对称性与周期性四篇

对称性与周期性 篇1

一、函数对称性

1. 轴对称函数

(1) 若函数在定义域D上, 对于任意的x都有f (x) =f (-x) , 则称这个函数是偶函数, 其图象关于y轴 (x=0) 对称.

(2) 若函数在定义域D上, 对于任意的x都有f (a+x) =f (a-x) , 则这个函数关于直线x=a对称.

证明:设F (x) =f (a+x) , 则F (-x) =f (a-x) , 又因为f (a+x) =f (a-x) , 所以F (-x) =F (x) , 由 (1) 知, y=F (x) 关于y轴对称.而F (x) =f (x+a) , 所以, y=F (x) 可由y=f (x) 向左平移a (若a<0可看成向左平移了-a) 个单位, 反之y=f (x) 可看作y=F (x) 向右平移a (若a<0可看成向右平移了-a) 个单位.可得到函数f (x) 关于x=a对称.

(3) 若函数在定义域D上, 对于任意的x都有f (a+x) =f (b-x) , 则这个函数关于直线x=对称.

证明:令t=x+

由 (2) 可知, y=f (x) 关于x=对称.

2. 中心对称 (俗称点对称) 函数

(1) 若函数在定义域D上, 对于任意的x都有f (x) =-f (-x) , 则称这个函数是奇函数, 其图象关于原点 (0, 0) 对称.

(2) 若函数在定义域D上, 对于任意的x都有f (a+x) =-f (a-x) , 则这个函数关于点 (a, 0) 对称.

证明:设F (x) =f (a+x) , 则F (-x) =f (a-x) , 又因为f (a+x) =-f (a-x) , 所以F (-x) =-F (x) , 由 (1) 知, y=F (x) 关于 (0, 0) 对称.而F (x) =f (x+a) , 所以, y=F (x) 可由y=f (x) 向左平移a (若a<0可看成向左平移了-a) 个单位, 反之y=f (x) 可看作y=F (x) 向右平移a (若a<0可看成向右平移了-a) 个单位.可得到函数f (x) 关于 (a, 0) 对称.

(3) 若函数在定义域D上, 对于任意的x都有f (a+x) =-f (b-x) , 则这个函数关于直线对称.

证明:令t=x+

由 (2) 可知, y=f (x) 关于2对称.

(4) 若函数在定义域D上, 对于任意的x都有f (a+x) +f (b-x) =2c, 则这个函数关于直线对称.

证明:令t=

a-b2,

因而就有

也即是

再令

则有F (x) +f (-x) =0, 也即是F (x) =-F (-x) .

所以y=F (x) 关于 (0, 0) 点对称.

所以y=f (x) 关于点对称.

二、函数周期性

定义1:如果函数y=f (x) , 对于定义域上任意的x, 都有f (x+t) =f (x) , (T>0) , 则称T是函数f (x) 的一个周期.

定义2:如果函数y=f (x) , 对于定义域上任意的x, 都有f (x+t) =-f (x) , (t>0) , 则称t是函数f (x) 的一个半周期, 2t是函数f (x) 的一个周期.

证明:f (x+2t) =f ( (x+t) +t) =-f (x+t) =- (-f (x) ) =f (x) .

(1) 如果函数y=f (x) , 对于定义域上任意的x, 都有f (a+x) =f (b+x) , (或f (a-x) =f (b-x) ) , 则|a-b|是函数y=f (x) 的一个周期.

证明:令t=a+x, 则f (t) =f (a+x) =f (b+x) =f (b-a+t) , 因而结论成立.

(2) 如果函数y=f (x) , 对于定义域上任意的x, 都有f (a+x) =-f (b+x) , (或f (a-x) =-f (b-x) ) , 则|a-b|是函数y=f (x) 的半个周期, 2 |a-b|是函数y=f (x) 的一个周期.

证明:令t=a+x, 则f (t) =f (a+x) =-f (b+x) =-f (b-a+t) , 由定义2可知, |a-b|是y=f (x) 的半周期, 2 |a-b|是函数的周期.

三、由对称性产生的周期性

1. 若函数y=f (x) 关于x=a, x=b都对称, 则函数有周期2|a-b|.

证明:因为y=f (x) 关于x=a对称, 由一.1. (3) 可知, 有f (2a+x) =f (-x) .

同理有f (2b+x) =f (-x) , 就可以有f (2a+x) =f (2b+x) , 则二. (1) 可以得到y=f (x) 有周期2|a-b|.

2. 若函数y=f (x) 关于 (a, 0) , (b, 0) 都对称, 则函数有周期2|a-b|.

证明:因为y=f (x) 关于 (a, 0) 对称, 由一.2. (3) 可知, 有f (2a+x) =-f (-x) , 同理有f (2b+x) =-f (-x) , 就可以有f (2a+x) =f (2b+x) , 因而可得y=f (x) 有周期2|a-b|.

3. 若函数y=f (x) 关于x=a和点 (b, 0) 点对称, 则函数有周期4|a-b|.

证明:因为函数y=f (x) 关于x=a对称, 所以有f (2a+x) =f (-x) , 又函数关于 (b, 0) 点对称, 可有f (2b+x) =-f (-x) , 因而有f (2a+x) =-f (2b+x) , 由二. (2) 可有周期为2 |2a-2b|=4|a-b|

小结:形如f (a±x) =±f (b±x) 性质的判断流程:

首先判断左右两个x系数的符号, 若相反是对称性, 若相同是周期性.

(1) 若是对称性, 再判断y的符号, 若相同是轴对称, 形如f (a+x) =f (b-x) ;若相反是点对称, 形如f (a+x) =-f (b-x) .

(2) 若是周期性, 再判断y的符号, 若相同是周期性, 形如f (a+x) =f (b+x) ;若相反是半周期性, 形如f (a+x) =-f (b-x) .

参考文献

[1]杨仑元, 由f (a+x) =±f (b±x) 判定函数的对称性与周期性;河西学院学报;2001年03期.

对称性与周期性 篇2

定义:任意x∈I, I是定义域, 都有f (x) =f (x+T) , T是非零常数。则f (x) 是周期函数, 其周期是T。

推广: (1) ∀x∈I, 都有则f (x) 是以T为周期的周期函数。

(2) ∀x∈I, 都有f (x+A) =f (x+B) , A, B是常数, 则f (x) 是以|B-A|为周期的周期函数。

下面给出证明:

∴f (X) = (X+B-A) ∴f (x) 是以|B-A|为周期的周期函数。另可发现规律:括号内两项之差为定值T, 周期T=定值。

(3) 若存在非零常数T, 使f (x+T) -f (x) =0, 则f (x) 是周期的周期函数。联想:f (x+T) +f (x) =0是不是周期函数呢?事实上, 若f (x+T) =-f (x) 成立, 则f (x+T) =-f (x) =-[-f (x-T) ]=f (x-T) , ∴f (x) 是以2T为周期的周期函数。

(4) 若, 则f (x) 是以2T为周期的周期函数。

证明:, ∴f (x) 是以为2T周期的周期函数。

(5) 若, ∴f (x) 是以2T为周期的周期函数。, ∴f (x) 是以2T为周期的周期函数。

证明:, ∴f (x) 是以2T为周期的周期函数。

二、对称性

(1) 偶函数f (x) 关于y轴x=0对称, f (-x) =f (x)

(2) 结论1:f (x) 的图像关于x=a对称⇔f (a+x) =f (a-x)

证明:对∀x0不妨令x0>0, 在 (a, 0) 右x0处, 取x=a+x0对应纵坐标y1=f (a+x0) 。在 (a, 0) 左x0处, x=a-x0对应纵坐标y2=f (a-x0) , ∵f (a+x0) =f (a-x0) , y1=y2, ∴f (x) 关于x=a对称。⇒x=a右侧任取一点 (a+x, f (a+x) ) , 此点关于x=a的对称点 (a-x, f (a-x) ) , 则f (a+x) =f (a-x) 。

结论2:f (x) 的图像关于x=a对称⇔f (x) =f (2a-x) , 由结论1知, f (x) 的图像关于x=a对称, 则f (a+x) =f (ax) 成立。令a+x=X, ∴x=X-a, ∴-x=a-X∴a-x=2a-X∴f (X) =f (2a-X) ∴f (x) =f (2a-x) 反之也成立。

注:可发现规律, 括号内两项之和为定值。对称轴

三、奇偶性

奇函数f (x) 关于原点 (0, 0) 对称, 则f (-x) =-f (x)

推广Ⅰ:f (x) 关于 (a, 0) 对称, 则f (a+x) =-f (a-x)

推广Ⅱ:f (x) 关于 (a, 0) 对称, 则f (x) =-f (2a-x)

证明:令a+x=X, ∴x=X-a, 由f (a+x) =-f (a-x) , ∴ax=2a-X, ∴f (X) =-f (2a-X) , 即f (x) =-f (2a-x) 。

推广Ⅲ:关于 (0, b) 对称, 则, ∴f (x) =2b-f (-) , 或f (-x) =2b-f (x) 。

推广Ⅳ:f (x) 关于 (a, b) 对称, 则。∴f (a+x) +f (a-x) =2b

另:f (x-a) =f (a-x) 对x∈R恒成立, 那么y=f (x) 图像关于直线y轴x=0成轴对称。

证明:令x-a=t, 则a-x=-t∴f (t) =f (-t) ∴f (x) 是偶函数, 则y=f (x) 图像关于直线y轴x=0成轴对称。

四、探究

抽象函数在对称性和周期性上的体现

(1) 定义在R上的函数f (x) 若有两条对称轴x=a, x=b, 则f (x) 是周期函数, 且2|a-b|是函数f (x) 的一个周期。

证明:f (x) 关于x=a对称, 则有f (-x) =f (2a+x) .f (x) 关于x=b对称, 则有f (-x) =f (2b+x) ∴f (2a+x) =f (2b+x) , ∴f (x) 是周期为2|a-b|的周期函数。

(2) 定义在R上的函数f (x) 若有两个对称中心 (a, 0) , (b, 0) 则f (x) 是周期函数, 且2|a-b|是函数f (x) 的一个周期。

证明:f (x) 关于 (a, 0) 对称, 则f (-x) =-f (2a+x) , f (x) 关于 (b, 0) 对称, 则f (-x) =-f (2b+x) , ∴f (2a+x) =f (2b+x) , ∴f (x) 是周期函数。且2|a-b|是函数f (x) 的一个周期。

(3) 定义在R上的函数f (x) 若有一个对称中心 (a, 0) 和一条对称轴x=b, 则f (x) 是周期函数, 且4|a-b|是函数f (x) 的一个周期。

抽象函数的对称性与周期性 篇3

关键词：函数；对称性；周期性

一、抽象函数图像本身的对称性

1.若函数y=f（x）定义域为R，?摇?摇?坌x∈R都有f（a+?棕x）=f（b-?棕x）?摇（?棕≠0）?摇?摇?摇成立，则函数y=f（x）的图像关于直线?摇x=?摇■?摇对称.特别地，当?摇?棕=1时，f（a+x）=f（b-x），?摇y=f（x）的图像关于直线x=?摇■对称.

2.若函数y=f（x）的图像关于直线x=m对称，则y=f（?棕x+k）（?棕＞0?摇?摇）的图像关于直线x=?摇■对称.

3.若函数?摇y=f（?棕x+k）（?棕＞0）的图像关于直线x=m对称，函数y=f（x）的图像关于直线x=?摇?棕m+k对称.

4.若函数y=f（x）定义域为R，?坌x∈R都有f（a+?棕x）+f（b-?棕x）＝c成立，则函数y=f（x）的图像关于（■，■）对称.特别地，当?摇?棕=1且c=0时，函数?摇y=f（x）的图像关于（■，0）对称.

5.若函数?摇y=f（x）的图像关于点（m，n）对称，则y=f（?棕x+k）（?棕＞0）的图像关于点（■，n）对称.

6.若函数y=f（?棕x+k）（?棕＞0?搖?摇）的图像关于点（m，n）对称，则函数y=f（x）的图像关于点（?棕m+k，n）对称.

二、两个抽象函数图像的对称性

1.若函数y=f（x）定义域为R，则g（x）=f（a+?棕x）与h（x）=?摇f（b-?棕x）（?棕≠0）的图像关于直线x=?摇■?摇对称.

2.若函数y=f（x）定义域为R，则?摇g（x）=f（a+?棕x）与h（x）=c-f（b-?棕x）（?棕≠0）的图像关于点（■，?摇■）对称.

三、抽象函数的周期性

1..若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件f（?棕x+a）=f（?棕x+b）（?棕＞0），则y=f（x）是以T=a-b为周期的周期函数.

2.若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件f（?棕x+a）=-f（?棕x+b）（?棕≠0），则y=f（x）是以T=2a-b为周期的周期函数.

3.若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件?摇f（?棕x+a）=±■（?棕≠0，a≠0），则y=f（x）是以T=2a为周期的周期函数.

四、抽象函数的对称性与周期性

1.若函数y=f（x）的图像关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则?摇y=f（x）是以T=2b-a为周期的周期函数.

2.若函数y=f（x）图像关于点（a，0)与点（b，0）（a≠b)对称，则y=f（x）是以T=2b-a为周期的周期函数.

3.若函数y=f（x）图像关于直线x=a与点（b，0）（a≠b)对称，则y=f（x）是以T=4b-a为周期的周期函数.

五、高考题模拟题选

例1.（2010辽宁朝阳）已知函数y=f（x）定义域为R，且满足f（3+2x）=-f（3-2x）

f（8+5x）=-f（6-5x），?摇?摇f（1）=3，则f（2010）=

解：∵?摇f（3+2x）=-f（3-2x）∴?摇y=f（x）的一个对称中心是（3，0）

∵f（8+5x）=-f（6-5x）∴y=f（x）的一个对称中心是（7，0）

∴y=f（x）的周期T=23-7=8

∴f（2010）=f（8×251+2）=f（2）=3

例2.（2008四川卷11）设定义在R上的函数f（x）满足?摇?摇f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（?摇?摇）

（Ａ）13?摇 （Ｂ）2 （Ｃ）■ （Ｄ）■?摇

数学 - 函数的对称性与周期性 篇4

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对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

周期性：设函数 的定义域是 ，若存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 且 ，则函数 为周期函数， 为 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢?本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数 的图象关于点 和点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。

证明：∵函数 的图象关于点 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

又∵函数 的图象关于点 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

从而

∴ 即：

∴ 是周期函数， 为函数 的一个周期。

特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的.一个周期。

命题 ：如果函数 的图象关于两点 和 对称，那么：

当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期。

当 ， 时， 不是周期函数。

证明：∵函数 的图象关于点 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

又∵函数 的图象关于点 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

从而

当 ， 时

∴

即：

∴当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期。

当 ， 时

∴

∴

∴当 ， 时， 不是周期函数。

当 ， 时

∴ (与条件矛盾，舍去)

综合得原命题成立。

二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。

命题2：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。

证明：∵函数 的图象关于点 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

又∵函数 的图象关于直线 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

从而

∴ 即：

∴

即：

∴ 是周期函数， 为函数 的一个周期。

特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。

命题 ：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。

证明：∵函数 的图象关于点 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

又∵函数 的图象关于直线 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

从而

∴

即：

∴

即：

∴ 是周期函数， 为函数 的一个周期。

三、一个函数如果关于两条线对称。

命题3：如果函数 的图象关于直线 和直线 对称，那么函数 是以 为周期的周期函数。

证明：∵函数 的图象关于直线 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

又∵函数 的图象关于直线 对称，

∴ 对定义域内的所有 成立。

从而

∴ 即：

∴

∴ 是以 为周期的周期函数。