超越函数三篇

2024-08-11

超越函数篇1

随着经济社会的发展, 资源能源短缺现象日益凸显, 循环利用废弃资源日益受到重视。近年来, 世界主要发达国家投入巨额资金, 制定优惠政策, 提供技术支持, 促进了资源再生产业快速的发展。在我国, 2008年通过的《中华人民共和国经济促进法》, 对围绕生产、流通和消费等过程中减少资源消耗废物产生、废物的再利用等促进资源有效利用等方面做了具体规定, 同时也对循环经济发展的企业规定了多项扶持措施。随后天津、许多省份纷纷开展再生资源回收体系建设试点和再生资源加工园区的开发建设, 逐渐形成多个区域性大型再生资源回收利用基地。“十一五”期间, 我国废旧物资年平均回收量达8000万吨左右, 回收总值为6500亿元。近年来中国再生资源回收行业规模明显扩大, 截至2013年年底, 全社会再生资源回收企业达10多万家, 回收总值接近6000亿元, 废钢铁、废有色金属、废弃电器电子产品回收率达到70%以上。2013年的再生资源回收量相当于节约1.7亿吨标准煤, 减少二氧化碳排放超过4亿吨, 再生资源产业形成了加速发展的形势。

随着再生资源产业的发展, 国内外学者对该产业的研究也不断深入。Listes等[1]和Hyun Jeung等[2]围绕回收模型研究构建了多阶段随机规划模型与非线性规划模型。Di Vita[3]和Is Iam M Ro Is Iama[4]从技术角度出发研究了再生资源和自然资源的技术替代率与其技术开发、实施过程。王爱兰 (2006) [5]和蔡吉跃, 蔡振 (2010) [6]等通过对比国内外再生资源行业的发展, 结合国外发展的经验, 对我国该行业相关问题提出了相应的建议措施。王蓉 (2009) [7]等和张菲菲等 (2010) [8]从产业布局的角度研究了区域再生资源产业发展现状;徐建平 (2011) [9]和韩清洁 (2010) [10]等从再生资源的回收市场、相关法律政策方面的角度进行分析, 提出相关的建议。通过对再生资源产业相关文献的梳理发现, 国外学者对再生资源产业的研究偏重于技术层面, 国内学者则偏向于对再生资源产业发展现状、国家政策和市场组织方面, 涉及我国再生资源产业发展效率水平的定量研究较少。而对产业发展的效率水平及对影响效率水平的因素的研究不仅可以分析不同省份再生资源产业发展的差异所在, 也可以为提高再生资源产业发展效率低下的地区提供参考依据。因此对再生资源产业发展效率影响因素的分析具有重要的作用。

基于以上的分析, 本文以2005~2012年全国19个省市再生资源产业发展效率的省级面板数据为基础, 利用随机前沿超越对数生产函数测算我国再生资源产业发展的技术效率水平, 并分析了城镇化率、经济发展水平、教育水平、工业发展水平等因素对再生资源产业发展效率水平的影响。

1 研究设计

1.1 模型构建

目前, 对于研究效率和生产投入产出效率问题最常用的方法是生产前沿方法, 这个方法包括非参数前沿方法和参数前沿方法。其中非参数前沿方法中以Chames等[11]人在1978年提出的数据包络分析方法 (DEA) 为代表, 这种方法在效率的测算中最常见, 其缺点是没有考虑随机误差对个体效率测算的影响。而参数前沿方法则以随机前沿方法 (SFA) 为代表。相对于DEA方法, SFA方法具有以下几点优势: (1) 该方法具有统计的特性, 可以同时对模型中的参数和模型本身进行检验。 (2) 该方法可以建立随机前沿模型, 将前沿模型中随机误差项进行分解, 对于面板数据研究而言, 其结果更加接近真实。 (3) 该方法既可以测算每一个个体的技术效率值, 也可以定量分析各种相关的因素对个体效率的影响。由于本文使用了19个省市2005~2012年的面板数据, 由于不同时期不同类型的地区再生资源产业的技术效率会有显著的差距, 即随机误差项具有很大的影响, 因此, SFA方法更适合我们的研究。

1968年, Algner and Chu首次提出了确定性前沿生产函数, 由于该模型没有考虑到随机因素对生产率和效率的影响。随后Aigner、Lover、Schmidt以及Meeusen等又提出了随机前沿生产函数模型, 该随机前沿的一般形式为:

其中, yit代表第i个地区再生资源产业在第t年的产出值, xit代表第i个地区第t年的投入向量, f (xit, t) 为待估函数, t为测量技术变化的时间变量。vit为随机误差项, 且vit~N (0, δv2) ;而uit为生产无效率项, uit~N+ (μit, δu2) , 可以衡量相对前沿的技术效率水平, 且有

式 (2) 和式 (3) 定量描述了时间因素对于u的影响, η代表技术效率 (-uit) 的变化率, 该参数若为正表示被描述个体相对前沿的技术效率在不断改善, 若为负责表示相对前沿的技术效率在不断恶化。当γ接近1时, 表明前沿生产函数的误差主要来自于随机变量;当γ接近0时, 说明实际产出和最大可能产出的差距主要来自可控制因素, 此时不需随机前沿模型。也就是说γ越显著接近于1, 就越适合采用随机前沿分析 (SFA) 方法。

而技术效率TE的定义是实际产出的期望与生产前沿产出的期望之比, 即可以表示为:

式 (6) 中, 若u=0, TE=1, 表示被评价单元在生产前沿面上是技术有效的;若u>0, TE<1, 表示被评价单元处于生产前沿的下方, 存在技术非效率。在运用SFA技术来分析面板数据时, 最关键的就是对γ=0这一原假设使用最大似然估计法进行检验。

随机前沿生产函数模型有多种生产函数, 理论界采取较多的有C-D生产函数, CES生产函数以及超越对数生产函数等。鉴于超越对数生产函数的形式较为灵活, 是任意生产函数的二阶泰勒近似表达, 不仅考虑了技术进步, 还考虑了投入要素之间的替代效应。对是否存在偏技术性、产出弹性是否固定等没有限制, 具有较好的包容性。所以现在很多文献更多的采用了超越对数生产函数形式。故本文采用超对数生产函数模型对样本期我国各省市再生资源产业发展的技术效率测定。加入时间和交叉对数项, 本文具体的研究模型为:

上式中Yit、Lit、Kit分别代表再生资源产业的工业总产值、年平均从业人员和资本投入。

1.2 变量说明

我国再生资源产业主要包括再生资源的回收和加工利用两部分 (张越, 2008) [12], 再生资源的回收包括废弃物的收集、运输及集散和拆解、分类、打包等初加工的活动。再生资源的加工利用活动主要包括对各种再生资源进行深加工, 制造出具有全新使用价值的物品。围绕再生资源产业的核心活动, 再生资源产业还包括一些与再生资源产业相关的辅助活动, 比如:再生资源加工利用机械制造企业, 再生资源运输企业等。考虑到该产业的相关活动形式和特征和影响再生资源生产发展效率的因素, 本文着重考察城市化、经济发展水平、教育水平、工业发展水平及地域分布等因素对效率的影响。

(1) 城镇化率 (Z1) 一定程度上反映了地区经济发展进步的特点, 对再生资源的收集运输和回收加工业的发展具有一定的影响, 城镇化率越高, 交通运输越方便。本文采用非农业人口与总人口之比来衡量, 数据来自于2005~2012年的《中国统计年鉴》。

(2) 经济发展水平 (Z2) 直接影响到该地区再生资源产业整体发展, 基础设施的建设及固定资产的投入都需要大量的资金。相对来说经济较为发达的地区对再生资源产业的投入更大, 地区经济水平作为产业发展的支撑, 影响着再生资源相关产业的发展, 本文采取各地区的人均GDP来衡量经济发展水平, 数据来自于2005~2012年的《中国统计年鉴》。

(3) 教育发展水平 (Z3) , 教育水平反映了该地区从业人员的综合素质和管理水平, 影响到该地区技术的后备水平, 本文以每百人中正在接受高等教育的人数来衡量教育发展水平。

(4) 工业发展水平 (Z4) 。由于工业发展水平特别是制造业发展水平的高低在一定程度上影响再生资源产业的发展和相关行业资源的互动, 特别是对加工业技术水平、产业集聚、工业规模的发展的影响较大, 而再生资源加工利用机械制造企业对再生资源的技术效率具有直接的影响。故本文将工业发展水平纳入影响因素, 采取地区工业总产值与地区总产值之比来衡量。

(5) 地理位置的差异 (Z5) 。地理位置不同, 国家实施的经济发展策略不一样, 再生资源产业受地区差异会表现出不同的特点。故引入虚拟变量, 取值分别为1或0, 若为东部城市, 赋值为1, 若为中西部省份, 则赋值为0。

本文借鉴Battese&Colli[14]对模型的设定, 随机前沿技术非有效的函数如下:

(7) 式中, Z1t为城镇化水平指标;Z2t为经济发展水平;Z3t为教育水平指标;Z4t为工业发展水平, Z5t为地区差异指标。

为进一步检验教育水平和工业发展水平对再生资源产业技术效率的影响, 借鉴张各兴, 夏大慰 (2011) [15]在上式中加入这两个变量的平方项, 得到:

最后将公式 (6) 和公式 (7) 结合起来组成模型1, 将公式 (8) 和 (9) 结合组成模型2。

1.3 数据来源

对于再生资源产业定义的界定, 目前国内外学者对此没有统一意见, 本文借鉴李健, 唐燕等 (2012) [16]对再生资源产业的定义:国民经济活动中, 为满足经济、社会、环境综合需求, 以再生资源为原料, 从事再生资源产业的流通、拆解加工、再制造以及相关的商贸物流、科技研发、信息服务等企业的集合。而在我国的统计行业分类中没有再生资源产业, 在2002年我国修订的《国民经济行业分类》 (GB/T4754) 国家标准中, 加入“废弃资源和废旧材料回收加工业” (近两年更名为:废弃资源综合利用业) , 与再生资源产业相对应。由此选择该行业的数据代替再生资源产业的数据, 剔除数据不全和数据不连续的省市和年份, 最终本文选取2005~2012年19个省市的数据, 对于其中个别数据缺失的采取插值法将其补齐。

对于投入产出指标的选择, 本文采用各地区废弃资源和废旧材料回收加工业的工业总产值作为再生资源产业产出指标的衡量, 为消除价格因素的影响, 使用各省市的工业品出厂价格指数对各年当年价格表示的工业总产值进行平减 (以2005年为基期) , 单位为亿元人民币;劳动投入以年度各地区废弃资源和废旧材料回收加工业从业人数代表, 单位为人;资本投入以废弃资源和废旧材料回收加工业固定资产作为其的估计值。由于没有相关资本存量的数据, 所以本文利用学术界较为流行的永续盘存法进行计算所得, 单位为亿元人民币。数据来源为《中国统计年鉴》, 《中国劳动统计年鉴》及各省市的地方统计年鉴。

2 实证结果分析

本文运用Frontier4.1软件, 根据前文中的模型, 采用2005~2012年全国19个省市的面板数据进行估计, 结果见表2和表3。

注:括号内为t统计值, ***, **, *分别代表1%, 5%, 10%的显著水平, 采取双尾检验。

在模型1和模型2中。对数似然估计值和LR都表明模型非常显著。在模型1中对数似然估计值和LR检验值分别为-146.8827和76.7318, 而在模型2中分别为-143.5399和83.4174。模型1中生产无效率方程的系数的估计值中, 常数项、人均GDP (Z2) , 工业总产值与地区总产值之比 (Z4) 不是很显著, 而城镇化率 (Z1) 、每百人中正在受高等教育的人口 (Z3) 和区域差异 (Z5) 都在不同程度上显著。而在模型2中仅有工业总产值与地区总产值之比 (Z4) 的估计值不显著, 其余估计值均在不同程度上显著。总体来看, 模型2比模型1更优。结果显示:城市化率越高, 生产无效率越高;经济发展越发达, 生产无效率越低;工业发展水平越高, 生产无效率程度越低;处于东部越发达的城市, 生产无效率较低。而模型2中教育发展水平与生产无效率呈现开口向上的抛物线关系, 本文将在下一部分进行更深入的分析。

2.1 模型估计结果

(1) γ=0.8789。且LR统计检验在1%的水平下显著, 说明随机误差项具有明显的复合结构, 因此对于样本数据采取SFA技术分析是完全必要的。

(2) 从模型中从业人员和资本投入的产出弹性来看, 两者的弹性系数依次为3.7089和-1.7462, 意味着再生资源产业的从业人员增加1%可以使工业总产值增加3.7089个百分点;而资本投入增加1%, 工业总产出下降-1.7462个百分点。说明从业人员的投入对我国再生资源产业发展的技术效率起促进作用, 固定资产的投入对我国再生资源产业技术效率的提高起抑制作用。

(3) 总体来说, 城镇化、经济发展水平、教育水平、工业发展水平及地理位置差异五大因素对再生资源产业效率的影响都较为显著。

城镇化 (Z1) 的系数是为18.5599, 且通过1%的显著检验, 说明城镇化率对我国再生资源产业发展的技术无效率存在正相关性, 城镇化对我国再生资源产业技术效率的改善具有显著的负向影响。本文选择衡量城镇化水平的指标是非农业人口与总人口之比, 从收集到的数据中, 北京和上海的非农业人口与总人口之比是最高的, 但是技术效率值并不是很高。

人均GDP (Z2) 的系数为-0.4319, 且通过了5%的显著性检验, 表明一个地区的经济发展水平对再生资源产业发展的生产无效率存在负的相关性, 与技术效率值存在正向关系。说明经济越发达的地区, 再生资源产业发展的生产无效率越小, 技术效率值越高。

教育水平 (Z3) 以每100人中正在接受高等教育的人数为指标, Z3的系数为负数但是二次项Z32的系数为正数, 且均通过1%的显著性检验, 这表明当地人口受教育的水平对再生资源产业的生产无效率呈“U”关系, 与技术效率呈现开口向下的抛物线关系。说明初期教育水平较高的时候, 生产无效率较高, 技术效率较低, 到后期则是教育水平较高, 生产无效率较低, 技术效率较高。目前各省市处于教育水平越高的, 生产无效率值就越低, 技术效率值就高。这反映了目前当地人口受教育水平对当地再生资源产业发展具有显著的促进作用。

工业发展水平 (Z4) 和其二次项 (Z42) 的系数分别为-5.3956、-5.6706, 其二次项的系数通过10%的显著性检验。说明工业发展水平对当地再生资源产业的生产无效率具有负向关系, 对再生资源产业的技术效率具有正向关系。工业发展水平越高, 再生资源产业的技术效率值越高, 但是一次项系数并不显著, 表明工业发展水平对再生资源产业的影响并不明显。由于选择的是工业总产值与当地总产值之比来衡量工业发展水平, 带动发达城市经济发展的并不主要是工业。从这一指标的数据特征来看, 中西部城市的这一指标值比东部城市的要高。说明工业发展水平越高, 并不一定能促进再生资源产业的技术效率。

地理区域因素Z5的系数为负数, 且通过1%的显著性检验, 说明地理因素对再生资源产业发展的技术效率具有显著影响, 即我国再生资源产业的技术效率值具有明显的区域特征。处于东部的城市, 再生资源产业的生产无效率更低, 技术效率值较高;处于中西部区域的城市, 生产无效率更高, 技术效率值较低。

2.2 效率的估计结果

从模型2效率的测算结果表3可知, 我国资源产业发展的技术效率整体上来说处于中等水平, 全国的平均水平处于0.6~0.75之间, 且随着时间变化呈开口向下的抛物线形态, 即:从2005年的0.564逐步上升到2011年的0.71437, 到2012年又下降到0.6816。 (1) 从三大区域间的横向对比来看8年再生资源产业发展技术效率的平均水平, 东部地区的技术效率水平最高, 其平均水平为0.7848;中部和西部地区的技术效率水平较低, 平均水平分别为0.5858和0.5569。中部和西部地区的再生资源产业技术效率水平差异不大, 而中西部与东部地区的技术效率水平整体差异较明显, 东部地区历年的平均值都在0.7~0.8之间, 而中西部历年的技术效率平均值都在0.3~0.7之间。 (2) 三大区域技术效率水平随时间的变化趋势有所不同。总体来说, 东部地区的技术效率值随时间呈波浪变化;即在2005~2008年逐年上升, 之后又下降后又上升。中部地区的技术效率值随时间变化呈开口向下的抛物线形态, 与全国平均值变化趋势相同;而西部地区的技术效率水平呈波浪形变化, 先上升之后下降, 再上升下降, 比较不稳定。 (3) 从具体的省市来看, 各省市之间的效率水平相差较大。浙江的平均技术效率水平最高 (8年的平均值为0.8901) , 平均技术效率水平最低的是内蒙古, 8年的平均水平仅为0.2903。整体来说。再生资源产业发展的技术效率平均水平较高 (8年平均水平大于0.80) 的地区依次为:浙江、江苏、、天津、山东、河北及福建6个省市, 占总样本的31.58%;平均水平较低 (8年的平均水平低于0.6) 的地区为:安徽、湖北、四川、黑龙江及内蒙古5个省市, 占总样本的26.3%。

3 结论与建议

本文采用2005~2012年全国19个省市的面板数据, 以随机前沿生产函数 (SFA) 方法对我国各省市再生资源产业发展的技术效率进行度量, 并重点分析城镇化、经济发展水平、教育水平、工业发展水平及区域分布等因素对再生资源产业技术效率的影响。研究表明:

(1) 我国再生资源产业发展的技术效率水平处于中等水平, 2005~2012年全国的平均水平为0.6740;效率的变动趋势随时间变化呈开口向下的抛物线形态。

(2) 中西部地区的再生资源产业技术平均效率与东部地区的差距较为明显, 中西部的再生资源产业技术效率较为接近, 但各省市之间的再生资源产业发展水平也存在较大的差异。

(3) 城镇化对再生资源产业的技术效率存在着较显著的负向影响, 经济发展水平对再生资源产业发展的生产无效率存在负的相关性;当地人口受教育的水平对再生资源产业生产无效率呈“U”关系, 与技术效率呈现开口向下的抛物线关系;而工业发展水平对当地再生资源产业的生产无效率具有负向关系, 对再生资源产业的技术效率具有正向关系, 但是工业发展水平一次项与再生资源产业的生产无效率关系不显著。

超越函数篇2

【2016年全国卷理7】函数y=2x2-e|x|在[–2，2]的图像大致为（）

【评析】本题的得分率较低，很容易选错.首先，不少同学考虑用特殊值法，将x=0代入，发现没有作用，继而把x=2代入，得y=8-e2，部分同学记得e≈2.7，求得y>0，排除了A.而剩下的B，C，D就没有什么办法去筛选了.包括常用的函数性质奇偶性和单调性也不起作用.很多同学这时候已经束手无策了！这时我们可以研究一下函数的导数，当x>0时，y′=4x-ex，由y=4x和y=ex的图像可知有两个交点，即当x>0时，y有两个极值点，第一个介于0.5～1之间，因此选B.

实际上，超越函数的图像客观题看起来没有规律，然而通过探索发现，基本可以通过以下三步去解决：

第一. 用函数的奇偶性和单调性（导数）进行筛选.

第二. 代入特殊值进行筛选.常代x=0和x=1.

第三. 用“极限”的思想去筛选.

注意：1.以上三步并无固定的顺序，可根据题目的特点灵活选择先用哪一步，后用哪一步.

2. 第一和第二步是同学都较熟悉的方法，接下来重点帮助大家掌握第三步，即如何运用“极限思想”去筛选，熟悉掌握后往往收到十分奇妙的效果.请看以下例题：

示例1. 函数f（x）=2x-tanx在（-，）上的图像大致为（）

【评析】法一：奇偶性方面考虑，易知函数为奇函数，从而排除B，C. 单调性方面：f′（x） =2-=2-==，当x∈（0，），令f′（x） >0，得x∈（0，），因此单调递增区间为x∈（0，），单调递减区间为x∈（，），从而排除选项A，得到答案为D.

法二：然而当我们用极限的思想去研究时，则解决问题更为快捷：当x 无限趋近于时，tanx 趋近于正无穷大，2x趋近于π，这时f（x）=2x-tanx 趋近于负无穷大，从而排除A，B. 同理，当x 无限趋近于-时，2x 趋近于-π，tanx 趋近于负无穷大，这时f（x） =2x-tanx 趋近于正无穷大，从而排除选项C，答案为D.

比较以上两种解法，用极限的方法的优点是用时短、运算量少、正确率高.

示例2. 函数y=的图像大致为（）

【评析】用极限方法，先考虑当x无限趋近于正无穷大时，3x 趋近于正无穷大，-1≤sin（+4x）≤1，9x也趋近于正无穷大且比3x 增长得快，因此趋近于零，从而排除选项C. 然后考虑当x从右边无限趋近于零时，3x趋近于1，sin（+4x）趋近于—1，9x趋近于1，因此3xsin（+4x）趋近于—1，9x-1趋近于零，因此趋近于负无穷大，从而排除选项A，D. 答案为B.

本题也可以通过考虑奇偶性和单调性等性质解题，但过程较为复杂，运算量较大，用时较长，不如用极限方法快捷简单.请同学们动手体会一下.

示例3. 函数f（x）=2x+sinx的部分图像可能是（）

【评析】用极限方法，先考虑当x无限趋近于正无穷大时，2x趋近于正无穷大，-1≤sinx≤1，因此2x+sinx趋近于正无穷大，从而排除选项B，C. 然后考虑当x从右边无限趋近于零时，2x趋近于零且大于零，sinx也趋近于零且大于零，因此f（x）=2x+sinx趋近于零且大于零，从而排除选项D，答案为A. 以上方法运算量接近于零，用时少，优势十分突出.

示例4. 函数y=的图像大致为（）

【评析】用极限方法，先把函数进行变形：y==，然后考虑当x无限趋近于正无穷大时，e2x趋近于正无穷大，y=趋近于1，因此排除选项B，D. 再考虑当x无限趋近于零，e2x趋近于1，e2x+1趋近于2，e2x-1趋近于零，因此y=趋近于无穷大. 排除选项C，答案为A.

【总结】1. 极限方法比传统方法有明显优势，同学们应熟练掌握操作步骤，优先考虑，可以起到节省时间和提高正确率的作用.

2. 极限方法和传统方法并不冲突，而是相辅相成的关系，在解题中可以灵活选用，达到取长补短的目的.