数列极限的计算（通用7篇）
数列极限的计算 篇1
数列极限的计算
极限概念有着深刻的思想性,它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了由有限到无限,近似到精确、量变到质变的`辩证思想,曾对教学发展和促进人类文明发挥过十分重要的作用.极限方法是辩证法在数学上的应用,是初等教学所没有的一套崭新的方法,它解决了“直与曲”,“近似与精确”的矛盾,是客观世界中由量变到质变的一种反映.数列极限是高等数学的重要组成部分,求数列极限的方法很多.本文总结出十余种类型的数列极限方法,讨论的内容涉及数列知识,Stolz定理,子序列的极限与函数的极限的关系,级数理论,上下极限,定积分理论,柯西收敛准则,泰朝展式,黎曼引理等,力求对数列极限的计算做一个总结.
作 者：卜宪敏 作者单位：日照广播电视大学,山东日照,276826刊 名：中国科教创新导刊英文刊名：CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD年，卷(期)：“”(5)分类号：G623.5关键词：极限概念 极限方法 Stolz定理 子列理论
谈数列极限定义的教学设计 篇2
【中图分类号】O171-4
极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。
一、无穷数列本质是整标函数
无穷数列 可以看作自变量只取正整数 的一类特殊函数，称为整标函数，即 ，其中 称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。
二、从几何问题到代数问题，引出极限思想
先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列 ，然后启发学生思考如何从数列 的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当 越来越大时， 越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列 ，主要研究当 无限增大时，数列 无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。
三、归纳给出数列极限的描述性定义
由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果 无限增大时，数列 无限接近于一个常数 ，则称 为该数列的极限，记作 或 。否则，称 发散。
四、将描述性定义转化为“ ”定义
一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列 为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当 无限增大时， 无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要 可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要 充分大，大到足以保证 小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的 ，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于 的正整数 ，即 ，使当 时的一切 都满足 。
由于 的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列 随 无限增大（记作 ）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用 的数量关系把“当 无限增大时， 无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用 的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义 。
五、几何解释
将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管 多么小，总能找到一个正整数 從 项开始后面的所有项 都落在点 的 邻域内，而此邻域外最多只有有限项 。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。
六、“ ”定义的进一步说明
为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。
（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。
（2） 具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画 无限接近于常数 的程度；二是固定性， 一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数 。三是表达式的多样性，定义中若取 、 、 也可。
（3） 的相应性。 依赖于 ，但并不唯一，因此也不是 的函数。事实上， 未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当 给定后，才能找到与之有关的 ，当 满足 时，才有 ，一般情况下寻找到 即可。
（4）不等号的推广。由 的多样性和 的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。
七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限
利用“ ”定义证明 ，关键是对于任意给定的正数 ，寻找一个与之有关的正整数 使得当 时恒有 。那么怎么寻找 呢？首先从这个关于 和 的不等式 出发，解出 的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取 即可。事实上，若取 或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。
以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。
参考文献
[1] 同济大学数学系. 高等数学[M].上册.第六版.高等教育出版社，2007：26.
基金项目：陕西省教育厅科研计划项目（编号：2013JK1098）
数列极限的运算性质 篇3
教学目标
1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．
2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．
3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点
使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程
（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限
师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）来解决。
nnnn例1：求下列极限：
7n33n2n(1)lim 3n4n1
师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．
生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．
师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？
师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？ 生：结果应该一样．
师：分子、分母同时除以2或2，能否求出极限？
n
n-
1（二）先求和再求极限 例2 求下列极限：
由学生自己先做，教师巡视．
判断正误．
生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．
师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？
生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．
=12． 师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．
例3求下列极限：
师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．
生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．
生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．
例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，师：等比数列的前n项和Sn怎样表示？
师：看来此题要分情况讨论了．
师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：
师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同
（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限 师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：
例5计算：
题目不难，可由学生自己做． 师：（1）中的数列有什么特点？
师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？
（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；
（四）利用极限的概念求数的取值范围
师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．
师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？ 生：先求极限．
师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？
|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．
解得0＜m＜4．
师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？ 生：主要有三种类型：
（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限． 师：求数列极限应注意的问题是什么？ 生甲：要注意公式使用的条件．
生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．
上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．
（五）布置作业 1．填空题：
2．选择题：
则x的取值范围是[ ]． 的值是[ ]．
A．2 B．-2 C．1 D．-1 作业答案或提示
（7）a． 2．选择题：
（2）由于所给两个极限存在，所以an与bn的极限必存在，得方程
以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用． 课堂教学设计说明
1．掌握常用方法，深化学生思维． 数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．
2．展示典型错误，培养严谨思维． 第二课时
数列极限的运算性质
教学目标：
1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限
2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n)n=e 教学过程：
一、数列极限的运算性质
如果liman=A，limbn=B，那么
（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(anbn)= liman limbn =AB（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B0，bn0）注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。
数列的和的极限的运算性质可推广为：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应各项的和所组成的数列也有极限，且极限值等于这有限个数列的极限的和。类似地，对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。注意：上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算，不能推广为无限个数列的和与积。
二、求数列极限
1、lim（5+1/n）=5
2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1
3、lim(2+3/n)2=4
4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10
5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及lim(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接应用商的极限运算性质进行计算。为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。在变形时分子、分母同时除以分子、分母中含n的最高次数项。
4、一个重要的数列极限
我们曾经学过自然对数的底e2.718，它是一个无理数，它是数列(1+1/n)n的极限。lim(1+1/n)n =e（证明将在高等数学中研究）求下列数列的极限
lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n (1+1/n)n (1+1/n)=ee1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3
分析：在底数的两项中，一项为1，另一项为3/n，其中分子不是1，与关于e的重要极限的形式不相符合，为此需要作变形。其变形的目标是将分子中的3变为1，而不改变分式的值。为此可在3/n的分子、分母中同时除以3，但这样又出现了新的矛盾，即分母中的n/3与指数上的n以及取极限时n不相一致，为此再将指数上的n改成n/33，又因为n与n/3是等价的。
lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e
练习：计算下列数列的极限
lim(3-1/2n)=3
lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5
lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2
lim(1+3/2n)2=1
lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=18=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3(1+1/n)2=e3
lim(1+4/n)n=e4
lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e
lim(1+2/(n+1))n=e2
函数与数列极限的定义区别 篇4
最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义
设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质 收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；
（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；
（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；
（5）保序性，即若，且A （1）自变量趋于有限值时函数的极限：- [论文网 ]函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作 上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对：任意以两直线为边界的带形区域； 2总：总存在（以点x0位中心的）半径； 3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时； 4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作 并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质（1）极限唯一性；（2）局部有界性 若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立； （3）局部保号性 若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立； （4）局部保序性 若，且A 利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形： （1）给定任意小正数ε； （2）解不等式或，找δ或N； （3）取定δ或N； （4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）： （1）给定任意大正数G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则1．夹逼准则（1）数列极限的夹逼准则 如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件： 1存在N，n>N时，bn≤an≤cn； 则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则 （以x→x0和x→∞为例）如果 1（或|x|>M）时，有 2（或），则（或） （3）一个重要不等式 时，2．单调有界数列必有极限 3．柯西（Cauchy）极限存在准则 数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。 数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。 计算极限的常用方法1.利用洛必达法则 三这是最常用的方法，主要针对未定型极限： 注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限 „„ 3.利用泰勒公式 4.利用迫敛性 5.利用定积分求和式极限 6.利用数列的递推关系计算极限 7.利用级数的收敛性计算极限 8.利用积分中值定理计算极限 计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出- [论文网 ]发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。大全，函数。大全，函数。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且A （1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作 上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对：任意以两直线为边界的带形区域； 2总： 总存在（以点x0位中心的）半径； 3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时； 4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作 并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质 （1）极限唯一性； （2）局部有界性 若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立； （3）局部保号性 若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立； （4）局部保序性 若，且A 利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形： （1）给定任意小正数ε； （2）解不等式或，找δ或N； （3）取定δ或N； （4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）： （1）给定任意大正数G； （2）解不等式； （3）取定δ； （4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.极限存在准则1．夹逼准则 （1）- [论文网 ]数列极限的夹逼准则 如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件： 1存在N，n>N时，bn≤an≤cn； 2 则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则 （以x→x0和x→∞为例）如果 1（或|x|>M）时，有 2（或），则（或） （3）一个重要不等式 时，2．单调有界数列必有极限 3．柯西（Cauchy）极限存在准则 数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。大全，函数。 数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。 计算极限的常用方法1.利用洛必达法则 三这是最常用的方法，主要针对未定型极限： 注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限 „„ 3.利用泰勒公式 4.利用迫敛性 5.利用定积分求和式极限 6.利用数列的递推关系计算极限 7.利用级数的收敛性计算极限 8.利用积分中值定理计算极限 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法则1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④ 设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε =ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法则1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理 3、引理2)=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε 引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可 法则4的证明: 由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对∀ε>0,∃正整数N2和N3,使得: 当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)； 当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)； 现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有 |An/Bn-A/B| =|An*B-Bn*A|/|B*Bn| =|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn| ≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε 例1 已知数列[an]和[bn]满足[a1=m],[an+1=][λan+n,][bn=an-2n3+49.] （1）当[m=1]时,求证: 对于任意的实数[λ],[an]一定不是等差数列； （2）当[λ=-12]时,试判断[bn]是否为等比数列. 解析 （1）当[m=1]时,[a1=1,a2=λ+1,][a3=λλ+1][+2=λ2+λ+2]， 假设[an]是等差数列,则由[a1+a3=2a2,]得[λ2+λ+3=2λ+1],即[λ2-λ+1=0], 由Δ[=-12-4⋅1⋅1=-3<0]，矛盾. 故对于任意的实数[λ],[an]一定不是等差数列. （2）当[λ=-12]时,[an+1=-12an+n.] 而[bn=an-2n3+49,] 所以[bn+1=an+1-2(n+1)3+49] [=(-12an+n)-2(n+1)3+49] [=-12an+n3-29=-12(an-2n3+49)=-12bn.] 又[b1=m-23+49,] 故当[m=29]时, [bn]不是等比数列. 当[m≠29]时, [bn]是以[m-29]为首项,[-12]为公比的等比数列. 点评 判断某个数列是否为等差（比）数列，有两种常用方法：①定义法，②看任意相邻三项是否满足等差（比）中项. 若判断某个数列不是等差（比）数列，只需说明前三项不满足即可. 例2 已知数列[an]满足[a1=13]，[a2=79]，[an+2=43an+1-13an][(n∈N*)]. （1）求数列[an]的通项公式； （2）求数列[nan]的前[n]项和[Sn]. 解析 （1）由[an+2=43an+1-13an]， 得[an+2-13an+1=an+1-13an]， ∴数列[an+1-13an]是常数列， [an+1-13an=a2-13a1=23]，即[an+1=13an+23]， 得[an+1-1=13(an-1)]， ∴数列[an-1]是首项为[a1-1=-23]，公比为[13]的等比数列，[an-1=(-23)⋅(13)n-1]， 故数列[an]的通项公式为[an=1-23n]. （2）[nan=n(1-23n)=n-2⋅n3n]. 设[Tn=13+232+333+⋯+n3n]， ① [13Tn=][132+233+⋯+n-13n+n3n+1]. ② ①-②得[23Tn=13+132+133+⋯+13n-n3n+1]， ∴[Tn=34-2n+34⋅3n]. 故[Sn=(1+2+3+⋯+n)-2Tn] [=n(n+1)2-32+2n+32⋅3n=(n2+n-3)⋅3n+2n+32⋅3n.] 点评 由递推公式求通项公式是考查的重点和难点，是解决后续问题的关键，复习时应重点关注递推数列的类型与求法，重点关注叠加、叠乘、迭代、转化等解题技巧的训练. 已知[Sn]与[an]的关系式[an=fSn]可求[an]，也可求[Sn]，关键是用[an=Sn-Sn-1][(n≥2)]来转化；数列求和的常见方法有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分解转化法，若涉及正负相间的数列求和常需分奇偶讨论，公比是参数的等比数列求和也需对公比[q=1]和[q≠1]两种情况进行分类讨论. 例3 已知数列[an]和[bn]满足[an=an-1bn]，[bn=bn-11-a2n-1(n≥2)]，当[a1=p,b1=q(p>0,q>0)]且[p+q=1]时. （1）求证：[an>0,bn>0]且[an+bn=1(n∈N);] （2）求证：[1an+1-1an=1]； （3）求[limn→∞bn]的值. 解析 （1）当[n=1]时，命题显然成立，假设[n=k]时命题成立，即[ak>0,bk>0,ak+bk=1]， 当[n=k+1]时，因为[0 于是[bk+1=bk1-a2k>0]，[ak+1=akbk+1>0]， [ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1] [=(ak+1)bk1-a2k=bk1-ak=bkbk=1]得证. （2）[1an+1-1an=1anbn+1-1an=1an(1bn+1-1)] [=1an(1-a2nbn-1)=1anbn(1-bn-a2n)] [=1anbn(an-a2n)=1-anbn=1.] （3）由（2）可知，[1an=1a1+(n-1)=1p+(n-1),] 所以[an=pp(n-1)+1.] [∴bn=1-an=1-pp(n-1)+1,] [∴limn→∞bn=1]. 点评 处理两个数列交错渗透的问题，可利用函数思想消元、代换，转化到一个数列中求解. 例4 已知函数[f(x)=x-ln(1+x)]，数列[an]满足[0 （1）求证：[0 （2）求证：[an+1 解析 （1）先用数学归纳法证明[0 ①当[n=1]时，由已知，结论成立. ②假设当[n=k]时，结论成立，即[0 因为[0 又因为[0 [an+1-an=an-ln(1+an)-an=-ln(1+an)<0]， 所以[an+1 综上,[0 （2）设函数[g(x)=ln(1+x)-x+x22(0 点评 数列是特殊的函数，数列不等式与一般函数不等式一样，可以考虑从函数的角度来思考，处理的关键是揭开数列不等式的面纱，找准对应的函数，利用函数的单调性来证明. 例5 过点[P(1,0)]作曲线[C:y=xk(x∈(0,+∞),][k∈N*,k>1)]的切线，切点为[Q1],设点[Q1]在[x]轴上的投影是点[P1]；又过点[P1]作曲线[C]的切线，切点为[Q2],设[Q2]在[x]轴上的投影是[P2]；…依此下去,得到一系列点[Q1],[Q2],…,[Qn],…设点[Qn]的横坐标为[an]. （1）试求数列[{an}]的通项公式[an]；（用含[k]的代数式表示） （2）求证：[an≥1+nk-1;] （3）求证：[i=1niai （注：[i=1nai=a1+a2+⋯+an]） 解析 （1）切点是[Qn(an,ank)]的切线方程为[y-ank=kank-1(x-an)]. 当[n=1]时,切线过点(1,0), 即[0-a1k=ka1k-1(1-a1)],得[a1=kk-1]. 当[n>1]时,切线过点[Pn-1(an-1,0)], 即[0-ank=kank-1(an-1-an)],解得[anan-1=kk-1]. [∴]数列[an]是首项为[kk-1]，公比为[kk-1]的等比数列，故通项[an=(kk-1)n,n∈N*]. （2）[an=(kk-1)n=(1+1k-1)n] [=C0n+C1n1k-1+C2n(1k-1)2+⋯+Cnn(1k-1)n] [≥C0n+C1n1k-1=1+nk-1]. （3）设[Sn=1a1+2a2+⋯+n-1an-1+nan], 则[k-1kSn=1a2+2a3+⋯+n-1an+nan+1], 两式相减得 [(1-k-1k)Sn=1a1+1a2+⋯+1an-nan+1] [<1a1+1a2+⋯+1an]， [∴][1kSn 故[Sn 点评 数形结合，建立曲线上点的横（纵）坐标的递推关系是处理点列问题的一般方法；形如第（2）问中指数型不等式一般采用构造二项式进行适当放缩即可. 例6 如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差. （1）设数列[an]是公方差为[p]的等方差数列，求[an]和[an-1(n≥2,n∈N)]的关系式； （2）若数列[an]既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； （3）设数列[an]是首项为2,公方差为2的等方差数列，若将[a1,a2,⋯,a10]这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的种数. 解析 （1）由等方差数列的定义可知，[a2n-a2n-1=p(n≥2,n∈N);] （2）因为[an]是等差数列，若设公差为[d]，则[an+1-an=an-an-1=d.] 又[an]是等方差数列，因此[a2n-a2n-1=a2n+1-a2n,] 即[d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,] 解得[d=0]，即[an]是常数列. （3）依题意， [a1=2,a2n-a2n-1=2(n≥2,n∈N),a21=4,] 因此[a2n=4+2(n-1)=2n+2,] 解得[an=2n+2]或[an=-2n+2.] 即该密码的第1个数确定的方法数是1,其余每个数都有“正”或“负”2种确定方法，每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数有[29=512]种. 故这种密码共512种. 点评 求解“新定义”型问题的关键是先读懂题意，理解“新定义”的本质，再将“新”问题转化到常规问题中处理. 专题训练二 一、选择题 1. 在等差数列[{an}]中，已知[a1=2,a2+a3=13,]则[a4+a5+a6]等于（ ） A. 40B. 42C. 43D. 45 2. 若数列[{ax}]满足[a1,a2a1,a3a2,…,anan-1,…]是首项为1，公比为2的等比数列，则[a100]等于（ ） A. 2100 B. 299C. 25050 D. 24950 3. 一个等差数列共[n]项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数[n]为（ ） A. 14B. 16C. 18D. 20 4. 已知[{an}]为等差数列，[{bn}]为等比数列，其公比[q≠1]，且[bi>0(i=1,2,3,…,n)],若[a1=b1，a11=b11],则（ ） A. [a6=b6] B. [a6 C. [a6>b6] D. [a6>b6]或[a6 5. 已知[f(x)＝x＋1，g(x)＝2x＋1]，数列[{an}]满足：[a1＝1，an＋1＝f(an)(n为奇数),g(an)(n为偶数),]则数列[{an}]的前2007项的和为（ ） A. 5×22008-2008 B. 3×22007-5020 C. 6×22006-5020 D. 6×21003-5020 6. 若[limx→1x2-6x+5x2-1=a,则limn→∞(1a+1a2+1a3+][⋯+1an)]的值为（ ） A. -2B. [-13] C. [-12]D. 3 7. 数列[{an}]满足[a1=a,][an+11a2n+4=1,]记[Sn=a21+a22+…+a2n，]若[S2n+1-Snm30]对任意[n∈N*]恒成立，则正整数[m]的最小值（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 已知等差数列[an]中，[an=2n-1]，在[a1与a2之间插入1个2,]在[a2与a3之间插入2个2]，…，在[an与an+1之间插入n个2]，…，构成一个新的数列[bn]，若[a10=bk]，则[k]=（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 9. 设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S19>0,S20<0]，则[S1a1,S2a2,⋯,S19a19]中最大的项是（ ） A. [S19a19] B. [S11a11] C. [S10a10] D. [S1a1] 10. 我们把球外一点与球面上一动点之间距离的最小值,叫作该点到球面的距离,如果等比数列[an]的首项[a1]为空间一点[(t,1,2)]到球面[(x+8)2+(y－4)2+][(z+2)2=16]的距离的最小值,[Sn]为数列[an]的前[n]项和,且[limn→∞Sn=2],则等比数列[an]的公比[q]等于（ ） A. 1 B. [12] C. [123] D. [14] 二、填空题 11. 依次写出数列[a1=1,a2,a3,⋯,]法则如下：如果[an-2]为自然数且未写过，则写[an+1=an-2]，否则就写[an+1=an+3]，则[a6=] . 12. 已知数列[an]的前[n]项和为[Sn=n2,]某三角形三边之比为[a2:a3:a4]，则该三角形最大角为 . 13. 已知数列[an]满足[an+1+an-1an+1-an+1=n]（[n]为正整数）且[a2=6]，则数列[an]的通项公式为[an=] . 14. 若数列[an]满足[1an+1-1an=d(n∈N*,d]为常数），则数列[an]为“调和数列”，已知数列[{1xn}]为“调和数列”，且[x1+x2+…+x20=200，]则[x13x18]的最大值是 . 15. 如图，一个类似杨辉三角的递推式，则 1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 …… （1）第[n]行的首尾两数均为 ， （2）第[n]行的第2个数为 . 三、解答题 16. 已知数列[an]的首项[a1=1，a2=3，]前[n]项和为[Sn]，且[Sn+1]、[Sn]、[Sn-1]分别是直线[l]上的点[A、B、C]的横坐标，点[B]分[AC]所成的比为[2an+1an]，设[b1=1，bn+1=log2(an+1)+bn.] （1）判断数列[an+1]是否为等比数列，并证明你的结论； （2）设[cn=4bn+1-1n+1anan+1]，证明：[k=1nck<1.] 17. 已知数列[an]中，[a1=1]，[an=][3n-1an-1]（[n]≥2，[n∈N*]）. （1）求数列[an]的通项公式； （2）设[Sn=log3(an273n)]，数列[bn]的前[n]项和为[Sn]，求数列[bn]的通项公式； （3）求数列[|bn|]的前[n]项和[Tn]. 18. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：设[aij]（[i、j∈N*]）是位于这个数表中从上往下数第[i]行、从左往右数第[j]个数. 数表中第[i]行共有[2i-1]个正整数. 1 2 3 4 5 6 7 …… （1）若[aij]＝2010，求[i、j]的值； （2）记[An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),]试比较[An]与[n2+n]的大小, 并说明理由. 19. 对于正项数列[{an}]，定义其调和均值为[H(n)][=n1a1+1a2+...+1an][(n∈N*)]. （1）若数列[an]中，[H(n)=2n+2]，求[an]的通项公式； （2）已知[bn]为等比数列，且[b1=1],公比为2，其调和数为[H(n)],是否存在正整数[m],使得当[n≥m][(n∈N*)]时，[H(n)<18]恒成立. 如果存在，求[m]的最小值；如不存在，说明理由. 20. 已知数列[an]、[bn]、[cn]的通项公式满足[bn=an+1-an] ，[cn=bn+1-bn]（[n∈N∗]），若数列[bn]是一个非零常数列，则称数列[an]是一阶等差数列；若数列[cn]是一个非零常数列，则称数列[an]是二阶等差数列. （1）试写出满足条件[a1=1]、[b1=1]、[cn=1]的二阶等差数列[an]的前五项； （2）求满足条件（1）的二阶等差数列[an]的通项公式[an]； （3）若数列[an]中[a1=2]，且[cn-bn+1+3an=-2n+1][(n∈N∗)]， 求数列[an]的通项公式. 21. 设数列[an]的前[n]项和为[Sn=3an-3n+1]. （1）证明：[an3n-2]为等比数列，并求数列[an]的通项公式； pdf文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。术论坛 一道数列极限证明题的应用与推广 《嚣汪褥蔻蹇等专学校 赵建红 云鬻嚣泼 ８７毒ｌ ＯＯ》 摘要：参政文献【Ｉ】的一道教列极限证明题！鳃√吖＋吼“＋„＋％”一ｍａｘ｛口ｌ，口２，„％｝引入。将她命题推广到函数极限上，用其结论将玩牛拳 一些名援乃熏奎蛋寿夔考研名麓轻松辫决，井ｌｌ八了ｌ；‘下庀令令惹； ’ （１’璺豫积’Ｏ）＋磊’Ｏ）＋„＋无。Ｏ）芦＊ｍ缸｛口ｌ，吩，„，靠。； （２）！臻ｐ∞Ｏ）＋∥∞Ｏ）十„＋厶’似Ｏ谚丽；ｍ戕｛口ｌ，口２，„，‟）。井婶即型的极限计算以麓慰：＠Ｏ）＋＾Ｏ）＋„＋厶Ｏ沙南印 酗（。＋∞＋„＋ｍ乒型秘城艰哥薯馋了擐译。 关键词：数列极限 考拼 应用 中图分类号ｊ０２４２ 文献标识码｝Ａ 文章编謦。１６７４一０９８ｘ（２００８）０３（ｅ）一０１３２一０２ １艨题垂现：（《数学分斩》（牮东师大第兰舨）ｐ３４） 溉厅ｉ丽＝一｛口１，咚，„‟｝。 ２轻松解题 命题一：设ｄ１，口２，口３，„„，口。是ｍ个正数，证明： 解：南命题二有：熙瓣。｛２：：：：要ｊ芝鬈：： 穰５、竣函数，Ｏ）＝鞋瓣叠＋｜∥，„„„„２００５年全阑繇摇高 ’７㈣’’’数 一、数＝ ３．２辩推广到函数裔以下结论： 证明：设Ａ一趟ａ】【｛口１，拉２，„％｝，由于：∥≤ｑ”＋啦”＋„÷‟８≤删”烫Ｈ知；鎏厅瓦丽＝＿＝ｍ勰‟啦，„口擗｝。 究嫩入学试题。 所以；爿兰承Ｆｉ≧干面ｓ４沥而照瓶＝ｌ，敝由两边夹法 黼一∥盼壁衙骺撩： 命题三：设ＺＯ），正Ｏ），„，六Ｏ）是ｍ个函数，并且满慰条件（１） ． ｆ倒１ｊ计算极瞬ｉｍ每ｌ＋矿（ａ＞Ｏ）－．„„?１９９８、１９９９年北京大学研Ｚ冬）≥ｏ，（２）耋氅ＺＯ）＝每≥ｏ，粪《： 热Ｕ。Ｏ）＋五„Ｏ）＋„＋厶’Ｏ骖＝瑚ｘ｛啦，口２，„，％） ｌ黧ｏ＜牙≤ｌ时； 鬃：虫命题一有：薹口≥ｌ隧：氅《ｌ＋矿＝８ ｌｉｍ∥Ｉ＋矿＝ｌ。Ｈ—瑚 ｌ 淀秘：’？暨ＺＯ）＝吩，所以有对讹，＞ｏ’菊，》ｏ使得当 ％一曩ｓｘ≤而＋６，时，有：ｑ—ｅ；《ＺＯ）≤ｑ＋￡，而平Ｏ）≥ｏ，所以： 如一￡，芗≤Ｆ◇）ｓ矗＋￡；ｙ’ 【馕２】求下歹｝ｌ极限：爨冬”＋扩＋ｃ“罗◇≥魏６≥ｏ＇ｃ≥ｏ）。„„２０００第巾辩院试蘧。 Ｉ 解：由命题一有：擞０”＋扩＋矿歹＝㈣｛口，６，ｃ｝? ３鞘俸撵广 ３．＇推广到函数列上有以下结论 取口引ｎ麒｛口Ｉ，吃，鸭，„％｝，则有：∑＠一￡，ｙ≤∑ｚ。Ｏ）≤∑＠＋ｅ，ｙ 融＝蕊霸敦，￡２，￡，„￡。｝，羹《蠢： ０一￡ｙ≤（口ｆ一￡，ｙ ｇ∑Ｚ’Ｏ）曼埘（口＋￡ｙ 命题二：设ＺＯ）＇正Ｏ），„，＾Ｏ）是ｍ个函数，并麒满足条件（１） Ｚ◇）≥ｅ，《２）熙Ｚ０）＝ｇ≥ｏ，绷： 予麓：０一￡罗茎＠一鬈罗≤∑∥Ｏ）≤癣◇＋￡罗，‘ 舰以“Ｏ）＋以４０）＋„＋厶４０殄＝燃如，啦，„，‟） 证盟：设口＝懈溉，吃，„％｝，由于： 矿≤Ｚ６０）＋左”ｅ）＋„＋矗”Ｏ）≤施４，’ 因憩，有：Ｑ—ｅ）ｓｆ宝ｚｚｏ汗《ｏ＋￡）搬÷‘ ＼扣ｌ，■、ｏ 所以：口兰彤Ｆ石ＦＺ≦西ｉｊ了了丽《口掂，而熙蛎＝ｌ，故由 嚣逑夹法剐知： 此时，当点专％时ｊ就有：口一￡《ｌ∑ｚ１０）１４≤口＋￡，也即； 溉积。Ｏ）＋五’◇）＋．．一歹？Ｏ莎＝越ａｘ如，吼，„，‟｝ 艘翌研“Ｏ）＋矗４０）＋„＋五”Ｏ涉刮岫ａｘ如，嘭，„，冁） 例３、计算憋掣ｌ＋，Ｏ芝ｏ）。 „„„„２０００年添南师范大学 命题四：设ＺＯ），以Ｏ），„，厶Ｏ）是ｍ个函数。并且满怒条件（１） 解．自命题二有：照丽＝髋：：愁１． 例４、熙可ｌ＋２”ｓｉｌｌ”善。 „小„„„„内蒙古大学 ｚ◇）≥移，ｆ２）溉ｚ∞。碑猢，ｆ３）溉妒∞＝枷魁 曼娶ｐ∽ｏ）＋∥ｏ’ｏ）＋。＋∥ｏ’（ｘ）户：ｎ嫩舀，口：，„，口卅ｌ’１ ３２乖≥ｌ主支刨案斤导报Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ＴｅｃｈｎｏＩｏｇｙｏｖａｔｉｏｎ Ｈ９ｒａＩｄ 万方数据 学术论纭 一 Ｓｅｉ∞ｃ§∞ｄ下ｅｃ‟ｌｏｇｙ括弧ｏｖ毒瑕嚣甍磊；曩 ’ ２０鹋∞．∞、Ｉ 证明：‘？溉ｚＯ）。口』，所以有澍Ｖ￡，＞ｏ，３６。》ｏ使得当Ｉｎｎ 南一鑫；ｓ石≤．岛＋鑫，鲢，考：壤一￡，≤Ｚ０）≤碡＋８，蠢争冬）≥８ 所以：（口ｆ一￡。，“’《∥“’Ｏ）ｓ“＋ｅ，“’ 取口ｍｍ戡敏，口２，鸭，„％｝，则有｛。 ． 例６，求极限ｂｍ厶＋矿Ｆ„„„„„１９９９年四川联合大举 Ｊ—｝撵、▲，麟：耄参邋三，舀、纛骞： ｂ＋∥Ｔ：：————』～：！熟Ｇ＿Ｉ譬南之 Ｉｉｍ ∑＠一￡。罗“’ｓ∑∥“’Ｏ）≤∑＠＋￡，罗啪 ｌ‘ｌ ＪｏＩ ‘ｏＩ 取￡＝往曲靶Ｉ，￡２，￡，„￡。），则有＃ 参考文献 【ｌ】华衰魉大数学系编。数学分辑，（篡三鹱）。Ｍ。褰教猛毽叛，２００，ｐ３４—３６。 Ｑ一￡罗铆ｓ如一￡。罗雌≤∑ｒ社’Ｏ）兰搬０＋￡罗仁’ 手惹；◇一￡罗㈣≤瓴一￡，罗∽≤∑斧鳓冬）≤辨◇＋￡罗ｍ，Ｍ 【２】薛嘉庆．历届考研数举真题解析大垒．东北大举出版社，２００６，ｐｌ—１８． 【３】钱吉橼等生编。数学分耪题艇精糌。豢文书局，２００３，ｐ２６、３３、３７．４０；５７，１０７． 【４】董义琳等．数学分析的范例与习作．瓣南稃技出版我，１９９６，ｐ２５—７０． 因她有下式：ｏ—ｅ）≤ｆ妻Ｆ∽ｏ费丽≤妇＋ｅ》南 ＼酬，１５】薛嘉庆．赢等数学题麾横编。（理工类）。东北大学如版鼓，２００ １． １６】Ｇ。浚籁驻著．数学与猜想《会待援溪模式ｌ。耱攀窭籁茬。１７】范培华，李永．２００６举考研数学全韶．国家行政学院出版社． 【８】２００６年众国研究生入学考试数学考试大纲．教宵部制订．高教社 出版，２００５．。 北时，当ｊ一穗时，就骞：口一ｅ≤（娄Ｆ∞。习；丽≤口＋￡ 即： 毁留∞ｏ）＋歹尹’ｏ）●．．‘＋譬∞０疹ｂ；二 《上揍ｌ ３１页》 。，和落实科学发展魂和藏确的政绩麓。都是 为了解决发展什么和怎样发展得更好的问解决自身发展审存在的突嬲矛盾和闻籁。一 定要大力弘扬求真务实精神，大兴求真务实之 风，按客观规橼办事，不盲翻攀比，不搞旄架 予，不急功逅禊，笈一切王传经霉起实践豹捡 狻，历史的捻验和群众静徐验。领导予都要 分考虑誊物联系的广滋性，在发展巾注重解决 存在的突出矛盾和悯题，实现城乡、区域，经济巷会．Ａ与自然等不霾方嚣的良牲互 动。同时，妥善处理好各种誊ｌ益关系，充分调 动 一切积极因素。特别要高度重视和关心农 民，城市低收入居民和其他困难群众的利 益，楚金捺入民赣蔫熬颡富裕购蠢囊稳步兹 迸。； 题，都是掇高党的领导水平和执政水平，提蹇全党潮志特爨是备缀领导干部瓣执致 能力静雨簌要求。实践｝正明，一个映乏正 确的政绩观的干部，往往同时也缺笺科学 以自己的示范和带动作用，使科学发展观深入 人心，成为广火干部群众的自觉行动，更好地 毙全面建设小壤社会豹伟大攀韭不断攘巍翦 发展观，瓶违背科学发展现的所谓政绩，只毙建发袋陷入富区秘溪区。当翦瓣立正 确静改绩畿。遥韬需要落实好囊巾央，国 务院提出的带能减排政绩一票否决制，维 护好人民的生存，发展空间。总之，贯彻落实辩学发展现，领搏手部 逡？，不断夺取众瑟建设冬藤社会事鼗的新鞋 刹，早日实现寓强，民主，文明，和谐的社 ２．３坚持以人为本 以人为本是科学发展观的本质和核 心，俸境了我们党的执政宗旨。坚持以入 秀本，虢楚要蹙实税、维护稻发襞入民静 根本利箍作为一切■作的出发点和落脚 点，在经济发展的基础上。不断掇高人民群 众的物赁文化生活水平，为充分发挥人的衾主义现代化国家奋斗融标。 楚关键，纛锈导予舒领导拳平豹撵麓又有 赖于加强凳的执政能力建设。在党的“十七大”召开之后的相当长的时期内，领导 干部树立和落实科学发展观，既是～个重黎甏考麓镄造良舞豹繇凌，提褰久懿整裕 素质，促进入的全面发展，要保障人民的经济，政治、文化权箍，切实做副发展为了 人民；发展依靠人民、发展成果幽入民共大懿理论瀑遂，又是一磺艰巨懿实羧任务，既要有紧迫感和责任感，又要看到解决发 展不平衡问题的艰巨憔，复杂性和长期 性。还应当看到，坚持以人为本，努力满足 享，在经济茬会事务管瑾中蓦薰入、关心 入。人的全面发展怒一个长期的渐进的过 程，只有随着社会财富的不断增加和社会入涎群众黢雳要霸促进入懿垒瑟发瓣，是 一个不断发展和透步静过程，只有随着社 会财富的不断增加和社会文明的持续进文明的持续进步，才能逐步得以实现。因 筵，我嬲必矮麸办簿翔豹辜猿激越，把以太 步，这个翻标才能愈蕊充分地得剿实现。巍这个过程孛，不毙要求过急，｛委期过褰。我国入瑟多，底子薄，幅爨广，差异太，在领 导工作中，各地、各部门一定要结禽自己的 实际情况，因地制宜，因时制宜地把科学发 鼹筏豹要求贯穿手各方蕊戆工作，麸办攥刭的 事情骰起，袄追纫需要解决的事请舔鹣，蕾鸯 为本的耩神体现嚣我们的各项置作中去。 树崴正确的政绩ｊ昵。政绩观是发展现 在领导业绩上的具体体现，直接反映领导手部默政的份值取淘。辩学发鬏缆翻正确 酶致绩躐既耜互医鄹，又密韬联系。褥立ｊ斡｜壬支创掰导报ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔ９ｃｈｎｏＩｏｇｙ ｌｎｎｏｖａｔｉｏｎ ＨｅｒａＩｄ ｌ ３３ 万方数据 一道数列极限证明题的应用与推广 作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 赵建红 丽江师范高等专学校,云南丽江,674100 科技创新导报 SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD 2008，“"(9)1次 参考文献(8条)1.华东师范大学数学系 数学分析 200? 2.薛嘉庆 历届考研数学真题解析大全 2006 3.钱吉林 数学分析题解精粹 2003 4.董义琳 数学分析的范例与习作 1996 5.薛嘉庆 高等数学题库精编(理工类)2001 6.G.波利亚 数学与猜想(合情推理模式)7.范培华.李永 2006年考研数学全书 8.教育部 2006年全国研究生入学考试数学考试大纲 2005 相似文献(1条)1.期刊论文 张华珍 用定积分法巧求数列极限-安徽文学（文教研究）2006,”"(12) 本文结合历届考研试题及考研系列习题介绍求极限的一种非常实用的方法--定积分法:利用定积分定义将一类极限问题转化为定积分问题.引证文献(1条)1.余宏杰 广义幂平均值函数的极限性质及其应用[期刊论文]-科技创新导报 2009(7) 【数列极限的计算】推荐阅读： 数列极限的证明例题07-19 数列极限解法05-13 D1.2-1.3数列的极限函数的极限07-22 数列的极限05-22 高中数学数列极限06-15 数列的极限07-08 数列极限与数学归纳法07-15 数列、极限、数学归纳法专题08-11 数列的极限教学设计05-27 极限的计算05-20数列极限四则运算法则的证明 篇5
数列、极限及数学归纳法 篇6
一道数列极限证明题的应用与推广 篇7