二重极限

2024-09-06

二重极限篇1

二元函数的极限有两种概念, 它们分别是二重极限与累次极限, 其定义分别如下:

2.二重极限与累次极限的关系举例

二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念, 下面举例说明它们在存在性上是相互独立的, 没有必然的联系。

(1) 二重极限存在, 两种不同次序的累次极限也存在, 且相等。例如, xy

(2) 二重极限存在, 两种不同次序的累次极限都不存在。例如,

(3) 二重极限存在, 一种次序的累次极限存在, 而另一种次序的累次极限不存在。例如,

此外, 还有二重极限不存在, 一种次序的累次极限存在, 而另一种次序的累次极限不存在, 以及二重极限不存在, 两种不同次序的累次极限都不存在两种类型关系, 在此不一一例举。

由上面讨论知, 二重极限与累次极限在存在性上没有必然的联系, 但是, 在一定的条件下, 又可以建立下面的两个结论:

3.二重极限与累次极限的应用0

(1) 一般计算比较复杂的二元函数的极限是比较困难的, 而求累次极限实际上是进行两次一元函数的极限计算, 是比较容易的, 由定理1知, 在二重极限存在的条件下, 可用求累次极限来求其二重极限。

(2) 用累次极限可判别二重极限不存在。由定理2知, 若两种不同次序的累次极限都存在, 但不相等时, 则二重极限一定不存在。

(3) 用累次极限可表示某些非初等函数。

例如, 在高等数学中常见的狄利克雷函数

摘要：极限是研究函数的重要工具之一, 二重极限是定义二元以上函数极限的基础, 这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系, 最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

关键词：极限,二重极限,累次极限

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析 (第二版) (下) [M].北京:高等教育出版社, 1991.

定义证明二重极限篇2

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式V(p)一周<。成立，则称A为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一A卜

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2<0,单调递减

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a