ①②③D． ①②④

解析：问题的关键在于能否从每组的两种多边形中找到若干个内角，恰好拼成一个周角.对于①，设镶嵌时，在同一个顶点处有x个正三角形、y个正方形，则60x+90y=360，其一组正整数解为x=3，y=2.再利用这种方法对②③④进行探究，可发现②④能镶嵌，③不能镶嵌，应选D．

特殊平行四边形证明篇4

2011乌鲁木齐

20如图，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。

2012南京中考（8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点

（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折

叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 2

2A E D

特殊的平行四边形

2010河南中考

（9分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

特殊平行四边形试卷（最终版）篇5

一、选择题

1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（）； A．5cm和7cm B．18cm和28cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm 3．如图，平行四边形ABCD中，经过两对角线交点O的直线分别交BC于点E，交AD于点F.若BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长等于（）.A．14 B．15 C．16 D．无法确定

4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）

A．4 B．6 C．8 D．10

5．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°

6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD交于点O，菱形ABCD周长为32，点P是边CD的中点，则线段OP的长为（）

A．3 B．5 C．8 D．4 7．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定

8．矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）

A．6 B．

C．2（1+）

D．1+

9．如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是（）

A．60° B．70° C．75° D．80°

10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（）

A．14 B.12 C.24 D.48

第II卷（非选择题）

二、填空题（题型注释）

11．如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，如果∠BAC＝70°，那么∠ADC等于．

12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为 2或的四边形是平行四边形．

秒时，以点P，Q，E，D为顶点

14．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是

cm．

15．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积为 _________ ．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为．

17．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．

18．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．

四、解答题（题型注释）

19．如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD四条边的中点，证明：四边形EFGH是菱形．

20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．（1）求证：∠ABE=∠EAD；

（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

21．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G．

（1）求证：BF=AE+FG；

（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．

22．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；

(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．

23．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

证明平行四边形篇6

证明平行四边形

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,

等边△ABE ,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴ DF=√(AD+AF)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a =>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的.四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。) (第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。) (1)平行四边形对边平行且相等。 (2)平行四边形两条对角线互相平分。 (3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。 (4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 (7)对称中心是两对角线的交点。

“三法”证明线面平行篇7

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理, 即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行, 即证线线平行, 经常应用到的结论有: (1) 三角形的中位线平行于第三边; (2) 同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行; (3) 垂直于同一直线的两条直线平行; (4) 平行四边形的对边相等且平行; (5) 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线, 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.

【例1】如图1, 五面体中, 四边形ABCD是矩形, AB∥EF, P、Q分别为AE、BD中点.

求证:PQ∥平面BCE.

证明:连接AC, 因为四边形ABCD是矩形, Q为BD的中点, 所以Q为AC的中点, 且在△AEC中.又P为AE的中点, ∴PQ∥EC, ∵

∴PQ∥CE.

点评:要证明线面平行, 可考虑证明PQ与平面内的一条直线平行, 因为P是AE的中点, Q是AC的中点, 故考虑利用中位线的性质证明线线平行, 进而证明线面, 进而证明线面平行.

【例2】在如图2所示的几何体中, △ABC是正三角形, AE⊥平面ABC, 平面BCD⊥平面ABC, BD=CD, 且BD⊥CD.

求证:AE∥平面BCD.

证明:取BC的中点M, 连接DM、AM, 由已知可得DM⊥BC, AM⊥BC.

又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以DM⊥平面ABC.

因为AE⊥平面ABC, 所以AE∥DM.

又因为, 所以AE∥平面BCD.

点评:在空间中, 垂直于同一平面的两直线平行, 本题已知AE⊥平面ABC, 又可证明DM⊥平面ABC, 故可得AE∥DM, 从而证明了线面平行.

【例3】如图3, 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, AB∥CDE是PC的中点.证明:BE∥面PAD.

证明:取PD的中点F, 连接EF、AF, 则有

点评:本题中要证BE∥面PAD, 可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行, 根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时, 若根据判断定理不容易证明, 可考虑通过证明面面平行, 达到证明线面平行的目的.

【例4】如图4, 三棱柱ABC-A1B1C1, 底面为正三角形, 侧棱A1A⊥底面ABC, 点E, F分别是棱CC1, BB1上的点, 点M是线段AC的中点, EC=2FB.

求证:BM∥平面AEF.

证明:如图4, 取EC的中点P, 连接PF、PM、PB,

∵点M是AC的中点,

∴PM∥AE,

又, ∴PM∥面AEF.

点评:要证明BM∥平面AEF, 在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行, 但根据条件易证明PM∥平面AEF, PB∥平面AEF.从而得到面面平行, 根据面面平行的性质, 易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知, 如果直线与平面的法向量垂直, 且直线在平面外, 则直线与平面平行, 当题目中的条件有利于建立直角坐标系, 且用以上两种方法不易证明时, 可考虑建立直角坐标系, 利用法向量求解.

【例5】如图5, 已知四边形ABEF是矩形, △ABC是等腰三角形, 平面ABEF⊥平面ABC, ∠BAC=120°, AB=1/2AF=4, CN=3NA, M, P, Q分别是AF, EF, BC的中点.求证:直线PQ∥平面BMN;

特殊四边形的性质与判定篇8

■ （2011江苏泰州）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）

A． 1组 B． 2组

C． 3组 D． 4组

■ C.

■?摇本题考查了平行四边形的判定方法. 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①正确；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②正确；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③正确；仅由条件④判断，四边形有可能为等腰梯形．故选C．

■ （2011广东佛山）在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，若AB=OB=4，则AD=______.

■ 4■.

■?摇本题考查矩形的性质和勾股定理. 从图形的特征出发，可将问题转化到直角三角形中，再运用勾股定理求解. 容易得到BD=2OB=8，再在Rt△ABD中运用勾股定理即可求出AD的长.

■ （2011江苏南京）如图1，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______cm2．

■

■ 2■.

■?摇本题考查菱形面积的求法，是菱形性质与勾股定理的结合. 由AE=1，AD=2，根据勾股定理得DE=■，所以菱形的面积为2×■=2■.

■ （2011湖北孝感）已知正方形ABCD，以CD为边作等边三角形CDE，则∠AED=______.

■ 15°或75°

■?摇本题考查了利用正方形的性质求角，由于题目没有给出图形，所以应考虑是否存在多种情况.

（1）如图2，当点E在正方形ABCD外时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，所以∠AED=■（180°－150°）=15°.

■

（2）如图3，当点E在正方形ABCD内时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°-60°=30°，所以∠AED=■（180°－30°）=75°.

■

■ （2011江苏盐城）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图4所示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是______．

■

■ 等腰梯形.

证明三平行四边形篇9

（三）3.1平行四边形（2）

课型：新授课

教学目标：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2．能运用综合法证明平行四边形的判定定理。

3．感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点：掌握证明平行四边形的方法。

教学难点：运用综合法证明问题的思路。

教法及学法指导：本科采取讲练结合的方法，在教学中主要以学生进行探索、猜测、合作、交流、质疑等基本的数学方法去发现问题、提出问题、解决问题的基本策略。充分显示以学生为主，教师为主导的思想。

课前准备

教具：教材、尺规、课件

学具：教材、尺规、练习

教学过程：

一、复习回顾

师：上节课我们学习了平行四边形的性质和梯形的相关性质，谁能来说一下平行四边形的相关性质？

生：平行四边形的性质

定理1:平行四边形的对边平行.(由定义得)

定理2:平行四边形的对边相等.定理3:平行四边形的对角相等.定理4:平行四边形的对角线互相平分.师：那同学们还记不记得平行四边形的判定呢？

生：平行四边形的判定有4条两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

师：很好。那有没有同学能够从命题的角度指出到这四条判定的相同和不同之处？

生：这4个命题是平行四边形性质的逆命题。

生：他们都是真命题。

生：我们特别关注第一条，它是平行四边形的定义，既是平行四边形的判定，又

包含着平行四边形的性质，这是它与其它3条不同的地方。

师：大家刚才的发言都非常好，我补充一点第一条的特殊性决定了它是不需要证

明的。其它三条的正确性是需要我们证明的。

生：原来数学这么严密、只会用是不行的，还必须知道为什么。师：很好的体会，今天我们就来解决这个问题。

师：下面请同学们充分发挥你自己的聪明才智和团队的力量，去寻找解决问题的策略，或者找到解决问题路上的“坎儿”。

【设计意图】充分调动学生的积极性，使他们能够在自己已经构建的知识结构基础上，提出符合其个人认知层次的问题，从而为本节课找到了较为符合学生已有的知识建构良好的切入点。二合作探究

师：我们知道任何一个命题都由“条件”“结论”两部分构成，比如下面这个命

题：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形条件和结论分别是什么？生：“一组对边平行且相等”是它的条件，而“四边形是平行四边形”就是结师：虽然能够找到“条件和要解决的问题”但是它不象我们以前解决过的问题有

图形。没有图形对我们解决问题有影响吗？

生：那一组平行且相等的边没有标记，会导致我们没有办法写

过程，就算我们根据题意自己构造了下面这个四边形，哪一组

对边是命题里说的那一组？你知道吗？难道能随便选择一组对边就可以？

师：看来上一组同学的问题（找不到已知条件）已经解决了。对于这一小组同学的问题那些同学可以发表一下自己的见解？生：我们也不确定．．．．．．

师：那好，每一组同学分成两部分，一部分选择ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对

边”另一组同学选择ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边”看看我们能不能完成对

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形这个命题的证明。

生：我们选择“ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对边””

这样命题就变成了

已知：“四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ//ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ，求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形”（在老师的帮助下写已知，求证和证明）证明：连接ＢＤ

∵ＡＢ//CD

∴ ∠ ABD=∠CDB

又∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＣＢ//ＡＤ

∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

生：老师他们的这个题目连接ＡＣ也可以用同样的方法证明。

师：很好，我们不仅解决了这个问题，同学们的思路也很开阔，能从不同的角度

对这个问题加以验证。那选择“选择ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边””的同学得到结论了吗？

生：我们选择“ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边”” 这样命题

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了

已知：“四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ//ＤＡ且ＢＣ＝ＤＡ

求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形”（学生模仿上面的自己写找一个同学到黑

板上板书证明）证明：连接ＢＤ∵ＢＣ//ＤＡ∴ ∠ ＣBD＝∠ＡDB

又∵ＢＣ＝ＤＡ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＣＤＢ≌△ＡＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ

∴ＡＢ//ＣＤ

∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

我们也可以连接ＡＣ再证明。

三精讲点拨师：我们一块来看一下黑板上的同学做的对不对？大家有没有发现这两道证明题都是通过做什么来完成的？生：辅助线

师：很好，做完辅助线会构造三角形然后你会想到什么？生：证明三角形全等。师：大家太棒了。下面我们大家自主来完成这一个判别方法的证明做完后同位之间互相检查。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形已知：四边形ＡＢＣＤ中ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形证明：连接ＢＤ

∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ又∵ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＡＢ//ＣＤ，ＢＣ//ＡＤ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

同理我们也可以连接ＡＣ来证明。

师：这位同学对于基本的证明命题的思路已经掌握得比较好。那还有没有不同的思路？

生：老师我们也可以连接ＡＣ来证明

师：当然可以，大家在观察一下这个证明与证明一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形思路有什么相似之处么？

生：只要将刚才的思路稍加改动就可以得到另外一种思路

师：我们已经证明了两个定理，根据大家掌握的方法快速把两条对角线互相平分的四边形是平行四边形这个定理在练习本上证明一下

【设计意图】将已证明的定理可以拿来使用来证明其他命题.由于前面对于证明的完成度较高，内容讲授较为丰富，所以对最后一条判定定理，教师在黑板给出

图例，学生口述完成即可.四应用提高，深化体会

师：下面我们来处理一些具体问题已知:如图

求证:四边形MNOP是平行四边形生１展示其证明过程：证明:

(x-3）—（x—5）=4x=8 MN=5=PO PM=3=ON

∴四边形MNOP是平行四边形.师：还有不同的思路吗？生２展示其证明过程：证明：

(x-3）2—（x—5）2=42 x=8 PM=11-8=3 PM2+MO2=PO2 PMO=90 PM//ON 且ON=8-5=

3四边形MNOP是平行四边形.分析证明过程：

我们还可以在得知ｘ＝８以后，证明△ＭＰＯ≌△ＯＮＭ，从而得到内错角

相等，利用两组对边分别平行得证。

【设计意图】这是课本做一做的一道题目，本题综合运用勾股定理、方程、平行四边形的判定定理进行计算推理.在做本题的过程中可以鼓励完成速度较快和完成度较高的同学尝试用多种做法.五课堂小结：

师：刚才大家的分析都非常好。下面我们总结一下本节课

生：学习了证明平行四边形的判定定理同时也学会了应用师：那么大家一块来检测一下自己六达标检测

（1）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB＝CD，AD＝BCB.AB＝CD，AB∥CDC.AB＝CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC

（2）如图5，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，要使四边形AECF是平行四边形，则应添加的条件是.（添加一个条件即可）

图6

图

（3）已知：如图6，在平行四边形ABCD中，BF＝DE.求证：四边形AFCE是平行四边形.七课堂作业

基础作业：P88，习题3.2：12

八板书设计

九教学反思:

证明平行四边形方法篇10

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定);

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单(非自相交)四边形。平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

直角三角形在特殊四边形中的应用篇11

例1、如图E是矩形纸片ABCD中AD上的一点，以CE为折痕将△CDE翻折，点D落在AB边的点F上，则原矩形被分为四个直角三角形。图中四个直角三角形不随点E不同位置影响：①一定相似的三角形是与；② 一定全导的三角形是与；③ 如果这个特殊的矩形翻折后，△AEF ∽ △FEC（既四个都相似）；则AD：AB的值应是多少。

分析若△AEF∽△FEC则 ∠1﹦∠2﹦∠3﹦∠4﹦30° 设AE﹦ⅹ

则EF﹦2ⅹ∴DE﹦2ⅹ AD﹦3ⅹ CD﹦2√3ⅹ=AB∴AD﹕AB﹦3ⅹ﹕2√3ⅹ﹦√3：2

将图中△CDE剪去、问题演变为：

例2：如图AD//BC∠B﹦90°将三角尺的直角顶点放在AB 的中点0、并绕着点O旋转三角尺，其两直角边分别与射线AD、BC交于点E、F 连接EF⑴如果AB﹦8设AE﹦ⅹ BF﹦Y 求Y与ⅹ的出数关系式；⑵若分别以E 、F为圆心，以EA，FB为半径画OE、OF求 OE 与 OF的位置关系。

分析：对于问题②研究 OE 与 OF 的位置关系。关键在两圆半径AE.BF与连心线EF的数量关系，显然这是直角梯形中上、下底边长与斜腰长之间的关系（提示：取EF中点P连接OP，易证Rt△EOF中EF=20P。在梯形ABFE中AE+BF=2OP EF=AE+BF即两圆外切）

例3 如圖已知在正方形ABCD中边长为1。点P在BC边上移动，E是BC延长线上的点，联结AP与 P点作PF⊥AP变∠DCE平分线于点F连接AF.证明AP﹦PF

证明一：一般通过三角形的全导来证明是同学们的首选但这有一定的难度，需要不断探索.构选与△PCF全导的三角形。（提示：在AB边上截取BQ﹦BP.连接PQ 易证∠1﹦∠2 AQ﹦1—BQ﹦1—BP﹦PC ∠AQP﹦135°﹦∠PCF从而△APQ≌△PFE ∴AP﹦PF）

证明二：可以肯定地讲，有很多同学过点F作FH⊥BE垂直为H，易证∠1﹦∠2 ∠B﹦∠PHF﹦90°但要证AB﹦PH或 BP﹦FH都不容易。那么这不就证明思想是不好不行呢？否则是否定。

例1时我们讲△ABP∽△PHF。

设BP﹦ⅹ FH﹦Y﹦CH 则PC﹦1— ⅹ PH=1—ⅹty 于是有 ∴ Y﹦ⅹ—ⅹ﹢ⅹY可化为（ⅹ—Y）（1—ⅹ）=0∴ⅹ≠1 ∴ⅹ=Y即BP=FH ∴△ABP≌△PHF从而得到AP=PF

小结：构造法一的三角形一般较难想到，法二的三角形较直观，但法二的证明反而难了一些，如果能结合相似通过计算推导线段相导其有蓦然回首，灯火阑珊处之境。

意犹未尽的同学想一想还有没有别的办法呢？

证明三：连接AC 正方形ABCD中∠ACD﹦45。 CF平分∠DCE ∴∠DCF﹦∠ECF﹦45°∴∠ACF﹦∠ACD﹢∠DCF﹦90°

∴∠APE﹦∠ACF﹦90°

∴点A P C F 四点在以A F为直径的圆上外角∠FCE﹦45°﹦∠PAF ∴∠PAF﹦45°=∠PFA ∴PA=PF

怎样！是不是感受到这个方法更佬，有余韵绕梁之美

练习：在矩形ABCD中，点P在AD上，AB﹦2 AP﹦1将直角尺的直角顶点放在点P上直角尺两边分别交AB、BC于点E.F ，连接EF如图（1）

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②）求PC的长②探究将直角尺从图②的位置开始，绕点P顺时针方向旋转，当点E与点A重合时停止。在这个过程中请你观察猜想并解答。

（a）fam∠PEF的值是否发生变化，请说明理由

（b）直接写出从开始到停止线段EF的中点经过的路线的长

提示：（1）图②中△ABP∽△DPC 又∵Rt△ABP中AP﹦1 AB﹦2 BP﹦√5而矩形ABCD中DC﹦AB﹦2∴ PC﹦2√5

如图②（a）fam∠PEF的值不变，理由：过点F作FG⊥AD，G为重点如图①由△PAE∽△FGP而PA﹦1 FG﹦AB﹦2即tam∠PEF=2不变（b）可以看出开始时EF中点0，停止时EF即AF中点为0，显然0为BC中点，也是BP中点∴0，0 =PC=√5

例谈不等式证明的几种特殊方法篇12

不等式的证明常用的方法有比较法, 综合法, 分析法, 在不等式的证明问题中, 选择适当的方法是至关重要的.今例举几种证明不等式的特殊方法.

一、换元法

换元法是指对结构较为复杂, 量与量之间的关系不甚明了的命题, 通过恰当引入新变量, 代换原题中的部分式子, 简化原有结构, 使其转化为便于研究的形式, 换元法多用于条件不等式的证明, 常采用三角代换, 均值代换及其他代换方法.

例1 已知a、b∈R, a2+b2≤4, 求证:

|3a2-8ab-3b2|≤20.

证明:因为a, b∈R, a2+b2≤4

所以可设a=rcosθ, b=rsinθ,

其中0≤r≤2.

所以|32-8ab-3b2|

故原不等式成立.

例2 已知a、b、c∈R, 且a+b+c=1, 求证: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3} .$

证明: $a = \frac{1}{3} + m, b = \frac{1}{3} + n, c = \frac{1}{3} + p$

因为a+b+c=1,

所以m+n+p=0.

故 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (\frac{1}{3} + m)^{2} + (\frac{1}{3} + n)^{2} + (\frac{1}{3} + p)^{2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (m + n + p) + m^{2} + n^{2} + p^{2} \geq \frac{1}{3} .$

二、反证法

从否定结论出发经过逻辑推理, 导出矛盾, 证明结论的否定是错误的, 从而肯定原结论是正确的证明方法.凡涉及到证明的不等式为否定性命题, 惟一性命题或是“至多”、“至少”等字句时, 常用反证法.

例3 已知:a、b、c∈ (0, 1) , 求证:

(1-a) b, (1-b) c, (1-c) a不能同时大于 $\frac{1}{4} .$

证明:假设三式同时大于 $\frac{1}{4}$

即有 $b - a b > \frac{1}{4}, c - b c > \frac{1}{4}, a - a c > \frac{1}{4}$

三式同时相乘, 得

$(1 - a) a (1 - b) b (1 - c) c > \frac{1}{64} .$

又 $(1 - a) a \leq (\frac{1 - a + a}{2})^{2} = \frac{1}{4} .$

同理 $(1 - b) b \leq \frac{1}{4}, (1 - c) c \leq \frac{1}{4},$

所以 $(1 - a) a (1 - b) b (1 - c) c \leq \frac{1}{64},$

因此与假设矛盾, 结论正确

三、判别方式

判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程, 一元二次不等式, 二次函数的根, 解集, 函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式, 从而推出欲证的不等式的方法.

例4 设a+b+c=1, a2+b2+c2=1, 且a>b>c,

求证: $- \frac{1}{3} < c < 0 .$

证明:因为a+b+c=1, 所以a+b=1-c.

所以a2+b2+2ab=1+c2-2c.

而a2+b2=1-c2,

所以ab=c2-c.

所以a、b为方程x2- (1-c) x+c2-c=0的二实根.

而a>b>c, 故方程有均大于c的不等实根,

设f (x) =x2- (1-c) x+c2-c, 则

${\begin{cases} Δ > 0 \\ \frac{1 - c}{2} > c \\ f (c) > 0 \end{cases}$

, 解得 $- \frac{1}{3} < c < 0 .$

四、导数法

导数法是构造一个函数, 根据其在某个范围内的单调性来证明不等式的方法.

例5 已知:a、b为正整数, 且1<a<b, 证明: (1+a) b> (1+b) a.

证明:要证不等式成立, 只要证明:bln (1+a) >aln (1+b) .

即 $\frac{\ln (1 + a)}{a} > \frac{\ln (1 + b)}{b} .$

$\begin{array}{l} 构造函数 f (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x} (x \geq 2) \\ f^{'} (x) = \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x)}{x^{2}}, \\ = \frac{x - x l n (1 + x) - \ln (1 + x)}{x^{2} (1 + x)} < 0 . \end{array}$

于是f (x) 在[2, +∞) 上是减函数.

由2≤a<b, 知f (a) > (b) .即

$\frac{\ln (1 + a)}{a} > \frac{\ln (1 + b)}{b},$

所以 (1+a) b> (1+b) a.

五、放缩法

欲证A≥B, 可通过适当放大或缩小, 借助一个或多个中间量, 使得B≤B1, B1≤B2, …, Bi≤A或A≥A1, A1≥A2, …, Ai≥B, 再利用传递性, 达到欲证的目的, 这种方法叫放缩法.

例6 已知:a、b、c、d均为正数, $S = \frac{a}{a + b + d} + \frac{b}{b + c + a} + \frac{c}{c + d + b} + \frac{d}{d + a + c}$ , 求证:1<s<2.

证明:因为a、b、c、d均为正数,

所以 $s > \frac{a}{a + b + c + d} + \frac{b}{a + b + c + d} + \frac{c}{a + b + c + d} + \frac{d}{a + b + c + d} = \frac{a + b + c + d}{a + b + c + d} = 1$ , 且 $s < \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{c + d} = \frac{a + b}{a + b} + \frac{c + d}{c + d} = 2$ ,

所以1<s<2.

六、向量的数量积法

$\vec{m} \cdot \vec{n} = | \vec{m} | | \vec{n} | \cdot \cos < \vec{m}, \vec{n} >$ 显然有 $\vec{m} \cdot \vec{n} \leq | \vec{m} | \cdot | \vec{n} |$ , 运用此法可证明较难的不等式问题.

例7 已知a、b、c均为正实数, 且a+b+c=2, 求证: $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c} \geq 32$

证明:令 $\vec{m} = (\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}) ‚ \vec{n} = (\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{3}{\sqrt{b}}, \frac{4}{\sqrt{c}})$ , 则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 8, | \vec{m} | \cdot | \vec{n} | = \sqrt{a + b + c} \cdot \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c}} .$

由 $| \vec{m} | \cdot | \vec{n} | \geq \vec{m} \cdot \vec{n}$ 得

$\sqrt{a + b + c} \cdot \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c}} \geq 8 .$

两边平方得: $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c} \geq 32 .$

湖南省洞口第一职业高级中学

平行四边形证明典型题篇13

1．如下图，已知平行四边形ABCD，E为AD上的点，且AE=AB,BE和CD的延长线交于F，且∠BFC=40°，求平行四边形ABCD各内角的度数.2.已知平行四边形一组邻角的比是2∶3，求它的四个内角的度数.3.如下图所示，ABCD是平行四边形，以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF，且它们相交于O，求证：EO=FO，DO=BO.4.已知：平行四边形ABCD中，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E使AE=AB，求证：CE⊥DF

5.如图所示，已知平行四边形ABCD，直线FH与AB、CD相交，过A、B、C、D向FH作垂线，垂足为E、H、G、F，求证：AE-DF=CG-BH

6.平行四边形ABCD中，E为DC中点，延长BE与AD的延长线交于F，求证：E为BF中点，D为AF的中点.7.如图所示，平行四边形ABCD中，以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证：△AEF为等边三角形.8.如图所示，在△ABC中，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，求证：BE=FC

9.如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD中点，分别延长BA和DC到G、H，使AG=CH，连结GF、EH，求证：GF∥EH

10.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于G，CE与DF相交于H.求证：EF与GH互相平分

11.在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交DC于F，且OE=OF，求证：四边形ABCD是平行四边形.12.如图所示，已知△ABC，分别以AB、BC、AC为边向BC同侧作等边三角形ABE、BCD、ACF.求证：DEAF为平行四边形.13.已知：如下图，在四边形ABCD中，AB=DC,AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，AE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形.214.点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB的面积为7cm，求平行四边形ABCD的面积.15.有两个村庄A和B位于一条河的两岸，假定河岸是两条平行的直线，现在要在河上架一座与河岸垂直的桥PQ，问桥应架在何处，才能使从A到B总的路程最短.【中考真题演练】

平行四边形证明题中考练习篇14

MEH

E F

C 图（1）

C 图（2）



24.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2）。 求证：△BPM△CPE； 求证：PM = PN；

（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时

PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

C C

圖1 圖

2四、【安徽省】

20.如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC。⑴求证：四边形BCEF是菱形

⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE

23.（本题7分）

圖

3如图，四形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明

你的结论。D

18．如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD，等边ABE．已知

∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF． ⑴试说明AC＝EF；

A ⑵求证：四边形ADFE是平行四边形． E

第18题图

26.如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.①求证：AG⊥CH;

②当AD=4，DG

CH的长。

22.（本题满分8分）

HFC

图110

B图1

图1

2F分别在线段BC、AB上，如图6，已知△ABC是等边三角形，点D、∠EFB60°，DCEF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；

D 图6

(2)若BFEF,求证AEAD.24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3.请探究：当k为下列三种情况时，四

边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是；②当k= 2时，是；③当k= 3时，是.并证明．．．k= 2时的结论.21．（本题满分9分）

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．

24.（10分）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G

是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.24题图24.如图9，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AC交于点P.E

0)时，试证明CEEP；（1）当点E坐标为(3，（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t0）”，结论

CEEP是否仍然成立，请说明理由；

（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由.图9 27．（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD

∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．

（1）求∠AED的度数；

（2）求证：AB=BC；

（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．

求

FC的值．

图1

图2

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