数列的极限十篇

数列的极限 篇1

数列作为古老的数学名词早在公元前3000多年就已经出现,在公元前2000—1700年埃及人的《算书》就出现了等比数列的例子,在公元前1202年意大利人波那契发表了《算盘全书》,也出现了等比数列求和问题,我国的《孙子算经》也出现类似的问题叫“出门望九堤”.对于等差数列,在公元前650年就出现这样一个问题:“10人分10斗玉米,从第二人开始依次比前人少,问应如何分?”

定义1(数列)数列是由一列和自然数有关的数组成的集合,记为{an},其中an=f(n),即f:N→R.

二、数列的求和

对于数列来说,求和是很重要的内容,下面介绍两种常见的数列求和方法.

(一)错位相消

(二)构造等比或等差数列

例2数列x1=a1,{xn+1=axn+b,a≠1},求它的前n项和Sn.

三、数列极限

早在公元300年前我国数学家刘辉就提出割圆术,即用圆内接正多变形的面积来计算圆的面积,古代哲学家庄子在《庄子·天下篇》中有过一句话“一尺之棰,日取其半,万世不竭”反映的都是数列极限思想.

对一个数列来说如果存在极限,我们说数列收敛,否则称数列发散,对于一个给定的数列我们怎么去判断它的敛散性呢?一般我们有如下准则:

准则一(逼夹准则)设{xn},{yn},{zn}是三个数列,如果存在正整数N,使得对任何的n>N,有xn≤yn≤zn,且{xn},{zn}有相同的极限,则{yn}一定有极限且极限和{xn},{zn}的极限相同.

准则二(单调有界准则)设{xn}是一单调的、有界数列,则{xn}收敛.

准则三(迭代法)对于某些数列来说我们先假设它的极限存在,再去验证这个数就是数列的极限,特别对于迭代数列xn+1=f(xn),只要f(x)-f(y)≤αx-y,就可以用这个方法,其中0<α<1.

参考文献

[1]东洪平.论数列通项公式的存在性和唯一性[J].中学教研(数学),2014(4):37-38.

[2]贺育斌.高中数列教学研究[D].呼和浩特:内蒙古大学,2012.

数列的极限 篇2

一、“破俗立新”式的导入

学生在学习高等数学前对数列极限定义的认识都是建立在高中教材里对数列极限“通俗直观”定义的基础上的。数列极限的“通俗定义”:当n无限增大时, xn无限趋于常数A。这个基于直观的极限概念看起来好像很清楚, 也便于理解, 为什么需要另外建立严格的、精确的极限概念呢?我们可以从两个方面加以分析, 破除学生的“旧俗”观念。

1. 基本直观作出的判断实际上是一种“有限归纳”

有限归纳很难判断无穷的变化过程, 因为无论计算数列的多少项都不知道在这以后会发生什么情形, 正如克莱因所说, “因为发现苹果是红的, 就断定所有的苹果都是红的, 这就是有限归纳推理, 在数学上是不可靠的”[1]。我们可以用下面的例子验证。

例1令 (n为正整数) , 计算前100项得到x1=9550, x2=4356, x3=2069, x4=1170, x5=743, …x96=0.5642, x97=0.04379, x98=0.3186, x99=0.02061, x100=0.09999。如果仅仅观察前100项, 可能误以为这个数列的极限等于零, 但是实际上数列极限等于1。

再看下面这个例子:

例令 (n为正整数) , 通过计算前100项, 又发现该数列中的每一项随着n的增大, 数列中的数越来越小, 不断靠近零。学生从高中知识体系中易得出该数列的极限为零。一正一反的例子开始让学生感到困惑, 自然地引出了要给数列极限精确定义的另一个原因。

2. 直觉往往是靠不住的

我们用以下例子说明这个问题:

例3[2]某公司招聘新职员, 甲种岗位底薪是1000元/月, 每月加薪200元;乙种岗位底薪是600元/月, 每半月加薪60元, 两种岗位都是每半月发一次薪水。

可能很多人会很直观地选择甲岗位, 甲岗位真的就要比乙岗位的收益增长快吗?我们以列表来说明

从下表数据来看, 到了第22次发薪水时, 乙岗位的薪酬就超过了甲岗位。所以说我们的直觉是靠不住的。

“欲穷千里目, 更上一层楼。”学生自然开始动摇在以前概念基础上建立的思维方式, 进而开始关注新概念的学习。

二、“精俗并用”的教学过程

我们的目的是给学生介绍数列极限的精确定义, 前面的例子让学生对高中的通俗定义产生怀疑, 由于学生已在高中阶段形成固有的思维方式和认知习惯, 往往对通俗直观的教学方法容易接受, 所以在高等数学教学中我们依然要“精俗并用”。

现在我们来看看高等数学教材中关于数列极限的精确定义。

定义[3]:设为一数列, 如果存在常数A对于任意给定的正数ε (无论它多么小) , 总存在正整数N, 使当n>N时, 不等式|xn-A|<ε都成立, 那么就称常数A是数列的极限, 或者称数列收敛于A。记为

数列极限的这个定义有以下几个特点:

1. 用常量描述变量

极限是变量的一种特定的变化趋势, 但是在这个概念中使用的方法是用常量描述变量的变化趋势, 其中ε和N式两个相对的常量, 用ε和N两个常量以及关于它们的不等式|xn-A|<ε (n>N) 就能确定数列通项无限趋近A的事实。

2. 颠倒自变量与因变量的因果关系

数列可以看成以自然数n为自变量的函数, 即f (n) =xn, n∈N。描述通项xn无限接近A的方法不是紧盯因变量xn的变化趋势, 而是对数列通项提出要求|xn-A|<ε (n>N) 。然后寻找使得这个不等式成立的N。这是一种颠倒因果关系、“以静制动”的处理方法。

3. 概念直观性强

极限概念可以给出一个非常直观的解释:对于任意正数ε, 以点A为中心作任意开区间 (A-ε, A+ε) 。总存在一个正整数N, 当n超过N时, xn就会进入这个区间, 并且一旦进入就不再离开, 于是至多有N个数在开区间外, 于是我们看到一种无限追求和“义无反顾”的精神。

要使初学者很快地感到“ε-N”方法的思维方式和美学意境, 抓住定义中的三个重要因素“ε”“N”以及“|xn-A|<ε”, 并辅助性地赋予直观的、感性的称谓, 便能达到事半功倍的效果。

首先, 从“|xn-A|<ε”说起, 显然“|xn-A|<εA-ε

有了对以上三个重要因素直观、形象的称呼, 那么比较难以理解的数列极限的精确定义就显得通俗易懂了。实际上, 我们无法在数轴上准确地量化出数列中的数, 随着n的增大, 无限靠近数A。于是从另一个角度来刻画这个变化的过程, 即在数轴上, 任意给定一个以A为中心, ε为半径的邻域后, 它都能包含这个数列xn中某项后的无穷多个数, 也就是数列xn中有无穷多个数会密密麻麻地分布在A的周围, 哪怕这个邻域再小也是如此。有了以上的体会, 我们就可以把数列极限定义通俗形象地描述成:数列xn的极限为A, 也就是任意给定一个装有数A的半径口非常非常小的口袋 (即邻域U (A, ε) ) , 总可以找到一个与之对应的阀门 (即存在正整数“N”) , 过了这个阀门 (即当n>N) , 所有的数xn都装在这个“口袋”之中。口袋的大小是可以任意小的, 即便如此, 该数列中始终有无穷无尽的数会落进口袋。 (如图1所示)

这样的描述, 能加深对数列极限的理解, 从而能更好地运用该定义证明相关问题。下面通过使用以上对极限定义的描述, 补充说明高等数学教材中有关于数列极限唯一的证明。

性质1[4]如果数列xn收敛, 那么它的极限唯一。

分析:反证法, 假设同时有xn→a及xn→b且a

那么按照对数列极限定义的通俗描述, 对于“xn→a”, 则给定一个装有a的具有一定大小的“口袋”U (a, ε1) , 一定能找到与之对应的阀门N (ε1) , 过了此阀门N (ε1) , 数列中后面的所有项全部装进该口袋中。同时对于“xn→b”, 也给定一个装有b的具有一定大小的“口袋”U (b, ε2) , 一定能找到与之对应的阀门N (ε2) , 过了此阀门N (ε2) , 数列中后面的所有项全部装进该口袋中。只要我们想办法构造两个不同的“口袋”, 那么数列中的分别装到口袋1与口袋2共同的数就不应该同时在两个不同的口袋里。于是有如下证明 (如图2所示) :

取故ƎN1, 当n>N1时, 不等式成立。 (1)

同理, 因为, 故ƎN2, 当n>N2时, 不等式成立。 (2)

取, 则当n>N时, (1) 与 (2) 都成立。

由 (1) 式有, 由 (2) 式有, 这是不可能成立的矛盾。

三、“理性升华”提升自主学习能力

反复回味数列极限“形象”描述, 便可以不断升华对概念的理解, 进而达到对此概念的学以致用, 下面通过数列极限保号性的证明和分析加以说明。

性质2[5]:如果, 且a>0, 那么存在正整数N>0, 当n>N时, 都有xn>0。

很多初学者对教材证明中为什么可以取感到困惑。若深刻理解数列极限定义后, 不难发现要完成证明, 只需找到合适的口袋, 过了相应的阀门N后, 数列中所有的数都装在此口袋中。只不过这时口袋需要放在数轴原点的右边, 结合数轴可以看到, 因为a>0, 只需取口袋半径小于的数即可, 通常取便完成证明。

“ε-N”方法是一种寓意深刻且丰富的思维方式, 它以科学的方式陈述了数列极限的概念, 从而对于变量的变化趋势作出了定量的、可以观测的表述, 能够将以后教材中导数和积分等基本概念置于科学的基础上。介于它的重要性, 教师有必要采取适当的教学方法帮助初学者深入地理解数列极限的定义, 使其达到期望的教学目标。

摘要：本文阐述了在教学实践中如何引入对数列极限形象直观描述的教学方法, 丰富高等数学教学中的教学手段, 以帮助学生深刻理解数列极限的精确定义。

关键词：数列极限,邻域,口袋,阀门

参考文献

[1][2]克莱因.数学与知识的探求[M].刘志勇译.上海:复旦大学出版社, 2005.

数列有扩充 极限难度低 篇3

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

推荐名言

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切．

——菲利克斯·克莱因 (德国数学家，发现了“克莱因四元群”和“克莱因瓶”)

数列问题是历年自主招生考试重点考查的内容.它包含着丰富的数学思想和数学方法，形式多变，有一定的难度.在考查数列内容时，一方面会以等差、等比数列为载体考查基础知识，另一方面会以递推数列、数列极限的形式，结合函数、方程、不等式、三角函数、解析几何、立体几何等知识考查同学们的归纳猜想能力、论证能力以及综合分析能力.在解决数列问题时，除了要熟练掌握相关的概念公式，还要善于观察题设特征，联想有关的数学知识和方法，迅速确定解题方向.在论证问题时，还有可能用到数学归纳法.

一、等差数列与等比数列问题

例1 （2009年北京大学自主招生考试第2题） 已知由整数组成的无穷等差数列中依次有三项：13，25，41．求证：2009为其中一项．

解析： 设等差数列｛an｝中依次有三项am=13，an=25，ak=41，公差为d（d≠0）. 要证明2009是｛an｝中的一项，就要证明存在正整数p使ap=2009．由等差数列的通项公式可得25-13=12=（n-m）d，41-25=16=（k-n）d. 若ap＝2009，则ap＝2009=13+（p-m）d，即1996=（p-m）d． 又1996=16+12×165，将（p-m）d＝1996，（n-m）d=12，（k-n）d=16代入，可得（p-m）d＝（k-n）d+165（n-m）d，整理得p=k+164n-164m． ∵ n>m，由m，n，k都是正整数可知p也是正整数，∴ 2009为｛an｝中的一项．

例2 （2011年复旦大学自主招生考试试题） 设含有4个数的数列各项为a1，a2，a3，a4.前3个数构成一个等比数列，其和为k；后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差不为0．对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k应满足

A． 12k>27B． 12k<27C． 12k=27D． 其他条件

解析： 我们可以先根据“后3个数构成一个等差数列，其和为9”设出后3个数，再由“前3个数构成一个等比数列”推出第1个数，最后根据“前3个数之和为k”建立等量关系．

设后3个数为a2=3-d，a3=3,a4=3+d. 由前3个数构成一个等比数列可得a1=. 由题意可得+3-d+3=k，整理得d2-9d+27-3k=0． ∵ 满足条件的数列的个数大于1， ∴ Δ＞0，解得12k>27． 选A．

点评： 例2的突破口在于如何设这4个数，难点在于如何将这4个数转化为关于d的二次方程，从而由 Δ＞0求出k的取值范围．

例3 （2009年中国科技大学自主招生考试第14题） 已知A=｛xx=n！+n，n∈N*｝，B是A在N*上的补集． （1） 求证：无法从B中取出无限个数组成等差数列；（2） 能否从B中取出无限个数组成等比数列？试说明理由．

解析： （1） 用反证法证明．设能够从B中取出无限个数组成公差为d的等差数列｛am｝，则am=a1+（m-1）d．当n>d时， ∵ n!+n=n•［（n-1）！+1］， ∴ ［n！+n］，［（n+1）！+（n+1）］，［（n+2）!+（n+2）］，…除以d所得的余数分别与n，n+1，n+2，…除以d所得的余数相同，且这些余数是逐一递增的，当余数取到d-1后，又周期性重复出现． ∴ 存在n0，使得n0！+n0被d除与am被d除的余数相同，这就说明n0！+n0是等差数列｛am｝中的项. 而n0！+n0∈A说明n0！+n0?埸B，∴ 假设不成立，即无法从B中取出无限个数组成等差数列．

（2） 能从B中取出无限个数组成等比数列．例如取bm=5m （m∈N*），∵ n!+n=n［（n-1）！+1］，当n>5时［（n-1）！+1］不能被5整除，∴ 5m?埸A，∴ 5m∈B，数列｛bm｝是B中取出无限个数组成的等比数列．

点评： 解决问题（1）的关键，是理解如果某个数是等差数列｛am｝中的一项，那么这个数被d除所得的余数与数列中任意一项am被d除所得的余数相同. 解决问题（2）则要靠构造法找出不属于集合A但属于集合B的等比数列．

二、递推数列问题

递推数列问题主要考查三种递推数列：线性递推数列、分式型递推数列、混合型递推数列．解决递推数列问题时，如果能求出通项，一般要先求出通项；如果无法求出通项，则要研究递推数列所满足的性质．

例4（2010年“华约”自主招生考试第15题） 函数f（x）=，设x1=3，xn+1=f（xn），ｎ∈N*. 证明： xn-2≤．

补充知识：方程f（x）=x的根叫做函数f（x）的不动点，利用不动点可求出数列的通项公式. 对于an+1=形式的递推数列｛an｝，不动点为方程=x的解. 当方程=x有两个不同的解α，β时，将α，β分别代入an+1=，由＝整理可得＝k•的形式，令bn=，原问题就转化为等比数列问题. 当方程=x只有一个不动点α时，对an+1=两边同时减去α再取倒数，得=，该式可转化为=k+的形式，令bn=，原问题就转化为等差数列问题．

解析： 由题意得xn+1=，设不动点为λ，则λ＝，解得λ＝±2． 由xn+1-λ=-λ可得 xn+1+2=（①），xn+1-2=（②），①式除以②式可得＝-3•. ∵ x1=3， ∴ 数列是首项为5、公比为-3的等比数列， ∴ =5×（-3）n-1，整理可得xn-2=．

要证xn-2≤，只需证明4×3n-1≤5×（-3）n-1-1． 至此，需讨论n的奇偶性．若n=2k（k∈N*），则5×（-3）n-1-1=5×32k-1+1≥4×32k-1；若n=2k-1（k∈N*），则只需证明4×32k-2≤5×32k-2-1，即32k-2≥1，该式显然成立． xn-2≤得证．

例5 （2009年中国科技大学自主招生考试第11题） 正数数列｛xn｝，｛yn｝满足：xn+2=2xn+1+xn，yn+2=yn+1+2yn （ｎ∈N*）． 证明：存在正整数n0，对任意n>n0，xn>yn恒成立．

补充知识：我们把二次方程x2=c1x+c2称为数列递推式an=c1an-1+c2an-2 （n≥3，ｎ∈N*）的特征方程． 设x1，x2是此特征方程的两根（即特征根），则当x1≠x2时，an=α1+α2；当x1=x2时，an=（β1+β2n）． 其中待定常数α1，α2，β1，β2均由初始值a1，a2确定．

解析：例5中的两个递推数列都是线性递推数列，可以用特征根法求出通项公式，再根据数列的特点比较xn和yn的大小．

xn+2=2xn+1+xn对应的特征方程为x2-2x-1=0，其特征根为1-，1+. yn+2=yn+1+2yn对应的特征方程为y2-y-2=0，其特征根为-1，2． 设xn=λ1（1-）n+λ2（1+）n，yn=u1•（-1）n+u2•2n，则有xn-yn=［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2•2n］． ∵x1=λ1（1-）+λ2（1+），x2=λ1（3-2）+λ2（3+2），｛xn｝，为正数数列，可得λ2＝•x1+x2＞0.同理，u2=（y1+y2）>0． ∵ 1+＞2＞1，λ2＞0，u2>0， ∴ 当n充分大时，λ2（1+）n-u2•2n也充分大.又 λ1（1-）n-u1（-1）n∈（-λ1-u1，λ1+u1），∴存在正整数n0满足xn-yn＝［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2•2n］＞0，对任意n>n0，xn>yn恒成立．

三、数列极限问题

作为高等数学的基础，数列极限问题在自主招生考试中出现的频率比较高，但难度一般都不大． 求解数列极限问题一般需掌握三个最基本的极限：（1） C=C（即常数列的极限是其本身）；（2） ＝0 （k为常数）；（3） 当q＜1时，qn=0．

例６ （2005年复旦大学自主招生考试第5题） （-）= ．

解析：-）＝==1．

点评：求数列极限的基本思路是“先变形，再根据极限的运算法则求解”． 先把问题转化成为“”或者“”的类型，再借助三个基本的极限求出极限．例6通过分子有理化，把“∞-∞”类型的极限题转化成了“”的类型．

例７ （2007年清华大学自主招生考试第2题） 设正三角形的边长为a，Tn+1 是Tn的中点三角形，An为Tn减去Tn+1后剩下的三个三角形的内切圆的面积之和，求Ak．

数列的极限2(学生) 篇4

7、已知数列an满足a1（1）求a2,a3的值，且Snn(2n1)an，3

{an}的极限，记作

2、几个特殊数列的极限

①②③

1、下列极限正确的个数是

①lim③lim

（2）猜想an的表达式并用数学归纳法证明（3）求Sn8、求Sn(

9、求Sn133310、设f（n）=

+

+

+…+

（n∈N*），那么

n1

n

1n

=0（α＞0）②limq=0 nn

2n3n2n3n

n

=－1④limC=C（C为常数）

n

AB

2、Aliman＝A，则liman＝A

nn

1521212)52535452n152n

Ban＞0，liman＝A，则A＞0

n

Climan＝A，则liman＝A

nn

lim（an－b）＝0，则liman＝limbn

nnn

3、若limq存在，则实数q的取值范围是_______

n

n4、an是首项为3，公差为2的等差数列，则



111。a1a2a2a3an1an5、求Sn

6、求Sn［n（1－

1232n

 n21n21n21n21

f（n+1）﹣f（n）等于______________

11、在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）

n*=2•1•2•3•…•（2n﹣1）（n∈N）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是____________

12、用数学归纳法证明：1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+ …+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2)

数列极限中“n!”的处理方法 篇5

一、采用定积分的定义求极限

高等数学中的很多概念都是通过极限定义的, 定积分便是其中之一, 所以考虑将极限问题转化为定积分求解[1].

二、采用数列极限的定义求解

2.证明

证明:由于, 故对坌ε≥0, 取, 则当n>N时, 有

三、采用夹逼准则求极限[2]

证明:

因此有, 而, 由夹逼准则得

四、根据已知结论求极限

以上结论读者可自行证明, 此处不再赘述.

证明:设, 则由结论 (2) 得

解:令, 则.由结论 (3) 得

解:令an=n (n=1, 2, …) , 则an≥0且.由结论 (4) 得

本文列举了四类含有n!的极限问题, 实际解题中还可以根据题目类型采用泰勒公式、单调有界定理、无穷级数收敛的必要条件等方法来处理, 归纳起来, 解题的中心思想是先着眼于n!的处理然后再去求极限[3].

摘要：本文针对常见的几种含有n!的数列极限问题给出了相应的解题思路及方法.

关键词：数列极限,定积分定义,夹逼准则

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2]赵树?.微积分 (第三版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2015.

一个数列极限的几种求法及其应用 篇6

关键词：数列极限,单调有界,级数,递推数列

本文给出该命题的四种证法, 之后给出该命题的应用.

一、四种证法

证法2:由证法1知存在且x≥0.若x≠0, 则

证法3:设y>x>0, 记u=y-x.由伯努利不等式

(1+x) α≥1+αx, α≥0, x>-1.

如果γ和δ都是大于1的整数, 则

这个不等式对于大于三个数1中最大者的一切实数γ, δ都成立.

在上式中, 依次取:

x=a, a+d, a+2d, …, a+nd;y=b, b+d, b+2d, …, b+nd, 则可得到一系列不等式:

由题意知, 证明无穷乘积收敛于零即可.因为部分乘积是正的, 且递减, 所以只需证明它的收敛即可, 令pn=1+αn, 则

二、应用实例

证明:易见

所以结论成立.

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[2]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社, 2005.

[3]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析 (上) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

数列的极限 篇7

电力系统运行人员一般习惯于将输电断面功率作为关于系统稳定运行水平的关键特征量进行监视,通过预防控制使断面当前输送功率小于离线或在线计算的极限功率,以便系统留有足够安全运行裕度。目前的研究中,输电断面的极限功率计算方法主要有基于灵敏度的方法和基于约束转化的最优潮流方法。文献[1]基于潮流和暂态能量函数的灵敏度技术来确定暂态稳定极限传输容量计算过程中的极端发电负荷增长模式。文献[2]将求解暂态稳定极限传输容量模型过程分解为暂态稳定最优控制和最优潮流意义上的暂态稳定极限传输容量两个子问题并交替求解。文献[3]利用约束转换技术将函数空间的优化问题转换为常规静态优化问题,并采用广义降维梯度方法求解转换后的问题。文献[4- 5]基于大规模分布式并行处理技术,提出了分档迭代和并行安全校核的极限功率搜索策略,并根据搜索结果计算关联断面极限功率间的相互影响因子。

大型互联电网中的输电断面有多个,每一个断面的稳定输送水平不但与本断面的输送功率密切相关,而且还受其他断面输送功率大小的影响。传统情况下分别独立计算断面极限的方法难以适应。例如,在计算某断面极限时,通常会把全网的方式设置得很恶劣,从而找出暂态稳定极限的一个最小值作为该断面的极限。然而,任何一个断面功率对应的 “最恶劣方式”不仅仅与该断面功率有关,从而使得 “最恶劣方式”的确定与断面极限功率的计算成为一个需要交互迭代的问题。随着电网跨区互联规模的逐步扩大,多个输电断面的输电极限存在着交互影响和紧耦合现象[6,7,8]。定量评估多断面稳定输送水平交互影响,并同时计算耦合的多个断面的输电极限,对大电网互联背景下电力系统的分析计算和运行控制具有重要意义。

然而在理论和工程方面,多断面稳定输送水平交互影响的量化评估和极限计算还缺乏系统性的方法,而电网安全稳定特性的复杂化,使得人工经验难以满足分析计算自动化和运行监控智能化的要求。 因此需要一种量化评估多断面稳定输送水平交互影响及自动搜索使多个断面同时达到输电极限功率的方法。本文采用扩展等面积准则(EEAC)[9],计算断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵,指导多个断面交互影响的极限计算迭代过程,从而为实现多断面输电功率同时达到极限值的自动搜索计算打下基础。

1多个输电断面暂态稳定极限耦合关系分析

1.1断面的输电功率与系统稳定裕度的关系

设系统有K个输电断面,每个断面对应一个用于计算其输电极限的预想故障,将限制断面i输送能力的预想故障记为断面i的关键故障Ci(例如断面组成设备的N -1故障)。将断面i在输送功率Pi下发生预想故障Ci时,表征受扰系统稳定性的稳定裕度简称为断面i主导的系统稳定裕度ηi。在本文中,该稳定裕度采用基于EEAC方法计算的轨迹稳定裕度[9]。

断面i主导的系统稳定裕度与断面i的正常运行功率Pi紧密相关。如果Pi越大,则故障下以断面i主导的系统稳定裕度往往越小[10]。其主要原因是,如果Pi越大,则等值系统的初始运行功率越大,同一故障下系统的动能加速面积越大,而减速面积越小。

当断面i输送功率达到极限时,如果电网发生关键故障Ci,则该断面主导的系统稳定性达到临界稳定,该断面主导的系统稳定裕度ηi的数值为0。

1.2多个断面暂态稳定极限相互耦合定性分析

设图1所示的电力系统有n台发电机,断面1和断面2是系统的两个输电断面,C1,C2,P1,P2分别为两个断面的关键故障和稳态传输功率。

图1中系统各发电机组的运动方程可以表示为:

式中:Mk,δk,Pmk,Pek分别为机组k的惯量、功角、 原动机功率和电功率。

假设断面1的关键故障C1下,将系统轨迹划分为两个互补群S群和A群(简称为 “稳定模式 χ1”),基于EEAC理论,等值单机系统的映象为:

式中:Pm=PmS/MS-PmA/MA,为等值机械功率; Pe=PeS/MS-Pe A/MA,为等值电磁功率。

断面1主导的系统稳定裕度η1,即该等值映像的稳定裕度为:

式中:δ0为初始等值功角。

上式中对失稳轨迹 δ 取实际轨迹动态鞍点 δDSP,对稳定轨迹δ 取虚拟的动态鞍点δVDSP。

可见,η1与C1下整个动态过程的Pm和Pe以及积分上下限密切相关。而P1和P2可以看成是节点注入空间上各发电机节点出力和各负荷功率组成的向量的非线性函数。P1和P2的改变将直接影响Pm及Pe的初始值和积分下限δ0大小,并间接影响到整个动态过程中Pm和Pe的变化轨迹以及积分上限δ 的数值,进而影响η1的大小。同理断面2主导的系统稳定裕度η2不仅受自身输电功率P2影响,与断面1的输电功率P1也相关。

某一输电断面的极限,即是其主导的系统稳定裕度为零时的断面输电功率值。因此,其极限值与其他断面的输电功率相关。这就是多个输电断面极限交互影响的机理。该机理解释并不受限于图1所示的电网拓扑结构和输电断面构成形式。

1.3断面输电功率对暂态稳定性影响程度的量化表达

为进行断面输电极限交互影响的量化分析,假设当各个断面输电功率变化较小时,即在输电断面功率空间的当前邻域内,断面输送功率的变化对断面主导的系统稳定裕度变化的影响方向和程度近似不变,用如下线性关系描述。

式中:ΔP为以 ΔPi为对角元素的对角阵,其中 ΔPi为各断面在当前潮流基础上的独立变化量;J为断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵; ηj/Pi反映了断面i输电功率变化对断面j主导的系统稳定裕度的影响程度,由于不同断面暂态稳定极限存在耦合,因此ηj/Pi数值不为零;Δη为各断面主导的系统稳定裕度变化量矩阵。

一般情况下断面j主导的系统稳定裕度主要受其自身输电功率影响,因此J的对角元素的绝对值一般要大于非对角元素。

Δη第i列第j行的元素 Δηj(i)表示断面i输电功率变化 ΔPi引起断面j主导的系统稳定裕度变化量。由于不同断面暂态稳定极限存在耦合,Δη 与J一样,是一个对角元素相对较大的满矩阵。

需要说明的是,对于同一个断面功率数值,在暂态稳定域的注入量空间中,发电或负荷分配方式可以有多种组合,因而在理论上,稳定裕度与断面功率并不满足函数的映射关系,即同样的断面功率并不能唯一确定其主导的系统稳定裕度。由于运行人员习惯于将断面功率作为关于系统稳定性的关键量进行监视,因此本文将断面功率作为反映系统稳定性的特征量,是一种实用化处理方法。本文在调整断面输送功率时,对发电机采用文献[11]的调整方法。 这样,该方法所求取的极限值为最危险的目标方向上的稳定极限值。在确定的调整原则和方法下,矩阵J的各元素可求。

2暂态稳定极限耦合的多个输电断面极限功率计算数学模型

大量实践经验表明,某断面关键故障下其主导的系统稳定裕度与该断面传输的有功功率呈单调反比变化关系,即该断面传输的有功功率越大,其主导的系统稳定裕度越小。而在调整某断面输电功率使该断面主导的系统稳定性达到临界稳定过程中,容易使其他断面主导的系统稳定裕度变大。如何在系统运行方式调节过程中使系统主要关键断面主导的系统稳定性同时趋向临界稳定,从而使得各个输电断面同时达到功率极限值,对于提高极限功率搜索的效率,具有较大的现实意义。该问题的数学模型可描述如下:

式中:g为系统的潮流方程约束;ε 为一个小的正数。

由于电力系统存在强非线性和时变性,通过数学解析方法或者直接用数学规划算法求解上述问题相当困难。为此,本文基于上述交互影响因子矩阵进行迭代计算。

3暂态稳定极限耦合的多个输电断面极限功率求解算法

3.1总体思路

求解上述问题的总体思路是:根据电网的典型运行方式或当前运行工况、模型及参数、预想故障和输电断面集合,以调整系统运行方式为手段对断面功率的稳态数值进行摄动,基于EEAC方法计算各个断面主导的系统稳定裕度变化量,进一步计算断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵, 求解使所考察各个断面主导的系统稳定裕度同时均衡减小的各断面功率的同时变化量,从而为同时增加所有考察断面的潮流提供调整方向,实现多断面输电功率同时达到极限值的自动计算。

为了解决系统强非线性和时变性对算法收敛性的影响,将系统功率的调节过程分为若干步,每步调节的总功率控制在某一数值范围,并通过迭代直至所有断面的主导稳定裕度达到可接受程度为止。迭代过程中每一步的交互影响因子矩阵和系统稳定裕度均会重新计算。

3.2一步调节过程中系统功率增长模式求解模型

为了使断面输电功率调节方向趋向于所有断面同时达到输电极限的方向,本文提出了一种新的计算方法,将极限计算搜索过程中各断面功率调节量的确定描述为式(7)所示的数学规划问题,以所有断面主导的系统稳定裕度“均衡”变化为目标,使每步调节过程中各个断面主导的系统稳定裕度同比减小,从而实现各个断面同时达到其输电极限。

式中:ΔP′=[ΔP1′,ΔP2′,…,ΔPK′]T为该步各断面功率变化,为求解变量;Δη′=[Δη1′,Δη2′,…, ΔηK′]T为该步各断面主导的系统稳定裕度变化向量;ΔPc为系统功率增长步长,为功率断面变化量之和,根据电网规模和经验确定。

3.3交互影响因子矩阵的求取

由于电力系统的强非线性和强时变性,交互影响因子矩阵J难以通过解析获得。因此,本文以调整系统运行方式为手段通过对断面功率的稳态数值进行摄动来求取。首先逐次摄动断面功率,即每一次都在基态潮流的基础上,以增加一个断面的功率为目标,调整出一个新的潮流,形成断面功率摄动量矩阵 ΔP,对应于K个断面输送功率的增加生成K个新的电网潮流方式。然后基于EEAC方法分别计算系统新的潮流方式下各断面主导的系统稳定裕度变化量,形成稳定裕度摄动量矩阵 Δη,从而由式(4)求取J。这里,求取交互影响因子矩阵时摄动断面功率的方法与断面极限功率搜索时每步的调整断面功率的方法相同。

3.4算法流程

步骤1:基于系统分析和运行经验确定K个输电断面及各断面的关键故障。

步骤2:基于时域仿真和EEAC计算各断面主导的系统稳定裕度。

步骤3:统计主导的系统稳定裕度满足临界稳定条件(ηj<εj(j=1,2,…,K ))的输电断面个数N,如果N≥NS,则停止计算。其中εj和NS为根据具体电网特点设定的门槛值。

步骤4:求取当前潮流方式下系统的断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵J。

步骤5:求解模型(式(7)),获得使得各断面主导的系统稳定裕度近似均衡变化的系统功率增长方式 ΔP′。

步骤6:根据该步功率增长方式 ΔP′,在系统最新一步潮流的基础上调整系统运行方式,生成新的基态潮流,转步骤2。

步骤6中,功率增长方式 ΔP′为各个断面功率变化量。根据稳态灵敏度关系和文献[11]中对于极限功率的调整方法实现断面功率的调整,本文不再详细描述。

3.5算法的特点

1)以多个断面功率极限同时达到临界稳定为目标,相当于给出了输电断面功率空间上的稳定域边界的工程实用方法。

2)算法以一定步长进行功率增长,每一步修正交互影响因子,可以克服系统强非线性带来的影响, 并能计及运行方式变化可能导致的稳定模式变化。

3)交互影响因子矩阵代表了每次迭代过程中系统功率增长的模式,类似于潮流计算的雅可比矩阵, 其准确性会影响算法的收敛性和效率,但不会影响计算结果的准确性。

值得指出的是,虽然实际应用中最关心的问题是几个输电断面功率同向增长的情形,但的确也会出现某几个输电断面不存在相同增长方向的情况, 这往往对应着不同断面主导的系统稳定模式有本质上的差异。例如,如果发电功率调整方式只限定于区域1,而区域1处于断面1的送端位置,但却处于断面2的受端位置,这样,求取断面1的极限功率时,要求增加区域1出力,求取断面2的极限功率时,却要求减少区域1出力。此时,本文所提出的计算方法同样适用,只是应该调整计算目标,只计算一个断面的极限功率。

4算例分析

以IEEE 10机39节点系统为例(对系统参数进行了部分修改),所考察输电断面为断面1和断面2,如图2所示。

设断面1关键故障C1为:线路bus16-bus17在0s时发生三相短路,0.17s故障线路切除。断面2关键故障C2为:线路bus21-bus16在0s时发生三相短路故障,0.22s故障线路切除。

4.1输电断面极限耦合关系分析

通过调整潮流使断面1输电功率保持665 MW不变、断面2输电功率分别为413,561,610 MW时,断面1主导的系统稳定裕度随之改变,分别为60.1%,22.8%,-2.6%,说明断面1输电功率对断面1主导的系统稳定裕度有较大影响,从而对断面2输电极限产生影响。

通过调整潮流使断面2输电功率保持463 MW不变、断面1输电功率分别为420,518,617 MW时,断面2主导的系统稳定裕度随之改变不大,分别为29.5%,29.6%,29.6%,说明断面1输电功率对断面2主导的系统稳定裕度变化不大,从而不会对断面2输电极限产生大的影响。

4.2迭代过程分析

初始状态下,断面1的输送功率为568 MW,其关键故障场景下系统稳定裕度为80.2%;断面2的输送功率为413 MW,其关键预想故障场景下系统稳定裕度为69.1%。令NS=2,εj=12%,每次摄动过程中 ΔP1=ΔP2=10 MW,每步两断面变化总量 ΔPc=50 MW;根据本文算法,具体迭代过程如表1所示。

计算结果表明:经过5次迭代,断面1的极限功率为749.6 MW,断面2的极限功率为467.5 MW。 迭代过程中,各个断面主导的系统稳定裕度基本上按比例均匀下降(如图3所示),最后同时达到临界稳定。

从迭代过程中的J看出,其对角元素相对较大,说明某一断面主导的系统稳定裕度主要与自身输电功率相关;非对角元素不为零说明与其他断面输电功率也相关。而J为非对称矩阵,说明断面之间的交互影响程度不具有对称性。从图3可看出, 随着每一步功率的增长,系统非线性程度也在改变, η1和η2总体上单调下降。

若最后一步功率增长50 MW,系统裕度小于零,而将最后一步的步长减小至35 MW后,两断面主导的系统稳定裕度达到预设的收敛判据而终止, 此时两断面输电功率即输电极限。可见在接近临界稳定时系统非线性增强,一直维持同样的调整量可能造成系统稳定裕度变化量过大,因此,在调整过程的后期应根据校核结果情况适当调整步长。

算法每次迭代增加了用于求取交互影响因子矩阵的一次仿真,但却同时获得了所有断面功率逼近极限时的功率变化量,与人工试探法相比,减少了盲目性,这样,总体计算效率会提高。此外,可以通过集群并行计算进一步缩短计算时间。

5结语

本文提出的量化评估多断面稳定输送水平交互影响的方法,以及使多个断面同时达到输电极限功率的自动搜索算法,是一种基于稳定性量化分析理论的系统性方法,既适用于离线分析,也适用于在线计算。算法以各个输电断面主导的系统稳定性同时达到临界稳定为目标,其计算结果在实际工程中可用于按耦合断面的功率之和不超过某一极限值来指导运行方式安排,因此在辅助调度运行人员综合考虑多个输电断面交互影响、掌控系统总体安全运行裕度方面有应用前景,也有利于促进分析计算自动化和运行监控智能化的技术进步。

数列的极限 篇8

1月15日，由黄渤、孙红雷、黄磊、罗志祥、王迅、张艺兴等大牌明星主演的《极限挑战之皇家宝藏（2016）》在全国首映，影片一经上映，即引发收视热潮，当天票房实现3099.4万元，截至19日票房累计8610万。该电影全部采用腾冲实地名拍摄，剧中，“云南腾冲”字样多次出现，腾冲深厚的历史人文、优美的自然风光即刻吸引了大批旅游粉丝。“云南腾冲唯美的景色让我迫不及待的想飞奔那里！”刚看完电影的网友“睡神小狮子快回来”发微博时更是直言不讳对腾冲的向往。

从“明星”效应来说，很明显——明星“火”了腾冲。就腾冲而言，腾冲“火”了《极限挑战》亦然有理有据。

腾冲位于祖国西南边陲，与缅甸山水相连，素有“极边第一城”美誉。腾冲历史人文厚重，生态环境优越，自然风光绮丽，境内有中国规模最大、保存也最完整的抗战时期正面战场阵亡将士纪念陵园——国殇墓园、中国魅力名镇之首——和顺古镇、国家级5A景区——火山热海等人文自然旅游胜地。近年来，腾冲相继被评为“中国最美宜居宜业宜游名县”“2014年中国最具旅游价值城市”“2014胡润榜全球优选生态旅游目的地”。

而在腾冲拍摄的影视剧，无论是《我的团长我的团》，还是《中国远征军》，还是《武侠》等等都获得了高收视率。“在我心目当中，腾冲有那么一个称号，叫做——中国最美的外景地，”《极限挑战之皇家宝藏（2016）》导演严敏毫不隐晦对腾冲的赞美。

数列极限的定义 篇9

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,n,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一（课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

n

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14,极限为0

5．an

5525n：先考察，， 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

2n

3 



数列的极限 篇10

解析由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n≥2),相减得

an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,

则an+1=4an(n≥2),而a1=1,a2=3,

则a6=a2·44=3·44,选A.

二、等差数列的前n项和Sn与通项an的关系

三、等比数列的前n项和Sn与通项an的关系

例3已知等比数列{an},a1=1,公比q=2.求:前n项和Sn与an之间的关系.

四、已知数列是等差数列或等比数列,数列的前n项和是什么数列

证∵{an}是公差为d等差数列,设an=dn+c,则

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.

仅就若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也是等差数列进行证明.

3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列.

证明略.

摘要：求数列{an}的通项an的公式和数列{an}的前n项和Sn是高考数列题最重要的题型.本文探讨:1.数列的前n项和Sn与通项an更直接的关系.2.针对这两年的高考数列题型中,已知数列的通项与前n项和的解析式,来求解数列通项公式及数列的规律.对高考具有针对性和实用性.