二重积分的计算方法五篇

2024-09-09

二重积分的计算方法篇1

1.利用二重积分的几何意义

例1

解利用几何意义上述积分表示球心在 (0, 0, 0) , 半径为1的上半球的体积, 故.

2. 选择适当的积分次序 ( 不容忽视)

注: ( 1) 根据积分区域D的形状来选择;

( 2) 根据被积函数的具体形式来确定, 如被积函数是等函数时, 只能先对y积分.

例2, 其中D为y=x, y=1, x=2.

3. 选择恰当的坐标系至关重要

例5设f ( u) 可微, f ( 0) = 0, f' ( 0) = 3, 求

4. 利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算

定理: ( 1) 若积分区域D关于y轴对称, 则

(b) 若f (-x, y) =f (x, y) , 则, 其中D1是D的右半部分;

( 2) 若积分区域D关于x轴对称, 则

( b) 若f ( x, - y) = f ( x, y) , 则, 其中D1是D的上半部分.

(3) 若积分区域D关于x, y轴都对称且f (-x, -y) =f (x, y) , 则, 其中D1是D的第一象限的部分.

例6, 其中D为y=x2, y=1.

解积分区域关于y轴对称, 故

5.当被积函数或积分区域含有绝对值符号时

6. 结论

总之, 二重积分的计算在积分学中具有举足轻重的地位, 要想很好地解决二重积分的计算问题, 就要灵活掌握这些方法技巧, 并做到融会贯通.

摘要：二重积分的计算非常重要, 是三重积分及曲面积分的基础, 其计算技巧性比较强, 只有根据积分区域和被积函数选择了恰当的坐标系以及适当的积分次序才能转化为合适的累次积分.

关键词：二重积分,直角坐标,极坐标

参考文献

[1]同济大学应用数学系.《高等数学》 (第六版) 下册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]史本广, 慕运动.《高等数学》[M].北京:科学出版社, 2009.

二重积分的计算方法篇2

二重积分对于工程技术有着十分重要的作用.本文通过一节课, 讲述了二重积分在建筑设计中的应用, 文中以世界著名的建筑物作为教学案例, 直观的应用二重积分, 将诸多实际问题抽象为数学问题, 使问题简单易懂, 便于学生理解掌握.同时对二重积分在建筑设计中的应用进行了充分阐述, 并且利用课后延伸与数学建模、数学实践进行有机结合, 使学生通过学习, 了解数学作为一个工具性学科对于专业课的作用, 从而激发学生的学习积极性.

对于建筑设计, 不仅要求外观设计漂亮, 有时还需要计算它们的容积.比如体育馆的比赛大厅、影视院的观众厅等.因为容积大小直接影响声音传播的效果与空气质量等.另外由于核算成本, 计算所需原材料, 还要计算建筑物的表面积.而有些公共设施建筑物的顶部是曲顶, 那么如何计算这些建筑物的容积?如何计算这些建筑物顶部的表面积?用数学中的哪方面知识来解决?

2体积问题

由二重积分的几何意义知:若f (x, y) ≥0, 二重积分表示以z=f (x, y) 为曲顶, 以D为底的曲顶柱体的体积.即

因此, 建筑物的容积问题可以使用数学中二重积分来解决.下面举例说明如何求曲顶建筑物的容积.

例1 计算国家大剧院的容积 (图1) .

如果把国家大剧院的顶部看成球面x2+y2+z2≤4a2的一部分 (把大剧院的中心部位作为坐标原点) , 大剧院的下面部分看成是柱面x2+y2≤2a2的一部分 (图2) , 因此, 国家大剧院的容积问题, 可以粗略的看成一个二重积分问题.即:

求由球体x2+y2+z2≤4a2和圆柱体x2+y2≤2a2及xOy面上方所围成的公共部分的体积.

通过以上分析, 可以把大剧院的容积问题抽象成一个数学问题, 也就是二重积分问题, 从而建立数学模型求出结果.

解由球的对称性知

$V = 4 \underset{D}{\int \int} \sqrt{4 a^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y,$

其中D为xOy面上圆周 $y = \sqrt{2 a^{2} - x^{2}}$ 在第一卦限的区域, 在极坐标系下, D可表示为 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2} ‚ 0 \leq r \leq \sqrt{2} a$ .所以, 大剧院的容积 (粗略的) 为

建筑设计中经常遇到两圆形管道相交的情况 (图3) , 如何求两圆形管道相交部位的体积?

这个问题可以抽象成两个等半径 (或不等半径) 的圆柱体相交所围成的立体体积问题.

例2 某学校在建学生宿舍楼时, 需要安装下水管道, 下水管道拐弯处需要设计两个管道相交, 现有半径为a的圆形管道材料, 试计算两管道在拐弯处所形成的体积 (体积的大小直接影响水的流量) .

解此问题可以抽象成求圆柱体x2+y2=a2和x2+z2=a2所围立体的体积 (图4) .

因此, 两管道在拐弯处所形成的体积为:

3表面积问题

为了解决建筑设计中曲顶建筑物的表面积问题, 下面引入曲面面积公式.

二重积分中曲面面积公式为 (推导过程略) :

下面举例说明曲顶建筑物的表面积问题.

例3 计算伊斯兰教堂 (主楼) 顶部的面积 (图5) .

假如伊斯兰教堂 (主楼) 顶部是以旋转抛物面z=1-x2-y2为顶的曲面, 那么这个问题就是数学中的曲面面积问题.

解设顶部是以旋转抛物面z=1-x2=y2被xOy平面所截得曲面 (图6) , 由于它的对称性, 该抛物面的面积是它在第一卦限部分面积的4倍.

由曲面面积公式得伊斯兰教堂 (主楼) 顶部的面积为:

通过这节饶有兴趣的数学课的讲解, 使同学们了解数学在建筑设计中的应用, 掌握了利用二重积分求解曲顶建筑物的容积和表面积计算的问题.理解了“数学来源于实践, 服务于实践”的含义.进一步展示数学作为一门公共基础课如何与专业课进行有机的结合, 数学作为一门工具性学科对于社会实践, 科学技术、工程问题所起到的作用.

参考文献

[1]范玉军.高等数学 (上册) (工科类专业) [M].北京:人民邮电出版社, 2011, 175-178.

二重积分的计算方法篇3

【关键词】二重积分;直角坐标;极坐标;平移及奇偶性

二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。

计算二重积分有一定的步骤，我们大致分成4步。第一步：画出积分区域的草图，判断积分域是否有对称性，被积函数是否有奇偶性;第二步：选择坐标系;第三步：选择积分次序;第四步：确定积分限并计算累次积分。

例题1.计算二重积分其中积分区域是由与曲线所围成。

方法一：利用直角坐标计算二重积分

解：积分区域

方法二：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分

解：设作坐标轴的平移，在平面上积分区域为

① 關于对称，被积函数关于是奇函数，

②

③

例题2.计算其中积分区域是由所确定。

方法一：利用极坐标法计算二重积分

方法二：利用坐标轴的平移及极坐标计算二重积分

令此时，则

方法三：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分

由于

利用奇偶性可得而，则

方法四：利用积分区域的对称性计算二重积分

解：积分区域关于对称且为圆域故形心的坐标在圆心

其中为积分区域的形心的横坐标。

例题3：求计算二重积分其中积分区域是由及曲线所围成。

分析：若把看成正方形的区域挖去半圆，则计算上的积分自然选用极坐标变换，若只考虑区域，则自然考虑先后的积分次序化为累次积分，若注意关于直线对称，选择平移坐标变换则最为方便。

方法一：选择先后的积分次序，则

方法二：方块积分法及极坐标法

在极坐标下

方法二：利用坐标轴的平移计算二重积分

作平移变换则

参考文献：

[1]李正元，李永乐，袁荫棠：《数学复习全书》，国家行政学院出版社，2013（2）.

二重极限的计算方法(学年论文) 篇4

内容摘要

本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明

序言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

1一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证………„„„„„„1(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定„„„„„„„„ 1(二)由累次极限猜想极限值再加以验证„„„„„„„„„„2(三)采用对数法求极限„„„„„„„„„„„„„„„„„2(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限„„„3(五)等价无穷小代换„„„„„„„„„„„„„„„„„„3(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量„„„„„„4(七)多元函数收敛判别方法„„„„„„„„„„„„„„„4(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限„„„„5(九)极坐标代换法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6(十)用多元函数收敛判别的方法„„„„„„„„„„„„„7

二、证明二重极限不存在的几种方法………………………………… 7 总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11 I

序言

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。一、二重极限的计算方法小结

(一)利用特殊路径猜得极限值再加以验证

利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出来。

x3y例1 讨论f(x,y)2，在点的极限。

xy2[1]解令ymx

x0ymxlimx3ymx4m2limlimx0

x2y2x0ymx(1m2)x01m2x3y应为此路径为特殊路径，故不能说明lim0.可以猜测值为0。

x0y0x2y2下面再利用定义法证明：0，取2

当0(x0)2(y0)2 有x2x2y22

x3yx3y12x3y12由于2 即有0xx 2222xy22xyxyx3y故lim0.x0y0x2y2注意（1）的任意性

（2）一般随而变化

（3）若函数以A为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+，A-）。

(二)由累次极限猜想极限值再加以验证

先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证例2[2] 设f(x,y)(xy)sin221(x2y20)。求limf(x,y)22x0y0xy解 limlimf(x,y)0可以猜测有极限值为0.事实上对任意的(x,y)(0,0)

x0y0有f(x,y)0(xy)sin2212222xyxy，22xy0 取，当x，y，(x,y)(0,0)时，2就有(x2y2)sin10，即有limf(x,y)0 22x0y0xy(三)采用对数法求极限

利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 求解

1sinxyx0y0lim(1xy)(1xy)

1sinxy1xyxysinxyx0y0lim1sinxyx0y0limeln(1xy)x0y0limeln(1xy)

1xy 因为

xyxyln(1xy)lne1 1而且limx0y0sinxy1x0y0lim 所以

1sinxyx0y0lim(1xy)e

(四)利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限

1 lim1lim(1x)xe xx0xsinx

1limx0x类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1x)x0y01x(xy)（2）limsinxy

x0yax解（1）因为

lim(1x)e，limx01x11

x0y2xy2 所以

1x(xy)1xyx0y2lim(1x)lim(1x)x0y21xe（2）由于

又因为

sinxysinxyy,y0, xxysinxysintlin1(xyt,x0)

x0yat0txylim 所以

sinxysintlinlinya

x0yat0yxtalim(五)等价无穷小代换

利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限

33例5 求limsin(xy)

x0y0xy33 解因为x0,y0,故有xy0

所以sin(x3y3)等价于x3y3

3333故原式为limsin(xy)limxylim(x2xyy2)0

x0y0x0y0x0y0xyxy注无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”

(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量

充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。

例6[4]2x3y2 求 lim

x3,y2x32y22 解因为

2x3y2limx3,y2x32y22limx3y2x3

x3,y2x32y22而

x3y2x32y22又 limx3,y21为有界变量 2x30 故有原式=0(七)多元函数收敛判别方法

当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。

例7[5] 求 limxx0y0y2

xy2解因为

x0而

y2x2y2x2y2xy

xyxyxyxy2x0y0limxy0，故

x0y0limxy2

xy2

(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限

有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

1、讨论当x0,y0，二元函数f(x,y)的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有t0从而求得结果。

ln(1x2y2)例8 求 lim 22x0,y0xy解令x2y2, 则当x0,y0时 0，22ln(1xy)ln(1)于是limlim1 22x0,y00xy2、讨论当x,yaa0常数时，二元函数f(x,y)的极限，作变量代换，相应有t，利用已知一元函数的极限公式。

例9 求 lim1xyaxy解因为

x2xy1其中a0

11xyx2xy11xyxxy(xy)y

当 x,ya时，令xy=t,相应有t 则

1lim1xyaxy

所以

xy1lim1e ttt1lim1xyaxyx2xyxyalimex1xyln(1)(xy)yxye1a

3、讨论x,y时二元函数f(x,y)的极限

例10 求解因为 x,ylim(x2y2)e(xy)

(xy)e22(xy)(x2y2)(xy)2xy2(xy)(xy)(xy)eee当 x,y时，令x+y=t,相应有t

(xy)2t2则 limlimt0

x,ye(xy)tex,ylim2xyxy2limlim0 xyxyx,yx,yeeee所以

x,ylim(x2y2)e(xy)0

(九)极坐标代换法

讨论当x,y0,0时，二元函数f(x,y)的极限，必要时可以用极坐标变换

xrcos,yrsin，即将求f(x,y)当极限问题变换为f(rcos,rsin)求r0的极

限问题。但必须要求在r0的过程中与的取值无关。注意这里不仅对任何固定的在r0时的极限与无关，而且要求在r0过程中可以随r的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明lim[6]x0,y0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)(0,0)x2y2解令

xrcos，当(x,y)(0,0)时，有r0 yrsin令

x2y2r4cos2sin2r2cos2sin2 222xxr22因为 cossin1

所以

x2y2222limlimrcossin0(x,y)(0,0)x2y2r0

(十)用多元函数收敛判别的方法

通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。

x2y2例12 求 lim

x0y0xy 解因为

x2y2xy0xy xyxy2而 limx0y0xy0

22xy 所以 lim0

x0y0xy

二、证明二重极限不存在

若二元函数f(p)在区域D有定义，p0(x0,y0)是D的聚点。当动点p(x,y)沿着两条不同的曲线（或点列）诬陷趋近于点p0(x0,y0)，二元函数f(p)，有不同的“极限”，则二元函数f(p)在点p0(x0,y0)不存在极限。依此可以有下面几种方法来证明f(p)在区域D上当pp0时极限不存在。

例1[7] 证明x0y0limln(xey)x2y2不存在

y22证明函数的定义域为D(x,y)xe,xy0，当点p(x,y)沿着y

轴趋于点(0,0)时，有x=0，而

x0y0limln(xey)x2y2limy0y不存在，y所以

x0y0limln(xey)xy22

当P沿着D中某一连续曲线趋近于点p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限不存在，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 证明x0y0limx4y4不存在

xy证明函数的定义域为D(x,y)xy0，当点p(x,y)沿着x轴趋于点（0，x4y40）时，lim=0，当点p(x,y)沿着yx(x31)趋于点（0，0）时x0y0xyx4y4x4x4(x31)limlim2 4x0x0xyx所以

x0y0limx4y4不存在

xy当P沿着D中两条不同的连续曲线趋近于p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限都存在，但不相等，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33xy例3 证明

x0y0lim证明设xrcos,yrsin函数的定义域为

D(r,)r0,cossin0,0,2



x0y0limx2y2x3y3xlim(r,)D0rcos2sin2 cos3sin3rcos2sin2当0时，sin0得lim0 33x0cossin(r,)D当(331)时cos3sin30,cos2sin2443令cossinr有

x0cos3sin3rlimrcos2sin210

cos3sin34所以

x0y0limx2y2 不存在

x3y3对于一些难以找到的路线，可以利用极坐标来证明例4[8] 证明 limx0y0x2y2不存在 22x2yx2y2x3证明 limlimf(x,y)limlim2lim2limx0

x0y0x0y0xx0xx02y2x2y2y211 limlimf(x,y)limlim2limlimx0y0x0y0x2y2y02y2y022

即得

x0y0limx2y2x2y2 limlim2222x0y0x2yx2yx0y0因为两个累次极限不想等，所以

limx2y2 不存在 22x2y总结

函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难理解和掌握的部分，特别是二元函数的极限，但二元函数在多元函数微积分学中有着举足轻重的作用，探讨其存在性与求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。文中列出了利用特殊路径猜得极限值再加以确定、由累次极限猜想极限值再加以验证、采用对数法求极限、利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限、等价无穷小代换、利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量、多元函数收敛判别方法、变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限、极坐标代换法、用多元函数收敛判别的方法等始终二重极限的计算方法及四种二重极限不存在的证明方法。在实际解决二重极限问题时要根据题型不同选择最优的解题方式，不但能提高正确率也可以节省时间和工作量，达到事半功倍的效果。

参考文献