二次函数反思

二次函数反思（共15篇）

二次函数反思 篇1

二次函数反思贾翠颖

二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课,通过实例引入二次函数的概念,并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.、给学生提供丰富的实例,让学生体会数学来源于生活,并为生活所用.学习二次函数的知识,可以解决许多实际问题,真正体会学习数学的意义,产生用数学意识.调动学生积极主动参与到数学活动中,同时让学生感到求函数的最值在本章中处于非常重要的地位.在教学中我注重从身边的实例入手，让学生充分认识数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣，达到愿学想学的愿望。

二次函数反思 篇2

1.探索出二次函数和一元二次方程的关系的过程, 体会方程函数间的联系;

2.掌握二次函数图象与x轴的交点个数同一元二次方程的根的个数之间的关系, 能应用求一元二次方程的解与抛物线与x轴的交点坐标的相互转化。

3.从学习过程中体会学习数学知识的价值, 从而提高学习数学知识的兴趣。

二、教学重点、难点

教学重点:

1.体会方程与函数之间的联系。

2.会应用二次函数的图象求一元二次方程的解。教学难点:

1.探索方程与函数之间关系的过程。

2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

三、教学过程

(一) 回顾旧知识, 探索新知

1. 不解方程, 判断下列方程的根的情况: (1) x2-x-2=0; (2) x2-4x+4=0; (3) x2-x+2=0;

2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系, 口述用函数的图象求方程3x-2=0的解。

教师点评:关键抓住直线 (一次函数图象) 与X轴交点就是对应一元一次方程的解。

设计意图:这两道预习题目是对旧知识的回顾, 为本课的教学起到铺垫的作用, 1题是对根的判别式应用加以回顾, 是学习新知的最佳最快捷引入;2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题, 这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。

(二) 创设情境探究新知

结合教材问题导入:

1. 课本P16问题。

2. 结合图形指出, 为什么有两个时间球的高度是15m或0m?为什么只在一个时间球的高度是20m?

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

点评:结合预习第一题, 请学生口述, 课件形式展示出来

二次函数y=ax2+bx+c的一元二次方程一元二次方程

图象和x轴交点ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c=0

根的判别式

教师重点关注:

1.学生能否把实际问题准确地转化为数学问题;

2.学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用;

3. 学生在探究问题的过程中, 能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程, 使解决问题的方法更准确;

4. 强调一点:二次函数与X轴的交点与一元二次方程的根相互转化。

例题学习巩固提高

导思:例利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根 (精确到0.1) 。

课件动态演示函数图象与X轴交点坐标中横坐标的近似值取值范围的缩小过程。

师生行为:教师提出问题, 引导学生根据预习题2独立完成, 师生互相订正。

教师关注: (1) 学生在解题过程中格式是否规范; (2) 学生所画图象是否准确, 估算方法是否得当。

练习反馈巩固新知

导练: (1) 教材P19.习题1。

师生行为:教师提出问题, 学生独立思考后写出答案, 师生共同评价;问题 (2) 学生独立思考后同桌交流, 实物投影出学生解题过程, 教师强调正确解题思路。

设计意图:这两个题目就是对本节课知识的巩固应用, 让新知识内化升华, 培养数学思维的严谨性。

自主小结, 深化提高:

1.通过这节课的学习, 你获得了哪些数学知识和方法?

2.归纳总结

一般地, 从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知。

(1) 如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点, 公共点的横坐标是x0, 那么当x=x0时, 函数的值是0, 因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。

(2) 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点, 有一个公共点, 有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根, 有两个相等的实数根, 有两个不等的实数根。

(3) 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差, 由图象求得的根, 一般是近似的。

设计意图:

1.使学生反思在知识和技能方面的收获;

2.学生反思自己的学习活动、认知过程, 总结解决问题的策略, 积累学习知识的方法, 力求不同的学生有不同的发展。

分层作业, 发展个性:

1. (必做题) 阅读教材并完成P19:2 (1) (4) P20:4

2. (选做题) P20:5

四、教学反思

时光荏苒, 又到初三毕业年级, 此节公开课我精心准备, 仔细筹划, 思量每个环节以及可能出现的问题。教学中集中精力, 全力以赴, 很想把自己优秀一面尽显于此。课后诸位评委积极热情评课, 100分钟评课时间让我受益颇深, 真是听君一席话, 胜过十年工。由感而发, 故特意认真做如下反思:

1.注重知识的发生过程与思想方法的应用。《用函数的观点看一元二次方程》内容比较多, 但课时只有一节, 中考中出现也就一道题, 涉及函数应用问题也是难点, 为了在一节课的时间里更有效地突出重点, 突破难点。按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想。本节课给学生布置的预习作业, 从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识, 让学生充分感受知识的产生和发展过程。尤其结合课件使用使学生始终处于积极的思维状态中, 对新的知识的获得有成功的喜悦感。

2.学生主动认知与理解知识过程的重视。本节课知识的呈现作了重大调整, 不是以讲解为主方式也不是以单一的知识为线条, 而是在突出数学知识的同时, 将数学知识和结论溶于数学活动之中。这样学生学习数学知识的过程就成了进行数学实验的过程, 成了“做学问”的过程。在这样的探究学习过程中, 学生得到的数学知识是通过自己实验、观察、讨论、归纳得到的。

3.引入环节恰当有实效。课前我通过认真研读课程标准, 查阅资料, 集思广益, 遵照学生特点, 有步骤、有层次的对本节课做了精心设计。课堂在引导学生回顾旧知, 引起认知冲突中抛出问题, 学生一下子急于知道答案, 表现出极大的求知热情。解疑提升提升环节曾一度出现争论高潮。

4.教学中始终如一贯彻数学思想。函数图象的应用必须数形结合, 引导学生反复练习二次函数的作图是中考必考点, 针对考点我在例题讲解和学生练习中都重点强调图象的作图, 在动手中过手知识点。

让学生体验函数y=x2+bx+c的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的解的探索过程, 掌握用函数y=x2+bx+c图象交点的方法求方程ax2+bx+c=0的解。通过渗透数形结合的思想, 提高学生综合解题能力。

5.对不足之处, 改进环节的反思。 (1) 放手不够, 包办还是过多, 学生思考时间有时显得不足。 (2) 当堂过手检查环节显得匆忙, 师生互动没能彻底带动学生跟随学习思路, 气氛活跃但是没在规定5分钟内完成互查任务。 (3) 学生回答时没做好鼓励和点评, 提问回答环节没能完全落实, 有1处提问指向不明确。 (4) 函数与X轴交点同方程的根的关系可适当做逆向分析, 点到为止, 因时间关系不做过多展开。

6.本堂课课后评课优点。 (1) 课件使用非常有特色, 并且结合课程讲解学习分步呈现, 动画设置到位, 板书书写、格式位置也很好, 是一大亮点。 (2) 目标层次分明, 知识能力情感三大目标定位准确, 内容实效性可操作性强。 (3) 教师感染力强, 课堂生动有趣, 始终关注学生, 并带动学生积极参与进课堂每个环节。 (4) 教学过程非常注重学生练习及反馈矫正, 是一堂有效的落实过手的公开课, 并且对习题选择也由浅入深, 贴近中考目标, 具有针对性。 (5) 教师对教材分析和大纲考点分析到位, 教学中渗透考点分析和数学思想应用, 显示了教师扎实业务素质和基本功, 尤其教学语言丰富, 知识全面分析讲解准确也是本节课一大特色。 (6) 教师应变能力不错, 善于根据学生实际即时调整课堂进度, 驾驭课堂能力好, 教学显得成熟。

浅谈二次函数复习课的反思 篇3

关键词：新；序；巧；活

教学设计：（一）知识梳理（用多媒体打出）；（二）看一看（用几何画板演示抛物线的各种情形）；（三）想一想（典型例题分析）；（四）做一做（用学案练习题）。由于采用了学案的教学形式，并运用多媒体课件以及几何画板，课堂效率大为提高，并给学生的主体参与提供了可能。通过本节课的备课与教学，我受益匪浅，感受颇多：

一、课堂设计和选题突出“新”

课堂教学设计体现教师为主导、学生为主体的教学理念，采用学案的形式，“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，体现了课堂教学的新理念。教学中做到精选典例，选取有“问题串”的例题，打破单一题型对学生思维的阻碍，这更有利于培养学生的思维能力和创新精神。

二、练习题的安排突出“序”

前面的例题较为简单，后续练习则突出综合性。先易后难的习题训练满足了不同层次学生的学习需要，也符合学生知识学习的规律。本节课的两个例题思路和解法相同，既可以开拓学生的思维，又可以使学生掌握解决一类问题的方式方法。

三、解决问题的方法突出“巧”

建构主义学习理论认为，学生的学习不是被动地接受，而是一种主动探究与建构，表现在学生解决问题上，会根据自己对知识的理解，随个人经验、经历的不同而不同。本节课后一个大题的安排（有开放性）就是考虑到学生学习的差异。前面的填空题的条件和结论为后面大题的解决提供了方法上的引领，突出了教师对内容安排的巧妙设计。

四、视学习情况调整内容突出“活”

本节课是二次函数的复习课，既要给学生展示二次函数的完整知识复习，又要突出重点。为此，虚心倾听各位教师的建议，对教法和课件作了多次调整和修改。课堂上安排的10个练习题是从概念、图象、性质和综合应用等几个方面进行的。教学上真可谓“教学有法，教无定法”。学生的基础、学习习惯不尽相同，教师在不同情境中的发挥，才有了千姿百态的教学情境。本课最成功之处在于确定二次函数解析式的几个问题的分析。

总的来说，认真准备和不断完善，是本节复习示范课取得良好效果的主要原因。但教学也是一门令人遗憾的艺术，回想起来还有许多环节需要进一步改进和完善，比如教师和学生之间的配合不协调，怎样才能更好地兼顾师生双方的感受等。在实践中获得灵感，在交流中撞出智慧，在反思中调整思路，在坚持中取得进步。

二次函数教学反思 篇4

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教学反思:

今天，领着学生复习了二次函数的知识。本节知识是中考考点之一，往往与其他知识综合在一起作为中考压轴题，因此要求学生重点掌握的有以下几个内容：

1、二次函数图像的性质。

2、二次函数的实际应用。

在复习与练习的过程中，我发现学生存在着这样几个问题。

1、某些记忆性的知识没记住。

2、学生稍遇到点难题就失去做下去的信心。题目较长时就不愿意仔细读，从而失去读下去的勇气

3、学生的识图能力、读题能力与分析问题解决问题的能力较弱。

4、解题过程写得不全面，丢三落四的现象严重。

针对上述问题，需要采取的措施与方法是：

1、根据实际情况，对于中考升学有希望的学生利用课余时间做好他们的思

想工作。并对他们进行面对面的单独辅导，增强他们的自信心，以此来提高他们的数学成绩。

2、结合自己的学习经验对他们进行学法指导和解题技巧的指导。

3、根据不同的学生情况，搜集典型题让他们单独做，并给予及时的辅导与

矫正。

4、与其它任课教师联手一起想对策，指导学生读题的方法与分析问题，解

决问题的方法。

5、无论是做练习还是考试之前，都告诉学生要认真仔细的读题，从图形中

二次函数教学反思 篇5

真正的形成往往来源于真实的自主探究。只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

首先，要设计适合学生探究的素材。教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。追求自然，就要适当放开学生的手、口、脑，例如本文中的“走向”问题，“向上爬”、“向下走”等，如果是讲授注入式，我们就听不到学生真实的声音了。

《二次函数》教学反思 篇6

二次函数应用题型一般情况下，解题思路不外乎建立平面直角坐标系，标出图象上的点的坐标，求图象解析式，利用图象解析式及性质，来解决最优化等实际问题。一开始我引导学生回忆二次函数的三种不同形式的解析式，即一般式、顶点式、交点式，并说出它们各自的性质如抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，最大最小值，函数在对称轴两侧的增减性。结合教材教学内容，呈现习题27.2第5题，让学生分小组去试验探索解决问题。各小组很快就得出三个特殊点的坐标(0，0)(5，4)(10，0)，并求出了抛物线的解析式，当然速度有快有慢，第二问，就是求当x=6时y的值，不少学生纷纷举手示意完成，我很高兴，也没细究每个同学的情况。继续按照预定方案，组织学生活动，开始对一道试题进行探究。

如图，有一个横截面为抛物线的桥洞，桥洞地面宽为8米，桥洞最高处距地面6米。现有一辆卡车，装载集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，请您计算一下，车辆能否通过桥洞。

对于这个问题，不少学生表情凝重，目光迷惘，思路不畅，不知从何处下手。我反复引导，几次提醒按例题的方法，从函数的图象上进行考虑，但就是没有人响应，探究几乎陷于停顿，让我大感意外，超乎我的想象。好在我尚能应付，便提问素有“小诸葛”之称的张文贺，你是怎样思考的?张文贺说，他也知道首先建立平面直角坐标系，但问题是不知道把坐标系原点建在哪里，更不知道卡车是如何穿过桥洞，是靠中间走，还是靠边通过?我一听，才恍然大悟。原来学生的认知和老师想象的不一样，加上生活经验较少，难怪学生会沉默不语。对于坐标系的建立方法，学生面对多种可能的选择，往往束手无策，根本原因就是老师不重视对学生思考水平的研究，导致以老师思维代替学生思维，造成学生思考与实践脱节。这就要求老师要从学生的实际出发，了解学生的学习状况，善于启发和引导，才能较好的达到教学目标。

本节课的设计初衷，原是让学生从具体的生活实践中，感知数学模型，达到从实际问题中抽象出数学模型，并用数学知识解决问题，同时让学生感知和体会一题多变的变式训练，增加对数学解题思想的认识。但在教学时，学生对一些常规知识的缺失突出的暴露出来。如利用三点坐标求二次函数解析式，学生解三元一次方程组感到困难等。

“二次函数”测试卷 篇7

1. 抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是().

A. y轴B. 直线x=-1C. 直线x=1D. 直线x=-3

2. 把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是().

A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.y=(x+2)2+2 D.y=(x+2)2-2

3. 已知二次函数的图像过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是().

A.y=x2-3x+2 B.y=x2+3x+2 C.y=x2-2x+3 D.y=2x2+x+2

4. 已知抛物线y =x2-x -1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m +2014的值为().

A.2012 B.2013 C.2014 D.2015

5.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图像一定过点().

A.(-1,-1)B.(1,1)C.(1,-1)D.(-1,1)

6. 若函数y=mx2+(m+2)x+1/2m+1的图像与x轴只有一个交点,那么m的值为().

A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0,2或-2

7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图像如图,关于该二次函数,下列说法错误的是().

A. 函数有最小值

B.对称轴是直线x=1/2

C.当x<1/2时,y随x的增大而减小

D. 当-1<x<2时,y>0

8. 如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图像中能表示y与x之间的函数关系的是().

二、填空题

9. 若函数y=(m-3)xm2+2m-13是二次函数,则m=_______.

10.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是_______.

11. 二次函数y=(k+1)x2的图像如图所示,则k的取值范围为_______.

12. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=________.

13. 对称轴平行于y轴的抛物线经过(1,-5),(3,-5)两点,则它的对称轴为直线________.

14. 已知二次函数y=x2+2kx+k2+k-2的图像的顶点在x轴上,则该函数的顶点坐标是________.

15. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P (4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为________.

16. 已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:

则当y<5时,x的取值范围是________.

17. 如图,某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,则校门的高度为_______ m.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计)

18. 在平面直角坐标系中,函数y=x2-2x(x≥0)的图像为C1,C1关于原点对称的图像为C2,则直线y=a(a为常数)与C1、C2的交点共有_______________个.

三、解答题

19. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-2).求该抛物线的表达式,并写出其对称轴.

20. 如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).

(1)求m的值和抛物线的关系式;

(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案).

21.已知抛物线的解析式为y=x2-(2m-1)x+m2-m.

(1)求证:此抛物线与x轴必有两个不同的交点;

(2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上,求m的值.

22. 如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,31/2),以点C为顶点的抛物线y= ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点.

(1)求A,B,C三点的坐标;

(2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;

(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式, 并指出平移了多少个单位?

23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天可销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.设销售价为x(元/箱).

(1)平均每天销售量是多少箱?(用含x的代数式表示)

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

24. 杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一个点)的路线是抛物线y=-3/5x2+3x+1的一部分,如图所示.

(1)求演员弹跳离地面的最大高度;

(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?说明理由.

25. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数解析式;

(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP′C.是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

参考答案

1. C 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. D 8. A

9. -5 10.(1,2) 11. k>-112. a(1+x)213. x=214.(-2,0) 15. 0 16. 0<x<4 17. 9.1 18. 1个或2个或3个

19.抛物线的表达式为:y=x2-x-2,对称轴为直线x=1/2.

20.(1)m的值为-1,二次函数的关系式为y=x2-3x+2;(2)x<1或x>3.

21.(1)可证明:b2-4ac=1>0;(2)m2-m=-3m+4,解得m1=-1+51/2,m2=-1-51/2.

23. (1) -3x +240;(2) w =(x -40)(-3x +240)=-3x2+360x -9 600;(3) w =-3x2+360x-9 600,当x=-b/2a=60时,w有最大值,又∵当x<60时,w随x的增大而增大,∴当x=55元时,w的最大值为1 125元.

∴当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得1 125元的最大利润.

24.(1),故函数的最大值是19/4,跳离地面的最大高度是19/419/4米.

(2)当x=4时,y=3.4=BC,即点B在抛物线y=-3/5x2+3x+1上. ∴这次表演成功.

25.(1)解析式为y=x2-2x-3.

(2)如图1,假设抛物线上存在点P,连接PP′交CO于点E.∴PC=PO,且PE⊥CO.∴OE=EC=3/2,即P点的纵坐标为-3/2.

所以存在这样的点,此时P点的坐标为.

(3)如图2,连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.设P点坐标为(x,x2-2x-3),

“二次函数”测试卷 篇8

1. 抛物线y=（x-1）2-3的对称轴是（ ）.

A. y轴 B. 直线x=-1 C. 直线x=1 D. 直线x=-3

2. 把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）.

A. y=x2+2 B. y=x2-2 C. y=（x+2）2+2 D. y=（x+2）2-2

3. 已知二次函数的图像过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）.

A. y=x2-3x+2 B. y=x2+3x+2 C. y=x2-2x+3 D. y=2x2+x+2

4. 已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2014的值为（ ）.

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015

5. 二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图像一定过点（ ）.

A. （-1，-1） B. （1，1） C. （1，-1） D. （-1，1）

6. 若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图像与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）.

A. 0 B. 0或2 C. 2或-2 D. 0，2或-2

7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图像如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）.

A. 函数有最小值

B. 对称轴是直线x=

C. 当x< 时，y随x的增大而减小

D. 当-10

8. 如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图像中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）.

二、 填空题

9. 若函数y=（m-3）xm2+2m-13是二次函数，则m=_______.

10. 抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是_______.

11. 二次函数y=（k+1）x2的图像如图所示，则k的取值范围为_______.

12. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=________.

13. 对称轴平行于y轴的抛物线经过（1，-5），（3，-5）两点，则它的对称轴为直线________.

14. 已知二次函数y=x2+2kx+k2+k-2的图像的顶点在x轴上，则该函数的顶点坐标是________.

15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a-2b+c的值为________.

16. 已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

则当y<5时，x的取值范围是________.

17. 如图，某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高度为_______ m.（精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计）

18. 在平面直角坐标系中，函数y=x2-2x（x≥0）的图像为C1，C1关于原点对称的图像为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有_______________个.

三、 解答题

19. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）.求该抛物线的表达式，并写出其对称轴.

20. 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）.

（1） 求m的值和抛物线的关系式；

（2） 求不等式x2+bx+c>x+m的解集（直接写出答案）.

21. 已知抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m.

（1） 求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2） 若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值.

22. 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0， ），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点.

（1） 求A，B，C三点的坐标；

（2） 求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3） 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？

23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天可销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.设销售价为x（元/箱）.

（1） 平均每天销售量是多少箱？（用含x的代数式表示）

（2） 求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式.

（3） 当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

24. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线y=- x2+3x+1的一部分，如图所示.

（1） 求演员弹跳离地面的最大高度；

（2） 已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由.

25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.

（1） 求二次函数解析式；

（2） 连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C.是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

二次函数复习教学反思 篇9

本节课重点是，结合图象分析二次函数的有关性质，查缺补漏，进一步理解掌握二次函数的基础知识。要想灵活应用基础知识解答二次函数问题   ，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，与生活实际密切联系，学生对生活中的“二次函数”感知颇浅，针对学生的认知特点，设计时做了如下思考：一、按知识发展与学生认知顺序，设计教学流程：首先通过复习本章的知识结构让学生从整体上掌握本章所学习的内容，从而才能在此基础上运用自如，如鱼得水；二、教学过程中注重引导学生对数学思想应用基础知识解答，然后小组进行交流讨论， 老师点评，起到很好的效果。这堂课老师教得轻松，学生学得愉快，每个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和于探究，形成良好的学习品质。

数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，促使学生主动地学习，不断提高发现提出问题、分析问题和解决问题的能力；设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：（1）如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？（2）如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？ （3）如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？ （4） 培养学生合作学习的互助精神和独立解决问题的能力。

 

《26.1二次函数》教学反思 篇10

龙潭镇第一初级中学 黄海东

这节课是安排在学了一次函数、反比例、一元二次方程之后的二次函数的第一节课，学习目标是要学生懂得二次函数概念，能分辨二次函数与其他函数的不同，能理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对自变量的取值范围的限制。依我看，这节课的重点该放在“经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义”上。一上完这节课后就有所感触：

1、二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究。

2、教学要重视概念的形成和建构，在概念的学习过程中，从丰富的现实背景和学生感兴趣的问题出发，通过学生之间的合作与交流的探究性活动，引导分析实际问题，如探究面积问题，利息问题、观察表格找规律及用关系式表示这些关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系。

3、课堂教学要求老师除了深入备好课外，还要懂得根据学生反馈来适时变通，组织学生讨论时该放则放，该收则收，合理使用好课堂45分钟，尽可能把课堂还给学生。

二次函数的求解秘方 篇11

重点：二次函数解析式（一般式、顶点式、两根式）的灵活运用；二次函数的图象及性质，特别是单调性与最值；二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．

难点：二次函数在闭区间上的最值问题；二次函数在区间上的根的分布；三个“二次”的综合问题．

1． 二次函数解题的基本思路

（3）二次函数在闭区间的最值问题常考三种类型：轴定区间定、轴变区间定、轴定区间变． 对于后两种类型，解题时设顶点式，写出对称轴，再利用分类讨论与数形结合的思想求解，最值只可能在区间的端点或顶点取得．

（4）二次方程区间根的问题要考虑四个要素：开口方向、判别式、对称轴的位置以及端点函数值的符号，解题时要注意等价转化．

（5）三个“二次”问题以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把一元二次方程、一元二次不等式联系起来，要重视代数推理；三个“二次”问题也是研究包含二次曲线等内容的基础工具．

思索 由题目条件无法求得解析式，应该尽量用已知条件来表示参数a，b，c，可以考虑特殊函数值f（1），f（－1），f（0），而求f（x）在区间［－7，7］上的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑f（x）在区间端点和顶点处的函数值．

1． 研究真题，把握复习方向

高考对二次函数的考查可谓“考你千遍也不厌倦”，复习时可针对近几年的高考真题进行研究，明确命题的方向与意图，做到有的放矢．

2． 纵横联系，把握知识交汇

高考对二次函数的考查渗透到了各个模块知识的衔接处，出现在各部分的“把关题”处，命题的主要亮点是三个“二次”的等价运用、导数以及解析几何等高中主体知识的有机结合．

3． 数形结合，加强通法训练

二次函数反思 篇12

二次函数是刻画现实世界变量关系的一种有效模型, 它的内容、思想、方法具有丰富的文化价值和广泛的应用价值。“课程标准”对学生的数学学习提出明确培养目标:为学生今后更好地工作、生活而学有用数学, 学必需数学, 一切为了学生今后的发展。二次函数有用且必需学, 是个很好的教学素材。因此, 不仅要让学生学知, 而且要让学生感知、用知。

二、二次函数教学, 引领学生品味二次函数的美

1. 抽象美。

引领学生将实际问题抽象出数学模型, 建立二次函数数学关系式y=ax2+bx+c (a≠0) , 教育学生数学的美都是隐藏在现实生活中, 需要他们鼓足勇气去追求、去发现, 而这种追求应该是理性的、现实的而不是盲目的, 比如, 学生在列课本室内装修所需总费用y (元) 与正方形房间边长x (米) 的关系式时忽略门宽而列错。

2. 对称美。

引领学生通过列表、描点、连线画出形如y=ax2 (a≠0) 的图像, 感受抛物线, 体会抛物线的对称美, 教学时引领学生对称取点做出蝴蝶、飞机等优美轴对称图形, 营造趣味活泼的课堂气氛。

3. 结构美。

引领学生欣赏二次函数第二个关系式y=a (x+b2a) 2+c-4ab2, 并能说出开口方向、顶点坐标、对称轴, 体会式子的结构美, 知道它是通过配方得来的, 注意一般式与顶点式转化关系。

4. 思想美。

引领学生感受怎样将抛物线y=ax2 (a≠0) 通过平移得到二次函数y=ax2+bx+c的图像, 体会平移、数学结合、配方的思想, 体会对称取点的好处。

5. 内在美。

引领学生结合图像认识二次函数性质, 体会函数值的变化既与a有关, 又与自变量的取值范围有关。引领学生感受两种函数关系式 (一般式、顶点式) 相互转化、相互依存、既对立又统一的内在美。

三、二次函数教学, 引领学生品味二次函数的思想方法

1. 数形结合思想。

(1) 引领学生认识二次函数关系式与抛物线是数与形的完美结合, 二次项系数a对应着开口方向、c对应着抛物线与y轴交点、坐标 (-b2a, c-4ab2) 对应着抛物线的顶点、x=-b±姨2ab2-4ac对应着抛物线与x轴交点。

(2) 引领学生经历探索抛物线与x轴位置关系 (交、切、离) 与一元二次方程的根情况的对应关系, 体会以形显数、以数现形的思想。

2. 数学逼近思想。

在求一元二次方程的近似根时, 引领学生利用函数图像采用取平均值方法不断使自变量的取值范围收缩直至使函数值趋近于0, 从而找到方程的近似根, 体会数学逼近思想。

四、二次函数教学, 引领学生品味二次函数应用价值

1. 二次函数的图像在现实世界有着广泛的应用价值。

(1) 军事学。科学家发明的各式枪炮在演习中发射的飞弹在空中运动的轨迹都是抛物线, 据说法兰西皇帝拿破仑指挥作战时就曾经利用抛物线的知识准确计算出炮弹的最大射程和最大高度而传为佳话。

(2) 体育学。田径运动员掷铅球、足球运动员点射足球都与二次函数有关, 有时我们要计算落点问题。教学时引领学生结合中考体育达标测试提出问题。

(3) 物理学。汽车启动或刹车所对应的匀变速运动, 以及自由落体运动等都涉及二次函数知识。

(4) 心理学。心理学家研究发现, 某年龄段的学生, 30分钟内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数关系:y=0.1x2+2.6x+43 (0≤x≤30) 。

(5) 建筑学。我国台湾省南投县附近的高速公路上, 有一座结构柔和典雅的

味函数思想价值

江苏省邳州市第四中学宋克杰

钢拱桥, 索塔为抛物线形, 塔高60米, 塔底宽85米。教学时结合我国古代赵州桥对学生进行爱国主义教育。

2. 引领学生用心感知, 培养学生函数思想。

(1) 引领学生写出函数关系式, 培养学生建模思想。

在教学时发现学生受现实条件限制不知如何设自变量。比如, 在给定一定材料长和一面墙 (墙长一定) 的条件下如何围使所成的矩形面积最大?引领学生必须表述清晰所设自变量代表的意义, 且注意怎样使所列关系式简化以便能为下一步计算最大值带来方便。通过列函数关系式, 很好地培养了学生的建模思想。

(2) 引领学生感受坐标的现实意义, 培养学生数形结合思想。

现实生活中有关喷泉、体育运动项目都涉及抛物线, 学生在解这类问题时往往不知如何建立直角坐标系, 也不知将实际量用点的坐标表示, 不能理解抛物线上的点的坐标代表的实际意义, 比如球抛出去所在位置点的横坐标代表着球行进的水平距离, 纵坐标代表着球行进的竖直高度, 不知球落地时函数值为0。

(3) 引领学生学会配方, 培养学生逆向思维和转化思想。

配方法是中学阶段最重要数学方法, 是二次函数教学的一大难点, 特别是当二次项系数为负或是不等于1的非零数时学生往往容易配错。教学时为了与一元二次方程的配方不发生冲突可采用相同的办法, 这一点与众不同, 既突破了教学难点, 又收到了良好的教学效果, 同时还增强了学生逆向思维能力并且渗透了转化思想。

九年级数学《二次函数》教学反思 篇13

知识目标：

1、了解二次函数解析式的三种表示方法,抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;

2、一元二次方程与抛物线的关系.

3、利用二次函数解决实际问题。

技能目标：

培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。

情感目标：

1、通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣；

2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣。

复习重、难点：函数综合题型

复习方法：合作交流

复习过程：

一、知识梳理

1、二次函数解析式的三种表示方法：

（1）顶点式：（2）交点式：（3）一般式：

2、填表：

抛物线对称轴顶点坐标开口方向

y=ax2

当a＞0时，

开口

当a＜0时,

开口

Y=ax2+k

Y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

Y=ax2+bx+c

3、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而,在对称轴左侧，y随x的增大而

4、抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值

自评分（每空4分，共100分）

二、探究、讨论、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）(屏幕显示)

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：

(1)abc(2)b2-4ac(3)2a+b(4)a+b+c

（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b2-4ac的符号看抛物线与x轴的交点情况；2a+b看对称轴的位置；而a+b+c的符号要看x=1时y的值）

2、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k

(1)求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足x12+x22=-2k2+2k+1，①求抛物线的解析式

②此抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（此题主要考查抛物线与一元方程的根的判别式、根与系数的关系的联系，以及函数与几何知识的综合）

三、归纳小结：

提问：通过本节课的练习，你得到了什么?

四、用数学（利用二次函数解决实际问题）

一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，

（1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。

（2）该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

（此题把学生熟悉的运动员投篮问题与二次函数结合在一起，溶入了一定的生活背景，使学生产生数学学习兴趣；同时培养了学生把实际问题抽象成数学模型的能力。）

五、拓展提升（供学有余力的学生做）:(屏幕显示)

已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)与x轴交于两点A（x1,0），B(x2,0)，(x1≠x2)

（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点的左侧；

（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值。

二次函数反思 篇14

《二次函数的图像与性质》教学反思

本节课的学习内容是在前面学过一次函数、反比例函数的图像和性质的基础上运用已有的学习经验探索新知识。《二次函数的图像与性质

（一）》是二次函数性质研究的第一步，为后面研究较为复杂的函数类型作了必要的铺垫，具有承上启下的作用。

讲课中首先一起回顾一次函数与反比例函数的图像与性质，然后让学生动手在坐标系中作二次函数y=x2和y=-x2的图象，从感性上结识抛物线.再后又对两个特殊的二次函数的图象和性质进行了归纳和总结，从理性上再次结识抛物线.利用几何画板揭示了两个抛物线之间的联系，使本节课的知识得到了升华。

成功之处：

1.课前的引课很精彩，几句简短的语言使学生感受数学就在我们的身边，并激起学生学习数学的兴趣.2.对二次函数图象的作图，通过学生作品的展示、思考、讨论、讲评起到指导全体学生的作用.作图后让学生反思自己的作图过程，加深学生对作图的理解，规范作图，同时培养学生严谨治学的精神.3.二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度，因此我设计一系列问题串，让学生观察图象回答，以突出重点分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质，也为今后探讨其他类函数的性质提供思路.4.在教学中注重多种学习信息的捕捉，引导学生从图与形，表达式、表格、图像等多角度地去分析理解数学知识，使学生对抛物线有一个丰满的认识。

5.几何画板很好的展示了两个函数之间的关系，动态的演示有助于理解难点，是这节课的亮点。

不足之处：

二次函数的解题感悟 篇15

对于典型例题的解析分析, 分析解题过程不仅能“改正”解答, 而且能提高“解答”水平.我结合“二次函数”知识点, 尝试解题四步骤基本程式“题目模仿、变形练习、自我感悟、自我分析”进行解题指导.

1.题目模仿

首先, 由同学们概括出二次函数的解析式的三种表达形式:

(1) 一般式:y=ax2+bx+c (a, b, c为常数, 且a≠0) ;

(2) 顶点式:y=a (x-h) 2+k (a, h, k为常数, 且a≠0) , 顶点为 (h, k) ;

(3) 交点式:y=a (x-x1) (x-x2) (a≠0, x1, x2是抛物线与x轴焦点的横坐标) .

其次, 给出基本题, 让学生题目模仿.

例1 已知二次函数的图像经过点A (-1, 0) , B (0, -3) , C (4, 5) , 求此抛物线的解析式.

例2 已知二次函数的图像的对称轴为直线x=-2, 其函数最大值为3, 与x轴的一个交点是 (-5, 0) , 求此抛物线的解析式.

例3 已知抛物线与x轴相交于点A (-1, 0) , B (1, 0) , 并经过点M (0, 1) , 求此抛物线的解析式.

2.变形练习

例4 已知二次函数的图像与x轴两交点间的距离是4个单位, 且顶点为M (1, 6) , 求此抛物线的解析式.

再次, 通过引导学生分析题中已知条件, 借助数学解题的信息过程包括的“三位一体”的方法“有用捕捉、有关提取、有效组合”, 得出如下信息:

信息1 由“顶点为M (1, 6) ”, 可得抛物线的对称轴为x=1, 函数的最大值是6.

信息2 由“二次函数的图像与x轴两交点间的距离是4个单位”, 可得二次函数的图像与x轴两交点分别在对称轴x=1两侧各2个单位长度处, 即二次函数图像与x轴两交点坐标分别为 (-1, 0) , (3, 0) , 这就转化为基本题.

信息3 提取基本题中二次函数的解析式的三种表达形式.

最后, 把“有用捕捉”“有关提取”的信息“有效组合”起来, 学生可以得到如下三种解法.

解法1 设二次函数的解析式为:

y=ax2+bx+c (a, b, c为常数, 且a≠0) .

∵二次函数的图像过 (-1, 0) , (3, 0) , (1, 6) 三点, 可得方程组:解得$a=-\frac{3}{2},b=3,c=\frac{9}{2}.$

因此, 抛物线的解析式为:$y=-\frac{3}{2}x{}^2+3x+\frac{9}{2}.$

解法2 ∵抛物线的顶点为M (1, 6) , ∴可设抛物线的解析式为:y=a (x-1) 2+6 (a≠0) .

∵抛物线经过点 (3, 0) , ∴4a+6=0, ∴解得$a=-\frac{3}{2}.$

因此, 抛物线的解析式为:

$y=-\frac{3}{2}(x-1){}^2+6$或$y=-\frac{3}{2}x{}^2+3x+\frac{9}{2}.$

解法3 ∵二次函数的图像与x轴两交点坐标分别为 (-1, 0) , (3, 0) ,

∴可设抛物线的解析式为:y=a (x+1) (x-3) (a≠0) .

∵抛物线过顶点M (1, 6) ,

∴a (1+1) (1-3) =6, 即$-4a=6,\therefore a=-\frac{3}{2}.$

因此, 抛物线的解析式为:

$y=-\frac{3}{2}(x-1)(x-3)$或$y=-\frac{3}{2}x{}^2+3x+\frac{9}{2}.$

评析 上述三种解法是对三种表达式的变式训练, 通过由“三位一体”得出的相关信息, 学生易掌握并求出解.

3.自我感悟

在平时的教学活动中, 我们会到此为止, 认为思路已经打通, 解法初步得出, 解题过程就完成了.是呀, 学生都想出三种方法了, 而且将二次函数解析式的三种表达形式都用上了, 还有什么不满足的呢?我知道如果此时此刻, 忽视解题后的再思考, 便是错过了提高的最好机会, 无异于“入宝山而空返”.我试着对学生加以引导, 是否可以从上面的几种解法中, 将某些信息进行交合, 得出新的解法呢?

通过我这样的提问与引导, 学生会发现, 不同的解析式中, a值是相同的, 学生便想到同时用两种表达式表示, 可以求出a值, 从而学生便得到下面的解法.

解法4 ∵抛物线顶点为M (1, 6) ,

∴可设抛物线的解析式为:y=a (x-1) 2+6 (a≠0) .①

∵二次函数的图像与x轴两交点坐标分别为 (-1, 0) , (3, 0) ,

∴可设抛物线的解析式为:

由①②组成方程组有:

两式相减, 可得$a=-\frac{3}{2}$.因此, 抛物线的解析式为:

$y=-\frac{3}{2}(x-1){}^2+6$或$y=-\frac{3}{2}(x-1)(x-3)$或$y=-\frac{3}{2}x{}^2+3x+\frac{9}{2}.$

由于这一程式的成功运用, 没有想到此种解法的学生也有了感悟, 学生尝到反思中的成功喜悦, 已经感悟到学习解题需要“理解”, 不仅要掌握解题的操作, 而且要领悟解题思想、领悟解题方法、领悟问题的深层结构.

4.自我分析

我继续加以引导, 解答此题能否再与我们所学的二次函数相关知识加以结合, 给一周时间让同学们课后分析, 看看哪名同学有新的发现.同学们一个个摩拳擦掌, 跃跃欲试, 通过同学们近一周的反思, 又得出了如下的解法.

(1) 通过交点式与顶点纵坐标公式的合用, 得出下面的解法.

解法5 ∵二次函数的图像与x轴两交点坐标分别为 (-1, 0) , (3, 0) ,

∴可设抛物线的解析式为:

y=a (x+1) (x-3) (a≠0) , 即y=ax2-2ax-3a.

∴y的最值为6, 由题意可得:$\frac{4a(-3a)-(-2a){}^2}{4a}=6$,

∴解得

因此, 抛物线的解析式为:

或

(2) 通过一般式与顶点坐标的合用, 得到下面的两种解法.

解法6设二次函数的解析式为:

y=ax2+bx+c (a, b, c为常数, 且a≠0) .

∵二次函数的图像过点 (3, 0) 和顶点M (1, 6) ,

∴可得方程组:

∴解得

因此, 抛物线的解析式为:

解法7设抛物线的解析式为:

y=ax2+bx+c (a, b, c为常数, 且a≠0) .

∵二次函数的图像过点 (-1, 0) 和顶点M (1, 6) ,

∴可得方程组:, ∴解得

因此, 抛物线的解析式为:

至此, 通过比较上述几种解法, 同学们发现:

(1) 本题都是使用待定系数法解题, 而设待定系数的途径是多样的;

(2) 求解待定系数的过程是方程思想的应用, 而函数的待定表达式则提供了列方程统一的等量关系;

(3) 不同的函数待定表达式导致不同的方程 (组) , 关系到计算量和准确度, 选用一般式计算量较大, 而顶点式、交点式比较简便, 在实际问题中应根据具体情况灵活选用.

综合起来, 通过对上述典型例题的分析, 学生感觉收获颇多, 解题思路一下子被打开了.虽然本文对四步骤程式还只是生搬硬套, 但已经初见成效.我将在今后的教学中不断引导学生对典型例题作解体后反思, 让他们通过已知学未知, 通过分析已经解过的题去领悟解题思想, 通过解题思想去驾驭并活化知识与方法, 增强分析能力, 提高领悟水平, 优化思想品质, 学会解题.