二维网格法 篇1
1 网格处理
1.1 粗网格生成
多重网格法要在粗密网格间反复迭代,并进行数据传递。本文采用聚合方法[4]生成一系列粗网格。
(1)首先将格点所连接网格的体积和作为该格点体积,按格点体积从小到大进行排序,顺序搜索格点。如果该格点连接的网格都没有被聚合,聚合该格点连接的网格成为一粗网格。
(2)将上一步没有聚合的网格按体积从小到大排序,顺序搜索网格,如果该网格没有被聚合并且它的邻居又没有被聚合,则该网格与它所有没被聚合的邻居网格聚合成一粗网格。
(3)搜索上一步没有被聚合的网格,寻找该网格相邻的最小体积的粗网格,与之聚合。
(4)该层网格聚合完毕,跳到(1)步生成下一层粗网格。
1.2 粗网格的等价面处理
采用格心格式的有限体积法离散,质量、动量、能量都是在相邻两网格面的法线方向上传递,有效面积为该面的起点终点间连线。应用多重网格时在粗网格中经常出现相邻两个网格有多个锯齿形公共边的情况,把锯齿形多个边等价成一条边(见图1),这样不仅不会增加额外的数值粘性,而且网格面数的减少进一步提高了计算效率[3] 。该处理方法可以推广到三维非结构网格。
1.3 网格重排序
本文隐式时间推进采用LU-SGS算法,需要对每一层网格排序,排序的必要条件是相邻网格不在同一层。排序步骤如下:
(1)从物面网格开始构建第一层,如果该网格的邻居网格都不在第一层中,该网格排到第一层。
(2)搜索上一层网格的邻居网格,如果该网格没有被排序且其邻居均不在该层,该网格排到该层。
(3)执行⑵步,直到所有网格搜索完毕为止。
(4)跳到⑴步,将较粗网格排序。
2 时间推进方法及空间离散格式
2.1 显式时间推进
显式时间推进采用四步Runge-Kutta法
undefined
其中αk=[1/4,1/3,1/2,1.0]。为加速收敛本文采用了当地时间步长,公式如下:
undefined。
2.2 隐式时间推进
隐式时间推进[5]采用存储量小,效率高的LU-SGS算法:
undefined
向前推进:
undefined
向后推进:
undefined
2.3 空间离散格式
Roe格式[6]与中心格式相比具有低耗散、高分辨率的特点,在密网格上使用Green-Gauss公式计算格心梯度,利用Taylor公式将格心的流场变量值插值到网格面上,这样在密网格上计算就是高阶格式,由于迎风格式的特点,边界网格的网格面要降阶处理。为提高计算效率,使用多重网格时,在粗网格上使用一阶格式。
3 多重网格法
在密网格上求解离散方程,得到流场变量Q,残值Rf,将流场变量和残值传递到下一层粗网格上。由于粗网格是由密网格聚合得到的,密网格上的流场变量限制到粗网格上采用体积加权的方法。粗网格的残值为密网格上的残值和。
undefined
在粗网格上第一步计算强迫项,在粗网格上第一步都是计算密网格传递过来的残值。在本层迭代中,强迫项保持不变。如果采用W循环,则在向下计算中,强迫项将采用前面的值。粗网格上进行迭代的实际残值为通过格式计算的残值加上强迫项。
undefined
粗网格上的显式格式:
undefined
粗网格上的隐式格式[7]:
undefined
将粗网格上的修正量依次传递给较密网格,当修正到最密网格时完成了一个多重网格循环。
undefined
4 算例及结果分析
算例1 采用NACA0012翼型,Ma= 0.8,α=1.25°。采用该聚合方法生成三层粗网格,见图2、图3。三层网格数依次为:4 178、1 032、359,网格聚合比依次为0.247、0.347。网格面数依次为:6 374、2 716、1 749,网格面聚合比依次为0.426、0.644。经过网格面等价处理后网格面数为:6 374、2 514、999,网格面聚合比依次为0.394 4、0.397 4。 可以看出经过网格面等价处理后面数显著减少。
显式时间推进时单层网格和多重网格CFL都取0.8,隐式时间推进时单层网格和多重网格CFL都取10。该算例采用3重V循环。
采用多重网格法得到的压力曲线(图4)与单层网格相比是完全一致的。
使用多重网格法对收敛步数效果明显,迭代步数约为单层网格的1/3左右,由于在粗网格上迭代及数值传递时间,在迭代时间上效果有所降低,显式多重网格迭代时间节省1/2,隐式多重网格迭代时间节省2/5。可以看出,隐式多重网格法收敛效果明显。
算例2 采用RAE2822翼型,Ma= 0.75,α=3.06°。采用该聚合方法生成三层粗网格,见图7、图8。三层网格数依次为:4 168、1 024、360,网格聚合比依次为0.245 7、0.351 6。网格面数依次为:6 359、2 696、1 733,网格面聚合比依次为0.424 0、0.642 8。经过网格面等价处理后网格面数为:6 359、2 503、1 027,网格面聚合比依次为0.393 6、0.410 3。可以看出经过网格面等价处理后面数显著减少。
显式时间推进时单层网格和多重网格CFL都取1.0,隐式时间推进时单层网格和多重网格CFL都取10。该算例采用3重V循环。
采用多重网格法得到的压力曲线(图9)与单层网格相比是完全一致的。
使用多重网格法对收敛步数效果明显,迭代步数约为单层网格的1/3左右,由于在粗网格上迭代及数值传递时间,在迭代时间上效果有所降低,显式多重网格迭代时间节省3/4,隐式多重网格迭代时间节省1/4。可以看出,隐式多重网格法收敛效果明显。
5 结 论
本文将多重网格法应用到非结构网格中,采用聚合方法生成一系列粗网格。时间推进上分别采用显式和隐式时间推进,空间离散上采用迎风格式离散。比较了显式多重网格法和隐式多重网格法的计算效率,证实隐式多重网格法在非结构网格中更稳定、更高效。
致谢
本文得到了朱军博士的帮助,在此深表谢意。
摘要：在非结构网格上应用多重网格技术加速Euler方程的收敛,在多重网格中通过聚合法进行粗网格生成,并对粗网格中的多边形网格做了等价面处理。在空间离散上采用Roe格式,在时间推进上分别采用了显式和隐式算法。通过对NA-CA0012翼型和RAE2822翼型的流场模拟,比较了显式多重网格法和隐式多重网格法的计算效率。
关键词：多重网格法,隐式时间推进,迎风格式,非结构网格
参考文献
[1]Lallemand M,Steve H,Dervieux A.Unstructured multigridding by volume agglomeration current status,Computer and Fluid,1992;21(13):397—433
[2]刘超群.多重网络法及其在计算流体力学中的应用.北京:清华大学出版社,1995
[3]Venkatakrishnan V,Mavrilips D J.Agglomeration multigrid for the three-dimension Euler equation.AIAA94—0069,1994
[4]刘学强.基于混合网格和多重网格上的N-S方程求解及应用研究.南京航空航天大学博士论文.2001
[5]Sharov D,Nakahashi K.Reordering od3-d hybrid unstructured grids for vectorized LU-SGS Navier-Stokes computations.AIAA-97—2102,1997
[6]Frink N T.Upwind scheme for solving the Euler equations on un-structured tetrahedralMeshes.AIAA J,1992;30(1):
二维网格法 篇2
关键词：多重网格；温纳；限制算子；插值算子
1.多重网格法的发展现状
多重网格法简称MG，是数学家Fedorrenko于20世纪60年代最早提出的，直到Brandt关于“边值问题多重网格适应解”的文章发表后，多重网格法才开始得到广泛的关注和全面研究[1]。多重网格法是目前近乎最优的算法之一，有其固有的特点：收敛速度跟网格的大小无关，而且这一特性同样适应于求解复杂问题。多重网格法经过近30年的研究和发展，有了完整的理论体系，算法趋于成熟，在流体力学，计算电磁学，波动方程等领域都有所应用，是当今数值计算领域常用的算法之一。近二十年也逐渐的应用于地球物理领域中。
2.多重网格法的基本思想及理论公式
多重网格法其主要思想是在不同的网格层中，可以使不同频率的误差分量因网格间距的不同逐渐被衰减掉[2]。首先把以当前网格为基础的低频分量限制到比较粗的网格上，这样就会使原本看起来比较光滑的的低频分量在粗网格上又重新跳动振荡起来，然后根据松弛迭代的方法对其进行处理，这样会使在粗网格上误差又变得光滑起来，继续将其限制到更粗的网格上进行光滑迭代，重复以上过程直至最粗限度的网格。到最粗的网格结束后将其每层网格迭代光滑后的误差经线性插值后再逐级返回至细一层网格，将这些返回后的误差对方程解进行校正，就可以得到更为精确的解，至此一次多重网格的循环结束[3]。
以2层网格为例进行理论推导：
假设存在一个均匀剖分的两重网格如图，细网格的步长是h，粗网格的步长是H，H=2h，用线性方程表示剖分最细的网格层：
图1 二维模型均匀剖分图
Ahuh=fh（1）
Ah是系数矩阵，fh是右端项，uh是方程的精确解。
在细网格层上进行1次松弛迭代，uh1是迭代过后的近似解，uh1和uh间高频分量因迭代而衰减。
uh-uh1=eh1是误差向量，rh1就是残差向量
Ah（uh-uh1）=Aheh1=fh-Ahuh1=rh1（2）
将（2）式近似到粗网格上，AHeH=rH1（3）
由细到粗需要加入限制算子RHh（线性算子），使rH1=RHhrh1（4）
求解（3）得到eH1，加入插值算子PhH（线性算子），
得到eh1的近似解e1h，则e1h=PhHeH1（5）
可以方便的计算出公式（4）和（5）。最后就可以得出修正后的近似解h1
h1=uh1+e1h（6）
这是2层V循环的理论公式，亦可以看成任意相邻网格层间的转换公式。
在上述求解过程中，限制和插值算子是其重要组成，常用的是线性插值及完全加权限制，因是均匀剖分，故其常用的9点限制算子和插值算子分别是：
RHh=1161811618141811618116，PhH=121242121（7）
3.MG法三维响应模拟
将多重网格法应用于以有限差分为基础的高密度正演中，以温纳装置对典型的地下异常体进行测量，电流都是I=1A，电极距为5米，测线总长度100米，则测区范围一共有21个电极。网格剖分为49×49×31，剖分模式为不等距剖分，中间细网格，边界剖分为指数增长的网格。构建三维模型
3.1不同测线方向的异常响应
图2 不同测线分布图
为了突显正演的响应，在用温纳测量时，从不同的倾角进行测量，如图2θ是测线与X轴的夹角，（θ0=0；θ1=30；θ2=45；θ3=60；θ4=90），在用温纳装置测量时，会得到63个测点数据，测得地下深度42.5米；在用偶极-偶极测量时，会得到171个测点数据，测得地下深度47.5米。以低阻异常为例，异常体的电阻率为1Ω·m，围岩电阻率为100Ω·m，异常体埋深为Z方向3到10米，X方向为-10米到10米。
当地下异常体是一个沿Y方向延伸的二度体，通过温纳装置从不同角度的到的视电阻率图（图3）。
图3 Y=100：温纳不同角度视电阻率图
利用温纳装置测量时，当θ0=0°时测线垂直横穿过低阻异常体，此时可以得到一个范围比较小可近似看成倒梯形的低阻异常范围，实际范围X方向比较准确在模型范围内，Z方向向下延伸比较多；当θ0=30°、45°、60°时同样可以得到异常区域范围X方向逐渐变大，直至90°时通过图e可以看到，视电阻率图所呈现的是一个地下均匀平行的两层介质。
3.2异常体埋深的响应
前面得到了测线穿过异常体的各种情况，本节将研究当模型参数不变时，测线不穿过异常体，并与异常体垂直距离不等时的响应特征。温纳的装置参数都不变，当异常体垂直距离测线Y=0、15、35米时如图4。
经过两种装置测量后，得到图5，如图所示，随着与测线垂直距离的不断加大，正演响应均有一定变化。当Y=0m时，相当于垂直横穿过异常体，与5.1中θ=0时情况相同；当Y=15m时，异常区域均有向下的趋势，但是X方向范围变化不大；当Y=90m时，异常区域都为位于图片的下方，几乎脱离视电阻率图。总结来说，当异常体与侧向越近时，响应特征越好，随着距离的增加，异常响应会逐渐向下，最后移出测量范围。
图4 不同埋深时示意图
图5 不同埋深时温纳装置视电阻率图
结论
在应用多重网格法进行迭代计算的基础上，用温纳装置对地下典型的异常体模型进行正演模拟，通过对正演响应的分析发现，地下存在二度体和异常体Y的长度变短时的情况下，从不同角度进行测量时响应的结果差别很大，只有当测线垂直穿过异常体时，响应结果最好；当异常体与测线距离不同时，距离越近，正演响应越接近真实模型。以上两种正演响应均能较好的反应出不同条件下的模型特征，相信多重网格法未来在物探领域应该有更好的发展。
参考文献：
[1]Alcouffe R.E.，Brandt A.，Dendy J.E.，and Painter J.W..The multi-grid method for the diffusion equation with strongly
[2]乔中林.直流电法三维正演多重网格算法研究[D].北京：中国地质大学，2007.
[3]鲁晶津.地球电磁三维数值模拟的多重网格方法及其应用研究[D].合肥：中国科学技术大学，2010.
二维网格法 篇3
提出了一个基于二维规则网格的SIRS疾病传播模型,在模型中,研究了群体密度d,传播效率λ及个体的.游动对疾病传播的影响.理论分析和仿真模拟表明该疾病传播模型存在一个临界值(λd)c,只有当群体传播效率和群体密度的乘积λd大于(λd)c时,疾病才能在群体中持续稳定地传播. 另外,研究还发现当群体密度不太大的时候个体的游动更有利于疾病的传播. 根据这些研究结果最后给出了相应的疾病预防和控制措施.
作 者：周海平蔡绍洪 ZHOU Hai-ping CAI Shao-hong 作者单位：周海平,ZHOU Hai-ping(贵州大学,理学院,贵州,贵阳,550025;贵阳学院,计算机科学系,贵州,贵阳,550003)
蔡绍洪,CAI Shao-hong(贵州大学,理学院,贵州,贵阳,550025;贵州财经学院,信息学院,贵州,贵阳,550004)