分离参数法解题

分离参数法解题 篇1

含参数的数学问题, 历来是数学高考和竞赛的热点, 也是中学数学的难点.本文通过几例, 谈谈求解四类含参问题的常用技巧——分离参数法.

一、不等式恒成立问题

例1 若x∈ (-∞, 1]时, 不等式 (a-a2) 4x+2x+1>0恒成立, 则实数a的取值范围是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})(-\infty ,\frac{1}{4})(\text{B})(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})\\ (\text{C})(-2,\frac{1}{4})(\text{D})(-\infty ,6)\end{array}$

解:由 (a-a2) 4x+2x+1>0, 分离参数得$a{}^2-a<(\frac{1}{2}){}^x+(\frac{1}{4}){}^x.$

因为函数$f(x)=(\frac{1}{2}){}^x+(\frac{1}{4}){}^x$在 (-∞, 1]上为减函数, 所以函数f (x) 在 (-∞, 1]上的最小值为$\frac{3}{4}.$

由$a{}^2-a<\frac{3}{4}$, 解得$-\frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}$, 故选 (B) .

评注:若函数f (x) 的值域为[m, n], 则a>f (x) 恒成立⇔a>n, a<f (x) 恒成立⇔a<m.

例2 若不等式22x+a·2x+a+1>0恒成立, 求实数a的取值范围.

解:由22x+a·2x+a+1>0, 分离参数得$-a<\frac{2{}^{2x}+1}{2{}^x+1}$.而$\frac{2{}^{2x}+1}{2{}^x+1}=\frac{(2{}^x+1){}^2-2(2{}^x+1)+2}{2{}^x+1}=(2{}^x+1)+\frac{2}{2{}^x+1}-2\ge 2\sqrt{2}-2,$

所以$-a<2\sqrt{2}-2$, 故实数a的取值范围为$(2-2\sqrt{2},+\infty ).$

二、不等式有解问题

例3 若不等式 (a+1) sinx+2a-1>0有解, 求实数a的取值范围.

解:由a (sinx+2) >1-sinx, 分离参数得$a>\frac{1-\text{s}\text{i}\text{n}x}{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}$, 而$\frac{(-\text{s}\text{i}\text{n}x-2)+3}{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}=-1+\frac{3}{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}$的取值范围为[0, 2], 故a∈ (0, +∞) .

评注:若函数f (x) 的值域为[m, n], 则a>f (x) 有解⇔a>m, a<f (x) 有解⇔a<n.

三、方程有解问题

例4 若关于x的方程x2+ (m-1) x+4=0在[0, 1]上有实数解, 则实数m的取值范围为____.

解:x=0不是原方程的解.

当x∈ (0, 1]时, 分离参数得$1-m=x+\frac{4}{x}$, 而$x+\frac{4}{x}\in [5,+\infty ),$

所以-m∈[4, +∞) ,

故m∈ (-∞, -4) .

评注:若函数f (x) 的值域为[m, n],

则a=f (x) 有解⇔a∈[m, n].

例5 关于t的方程acost-2sint-4a+2=0在[0, π]上有解, 求a的取值范围.

解:由acost-2sint-4a+2=0, 分离参数得$a=\frac{2\text{s}\text{i}\text{n}t-2}{\text{c}\text{o}\text{s}t-4}.a=2\times \frac{\text{s}\text{i}\text{n}t-1}{\text{c}\text{o}\text{s}t-4},a$的几何意义是半圆x2+y2=1 (y≥0) 上的动点与定点 (4, 1) 连线的斜率k的2倍.

如图1, B (0, 1) , D (1, 0) , A (4, 1) , 由平面几何知识可知kAB≤k≤kAD, 即$0\le k\le \frac{1}{3}.$

故a的取值范围为$[0,\frac{2}{3}].$

四、方程解的个数问题

例6 已知方程$\sin x+\sqrt{3}\cos x+a=0$在区间 (0, π) 上有2个不同的实根, 求实数a的取值范围.

解:由$\sin x+\sqrt{3}\cos x+a=0$, 分离参数得$-a=2\sin (x+\frac{\text{π}}{3})$.令$x+\frac{\text{π}}{3}=u$, 则

$u\in (\frac{\text{π}}{3},\frac{4\text{π}}{3}).$

在同一坐标系内作$y=2\sin u(u\in (\frac{\text{π}}{3},\frac{4\text{π}}{3}))$与y=-a的图像 (如图2) .由图可知:当$-a\in (\sqrt{3},2)$时, 两图像有两个交点.故a的取值范围为$(-2‚-\sqrt{3})$

例7 当a为何值时, 关于x的方程lgx+lg (3-x) =lg (a-x) 无解?有一解?有两解?

解:原方程原方程y=-x2+4x (0<x<3) 的图像与y=a的图像的交点个数.在同一直角坐标系内作函数y=-x2+4x (0<x<3) 与y=a的图像. (如图3)

由图可知:

(1) 当a≤0或a>4时, 原方程无解;

(2) 当a=4时, 原方程有一个解x=2;

(3) 当0<a≤3时, 原方程有一解

(4) 当3<a<4时, 原方程有两解

巧用分离参数法求参数的取值范围 篇2

恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．

例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．

思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．

解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．

20当0

a≥2x2－12xa≤2x2+12x在（0,12］恒成立．

令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题a≥f(x)maxa≤g(x)min

∵0

且f′(x)=4x+12x2>12，

g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．

∴f′(x)>0,g′(x)<0，

∴f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．

∴f(x)max=f(12)=－12，

g(x)min=g(12)=32.

所以a的取值范围是［－12,32］．

点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．

二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用

在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．

例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．

思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．

解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：

∵f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，

∴f(x)的值域为［1,53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1,53］．

点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．

三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用

函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．

例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)ex在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．

思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．

解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．

∵f′(x)=(2x－a)ex+(x2－ax+5)ex=ex(x2－ax+2x－a+5)=ex［x2+(2－a)x+5－a］

∴ex［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．

原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．

方法一：（转化为恒成立问题）

x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．

a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．

注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．

令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．

g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，

即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．

方法二：（转化为二次方程实根分布问题）

10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．

20当 >0即a>4或a<－4时，a－22<0f(0)≥0a<－4

综上得a的取值范围是a≤4．

求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．