离散数学一（共9篇）
离散数学一 篇1
一单元测试题
1.将下列命题翻译成符号逻辑形式
（1）银行利率一降低，股价随之上扬。
（2）尽管银行利率降低，股价却没有上升。
（3）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质
（4）如果一个整数能背6整出，那么它就能被2或3整除。如果一个整数能被3整
除，那么它的各位数字之和也能被3整除。
2.判断下面各语句是否是命题，如果是命题，说出它的真值。
（1）可导的实函数都是连续函数。
（2）凡是都有例外。
（3）白天比夜晚时间长
（4）两个三角形全等当且仅当它们的对应角相等。
3.简述命题的定义。
4.简述原子命题的定义。
5.下列公式中，（）不是永真式。（单选，写清楚每个属于什么公式）
A.(P∧Q)→QB.P→(P∨Q)
C．（P→Q）↔（~Q→~P）D.(~P∨Q)∧(~(~P∨~Q))
5.下列语句，是命题的有（）（多选）
1）美国的首都是纽约。2）你喜欢日本吗？3）我们一定要解放台湾！
4）所有实数都是整数。3）如果3>2，那么有人不死。
6.构造公式的真值表，判断哪些是永真式，矛盾式，和可满足式
（1）(P→(Q→R))↔((P∧Q)→R)
（2）(P∧(P∧Q))↔~P
（3）~（P∨Q）→R
7.如果P∨QQ∨R，能否判断PR？如果P∧QR∧Q,能否判断PR？如果~P~R能否判断PR。
8．判断下面等式是否是等价式：P→（Q∨R）（P→Q）∨（P→R）
9．求下列两式的对偶式
（1）（P∧~Q）∨（R∧T）∨F
（2）~（P∨~（Q∨R））∧（R∧~Q）
10．分别利用真值表法和等价变换法求下列公式的主合取范式及主析取范式。
（1）P→（R∧（Q→P））
（2）（P→（Q∧R））∧（~P→（~Q∧~R））
11．证明（P→Q）∧（Q→R）P→R
12．证明R→S是{P→（Q→S），~R∨P，Q}的逻辑结果（使用直接法，CP规则法，和反证法）
13．求公式（P→（R∨P））∧（Q ↔P）的主合取范式和主析取范式。
离散数学一 篇2
1 离散数学简介
离散数学正式形成于20世纪70年代初期,主要包含五部分的内容:数理逻辑、集合论、代数系统、图论、形式语言和自动机。组成离散数学的五部分内容都有一定的发展历史。随着计算机学科不断的发展,离散数学也在不断的改革和变化。离散数学当前发展主要是沿着两个发展方向:一个是演算、另一个是算法。这两个方向平行发展。这几年由于人工智能的快速发展,促进了形式推理和代数结构的演算研究,同时在演算过程中强调算法的技巧。算法是计算机解决实际问题的主要手段。在计算机学科中占有非常重要的地位。所以在以后的离散数学中将加强自动机理论体系,并独立对算法进行研究。由于算法的发展,随之和算法相关的可计算性理论、不可计算性问题、算法分析与复杂性等理论也会迅速发展。因此离散数学进一步发展的内容,应该成为“理论计算机科学”的基础。
2 学习离散数学的重要性
2.1 离散数学在计算机学科中的地位
计算机学科中普遍采用了离散数学的基本概念、基本思想和基本方法,并把离散数学作为自己的理论基础和重要的数学工具。离散数学能够培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、归纳构造能力、创新能力、分析问题和解决问题能力。离散数学与计算机学科中的后续课程数据结构、操作系统、编译原理、算法分析、逻辑设计、机器定理证明等联系紧密,为它们提供了必要的数学基础,所以离散数学在计算机学科中占有非常重要的地位。
2.2 离散数学与编程的关系
计算理论与算法是计算机程序设计的灵魂。程序设计者都需要一定的数学修养。严格的说,一个离散数学基础不扎实的程序员不能算一个合格的程序员。如果离散数学和算法设计技术没有学好的话,这样的程序员基本上只能算是背程序的机器,只能停留在写写简单的classes或用SQL语句实现查询等基础的编程工作,对于一些需要用到离散数学知识的编程的工作就无能为力。为什么这样说呢,大家可以了解一下计算机解决实际问题的一个过程:“分析问题→建立数学模型→选择数据结构→设计算法→翻译成计算机语言”的过程。从在这个过程中,大家可以看出来最后一步才是通常所说的编程序。所以,学会C编程语言或者会用一两种开发工具只不过学会了最后一步,而前面的四步不学会的话,想用计算机解决实际问题的能力是非常有限的,除非是特别简单的问题。但是前面四步的掌握都与离散数学学习有关。所以要想成为一名合格的程序员,必须提高离散数学修养。
2.3 离散数学应用举例
数学的源泉在于应用。离散数学的应用主要是通过一些数学模型与学科的联系来实现的。这里以表格形式列出离散数学与计算机科学实际应用的一些结合点[4],如表1所示:
这样的“结合点”还很多很多,由上表同学们就可以看出离散数学在计算机科学中是最基础的学科了。学好离散数学是学好计算机的基础,这就是为什么计算机专业的研究生考试,离散数学都采用最难试题的缘由。
3 离散数学学习方法
3.1 了解离散数学与一般数学的区别
离散数学是计算机科学的数学,和一般的工程数学,计算数学都有一定的区别。传统的数学系一般开的主干课程有数学分析、微分方程、复变函数、泛函分析等。讨论的对象基本是连续的变量,关心的比较多的是解的存在性,唯一性,稳定性和收敛性等等。而离散数学作为计算机学科的基础数学,主要研究的对象是离散的量,比如说自然数、整数、有限个结点,{真,假},等等。离散数学涉及的结构类似于图、树、排列和组合这样的结构。并不热心于解的存在性等的讨论。比较注意的是概念的描述和能行性问题。离散数学的论证方法也和传统数学所采用的分析方法不一样.离散数学除了采用一般分析课程的分析方法外,最主要的论证方法是数学归纳法,构造法,反证法等。尤其是构造性证明方法体现了计算机科学的特性。程序员采用编程语言写代码解决实际问题的过程,其实就是程序员构造代码的过程。集合论中康托尔的对角线论证是构造性论证的范例,在图论当中好多定理的证明都采用的构造性证明的方法,所以学习离散数学可以很好的培养学生的构造性思想。同学们要充分了解离散数学与一般数学的区别,掌握离散数学的学习方法。
2.3 充分了解离散数学的特点、难点有针对性的学习
离散数学的特点是:内容散,概念多和好理解;难点是:离散数学概念多易忘。头几次离散数学上课一般都没有问题,容易给同学造成错觉,认为该课程简单,听不听都能学好,正如学习语言,一天记20个单词没有问题,天天记20个单词且保证以前记的不忘就太难了。当学生一旦忘记前面的概念,就会影响相关知识的学习,如果不及时补救就会形成连锁反应,所以并不是聪明的人才能学好离散数学,而是能够坚持的人才能学好。所以建议同学:除了认真听课,认真做作业,有问题及时解决外,能和同学做到每天讨论几分钟离散数学,加强概念的记忆。
2.4 学习离散数学的本质
在知识大爆炸的今天,学会知识的意义是有限的,学会学习的技能才是最重要的,学数学就是要做数学,学习离散数学也不例外,学习数学不仅限于学习数学知识,更重要的是学习数学思维。在平时学习中要善于总结和归纳。计算机系的学生对数学的要求跟数学系是不同的,跟物理的差别就更大。所以计算机系学生学习离散数学一定要先了解学习离散数学的主要目的是什么,学习这门课的主要目的是将理论再应用于实践,培养和训练自己的推理能力,这也是学习离散数学的本质。所以在做离散习题的时候不仅要掌握题目的解题方法,更要掌握解题的思路。对于定理的学习不能像学高等数学一样只记住结论,强调套用公式计算而不去深究它的由来。定理证明的过程恰巧是训练思维能力的过程。所以对定理证明过程的学习对于计算机系学生来说是非常重要的。
4 结论
总之,绪论课教学作为教师与学生的第一次接触,在整个学科教学中具有特殊的教学地位和重要意义,搞好离散数学绪论课的教学可以起到”抛砖引玉”的作用。此绪论课使学生充分认识到学习《离散数学》的重要性和必要性。并了解离散数学的学习方法,从而对本门课程的学习产生浓厚的学习兴趣,为学习好这门课奠定了基础。
摘要：离散数学是计算机专业的核心基础课,在教学中具有特殊的地位和作用。第一堂课是学好离散数学的关键。该文通过三个方面就如何上好离散数学绪论课做了探讨。
关键词：离散数学,绪论课,教学
参考文献
[1]Kenneth H.Rosen.离散数学及其应用[M].袁崇义,等译.北京:机械工业出版社,2006.
[2]杨卓娟,杨晓东.关于高校课程绪论教学的思考[J].中国大学教学,2011(12):39-41.
[3]黄震.《离散数学》课程在计算机科学中的作用及其应用[J].赤峰学院学报:自然科学版,2011.
浅谈《离散数学》的教学 篇3
摘要：为了激发学生的学习热情，培养其思维能力和应用能力，根据离散数学课程教学的特点，笔者结合课程教学经验，对离散数学教学进行了研究.文章提出一些教学方法和手段的改革，在实际教学中起到了一定的作用，提高了教学质量.
关键词： 离散数学，教学方法，教学手段
【中图分类号】O158-4
On the Teaching "Discrete Mathematics" in
Chenxue Gang Zhou Jiquan
（North China Electric Power University Mathematics， Beijing， 102206， China）
Abstract： In order to stimulate students' enthusiasm for learning， develop their thinking skills and ability， according to the characteristics of Discrete Mathematics Instruction， author of Teaching experience， discrete mathematics teaching were studied. This paper presents some of the reform of teaching methods and means， in the actual teaching has played a certain role in enhancing the quality of teaching.
Keywords： discrete mathematics， teaching methods， teaching means
《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.然而采用以往的教学方法，教学效果往往不够理想.一方面，离散数学知识的分散性令许多学生感到无从下手.另一方面，在传统的离散数学教学中，往往采用“纯数学”教学方法，学生不能很好地体会离散数学对计算机科学的重要意义，所以学习积极性不高.因此，通过教学方法和手段的改革来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养学生的创新思维和综合能力，是离散数学教学中非常迫切的需求.本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的经验，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨.
1精选教学内容
《离散数学》教学内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构及图论等几大分支.各分支均有悠久历史.如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及，所以在在教学过程中对讲授内容的选择应当有所侧重.比如简单介绍集合论的理论基础，重点是如何利用集台论的方法解决实际应用问题.在二元关系这部分，重点是二元关系的几个与性质相关问题的论证方法的训练.在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力.图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法.代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫.
2 教学方法探讨
2.1 增加讨论课
老师首先选定讨论的课题，学生分组准备查询相关的文献，并形成自己观点.在讨论课上大家共同交流探讨，从而加深对这门课程的认识.最后各小组完成论文的书写.该方法不仅可以提高学生对离散数学重要性的认识，还可以提高学生互相协作的能力以及书写论文的能力.
2.2 增加趣味性，激发学生的学习兴趣.
“兴趣是 最好的老师”，只有激发起学生的学习兴趣，他们才有真正自主学习的欲望.在教学过程中，根据具体的知识点，介绍它的发展史或者引入趣味问题，增加了学生学习离散数学的兴趣，拓宽了学生们的知识面，提高了学生对离散数学课程学习的积极性与主动性.
2.3 注重归纳与小结
离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳和小结，可以用一条主线贯穿始终.离散数学讨论的内容主要包含系统中涉及到的静态（基本概念）与动态（运算、操作、推理）.如集合论中是元素（静态）及其上的运算（动态）；代数系统中是集合（静态）及运算（动态）；数理逻辑中是公式（静态）和推理（动态）.通过归纳与小结，学生能够理清头绪，提高学习效率.
3 教学手段改革
3.1 教学网站建设
信息技术对提高教学质量具有重要的影响，必须予以高度重视.为了提高教学质量，我们建设了一个教学支撑网站，一方面大力推进信息技术在教学中的实际运用，促进教学手段和教学方法现代化；另一方面以此提高教与学的效率.
3.2 重视学生作业，定时测验
离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题.但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅.这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题.对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评.通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识.
3.3 新的考核方式
传统的考核方法就是试卷考试，考察学生的基本知识和基本技能，以及解难题的能力.我们尝试做了一些考核方法的改革，把原来的试卷考试和平时的考核两部分，改成了三部分成绩的统一， 即添加了一个新的内容：写离散数学的论文.把它的评定结果作为成绩的一个重要部分.所写论文必须要求观点明确、主题鲜明和论述严谨，并且具有一定的创新.
4 结束语
总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法和手段，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，提倡“启发”式教学.教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够达到良好的教学效果.
参考文献：
[1]赵青杉，孟国艳.关于离散数学教学改革的思考[J].忻州師范学院学报，2005，21（5）：6 .
[2]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2001.
[3]翁梅，刘倩，冯志慧等.“离散数学”课程教学实践与探索[J].计算机教育，2004（12）：62—63.
[4]钟敏，时念云.改革课程实验提高离散数学教学质量 [J].计算机教育，2008，18.
[5] 张艳华，周雪琴，马新娟，王举辉，张立红. 基于卓越工程师的“离散数学”教学改革探索[J]. 当代教育理论与实践. 2013（12）
离散数学试题 篇4
月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是()．
A．2AB．{1}A
C．1AD．2 A
2．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为
()．
A．6B．4C．3D．
53．设无向图G的邻接矩阵为
0111110011100001100111010
则G的边数为()．
A．1B．7C．6D．14 4．设集合A={a}，则A的幂集为()．
A．{{a}}B．{a，{a}}
C．{，{a}}D．{，a}
5．下列公式中()为永真式．
A．AB ABB．AB (AB)
C．AB ABD．AB (AB)
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．命题公式PP的真值是
7．若无向树T有5个结点，则T的边数为．
8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则(m-1)i
9．设集合A={1，2}上的关系R＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R中仅需加一个元素，就可使新得到的关系为对称的．
10．(x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由变元有．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．
12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1, 3>}，则f是A到B的函数．
14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．
16．设A={{1}, 1, 2}，B={ 1, {2}}，试计算
（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A （A∩B）．
17．图G=
（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
六、证明题（本题共8分）
18．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．
中央电大2010年7月离散数学
试题解答
(供参考)
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．B2．D3．B4．C5．B
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．假（或F，或0）
7．48．t-
19． <2, 1>
10．z，y
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．设P：今天上课，（2分）则命题公式为：P．（6分）
12．设 P：他去操场锻炼，Q：他有时间，（2分）则命题公式为：P Q．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
13．错误．（3分）因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）
14．错误．（3分）不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．（P∨Q）→（R∨Q） ┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分）
(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分）
(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分）
16．（1）（A∩B）={1}（4分）
（2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}（8分）
（3）A（A∩B）={{1}, 1, 2}（12分）
17．（1）G的图形表示如图一所示：ad1
5b c（3分）图一
（2）邻接矩阵：
01101111（6分）1101
1110
（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：
a 3d5
b图二1c
权为：1+1+3=5
六、证明题（本题共8分）
18．证明：设xA，因为R自反，所以x R x，即< x, x>R；
又因为S自反，所以x R x，即< x, x >S．即< x, x>R∩S故R∩S自反．
离散数学 篇5
第一部分 集合论
第一章集合的基本概念和运算
1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]
A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]
A．C；B．A；C．B；D．Ø。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立 ？
（1）N Q，Q ∈S，则 N S［不成立］
（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］
1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示 ？
答：A = E；B = C；D = F
1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且 x2 ≤ 9 }
（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }
答：（1）A = { 0，1，2，3 }；
（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；
第二章二元关系
2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：
R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x≤ y }
求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。
答：R = {<2，3>，<1,2>，<1,3>}；
DomR={R中所有有序对的x}={2,1,1}={2,1};
RanR={R中所有有序对的y}={3,2,3}={3,2}；
R 的性质:反自反,反对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即
R = {〈x，y〉│x，y∈Z+ 且 x + 3y= 12}，试求：
（1）R 的列元表达式；（2）给出 dom（R。R）。
答：根据方程式有：y=4-x/3，x 只能取 3，6,9。
（1）R = {〈3，3〉,〈6，2〉,〈9，1〉}；
至于(2),望大家认真完成合成运算 R。R={<3,3>}.然后,给出 R。R 的定义域,即
（2）dom（R。R）= {3}。
2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；并对其中的 f：A→B 指出他的性质，即
是否单射、满射和双射，并说明为什么。
（1）A = {1，2，3}，B = {4，5}，f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。
（2）A = {1，2，3} = B，f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。
（3）A = B = R，f=x。
（4）A = B = N，f=x2。
（5）A = B = N，f = x + 1。
答：（1）是 A 到 B 的函数，是满射而不是单射；
（2）是双射；
（3）是双射；
（4）是单射，而不是满射；
（5）是单射而不是满射。
2-4 设 A ={1，2，3，4}，A 上的二元关系
R ={〈x，y〉︱（x-y）能被3整除}，则自然映射 g：A→A/R使 g(1)=[C]
A．｛1,2｝；B．｛1,3｝；C．｛1,4｝；D．｛1｝。
2-5 设 A ={1，2，3}，则商集A/IA =[D]
A．｛3｝；B．｛2｝；C．｛1｝；D．｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝。
2-6．设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。ｇ＝[C]
A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。
第三章 结构代数(群论初步)
3-1 给出集合及二元运算，阐述是否代数系统，何种代数系统 ？
（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 *是普通乘法。
（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；
二元运算。定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai。aj = ai。
（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。
答：（1）二元运算*在S1上不封闭．所以，＂S1，*＂不能构成代数系统。
（2）由二元运算的定义不难知道。在 S2 内是封闭的，所以，〈S2。〉构成代数
系统；然后看该代数系统的类型：该代数系统只是半群。
（3）很明显，〈{0，1}，*〉构成代数系统；满足结合律，为半群；1是幺元，为独异
点；而 0 为零元；结论：仅为独异点，而不是群。
3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的［A］
A．x*y = max(x,y)；B．x*y = 2x+y ；
C．x*y = x2+y2 ；D．x*y =︱x-y︱..3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。，对于所有 x，y ∈Z都有
x。y=x + y，试问〈Z。〉能否构成群，为什麽 ？
答：由题已知，集合Z满足封闭性；二元运算满足结合律，依此集合Z为半群；有幺元为 －5，为独异点.假设代数系统的幺元是集合中的元素 e,则一个方程来自于二元运算定义, 即e。x= e + x，一个方程来自该特殊元素的定义的性质,即e。x = x.由此而来的两个方程联立结果就有: e+x=x 成立.削去 x,e=0 的结果不是就有了吗!；每个元素都有逆.求每个元素的逆元素,也要解联方程,如同求幺元一样的道理；结论是：代数系统〈 Z。〉构成群。
第二部分图论方法
第四章 图
4-1 10 个顶点的简单图 G 中有 4 个奇度顶点，问 G 的补图中有几个偶数度顶点 ？ 答：因为10阶完全图的每个顶点的度数都是n-1=9――为奇数。这样一来，一个无向简单图 G 的某顶点的度数是奇数，其补图的相应顶点必偶数，因为一个偶数与一个奇数之和才是奇数．所以，Ｇ的补图中应有 10-4＝6 个奇数度顶点。
4-2 是非判断：无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点.[是]
4-3 填空补缺：1条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为[2]
第五章树
5-1握手定理的应用（指无向树）
（1）在一棵树中有 7 片树叶，3 个 3 度顶点，其余都是 4 度顶点，问有(有1个4度顶点)个？
（2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有(9个1度顶点)片？
5-2 一棵树中有 i 个顶点的度数为 i（i=2，…k），其余顶点都是树叶(即一度顶点)，问树叶多少片？设有x片,则 x=
答：假设有 x 片树叶，根据握手定理和树的顶点与边数的关系，有关于树叶的方程，解方程得到树叶数 x = Σi（i—2）i + 2，（i = 2，3，……k）。
5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。试问：（1）T 的权 W（T）？（2）树高几层 ？
答：用 Huffman 算法，以 1，2，3，5，7，8 为权，最优 2 元树 T ；然后，计算并回答所求问题：（1）T 的权 W（T）= 61；（2）树高几层：4 层树高。
5-4以下给出的符号串集合中，那些是前缀码？将结果填入[]内.B1 = {0，10，110，1111}[是]B2 = {1，01，001，000}[是]B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc}[非]B4 = {1，11，101，001，0011}[非]
5-5(是非判断题)11阶无向连通图G中17条边，其任一棵生成树 T 中必有6条树枝 [非]
5-6(是非判断题)二元正则树有奇数个顶点。[是]
5-7 在某次通信中 a，b，c，d，e 出现的频率分别为 5%;10%;20%;30%;35%.求传输他们的最佳前缀码。
1、最优二元树 T；2.每个字母的码字；
答：每个字母出现频率分别为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(也可以不归一,某符号
出现次数即为权，如右下图).。100（近似）7.。563..4。282..2..2。..1..14141414111
1所以，得到编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。
第三部分逻辑推理理论
第六章 命题逻辑
6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。
（1）2月 17 号新学期开始。[真命题]
（2）离散数学很重要。[真命题]
（3）离散数学难学吗 ？[真命题]
（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性。[复合命题]
（5）x + 5 大于 2。[真命题]
（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。[复合命题]
6-2 将下列命题符号化.（1）2 是偶素数。
（2）小李不是不聪明，而是不好学。
（3）明天考试英语或考数学。（兼容或）
（4）你明天不去上海，就去北京。（排斥或）
答：（1）符号化为： p ∧ q。
（2）符号化为：p ∧ ﹃q。
（3）符号化为：p ∨ q。
（4）符号化为：（﹃p ∧ q）∨（p ∧ ﹃q）。
6-3分别用等值演算法,真值表法,主析取范式法,判断下列命题公式的类型.（1）﹃（p→q）∧ q；（2）（（p→q）∧ p）→q；（3）（p→q）∧ q。答：（1）0；
（2）Σ（0，1，2，3）；
（3）Σ（1，3）。
以下两题(6-4;6-5)为选择题,将正确者填入[]内.6-4 令 p：经一堑；q：长一智。命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[B]
A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p
6-5 p：天气好；q：我去游玩．命题 ”如果天气好，则我去游玩” 符号化为［B］
A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p
6-6证明题:用不同方法(必须有构造证明法)判断推理结果是否正确。
如果今天下雨，则明天不上体育课。今天下雨了。所以，明天没有上体育课。答：将公式分成前提及结论。
前提：（p→﹃q），p；
结论：﹃q；
证明：（1）（p→﹃q）前提引入
（2）p前提引入
（3）（p→﹃q）∧p（1）（2）假言推理
（4）﹃q
要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确。
第七章谓词逻辑
7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化
（1）这台机器不能用。
（2）如果 2 ＞ 3，则 2 ＞ 5。
答：（1）﹃F（a）。
（2）L（a，b）→ H（a，z）。
7-2 填空补缺题：设域为整数集合Ｚ，命题xy彐z（x-y=z）的真值为（0）
7-3在谓词逻辑中将下列命题符号化
（1）有的马比所有的牛跑得慢。
（2）人固有一死。
答：（1）符号化为：彐x（F（x）∧ 彐y（G（y）∧ H（x，y）））。
（2）与（1）相仿，要注意量词、联结词间的搭配：
x（F（x）→y（G（y）→ H（x，y）））。
《附录》习题符号集
Ø 空集, ∪ 并, ∩ 交,⊕ 对称差,～ 绝对补,∑ 累加或主析取范式表达式缩写 , － 普通减法, ÷ 普通除法, ㏑ 自然对数, ㏒ 对数，﹃ 非，量词 ”所有”，”每个”，∨ 析取联结词，∧ 合取联结词，彐 量词”存在”，”有的”。
离散数学复习要点 篇6
题型：选择题、填空题、计算和证明题
(不用担心，考题不难，都是平时上课讲过的内容)
命题逻辑：
命题的判定和符号化（即命题的翻译）.会画命题公式的真值表.理解成真赋值，小项.含n个变元的不等价的命题公式有多少类.求公式的主合取范式和主析取范式.熟悉命题的等价公式(命题定律)和蕴涵公式(推理定律).谓词逻辑:
命题的符号化，即带量词的谓词公式的翻译，包括一元谓词和二元谓词的翻译.谓词公式中量词的作用域.会求谓词公式的前束范式.谓词逻辑中推理的证明(P,T规则 + EI,EG,UI,UG规则).集合与关系:
子集概念，会求幂集，会求幂集中元素个数.会求两个集合的笛卡尔积.关系的性质：（反）自反性，（反）对称性，传递性。弄清定义，会判断。会求复合关系、逆关系.会求自反/对称/传递闭包.会证明等价关系.等价关系与划分的相互转化.图论：
离散数学课程教学改革探讨 篇7
离散数学课程形成于20世纪70年代, 是比较新兴的学科.近年来随着信息技术的飞速发展, 离散数学课程的经典内容已不适应实际应用的需要, 很多学校电子和信息类专业研究生入学考试课程中, 将过去单一的离散数学考试改为结合计算机编程等多种内容结合的考试.离散数学课程内容多, 分散繁杂, 学生做习题普遍感到难以下手.目前学生学习离散数学课程感觉理论脱离实践, 所以兴趣不大.
我们应该改革教学内容, 使教学内容适应当前信息及电子类专业的需要, 适应相应专业考研的需要.修订《离散数学》教材和教学大纲, 实现教材内容与教学大纲的统一.探讨离散数学练习题中的“母题”, 编写《离散数学要点及题解》, 便于学生举一反三, 帮助学生自学和做练习题.探讨离散数学知识在实际问题中的典型应用, 编制使用离散数学知识解决实际问题的计算机语言程序, 让学生学习期间感觉到理论与实践的结合.
二、研究离散数学练习题中的母题
离散数学课程内容多, 分散繁杂, 学生做习题普遍感到难以下手.若搞题海战术, 学生时间紧, 又要顾及其他课程, 所以往往采取应付回避的态度, 做题能力很差.我们应该仔细研究各部分的练习题, 探讨各种题型, 分析练习题之间的联系以及与知识点之间的关系, 选择和编制出有代表性的“母题”, 尽量使学生做了这些题以后, 能够举一反三, 事半功倍.
我们编写了《离散数学要点及题解》, 内容包括集合论、数理逻辑、图论和代数系统等四个部分的基本知识点、重点与难点、典型题解析、自我检测题.集合论部分包括集合的概念和集合的运算、二元关系、映射;数理逻辑部分包括命题逻辑和谓词逻辑;图论部分包括图论基本概念和一些特殊图;代数系统部分包括群、环、域, 格、与布尔代数等内容.
各章节的“基本知识点”分为基本概念、基本理论和基本计算;“典型题解析”选择具有代表性的例题进行详细分析, 并给出标准解题步骤, 对于有些题目还给出一题多解, 或对相应的知识点和难点加注, 指出容易犯的错误及犯错误的原因;各章最后一节是“自我检测题”, 这些题中尽量避免近似程度很高的题;附录部分提供近年来的研究生入学考试题中的离散数学部分及其解答.作为离散数学教材的教辅材料, 书中尽量避免偏题怪题, 围绕基本知识点和基本要求, 分析典型题例, 从易到难, 循序渐进, 帮助学生轻松掌握基本内容.
三、介绍编程软件, 编写结合课程内容的算法语言小程序
离散数学虽是一门比较抽象的课程, 但和其他数学分支有明显的不同, 它是20世纪一门新兴的学科, 是将计算机和信息行业需要的数学知识收集在一起形成的一门课程.一方面它有自己的应用背景, 另一方面, 又有数学的抽象性和严密的科学性.在讲解概念和定理的同时, 如何将所学知识与实践相结合, 如何与编写程序相结合, 应该进行这种探索和尝试.
例如, 离散数学课程中关于集合的交、并等运算, 在很多计算机语言中都有直接实现的语句.例如, Pascal语言、Matlab软件、SEQ语言等.
例如, 离散数学中函数的递归定义在常用算法语言中都有直接实现方法.
例如, 在离散数学中, n个集合A1, A2, …, An的笛卡儿叉积的任一子集B称为一个n元关系, B中每一个元素 (a1, a2, …, an) 称为一个n元组.关系数据库中的关系、元组 (或记录) 的概念正是从这里得来的.
例如, 离散数学中数理逻辑部分, 利用已有的规则进行推理, 可用人工智能语言实现.人工智能 (AI) 语言是一类适应于人工智能和知识工程领域的、具有符号处理和逻辑推理能力的计算机程序设计语言, 能够用它来编写程序求解非数值计算、知识处理、推理、规划、决策等具有智能的各种复杂问题.典型的人工智能语言主要有LISP, Prolog, Smalltalk等.
例如, 离散数学中的树、二叉树、图是数据的逻辑结构的重要类型, 只有将树的遍历、图的遍历原理搞清楚, 才能编写较复杂的算法.例如, 最短路算法, 最小生成树算法, 中国邮路问题算法, Huffman最优树算法等.可利用C语言编写相应的程序, 实现算法功能.
例如, 离散数学中的代数系统、群环域、布尔代数在编码学、信息安全中有重要应用, 应该寻找这方面的实例, 将主要部分拿来, 深入浅出地介绍给学生, 提高学生的学习积极性.
多媒体课件在教学中的作用越来越明显, 尤其与计算机相关的课程中更是如此.
四、改革成果的推广
离散数学课程教学方法和手段的改革模式可推广到信息专业和数学专业相似课程中去, 例如组合优化、数值分析、运筹学等.另外课程内容的改革、多媒体课件、教材、要点及题解等都可以在同类课程的自学和实践中推广.
参考文献
[1]王忠义等.离散数学.西安:陕西科学技术出版社, 2001.
离散数学翻转课堂教学改革探讨 篇8
关键词：离散数学；翻转课堂；教学改革
中图分类号：G434 文献标识码：A 论文编号：1674-2117（2016）15/16-0162-03
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的一门学科。它是计算机学科及相关专业的基础课程。离散数学为后续课程提供必要的数学基础，目的是让学生掌握处理离散结构的描述工具和方法，同时，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为他们将来从事科学研究打下坚实的基础。
翻转课堂（Flipped Classroom或Inverted Classroom）是指重新调整课堂内外的时间，将学习的决定权从教师转移给学生。
本文针对新的教育环境下，“离散数学”教学如何与时俱进，实现翻转课堂这一问题提出了以下几点思路。
回归“因材施教”
如今的大学，迫于教学任务，教师很难做到“因材施教”，学生也很少提问，这种师生分离的教学很难培养出优秀的人才。现在受人热捧的翻转课堂虽然强调了学生的主体地位，对传统的教学模式产生了冲击，但也从以下几个方面对教师提出了更大的挑战：①翻转教学理念。教师要走进学生的心灵，了解他们在想什么，在做什么，才能知道他们更需要什么。在翻转课堂中，教师应该尊重学生的个性、兴趣、能力等差异，平等、宽容、民主地对待学生，因材施教。②翻转教学方式。离散数学课程章节多，知识结构分散，有的内容理论性强，有的内容很抽象。如何做到让学生想学，乐学，且学有所获呢？这是每位教师应该认真思考解决的问题。③翻转教学目的。完成教学任务不是目的，培养国家和社会需要的合格人才才是我们最终的教学目标。学习能力强的学生，教师应给予更前沿的学习内容；题做错的学生，教师应和他一起分析错的原因……
建设面向“本校”的MOOC及SPOC平台
翻转课堂需要翻转教师的教学方式和学生的学习方式。MOOC是当下流行的网络学习模式。MOOC是针对大多数人的在线课程，特点是大规模、在线、开放，人们可以通过网络自由选择感兴趣的课程，费用低且学习资源丰富。SPOC是小规模限制性在线课程，“small”意为学生规模相对于MOOC较小，“private”是指对学生设置进入条件，达到要求的申请者才能被纳入进来。
1.鼓励教师制作面向本校学生的MOOC和SPOC课程
鼓励教师制作面向本校学生的MOOC和SPOC课程，一方面，把教师从教学任务的束缚中解放出来，教师可以在课下从论坛和后台了解学生的学习状态、学习兴趣、性格特点等，课堂上会有更多的时间答疑解惑，而不是忙于灌输。有了MOOC和SPOC平台，教师才有机会在课堂上整合各种教学手段，组织或要求学生对本课程的知识点做不同层面、不同深度的思考和讨论。另一方面，会让教师重新审视自己的教学方式和教学理念。因为MOOC和SPOC课程不是面向本班几十个学生，而是全校所有师生，而且MOOC平台会及时真实地反映教学中存在的问题，这就形成了竞争，使教师不得不认真思考教学内容的组织、教学方式，甚至是教学语言的准确、教学仪态的得体等问题，对提高教师的教学能力，并进一步提高教学质量无疑能起到良好的促进作用。
2.鼓励学生通过带课教师的MOOC课程进行基本知识的学习
有了带课教师的MOOC课程，学生的学习时间、学习地点更加自由，还可以根据自己的实际情况灵活调整学习计划，有利于学习兴趣的培养。学生只有拥有学习的主动性、积极性，才有可能对本课程的知识点进行思考，课堂上才可能提出好的问题，同时，翻转了的教学方式使学生上课时不再只是“听”，还被鼓励“问”和“说”。表面上学生的学习任务看似加重了，但实际上是教师和学生的能力都得到了增强。
3.鼓励学生通过带课教师的SPOC课程进行进一步的学习
SPOC采用课堂教学与在线教学相结合的混合教学模式，比MOOC更具有针对性地为学生提供适合其学习程度和学习特点的课程，同时利用在线视频、在线互动及线下面授等环节，提供了更多与教师沟通的机会。教师开设SPOC课程，不仅能加深自己对课程知识的认识，达到教学和科研协调发展，而且能更全面地了解学生各方面的情况，可以更好地“因材施教”。
4.调整考核方式
学生的考核方式要能激发学生的学习兴趣，提高学习主动性，在给予其压力的同时更赋予动力，以培养学生的综合能力及素质为目标。考核可以从以下几个方面开展：①注重课堂表现和平时作业完成的质量，改变期末考试“一锤定音”的局面。②学生参与。学生可以根据自己的表现，为自己打分。③家长参与。学校在教育学生的同时，也需要得到家长的理解和配合，让家长了解孩子在校表现的同时，也接受家长的监督。
教师的考核方式也应该以学生为主，学生满意才是教学的宗旨。考核可以从以下几个方面开展：①增大学生选课的比例，促进学生主动学习的同时增强教师的教学水平和教学能力。②教学考核与科研考核并重，形成教学促科研，科研辅教学的良性循环。
5.加强实践环节，增强学生应用离散数学解决实际问题的能力
“知之而不行，虽敦必困”，数学的魅力在于应用。因为离散数学是计算机专业的基础课程，所以对学生编程兴趣和能力的培养不容忽视。增设离散数学实验课不仅能让学生深入体会离散数学应用的广泛性，而且也有助于锻炼和加强学生的编程能力。实验课的形式也可以翻转，如由教师讲解编程思想，学生动手编写，或由学生讲解算法，教师组织讨论甚至辩论，再由学生编写程序进行测试等。实验课的内容可根据学生的情况灵活设定。例如，教师可以在实验课中介绍和讲解搜索引擎的设计与实现，学生在动手编写程序的同时，也会更深地体会到逻辑联接词在网页检索技术中的应用。又如，某公司在多个城市（代表名为的城市）有分公司，从城市到城市的直接航程票价记在矩阵的位置上（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张从城市到其他城市的票价最便宜的路线图。学生在编程实现的同时，对迪克斯特拉（Dijkstra）算法也有了更深的体会，教师还可以趁机引导学生了解其他最短路程的算法（如Floyd-Warshall算法等），启发学生对现有算法提出改进。
开展离散数学翻转课堂是一项艰巨而有意义的工作，笔者将身体力行，更深入、更具体地投身到教学改革的实践中，为取得更好的教学成果而努力。
参考文献：
[1]萨尔曼·可汗.翻转课堂的可汗学院——互联时代的教育革命[M].刘婧，译.杭州：浙江人民出版社，2014.
[2]于歆杰.以学生为中心的教与学——利用慕课资源实施翻转课堂的实践[M].北京：高等教育出版社，2015.
[3]张金磊，王颖，张家辉.翻转课堂教学模式研究[J].远程教育杂志，2012，30（4）：46-51.
[4]李海龙，邓敏杰，梁存良.基于任务的翻转课堂教学模式设计与应用[J].现代教育技术，2013，23（9）：46-51.
[5]邓秀勤，郝志峰，刘海林.基于创新能力培养的离散数学课程教学改革探索[J].计算机教育，2013（16）：62-66.
[6]张小峰，蔡春波，李秀芳，杨洪勇.基于程序设计能力培养的离散数学教学改革[J].计算机教育，2015（2）：44-47.
[7]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2014.
[8]左孝凌.离散数学[M].上海：上海科技文献出版社，1982.
作者简介：郭慧娟（1979.9—），女，山西省定襄县人，太原师范学院计算机系教师，讲师，硕士，研究方向为机器学习、压缩感知及信号处理。
离散数学论文 篇9
《离散数学》的特点是：
1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。
2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。同时要善于总结，在学习《离 散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。一般来说，由于这些概念（定义）非常抽象（学习《线性代数》时会有这样的经历），初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系。这往往是《离散数学》学习过程中初学者要面临的第一个困难，他们觉得不容易进入学习的状态。因此一开始必须准确、全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。具体做法是在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记。只有这样才可能本课程的抽象能够适应，并为后续学习打下良好的基础。
学数学就要做数学，《离散数学》的学习也不例外。学习数学不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习数学思维方法。要做到这一点，学习者将要面临的第二个困难是需要花费大量的时间做课后习题。但是切记离散数学的题目数量自然是无穷无尽的，但题目的种类却很有限。尤其是在命题证明的过程中，最重要的是要掌握证明的思路和方法。解离散数学的题，方法是非常重要的，如果拿到一道题，立即能够看出它所属的类型及关联的知 识点，就不难选用正确的方法将其解决，反之则事倍功半。例如在命题逻辑部分，无非是这么几种题目：将自然语言表述的命题符号化，等价命题的相互转化（包括化为主合取范式与主析取范式），以给出的若干命题为前提进行推理和证明。相应的对策也马上就可以提出来。以推理题为例，主要是利用P、T规则，加上蕴涵和等价公式表，由给定的前提出发进行推演，或根据题目特点采用真值表法、CP规则和反证法。由此可见，在平常学习中，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和此类题目的解题套路。如此多作练习，则即使遇到比较陌生的题也可以较快地领悟其本质，从而轻松解出。
因此，只要肯下功夫，人人都能有扎实的基础，拥有足够的数学知识，特别是能大大提高本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。
如何学好离散数学
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。由于离散数学在计算机科学中的重要性，因此，许多大学都把它作为研究生入学考试的专业课程中的一门，或者是一门中的一部分。
作为计算机系的一门课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点，现在我们就它作为考试内容时具有的特点作一个简要的分析。
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中的一部分内容就是考察大家对定义和定理的识记、理解和运用。如2002年上海交通大学的试题，问什么是相容关系。如果知道的话，很容易得分；如果不清楚，那么无论如何也得不到分数的。这类型题目往往因其难度低而在复习中被忽视。实际上这是一种相当错误的认识，在研究生入学考试的专业课试题中，经常出现直接考查对某知识点的识记的题目。对于这种题目，考生应该能够准确、全面、完整地再现此知识点。任何的模糊和遗漏，都会造成极为可惜的失分。我们建议读者，在复习的时候，对重要知识的记忆，务必以上面提到的“准确、全面、完整”为标准来要求自己，不能达到，就说明还不过关，还要下工夫。关于这一点，在后续章节中我们仍然会强调，使之贯穿于整个离散数学的复习过程中。
离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。
2、方法性强。
离散数学的证明题中，方法性是非常强的，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常复习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。在本书中，我们为读者总结了不少解题方法。读者首先应该熟悉并且会用这些方法。同时我们还鼓励读者勤于思考，对于一道题，尽可能地多探讨几种解法。
3、有穷性。
由于离散数学较为“呆板”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化的来的。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”如果拿到一本习题集，从头到尾做过，甚至背会的话。那么，在考场上就会发现绝大多数题见过或似曾相识。这时，要取得较好的成绩也就不是太难的事情了。
本书是专门针对研究生入学考试而编写的，适合于读者对研究生入学考试的复习。如果还有时间的话，我们可以推荐两本习题集。一本是左孝凌老师等编写的《离散数学理论、分析、题解》，另一套有三本，是耿素云老师等编写的《离散数学习题集》。这两套书大多数题都是相同的，只是由于某些符号和定义的不同，使得题目的设定和解法有些不同而已。
现在我们就分析一下研究生入学考试有哪些题型，以及我们应如何应付。
1、基础题
基础题就是考察对定义的识记，以及简单的证明和推理。题目主要集中在数理逻辑部分和集合论部分。这些题目不需要思考，很容易上手。
这一部分的题目主要问题是要防止粗心大意和对定义记忆似是而非而丢的分数。不重视这一点的人将会在考试中吃大亏。如在主合取范式中，极大项编码对应的指派与真值表对应的指派相反，这一点在许多的参考书里也会犯错误；还有是要防止没有按照一定的方法而引起的错误，如我们在数理逻辑或者集合论里作等价推演，可以省略若干不重要的步骤，只要老师和考生都清楚就可以了，而在推理理论里则不能省略任何步骤，否则被认为是逻辑错误。
我们在学习中，还要注意融会贯通，例如，数理逻辑和集合论是相通的，因此记忆或者总结方法的时候可以综合起来，这样便于比较和理解。
2、定理应用题
本部分是最“死”的一部分，它主要体现了离散数学的方法性强的特点。并且这一部分占了考试内容的大部分，我们必须在这一部分下功夫，记住了各种方法，也就拿到了离散数学的大部分分数。
下面我们就列出常用的几种应用：
●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。
●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。
X，使得f(x)=y。Y，都有xY，即要证明对于任意的y●证明满射：函数f：X X，且x1≠x2，则f(x1)Y，即要证明对于任意的x1、x2●证明入射：函数f：X ≠f(x2)；或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。
●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。有三种情况：第一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。
●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设
●证明正规子群：若
●证明格和子格：子格没有条件，因此和证明格一样，证明集合中任意两个元素的最大元和最小元都在集合中。
图论虽然方法性没有前几部分的强，但是也有一定的方法，如最长路径法、构造法等等。
3、难题
难题就是考试中比较难以下手，大多考生作不出来，用来拉开分数档次的题。那么，遇到难题我们怎么下手分析呢？
难题主要有以下四种，我们来逐一进行分析：
①综合题
综合题就是内容涵盖若干章的问题，这样的题大多数是在群论里面的陪集、拉格朗日定理、正规子群、商群这一部分中。这一部分结合的内容很多，而且既复杂又难理解，是整个离散数学中的难点。
首先拉格朗日定理把群和等价关系、划分结合在一起，又与群的阶数相挂钩（在子群中有一部分阶方面的题是比较难的题，它的解法依据就在此处）；然后商群将两个群结合在一起，因为两个群的元素是不同的，因此必须时刻概念清楚才不至于混乱；接着同余关系把群和关系相结合，定义了一种新的关系；自然同态把正规子群和商群相联系，也成为某些证明题的着眼处；核的定义和群同态定理给出了正规子群的另一种证明方法，因为核就是正规子群……
当然，综合题不仅此一处，离散数学是一个融会贯通的学科，像集合论，图论等都可能成为综合题的命题点。
对于综合题，我们可以从两方面下手，首先不管题设如何，看所要证明的问题，按照定理应用的题型着眼，设出所需要的格式，然后进行进一步推演；其次可以先看题设，应用已知条件的性质定理向前推几步，看看哪一个性质更能够接近所问，题目也就迎刃而解了。
②例外题
例外题有两个含义，首先是对于定理应用题而言的，对于一个概念的判定定理和性质定理不是唯一的，而定理应用题是给出的是最常出题的定理，因此有的考题可能考出一个不常用的定理。
其次例外题还有一种题型是与我们平常思维相悖的问题，如：有一些题目给出一个结论，说如果它正确的话请指出来，错误的话则请证明，凭做题经验通常是要选择证明的那条思路。其实也不妨用一些时间看看能不能指出来，从而不用证明。请看下面的例子：
③ 偏题
常常有的参考书会说某某章是非重点，不会考到之类的话，这是非常错误和有害的。其结果是令这些章成为读者复习中的盲点，成为难题的又一种。这些章通常概念少，定理不多，因此题目本身不难。但由于没有好好复习或者根本没有复习，考试中又出了题目，故此拿不到分数则是非常令人懊丧的。所以我们建议读者进行全面复习，除非是所报考院校明确说明不考的部分，其余内容一律要认真复习。即使是复习时间比较少，也必须做到至少是了解了基本概念和定义。对于离散数学而言，函数一章中的基数部分和格和布尔代数一章是人们容易忽略的问题。
我们平时复习的时候，不管是什么课程，一定不能留死角，而这些地方出的题目由于它的本身内容的局限性，又往往是非常简单的。丢了十分可惜。
④ 错题
专业课的题目是由较少老师出的，并不像基础课那样经过多方面的论证，因此出错题也不奇怪（虽然非常非常之少），如果我们遇到了一道题目，经过我们判断和推演得到相悖的答案，不要过分迷信题目的权威性，因为它可能是错题。
下面讲一下离散证明题的证明方法：
1、直接证明法
直接证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有相同的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。
直接证明法有两种思路，第一种是从已知的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，则可以先从已知条件按照定理推出一些中间的条件（这一步可能是没有目的的，要看看从已知的条件中能够推出些什么），接着，选择可以推出结论的那个条件继续往下推演；另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看从哪些条件可以得出这个结论（这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件），以此类推一直到已知的条件。通常这两种思路是同时进行的。
2、反证法
反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在唯一”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。
3、构造法
证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。
4、数学归纳法